数学思维新方法表(波利亚)

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用波利亚的解题法规范学生的数学解题思维

用波利亚的解题法规范学生的数学解题思维[摘要] 有的学生解答数学题时,比其他人要花费更多的时间。

其中,很大的一部分原因就是数学解题方法存在问题。

本文通过乔治波利亚名著《怎样解题》的四部曲,谈谈如何规范学生的数学解题思维,养成良好的解题习惯。

[关键词] 波利亚数学问题解题法解题思维乔治波利亚(george polya,1887—1985) 出生于匈牙利布达佩斯,是著名的美国数学家、数学教育家、数学方法论大师。

他和hans freudenthal是20世纪下半叶世界公认的二位数学教育权威。

作为一名数学家,波利亚在众多的数学分支领域都颇有建树,并留下了以他的名字命名的术语和定理;作为一名数学教育家,波利亚有丰富的数学教育思想和精湛的教学艺术;作为一名数学方法论大师,波利亚开辟了数学启发法研究的新领域,为数学方法沦研究的现代复兴奠定了必要的理论基础。

他的名著《怎样解题》中提到的解题过程,我觉得用来规范学生的数学解题思维很有成效。

乔治波利亚数十年如一日对解题方法进行研究,凝聚成一张“解题表”。

这“解题表”将解题过程分为四个阶段,即弄清问题、拟定计划、实行计划、回顾。

我在教学实践中,发现学生若能按照这样的四步解题程序来对数学进行解答,收获颇丰。

笔者就结合教学时碰到的实例,来谈一谈这四步解题程序。

一、弄清问题一个问题摆在面前,它的未知数是什么,已知数又是什么?条件是什么,结论又是什么?给出条件是否能直接确定未知数?若直接条件不够充分,那隐性的条件有哪些?所给的条件会不会是多余的?或者是矛盾的呢?弄清这些情况后,往往还要画画草图、引入适当的符号加以分析为佳。

有的学生没能把问题的内涵理解透,凭印象解答,冒然下手,结果可想而知。

好几个学生对结果有四种可能惊诧不已,其实,若能按照乔治波利亚《怎样解题》中说画画草图进而弄清问题,就能很快找出四种的可能答案。

这不禁也让我想起我国著名数学家华罗庚教授描写“数形结合”的一首诗:数形本是相倚依,焉能分做两边飞。

解题思想方法-波利亚-怎样解题(word版)

1．帮助学生第一部分在教室中目的教师最重要的任务之一是帮助学生。

这个任务并不很简单，它需要时间、实践、热忱以及健全合理的原则。

学生应当有尽可能多的独立工作经验。

但是如果让他独自面对问题而得不到任何帮助或者帮助得不够。

那么他很可能没有进步。

但若教师对他帮助过多，那么学生却又无事可干，教师对学生的帮助应当不多不少，恰使学生有一份合理的工作。

如果学生不太能够独立工作，那末教师也至少应当使他感觉自己是在独立工作。

为了做到这一点，教师应当考虑周到地、不显眼地帮助学生。

不过，对学生的帮助最好是顺乎自然。

教师对学生应当设身处地，应当了解学生情况，应当弄清学生正在想什么，并且提出一个学生自己可能会产生的问题，或者指出一个学生自己可能会想出来的步骤。

2．问题、建议、思维活动在打算对学生进行有效、不显眼而又自然的帮助时，教师不免一而再，再而三地提出一些相同的问题，指出一些相同的步骤。

这样，在大量的问题中，我们总是问：未知数是什么?我们可以变换提法，以各种不同的方式提问同一个问题：求什么?你想找到什么?你假定求的是什么?这类问题的目的是把学生的注意力集中到未知数上。

有时，我们用一条建议：看着未知数，来更为自然地达到同一效果。

问题与建议都以同一效果为目的：即企图引起同样的思维活动。

从作者看来，在与学生讨论的问题中，收集一些典型的有用问题和建议，并加以分类是有价值的。

前面这张表就包含了这类经过仔细挑选与安排的问题和建议；它们对于那些能独立解题的人也同样有用。

读者充分熟悉这张表并且看出在建议之后所应采取的行动之后，他会感到这张表中所间接列举的是对解题很有用的典型思维活动。

这些思维活动在表中的次序是按其发生的可能性大小排列的。

3．普遍性表中所提问题与建议的重要特点之一是普遍性，例如：未知数是什么?已知数是什么?条件是什么?这些问题都是普遍适用的，对于所有各类问题，我们提出这些问题都会取得良好效果。

