实变函数期末考试模拟试题

实变函数测试题与答案范本

实变函数测试题与答案范本一、选择题1. 下列函数中，是实变函数的是：A. f(x) = √(x^2 - 1)B. f(x) = log(x)C. f(x) = cos(x)D. f(x) = 1/x答案：C. f(x) = cos(x)2. 设函数 f(x) 的定义域为 (-∞, 4]，则下列函数定义中错误的是：A. f(x) = x^2B. f(x) = √(4 - x)C. f(x) = 1/(x - 3)D. f(x) = 2^x答案：C. f(x) = 1/(x - 3)3. 函数 f(x) = |x - 2| 的图像在 x = 2 处是否存在间断点？A. 存在间断点B. 不存在间断点答案：B. 不存在间断点二、计算题1. 求函数 f(x) = x^3 + 2x^2 - x 的零点。

解答：将 f(x) = 0，得到方程 x^3 + 2x^2 - x = 0。

对该方程进行因式分解得：x(x + 1)(x - 1) = 0。

解得 x = 0，x = -1，x = 1 为函数 f(x) 的零点。

2. 计算函数 f(x) = log(x^2 + 3x) 的导数。

解答：对 f(x) = log(x^2 + 3x) 进行求导。

使用链式法则，有 f'(x) = [1/(x^2 + 3x)] * (2x + 3)。

化简得到：f'(x) = (2x + 3)/(x^2 + 3x)。

三、证明题证明：若函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续且单调递增，那么 f(x) 在 [a, b] 上存在唯一的反函数。

解答：首先证明 f(x) 在 [a, b] 上是单射。

假设存在x1 ≠ x2，但 f(x1) = f(x2)。

由于 f(x) 在 [a, b] 上单调递增，可推出x1 ≠ x2，矛盾。

因此，f(x)在 [a, b] 上是单射。

接下来证明 f(x) 在 [a, b] 上是满射。

由于 f(x) 在 [a, b] 上连续，根据介值定理，f(x) 在 [a, b] 上取得最大值 M 和最小值 m。

实变函数测试题与答案

实变函数测试题与答案实变函数测试题⼀，填空题1. 设1,2n A n ??=, 1,2n =, 则lim nn A →∞= .2. ()(),,a b -∞+∞,因为存在两个集合之间的⼀⼀映射为.3. 设E是2R 中函数1c o s ,00,0xy x x ?≠?=?? =?的图形上的点所组成的集合，则E '= ，E ?= .4. 若集合nE R ?满⾜E E '?, 则E 为集.5. 若(),αβ是直线上开集G 的⼀个构成区间, 则(),αβ满⾜: , .6. 设E 使闭区间[],a b 中的全体⽆理数集, 则mE = .7. 若()n mE f x →()0f x ??=?, 则说{}()n f x 在E 上.8. 设nE R ?, 0n x R ∈,若 ,则称0x 是E 的聚点.9. 设{}()n f x 是E 上⼏乎处处有限的可测函数列,, 则称{}()n f x 在E 上依测度收敛于()f x .10. 设()()n f x f x ?,x E∈, 则{}()n f x 的⼦列{}()jn fx , 使得.⼆, 判断题. 正确的证明, 错误的举反例. 1. 若,A B 可测, A B ?且A B ≠,则mA mB <.2. 设E 为点集, P E ?, 则P 是E 的外点.3. 点集11,2,,E n=是闭集. 4. 任意多个闭集的并集是闭集.5. 若n ER ?,满⾜*m E =+∞, 则E 为⽆限集合.三, 计算证明题 1. 证明:()()()A B C A B A C --=-2. 设M 是3R 空间中以有理点(即坐标都是有理数)为中⼼, 有理数为半径的球的全体, 证明M 为可数集. 3. 设n E R ?,i E B ?且i B 为可测集, 1,2i =.根据题意, 若有2ln 1,(),0,1x x P f x x x P ?+ ∈?=? ∈-??. 求1(L)()f x dx ?.5. 设函数()f x 在Cantor 集0P 中点x 上取值为3 x , ⽽在0P 的余集中长为13n的构成区间上取值为16n , ()1,2n =, 求10()f x dx ?.6. 求极限: 13230lim(R)sin 1n nx nxdx n x →∞+?.实变函数试题解答⼀填空题 1.[]0,2.2. ()()()tan ,,.2x x a x a b b aππ=--∈??-??3.{}1(,)cos ,0(0,)1x y y x y y x ??=≠≤??; ?.4. 闭集.5. (),.,.G G G αβαβ? ? ?6.7. ⼏乎处处收敛于()f x 或 a.e.收敛于()f x .8. 对000,(,)U x δδ?> 有{}()0E x -=?.9.lim ()()0n n mE f x f x σ→∞-≥= 10.()()n f x f x → a.e.于E .⼆判断题 1. F . 例如, (0,1)A =, []0,1B =, 则A B ?且A B ≠,但1mA mB ==. 2. F . 例如, 0(0,1)?, 但0不是(0,1)的外点.3. F . 由于{}0E E '=.4. F . 例如, 在1R 中, 11,1n F nn ??=-, 3,4n =是⼀系列的闭集, 但是3(0,1)n n F ∞==不是闭集.5. T . 因为若E 为有界集合, 则存在有限区间I ,I <+∞, 使得E I ?, 则**,m E m I I ≤=<+∞ 于*m E =+∞ .三, 计算证明题. 1. 证明如下:()()()()()()()()SSS S S A B C A B CAB C A B C A B A C A B A C --=- = = = =-2. M 中任何⼀个元素可以由球⼼(,,)x y z , 半径为r 唯⼀确定, x ,y , z 跑遍所有的r 跑遍所有的有理数. 因为有理数集于正有理数集为可数集都是可数集, 故M 为可数集. 3. 令1i i BB ∞==, 则i E B B ??且B 为可测集, 于是对于i ?, 都有i B E B E -?-, 故()()**0i m B E m B E ≤-≤-,令i →∞, 得到()*0m B E -=, 故B E -可测. 从⽽()E B B E =--可测. 4. 已知0mP =, 令[]0,1G P = -, 则()1320221130(L)()(L)ln 1(L)(L)()(L)(L)(R)()133PGGPGf x dx x dx x dxf x dxx dx x dxf x dxx=++ =0+ =+ = ==.5. 将积分区间[]0,1分为两两不相交的集合: 0P , 1G , 2G , 其中0P 为Cantor 集,n G 是0P 的余集中⼀切长为1n的构成区间(共有12n -个)之并. 由L 积分的可数可加性,并且注意到题中的00mP =, 可得101111111()()()()()1()61126631112916nn P G P G n n P G n n n n n nn n n n f x dx f x dx f x dxf x dx f x dxf x dx dxmG ∞=∞=∞=-∞∞==∞==+ =+ =+ =0+=? =?=∑∑?∑∑∑6. 因为323sin 1nx nx n x +在[]0,1上连续, 13 230(R)sin 1nx nxdx n x+?存在且与13230(L)sin 1nx nxdx n x+?的值相等. 易知 32232323211sin .11122nx nx nx nx n x n x n x x x≤≤?≤+++ 由于12x在()0,1上⾮负可测，且⼴义积分112dx x收敛，则12x在()0,1上(L)可积，由于323lim sin 01n nx nx n x →∞=+， ()0,1x ∈，于是根据勒贝格控制收敛定理，得到1133232300132301lim(R)sin lim(L)sin 11lim sin 100n n n nx nx nxdx nxdx n x n x nx nx dxn x dx →∞→∞→∞=++?? = ?+?? ==.。

