专题三角形中的最值与取值范围问题

专题 三角形中的最值与取值范围问题

三角形中的边与角的最值与取值范围问题，是复习过程中的难点，在高考中考查形式灵活，常常在知识的交汇点处命题，与函数、几何、不等式等知识结合在一起。我们知道三角形只要满足三个条件，那么这个三角形就基本唯一确定了，而少于三个条件时，有些边角周长面积就可以变化，从而就有了求这些量的取值范围问题。这类问题的实质是将几何问题转化为代数问题，求解主要是充分运用三角形的内角和定理，正余弦定理，面积公式，基本不等式，三角恒等变形，三角函数的图像和性质来进行解题，非常综合，是解三角形中的难点问题。下面对这类问题的解法做下探讨。

类型一：已知一角+对边

例题1：在∆ABC 中，A=60°，

（1）ABC ∆面积的最大值；

（2）b c +的取值范围；

（3）2b c +的最大值；

（4）BC 边上高的最大值。

类型二：已知一角+边的等量关系

例题2：在∆ABC 中，A=60°，1b c +=，求

（1）ABC S ∆的最大值；

（2）a 的取值范围；

（3）周长的取值范围。

类型三：已知一角+面积

例题3：在∆ABC 中，A=60°，ABC S ∆=

（1）b c +的最小值；

（2）a 的最小值。

（3）周长的最小值。

（4）

112b c

+的最小值。

类型四：已知角的等量关系

例题4：在∆ABC 中，A=2B ，则c b

的取值范围为

变式：在锐角∆ABC 中，A=2B ，则c b

的取值范围为 类型五：已知两边，求面积的最值

例题5：在∆ABC 中，已知1,2AB BC ==，求

（1）ABC S ∆的最大值；

（2）角C 的取值范围。

类型六：已知一边+另两边的等量关系

例题6：在∆ABC 中，已知6,10BC AB AC =+

=，求ABC S ∆的最大值。

变式：在∆ABC 中，已知6,BC AC ==，求ABC S ∆的最大值。 类型七：三边的等量关系

例题7：在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c,若2222a b c +=，求cos C 的最小值。