1.4 全称量词与存在量词 教学设计 教案
(新课程)高中数学1.4 全称量词与存在量词教案 新人教A版选修1-1
⑴所有的素数都是奇数；⑵ ；
⑶对每一个无理数 ， 也是无理数；⑷每个指数函数都是单调函数.
（教师分析——学生回答——教师点评）
3.思考：下列语句是命题吗？⑴与⑶，⑵与⑷之间有什么关系？
⑴ ；⑵ 能被2和3整除；⑶存在一个 ，使 ；
⑷至少有一个 ， 能被2和3整除.（学生回答——教师点评——引入新课）
高中新课程数学（新课标人教A版）选修1-1《1.4全称量词与存在量词》教案
上课时间
第周星期第节
课型
课题
1.4全称量词和存在量词及其否定
教学目的
了解生活和数学中经常使用的两类量词的含义，并会判断此类命题的真假
教学设想
教学重点：判断全称命题和特称命题的真假.
教学难点：会判断全称命题和特称命题的真假.
教
学
4.存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做全称量词.符号：
特称命题：含有存在量词的命题.符号：
例如：有的平行四边形是菱形；有一个素数不是奇数.
5.例2判断下列全称命题的真假.
⑴有一个实数 ，使 ；⑵存在两个相交平面垂直于同一条直线；
⑶有些整数只有两个正因数；⑷ ；⑸有些数的平方小于 .
⑸有的三角形是等边三角形.（教师分析——学生回答——教师点评）
三、巩固练习
1.练习：教材 ， 的练习.
2.精讲精练第6练.
3.作业： 1，2
（教师分析——学生回答——教师点评）
6.思考：写出下列命题的否定：⑴所有的矩形都是平行四边形；⑵每一个素数都是奇数.
7.全称命题 ： ，它的否定 ： ；
教
学
过
程
特称命题 ，它的否定 .
教学设计3：1.4 全称量词与存在量词
1.4 全称量词与存在量词【学习目标】1．理解全称量词、存在量词和全称命题、特称命题的概念；2．能准确地使用全称量词和存在量词符号“∀” “∃ ”来表述相关的教学内容；3．掌握判断全称命题和特称命题的真假的基本原则和方法；4.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.【要点梳理】要点一、全称量词与全称命题全称量词全称量词：在指定范围内，表示整体或者全部的含义的量词称为全称量词.常见全称量词：“所有的”、“任意一个”、“每一个”、“一切”、“任给”等.通常用符号“∀”表示，读作“对任意”.全称命题全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题.一般形式：“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作：x M ∀∈，()p x （其中M 为给定的集合，()p x 是关于x 的语句）.要点诠释：有些全称命题在文字叙述上可能会省略了全称量词，例如：（1）“末位是0的整数，可以被5整除”；（2）“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”；（3）“负数的平方是正数”；都是全称命题.要点二、存在量词与特称命题存在量词定义：表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词.常见存在量词：“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有的”,“有些”等.通常用符号“∃ ”表示，读作“存在 ”.特称命题特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题.一般形式：“存在M 中一个元素0x ，有0()p x 成立”，记作：0x M ∃∈，0()p x （其中M 为给定的集合，()p x 是关于x 的语句）.要点诠释：（1）一个特称命题中也可以包含多个变量，例如：存在,R R αβ∈∈使sin()sin sin αβαβ+=+.（2）有些特称命题也可能省略了存在量词.（3）同一个全称命题或特称命题，可以有不同的表述要点三、 含有量词的命题的否定对含有一个量词的全称命题的否定全称命题p ：x M ∀∈，()p xp 的否定p ⌝：0x M ∃∈，0()p x ⌝；从一般形式来看，全称命题“对M 中任意一个x ，有p （x ）成立”，它的否定并不是简单地对结论部分p(x)进行否定，还需对全称量词进行否定，使之成为存在量词，也即“任意,()x M p x ∈”的否定为“0x M ∃∈，0()p x ⌝”.对含有一个量词的特称命题的否定特称命题p ：0x M ∃∈，0()p xp 的否定p ⌝：x M ∀∈，()p x ⌝；从一般形式来看，特称命题“0x M ∃∈，0()p x ”，它的否定并不是简单地对结论部分0()p x 进行否定，还需对存在量词进行否定，使之成为全称量词，也即“0x M ∃∈，0()p x ”的否定为“x M ∀∈，()p x ⌝”.要点诠释：(1) 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题；(2) 命题的否定与命题的否命题是不同的.(3) 正面词：等于 、 大于 、小于、 是、 都是、 至少一个 、至多一个、 小于等于否定词：不等于、不大于、不小于、不是、不都是、 一个也没有、 至少两个 、 大于等于.要点四、全称命题和特称命题的真假判断①要判定全称命题“x M ∀∈，()p x ”是真命题，必须对集合M 中的每一个元素x ，证明()p x 成立；要判定全称命题“x M ∀∈，()p x ”是假命题，只需在集合M 中找到一个元素x 0，使得0()p x 不成立，即举一反例即可.②要判定特称命题“0x M ∃∈，0()p x ”是真命题，只需在集合M 中找到一个元素x 0，使得0()p x 成立即可；要判定特称命题“0x M ∃∈，0()p x ”是假命题，必须证明在集合M 中，使 ()p x 成立得元素不存在.【典型例题】类型一：量词与全称命题、特称命题例1.指出下列两个含有量词的命题中使用了什么量词及量词的作用范围，并把量词用相应的数学符号表示.（1）对任意正实数2,20a a a -->；（2）对某个大于10的正整数n ，1024n =.举一反三：【变式1】判断下列命题是全称命题还是特称命题：（1）任何一个实数除以1仍等于这个数；（2）等边三角形的三边相等；（3）存在实数0x ，使2030x ->。
《全称量词与存在量词》第一课时参考教案
1.4全称量词与存在量词（一）教学目标：了解量词在日常生活中和数学命题中的作用，正确区分全称量词和存在量词的概念，并能准确使用和理解两类量词。
教学重点：理解全称量词、存在量词的概念区别；教学难点：正确使用全称命题、存在性命题；课型：新授课教学手段：多媒体教学过程：一、创设情境在前面的学习过程中，我们曾经遇到过一类重要的问题：给含有“至多、至少、有一个┅┅”等量词的命题进行否定，确定它们的非命题。
大家都曾感到困惑和无助，今天我们将专门学习和讨论这类问题，以解心中的郁结。
问题1：请你给下列划横线的地方填上适当的词①一纸；②一牛；③一狗；④一马；⑤一人家；⑥一小船①张②头③条④匹⑤户⑥叶什么是量词？这些表示人、事物或动作的单位的词称为量词。
汉语的物量词纷繁复杂，又有兼表形象特征的作用，选用时主要应该讲求形象性，同时要遵从习惯性，并注意灵活性。
不遵守量词使用的这些原则，就会闹出“一匹牛”“一头狗”“一只鱼”的笑话来。
二、活动尝试所有已知人类语言都使用量化，即使是那些没有完整的数字系统的语言，量词是人们相互交往的重要词语。
我们今天研究的量词不是究其语境和使用习惯问题，而是更多的给予它数学的意境。
问题2：下列命题中含有哪些量词？（1）对所有的实数x，都有x2≥0；（2）存在实数x，满足x2≥0；（3）至少有一个实数x，使得x2－2＝0成立；（4）存在有理数x，使得x2－2＝0成立；（5）对于任何自然数n，有一个自然数s 使得s = n × n；（6）有一个自然数s 使得对于所有自然数n，有s = n × n；上述命题中含有：“所有的”、“存在”、“至少”、“任何”等表示全体和部分的量词。
三、师生探究命题中除了主词、谓词、联词以外，还有量词。
命题的量词，表示的是主词数量的概念。
在谓词逻辑中，量词被分为两类：一类是全称量词，另一类是存在量词。
全称量词：如“所有”、“任何”、“一切”等。
其表达的逻辑为：“对宇宙间的所有事物x来说，x 都是F。
《1.4全称量词与存在量词》教学案