实变函数模拟试题

《实变函数》模拟试题(适用于高师函授数学与应用数学专业专科起点本科学生，闭卷考试时间120分钟)得分阅卷人一、选择题 (共10题，每题3分，共30分)1.设Q 是R 中有理数的全体，则在R 中Q 的导集Q '是【】 (A) Q(B) φ (C) R (D)Q R -2.设{}n F 是一列闭集， ∞==1n n F F ，则F 一定是【】(A)开集 (B)闭集 (C) δG 型集 (D) σF 型集3.设E 是R 中有理数全体，则=mE 【】 (A) 0(B)1 (C)＋∞(D)-∞4.下面哪些集合的并组成整个集合的点【】 (A) 内点，界点，聚点 (B) 内点，界点，孤立点 (C) 孤立点，界点，外点(D) 孤立点，聚点，外点5.设P 是Cantor 集，则【】 (A) P 与n R 对等，且P 的测度为0 (B) P 与n R 对等，且P 的测度为1 (C) P 与n R 不对等，P 的测度为0 (D) P 与n R 不对等，P 的测度为16. 设)(x f 与)(x g 在E 上可测，则[]g f E ≥是【】 (A) 可测集 (B) 不可测集 (C)空集 (D) 无法判定7. 设)(x f 在可测集E 上有定义，{}n x f x f n ),(min )(=，则)(x f n 是【】 (A) 单调递增函数列 (B) 单调递减函数列 (C) 可积函数列(D) 连续函数列8. 设E 是任一可测集，则【】(A) E 是开集 (B) E 是闭集 (C) E 是完备集 (D) 对任意0>ε，存在开集E G ⊃，使ε<-)(E G m9．设⎩⎨⎧-∈+∈=QQ ]1,0[21]1,0[2sin )(x,x x,x x f ，则=⎰]10[,f (x )d x 【】(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 410．设{}n f 是E 上一列几乎处处有限的可测函数，若对任意0>σ，有下面条件成立，则{})(x f n 依测度收敛于)(x f ．【】 (A) []0)()(lim >≥-∞→σx f x f mE n n (B) []0)()(lim <≥-∞→σx f x f mE n n(C) []0)()(lim ==-∞→σx f x f mE n n (D) []0)()(lim =≥-∞→σx f x f mE n n得分阅卷人二、定理叙述题(共2题，每题5分，共10分)1.鲁津定理2.Fatou 引理得分阅卷人三、判断改正题(正确的打对号，错误的打错号并改正，共5题，每题4分，共20分)1. 若E 与它的真子集对等，则E 一定是有限集．【】2. 凡非负可测函数都是L 可积的．【】3.设A 为1R 空间中一非空集，若.a A ≤'则.a A ≤ 【】4.设E 为可测集，则存在δG 型集F ，使得E F ⊂，且0)(=-F E m ．【】5.)(x f 在[]b a ,上L 可积，则)(x f 在[]b a ,R 可积且[]⎰⎰=b a badx x f R dx x f L ,)()()()(【】得分阅卷人四、证明题(共4题，每题10分，共40分)1.开集减闭集后的差集为开集，闭集减开集后的差集为闭集．2.n R 上全体有理数点集的外测度为零．3.设函数列}{n f 在E 上依测度收敛f ，且h f n ≤e a .于E ，则h f ≤e a .于E ．4.设)(x f 在[]εε+-b a ,上可积，则0)()(lim 0=-+⎰→dx x f t x f bat ．。

《实变函数》试卷及参考答案

《实变函数》试卷及参考答案《实变函数》试卷一一、单项选择题(3分×5=15分)1、1、下列各式正确的是( ),,,,limAA,,,limAA,,,(A); (B); nknk,,,,nnkn11nknn,,,,,,,,limAA,,,limAA,,,(C); (D); nknk,,,,nnkn1,,nkn1,,n2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是( ),'P,mP,0(A) c (B) (C) (D) P,PP,P3、下列说法不正确的是( ) (A) 凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 (D)波雷耳集都可测fx()E是上的有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) 4、设ae..,,n sup()fxfxfx()(),fxfx()(),(A)若, 则 (B) 是可测函数 ,,nnnnfxfx()(), (C)是可测函数;(D)若,则可测 inf()fxfx(),,nnn5、设f(x)是上有界变差函数，则下面不成立的是( ) [a,b](A) 在上有界 (B) 在上几乎处处存在导数 f(x)[a,b]f(x)[a,b]b'f'(x)dx,f(b),f(a)f(x)(C)在上L可积 (D) [a,b],a二. 填空题(3分×5=15分)()(())CACBAAB,,,,,1、_________ sso'E0,12、设是上有理点全体，则=______,=______,=______. EEE,, nET3、设是中点集，如果对任一点集都有R1 (第页，共47页)EL_________________________________，则称是可测的、可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数. 4f(x)(填“充分”，“必要”，“充要”)ab,ab,5、设为上的有限函数，如果对于的一切分划，使fx(),,,,ab,______________________,则称为上的有界变差函数。

实变函数期末考试题库

《实变函数》期末考试试题汇编目录《实变函数》期末考试模拟试题（一） (2)《实变函数》期末考试模拟试题（二） (7)《实变函数》期末考试模拟试题（三） (13)《实变函数》期末考试模拟试题（四） (18)《实变函数》期末考试模拟试题（五） (27)《实变函数》期末考试模拟试题（六） (30)《实变函数》期末考试模拟试题（七） (32)《实变函数》期末考试模拟试题（八） (36)《实变函数》期末考试模拟试题（九） (41)《实变函数》期末考试模拟试题（十） (47)《实变函数》期末考试题（一） (57)《实变函数》期末考试题（二） (63)《实变函数》期末考试模拟试题（一）（含解答）一、选择题（单选题）1、下列集合关系成立的是（ A ）（A ）(\)A B B A B ⋃=⋃ （B ）(\)A B B A ⋃= （C ）(\)B A A A ⋃⊆ （D ）(\)B A A ⊆ 2、若n E R ⊂是开集，则（ B ）（A ）E E '⊂ （B ）E 的内部E = （C ）E E = （D ）E E '= 3、设P 是康托集，则（ C ）（A ）P 是可数集（B ）P 是开集（C ）0mP = （D ）1mP = 4、设E 是1R 中的可测集，()x ϕ是E 上的简单函数，则（ D ）（A ）()x ϕ是E 上的连续函数（B ）()x ϕ是E 上的单调函数（C ）()x ϕ在E 上一定不L 可积（D ）()x ϕ是E 上的可测函数5、设E 是n R 中的可测集，()f x 为E 上的可测函数，若()d 0Ef x x =⎰，则（ A ）（A ）在E 上，()f z 不一定恒为零（B ）在E 上，()0f z ≥ （C ）在E 上，()0f z ≡ （D ）在E 上，()0f z ≠ 二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案） 1、设E 是[0,1]中的无理点全体，则（C 、D ）（A ）E 是可数集（B ）E 是闭集（C ）E 中的每一点都是聚点（D ）0mE > 2、若1E R ⊂至少有一个内点，则（ B 、D ）（A ）*m E 可以等于零（B ）*0m E > （C ）E 可能是可数集（D ）E 是不可数集3、设[,]E a b ⊂是可测集，则E 的特征函数()E X x 是（A 、B 、C ）（A ）[,]a b 上的简单函数（B ）[,]a b 上的可测函数（C ）E 上的连续函数（D ）[,]a b 上的连续函数4、设()f x 在可测集E 上L 可积，则（ B 、D ）（A ）()f z +和()f z -有且仅有一个在E 上L 可积（B ）()f z +和()f z -都在E 上L 可积（C ）()f z 在E 上不一定L 可积（D ）()f z 在E 上一定L 可积5、设()f z 是[,]a b 的单调函数，则（ A 、C 、D ）（A ）()f z 是[,]a b 的有界变差函数（B ）()f z 是[,]a b 的绝对连续函数（C ）()f z 在[,]a b 上几乎处处连续（D ）()f z 在[,]a b 上几乎处处可导三、填空题（将正确的答案填在横线上）1、设X 为全集，A ，B 为X 的两个子集，则\A B=C A B ⋂ 。

