专题06 动点折叠类问题中图形存在性问题(解析版)

专题06 动点折叠类问题中图形存在性问题

一、基础知识点综述

动点型问题是指题设中的图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线、直线、抛物线、双曲线、弧线等上运动的一类非常具有开放性的题目. 而从其中延伸出的折叠问题，更能体现其解题核心——动中求静，灵活运用相关数学知识进行解答，有时需要借助或构造一些数学模型来解答.

实行新课标以来，各省（市）的中考数学试卷都会有此类题目，这些题目往往出现在选择、填空题的压轴部分，题型繁多，题意新颖，具有创新力. 其主要考查的是学生的分析问题及解决问题的能力.

要求学生具备：运动观点；方程思想；数形结合思想；分类讨论思想；转化思想等等.

存在性问题

主要有等腰三角形存在性、直角三角形存在性、特殊落点存在性等问题，常用的数学解题模型有“一线三直角”等模型，作图方法是借助圆规化动为静找落点.

解题思路：分析题目→依据落点定折痕→建立模型→设出未知数列方程求解→得到结论.

解题核心知识点：

折叠性质；

①折叠前后图形大小、形状不变；②折痕是折叠前后对应点连线的垂直平分线；

勾股定理；

相似图形的性质、三角函数等.

★等腰三角形存在性问题

解题思路：依据圆规等先确定落点，再确定折痕；

★直角三角形存在性问题

解题思路：依据不同直角顶点位置分类讨论，作出图形求解.

二、精品例题解析

题型一：折叠问题中等腰三角形存在性问题

例1.（2019·金水区校级模拟）如图，∠AOB=90°，点P为∠AOB内部一点，作射线OP，点M在射线OB

上，且OM= ，点M与点M’关于射线OP对称，且直线MM’与射线OA交于点N，当△ONM’为等腰三角形时，ON的长为.

【分析】分三种情况讨论：

①当M ’落在线段ON 的垂直平分线上时，即M ’N =M ’O ，

设∠ONM =x °，通过三角形外角定理及三角形内角和定理求得x =30°，进而利用三角函数求得ON 的长； ②当M ’N =ON 时，作出图形，得到∠ONM ’度数，利用三角函数求解；

③当M ’O =ON =OM

M 、M ’、N 点不在一条直线上，与题意不符，此种情况不存在.

【答案】1或3.

【解析】解：由△ONM ’为等腰三角形，分以下三种情况讨论：

①当M ’落在线段ON 的垂直平分线上时，即M ’N =M ’O ，如图所示，

设∠ONM ’=x °，则∠OM ’M =∠OMM ’ =2x °,

∵∠AOB =90°，

∴x +2x =90，解得：x =30，

在Rt △NOM 中，ON =°=3tan 30

OM ； ②当M ’N =ON 时，如下图所示，

A

N

H

由①知：∠NOM ’=30°，

过M ’作M ’H ⊥OA 于H ，

∴HM

’=1OM'=22

, 在Rt △HNM ’中，NM ’=

°'=1cos30HM ， 即ON =1；

③当M ’O =ON =OM

此时M 、M ’、N 点不在一条直线上，与题意不符，此种情况不存在.

故答案为：1或3.

例2.（2017·蜀山区期末）如图所示，△ABC 中，∠ACB =90°，AC ≤BC ，将△ABC 沿EF 折叠，使点A 落在直角边BC 上的D 点，设EF 与AB 、AC 分别交于点E 、点F ，如果折叠后△CDF 与△BDE 均为等腰三角形，则∠B = .

【分析】由题意知，△CDF 是等腰三角形，则CD =CF ，

△BDE 是等腰三角形时，分三种情况讨论：

①当DE =BD 时，设∠B =x °，通过翻折性质及三角形内角和定理求得x =45；

②当BD =BE 时，作出图形，设∠B =x °，通过翻折性质及三角形内角和定理求得x =30；

N

H

N

③当BE=DE时，得∠FDB=90°，∠FDB+∠CDF=135°≠180°，此时C、D、B点不在一条直线上，与题意不符，此种情况不存在.

【答案】45°或30°.

【解析】解：

由题意知，△CDF是等腰三角形，则CD=CF，∠CDF=∠CFD=45°，

∴∠FDB=135°，

△BDE是等腰三角形时，分以下三种情况讨论：

①当DE=BD时，见下图，

设∠B=x°，

则∠DEB=x，∠EDB=180°－2x，

由折叠知：∠A=∠FDE=90°－x，

∴180－2x+90－x =135，解得：x=45，

即∠B=45°；

②当BD=BE时，如下图所示，

设∠B=x°，

则∠EDB=

°

180

2

x

-

，

由折叠知：∠A=∠FDE=90°－x，

∴180

2

x

-

+90－x =135，解得：x=30，

A

A

即∠B=30°；

③当BE=DE时，得∠B=∠EDB，

∴∠FDB=∠FDE+∠EDB=∠A+∠B=90°，∠FDB+∠CDF=135°≠180°，此时C、D、B点不在一条直线上，与题意不符，此种情况不存在.

故答案为：45°或30°.

题型二：折叠问题中直角三角形存在性问题

例3.（2017·营口）在矩形纸片ABCD中，AD＝8，AB＝6，E是边BC上的点，将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，连接FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为．

【分析】根据题意作出图形，通过分析可知：点E、F均可为直角顶点，因此分两种情况讨论，作出图形后，根据勾股定理等知识求得结果.

【答案】3或6.

【解析】解：∵AD＝8，AB＝6，四边形ABCD为矩形，

∴BC＝AD＝8，∠B＝90°，

根据勾股定理得：AC＝10．

由分析知，△EFC为直角三角形分下面两种情况：

①当∠EFC＝90°时，如下图所示，

由折叠性质知：∠AFE＝∠B＝90°，∠EFC＝90°，AF=AB=6,

∴A、F、C三点共线，

又AE平分∠BAC，

∴CF=AC－AF=4，

设BE=x，则EF=x，EC=8－x，

在Rt△EFC中，由勾股定理得：

()2

22

+=-，

x x

48

解得：x=3，即BE=3；

②当∠FEC＝90°时，如下图所示．