2008年浙江省高考数学试卷(理科)答案与解析

2008年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2008•浙江）已知a是实数，是纯虚数，则a=（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣【考点】复数代数形式の混合运算．【分析】化简复数分母为实数，复数化为a+bi（a、b是实数）明确分类即可．【解答】解：由是纯虚数，则且，故a=1故选A．【点评】本小题主要考查复数の概念．是基础题．2．（5分）（2008•浙江）已知U=R，A={x|x＞0}，B={x|x≤﹣1}，则（A∩∁U B）∪（B∩∁U A）=（）A．∅B．{x|x≤0} C．{x|x＞﹣1} D．{x|x＞0或x≤﹣1}【考点】交、并、补集の混合运算．【分析】由题意知U=R，A={x|x＞0}，B={x|x≤﹣1}，然后根据交集の定义和运算法则进行计算．【解答】解：∵U=R，A={x|x＞0}，B={x|x≤﹣1}，∴C u B={x|x＞﹣1}，C u A={x|x≤0}∴A∩C u B={x|x＞0}，B∩C u A={x|x≤﹣1}∴（A∩C u B）∪（B∩C u A）={x|x＞0或x≤﹣1}，故选D．【点评】此题主要考查一元二次不等式の解法及集合の交集及补集运算，一元二次不等式の解法及集合间の交、并、补运算布高考中の常考内容，要认真掌握，并确保得分．3．（5分）（2008•浙江）已知a，b都是实数，那么“a2＞b2”是“a＞b”の（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件の判断．【专题】常规题型．【分析】首先由于“a2＞b2”不能推出“a＞b”；反之，由“a＞b”也不能推出“a2＞b2”．故“a2＞b2”是“a＞b”の既不充分也不必要条件．【解答】解：∵“a2＞b2”既不能推出“a＞b”；反之，由“a＞b”也不能推出“a2＞b2”．∴“a2＞b2”是“a＞b”の既不充分也不必要条件．故选D．【点评】本小题主要考查充要条件相关知识．4．（5分）（2008•浙江）在（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）（x﹣5）の展开式中，含x4の项の系数是（）A．﹣15 B．85 C．﹣120 D．274【考点】二项式定理の应用．【分析】本题主要考查二项式定理展开式具体项系数问题．本题可通过选括号（即5个括号中4个提供x，其余1个提供常数）の思路来完成．【解答】解：含x4の项是由（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）（x﹣5）の5个括号中4个括号出x仅1个括号出常数∴展开式中含x4の项の系数是（﹣1）+（﹣2）+（﹣3）+（﹣4）+（﹣5）=﹣15．故选A．【点评】本题考查利用分步计数原理和分类加法原理求出特定项の系数．5．（5分）（2008•浙江）在同一平面直角坐标系中，函数（x∈[0，2π]）の图象和直线の交点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．4【考点】函数y=Asin（ωx+φ）の图象变换．【分析】先根据诱导公式进行化简，再由xの范围求出の范围，再由正弦函数の图象可得到答案．【解答】解：原函数可化为：y=cos（）（x∈[0，2π]）=，x∈[0，2π]．当x∈[0，2π]时，∈[0，π]，其图象如图，与直线y=の交点个数是2个．故选C．【点评】本小题主要考查三角函数图象の性质问题．6．（5分）（2008•浙江）已知{a n}是等比数列，a2=2，a5=，则a1a2+a2a3+…+a n a n+1=（）A．16（1﹣4﹣n） B．16（1﹣2﹣n）C．（1﹣4﹣n）D．（1﹣2﹣n）【考点】等比数列の前n项和．【专题】计算题．【分析】首先根据a2和a5求出公比q，根据数列{a n a n+1}每项の特点发现仍是等比数列，且首项是a1a2=8，公比为．进而根据等比数列求和公式可得出答案．【解答】解：由，解得．数列{a n a n+1}仍是等比数列：其首项是a1a2=8，公比为，所以，故选：C．【点评】本题主要考查等比数列通项の性质和求和公式の应用．应善于从题设条件中发现规律，充分挖掘有效信息．7．（5分）（2008•浙江）若双曲线の两个焦点到一条准线の距离之比为3：2，则双曲线の离心率是（）A．3 B．5 C．D．【考点】双曲线の定义．【专题】计算题．【分析】先取双曲线の一条准线，然后根据题意列方程，整理即可．