实变函数测试题_参考答案

实变函数测试题1本试题参考答案由08统计班15号李维提供有问题联系151********1、设 212(0,1/),(0,),0,1,2...,n n A n A n n -===n 求出集列{A }的上限集和下限集合。

解：()∞=∞→,0lim n n A ；设()∞∈,0x .则存在N.使x N <.因此n N >时.0x n <<.即n A x 2∈.所以x 属于下标比N 大的一切偶指标集.从而x 属于无限多n A .得n n A x ∞→∈lim 又显然()∞⊂∞→,0lim n n A .所以()∞=∞→,0lim n n A 。

φ=∞→n n A lim ；若有n n A x ∞→∈lim .则存在 A.使任意n N >,有n A x ∈。

因此若21n N->时.12-∈n A x .即10x n <<.令∞→n 得00x <≤.此不可能.所以φ=∞→n n A lim 。

2、证明：()f x 为[,]a b 上连续函数的充分必要条件是对任意实数c .集{}()E x f x c =≥和{}1()E x f x c =≤都是闭集。

证明：必要性：若()f x 是[],a b 上连续函数.由第二章习题8可知1E 和E 是闭集。

充分性：若1E 和E 都是闭集。

若有[]0,x a b ∈.()f x 在0x 点不连续。

则存在()()00000,,n n x x f x f x εε>→≥+.或()()00ε-≤x f x f n .不妨设出现第一种情况。

令()00ε+=x f c .则(){}c x f x E x n ≥=∈.而E x ∉0（因为c x f x f =+<000)()(ε）.此与E 是闭集相矛盾。

所以()f x 在[],a b 上是连续的。

证毕。

3、设nR E ⊂是任意可测集.则一定存在可测集δG 型集G.使得EG ⊃,且()0=-E G m3．由外侧度定义.对任意正整数n .存在开集E G n ⊃,使n E G m n 1)(<-.令 ∞==1n n G G .则G 为δG 型集.E G ⊃且 2,1,1)()(=<-≤-n nE G m E G m n 故0)(=-E G m 。

实变函数(复习资料,带答案)

---《实变函数》试卷一一、单项选择题（ 3 分×5=15 分）1、下列各式正确的是（）（ A） lim A n A k ;（B） lim A nn 1 k n A k ;n n 1 k n n（ C） lim A n A k ;（ D） lim A nn 1 k A k ;n n 1 k n n n2、设 P 为 Cantor 集，则下列各式不成立的是（）（A）P c (B)mP 0(C)P'P(D)P P3、下列说法不正确的是（）(A)凡外侧度为零的集合都可测（ B）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集（D）波雷耳集都可测4、设f n ( x) 是 E 上的a.e.有限的可测函数列 , 则下面不成立的是()（A）若f n(x) f ( x) ,则f n( x) f ( x)(B)sup f n ( x) 是可测函数（C）inf f n (x) 是可测函数 ; （ D）若n nf n (x) f (x) ,则 f (x) 可测5、设 f(x) 是[ a,b]上有界变差函数，则下面不成立的是（）(A) f (x) 在 [ a, b] 上有界(B)f ( x) 在 [ a,b] 上几乎处处存在导数（C）f'( x)在[ a, b]上 L 可积 (D)bf '(x)dx f (b) f (a)a二.填空题 (3 分× 5=15 分 )1、(C s A C s B) ( A ( A B))_________2、设 E 是 0,1 上有理点全体，则oE' =______, E =______, E =______.3、设 E 是 R n中点集，如果对任一点集T 都，则称 E是L可测的4、f ( x)可测的 ________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数 . （填“充分”，“必要”，“充要”）5、设f (x)为 a, b 上的有限函数，如果对于a, b 的一切分划，使_____________________________________则,称f ( x)为a, b 上的有界变差函数。

(完整版)实变函数期末考试卷A及参考答卷

2011—2012学年第1学期数计学院09级数学与应用数学专业(1、2班)《实变函数》期末考试卷（A）考生考试诚信承诺书在我填写考生信息后，表示我已阅读和理解《龙岩学院考试纪律与违纪处分办法》的有关规定，承诺在考试中自觉遵规守纪，如有违反将接受处理；我保证在本科目考试中，本人所提供的个人信息是真实、准确的。

考生签名：实变函数期末考试卷(A )2009级本科1、2班用考试时间2012年01月 04日一填空题（每小题3分，满分24分） 1 我们将定义在可测集qE ⊂上的所有L 可测函数所成的集合记为()M E .任取()f M E ∈，都可以确定两个非负可测函数：()()()(),0,0,0.f x x E f fx x E f +∈>⎧=⎨∈≤⎩当时当时和()()()()0,0,,0.x E f fx f x x E f -∈>⎧=⎨-∈≤⎩当时当时分别称为f 的正部和负部。

请你写出()()(),,f x fx f x +-和()f x 之间的关系：()f x =，()f x =。

2 上题()M E 中有些元素ϕ被称为非负简单函数，指的是：12k E E E E =是有限个互不相交的可测集的并集，在i E 上()i x c ϕ≡（非负常数）（1,2,,i k =）.ϕ在E 上的L 积分定义为：()Ex dx ϕ=⎰，这个积分值可能落在区间中，但只有当时才能说ϕ是L 可积的。

3 若()f M E ∈是非负函数，则它的L 积分定义为：()Ef x dx =⎰，这个积分值可能落在区间中，但只有当时才能说f 是L 可积的。

4 ()M E 中的一般元素f 称为是积分确定的，如果f +和f -，即()Efx dx +⎰和()E f x dx -⎰的值；但只有当时才能说f 是L 可积的，这时将它的积分定义为：()Ef x dx =⎰。

5 从()M E 中取出一个非负函数列(){}n f x ，则法图引理的结论是不等式：；如果再添上条件和就试卷共 8 页第 2 页得到列维定理的结论：。

实变函数期末考试卷A卷资料

（3）因为 xnxnxxnnxnxxnnx2121sin121222132221)(xF 显然)(xF在]1,0[上可积。于是由Lebesgue控制收敛定理，有 0sin1)(limsin1)(lim10322211032221dxnxxnnxLdxnxxnnxRnn 2. 设为有理数，的无理数；为小于的无理数为大于xxxxxxf,01,;1,)(2试计算]2,0[)(dxxf。解：因为有理数集的测度为零，所以 2)(xxf ..ea 于]1,0[， xxf)( ..ea 于]2,1[。于是 ]2,1[]1,0[]2,0[)()()(dxxfdxxfdxxf dxxdxx211026112331 四、证明题（每题8分，共40分） 1. 证明：)()(11nnnnAAAA
Hale Waihona Puke 实变函数一、判断题（每题2分，共20分） 1.若A是B的真子集，则必有BA。（×） 2.必有比a小的基数。（√） 3.一个点不是E的聚点必不是E的内点。（√） 4.无限个开集的交必是开集。（×） 5.若E，则0*Em。（×） 6.任何集nRE都有外测度。（√） 7.两集合的基数相等，则它们的外测度相等。（×） 8.可测集的所有子集都可测。（×） 9.若)(xf在可测集E上可测，则)(xf在E的任意子集上也可测。（×） 10.)(xf在E上可积必积分存在。（×） 1.设E为点集，EP，则P是E的外点.（ × ） 2.不可数个闭集的交集仍是闭集. （ × ） 3.设nE是一列可测集,且1,1,2,,nnEEn则1()lim().nnnnmEmE（× ） 4.单调集列一定收敛. （√ ） 5.若()fx在E上可测,则存在F型集,()0FEmEF,()fx在F上连续.（ × ）
证明：)(1nnAA(AnnA1c) )(1cnnAA =)(1cnnAA )(1nnAA 2. 设M是直线上一族两两互不相交的非空开区间组成的集合，证明M是至多可列集。证明：由有理数集的稠密性可知，每一个开区间中至少有一个有理数，从每个开区间中取定一个有理数，组成一个集合A。因为这些开区间是互不相交的，所以此有理数集A与开区间组成的集合M是一一对应的。则A是有理数集的子集，故至多可列，所以M也是至多可列集。 3. 证明：若0Em，则E为可测集。证明：对任意点集T，显然成立着 )()(cETmETmTm。另一方面，因为0Em，而EET，所以EmETm)(，于是)(ETm0。又因为cETT，所以)(cETmTm，从而 )()(cETmETmTm。总之，)()(cETmETmTm。故E是可测集。 4. 可测集E上的函数)(xf为可测函数充分必要条件是对任何有理数r，集合])([rxfE是可测集。