它们的用途不限于任何题目。

我们的问题可以是代数的或几何的，数学的或非数学的，理论的或实际的，一个严肃的问题或仅仅是个谜语。

波利亚的怎样解题表

• 第三，实行你的计划（实现计划）
• （1）实现你的求解计划，检验每一步骤．
• （2）你能否清楚地看出这一步骤是正确的?你能否证明这一步骤是正确的?
第四，验算所得到的解．（回顾）
（1）你能校核结果吗？你能校核论证吗？（2）你能用不同的方法得出结果吗？（3）你能不能把这一结果或方法用于其他的问题?
• 2、这就要求我们不仅要对过去所学的知识掌握的比较娴熟，另外一个方面则是注重学习数学的方法，不仅要多做题，而且要对于所做的题多多总结，反思。这样才会形成一种正确的数学思维，掌握高效学习数学的方法，也才会有更大的进步。
Байду номын сангаас
波利亚的怎样解题表
第一步，你必须弄清问题（了解问题）
（1）未知数是什么?已知数是什么?条件是什么？
（2）可能满足什么条件? （3）画一个图，引入适当的符号．
第二步，假如你不能找不出直接的关系，你可能不得不考虑辅助问题最后，应想出一个计划（即拟定
计划）
（1）你以前见过它吗?你是否见过相同的问题而形式稍有不同?
（2）你是否知道与此有关的问题? （3）看着未知数，试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题．（4）这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题．你能不能利用它?
•
（5）你能不能用不同的方法重新叙述它? 回到定义。（6）如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题．你能不能想出一个更容易着手的有关问题?一个更一般的问题?一个更特殊的问题?一个类似的问题?你能否解决这个问题的一部分? （7）你用了全部条件吗？
• 理解：
• 1、对于数学的学习，不仅要以题的训练为主，但是更为重要的是自己去寻找学习的方法。多去问自己为什么。但是前提是要知道这个为什么是什么，即明白自己不懂的地方到底是什么。