1.4《全称量词存在量词》教学案【教学目标】1.知识目标：①通过教学实例，理解全称量词和存在量词的含义；②能够用全称量词符号表示全称命题，能用存在量词符号表述特称命题； ③会判断全称命题和特称命题的真假；2.能力与方法：通过观察命题、科学猜想以及通过参与过程的归纳和问题的演绎，培养学生的观察能力和概括能力；通过问题的辨析和探究，培养学生良好的学习习惯和反思意识；3.情感、态度与价值观：通过引导学生观察、发现、合作与交流，让学生经历知识的形成过程，增加直接经验基础，增强学生学习的成功感，激发学生学习数学的兴趣.【教学重点】理解全称量词与存在量词的意义.【教学难点】正确地判断全称命题和特称命题的真假.【教学过程】一．情境设置：哥德巴赫猜想是世界近代三大数学难题之一.1742年，由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先发现的.1742年6月7日哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉，正式提出了以下的猜想： )(a 任何一个大于 6的偶数都可以表示成两个质数之和．)(b 任何一个大于9的奇数都可以表示成三个质数之和．这就是哥德巴赫猜想．欧拉在回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明，从此，这道数学题引起了几乎所有数学家的注意。
哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”.二．新知探究观察以下命题：(1)对任意R x ∈，3>x ；(2)所有的正整数都是有理数；(3)若函数)(x f 对定义域D 中的每一个x ，都有)()(x f x f =-，则)(x f 是偶函数；(4)所有有中国国籍的人都是黄种人．问题1.(1)这些命题中的量词有何特点？(2)上述4个命题，可以用同一种形式表示它们吗？填一填：全称量词：_________________________全称命题：_________________________全称命题的符号表示：_________________________.你能否举出一些全称命题的例子？试一试：判断下列全称命题的真假．(1)所有的素数都是奇数；(2)11,2≥+∈∀x R x ；(3)每一个无理数x ，2x 也是无理数．(4){}Q n m n m x x b a ∈+=∈∀,,2,，{}Q n m n m x x b a ∈+=∈+,,2．想一想：你是如何判断全称命题的真假的？问题2.下列命题中量词有何特点？与全称量词有何区别？(1)存在一个,0R x ∈使3120=+x ；(2)至少有一个,0Z x ∈0x 能被2和3整除；(3)有些无理数的平方是无理数．类比归纳：存在量词 __________________________________________________特称命题__________________________________________________特称命题的符号表示__________________________________________________ 特称命题真假的判断方法__________________________________________________ 练一练：判断下列特称命题的真假.(1) 有一个实数0x ，使03x 2x 020=++；(2) 存在两个相交平面垂直同一平面；(3) 有些整数只有两个正因数.三．自我检测1、用符号“∀” 、“∃”语言表达下列命题(1)自然数的平方不小于零(2)存在一个实数，使0122=+-X X2、判断下列命题的真假：(1)每个指数函数都是单调函数；(2)任何实数都有算术平方根；(3){}是无理数，是无理数2|x x x x ∈∀(4);0,00≤∈∃x R x四．能力提升1．下列命题中为全称命题的是( )(A )有些圆内接三角形是等腰三角形 ；(B )存在一个实数与它的相反数的和不为0；(C )所有矩形都有外接圆 ； (D )过直线外一点有一条直线和已知直线平行． 2．下列全称命题中真命题的个数是( )①末位是0的整数，可以被3整除；②对12,2+∈∀x Z x 为奇数．③角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等；(A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) 33．下列特称命题中假命题的个数是( )①0,≤∈∃x R x ；②有的菱形是正方形；③至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数．(A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) 34．命题“存在一个三角形，内角和不等于 180”的否定为( )(A )存在一个三角形，内角和等于 180；(B )所有三角形，内角和都等于 180；(C )所有三角形，内角和都不等于 180；(D )很多三角形，内角和不等于 180． 5．把“正弦定理”改成含有量词的命题．6．用符号“∀”与“∃”表示含有量词的命题“p ：已知二次函数)1()1()(2+++=x b x a x f ，则存在实数b a ,，使不等式)1(21)(2+≤≤x x f x 对任意实数x 恒成立”．7．对),0(+∞∈∀x ，总∃),0(+∞∈a 使得2)(≥+=x a x x f 恒成立，求a 的取值范围．。
全称量词与存在量词教案
1．4全称量词与存在量词[教学目标]1通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义 2能准确地利用全称量词与存在量词叙述数学内容 ［教学重点、难点]重点：理解全称量词与存在量词的意义 难点:全称命题、特称命题的真假判断 [教学过程]问题1：请大家思考：下列语句是命题吗？你能发现这些语句之间的一些关系吗？ （1)、3>x（2）、对所有的3,>∈x R x （3）、12+x 是整数（4）、对任意一个12,+∈x Z x 是整数 （5)、312=+x(6）、存在一个,0R x ∈使3120=+x （7）、x 能被2和3整除（8）至少有一个Z x ∈0，0x 能被2和3整除不是命题， 是命题。
他们之间的关系是：后者比前者多了一些量词，通过这些量词来限定变量的范围使不是命题的语句成为了命题。
短语“对所有的”“对任意一个"在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示。
含有全称量词的命题叫做全称命题。
（2）、(4）是全称命题。
短语“存在一个"“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“∃”表示。
含有存在量词的命题叫做特称命题.(6)、（8）是特称命题。
通常将含有变量x 的语句用)(x p ，)(x q ，)(x r ,…表示，变量x 的取植范围用M 表示，那么：全称命题“对M 中任意一个x ，有)(x p 成立”可用符号简记为)(,x p M x ∈∀ 特称命题“存在M 中的一个0x ，使)(0x p 成立”可用符号简记为)(,00x p M x ∈∃问题2：下列日常用语,哪些表示全称量词，哪些表示存在量词？“凡”、“所有”、“有一个”、“一切”、 “ 全”、“都”、“任意一个"、“存在一个”、“有些”、“至少有一个"、“有”。
其中：全称量词的有： 存在量词的有： 练习：判断下列命题是全称命题还是存在性命题,并找出其中的量词(1）任意实数的平方都是正数____ ______,______ ____ (2)0乘以任何数都等于0______ ________，__ _________ （3）至少有一个实数有相反数________ ___，______ _______（4）⊿ABC 的内角中有小于600的角______ _____，____ _______ （5）正方形是矩形______ ______,__________ 问题3：如何判断一个全称命题,特称命题的真假？ 例1；判断下列全称命题的真假 （1）、所有的素数都是奇数 （2）、01,2≥+∈∀x R x（3）、对每一个无理数x ，2x 也是无理数 解析：(1）(2） （3）规律:全称命题)(,x p M x ∈∀为真，必须对给定的集合的每一个元素x, )(x p 为真，但要判断一个全称命题为假，只要在给定的集合内找出一个0x ，使)(0x p 为假 练习1：（1）、每个指数函数都是单调函数 （ ）（2）、任何实数都有算术平方根 ( ）（3）、}{是无理数x x x |∈∀，2x 是无理数 （ ）例2判断下列特称命题的真假（1)、有一个实数0x ，使032020=++x x（2）、平面内存在两个相交直线垂直于同一直线 （3)、有些整数只有两个正因数 解析：（1) （2)（3)规律:存在性命题)(,x p M x ∈∃为真,只要在给定的集合M 中找出一个元素x ，使命题)(x p 为真，否则为假；练习2：（1）、0,00≤∈∃x R x （ ）(2）、至少有一个整数,它既不是合数也不是素数 ( ) （3）、}{是无理数x x x |0∈∃,20x是无理数 （ ）例3：已知[]1,3x ∀∈，都有1x a x+>恒成立，则a 的取值范围是 ；例4:已知[]1,3x ∃∈，使得1x a x+>成立，则a 的取值范围是 ；巩固练习： 四、自我检测1、判断下列命题是全称命题,还是特称命题，并判断它们的真假。
