2016-2017学年高中数学北师大版必修1学业分层测评10 二次函数的性质

学业分层测评(十)

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．函数y ＝3＋2x －x 2(0≤x ≤3)的最小值为( ) A ．－1 B ．0 C ．3

D ．4

【解析】 y ＝3＋2x －x 2＝－(x －1)2＋4，∵0≤x ≤3， ∴当x ＝3时，y min ＝3＋6－9＝0. 【答案】 B

2．若抛物线y ＝x 2－(m －2)x ＋m ＋3的顶点在y 轴上，则m 的值为( ) A ．－3 B ．3 C ．－2

D ．2

【解析】 由题意知其对称轴为x ＝－－(m －2)2

＝m －2

2＝0，即m ＝2. 【答案】 D

3．设函数f (x )＝⎩⎨⎧

1，x ＞0，

0，x ＝0，

－1，x ＜0，

g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是

( )

A ．(－∞，0]

B ．[0,1)

C ．[1，＋∞)

D ．[－1,0]

【解析】

g (x )＝⎩⎨⎧

x 2，x ＞1，

0，x ＝1，

－x 2，x ＜1.

如图所示，其递减区间是[0,1)．故选B.

【答案】 B

4．若f (x )＝x 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝2，则( ) A ．f (4)＜f (1)＜f (2) B ．f (2)＜f (1)＜f (4) C ．f (2)＜f (4)＜f (1)

D ．f (4)＜f (2)＜f (1)

【解析】 f (x )的对称轴为x ＝2，所以f (2)最小．又x ＝4比x ＝1距对称轴远，故f (4)＞f (1)，即f (2)＜f (1)＜f (4)．

【答案】 B

5．(2016·资阳高一检测)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋4在区间[0，m ](m >0)上的最大值为4，最小值为3，则实数m 的取值范围是( )

A ．[1,2]

B ．(0,1]

C ．(0,2]

D ．[1，＋∞)

【解析】 f (x )＝(x －1)2＋3，

f (x )的对称轴为x ＝1，f (x )在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增． 当x ＝1时，f (x )取到最小值3， 当x ＝0或2时，f (x )取到最大值4， 所以m ∈[1,2]． 【答案】 A 二、填空题

6．(2016·丹东高一检测)函数y ＝(m －1)x 2＋2(m ＋1)x －1的图像与x 轴只有一个交点，则实数m 的取值集合为________．

【解析】 当m ＝1时，f (x )＝4x －1，其图像和x 轴只有一个交点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，

当m ≠1时，依题意，有Δ＝4(m ＋1)2＋4(m －1)＝0， 即m 2＋3m ＝0，解得m ＝－3或m ＝0， 所以m 的取值集合为{－3,0,1}．

【答案】 {－3,0,1}

7．函数y ＝－x 2＋6x ＋9在区间[a ，b ]上(a

【解析】 二次函数的对称轴为x ＝－

6

－2

＝3， ∴函数y ＝－x 2＋6x ＋9在区间[a ，b ]上是增函数．

∴⎩⎨⎧ 9＝－b 2

＋6b ＋9，－7＝－a 2

＋6a ＋9，解得⎩

⎨⎧

b ＝0或6，a ＝－2或8， ∵a

8．(2016·温州模拟)研究发现，某公司年初三个月的月产值y (万元)与月份x 近似地满足关系式y ＝ax 2＋bx ＋c ，已知1月份产值为4万元，2月份的产值为11万元，3月份的产值为22万元，由此预测4月份的产值为________万元．

【解析】

由题意⎩⎨⎧

a ＋

b ＋

c ＝4，

4a ＋2b ＋c ＝11，

9a ＋3b ＋c ＝22，

解得⎩⎨⎧

a ＝2，

b ＝1，

c ＝1，

所以y ＝2x 2＋x ＋1，

当x ＝4时，y ＝2×42＋4＋1＝37(万元)．

【答案】 37 三、解答题

9．已知二次函数f (x )与g (x )的图像开口大小相同，开口方向也相同，且g (x )＝－2x 2－x －2，f (x )图像的对称轴为x ＝－1，且过点(0,6)．

(1)求函数y ＝f (x )的解析式；

(2)求函数y ＝f (x )在[－2,3]上的最大值和最小值． 【解】 (1)设f (x )＝－2x 2＋bx ＋c ，由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧

－b 2×(－2)＝－1，

c ＝6，

∴⎩

⎨⎧

b ＝－4，

c ＝6， ∴f (x )＝－2x 2－4x ＋6.

(2)∵f (x )＝－2(x ＋1)2＋8，x ∈[－2,3]， ∴x ＝－1时，f (x )max ＝8，

x ＝3时，f (x )min ＝－24.

10．某产品按质量分为10个档次，生产第一档(即最低档次)的利润是每件8元，每提高一个档次，利润每件增加2元，但每提高一个档次，在相同的时间内，产量减少3件，如果在规定的时间内，最低档次的产品可生产60件．

(1)请写出相同时间内产品的总利润y 与档次x 之间的函数关系式，并写出x 的定义域．

(2)在同样的时间内，生产哪一档次产品的总利润最大？并求出最大利润. 【导学号：04100032】

【解】 (1)由题意知，生产第x 个档次的产品每件的利润为8＋2(x －1)元，该档次的产量为60－3(x －1)件．则相同时间内第x 档次的总利润：

y ＝(2x ＋6)(63－3x )＝－6x 2＋108x ＋378，其中x ∈{x ∈N ＋|1≤x ≤10}． (2)y ＝－6x 2＋108x ＋378＝－6(x －9)2＋864，则当x ＝9时，y 有最大值864. 故在相同的时间内，生产第9档次的产品的总利润最大，最大利润为864元．

[能力提升]

1．如果二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫

14，12上是减函数，那么f (2)

的取值范围是( )

A ．(－∞，7]

B ．(－∞，7)

C ．(7，＋∞)

D ．[7，＋∞)

【解析】 由题意知对称轴x ＝－－(a －1)2

≥1

2，解得a ≥2，所以f (2)＝4－2(a －1)＋5＝11－2a ≤11－2×2＝7.

【答案】 A

2．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x (单位：辆)为销售量．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )

A ．45.606万元

B ．45.56万元

C ．45.6万元

D ．45.51万元 【解析】 设该公司在甲地销售了x 辆车，在乙地销售了(15－x )辆车， 获得的总利润为y ，由题意得