例说波利亚“怎样解题表”在中学数学中的应用-2019年精选文档

例说波利亚“怎样解题表”在中学数学中的应用本文从波利亚的“怎样解题表”出发,结合具体的例子,在具体的例子中一步一步地讲解波利亚的“怎样解题表”在解数学题时的步骤和思想,来回答一个好的解法是如何想出来的.下面是实践波利亚解题表的一个示例.例已知点P(3,4) 是椭圆+ = 1 (a > b > 0)上的一点,F1,F2 是椭圆的两焦点,若PF1⊥PF2,试求椭圆方程.讲解第一,弄清问题.问题1 你要求解的是什么?要求解的是椭圆方程,在思维中的位置用一个单点F象征地表示出来(图1-1).问题2 有哪些已知条件?一方面是题目条件中给出的点P(3,4) ,椭圆上PF1⊥PF2;另一个方面是已经在平面几何中学习过的直角三角形的一些性质和椭圆中半焦距c和长半轴a,短半轴b之间的关系,即a2 - b2 = c2. 把已知的两个量添到图示处(图1-1)就得到了新添的两个点P ,Q(其中Q表示PF1⊥PF2);它们与F之间有条鸿沟,表示要求解的问题和已知的量没有直接的联系,我们的任务就是要将要求解的量F和已知的量联系起来.第二,拟定计划.问题3 怎样才能求出F?我们已经知道了椭圆经过点P和一个Rt△PF1F2 ,如果能够确定椭圆方程中的两个参数a和b,那么我们就能够求解椭圆的方程了,于是问题转化成求a和b.(1) 我们在图示上添加进两个新的点a和b,用斜线把它们和F连接起来,以此来表示a,b这两个量和F之间的联系(图1-2即式(1)的几何图示),这样我们就把问题转化为确定a和b的值了.问题4 怎样求得a和b?我们根据已知条件Rt△PF1F2,再结合整个图形,我们可以知道直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,也就是说坐标原点到点P的距离等于半焦距c. 我们在图示上(图1-2)再添加两个点半焦距c,和L(L表示线段OP的长度,其中O表示坐标原点),连接c和L,表示c和L有相等的关系. 连接Q和c,Q和L,表示c和L相等的关系是由Q推出来的. 连接P和L,表示L的长度是由点P的坐标确定的,从而c = L = = 5. 我们要求解的是a和b 的值,因此很自然地想到在椭圆中还隐藏着这样的关系:a2 - b2 = c2,于是我们连接a和c,b和c(图1-3),表示c和a,b有 a2 - b2 = c2的关系,再连接a和b表示b可以用a表示,即b2 = a2 - 25. 这时椭圆方程可以写成:+ = 1. 同时我们还应注意到点P在椭圆上还没有用到,因此我们连接P和a(图1-3),表示把P点的坐标代入椭圆方程 + = 1. 一个未知数,一个方程恰好可以解出a,从而椭圆的方程就确定了.至此,我们已在F与P ,Q之间建立起了一个不中断的联络网,解题思路全部沟通.第三,实现计划.连接OP(图1-3).∵ PF1⊥PF2∴ PF1F2 是直角三角形,∴|OP| =|F1F2| = c.又|OP| = = 5.∴ c = 5,∴椭圆的方程为: + = 1.∵点P(3,4) 在椭圆上,∴ += 1,解得a2 = 45或 a2 = 5(舍去),故所求的椭圆方程为+ = 1.第四,回顾.(1) 正面校验每一步,推理是合理的,有效的,计算是精确的. 本题也可作特殊性检验,即按照两点之间的距离公式分别求解出线段PF1和 PF2的长度,再验证△PF1F2能否成为直角三角形;同时验证|PF1| + |PF2|是否等于 2a.(2) 还能用其他的方法得到这个结果吗?,条条大道路罗马,万事都不是绝对的,我们应该在信念上坚信每道题目都是有多种解法的,那么本例有没有其他解法呢?有,下面是本例的另解.如图1-1所示,令F1(-c,0), F2(c,0).∵ PF1⊥PF2∴ k ∪k =-1,即∪= -1,解得c = 5.∴椭圆的方程为: + = 1(以下步骤同上述解答).(3) “能将本例的方法用于其他的问题吗?能,我们看到解决本例的关键在于分析已知条件后得到:|OP| = |F1F2| = c,或者k ∪k =-1. 可见,这是解决本例的“泉眼”,勤于分析已知条件,对于培养解数学题的“灵感”是非常有必要的.小结回顾这个解题过程,“怎样解题表”包含四部分内容:弄清问题､拟订计划､实现计划､回顾.波利亚说:“ 弄清问题是为好念头的出现做准备;制订计划是试图引发它;在引发之后,我们实现它;回顾此过程和求解的结果,是试图更好地利用它.” 解题的过程实际上是一个不断地变更问题的过程(如上文中分析的将求F转化成求a和b,再将求a和b转化为求c),通过不断地变更问题,引入新的量,从而在未知量和已知量之间建立起“桥梁”,使得未知量和已知量最终处于“通路”的状态.注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”。

波利亚四步解题法

波利亚四步解题法
波利亚的《怎样解题：数学思维的新方法》（How to Solve it:A New Aspect of Mathematical Method)
1、彻底理解问题：为了确保真正理解问题，你最好把问题用自已的话换成各种形
式反复重新表达，但另忘了指出问题的主干：要求解的是什么？已知什么？要满足哪些条件？但凡能画图，一定要画出来。

2、形成解题思路：要专注，用过往经验，已撑握的知识，并调整适用性来形成思路。

如果不行，就改变这个问题的各个组件：已知、未知、条件，先构造简单一点的，引入辅助，条件是否用足，甚至改变求解的未知数，看能否找到解题线索？直到找到与之相似而你又解决过的问题。

3、执行：一要有耐心，二需要及时的检查每一步，可凭直觉或证明（两个都有用，但是两回事），要问自已每一步都检查了吗？能看出来这一步是对的吗？能证明这一步是对的吗？
4、总结：巩固与提升的关键，多想想，再论证，尝试另外的解法，找更明快简捷
的方法，还要问，这次的解法还能用在什么地方？总结是最好的启法时刻。

达利奥的五步成功路径：
1、设定目标：设定目标就是设定你真正想达到的，不要去想能不能完成
2、发现通向目标的障碍：这要用身外之我，“元我”思维有助于以客观、抽离的方
式来“旁观”因难，以不受制于“我”在困难面前的纠结困扰。