全称量词与存在量词》教学设计
全称量词与存在量词》教学设计2、删除明显有问题的段落。
三、教学过程一）新课研究一）、全称量词通过生活和数学中的实例，学生可以理解全称量词和存在量词的意义。
全称量词通常用“”表示，含有全称量词的命题叫做全称命题。
常见的全称量有“一切”、“每一个”、“任给”、“所有的”等。
我们可以用符号语言表达全称命题，例如“对于M中任意一个x,有p(x)成立”，可以用符号简记为“x M,p(x)”，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”。
判断全称命题真假的一般方法是举反例法。
二）、存在量词存在量词通常用“”表示，含有存在量词的命题叫做特称命题。
常见的存在量词有“有些”、“有一个”、“对某个”、“有的”等。
我们可以用符号语言表达特称命题，例如“存在一个x R,使2x13”，可以用符号简记为“x R,2x13”，读作“存在一个x属于R，使2x+1=3”。
组织寻找其他数学例子，加深对全称量词的理解。
特称命题的符号语言可以简记为“存在M中的元素x，使得p(x)成立”，用符号表示为“∃x∈M，p(x)”。
例如，判断下列特称命题的真假：1.存在一个实数x，使得x+2x+3=0；2.存在两个相交平面垂直于同一条直线；3.存在一些整数只有两个正因数。
判断特称命题真假的一般方法是举特例法。
例如，对于第一个命题，我们可以令x=1，得到1+2+3=6≠0，因此该命题为假命题。
对于第二个命题，我们可以画出两个平面并找到一条直线使其垂直，因此该命题为真命题。
对于第三个命题，我们可以找到一个数5，它只有两个正因数1和5，因此该命题为真命题。
课后探索：给定一个数学表达式(a+b)/(b+1)，判断它是否为全称命题。
如果不是全称命题，请补充必要的条件，使之成为全称命题。
小结：我们研究了全称量词、存在量词、全称命题和特称命题的定义，以及全称命题和特称命题真假的判断方法。
我们还研究了如何将自然语言转化为符号语言。
在课后探索中，我们需要判断一个数学表达式是否为全称命题，并补充必要的条件使之成为全称命题。
1.4《全称量词语存在量词》教案(新人教选修1-1)
1.4全称量词与存在量词[教学目标]1通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义2能准确地利用全称量词与存在量词叙述数学内容[教学重点]理解全称量词与存在量词的意义[教学过程]一、问题情景德国著名的数学家哥德巴赫提出这样一个问题“任意取一个奇数，可以把它写成三个质数之和，比如77，：77=53+17+7”，同年欧拉首先肯定了哥德巴赫猜想的正确，并且认为：每一个偶数都是两个质数之和，虽然通过大量检验这个命题是正确的，但是还需要证明。
这也就是当今人们称之为哥德巴赫猜想，并誉为数学皇冠上的明珠。
200多年来我国著名数学家陈景润才证明了“1+2”即：凡是比某一个正整数大的任何偶数，都能表示成一个质数加上两个质数相乘，或者表示成一个质数加上一个质数，从陈景润的“1+2”到“1+1”似乎仅一步之遥。
它是一个迄今为止仍然是一个没有得到正面证明也没有被推翻的命题。
在我们的日常生活中，我们常常遇到这样的命题:（1）所有中国公民的合法权利都受到中华人民共和国宪法的保护（2）对任意实数x ，都有02≥x（3）存在有理数x ，使022=-x问题1上述命题中有那些关键的量词?二、新课1.全称量词与存在量词全称量词及表示：表示全体的量词称为全称量词。
表示形式为“所有”、“任意”、“每一个”等。
通常用符号“x ∀”表示，读作“对任意x ”。
存在量词及表示:表示部分的量称为存在量词。
表示形式为“有一个”，“存在一个”,“有点”,“有些”等。
通常用符号“x ∃”表示，读作“存在x ”。
“对任意实数x ，都有02≥x ”可表示为2,0x R x ∀∈≥;“存在有理数x ，使022=-x ” 可表示为2,20x Q x ∃∈-=.2. 全称命题与存在性命题全称命题——含有全称量词的命题 ,一般形式)(,x p M x ∈∀存在性命题——含有存在量词的命题, 一般形式)(,x p M x ∈∃,其中M 为给定的集合，)(x p 是关于x 的命题.三、例题讲解例1、判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并找出其中的量词（1）任意实数的平方都是正数__________\__________（2）0乘以任何数都等于0______________\____________（3）任何一个实数都有相反数___________\______________（4）⊿ABC 的内角中有小于600的角___________\___________（5）有人既能写小说，也能搞发明创造____________\__________问题2：如何判定一个存在性命题，全称命题的真假？例2判断下列命题的真假1．x x R x >∈∃2, 2．x x R x >∈∀2,3．08,2=-∈∃x Q x 4．02,2>+∈∀x R x5．01,2>++∈∀x x R x 6．01,2>+-∈∃x x R x存在性命题)(,x p M x ∈∃为真，只要在给定的集合M 中找出一个元素x ，使命题)(x p 为真，否则为假；全称命题)(,x p M x ∈∀为真，必须对给定的集合的每一个元素x, )(x p 为真，但要判断一个全称命题为假，只要在给定的集合内找出一个0x ，使)(0x p 为假四、课堂练习：书P13 1，2五、课堂小结：如何判定全称命题与存在性命题的真假？六、课后作业课本15页习题1.3感受理解1.2.3.高中数学创新课时训练苏教版选修1-1的第六课时.1.下列全称命题中，真命题的是___________A ．末位是偶数的整数总能被2整除B ．角平分线上的点到这个角两边距离相等C ．正三棱锥的任意两个面所成的二面角相等2.下列存在性命题中，真命题的是____________A ．0,≤∈∃x R xB ．至少有一个整数，它既不是质数也不是合数C ．x ∃是无理数，2x 是无理数D ．x ∃是无理数，2x 是有理数。
《全称量词与存在量词》教案全面版
《全称量词与存在量词》教案1.4.1全称量词1.4.2存在量词(一)教学目标1.知识与技能目标（1）通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词．（2）了解含有量词的全称命题和特称命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性．2.过程与方法目标使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力．3.情感态度价值观通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．(二)教学重点与难点重点:理解全称量词与存在量词的意义难点: 全称命题和特称命题真假的判定.教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．（三）教学过程学生探究过程：1．思考、分析下列语句是命题吗？假如是命题你能判断它的真假吗？（1）2x＋１是整数；(2) x＞３；(3) 如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等；（4）平行于同一条直线的两条直线互相平行；（5）海师附中今年所有高中一年级的学生数学课本都是采用人民教育出版社A版的教科书；（6）所有有中国国籍的人都是黄种人；（7）对所有的x∈Ｒ, x＞３；（8）对任意一个x∈Ｚ，2x＋１是整数。