实变函数期末考试题

上单调函数的不连续点所成之集的测度等于n上的广11 ()k E f ak∞=≥+=_________.7．设f是[a上的单调函数，则8．设f是可测集E上的非负可测函数，则_________.9．区间[上的有界是10．设F (x)是定义在的充要条件是：1jk j k A∞∞==； B.1jk j kA∞∞==C.1lim k j k k j kA A ∞∞→∞===； D. 1lim k j k k j kA A ∞∞→∞===。

2．设f (x )是E 上的可测函数，则对任意实数a ，有 ( )A. E [x ; f (x ) >a ]是开集；B. E [x ; f (x ) ≥ a ]是闭集；C. E [x ; f (x ) >a ]是可测集；D. E [x ; f (x ) = a ]是零测集。

3．下列断言中错误的是 ( )A. 有理点集为零测集；B. Cantor 集为零测集；C. 零测集的子集是零测集；D. 无穷个零测集的并是零测集。

4．设f (x )为可测集E 上的可测函数，若()Ef x dx <+∞⎰，则下列断言错误的是 ( )A. f (x )在E 上L-积分存在；B. f (x )在E 上L-可积；C. f (x )在E 上未必L-可积；D. f (x )在E 上a.e.有限。

5．设{}k f 是nE ⊂上的可测函数列，lim ()k k f x →∞存在，则lim ()k k f x →∞是（）A.简单函数；B.连续函数；C.可测函数；D.单调函数。

6．设f 是[,]a b 上有界变差函数，则有 ( )A. ()f x 连续；B. ()f x '存在；C ．()f x ' a.e.存在；D. ()f x ''存在。

7．设E 是可测集，A 是不可测集，0mE =，则E A 是（）.A 可测集且测度为零； .B 可测集但测度未必为零； .C 不可测集； .D 以上都不对。

(完整版)实变函数期末考试卷A及参考答卷

2011—2012学年第1学期数计学院09级数学与应用数学专业(1、2班)《实变函数》期末考试卷（A）考生考试诚信承诺书在我填写考生信息后，表示我已阅读和理解《龙岩学院考试纪律与违纪处分办法》的有关规定，承诺在考试中自觉遵规守纪，如有违反将接受处理；我保证在本科目考试中，本人所提供的个人信息是真实、准确的。

考生签名：实变函数期末考试卷(A )2009级本科1、2班用考试时间2012年01月 04日一填空题（每小题3分，满分24分） 1 我们将定义在可测集qE ⊂上的所有L 可测函数所成的集合记为()M E .任取()f M E ∈，都可以确定两个非负可测函数：()()()(),0,0,0.f x x E f fx x E f +∈>⎧=⎨∈≤⎩当时当时和()()()()0,0,,0.x E f fx f x x E f -∈>⎧=⎨-∈≤⎩当时当时分别称为f 的正部和负部。

请你写出()()(),,f x fx f x +-和()f x 之间的关系：()f x =，()f x =。

2 上题()M E 中有些元素ϕ被称为非负简单函数，指的是：12k E E E E =是有限个互不相交的可测集的并集，在i E 上()i x c ϕ≡（非负常数）（1,2,,i k =）.ϕ在E 上的L 积分定义为：()Ex dx ϕ=⎰，这个积分值可能落在区间中，但只有当时才能说ϕ是L 可积的。

3 若()f M E ∈是非负函数，则它的L 积分定义为：()Ef x dx =⎰，这个积分值可能落在区间中，但只有当时才能说f 是L 可积的。

4 ()M E 中的一般元素f 称为是积分确定的，如果f +和f -，即()Efx dx +⎰和()E f x dx -⎰的值；但只有当时才能说f 是L 可积的，这时将它的积分定义为：()Ef x dx =⎰。

5 从()M E 中取出一个非负函数列(){}n f x ，则法图引理的结论是不等式：；如果再添上条件和就试卷共 8 页第 2 页得到列维定理的结论：。

(完整版)实变函数期末复习

实变函数期末复习选择题1．设,...,],)(,[21121=-+=n nA nn 则（） A.],[lim 10=∞→n n A B.],(lim 10=∞→n n A C.],(lim 30=∞→n n A D.),(lim 30=∞→n n A2.设N i i x i x A i ∈+≤≤=},:{23，则=∞=I 1i i A （） A.（-1,1） B.[0,1] C.∅ D.{0}3.集合E 的全体聚点所组成的集合称为E 的（）A.开集B.边界C.导集D.闭包4.若}{n A 是一闭集列，则Y ∞=1n n A是（）A.开集B.闭集C.既非开集又非闭集D.无法判断5若)(x f 可测，则它必是（）A.连续函数B.单调函数C.简单函数D.简单函数列的极限 6关于简单函数与可测函数下述结论不正确的是（）A.简单函数一定是可测函数B.简单函数列的极限是可测函数C.简单函数与可测函数是同一概念D.简单函数列的极限与可测函数是同一概念7设)(x f 是可测集E 上的非负可测函数，则)(x f （）A.必可积B.必几乎处处有限C.必积分确定D.不一定积分确定8设E 是可测集，则下列结论中正确的是（）A.若)}({x f n 在E 上a.e 收敛于一个a.e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n 一致收敛于)(x fB.若)}({x f n 在E 上基本上一致收敛于)(x f ，则)(x f n a.e 收敛于)(x fC.若)}({x f n 在E 上a.e 收敛于一个a.e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n 基本上一致收敛于)(x fD.若)}({x f n 在E 上a.e 收敛于一个a.e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n ⇒)(x f9设)(x f 是可测集E 上可积，则在E 上（）A.）（x f +与)(x f - 只有一个可积B.）（x f +与)(x f - 皆可积C.）（x f +与)(x f - 一定不可积D.）（x f +与)(x f - 至少有一个可积 10.)(x f 在可测集E 上)(L 可积的必要条件是，)(x f 为（）A 、连续函数B 、几乎处处连续函数C 、单调函数D 、几乎处处有限的可测函数11设)(x D 为狄立克雷函数，则⎰=10)()(dx x D L （）A 、 0B 、 1C 、1/2D 、不存在 12设}{nE 是一列可测集，ΛΛ⊃⊃⊃⊃n E E E 21，且+∞<1mE ，则有（）（A ）n n n n mE E m ∞→∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛⋂lim 1 (B) n n n n mE E m ∞→∞=≤⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃lim 1 （C ）n n n n mE E m ∞→∞=<⎪⎭⎫ ⎝⎛⋂lim 1; （D ）以上都不对 13设),0(n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim( ) A 、Φ B 、[0, n] C 、R D 、(0, ∞)14设)1,0(n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、(0, 1)B 、(0, n1) C 、{0} D 、Φ、填空题1、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A =n, 则B =2、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A 是一可数集, 则B =3、若c A =, c B =, 则=⋃B A4、若c A =, B 是一可数集, 则=⋃B A5、若c A =, n B =, 则=⋃B A6、若}{n A 是一集合列, 且c A n =, =⋃∞=n n A 1 7、设}{i S 是一列递增的可测集合，则=∞→)lim (n n S m _______。