3、诊断问题所在并制定计划：诊断问题就是诊断问题，不要去想如何解决。

以终
为始，要把可能遇到的问题及应对想透，对怎么走到现在、如何走下一步，相象出其展开全景，好像写越狱的电影剧本。

4、列出解决问题的任务清单：分解目标，可执行，越细越好。

5、坚决执行任务，但不忘初心，不忘目标。

然后这五步反复迭代。

波利亚的怎样解题表(修改版)

波利亚的怎样解题表陕西师范大学罗增儒罗新兵１乔治·波利亚乔治·波利亚(George Polya，1887～1985)是美籍匈牙利数学家、数学教育家．在解题方面，是数学启发法(指关于发现和发明的方法和规律，亦译为探索法)现代研究的先驱．由于他在数学教育方面取得的成就和对世界数学教育所产生的影响，在他93岁高龄时，还被ＩＣＭＥ（国际数学教育大会）聘为名誉主席．作为一个数学家，波利亚在函数论、变分法、概率、数论、组合数学、计算和应用数学等众多领域，都做出了开创性的贡献，留下了以“波利亚”命名的定理或术语；他与其他数学家合著的《数学分析中的问题和定理》、《不等式》、《数学物理中的等周问题》、《复变量》等书堪称经典；而以200多篇论文构成的四大卷文集，在未来的许多年里，将是研究生攻读的内容．作为一个数学教育家，波利亚的主要贡献集中体现在《怎样解题》(1945年)、《数学与似真推理》(1954年)、《数学的发现》(1962年)三部世界名著上，涉及“解题理论”、“解题教学”、“教师培训”三个领域．波利亚对数学解题理论的建设主要是通过“怎样解题”表来实现的，而在尔后的著作中有所发展，也在“解题讲习班”中对教师现身说法．他的著作把传统的单纯解题发展为通过解题获得新知识和新技能的学习过程，他的目标不是找出可以机械地用于解决一切问题的“万能方法”，而是希望通过对于解题过程的深入分析，特别是由已有的成功实践，总结出一般的方法或模式，使得在以后的解题中可以起到启发的作用．他所总结的模式和方法，包括笛卡儿模式、递归模式、叠加模式、分解与组合方法、一般化与特殊化方法、从后往前推、设立次目标、归纳与类比、考虑相关辅助问题、对问题进行变形等，都在解题中行之有效．尤其有特色的是，他将上述的模式与方法设计在一张解题表中，并通过一系列的问句或建议表达出来，使得更有启发意义．著名数学家互尔登在瑞士苏黎世大学的会议致词中说过：“每个大学生、每个学者、特别是每个教师都应该读这本引人入胜的书”(1952年2月2日)．２怎样解题表波利亚是围绕“怎样解题”、“怎样学会解题”来开展数学启发法研究的，这首先表明其对“问题解决”重要性的突出强调，同时也表明其对“问题解决”研究兴趣集中在启发法上．波利亚在风靡世界的《怎样解题》（被译成14种文字）一书中给出的“怎样解题表”，正是一部“启发法小词典”．２．１“怎样解题”表的呈现弄清问题第一，你必须弄清问题未知是什么?已知是什么?条件是什么?满足条件是否可能?要确定未知，条件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的?画张图，引入适当的符号．把条件的各个部分分开．你能否把它们写下来?拟定计划第二，找出已知数与未知数之间的联系．如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题．你应该最终得出一个求解的你以前见过它吗?你是否见过相同的问题而形式稍有不同?你是否知道与此有关的问题?你是否知道一个可能用得上的定理?看着未知数，试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题．这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题．你能不能利用它?你能利用它的结果吗?你能利用它的方法吗?为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素?你能不能重新叙述这个问题?你能不能用不同的方法重新叙述它?回到定义去．