电磁场的数学物理基础

电荷分布的四种模型：
→点电荷 q (r′, t) : q (r′) →体电荷密度 ρ (r′, t) : ρ (r′) =dq (r′) /dV′ →面电荷密度 σ (r′, t) : σ (r′) =dq (r′) /dS′ →线电荷密度 τ (r′, t) : τ (r′) =dq (r′) /dl′ 电流： 电流密度：
2）通量
若S为一闭合面，则有
Ψ>0,存在正通量源（源），Ψ<0,存在负通量源（汇）。闭合曲面 的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢 量场的源的关系。
3. 散度
通量是个积分量，不能反映场域内每一点的通量特性。故而引入了 散度概念。
定义
散度的表式
散度在圆柱系和球系下的表式参教材
电磁场的数学物理基础
本章内容：
1.1 电磁场物理模型的构成
1.2 矢量分析
1.3 场论基础 1.4 电磁场的基本规律—MAXWELL方程组
来自百度文库
1.1 电磁场物理模型的构成
1. 电磁场分析及其模型 实际电磁装置中的电磁现象和过程→电磁场物理模型
电磁场的物理模型： ☆连续媒质的场空间(ε ,μ ,γ 及其相应的几何结构) ☆理想化的场源(q, i)
引入哈密顿算子
则有
梯度运算公式：▽k = 0, ▽(υ± Ψ) = ▽υ±▽Ψ, ▽(υΨ) = Ψ▽υ+υ▽Ψ,
▽(υ/Ψ)=1/Ψ2(Ψ▽υ-υ▽Ψ), ▽f (υ)=f’ (υ) ▽υ.
圆柱系和球系下也有相应的梯度表式（参教材）。 梯度的性质： ⅰ. ▽u构成矢量场，成为梯度场。
ⅱ. 标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。
例：电场强度可表为电势（位）的梯度E=﹣▽υ.
2） 无散场--仅有旋度源而无散度源，即▽ · F=0. 这种场的一个基本特性就是,闭合面的通量为0. 重要性质：▽ ·(▽×A) ≡0. 因此，任一无散场可以表示为另一个矢量场的旋度： F=▽×A
例 恒定磁场B与矢势A有B=▽×A.
3. 亥姆霍兹定理 若矢量场F(r)在无界空间中处处单值，且其导数连续有界，源分布 在有限区域V′中，则该矢量场唯一地由其散度和旋度所确定，且可被
2）场量—电场强度E和磁感应强度B. 3. 电磁场中媒质的电磁性能参数 介电常数ε(F/m)--媒质在电场作用下的极化性能
电导率γ(1/Ω﹒m=S/m)--媒质在电场作用下的导电性能
磁导率μ(H/m) --媒质在磁场作用下的磁化性能 真空（自由空间）中， H/m F/m m/s
1.2 矢量分析
矢量代数 1. 矢量和标量
系式，也在电磁理论中有广泛的应用。
例 1：已知 ，求D=R/R3在R≠0处的散度(0).
例 2：求矢量A=exx+eyx2+ezy2z沿xy平面上的一个边长为2的正方形回路的线积 分，此正方形的两边分别与x轴和y轴重合。再求▽×A对此回路所包围的曲 面的面积分，验证Stokes定理。
1.3 场论基础
eφAφ + ezAz
线元矢量、面元矢量及体积元的表式可参教材
3. 球坐标系 坐标变量：r, θ,φ，坐标单位矢：er, eθ, eφ, 位置矢量:A= erAr + eθAθ + eφAφ.
线元矢量、面元矢量及体积元的表式可参教材
标量场的梯度 为了研究标量场的空间分布和变化规律，引入等值面、梯度 和方向导数的概念。 1. 标量场的等值面 等值面: 标量场取得同一数值的点在空间形成的曲面。它形象直
2. 矢量场按源的分类 按源来分，矢量场可分为无旋场，无散场，无旋、无散场（源在所 讨论的区域之外。无界空间中不存在这样的场）和有散有旋场四种。 这里只介绍前两种简单的场。 1）无旋场--仅有散度源而无旋度源的矢量场,即▽×F=0.