1．推理、判断（让学生自己表述）（1）、（2）不能判断真假，不是命题。
（3）、(4)是命题且是真命题。
（5）－（8）如果是假，我们只要举出一个反例就行。
注：对于（5）－（8）最好是引导学生将反例用命题的形式写出来。
因为这些命题的反例涉及到“存在量词”“特称命题”“全称命题的否定”这些后续内容。
（5）的真假就看命题：海师附中今年存在个别（部分）高一学生数学课本不是采用人民教育出版社A版的教科书；这个命题的真假，该命题为真，所以命题（5）为假；命题（6）是假命题．事实上，存在一个（个别、部分）有中国国籍的人不是黄种人．命题（7）是假命题．事实上，存在一个（个别、某些）实数（如x＝2）， x＜３．（至少有一个x∈Ｒ, x≤３）命题（8）是真命题。
人教课标版高中数学选修1-1：《全称量词与存在量词》教案-新版
1.4全称量词与存在量词一、教学目标【核心素养】发展数学思维，形成辩证的逻辑推理能力.【学习目标】(1)理解全称量词、存在量词和全称命题、特称命题的概念；(2)掌握判断全称命题和特称命题的真假的基本原则和方法；(3)能正确地对含有一个量词的命题进行否定.【学习重点】通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词和存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定.【学习难点】全称命题和特称命题的真假的判定，以及写出含有一个量词的命题的否定.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务任务1：阅读教材预习教材P21—P23，思考：什么叫“全称量词”和“特称量词”任务2：思考如何否定含有一个量词的命题2.预习自测1.判断下列全称命题的真假，其中真命题为（）A.所有奇数都是质数B.2∀∈+≥x R x,11C.对每个无理数x，则x2也是无理数D.每个函数都有反函数答案：B2.将“x2+y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是（）A.,x y R∀∈，都有222+≥x y xyB.,x y R∃∈，都有222+≥x y xyC.0,0x y∀>>，都有222+≥x y xyD .0,0x y ∃<<，都有222x y xy +≤答案：A3.判断下列命题的真假，其中为真命题的是（ ）A .2,10x R x ∀∈+=B .2,10x R x ∃∈+=C .,sin tan x R x x ∀∈<D .,sin tan x R x x ∃∈<答案：D4.对于下列语句:（1）2,3x Z x ∃∈=（2）2,2x R x ∃∈=（3）2,302x R x x ∀∈>++（4）2,05x R x x ∀∈>+-其中正确的命题序号是 .（全部填上）答案：（2）（3）（二）课堂设计1.知识回顾（1）给定一个命题p ，如何得到命题p 的否定，它们的真假有什么关系？（2）回顾逻辑联结词“非”的含义和用法.2.问题探究问题探究一 全称量词观察与思考：观察以下命题：（1）对任意R x ∈，x >3；（2）所有的正整数都是有理数；（3）若函数f (x )对定义域D 中的每一个x ，都有f (-x )=f (x )，则f (x )是偶函数；（4）所有中国国籍的人都是黄种人想一想：（1）这些命题中的量词有何特点?（2）上述4个命题，可以用同一种形式表示它们吗？阅读与举例：你能否举出一些具有类似特征的例子？想一想：请大家根据以上结论，思考什么叫全称量词与全称命题（1）短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做______，并用符号“_____”表示.含有_______的命题，叫做全称命题.(2)全称命题“对M 中任意一个x ，有p (x )成立”可用符号简记为__________，读作“________________.试一试：判断下列全称命题的真假.（1）所有的素数都是奇数；（2）11,2≥+∈∀x R x ；（3）每一个无理数x ，2x 也是无理数.（4）{}Q n m n m x x b a ∈+=∈∀,,2,，{}Q n m n m x x b a ∈+=∈+,,2.想一想：你是如何判断全称命题的真假的？问题探究二 特称量词观察与思考：观察以下命题：（1）存在一个,0R x ∈使3120=+x ；（2）至少有一个00,x Z x ∈能被2和3整除；（3）有些无理数的平方是无理数.想一想：（1）这些命题中的量词有何特点? 与全称量词有何区别？（2）上述3个命题，可以用同一种形式表示它们吗？阅读与举例：你能否举出一些具有类似特征的例子？想一想：请大家根据以上结论类比归纳，思考什么叫存在量词与特称命题：(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做________，并用符号“___”表示.含有________的命题，叫做特称命题.(2)特称命题“存在M 中的一个x 0，使p (x 0)成立”可用符号简记为____________，读作“_______________.练一练：判断下列特称命题的真假. 命题 命题的否定∀x ∈M ，p (x )∃x 0∈M ，p (x 0)（1）有一个实数2000230x x x ++=，使；（2）存在两个相交平面垂直于同一平面；（3）有些整数只有两个正因数.问题探究三、含有量词的命题的否定常见词语的否定形式有： 原语句 是 都是 > 至少有一个 至多有一个 对任意x ∈A 使p (x )真 否定形式不是 不都是 ≤ 一个也没有 至少有两个 存在x 0∈A 使p (x 0)假3.课堂总结【知识梳理】 1.命题中除了主词、谓词、联词以外，还有量词.命题的量词，表示的是主词数量的概念.在谓词逻辑中，量词被分为两类：一类是全称量词，另一类是存在量词.全称量词：如“所有”、“任何”、“一切”等.存在量词：如“有”、“有的”、“有些”等.含有量词的命题通常包括存在性命题和全称命题二种.2.含有全称量词的命题称为全称命题，含有存在量词的命题称为存在性称命题.全称命题的格式：“对M 中的所有x ，p (x )”的命题，记为: ∀x ∈M ，p (x )存在性命题的格式：“存在集合M 中的元素x ，q (x )”的命题，记为: ∃x ∈M ，q (x )注：全称量词就是“任意”，写成上下颠倒过来的大写字母A ，实际上就是英语"any "中的首字母.存在量词就是“存在”、“有”，写成左右反过来的大写字母E ，实际上就是英语"exist "中的首字母.存在量词的“否”就是全称量词.【重难点突破】(1)弄清命题是全称命题还是特称命题是写出命题否定的前提.命题的否定与命题的否命题是不同的.全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题；(2)注意命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定.(3)要判断“¬p ”命题的真假，可以直接判断，也可以判断“p ”的真假，p 与¬p 的真假相反.4.随堂检测1.下列命题不是“0x R ∃∈,203x >”的表述方法的是（ ）A.有一个0x R ∈,使203x >B.有些0x R ∈,使203x >C.任选一个x R ∈,使23x >D.至少有一个0x R ∈,使203x >解析：【知识点：特称命题】答案：C2.下列命题中的真命题是（ ）A .,sin cos 1.5x R x x ∃∈+=B .(0,),1x x e x ∀∈+∞>+C .(,0),23x x x ∃∈-∞<D .(0,),sin cos x x x π∀∈>解析：【知识点：全称命题和特称命题、命题真假的判断】答案：B(0,)x ∀∈+∞,设()1x f x e x =--,则()10x f x e '=->,而(0)0f =,所以有10x e x -->,即1x e x >+,故选B.3.已知命题⌝p :0,23x x ∃≥=,则（ ）A . p :0,23x x ∀<≠B . p :0,23x x ∀≥≠C . p :0,23x x ∃≥≠D . p :0,23x x ∃<≠解析：【知识点：全称命题和特称命题、命题真假的判断】答案：B因为特称命题的否定是全称命题,故选B.4.给出下列四个命题:①a ⊥b ⇔a ·b =0 ;②矩形都不是梯形;③220000,,1x y R x y ∃∈+≤;④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于-1.其中全称命题是________.答案：①②④解析：【知识点：全称命题】在②,④中含有全称量词“都”“任意”,为全称命题.③为特称命题.又①中的实质是:对任意a ,b 有a ⊥b ⇔a ·b =0,故①②④为全称命题.5.下列说法正确的是（ ）A.对所有的正实数t,有t t <B.存在实数x 0,使错误！未找到引用源。