如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题．你能不能想出一个更容易着手的有关问题?一个更普遍的问题?一个更特殊的问题?一个类比的问题?你能否解决这个问题的一部分?仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分．这样对于未知数能确定到什么程度?它会怎样变化?你能不能从已知数据导出某些有用的东西?你能不能想出适合于确定未知数的其他数据?如果需要的话，你能不能改变未知数或数据，或者二者都改变，以使新未知数和新计划数据彼此更接近?你是否利用了所有的已知数据?你是否利用了整个条件?你是否考虑了包含在问题中的必要的概念?实现计划第三，实行你的计划实现你的求解计划，检验每一步骤．你能否清楚地看出这一步骤是正确的?你能否证明这一步骤是正确的?回顾第四，验算所得到的解．你能否检验这个论证?你能否用别的方法导出这个结果?你能不能一下子看出它来?你能不能把这一结果或方法用于其他的问题?下面是实践波利亚解题表的一个示例，能够展示波利亚解题风格的心路历程，娓娓道来，栩栩如生．２．２“怎样解题”表的实践例1给定正四棱台的高h，上底的一条边长a和下底的一条边长b，求正四棱台的体积F．(学生已学过棱柱、棱锥的体积)【讲解】第一，弄清问题．问题1．你要求解的是什么?要求解的是几何体的体积，在思维中的位置用一个单点F象征性地表示出来(图1)．问题2．你有些什么?一方面是题目条件中给出的3个已知量a、b、h；另一方面是已学过棱柱、棱锥的体积公式，并积累有求体积公式的初步经验．把已知的三个量添到图示处(图2)，就得到新添的三个点a、b、h；它们与F之间有一条鸿沟，象征问题尚未解决，我们的任务就是将未知量与已知量联系起来．第二，拟定计划．问题3．怎样才能求得F?由于我们已经知道棱柱、棱锥的体积公式，而棱台的几何结构(棱台的定义)告诉我们，棱台是“用一个平行于底面的平面去截棱锥”，从一个大棱锥中截去一个小棱锥所生成的．如果知道了相应两棱锥的体积B和A，我们就能求出棱台的体积Ｆ＝Ｂ－Ａ．①我们在图示上引进两个新的点A和B，用斜线把它们与F联结起来，以此表示这三个量之间的联系(图3，即①式的几何图示)．这就把求F转化为求A、B．问题4．怎样才能求得A与B?依据棱锥的体积公式(V＝Ｓｈ)，底面积可由已知条件直接求得，关键是如何求出两个棱锥的高．并且，一旦求出小棱锥的高x，大棱锥的高也就求出，为ｘ＋ｈ．我们在图示上引进一个新的点x，用斜线把A与x、ａ连结起来，表示A能由a、ｘ得出，A＝ａ2ｘ；类似地，用斜线把B与b、ｈ、ｘ连结起来，表示B可由ｂ、ｈ、ｘ得出，Ｂ＝ｂ2（ｘ＋ｈ）(图4)，这就把求A、B转化为求x．问题5．怎样才能求得x？为了使未知数x与已知数a、ｂ、ｈ联系起来，建立起一个等量关系．我们调动处理立体几何问题的基本经验，进行“平面化”的思考．用一个通过高线以及底面一边上中点(图5中，点Q)的平面去截两个棱锥，在这个截面上有两个相似三角形能把a、b、h、x联系起来(转化为平面几何问题)，由△ＶＰＯ1∽△ＶＱＯ2得这就将一个几何问题最终转化为代数方程的求解．解方程②，便可由a、b、h表示x,在图示中便可用斜线将x与ａ、ｂ、h连结起来．至此，我们已在F与已知数a、b、h之间建立起了一个不中断的联络网，解题思路全部沟通．第三，实现计划．作辅助线(过程略)如图5，由相似三角形的性质，得，解得x= ．进而得两锥体的体积为Ａ＝ａ2x＝·，Ｂ＝ｂ2（ｘ＋ｈ）＝·，得棱台体积为Ｆ＝Ｂ－Ａ＝·＝（a2＋ab＋b2）h．③第四，回顾．(1)正面检验每一步，推理是有效的，演算是准确的．再作特殊性检验，令ａ→０，由③可得正四棱锥体的体积公式；令ａ→ｂ，由③可得正四棱柱体的体积公式．这既反映了新知识与原有知识的相容性，又显示出棱台体积公式的一般性；这既沟通了三类几何体极限状态间的知识联系，又可增进三个体积公式的联系记忆．