实变函数测试题与答案

实变函数测试题与答案实变函数测试题一、填空题1.设 $A_n=\begin{pmatrix} 1/n \\ 1/(n+1) \\ \cdots \\ 1/(2n) \end{pmatrix}$，则 $\lim\limits_{n\to\infty}A_n=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \cdots \\ 0 \end{pmatrix}$。

2.$(a,b)$ 与 $(-\infty,+\infty)$ 之间存在两个集合之间的一一映射，因此它们的基数相同。

3.设 $E$ 是函数 $y=f(x)$ 的图形上的点所组成的集合，则$E=\{(x,f(x)):x\in\mathbb{R}\}$。

4.若集合 $E\subset\mathbb{R}$ 满足 $E'\subset E$，则$E$ 是闭集。

5.若 $(\alpha,\beta)$ 是直线上开集 $G$ 的一个构成区间，则 $(\alpha,\beta)$ 是连通集。

6.设 $E$ 是闭区间 $[a,b]$ 中的全体无理数集，则$m(E)=b-a$。

7.若 $\{f_n(x)\}$ 在 $E$ 上几乎处处有限且可测，$f(x)$ 在 $E$ 上几乎处处有限且可测，并且$\lim\limits_{n\to\infty} f_n(x)=f(x)$，则 $\{f_n(x)\}$ 在 $E$ 上依测度收敛于 $f(x)$。

8.XXX{R}$，$x$ 是 $E$ 的聚点，$f(x)$ 是实变函数，则存在 $\{x_n\}\subset E$，使得 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x$ 且 $\lim\limits_{n\to\infty} f(x_n)$ 存在。

9.若 $\{f_n(x)\}$ 在 $E$ 上几乎处处有限且可测，$f(x)$ 在 $E$ 上几乎处处有限且可测，并且对于任意$\sigma>0$，都有 $\lim\limits_{n\to\infty} m\{x\in E:|f_n(x)-f(x)|\geq\sigma\}=0$，则 $\{f_n(x)\}$ 在 $E$ 上依测度收敛于$f(x)$。

实变函数期末考试卷A卷

实变函数期末考试卷A 卷一、判断题（每题2分，共20分）1.若A 是B 的真子集，则必有B A <。

（×）2.必有比a 小的基数。

（√）3.一个点不是E 的聚点必不是E 的内点。

（√）4.无限个开集的交必是开集。

（×）5.若φ≠E ，则0*>E m 。

（×）6.任何集nR E ⊂都有外测度。

（√） 7.两集合的基数相等，则它们的外测度相等。

（×） 8.可测集的所有子集都可测。

（×） 9.若)(x f 在可测集E 上可测，则)(x f 在E 的任意子集上也可测。

（×） 10.)(x f 在E 上可积必积分存在。

（×） 1.设E 为点集，E P ∉，则P 是E 的外点.（ × ）2.不可数个闭集的交集仍是闭集. （ × ）3.设{}n E 是一列可测集,且1,1,2,,n n E E n +⊂=则1()lim ().n n n n m E m E ∞→∞==（× ） 4.单调集列一定收敛. （√ ）5.若()f x 在E 上可测,则存在Fσ型集,()0F E m E F ⊂-=,()f x 在F 上连续.（ × ）二、填空题（每空2分，共20分）1.设B 是1R 中无理数集，则=B c 。

2.设1,1,,31,21,1R n A ⊂⎭⎬⎫⎩⎨⎧= ，则=0A φ ，='A }0{ 。

3.设,2,1,0),11,11(=++-=n n n A n ，则=⋃∞=n n A 0 )1,1(- ，=⋂∞=n n A 1 }0{ 。

4.有界变差函数的不连续点构成的点集是至多可列集。

5.设E 是]1,0[上的Cantor 集，则=mE 0 。

6.设A 是闭集，B 是开集，则B A \是闭集。

7.闭区间],[b a 上的有界函数)(x f Rimann 可积的充要条件是 )(x f 是],[b a 上的几乎处处的连续函数。

实变函数模拟试题

《实变函数》模拟试题(适用于高师函授数学与应用数学专业专科起点本科学生，闭卷考试时间120分钟)得分阅卷人一、选择题 (共10题，每题3分，共30分)1.设Q 是R 中有理数的全体，则在R 中Q 的导集Q '是【】(A) Q (B) φ (C) R (D)Q R -2.设{}n F 是一列闭集， ∞==1n n F F ，则F 一定是【】(A)开集 (B)闭集 (C) δG 型集 (D) σF 型集3.设E 是R 中有理数全体，则=mE 【】(A) 0 (B)1 (C)＋∞ (D)-∞4.下面哪些集合的并组成整个集合的点【】(A) 内点，界点，聚点 (B) 内点，界点，孤立点(C) 孤立点，界点，外点 (D) 孤立点，聚点，外点5.设P 是Cantor 集，则【】(A) P 与n R 对等，且P 的测度为0 (B) P 与n R 对等，且P 的测度为1(C) P 与n R 不对等，P 的测度为0 (D) P 与n R 不对等，P 的测度为16. 设)(x f 与)(x g 在E 上可测，则[]g f E ≥是【】(A) 可测集 (B) 不可测集 (C)空集 (D) 无法判定7. 设)(x f 在可测集E 上有定义，{}n x f x f n ),(m in )(=，则)(x f n 是【】(A) 单调递增函数列(B) 单调递减函数列 (C) 可积函数列 (D) 连续函数列8. 设E 是任一可测集，则【】(A) E 是开集 (B) E 是闭集 (C) E 是完备集(D) 对任意0>ε，存在开集E G ⊃，使ε<-)(E G m9．设⎩⎨⎧-∈+∈=QQ ]1,0[21]1,0[2sin )(x,x x,x x f ，则=⎰]10[,f(x )d x 【】 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 410．设{}n f 是E 上一列几乎处处有限的可测函数，若对任意0>σ，有下面条件成立，则{})(x f n 依测度收敛于)(x f ．【】(A) []0)()(lim >≥-∞→σx f x f mE n n (B) []0)()(lim <≥-∞→σx f x f mE n n (C) []0)()(lim ==-∞→σx f x f mE n n (D) []0)()(lim =≥-∞→σx f x f mE n n 得分阅卷人二、定理叙述题(共2题，每题5分，共10分)1.鲁津定理2.Fatou 引理得分阅卷人三、判断改正题(正确的打对号，错误的打错号并改正，共5题，每题4分，共20分)1. 若E 与它的真子集对等，则E 一定是有限集．【】2. 凡非负可测函数都是L 可积的．【】3.设A 为1R 空间中一非空集，若.a A ≤'则.a A ≤ 【】4.设E 为可测集，则存在δG 型集F ，使得E F ⊂，且0)(=-F E m ．【】5.)(x f 在[]b a ,上L 可积，则)(x f 在[]b a ,R 可积且[]⎰⎰=b a ba dx x f R dx x f L ,)()()()( 【】得分阅卷人四、证明题(共4题，每题10分，共40分)1.开集减闭集后的差集为开集，闭集减开集后的差集为闭集．2.n R 上全体有理数点集的外测度为零．3.设函数列}{n f 在E 上依测度收敛f ，且h f n ≤e a .于E ，则h f ≤e a .于E ．4.设)(x f 在[]εε+-b a ,上可积，则0)()(lim 0=-+⎰→dx x f t x f b a t ．。

