1.4 全称量词与存在量词 教学设计 教案
教学准备
1. 教学目标
1.知识与技能
（1）通过教学实例，理解全称量词和存在量词的含义．
（2）能够用全称量词符号表示全称命题，用存在量词符号表述特称命题．
（3）会判断全称命题和特称命题的真假．
2．过程与方法
（1）通过观察命题、科学猜想以及通过参与过程的归纳和问题的演绎，培养学生的观察能力和概括能力．
（2）通过问题的辨析和探究，培养学生良好的学习习惯和反思意识．
3．情感、态度与价值观
通过引导学生观察、发现、合作与交流，让学生经历知识的形成过程，增加直接经验基础，增强学生学习的成功感，激发学生学习数学的兴趣．
2. 教学重点/难点
重点：理解全称量词与存在量词的意义．
难点：判断全称命题和特称命题的真假．
3. 教学用具
多媒体
4. 标签
教学过程
一、新知探究
问题导思1
命题“任意三角形的内角和为180°”中使用了什么量词？你还能举出几个含有这样量词的命题吗？
【提示】使用了量词“任意”，能，如“任意的正方形都是平行四边形”，“对任意的x∈R，x2－2x＋2＞0恒成立”等．
1．全称量词和全称命题的定义
短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“?”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．
2．全称命题的形式
设p(x)是某集合M的所有元素都具有的性质，那么全称命题就是形如“对M中的所有x，p(x)”的命题．用符号简记为x∈M，p(x).
问题导思2
命题“存在实数a，使关于x的方程x2＋x－a＝0有实根”中使用了什么量词？你还能举出几个含有此量词的命题吗？
【提示】使用了量词“存在”，能，如“存在整数n，使n能被13整除”，“存在实数x，使x2－2x－1＞0成立”等．
1．存在量词和特称命题的定义
短语“有一个”、“有些”、“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示，含有存在量词的命题，叫做特称命题．
2．特称命题的形式
设q(x)是某集合M的有些元素x具有的某种性质，那么特称命题就是形如“存在集合M中的元素x，q(x)”的命题，用符号简记为?x∈M，q(x).
二、典例精讲
题型1 全称命题的构成与真假判定
例1.用全称量词把下列语句写成全称命题，并判断真假：
（1）x2＋2x＋3≥2.
（2）终边相同的角的正弦值相等．
（3）指数函数都是单调函数．
【解析】
（1）x∈R，x2＋2x＋3≥2，因为x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，故是真命题．
（2）所有终边相同的角的正弦值相等，真命题．
（3）任给一个指数函数，则它都是单调函数，真命题．
【小结】
1．全称命题的统一形式为“x∈M，p(x)”，“?”表示“任意”“所有”等量词，集合“M”表示给定的范围，“p(x)”表示某一性质．
2．判断全称命题的真假，可以先找反例，若找到一个反例，说明全称命题是假命题，若找不到反例，就可以尝试证明命题是真命题．
三、变式训练
用全称量词把下列语句写成全称命题，并判断真假：
（1）sin 2x＝2sin xcos x.
（2）三角形有外接圆．
（3）非负实数有两个偶次方根．
【解】
（1）x∈R，sin 2x＝2sinxcos x．真命题．
（2）任意三角形都有外接圆．真命题．
（3）所有的非负实数都有两个偶次方根．假命题.
题型2 特称命题的构成与真假判定
例2.用存在量词将下列语句写成特称命题，并判断真假．
（1）x2＋2＝0能成立；
（2）不是每一个菱形都是平行四边形；
（3）素数也可以是偶数．
【解析】
（1）x∈R，x2＋2＝0，假命题；
（2）存在一个菱形不是平行四边形，假命题；
（3）存在一个素数是偶数，真命题．
【小结】
1．特称命题的统一形式为“x∈M，p(x)”，“”表示“存在”“至少有一个”等量词．
2判断特称命题的真假，可以先找满足性质的元素，若找到一个元素，说明特称命题是真命题，若找不到，就是假命题．
变式训练
（1）奇函数也可以是偶函数．
（2）不是每一个四边形都有外接圆．
【解】
（1）存在函数既是奇函数又是偶函数，如f(x)＝0，x∈R，真命题；
（2）存在一个四边形没有外接圆，真命题.
【答案】[－4,0]
题型3 全称量词与存在量词的综合应用
例3.（1）已知关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，求实数a的取值范围；
（2）令p(x)：ax2＋2x＋1>0，若对x∈R，p(x)是真命题，求实数a的取值范围．
【解析】
（1）∵关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，
∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，解得a≥
∴实数a的取值范围为（，+∞）
（2）令y＝sin x＋cos x，x∈R，
∵y＝sin x＋cos x＝
又∵?x∈R，sin x＋cos x>m有解，
∴只要m<即可，
∴所求m的取值范围是(－∞，）
【小结】有解和恒成立问题是存在性命题和全称命题的应用，注意二者的区别．
变式训练
（1）对于任意实数x，不等式sin x＋cos x>m恒成立．求实数m的取值范围；
（2）存在实数x，不等式sin x＋cos x>m有解，求实数m的取值范围．
解析：
（1）令y＝sin x＋cos x，x∈R，
又∵?x∈R，sin x＋cos x>m恒成立，
∴只要m<－即可．
∴所求m的取值范围是(－∞，－）
（2）令y＝sin x＋cos x，x∈R，
又∵x∈R，sin x＋cos x>m有解，
∴只要m<即可，
∴所求m的取值范围是(－∞，).
四、当堂检测
1．“a⊥α，则aB．存在性命题C．不是命
题 D．假命题
【解析】命题中含有全称量词“任一条”，所以为全称命题．
【答案】 A
2．下列命题中是存在性命题的是()
A．x∈R，x2≥0
B．x∈R，x2<0
C．平行四边形的对边不平行
D．矩形的任一组对边都不相等
【解析】A为全称命题，B中含有“”是存在性命题，而C，D也可以看作全称命题．
【答案】B
3．下列命题中的假命题是()
A．x∈R，lg x＝0 B．x∈R，tan x＝1
C．x∈R，x3>0 D．x∈R,2x>0
【解析】对于A，当x＝1时，lg x＝0，正确；
对于B，当x＝时，tan x＝1，正确；
对于C，当x＜0时，x3＜0，错误；
对于D，x∈R,2x＞0，正确．
【答案】C
4．填上适当的量词符号“”“”，使下列命题为真命题．
（1）________x∈R，使x2＋2x＋1≥0；
（2）________a，b∈R，使方程组有唯一解．
【解析】
（1）∵(x＋1)2≥0恒成立，应填“?”．
（2）把ax＋by＝1，a2x＝2看成两条直线，故存在a，b的值使两条直线相交，应填“”．
【答案】（1）（2）
课堂小结
1．判断命题是全称命题还是特称命题，主要是看命题中是否含有全称量词和存在量词，有些全称命题虽然不含全称量词，但是可以根据命题涉及的意义去判断．
2．要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题．
3．要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该特称命题是假命题.
板书
1.4.1全称量词 1.4.2存在量词