(2)回顾这个解题过程可以看到，解题首先要弄清题意，从中捕捉有用的信息(如图1所示，有棱台，a、b、h、F共5条信息)，同时又要及时提取记忆网络中的有关信息(如回想：棱台的定义、棱锥的体积公式、相似三角形的性质定理、反映几何结构的运算、调动求解立体几何问题的经验积累等不下6条信息)，并相应将两组信息资源作合乎逻辑的有效组合．这当中，起调控作用的关键是如何去构思出一个成功的计划(包括解题策略)．由这一案例，每一个解题者还可以根据自己的知识经验各自进一步领悟关于如何制定计划的普遍建议或模式．(3)在解题方法上，这个案例是分析法的一次成功应用，从结论出发由后往前找成立的充分条件．为了求F，我们只需求A、B(由棱台体积到棱锥体积的转化——由未知到已知，化归)；为了求A、B，我们只需求x(由体积计算到线段计算的转化——由复杂到简单，降维)；为了求x，我们只需建立关于x的方程(由几何到代数的转化——数形结合)；最后，解方程求x，解题的思路就畅通了，在当初各自孤立而空旷的画面上(图1)，形成了一个联接未知与已知间的不中断网络(图5)，书写只不过是循相反次序将网络图作一叙述．这个过程显示了分析与综合的关系，“分析自然先行，综合后继；分析是创造，综合是执行；分析是制定一个计划，综合是执行这个计划”．(4)在思维策略上，这个案例是“三层次解决”的一次成功应用．首先是一般性解决(策略水平上的解决)，把F转化为A，B的求解（Ｆ＝Ａ－Ｂ），就明确了解题的总体方向；其次是功能性解决(方法水平的解决)，发挥组合与分解、相似形、解方程等方法的解题功能；最后是特殊性解决(技能水平的解决)，比如按照棱台的几何结构作图、添辅助线找出相似三角形、求出方程的解、具体演算体积公式等，是对推理步骤和运算细节作实际完成．(5)在心理机制上，这个案例呈现出“激活——扩散”的基本过程．首先在正四棱台(条件)求体积(结论)的启引下，激活了记忆网络中棱台的几何结构和棱锥的体积公式，然后，沿着体积计算的接线向外扩散，依次激活截面知识、相似三角形知识、解方程知识(参见图1～图5)，……直到条件与结论之间的网络沟通．这种“扩散——激活”的观点，正是数学证明思维中心理过程的一种解释．(6)在立体几何学科方法上，这是“组合与分解”的一次成功应用．首先把棱台补充(组合)为棱锥，然后再把棱锥截成(分解)棱台并作出截面，这种做法在求棱锥体积时曾经用过(先组合成一个棱柱、再分解为三个棱锥)，它又一次向我们展示“能割善补”是解决立体几何问题的一个诀窍，而“平面化”的思考则是沟通立体几何与平面几何联系的一座重要桥梁．这些都可以用于求解其他立体几何问题，并且作为一般化的思想(化归、降维)还可以用于其他学科．(7)“你能否用别的方法导出这个结果?”在信念上我们应该永远而坚定地做出肯定的回答，操作上未实现只是能力问题或暂时现象．对于本例，按照化棱台为棱锥的同样想法，可以有下面的解法．如图6，正四棱台ABCD-Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中，连结DA1，ＤB1，ＤＣ1，ＤＢ，将其分成三个四棱锥Ｄ-Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1，Ｄ-ＡＡ1Ｂ1Ｂ，Ｄ-ＢＢ1Ｃ1Ｃ，其中＝b2ｈ，＝．（等底等高)为了求，我们连结AＢ1，将其分为两个三棱锥Ｄ-ＡＢＢ1与Ｄ-ＡＡ1Ｂ1（图7），因＝，故＝，但＝＝·ａ2·ｈ＝a2ｈ，故＝＋＝a2ｈ＋· a2ｈ＝(a2＋ａｂ)ｈ．从而＝＋＋＝(a2＋ａｂ)ｈ＋(a2＋ａｂ)ｈ＋b2ｈ＝（a2＋ab＋b2）h．(8)“你能不能把这一结果或方法用于其他问题?”能，至少我们可以由正四棱台体积公式一般化为棱台体积公式(方法是一样的)．注意到a2＝Ｓ1，b2＝Ｓ2，ａｂ＝，可一般化猜想棱台的体积公式为Ｖ台＝(Ｓ1＋＋Ｓ2)ｈ．３波利亚的解题观对于波利亚的怎样解题表及有关著作，人们从不同的角度阐发了对波利亚解题思想的认识(见参考文献)，我们将其归结为5个要点．３．