实变函数期末考试题库

实变函数期末考试题库一、选择题1. 下列函数符合实变函数的定义的是：（）A. f(x) = x^2 - 5x + 6, x ∈ [0, ∞)B. f(x) = √(x + 2), x ∈ (-∞, 3]C. f(x) = 1/x, x ∈ (-∞, 0)D. f(x) = |x|, x ∈ R2. 实变函数的定义域是指函数所能取的值的范围。

下列函数的定义域是：（）A. f(x) = 2x + 1, x ∈ ZB. f(x) = √(x^2 - 4), x ∈ RC. f(x) = log(x), x ∈ (-∞, ∞)D. f(x) = 1/(x - 2), x ∈ R - {2}3. 下列函数中，连续性具有间断点的是：（）A. f(x) = 3x - 2, x ∈ (-∞, 10)B. f(x) = |x|, x ∈ RC. f(x) = {x^2, x < 0; 2x, x ≥ 0}, x ∈ RD. f(x) = 1/x, x ∈ (-∞, 0) U (0, ∞)4. 设f(x)和g(x)为两个实变函数，下列函数中不是实变函数的是：（）A. f(x) + g(x)B. f(x)g(x)C. f(x)/g(x), g(x) ≠ 0D. g(f(x))5. 若f(x)为实变函数，则下列函数中一定是实变函数的是：（）A. f(x)/xB. √f(x)C. ∣f(x)∣D. f(x + 1)二、填空题1. 若f(x)在x = a处连续，则f(x)在x = a处一定是__________函数。

