2016-2017学年高中数学北师大版必修1学业分层测评10 二次函数的性质

学业分层测评(十)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．函数y ＝3＋2x －x 2(0≤x ≤3)的最小值为( ) A ．－1 B ．0 C ．3
D ．4
【解析】 y ＝3＋2x －x 2＝－(x －1)2＋4，∵0≤x ≤3， ∴当x ＝3时，y min ＝3＋6－9＝0. 【答案】 B
2．若抛物线y ＝x 2－(m －2)x ＋m ＋3的顶点在y 轴上，则m 的值为( ) A ．－3 B ．3 C ．－2
D ．2
【解析】 由题意知其对称轴为x ＝－－(m －2)2
＝m －2
2＝0，即m ＝2. 【答案】 D
3．设函数f (x )＝⎩⎨⎧
1，x ＞0，
0，x ＝0，
－1，x ＜0，
g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是
( )
A ．(－∞，0]
B ．[0,1)
C ．[1，＋∞)
D ．[－1,0]
【解析】
g (x )＝⎩⎨⎧
x 2，x ＞1，
0，x ＝1，
－x 2，x ＜1.
如图所示，其递减区间是[0,1)．故选B.
【答案】 B
4．若f (x )＝x 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝2，则( ) A ．f (4)＜f (1)＜f (2) B ．f (2)＜f (1)＜f (4) C ．f (2)＜f (4)＜f (1)
D ．f (4)＜f (2)＜f (1)
【解析】 f (x )的对称轴为x ＝2，所以f (2)最小．又x ＝4比x ＝1距对称轴远，故f (4)＞f (1)，即f (2)＜f (1)＜f (4)．
【答案】 B
5．(2016·资阳高一检测)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋4在区间[0，m ](m >0)上的最大值为4，最小值为3，则实数m 的取值范围是( )
A ．[1,2]
B ．(0,1]
C ．(0,2]
D ．[1，＋∞)
【解析】 f (x )＝(x －1)2＋3，
f (x )的对称轴为x ＝1，f (x )在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增． 当x ＝1时，f (x )取到最小值3， 当x ＝0或2时，f (x )取到最大值4， 所以m ∈[1,2]． 【答案】 A 二、填空题
6．(2016·丹东高一检测)函数y ＝(m －1)x 2＋2(m ＋1)x －1的图像与x 轴只有一个交点，则实数m 的取值集合为________．
【解析】 当m ＝1时，f (x )＝4x －1，其图像和x 轴只有一个交点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，
当m ≠1时，依题意，有Δ＝4(m ＋1)2＋4(m －1)＝0， 即m 2＋3m ＝0，解得m ＝－3或m ＝0， 所以m 的取值集合为{－3,0,1}．
【答案】 {－3,0,1}
7．函数y ＝－x 2＋6x ＋9在区间[a ，b ]上(a <b <3)有最大值9，最小值－7，则a ＝________，b ＝________.
【解析】 二次函数的对称轴为x ＝－
6
－2
＝3， ∴函数y ＝－x 2＋6x ＋9在区间[a ，b ]上是增函数．
∴⎩⎨⎧ 9＝－b 2
＋6b ＋9，－7＝－a 2
＋6a ＋9，解得⎩
⎨⎧
b ＝0或6，a ＝－2或8， ∵a <b <3，∴a ＝－2，b ＝0. 【答案】 －2 0
8．(2016·温州模拟)研究发现，某公司年初三个月的月产值y (万元)与月份x 近似地满足关系式y ＝ax 2＋bx ＋c ，已知1月份产值为4万元，2月份的产值为11万元，3月份的产值为22万元，由此预测4月份的产值为________万元．
【解析】
由题意⎩⎨⎧
a ＋
b ＋
c ＝4，
4a ＋2b ＋c ＝11，
9a ＋3b ＋c ＝22，
解得⎩⎨⎧
a ＝2，
b ＝1，
c ＝1，
所以y ＝2x 2＋x ＋1，
当x ＝4时，y ＝2×42＋4＋1＝37(万元)．
【答案】 37 三、解答题
9．已知二次函数f (x )与g (x )的图像开口大小相同，开口方向也相同，且g (x )＝－2x 2－x －2，f (x )图像的对称轴为x ＝－1，且过点(0,6)．
(1)求函数y ＝f (x )的解析式；
(2)求函数y ＝f (x )在[－2,3]上的最大值和最小值． 【解】 (1)设f (x )＝－2x 2＋bx ＋c ，由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧
－b 2×(－2)＝－1，
c ＝6，
∴⎩
⎨⎧
b ＝－4，
c ＝6， ∴f (x )＝－2x 2－4x ＋6.