１程序化的解题系统怎样解题表，就“怎样解题”、“教师应教学生做些什么”等问题，把“解题中典型有用的智力活动”，按照正常人解决问题时思维的自然过程分成四个阶段——弄清问题、拟定计划、实现计划、回顾，从而描绘出解题理论的一个总体轮廓，也组成了一个完整的解题教学系统．既体现常识性，又体现由常识上升为理论(普遍性)的自觉努力．这四个阶段首先是一个四步骤的宏观解题程序，其中“实现计划”虽为主体工作，但较为容易完成，是思路打通之后具体实施信息资源的逻辑配置，“我们所需要的只是耐心”；其次，“弄清问题”是认识问题、并对问题进行表征的过程，应成为成功解决问题的一个必要前提；与前两者相比，“回顾”是最容易被忽视的阶段，波利亚将其作为解题的必要环节而固定下来，是一个有远见的做法，在整个解题表中“拟定计划”是关键环节和核心内容．“拟定计划”的过程是在“过去的经验和已有的知识”基础上，探索解题思路的发现过程，波利亚的建议是分两步走：第一，努力在已知与未知之间找出直接的联系(模式识别等)；第二，如果找不出直接的联系，就对原来的问题做出某些必要的变更或修改，引进辅助问题，为此，波利亚又进一步建议：看着未知数，回到定义去，重新表述问题，考虑相关问题，分解或重新组合，特殊化，一般化，类比等，积极诱发念头，努力变化问题．这实际上是阐述和应用解题策略并进行资源的提取与分配．于是，这个系统就集解题程序、解题基础、解题策略、解题方法等于一身，融理论与实践于一体．３．２启发式的过程分析(1)还在当学生的时候，波利亚就有一个问题一再使他感到困惑：“是的，这个解答好像还行，它看起来是正确的，但怎样才能想出这样的解答呢?是的，这个实验好像还行，它看起来是个事实，但别人是怎样发现这样的事实?而且我自己怎样才能想出或发现它们呢?”从解题论的观点看，这实际上是既提出了“怎样解题”又提出了“怎样学会解题”的问题，波利亚说，这“终于导致他写出本书”(指《怎样解题》)．波利亚认为“数学有两个侧面”，“用欧几里得方式提出来的数学看来像是一门系统的演绎科学；但在创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学．这两个侧面都像数学本身一样古老．但从某一点说来，第二个侧面则是新的，因为以前从来就没有‘照本宣科’地把处于发现过程中的数学照原样提供给学生，或教师自己，或公众．”他以数十年的时间悉心研究数学启发法，其“怎样解题”的基本思想就可以概括为“知识＋启发法”．在解题表中，波利亚给出了“启发法小词典”，让读者通过阅读词典来开阔思路、指导实践，自己学会怎样解题．这些看法来源于波利亚对数学教育宗旨的认识，波利亚认为，数学教育应“教会年轻人去思考”，培养学生的“独立性、能动性和创新精神”；他认为一个人在学校所受的教育应该受益终生，他赞成，良好的教育应该“系统地给学生自己发现事物的机会”，“应该帮助学生自己再发现所教的内容”，“学东西的最好途径是亲自去发现它”；他特别重视发展学生的数学思维能力，强调数学教学要加强思维训练，要发展学生运用所学知识的能力，发展技能、技巧、有益的思考方式和科学的思维习惯，他反复指出，数学教育的目的不仅仅是传授知识，还要“发展学生本身的内蕴能力”．教师要“教学生证明问题”，也要“教他们猜想问题”．波利亚提出“合情推理”的概念，号召：“让我们教猜想吧!”(2)在解题表的展开中，波利亚则通过剖析典型例题的思维过程来研究“发现和发明的方法和规律”．波利亚不断地提问、不断地建议，“怎样才能想出这样的解答呢?”“我自己怎样才能想出或发现它们呢?”既驱使人们去分析解题过程，又要求人们去总结发现的规律．波利亚在《数学的发现》序言中提出：“领会方法的最佳时机，可能是读者解出一道题的时候，或是阅读它的解法的时候，也可能是阅读解法形成过程的时候”．波利亚书中的例题，其实就是对典型例题进行解题过程的分析，就是暴露数学解题的思维过程，也就是教人“怎样学会解题”．在例1中，数学操作与思维开展相结合的图解或阐释，使我们既领会到了这样的意图，也见到了这样的行动．