答：连续2. 设f(x) = 2x^2 + bx +1，若f(x)在x = -1处连续，则b的取值范围是__________。

答：33. 设f(x) = (x - 1)/(x + 3) + e^x，则f(x)的定义域是__________。

答：(-∞, -3) U (-3, ∞)4. 设函数f(x) = |2x - 5|，则f(x)在点x = ________处不连续。

实变函数证明题大全（期末考试）

实变函数证明题⼤全（期末考试）1、设',()..E R f x E a e ?是上有限地可测函数，证明：存在定义在'R 上地⼀列连续函数{}n g ，使得lim ()()..n n g x f x a e →∞=于E.证明：因为()f x 在E 上可测，由鲁津定理是，对任何正整数n ，存在E 地可测⼦集n E ，使得1()n m E E n-<，同时存在定义在1R 上地连续函数()n g x ，使得当n x E ∈时，有()()n g x f x =所以对任意地0η>，成⽴[||]n n E f g E E η-≥?-由此可得1[||]()n n mE f g n m E E n-≥≤-<，因此lim [||]0n n mE f g n →∞-≥=即()()n g x f x ?，由黎斯定理存在{}n g 地⼦列{}k n g ，使得lim ()()k n k g x f x →∞=，..a e 于E2、设()(,)f x -∞∞是上地连续函数，()g x 为[,]a b 上地可测函数，则(())f g x 是可测函数. 证明：记12(,),[,]E E a b =-∞+∞=，由于()f x 在1E 上连续，故对任意实数1,[]c E f c >是直线上地开集，设11[](,)n n n E f c αβ∞=>=，其中(,)n n αβ是其构成区间（可能是有限个，nα可能为-∞nβ可有为+∞）因此222211[()][]([][])n n n n n n E f g c E g E g E g αβαβ∞∞==>=<<=><因为g 在2E 上可测，因此22[],[]n n E g E g αβ><都可测.故[()]E f g c >可测.3、设()f x 是(,)-∞+∞上地实值连续函数，则对于任意常数a ，{|()}E x f x a =>是⼀开集，⽽{|()}E x f x a =≥总是⼀闭集.证明：若00,()x E f x a ∈>则，因为()f x 是连续地，所以存在0δ>，使任意(,)x ∈-∞∞，0||()x x f x a δ-<>就有，即任意00U(,),,U(,),x x x E x E E δδ∈∈?就有所以是开集若,n x E ∈且0(),()n n x x n f x a →→∞≥则，由于()f x 连续，0()lim ()n n f x f x a →∞=≥，即0x E ∈，因此E 是闭集.4、（1）设2121(0,),(0,),1,2,,n n A A n n n-==求出集列{}n A 地上限集和下限集证明：lim (0,)n n A →∞=∞设(0,)x ∈∞，则存在N ，使x N <，因此n N >时，0x n <<，即2n x A ∈，所以x 属于下标⽐N ⼤地⼀切偶指标集，从⽽x 属于⽆限多n A ，得lim n n x A →∞∈，⼜显然lim (0,),lim (0,)n n n n A A →∞→∞∞=∞所以lim n n A φ→∞=若有lim n n x A →∞∈，则存在N ，使任意n N >，有n x A ∈，因此若21n N ->时，211,0,00n x A x n x n -∈<<→∞<≤即令得，此不可能，所以lim n n A φ→∞=（2）可数点集地外测度为零. 证明：证明：设{|1,2,}i E x i ==对任意0ε>，存在开区间i I ，使i i x I ∈，且||2i iI ε=所以1i i I E ∞=?，且1||i i I ε∞==∑，由ε地任意性得*0m E =5、设}{n f 是E 上地可测函数列，则其收敛点集与发散点集都是可测地. 证：显然，{}n f 地收敛点集可表⽰为0[lim ()lim ()]n n x x E E x f x f x →∞→∞===11[lim lim ]n nx x k E f f k ∞→∞→∞=-<∏. 由n f 可测lim n x f →∞及lim n x f →∞都可测，所以lim lim n n x x f f →∞→∞-在E 上可测.从⽽，对任⼀⾃然数k ，1[lim lim ]n n x x E f f k→∞→∞-<可测.故 011[lim lim ]n n x x k E E f f k ∞→∞→∞==-<∏可测.既然收敛点集0E 可测，那么发散点集0E E -也可测.6、设qR E ?，存在两侧两列可测集{n A }，{n B },使得n A ?E ?n B 且m （n A -n B ）→0，（n→∝）则E 可测.证明：对于任意i ，i n n B B ?∞=1，所以E B E B i n n -?∞=-1⼜因为E A i ?，i i i A B E B -?-所以对于任意i ，)(**1E B m E B m i n n -≤-∞=）（ )(*i i A B m -≤)(i i A B m -= 令i →∝，由)(i i A B m -→0 得0*1=-∞=）（E B m n n 所以E B n n -∞=1是可测地⼜由于n B 可测，有n n B ∞=1也是可测地所以)(11E B B E n n n n --=∞=∞= 是可测地.7、设在E 上()()n f x f x ?，⽽()()n n f x g x =..a e 成⽴，1,2n =，则有()()n g x f x ?设[]n n n E E f g =≠，则110n n n n m E mE ∞∞==??≤= ∑.σ?>1n n n n E f g E E f f σσ∞=??-≥-≥所以1nnn nn m E f g m EmE fσσσ∞=-≥?≤+?-≥?=?-≥?因为()()n f x f x ?，所以0lim lim 0n n nnmE f g mE f f σσ≤?-≥?≤?-≥?=即()()n g x f x ?8、证明：()A B A B '''?=?.证明：因为A A B ??，B A B ??，所以，()A A B ''??，()B A B ''??，从⽽()A B A B '''反之，对任意()x A B '∈?，即对任意(,)B x δ，有(,)()((,))((,))B x A B B x A B x B δδδ??=为⽆限集，从⽽(,)B x A δ?为⽆限集或(,)B x B δ?为⽆限集⾄少有⼀个成⽴，即x A '∈或x B '∈，所以，x A B ''∈?，()A B A B '''.综上所述，()A B A B '''?=?.9、证明：若()()n f x f x ?，()()n f x g x ?（x E ∈），则()()f x g x =..a e 于E . 证明：由于11[()()][]n E x f x g x E x f g n∞=≠=-≥，⽽ 111[][][]22n n E x f g E x f f E x f g k k k-≥?-≥?-≥，所以，111[][][]22n n mE x f g mE x f f mE x f g k k k-≥≤-≥+-≥，由()()n f x f x ?，()()n f x g x ?（x E ∈）得1lim []02n n mE x f f k →∞-≥=，1lim []02n n mE x f g k→∞-≥=.所以，1[]0mE x f g k-≥=，从⽽[()()]0mE x f x g x ≠=，即()()f x g x =..a e 于E . 10、、证明：若()()n f x f x ?，()()n g x g x ?（x E ∈），则()()()()n n f x g x f x g x ±?±（x E ∈）.证明：对任意0σ>，由于()()[()()]()()()()n n n n f x g x f x g x f x f x g x g x ±-±≤-+-，所以，由()()[()()]n n f x g x f x g x σ±-±≥可得，1()()2n f x f x σ-≥和1()()2n g x g x σ-≥⾄少有⼀个成⽴.从⽽11[[]][][]22n n n n E x f g f g E x f f E x g g σσσ±-±≥?-≥?-≥，所以，11[[]][][]22n n n n mE x f g f g mE x f f mE x g g σσσ±-±≥≤-≥+-≥.⼜由()()n f x f x ?，()()n g x g x ?（x E ∈）得，1lim []02n n mE x f f σ→∞-≥=，1lim []02n n mE x g g σ→∞-≥=. 所以，lim [[]]0n n n mE x f g f g σ→∞±-±≥=，即()()()()n n f x g x f x g x ±?±（x E ∈）.11、若()()n f x f x ?（x E ∈），则()()n f x f x ?（x E ∈）.证明：因为()()()()n n f x f x f x f x -≥-，所以，对任意0σ>，有[][]n n E x f f E x f f σσ-≥?-≥，[][]n n mE x f f mE x f f σσ-≥≤-≥.⼜由()()n f x f x ?（x E ∈）得，lim []0n n mE x f f σ→∞-≥=.所以，lim []0n n mE x f f σ→∞-≥=，即()()n f x f x ?（x E ∈）.12、证明：1R 上地连续函数必为可测函数.证明：设()f x 是1R 上地连续函数，由连续函数地局部保号性，对任意实数a ，11[]{(),}R x f a x f x a x R >=>∈是开集，从⽽是可测集.所以，()f x 是1R 上地可测函数.13、证明：1R 上地单调函数必为可测函数.证明：不妨设()f x 是1R 上地单调递增函数，对任意实数a ，记inf{()}A x f x a =>，由单调函数地特点得，当{()}A x f x a ∈>时，{()}[,)x f x a A >=+∞，显然是可测集；当{()}A x f x a ?>时，{()}(,)x f x a A >=+∞，也显然是可测集.故()f x 是1R 上地可测函数.14、设()()f x L E ∈，n E 是E 地可测⼦集，且mE <+∞，若l i m n n m E m E →∞=，则l i m ()d ()dnE En f x x f x x →∞=??. 证明：因为n E 是E 地可测⼦集，且mE <+∞，所以，()n n m E E mE mE -=-，从⽽由lim n n mE mE →∞=得，lim ()lim 0n n n n m E E mE mE →∞→∞-=-=.⼜()()f x L E ∈，由积分地绝对连续性，lim[()d ()d ]lim ()d 0nnEE E E n n f x x f x x f x x -→∞→∞-==?.15、设()()f x L E ∈，若对任意有界可测函数()x ?都有()()d 0Ef x x x ?=?，则()0f x =..a e 于E .证明：由题设，取1,[()0]()0,[()0]1,[()0]x E x f x x x E x f x x E x f x ??∈>?=∈=??-∈，显然()x ?为E 上地有界可测函数，从⽽()d ()()d 0EEf x x f x x x ?==?.所以，()0f x =..a e 于E ，即()0f x =..a e 于E .16、设()()f x L E ∈，[]n e E f n =≥，证明（1）lim 0n n me →∞=；（2）lim 0n n n me →∞=.证明：由()d ()d nn e En me f x x f x x ?≤≤?得，（1）lim 0n n me →∞=.（2）由（1），注意到()()f x L E ∈，由积分地绝对连续性得，lim ()d 0ne nf x x →∞=?，从⽽注意到0()d nn e n me f x x ≤?≤?，所以，lim 0n n n me →∞=.17、若()f x 是[,]a b 上地单调函数，则()f x 是[,]a b 上地有界变差函数，且()()()baV f f b f a =-.证明：不妨设()f x 是[,]a b 上地单调增函数，任取[,]a b 地⼀个分割011:i i n T a x x x x x b -=<<<<<<=则11011()()[()()]()()nnii i i n i i f x f xf x f x f x f x --==-=-=-∑∑()()()()f b f a f b f a =-=-，所以，11()sup()()()()nbii V f f x f xf b f a -==-=-∑.18、若()f x 在[,]a b 上满⾜：存在正常数K ，使得对任意12,[,]x x a b ∈，都有1212()()f x f x K x x -≤-，则（1）()f x 是[,]a b 上地有界变差函数，且()()ba V f Kb a ≤-；（2）()f x 是[,]a b 上地绝对连续函数.证明：（1）由题设，任取[,]a b 地⼀个分割011:i i n T a x x x x x b -=<<<<<<=则111111()()()()nn ni i i i i i i i i f x f x K x x K x x K b a ---===-≤-=-=-∑∑∑，所以，()f x 是[,]a b 上地有界变差函数，且11()sup()()()nbi i aTi V f f x f x K b a -==-≤-∑.（2）在[,]a b 内，任取有限个互不相交地开区间(,)i i x y ，1,2,,i n =.由于111()()n niiii i i i i f x f y K x yK x y ===-≤-=-∑∑∑，于是，对任意0ε>，取Kεδ=，则当1ni ii x yδ=-<∑时，有11()()nni i i i i i f x f y K x y ε==-≤-<∑∑，即()f x 是[,]a b 上地绝对连续函数.19、若()f x 是[,]a b 上地绝对连续函数，则()f x 是[,]a b 上地有界变差函数.证明：由()f x 是[,]a b 上地绝对连续函数，取1ε=，存在0δ>，对任意有限个互不相交地开区间(,)i i x y ，1,2,,i n =，只要1n i i i x y δ=-<∑时，有1()()1ni i i f x f y =-<∑.现将[,]a b 等分，记分点为011i i n a a a a a a b -=<<<<<<=，使得每⼀等份地长度⼩于δ.易得1()1ii a a V f -≤，即()f x 是1[,]i i a a -上地有界变差函数.⼜11[,][,]n i i i a b a a -==，所以，11()()ii na baa i V f V f n -==≤<+∞∑，即()f x 是[,]a b 上地有界变差函数.20、若()f x 是[,]a b 上地有界变差函数，则（1）全变差函数()xa V f 是[,]ab 上地递增函数；（2）()()xaV f f x -也是[,]a b 上地递增函数.证明：（1）对任意12,[,]x x a b ∈，21x x >，注意到21()0x x V f ≥，有21211()()()()x x x x aax aV f V f V f V f =+≥，即()xaV f 是[,]a b 上地递增函数.（2）对任意12,[,]x x a b ∈，21x x >，注意到211()()()x i i x V f f x f x -≥-，有21212121()()[()()]()[()()]x x x aax V f f x V f f x V f f x f x ---=--2121()()()0x x V f f x f x ≥--≥，即()()xaV f f x -是[,]a b 上地递增函数.21、证明Jordan 分解定理：()f x 是[,]a b 上地有界变差函数?()f x 可表⽰成[,]a b 上地两个增函数之差.证明：“充分性”显然成⽴.下证“必要性”.事实上，()()[()()]xxaaf x V f V f f x =--，由上题()xaV f 和()()xaV f f x -都是[,]a b 上地递增函数.版权申明本⽂部分内容，包括⽂字、图⽚、以及设计等在⽹上搜集整理.版权为个⼈所有This article includes some 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Copyright is personal ownership.RTCrpUDGiT⽤户可将本⽂地内容或服务⽤于个⼈学习、研究或欣赏，以及其他⾮商业性或⾮盈利性⽤途，但同时应遵守著作权法及其他相关法律地规定，不得侵犯本⽹站及相关权利⼈地合法权利.除此以外，将本⽂任何内容或服务⽤于其他⽤途时，须征得本⼈及相关权利⼈地书⾯许可，并⽀付报酬.5PCzVD7HxAUsers may use the contents or services of this article for personal study, research or appreciation, and other non-commercial or non-profit purposes, but at the same time,they shall abide by the provisions of copyright law and other relevant laws, and shall not infringe upon the legitimate rights of this website and its relevant obligees. In addition, when any content or service of this article is used for other purposes, written permission and remuneration shall be obtained from the person concerned and the relevant obligee.jLBHrnAILg转载或引⽤本⽂内容必须是以新闻性或资料性公共免费信息为使⽤⽬地地合理、善意引⽤，不得对本⽂内容原意进⾏曲解、修改，并⾃负版权等法律责任.xHAQX74J0XReproduction or quotation of the content of this article must be reasonable and good-faith citation for the use of news or informative public free information. 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实变函数模拟试题及答案