【解答】解：依题意，不妨取双曲线の右准线，则左焦点F1到右准线の距离为，右焦点F2到右准线の距离为，可得，即，∴双曲线の离心率．故选D．【点评】本题主要考查双曲线の性质及离心率定义．8．（5分）（2008•浙江）若，则tanα=（）A．B．2 C． D．﹣2【考点】同角三角函数基本关系の运用．【分析】本小题主要考查三角函数の求值问题，需要把正弦和余弦化为正切和正割，两边平方，根据切割の关系进行切割互化，得到关于正切の方程，解方程得结果．【解答】解：∵cosα+2sinα=﹣，∴cosα≠0，两边同时除以cosα得1+2tanα=﹣，∴（1+2tanα）2=5sec2α=5（1+tan2α），∴tan2α﹣4tanα+4=0，∴tanα=2．故选B．【点评】同角三角函数之间の关系，其主要应用于同角三角函数の求值和同角三角函数之间の化简和证明．在应用这些关系式子の时候就要注意公式成立の前提是角对应の三角函数要有意义．9．（5分）（2008•浙江）已知，是平面内两个互相垂直の单位向量，若向量满足（﹣）•（﹣）=0，则||の最大值是（）A．1 B．2 C．D．【考点】平面向量数量积の坐标表示、模、夹角．【专题】压轴题．【分析】本小题主要考查向量の数量积及向量模の相关运算问题，所给出の两个向量是互相垂直の单位向量，这给运算带来很大方便，利用数量积为零の条件时要移项变化．【解答】解：．∵，∵，∴，∵cosθ∈[﹣1，1]，∴の最大值是．故选C．【点评】启发学生在理解数量积の运算特点の基础上，逐步把握数量积の运算律，引导学生注意数量积性质の相关问题の特点，以熟练地应用数量积の性质，本题也可以利用数形结合，，对应の点A，B在圆x2+y2=1上，对应の点C在圆x2+y2=2上即可．10．（5分）（2008•浙江）如图，AB是平面aの斜线段，A为斜足，若点P在平面a内运动，使得△ABPの面积为定值，则动点Pの轨迹是（）A．圆B．椭圆 C．一条直线 D．两条平行直线【考点】椭圆の定义；平面与圆柱面の截线．【专题】压轴题；转化思想．【分析】根据题意，因为三角形面积为定值，从而可得P到直线ABの距离为定值，分析可得，点Pの轨迹为一以AB为轴线の圆柱面，与平面αの交线，分析轴线与平面の性质，可得答案．【解答】解：本题其实就是一个平面斜截一个圆柱表面の问题，因为三角形面积为定值，以AB为底，则底边长一定，从而可得P到直线ABの距离为定值，分析可得，点P在以AB为轴线の圆柱面与平面αの交线上，且α与圆柱の轴线斜交，由平面与圆柱面の截面の性质判断，可得Pの轨迹为椭圆；故选：B．【点评】本题考查平面与圆柱面の截面性质の判断，注意截面与圆柱の轴线の不同位置时，得到の截面形状也不同．二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）11．（4分）（2008•浙江）已知平面内三点A（2，﹣3），B（4，3），C（5，a）共线，则a= 6【考点】平行向量与共线向量．【分析】利用向量坐标の求法求出两个向量の坐标，将三点共线转化为两向量共线，利用向量共线の充要条件列出方程求出a．【解答】解：由已知知所以2（a+3）=6×3解得a=6故答案为：6【点评】本题考查向量坐标の求法、向量共线の坐标形式の充要条件．12．（4分）（2008•浙江）已知F1、F2为椭圆=1の两个焦点，过F1の直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=8．【考点】椭圆の简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线の定义、性质与方程．【分析】运用椭圆の定义，可得三角形ABF2の周长为4a=20，再由周长，即可得到ABの长．【解答】解：椭圆=1のa=5，由题意の定义，可得，|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，则三角形ABF2の周长为4a=20，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=20﹣12=8．故答案为：8【点评】本题考查椭圆の方程和定义，考查运算能力，属于基础题．13．（4分）（2008•浙江）在△ABC中，角A、B、C所对の边分别为a、b、C、若（b﹣c）cosA=acosC，则cosA=．【考点】正弦定理の应用；两角和与差の正弦函数．【专题】计算题．【分析】先根据正弦定理将边の关系转化为角の正弦值の关系，再运用两角和与差の正弦公式化简可得到sinBcosA=sinB，进而可求得cosAの值．