1.4全称量词与存在量词教案设计
1.4全称量词与存在量词教案设计1．4全称量词与存在量词1.4.1全称量词1.4.2存在量词(一)教学目标1.知识与技能目标（1）通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词．（2）了解含有量词的全称命题和特称命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性．2.过程与方法目标使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力．3.情感态度价值观通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．(二)教学重点与难点重点:理解全称量词与存在量词的意义难点: 全称命题和特称命题真假的判定.（三）教学过程1.4.1全称量词1．思考、分析下列语句是命题吗？假如是命题你能判断它的真假吗？（1）x＞３；(2) 2x＋１是整数；(3) 对所有的x∈Ｒ, x＞３；（4）对任意一个x∈Ｚ，2x＋１是整数。
推理、判断（让学生自己表述）（1）、（2）不能判断真假，不是命题。
（3）、(4)是命题。
3．发现、归纳命题（3）、（4），它们用到“所有的”“任意一个”这样的词语，这些词语一般在指定的范围内都表示整体或全部，这样的词叫做全称量词，用符号“?”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题。
常见的全称量词还有：对于一切，对每一个，任给,等通常将含有变量x的语句用p（x），q（x），r（x），……表示，变量x的取值范围用M表示。
那么全称命题“对M中任意一个x，有p（x）成立”可用符号简记为：?x∈M, p（x），读做“对任意x属于M，有p（x）成立”。
4、例题（课本例题１）：判断下列全程命题的真假：（１）所有的素数都是奇数（２）?x∈R，x2＋1≥1，（３）对每一个无理数x，2x也是无理数5、通过对上面命题真假判断推理归纳得出：（1）?x∈M，p(x)为真：对集合M中每一个元素x，都有p(x)成立；（2）?x∈M，p(x)为假：在集合M中存在一个元素x0，使得p(x0)不成立.1.4.2存在量词1．思考、分析下列语句是命题吗？假如是命题你能判断它的真假吗？（1）2x+1=３；(2) x 能被2和3整除；(3) 存在一个x 0∈Ｒ, 使得2x 0+1=３；（4）至少有一个x 0∈Ｚ，x 0能被2和3整除。
高中数学人教版选修2-1 1.4全称量词与存在量词 教案(系列三)
1.4全称量词与存在量词教学目标：利用日常生活中的例子和数学的命题介绍对量词命题的否定，使学生进一步理解全称量词、存在量词的作用.教学重点：全称量词与存在量词命题间的转化；教学难点：隐蔽性否定命题的确定；课 型：新授课教学手段：多媒体教学过程：一、创设情境数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“ ∀”与“∃”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。
在全称命题与存在性命题的逻辑关系中，,p q p q ∨∧都容易判断，但它们的否定形式是我们困惑的症结所在。
二、活动尝试问题1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定。
（1）所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇数；（3）∀x ∈R ，x 2-2x +1≥0分析：（1）∀∈x M,p(x)，否定：存在一个矩形不是平行四边形；∃∈⌝x M,p(x)（2）∀∈x M,p(x)，否定：存在一个素数不是奇数；∃∈⌝x M,p(x)（3）∀∈x M,p(x)，否定：∃x ∈R ，x 2-2x +1<0；∃∈⌝x M,p(x)这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？结论：从命题形式上看，这三个全称命题的否定都变成了存在性命题.三、师生探究∃问题2：写出命题的否定（1）p ：∃ x ∈R ，x 2＋2x +2≤0；（2）p ：有的三角形是等边三角形；（3）p ：有些函数没有反函数；（4）p ：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分；分析：（1）∀ x ∈R ，x 2＋2x +2>0；（2）任何三角形都不是等边三角形；（3）任何函数都有反函数；（4）对于所有的四边形，它的对角线不可能互相垂直或平分；从集合的运算观点剖析：()U U U AB A B =痧?,()U U U A B A B =痧? 四、数学理论1.全称命题、存在性命题的否定一般地，全称命题P ：∀ x ∈M ,有P （x ）成立；其否定命题┓P 为：∃x ∈M ,使P （x ）不成立。
1.4全称量词与存在量词教学设计教案
1.4全称量词与存在量词教学设计教案第一篇：1.4全称量词与存在量词教学设计教案教学准备1.教学目标（1）知识目标：通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义；（2）过程与方法目标：能准确地利用全称量词与存在量词叙述数学内容；（3）情感与能力目标：培养学生用所学知识解决综合数学问题的能力.2.教学重点/难点【教学重点】：理解全称量词与存在量词的意义；【教学难点】：全称命题和特称命题真假的判定.3.教学用具多媒体4.标签1.4.1 全称量词+1.4.2 存在量词教学过程一、情境引入问题1：下列语句是命题吗？（1）与（3）、（2）与（4）之间有什么关系？（1）x＞3；（2）2x+1是整数；（3）对所有的x∈R，x＞3；（4）对任意一个x∈Z，2x+1是整数；二、知识建构定义：1．全称量词及表示：表示全体的量词称为全称量词。
表示形式为“所有”、“任意”、“每一个”等。
通常用符号“”表示，读作“对任意”。
2．含有全称量词的命题, 叫做全称命题。
一般用符号简记为“立。
（其中M为给定的集合，都有”可表示为三、自主学习1、引导学生阅读教科书P22上的例1中每组全称命题的真假，纠正可能出现的逻辑错误。
规律：全称命题为真，必须对给定的集合的每一个元素x, 为真，但要判断一个全称命题为假，只要在给定的集合内找出一个，使为假.问题2：下列语句是命题吗？（1）与（3）、（2）与（4）之间有什么关系？（1）2x+1=3；（2）x能被2和整除；（3）存在一个x0∈R，使2x0+1=3；（4）至少有一个x0∈Z，x0能被2和3整除；四、知识建构定义：（1）存在量词及表示:表示部分的量称为存在量词。
表示形式为“有一个”，“存在一个”,“有点”,“有些”、至少有一个等。
通常用符号“”表示，读作“存在”。
.”。
读作“对任意的x属于M，有p（x）成是关于x的命题。
）例如“对任意实数x。
（2）含有存在量词的命题叫做特称命题, 一般形式x0∈M，p（x0），读作“存在一个x0属于M，有p（x0）成立。
1.4全称量词与存在量词 教学设计 教案
教学准备1. 教学目标[1]通过对命题及其否定的形式变化,知道全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题；[2]归纳总结出含有一个量词的命题的含义与它们的否定在形式上的变化规律；[3]根据全称量词和存在量词的含义，用简洁、自然的语言表叙含有一个量词的命题的否定.2. 教学重点/难点教学重点：理解对含有一个量词的命题进行否定的意义。
教学难点：能正确地对含有一个量词的命题进行否定。