(2)∵f (x )＝－2(x ＋1)2＋8，x ∈[－2,3]， ∴x ＝－1时，f (x )max ＝8，
x ＝3时，f (x )min ＝－24.
10．某产品按质量分为10个档次，生产第一档(即最低档次)的利润是每件8元，每提高一个档次，利润每件增加2元，但每提高一个档次，在相同的时间内，产量减少3件，如果在规定的时间内，最低档次的产品可生产60件．
(1)请写出相同时间内产品的总利润y 与档次x 之间的函数关系式，并写出x 的定义域．
(2)在同样的时间内，生产哪一档次产品的总利润最大？并求出最大利润. 【导学号：04100032】
【解】 (1)由题意知，生产第x 个档次的产品每件的利润为8＋2(x －1)元，该档次的产量为60－3(x －1)件．则相同时间内第x 档次的总利润：
y ＝(2x ＋6)(63－3x )＝－6x 2＋108x ＋378，其中x ∈{x ∈N ＋|1≤x ≤10}． (2)y ＝－6x 2＋108x ＋378＝－6(x －9)2＋864，则当x ＝9时，y 有最大值864. 故在相同的时间内，生产第9档次的产品的总利润最大，最大利润为864元．
[能力提升]
1．如果二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫
14，12上是减函数，那么f (2)
的取值范围是( )
A ．(－∞，7]
B ．(－∞，7)
C ．(7，＋∞)
D ．[7，＋∞)
【解析】 由题意知对称轴x ＝－－(a －1)2
≥1
2，解得a ≥2，所以f (2)＝4－2(a －1)＋5＝11－2a ≤11－2×2＝7.
【答案】 A
2．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x (单位：辆)为销售量．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )
A ．45.606万元
B ．45.56万元
C ．45.6万元
D ．45.51万元 【解析】 设该公司在甲地销售了x 辆车，在乙地销售了(15－x )辆车， 获得的总利润为y ，由题意得
y ＝5.06x －0.15x 2＋2×(15－x )
＝－0.15x 2＋3.06x ＋30(0≤x ≤15，x ∈N )． 此函数的图像开口向下，对称轴为直线x ＝10.2，
所以当x ＝10时，y 取得最大值45.6，即获得的最大利润为45.6万元． 【答案】 C
3．已知g (x )＝－x 2－4，f (x )为二次函数，满足f (x )＋g (x )＋f (－x )＋g (－x )＝0，且f (x )在[－1,2]上的最大值为7，则f (x )＝________.
【解析】 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．
则f (x )＋g (x )＋f (－x )＋g (－x )＝－x 2－4＋ax 2＋bx ＋c ＋ax 2－bx ＋c －x 2－4＝(2a －2)x 2＋2c －8＝0，
∴⎩⎨⎧ 2a －2＝0，2c －8＝0，解得⎩⎨⎧
a ＝1，c ＝4，∴f (x )＝x 2＋bx ＋4. ∴对称轴为x ＝－
b 2.
当－b 2≤12，b ≥－1时，f (x )max ＝f (2)＝2b ＋8＝7，解得b ＝－12. 当－b 2>1
2，b <－1时，f (x )max ＝f (－1)＝1－b ＋4＝7，解得b ＝－2.
∴f (x )＝x 2
－1
2x ＋4或f (x )＝x 2－2x ＋4.
【答案】 x 2－1
2x ＋4或x 2－2x ＋4
4.某物流公司购买了一块长AM ＝30米，宽AN ＝20米的矩形地块，计划如图2-4-3中矩形ABCD 建设为仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C 在地块对角线MN 上，B 、D 分别在边AM 、AN 上，假设AB 的长度为x 米．
图2-4-3
(1)求矩形ABCD 的面积S 关于x 的函数解析式；
(2)要使仓库占地ABCD 的面积不少于144平方米，则AB 的长度应在什么范
围内？
【解】 (1)根据题意，得△NDC 与△NAM 相似， ∴DC AM ＝ND NA ，即x 30＝20－AD 20， 解得AD ＝20－2
3x ，
∴矩形ABCD 的面积S 关于x 的函数为
S ＝⎝ ⎛
⎭
⎪⎫20－23x x (0＜x ＜30)，即S ＝20x －23x 2(0＜x ＜30)．
(2)要使仓库占地ABCD 的面积不少于144平方米，即20x －2
3x 2≥144，化简得x 2－30x ＋216≤0，
解得12≤x ≤18.
∴AB 的长度取值范围为[12,18]．。