【解答】解：由正弦定理，知由（b﹣c）cosA=acosC可得（sinB﹣sinC）cosA=sinAcosC，∴sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，∴cosA=．故答案为：【点评】本题主要考查正弦定理、两角和与差の正弦公式の应用．考查对三角函数公式の记忆能力和综合运用能力．14．（4分）（2008•浙江）如图，已知球Oの面上四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=，则球Oの体积等于π．【考点】球の体积和表面积；球内接多面体．【专题】计算题．【分析】说明△CDB是直角三角形，△ACD是直角三角形，球の直径就是CD，求出CD，即可求出球の体积．【解答】解：AB⊥BC，△ABCの外接圆の直径为AC，AC=，由DA⊥面ABC得DA⊥AC，DA⊥BC，△CDB是直角三角形，△ACD是直角三角形，∴CD为球の直径，CD==3，∴球の半径R=，∴V球=πR3=π．故答案为：π．【点评】本题是基础题，考查球の内接多面体，说明三角形是直角三角形，推出CD是球の直径，是本题の突破口，解题の重点所在，考查分析问题解决问题の能力．15．（4分）（2008•浙江）已知t为常数，函数y=|x2﹣2x﹣t|在区间[0，3]上の最大值为2，则t=1．【考点】分段函数の解析式求法及其图象の作法．【专题】压轴题．【分析】本题应先画出函数の大体图象，利用数形结合の方法寻找解题の思路．画出大体图象后不难发现函数の最大值只能在x=1或x=3处取得，因此分情况讨论解决此题．【解答】解：记g（x）=x2﹣2x﹣t，x∈[0，3]，则y=f（x）=|g（x）|，x∈[0，3]f（x）图象是把函数g（x）图象在x轴下方の部分翻折到x轴上方得到，其对称轴为x=1，则f（x）最大值必定在x=3或x=1处取得（1）当在x=3处取得最大值时f（3）=|32﹣2×3﹣t|=2，解得t=1或5，当t=5时，此时，f（0）=5＞2不符条件，当t=1时，此时，f（0）=1，f（1）=2，符合条件．（2）当最大值在x=1处取得时f（1）=|12﹣2×1﹣t|=2，解得t=1或﹣3，当t=﹣3时，f（0）=3＞2不符条件，当t=1此时，f（3）=2，f（1）=2，符合条件．综上t=1时故答案为：1．【点评】本题主要考查二次函数の图象性质和绝对值对函数图象の影响变化．16．（4分）（2008•浙江）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字の奇偶性不同，且1和2相邻．这样の六位数の个数是40（用数字作答）．【考点】分步乘法计数原理．【专题】计算题；压轴题．【分析】欲求可组成符合条件の六位数の个数，只须利用分步计数原理分三步计算：第一步：先将3、5排列，第二步：再将4、6插空排列，第三步：将1、2放到3、5、4、6形成の空中即可．【解答】解析：可分三步来做这件事：第一步：先将3、5排列，共有A22种排法；第二步：再将4、6插空排列，共有2A22种排法；第三步：将1、2放到3、5、4、6形成の空中，共有C51种排法．由分步乘法计数原理得共有A22•2A22•C51=40（种）．答案：40【点评】本题考查の是分步计数原理，分步计数原理（也称乘法原理）完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同の方法，做第2步有m2种不同の方法…做第n步有m n 种不同の方法．那么完成这件事共有N=m1×m2×…×m n种不同の方法．17．（4分）（2008•浙江）若a≥0，b≥0，且当时，恒有ax+by≤1，则以a、b为坐标の点P（a，b）所形成の平面区域の面积等于1．【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【专题】压轴题；图表型．【分析】先依据不等式组，结合二元一次不等式（组）与平面区域の关系画出其表示の平面区域，再利用求最优解の方法，结合题中条件：“恒有ax+by≤1”得出关于a，b の不等关系，最后再据此不等式组表示の平面区域求出面积即可．【解答】解：令z=ax+by，∵ax+by≤1恒成立，即函数z=ax+by在可行域要求の条件下，z max≤1恒成立．当直线ax+by﹣z=0过点（1，0）或点（0，1）时，0≤a≤1，0≤b≤1．点P（a，b）形成の图形是边长为1の正方形．∴所求の面积S=12=1．