这种场的一个基本特性就是，线积分与路径无关，是保守场。
重要性质：▽×(▽υ) ≡0. 因此，任一无旋场都可表为一个标量场的梯度： F=﹣▽υ
(推导直角系下散度的表式)
例：已知
，求D=R/R3在R≠0处的散度。
散度基本公式：▽· (A±B)=▽▪A±▽▪B, ▽· (φA) =φ▽▪A±A▪▽φ
其中，▽2=▽▪▽称为拉普拉斯算子
4. 散度定理
散度定理（高斯定理）是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换 关系，在电磁理论中有着重要的应用。
矢量场的环量和旋度 1. 矢量场的环量与旋涡源 不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的矢
5）矢量的混合运算
A×（B + C） = A×B + A×C （分配律） A· (B×C)=B · (C×A)=C · (A×B) (标量三重积) A× (B×C) = B(A · C) - C(A · B) (矢量三重积)
常用正交坐标系 三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线(构成三个坐标 轴，对应三个坐标变量)的交点来确定。电磁场与波理论中，三种常用
ⅲ. 标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）。 例：设一标量函数υ( x, y, z) = x2＋y2－z 描述了空间标量场。求： (1) 该函数υ在点P(1,1,1)处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢 量； (2) 求该函数υ沿单位矢量 el= excos60。＋eycos45。＋ezcos60。方向 的方向导数，并以点P(1,1,1)处的方向导数值与该点的梯度值作以比
表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和，即
F(r)=﹣▽υ(r)+▽×A(r)
标量：一个只用大小描述的物理量。
矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字母或带箭
头的字母表示。
矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示
A
矢量的代数表示： A=eAA 单位矢：eA=A/A
常矢量：大小和方向均不变的矢量
单位矢是否为常矢？
矢量的坐标分量表示：A= exAx + eyAy + ezAz 2. 矢量的代数运算 1）矢量加减 几何上，满足平行四边形定则 直角坐标系下，
量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通
量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。如流速场、 磁场。 矢量场的环量 定义
→如果矢量场的任意闭合回路的环量恒为零，称该矢量场为无旋场，
又称为保守场. →如果矢量场对于任何闭合曲线的环量不为零，称该矢量场为有旋矢 量场，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源。电流是磁场的旋涡源。 2. 矢量场的旋度 类似于通量，矢量场的环量给出了矢量场与积分回路所围曲面内
1. 矢量场的源
散度源：是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量等于
（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和，源在一给定点的（体）
密度等于（或正比于）矢量场在该点的散度；
旋度源：是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面的旋度 源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回路的环量，在给定点上， 这种源的（面）密度等于（或正比于）矢量场在该点的旋度。
A±B =ex( Ax± Bx )+ey ( Ay±By )+ez ( Az±Bz )
矢量加减满足交换律和结合律：A±B=B±A, (A±B) ±C=A±
(B±C)
2) 标量乘矢量
kA=eAkA=exkAx+eykAy+ezkAz
即A的方向未变，大小改变了k倍
3) 矢量的点积（标量积）（功W=F﹒S）
观地描述了物理量在空间的分布状态。其方程：u( x, y, z) = C.
2. 方向导数 定义
M
0
l
M
l
方向导数的概 显然，方向性导数表示场沿某方向的空间变化率。 念
注意：方向性导数既与点M0有关，也与方向有关。
在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？
3. 标量场的梯度 定义
梯度描述了标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向。 直角系下梯度表式：
A· B = AB cosθ A· B = AxBx+AyBy+AzBz
4）矢量的叉积（矢量积）(M=r×S)
A×B = enAB sinθ
例：已知A=ex3+ey4+ez2, B=ex2+ey4+ez7,求: （1） A · B ，（2）A与B的夹角，
（3） A×B.
（36， cosθ =0.8， ex20 － ey17 + ez4 ）
旋涡源的宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引
入矢量场的旋度。 1）环量面密度 定义，
可见，环量面密度与面元△S的法线方向en有关。 2）矢量场的旋度 定义，
即矢量场在M点处的旋度为一矢量，其数值为M点的环流面密度最 大值，其方向为取得环量密度最大值时面积元的法线方向。 物理上，旋度即旋涡源密度矢量。显然， 直角系下，
→
给定源量(q, i),求场分布
即电磁场问题的求解过程可归结为：ⅰ）构造相应的数学模型（确
定泛定方程及其定解条件），ⅱ）运用相应的分析计算方法，ⅲ）解 出数学模型中的待求量，并做物理分析。
2. 源量和场量 电磁场物理模型中的基本物理量可分为源量和场量两大类 1）源量--电荷q (r′, t)和电流i (t)
旋度运算公式： ▽× (A±B)=▽×A±▽×B, ▽× (φA) =φ(▽×A)± (▽φ) ×A ▽· (A×B)=B· (▽×A) ﹣ A·(▽×B), ▽ × ▽ × A = ▽( ▽·A ) ﹣▽2 A
3）斯托克斯定理 由旋度的定义可以得出如下重要关系式
此即Stokes定理，它是闭合曲线积分与曲面积分之间的一个变换关
较，得出相应结论。
矢量场的通量和散度 1. 矢量线 矢量场A可以用画图的方式描述，称为矢量场的矢量线（也叫做
力线、流线、通量线等）图。矢量线图上每一点处的切线应当是该
点矢量场的方向。它形象直观地描述了矢量场的空间分布状态。 矢量线方程：
如何定量描述矢量场的大小？
2. 矢量场的通量
1）面元矢量 定义 dS = en dS
的正交曲线坐标系为：直角坐标系、圆柱坐标系和球面坐标系。
1. 直角坐标系 坐标变量：x, y, z，坐标单位矢：ex, ey, ez，位置矢量： A= exAx + eyAy + ezAz 线元矢量、面元矢量及体积元的表式可参教材。 2. 圆柱坐标系 坐标变量：ρ,φ, z，坐标单位矢：eρ, eφ, ez，位置矢量： A= eρAρ +