实变函数模拟试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪个选项不是实变函数的基本概念？A. 极限B. 连续性C. 微分D. 积分答案：C2. 函数f(x)=x^2在区间[0,1]上是：A. 单调递增B. 单调递减C. 有界但无界D. 无界答案：A3. 如果函数f(x)在点x=a处连续，则下列哪个条件一定成立？A. f(a)存在B. f(a)=0C. f(a)=aD. f(a)=f'(a)答案：A4. 函数f(x)=|x|在x=0处：A. 连续B. 可导C. 不连续D. 不可导答案：A5. 函数f(x)=sin(1/x)在x=0处：A. 连续B. 有界C. 不连续D. 无界答案：C6. 黎曼积分存在的条件是：A. 函数在积分区间上单调B. 函数在积分区间上连续C. 函数在积分区间上的不连续点构成一个零测集D. 函数在积分区间上的不连续点是可数的答案：C7. 函数f(x)=x^3在区间[-1,1]上的积分是：A. 0B. 1/4C. 1/3D. 2/3答案：A8. 若f(x)在[a,b]上可积，则下列哪个选项是正确的？A. f(x)在[a,b]上连续B. f(x)在[a,b]上单调C. f(x)在[a,b]上几乎处处连续D. f(x)在[a,b]上几乎处处有界答案：C9. 函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的原函数是：A. x^3/3B. x^3C. 2x^3D. 3x^2答案：A10. 函数f(x)=x^(-1)在x=0处：A. 连续B. 可导C. 不连续D. 无界答案：C二、填空题（每空2分，共20分）1. 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在该区间上________。

答案：可积2. 函数f(x)=x^2的原函数是________。

答案：x^3/3 + C3. 函数f(x)=1/x在区间(0,1)上的积分是________。

答案：无穷大4. 函数f(x)=sin(x)在区间[0,π]上的积分是________。

实变函数论试题

《实变函数》期末考试卷姓名班级座号成绩一、判断题（判断正确、错误，请在括号中填“√”或“×”，共8×3=24分）1．设E 是可测集，()f z 是E 上几乎处处为零的实函数，则()f x 在E 上可测。

（）2．设()f z 是可测集E 上的非负可测函数，则()f x 必在E 上勒贝格可积。

（） 3．设()f z 是可测集E 上的可测函数，则()d E f x x ⎰一定存在。

（） 4．设E 是n R 中的可测集，()f x 为E 上的可测函数，若2()d 0Ef x x =⎰，则()f z 在E 上几乎处处为零。

（） 5．设()f x 是(,)a b 上的单调函数，则()f x 是(,)a b 上的可测函数。

（） 6. 设1E 和2E 都是可测集，()f z 是1E 和2E 上的可测函数，则()f x 不一定是12E E ⋃上的可测函数。

（） 7. 设()f z 是可测集E 上的可测函数，且()d Ef x x ⎰存在，则()f x +和()f x -至少有一个在E 上L 可积。

（） 8. 设1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数, 则()D x 在[0,1]上勒贝格可积，但不是黎曼可积的。

（）二、填空题（每空2分，共9×2=18分）1.设,T n nE R R ⊆⊆若对于任意集合都有，则称L E 为ebesgue 可测集，*此时称m E 为E 的，记为mE 。

２. 设P 是康托集，则mP = ；任意可数集合的外测度为。

3．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，若对任意实数a ，都有[()]E x f x a >是，则称()f x 是可测集E 上的可测函数.4．设函数列{()}n f x 为可测集E 上的可测函数列，且()n f x 在E 上依测度收敛于()f x ，则存在{()}n f x 的子列{()}kn f x ，使得()kn f x 在E 上 .5．设mE <+∞,{()}n f x 是E 上的可测函数列，()f x 是E 上的实函数, 若()n f x 在E 上几乎处处收敛于()f x ，则()n f x 在E 上收敛于()f x .6．设()f x 在[,]a b 上黎曼可积，则()f x 在[,]a b 上勒贝格可积，且它们的积分值． 7．设()f x ,()g x 都在[,]a b 上勒贝格可积，且几乎处处相等,则它们在[,]a b 上勒贝格积分值．三、叙述题 (3小题 , 每题6分，共3×6=18分)1) 依测度收敛 2) 可测分划3) Lebesgue 基本定理四、简答题(2小题 , 每题8分，共2×8=16分)1、可测集E 上的可测函数与连续函数有何关系？2、设A 是[0,1]中的不可测集，令,(),[0,1]x x Af x x x A∈⎧=⎨-∈-⎩ 问()f x 在[0,1]上是否可测？()f x 是否可测？为什么？五、证明题 (共3小题 , 每题8分，共3×8=24分)1、设()f x 是可测集n E R ⊂上的可测函数。

实变函数期末练习题

实变函数期末练习题（1-4）姓名班级练习1一、单项选择题1、下列各式正确的是（）（A ）1lim n k n n k n A A ∞∞→∞===⋃⋂; （B ）1lim n k n k n n A A ∞∞==→∞=⋂⋃;（C ）1lim n k n n k nA A ∞∞→∞===⋂⋃; （D ）1lim n k n k nA A ∞∞===⋂⋂;2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（）（A ）=P c (B) 0mP = (C) P P ='(D) P P =3、下列说法不正确的是（）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集（D ）波雷耳集都可测4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) （A ）若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n nf x 是可测函数（C ）{}inf ()n n f x 是可测函数; （D ）若()()n f x f x ⇒,则()f x 可测 5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（） (A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数（C ）)('x f 在],[b a 上L 可积 (D) ⎰-=ba a fb f dx x f )()()('二. 填空题1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=_________2、设E 是[]0,1上有理点全体，则'E =______,oE =______,E =______.3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都_________________________________，则称E 是L 可测的4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________,则称()f x 为 [],a b 上的有界变差函数。