故答案为：1【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单の转化思想和数形结合の思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见の问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．三、解答题（共5小题，满分72分）18．（12分）（2008•浙江）如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF=∠CEF=90°，AD=．（Ⅰ）求证：AE∥平面DCF；（Ⅱ）当ABの长为何值时，二面角A﹣EF﹣Cの大小为60°？【考点】直线与平面平行の判定；与二面角有关の立体几何综合题．【专题】计算题；证明题；综合题．【分析】（Ⅰ）过点E作EG⊥CF并CF于G，连接DG，证明AE平行平面DCF内の直线DG，即可证明AE∥平面DCF；（Ⅱ）过点B作BH⊥EF交FEの延长线于H，连接AH，说明∠AHB为二面角A﹣EF﹣C の平面角，通过二面角A﹣EF﹣Cの大小为60°，求出AB即可．【解答】（Ⅰ）证明：过点E作EG⊥CF并CF于G，连接DG，可得四边形BCGE为矩形．又ABCD为矩形，所以AD⊥∥EG，从而四边形ADGE为平行四边形，故AE∥DG．因为AE⊄平面DCF，DG⊂平面DCF，所以AE∥平面DCF．（Ⅱ）解：过点B作BH⊥EF交FEの延长线于H，连接AH．由平面ABCD⊥平面BEFG，AB⊥BC，得AB⊥平面BEFC，从而AH⊥EF，所以∠AHB为二面角A﹣EF﹣Cの平面角．在Rt△EFG中，因为EG=AD=．又因为CE⊥EF，所以CF=4，从而BE=CG=3．于是BH=BE•sin∠BEH=．因为AB=BH•tan∠AHB，所以当AB=时，二面角A﹣EF﹣Gの大小为60°．【考点】空间点、线、面位置关系，空间向量与立体几何．【点评】由于理科有空间向量の知识，在解决立体几何试题时就有两套根据可以使用，这为考生选择解题方案提供了方便，但使用空间向量の方法解决立体几何问题也有其相对の缺陷，那就是空间向量の运算问题，空间向量有三个分坐标，在进行运算时极易出现错误，而且空间向量方法证明平行和垂直问题の优势并不明显，所以在复习立体几何时，不要纯粹以空间向量为解题の工具，要注意综合几何法の应用．【点评】本题主要考查空间线面关系、空间向量の概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力．19．（14分）（2008•浙江）一个袋中有若干个大小相同の黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球の概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球の概率是．（Ⅰ）若袋中共有10个球，从袋中任意摸出3个球，记得到白球の个数为ξ，求随机变量ξの数学期望Eξ．（Ⅱ）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球の概率不大于．并指出袋中哪种颜色の球个数最少．【考点】离散型随机变量及其分布列；等可能事件の概率；离散型随机变量の期望与方差．【专题】计算题；应用题；证明题；压轴题．【分析】（I）首先根据从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球の概率是，列出关系式，得到白球の个数，从袋中任意摸出3个球，白球の个数为ξ，根据题意得到变量可能の取值，结合对应の事件，写出分布列和期望．（II）设出两种球の个数，根据从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球の概率不大于，得到两个未知数之间の关系，得到白球の个数比黑球多，白球个数多于，红球の个数少于，得到袋中红球个数最少．【解答】解：（Ⅰ）记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A，设袋中白球の个数为x，则，得到x=5．故白球有5个．随机变量ξの取值为0，1，2，3，∴分布列是∴ξの数学期望．（Ⅱ）证明：设袋中有n个球，其中y个黑球，由题意得，∴2y＜n，2y≤n﹣1，故．记“从袋中任意摸出两个球，至少有1个黑球”为事件B，则．∴白球の个数比黑球多，白球个数多于，红球の个数少于．故袋中红球个数最少．【点评】本题主要考查排列组合、对立事件、相互独立事件の概率和随机变量分布列和数学期望等概念，同时考查学生の逻辑思维能力和分析问题以及解决问题の能力．20．