3. 教学用具多媒体设备4. 标签教学过程教学过程设计1 温故知新、引入课题【板演/PPT】【师】1. 命题的否定与否命题有什么区别？提示:否命题：是用否定条件也否定结论的方式构成新命题.命题的否定：是对一个命题的全盘否定,只否定结论不否定条件.2.命题“一个数的末位数字是0，则它可以被5整除”的否命题和命题的否定分别是什么？提示：否命题：若一个数的末位数字不是0，则它不可以被5整除；命题的否定：存在一个数的末位数字是0，则它不可以被5整除.3. 判断下列命题是全称命题还是特称命题，你能写出下列命题的否定吗？（1）所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇数；（3）x∈R, x2－2x＋1≥0；（4）有些实数的绝对值是正数；（5）某些平行四边形是菱形；（6）x0∈R, x02＋1＜0.提示：前三个命题都是全称命题，即具有 " x∈M，p（x）”的形式；后三个命题都是特称命题，即“x0∈M，p（x0）”的形式.它们命题的否定又是怎么样的呢？这就是我们这节课将要学习的内容 .【活动】让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：复习，巩固已学知识，为学习新知识打好基础。
【设计意图】说明本节在现实生活中及数学学习中的作用。
激发学生探究的兴趣和欲望。
温故而知新，为本节课的学习作铺垫。
2 新知探究[1] 全称命题的否定【合作探究】探究1 写出下列命题的否定：（1）所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇数；（3）x∈R, x2－2x＋1≥0.【活动】用时5分钟，学生独立思考，小组内部讨论，最后把以上命题的否定命题形成书面形式，由小组代表答出讨论结果，由其他同学修正补充．提示：经过观察，我们发现，以上三个全称命题的否定都可以用特称命题表示.上述命题的否定可写成:（1）存在一个矩形不是平行四边形；（2）存在一个素数不是奇数；（3）x0∈R，x02-2x0+1<0.【归纳提升】一般地, 对于含有一个量词的全称命题的否定, 有下面的结论:全称命题p: x∈M，p（x），它的否定﹁p: x0∈M,﹁p（x0）.【即时练习】命题“所有能被3整除的整数都是奇数”的否定是（ C ）A.所有能被3整除的整数都不是奇数B.不存在一个奇数，它不能被3整除C.存在一个奇数，它不能被3整除D.不存在一个奇数，它能被3整除【设计意图】引导学生分析实例,让学生从实例中抽象出数学知识,得出本节课所要学习的含有量词的命题的否定．[2] 特称命题的否定探究2 写出下列命题的否定：（1）有些实数的绝对值是正数；（2）某些平行四边形是菱形；（3）x0∈R, x02＋1＜0.【活动】用时5分钟，学生独立思考，小组内部讨论，最后把以上命题的否定命题形成书面形式，由小组代表答出讨论结果，由其他同学修正补充．提示：经过观察，我们发现，以上三个特称命题的否定都可以用全称命题表示.上述命题的否定可写成:（1）所有实数的绝对值都不是正数；（2）每一个平行四边形都不是菱形；（3）x∈R，x2+1≥0.【归纳提升】一般地,对于含有一个量词的特称命题的否定,有下面的结论:特称命题p：x0∈M，p（x0），它的否命题﹁p: x∈M,﹁p（x）.【即时练习】命题“存在一个三角形，内角和不等于180o”的否定为（ B ）A.存在一个三角形，内角和等于180oB.所有三角形，内角和都等于180oC.所有三角形，内角和都不等于180oD.很多三角形，内角和不等于180o【设计意图】让学生从理论上掌握含有一个量词的命题的否定形式,并且学会写出含有量词的命题的否定的基本依据．[3]例题讲解例1 写出下列全称命题的否定：（1）p：所有能被3整除的整数都是奇数（2）p：每一个四边形的四个顶点共圆（3）p：对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3.解析：（1）﹁p：存在一个能被3整除的整数不是奇数；（2）﹁p：存在一个四边形，其四个顶点不共圆；（3）﹁p：x0∈Z，x02的个位数字等于3.【归纳提升】通过上面的学习，我们可以知道：全称命题的否定就是特称命题，所以我们只要把全称命题改成它相应的特称命题即可.例2 写出下列特称命题的否定：（1）p：x0∈R，x02＋2x0＋2≤0；（2）p：有的三角形是等边三角形；（3）p：有一个素数含有三个正因数.解析：（1）﹁p：x∈R，x2＋2x＋2＞0；（2）﹁p：所有的三角形都不是等边三角形；（3）﹁p：每一个素数都不含三个正因数.例3 写出下列命题的否定,并判断其真假：（1）p：任意两个等边三角形都是相似的;（2）p：∃x0∈R, x0²+2x0+2=0.解析：（1）﹁p ：存在两个等边三角形,它们不相似;（2）﹁p ：∀x∈R, x²+2x+2≠0.【归纳提升】通过上面的学习，我们可以知道：特称命题的否定就是全称命题，所以我们只要把特称命题改成它相应的全称命题即可.【设计意图】命题的否定与否命题是完全不同的概念,其理由:1.任何命题均有否定,无论是真命题还是假命题;而否命题仅针对命题“若p,则q”提出来的.2.命题的否定（非）是原命题的矛盾命题,两者的真假性必然是一真一假,一假一真;而否命题与原命题可能是同真同假,也可能是一真一假.3.原命题“若p,则q”的形式,它的非命题“若p,则￢q”;而它的否命题为“若￢p,则￢q”,既否定条件又否定结论.课堂小结1. 本节知识结构2.含有一个量词的全称命题的否定：全称命题p：x∈M，p（x），它的否定﹁p：x0∈M，﹁p（x0）.全称命题的否定是特称命题.3.含有一个量词的特称命题的否定：特称命题p：x0 ∈M，p（x0），它的否定﹁p：x ∈M，﹁p（x）.特称命题的否定是全称命题.课后习题[1]课堂练习1. 命题“存在x0∈ R，2x0≤ 0”的否定是（）（A）不存在x 0∈ R,2x0 >0（B）存在x0∈ R, 2x0≥ 0（C）对任意的x∈ R, 2x≤0（D）对任意的x∈ R, 2x>02. 已知命题p：x ∈R ，sin x ≤ 1，则（）A．┐ p：x ∈R ， sin x ≥ 1;B．┐ p： x ∈R ， sin x ≥ 1;C．┐ p：x ∈R ， sin x >1;D．┐ p：x ∈R ，sin x >1.3.命题“”的否定是（）4.设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:∀x∈A,2x∈B,则（）A. ￢p:∀x∈A,2x∉BB. ￢p:∀x∉A,2x∉BC. ￢p:∃x∉A,2x∈BD. ￢p:∃x∈A,2x∉B5. 命题“所有自然数的平方都是正数”的否定为（）A.所有自然数的平方都不是正数B.有的自然数的平方是正数C.至少有一个自然数的平方是正数D.至少有一个自然数的平方不是正数课堂练习【参考答案】1. D解析：由题意否定即“不存在x0∈ R,使2x0≤ 0”，即“" x∈ R,2x>0”。
教学设计4：1．4 全称量词与存在量词
1．4 全称量词与存在量词一、学习内容、要求及建议二、预习指导1．预习目标(1)了解全称量词与存在量词的意义；能利用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容．(2)了解对含有一个量词的命题的否定的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定．2．典型例题例1 指出下列语句中的全称量词或存在量词：①每个人都喜欢旅游；②有时晴天下雪；③任意三角形中，两边之和大于第三边．例2 判断下列命题是全称命题还是存在性命题：①有的奇数是质数；②与同一直线平行的两条直线平行；③有的三角形三边长成等比数列；④和圆有两个公共点的直线与圆相交．例3 判断下列命题的真假：①∀x∈R，3x2－x+1>0；②∀x∈{0，1，2}，2x－1>0；③∃x∈N，x2+1≤x+1；④∃x∈N*，使x为13的约数．例4 写出下列命题的否定：①所有人都打球；②∀x∈R，x2+x+2>0；③菱形的对角相等；④∃x∈R，x2+x+2=0．三、自我检测1．下列命题不是“∃x0∈R，x20＞3”的表述方法是()A．有一个x∈R，使得x2＞3B．对有些x∈R，使得x2＞3C．任选一个x∈R，使得x2＞3D．至少有一个x∈R，使得x2＞32．命题“对任意一个实数x，x2＋2x＋1都不小于零”用“∃”或“∀”符号表示为____________________．3．下列命题不是特称命题的是________(填序号)．①有的无理数的立方是有理数；②有的无理数的立方不是有理数；③对于任意x∈Z，4x±1是奇数；④存在x0∈R，2x0＋1是奇数．四、课后巩固练习1．下列命题中全称命题的个数为( )①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；③存在一个菱形，它的四条边不相等． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 2．下列命题中的假命题是( )A ．∃x 0∈R ，lg x 0＝0B ．∃x 0∈R ，tan x 0＝1C ．∀x ∈R ，x 3＞0D ．∀x ∈R ，2x ＞0 3．下列命题中特称命题的个数是( )①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x ∈R ，总有|sin x |≤1.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．下列命题，是全称命题的是__________，是特称命题的是________(填序号)． ①正方形的四条边相等②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形 ③正数的平方根不等于0 ④至少有一个正整数是偶数5．下列全称命题中真命题的个数为( ) ①负数没有对数；②对任意的实数a ，b ，都有a 2＋b 2≥2ab ； ③二次函数f (x )＝x 2－ax －1与x 轴恒有交点； ④∀x ∈R ，y ∈R ，都有x 2＋|y |＞0.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 6．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是 ( ) A ．存在一个α，使tan(90°－α)＝tan α B ．存在实数x 0，使sin x 0＝π2C ．对一切α，sin(180°－α)＝sin αD ．sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β7．对任意x >3，x >a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．8．若∀x ∈R ，f (x )＝(a 2－1)x 是单调减函数，则a 的取值范围是________________． 9．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题，并判断真假． (1)所有实数x 都能使x 2＋x ＋1>0成立；(2)对所有实数a ，b ，方程ax ＋b ＝0恰有一个解； (3)一定有整数x 0，y 0，使得3x 0－2y 0＝10成立； (4)所有的有理数x 都能使13x 2＋12x ＋1是有理数．10．已知命题p：∀x∈[1，2]，x2－a≥0，命题q：∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0.若命题“p∧q”是真命题，求实数a的取值范围．五、拓展视野逻辑推理问题求解综述：对“逻辑变化”较少的比较简单的逻辑推理题，常用顺推法求解，即从已知条件出发，顺着条件进行推理，或假设其提供的某一个线索条件为真(或为假)，然后导出矛盾，进而得到结论．对于逻辑关系较为复杂的问题，常用表格法求解，即先将容易判断的结论确定下来，填入表内，在此基础上，逐步推理，将表中的空格逐步填满，最后得出结论．用表格法，常使一些令人眼花缭乱的条件及其关系变得有序，有利于确定推理的方向．例旅游车上乘坐着日本、美国、法国三个国家的游客．现知道日本游客有18人，法国游客有9人．成年男游客中，美国5人，法国3人；成年女游客中，法国3人，日本5人；男孩中日本3人，美国2人；女孩中美国2人，法国1人，还知道成年女游客比成年男游客少2人，而男孩和女孩一样多．则美国游客有______人．参考答案例1【答案】解：①全称量词：每个；②存在量词：有时；③全称量词：任意．【点评】我们要理解全称量词与存在量词的含义，有时还要根据语句中所叙述对象的特征，挖掘其隐含的量词．例2【答案】解：①是存在性命题；②是全称命题；③是存在性命题；④是全称命题．【点评】我们要理解全称命题与存在性命题的意义，有时还要根据命题中所叙述对象的特征，挖掘其隐含的量词．例3【答案】解：①因为3x2－x+1的Δ=1－12=－11<0，所以3x2－x+1>0恒成立．故“∀x∈R，3x2－x+1>0”是真命题；②因为当x=0时，2x－1=－1<0，所以“∀x∈{0，1，2}，2x－1>0”是假命题；③因为当x=0时，x2+1≤x+1，所以“∃x∈N，x2+1≤x+1” 是真命题；④因为1与13是13的约数，所以“∃x∈N*，使x为13的约数” 是真命题．【点评】要判定一个存在性命题为真，只要在给定的集合中，找到一个元素x，使命题p(x)为真；否则命题为假．要判定一个全称命题为真，必须对给定的集合的每一个元素x，p(x)都为真；但要判定一个全称命题为假，只要在给定的集合内找出一个元素x0，使p(x0)为假．例4【答案】解：①“所有人都打球”的否定是“有的人不打球”；②“∀x∈R，x2+x+2>0” 的否定是“∃x∈R，x2+x+2≤0”；③“菱形的对角相等”是指任意一个菱形的对角相等，它的否定是“存在菱形，它的对角不相等”；④“∃x∈R，x2+x+2=0” 的否定是“∀x∈R，x2+x+2≠0”．【点评】本题给出了含有一个量词的命题的否定的范式：“∀x∈M，p(x)”的否定为“∃x∈M，﹁p(x)”；“∃x∈M，p(x)”的否定为“∀x∈M，﹁p(x)”．自我检测 1．【答案】C2．【解析】将文字语言用符号语言可表示为∀x ∈R ，x 2＋2x ＋1≥0. 【答案】∀x ∈R ，x 2＋2x ＋1≥0 3．【答案】③课后巩固练习1．【解析】①②是全称命题，③是特称命题．故选C. 【答案】C2．【解析】对于A ，当x ＝1时，lg x ＝0，A 正确；对于B ，当x ＝π4时，tan x ＝1，B 正确；对于C ，当x ＜0时，x 3＜0，C 错误；对于D ，∀x ∈R ，2x ＞0，D 正确． 【答案】C3．【解析】命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，故为全称命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数都能被3整除”，是全称命题；而命题④是全称命题．故有一个特称命题． 【答案】B4．【解析】①②③是全称命题，④是特称命题． 【答案】①②③ ④能力提升5．【解析】①②③为真命题． 【答案】C6．【解析】只有A 、B 两个选项中的命题是特称命题，而由于|sin x |≤1，所以sin x 0＝π2不成立，故B 中命题为假命题．又因为当α＝45°时，tan(90°－α)＝tan α，故A 中命题为真命题． 【答案】A7．【解析】对任意x >3，x >a 恒成立，即大于3的数恒大于a ，所以a ≤3. 【答案】(－∞，3]8．【解析】依题意有：0＜a 2－1＜1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0，a 2－1<1⇔⎩⎨⎧a <－1或a >1，－2<a <2⇔－2<a <－1或1＜a＜ 2.【答案】(－2，－1)∪(1，2)．9．【解析】(1)∀x ∈R ，x 2＋x ＋1>0；真命题．(2)∀a ，b ∈R ，ax ＋b ＝0恰有一解；假命题． (3)∃x 0、y 0∈Z ，3x 0－2y 0＝10；真命题． (4)∀x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1是有理数；真命题．10．【解析】∀x ∈[1，2]，x 2－a ≥0，即a ≤x 2. 当x ∈[1，2]时恒成立，∴a ≤1. ∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0， 即方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根， 所以Δ＝4a 2－4(2－a )≥0. ∴a ≤－2或a ≥1.又p ∧q 为真，故p 、q 都为真，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ≤－2或a ≥1， 即a ≤－2或a ＝1.∴实数a 的取值范围为{a |a ≤－2或a ＝1}． 拓展视野【答案】解：先将已知条件列成表格，见表1： 表1由表1知，应从法国入手，法国男孩有2人，又男孩和女孩一样多，则日本女孩有4人；再看日本总人数是18人，则日本成年男游客有6人；又成年男游客比成年女游客多2人，则美国女游客有4人；最后看美国，其游客总人数为5+4+2+2=13，即美国游客有13人(见表2)．表2。