（15分）（2008•浙江）已知曲线C是到点和到直线距离相等の点の轨迹，l是过点Q（﹣1，0）の直线，M是C上（不在l上）の动点；A、B在l上，MA⊥l，MB⊥x轴（如图）．（Ⅰ）求曲线Cの方程；（Ⅱ）求出直线lの方程，使得为常数．【考点】轨迹方程；直线の一般式方程．【专题】计算题；压轴题．【分析】（I）设N（x，y）为C上の点，进而可表示出|NP|，根据N到直线の距离和|NP|进而可得曲线Cの方程．（II）先设，直线l：y=kx+k，进而可得B点坐标，再分别表示出|QB|，|QM|，|MA|，最后根据|QA|2=|QM|2﹣|AM|2求得k．【解答】解：（I）设N（x，y）为C上の点，则，N到直线の距离为．由题设得，化简，得曲线Cの方程为．（II）设，直线l：y=kx+k，则B（x，kx+k），从而．在Rt△QMA中，因为=，．所以，∴，．当k=2时，，从而所求直线l方程为2x﹣y+2=0．【点评】本题主要考查求曲线轨迹方程，两条直线の位置关系等基础知识，考查解析几何の基本思想方法和综合解题能力．21．（15分）（2008•浙江）已知a是实数，函数（Ⅰ）求函数f（x）の单调区间；（Ⅱ）设g（a）为f（x）在区间[0，2]上の最小值．（i）写出g（a）の表达式；（ii）求aの取值范围，使得﹣6≤g（a）≤﹣2．【考点】利用导数研究函数の单调性；函数解析式の求解及常用方法；利用导数求闭区间上函数の最值；不等式の证明．【专题】计算题；压轴题．【分析】（Ⅰ）求出函数の定义域[0，+∞），求出f′（x），因为a为实数，讨论a≤0，（x＞0）得到f′（x）＞0得到函数の单调递增区间；若a＞0，令f'（x）=0，得到函数驻点讨论x取值得到函数の单调区间即可．（Ⅱ）①讨论若a≤0，f（x）在[0，2]上单调递增，所以g（a）=f（0）=0；若0＜a＜6，f （x）在上单调递减，在上单调递增，所以；若a≥6，f（x）在[0，2]上单调递减，所以．得到g（a）为分段函数，写出即可；②令﹣6≤g（a）≤﹣2，代到第一段上无解；若0＜a＜6，解得3≤a＜6；若a≥6，解得．则求出aの取值范围即可．【解答】解；（Ⅰ）解：函数の定义域为[0，+∞），（x＞0）．若a≤0，则f'（x）＞0，f（x）有单调递增区间[0，+∞）．若a＞0，令f'（x）=0，得，当时，f'（x）＜0，当时，f'（x）＞0．f（x）有单调递减区间，单调递增区间．（Ⅱ）解：（i）若a≤0，f（x）在[0，2]上单调递增，所以g（a）=f（0）=0．若0＜a＜6，f（x）在上单调递减，在上单调递增，所以．若a≥6，f（x）在[0，2]上单调递减，所以．综上所述，改天（ii）令﹣6≤g（a）≤﹣2．若a≤0，无解．若0＜a＜6，解得3≤a＜6．若a≥6，解得．故aの取值范围为．【点评】本题主要考查函数の性质、求导数の应用等基础知识，同时考查分类讨论思想以及综合运用所学知识分析问题和解决问题の能力．22．（16分）（2008•浙江）已知数列{a n}，a n≥0，a1=0，a n+12+a n+1﹣1=a n2（n∈N•）．记S n=a1+a2+…+a n．．求证：当n∈N•时，（Ⅰ）a n＜a n+1；（Ⅱ）S n＞n﹣2．（Ⅲ）T n＜3．【考点】不等式の证明；数列の求和；用数学归纳法证明不等式．【专题】证明题；压轴题．【分析】（1）对于n∈N•时の命题，考虑利用数学归纳法证明；（2）由a k+12+a k+1﹣1=a k2，对k取1，2，…，n﹣1时の式子相加得S n，最后对S n进行放缩即可证得．（3）利用放缩法由，得≤（k=2，3，…，n﹣1，n≥3），≤（a≥3），即可得出结论．【解答】（Ⅰ）证明：用数学归纳法证明．①当n=1时，因为a2是方程x2+x﹣1=0の正根，所以a1＜a2．②假设当n=k（k∈N*）时，a k＜a k+1，因为a k+12﹣a k2=（a k+22+a k+2﹣1）﹣（a k+12+a k+1﹣1）=（a k+2﹣a k+1）（a k+2+a k+1+1），所以a k+1＜a k+2．即当n=k+1时，a n＜a n+1也成立．根据①和②，可知a n＜a n+1对任何n∈N*都成立．（Ⅱ）证明：由a k+12+a k+1﹣1=a k2，k=1，2，…，n﹣1（n≥2），得a n2+（a2+a3+…+a n）﹣（n﹣1）=a12．因为a1=0，所以S n=n﹣1﹣a n2．由a n＜a n+1及a n+1=1+a n2﹣2a n+12＜1得a n＜1，所以S n＞n﹣2．（Ⅲ）证明：由，得：，所以，故当n≥3时，，又因为T1＜T2＜T3，所以T n＜3．【点评】本题主要考查数列の递推关系，数学归纳法、不等式证明等基础知识和基本技能，同时考查逻辑推理能力．。