人教版高中数学优质教案2：1.4 全称量词与存在量词 教学设计
一．引入新课【师】复习提问逻辑联结词有哪些？q p ∧，q p ∨，p ⌝的真假遵循什么规律之后，让学生思考在日常生活和学习中，我们经常遇到这样的命题：(1)所有中国公民的合法权利都受到中华人民共和国宪法的保护．(2)对于任意实数x ，都有02≥x ． (3)存在有理数x ，使022=-x上述命题的含义是什么？【生】命题⑴表示——只要是“中国公民”，其合法权利都受到中华人民共和国宪法的保护．命题⑵表示——对每一个实数x ，必有“02≥x ”，即没有使“02≥x ”不成立的实数x 存在．1．全称量词：“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，通常用符号“x ∀”表示“对任意x ”． 2．存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，通常用符号“x ∃”表示“存在x ”． 3．全称命题与存在性命题： （1）定义含有全称量词的命题称为全称命题． 含有存在量词的命题称为存在性命题． （2）全称命题与存在性命题的一般形式： 全称命题：M x ∈∀，()x p 存在性命题：M x ∈∃，()x p其中M 为给定的集合，()x p 是一个关于x 的命题． 4．含有一个量词的命题否定【师】对于下列命题进行否定、你发现有何规律？(1)所有的人都喝水；(2)存在有理数x ，使022=-x ；(3)对所有实数a ，都有0||≥a 。
【生】命题（1）的否定为：“并非所有的人都喝水”，换言之，“有的人不喝水”命题否定后、全称量词变为存在量词，“肯定”变为“否定”。
命题（2）的否定为“并非存在有理数x ，使022=-x ”，即对所有的有理数“x ，022=-x ”命题否定后，存在量词变为全称量词，“肯定”变为“否定”。
命题（3）的否定为：“并非对所有的实数a ，都有0||≥a ”即“存在实数a ，（3）平行四边形的对边相等；（4）2,10x R x x ∃∈-+=。
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【小结】
1．特称命题的统一形式为“ x∈M，p(x)”，“ ”表示“存在”“至少有一个”等量词．
2判断特称命题的真假，可以先找满足性质的元素，若找到一个元素，说明特称命题是真命题，若找不到，就是假命题．
变式训练
（1）奇函数也可以是偶函数．
（2）不是每一个四边形都有外接圆．
问题导思2
命题“存在实数a，使关于x的方程x2＋x－a＝0有实根”中使用了什么量词？你还能举出几个含有此量词的命题吗？
【提示】 使用了量词“存在”，能，如“存在整数n，使n能被13整除”，“存在实数x，使x2－2x－1＞0成立”等．
1．存在量词和特称命题的定义
短语“有一个”、“有些”、“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示，含有存在量词的命题，叫做特称命题．
2．判断全称命题的真假，可以先找反例，若找到一个反例，说明全称命题是假命题，若找不到反例，就可以尝试证明命题是真命题．
三、变式训练
用全称量词把下列语句写成全称命题，并判断真假：
（1）sin 2x＝2sin xcos x.
（2）三角形有外接ຫໍສະໝຸດ ．（3）非负实数有两个偶次方根．
【解】
（1） x∈R，sin 2x＝2sinxcos x．真命题．
【解析】 命题中含有全称量词“任一条”，所以为全称命题．
【答案】 A
2．下列命题中是存在性命题的是()
A． x∈R，x2≥0
B． x∈R，x2<0
C．平行四边形的对边不平行
D．矩形的任一组对边都不相等
【解析】A为全称命题，B中含有“ ”是存在性命题，而C，D也可以看作全称命题．
【答案】B
3．下列命题中的假命题是 ()
3．情感、态度与价值观
通过引导学生观察、发现、合作与交流，让学生经历知识的形成过程，增加直接经验基础，增强学生学习的成功感，激发学生学习数学的兴趣．
2.教学重点/难点
重点：理解全称量词与存在量词的意义．
难点：判断全称命题和特称命题的真假．
3.教学用具
多媒体
4.标签
教学过程
一、新知探究
问题导思1
命题“任意三角形的内角和为180°”中使用了什么量词？你还能举出几个含有这样量词的命题吗？
A． x∈R，lg x＝0 B． x∈R，tan x＝1
C． x∈R，x3>0 D． x∈R,2x>0
【解析】对于A，当x＝1时，lg x＝0，正确；
对于B，当x＝ 时，tan x＝1，正确；
【解析】
（1）∵关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，
∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，解得a≥
∴实数a的取值范围为（ ，+∞）
（2）令y＝sin x＋cos x，x∈R，
∵y＝sin x＋cos x＝
又∵∃x∈R，sin x＋cos x>m有解，
∴只要m< 即可，
∴所求m的取值范围是(－∞， ）
【小结】有解和恒成立问题是存在性命题和全称命题的应用，注意二者的区别．
变式训练
（1）对于任意实数x，不等式sin x＋cos x>m恒成立．求实数m的取值范围；
（2）存在实数x，不等式sin x＋cos x>m有解，求实数m的取值范围．
解析：
（1）令y＝sin x＋cos x，x∈R，
（2）任意三角形都有外接圆．真命题．
（3）所有的非负实数都有两个偶次方根．假命题.
题型2 特称命题的构成与真假判定
例2.用存在量词将下列语句写成特称命题，并判断真假．
（1）x2＋2＝0能成立；
（2）不是每一个菱形都是平行四边形；
（3）素数也可以是偶数．
【解析】
（1） x∈R，x2＋2＝0，假命题；
（2）存在一个菱形不是平行四边形，假命题；
【解】
（1）存在函数既是奇函数又是偶函数，如f(x)＝0，x∈R，真命题；
（2）存在一个四边形没有外接圆，真命题.
【答案】 [－4,0]
题型3 全称量词与存在量词的综合应用
例3.（1）已知关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，求实数a的取值范围；
（2）令p(x)：ax2＋2x＋1>0，若对 x∈R，p(x)是真命题，求实数a的取值范围．
教学准备
1.教学目标
1.知识与技能
（1）通过教学实例，理解全称量词和存在量词的含义．
（2）能够用全称量词符号表示全称命题，用存在量词符号表述特称命题．
（3）会判断全称命题和特称命题的真假．
2．过程与方法
（1）通过观察命题、科学猜想以及通过参与过程的归纳和问题的演绎，培养学生的观察能力和概括能力．
（2）通过问题的辨析和探究，培养学生良好的学习习惯和反思意识．
2．特称命题的形式
设q(x)是某集合M的有些元素x具有的某种性质，那么特称命题就是形如“存在集合M中的元素x，q(x)”的命题，用符号简记为∃x∈M，q(x).
二、典例精讲
题型1 全称命题的构成与真假判定
例1.用全称量词把下列语句写成全称命题，并判断真假：
（1）x2＋2x＋3≥2.
（2）终边相同的角的正弦值相等．
【提示】 使用了量词“任意”，能，如“任意的正方形都是平行四边形”，“对任意的x∈R，x2－2x＋2＞0恒成立”等．
1．全称量词和全称命题的定义
短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．
2．全称命题的形式
设p(x)是某集合M的所有元素都具有的性质，那么全称命题就是形如“对M中的所有x，p(x)”的命题．用符号简记为 x∈M，p(x).
又∵∀x∈R，sin x＋cos x>m恒成立，
∴只要m<－ 即可．
∴所求m的取值范围是(－∞，－ ）
（2）令y＝sin x＋cos x，x∈R，
又∵ x∈R，sin x＋cos x>m有解，
∴只要m< 即可，
∴所求m的取值范围是(－∞， ).
四、当堂检测
1．“a⊥α，则aB．存在性命题 C．不是命题 D．假命题
（3）指数函数都是单调函数．
【解析】
（1） x∈R，x2＋2x＋3≥2，因为x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，故是真命题．
（2）所有终边相同的角的正弦值相等，真命题．
（3）任给一个指数函数，则它都是单调函数，真命题．
【小结】
1．全称命题的统一形式为“ x∈M，p(x)”，“∀”表示“任意”“所有”等量词，集合“M”表示给定的范围，“p(x)”表示某一性质．