波利亚对解题过程淋漓尽致的剖析，实质上已接触到心理层面，但没有用到多少教育学或思维学的相关名词，基本上都是其数学前沿研究中切身体验的自然流露，数学功底和过程体验发挥了重要作用．这正是数学家研究数学教育的优势，处处有数学的“真刀真枪”，绝非“纸上谈兵”．波利亚说“货源充足和组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资本”，在“知识”与“组织良好”之间，波利亚更强调后者，他说“良好的组织使得所提供的知识易于用上，这甚至可能比知识的广泛更为重要．”用现在的话来说，波利亚在这里强调了“原有的知识经验”和“优化的认知结构”对问题解决的基础作用．３．３开放型的念头诱发．波利亚解释说：“我们表中的问题和建议并不直接提到念头；但实际上，所有的问题和建议都与它有关(可以说解题表中的每一个问句，都是从认知或元认知的角度向读者启发解题念头．），弄清问题是为好念头的出现做准备；拟订计划是试图引发它；在引发之后，我们实现它；回顾此过程和求解的结果，我们试图更好地利用它．”他强调指出：“老师为学生所能做的最大的好事是通过比较自然的帮助，促使他自己想出一个好念头．”在《怎样解题》一书里，出现“念头”这个词不下四五十次．念头有什么用?波利亚说：“它会给你指出整个或部分解题途径”．“也许有些念头会把你引入歧途”，但这并不可怕，“在明显失败的尝试和一度犹豫不决之后”会“突然闪出一个‘好念头’”，最糟糕的是没有任何念头，还“笨头呆脑地干等着某个念头的降临，而不会做任何事情去加速其来到．”这里说的念头不仅在字面上比“问题表征”更为浅白，而且在内涵上更为丰富，其实质是开展积极活跃的思维活动，产生念头与找出解题途径完全可以理解为同义语．那么产生念头的基础是什么呢?波利亚的回答是：“过去的经验和已有的知识”．(解题力量)“如果我们对该论题知识贫乏，是不容易产生好念头的．如果我们完全没有知识，则根本不可能产生好念头．”波利亚一再提到“好念头”，其实这就是直觉、顿悟或灵感，“想出一个好念头是一种‘灵感运动’”，“想像力有了一个突然的跳跃，产生了一个好念头，这是天才的一次闪烁”，“是我们观点上的重大突变，我们看问题方式的一个骤然变动，在解题步骤方面的一个刚刚露头的有信心的预感”．波利亚关于念头的种种议论，正是开展积极思维活动的激发与激活．３．４探索性的问题转换这里说的“问题转换”，在《怎样解题》一书中亦叫“变化问题”、“题目变更”，它揭示了探索解题思路的数学途径，也体现了解题策略的实际运用．波利亚强调：“解题的成功要靠正确思路的选择，要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒，为了找出哪个方面是正确的方面，哪一侧是好接近的一侧，我们从各个方面、各个侧面去试验，我们变更问题．”“变化问题使我们引进了新的内容，从而产生了新的接触，产生了和我们有关的元素接触的新可能性．”“新问题展现了接触我们以前知识的新可能性，它使我们做出有用接触的希望死而复苏．通过变化问题，显露它的某个新方面，新问题使我们的兴趣油然而生”．在“怎样解题”表中，波利亚拟出了启引我们不断转换问题的30多个问句或建议：把问题转化为一个等价的问题，把原问题化归为一个已解决的问题，去考虑一个可能相关的问题，先解决一个更特殊的问题、或更一般的问题、或类似的问题……那些启发新念头的问句，也往往与问题转换有关．“如果我们不用‘题目变更’，几乎是不能有什么进展的”——这就是波利亚的结论．３．５朴素的数学解题元认知观念．元认知是对认知的再认知，包括元认知知识，元认知体验和元认知监控．虽然元认知概念提出较晚，但元认知思想早就存在，在波利亚的解题思想中存在着朴素的元认知观念．波利亚解题表的大量问句或建议，都不是问别人，而是自己给自己提问题、提建议，这是解题者的自我诘问、自我反思．问题中的一部分，其对象针对具体的数学内容，属于认知性的；另一部分则以解题者自身为对象，属于元认知性的．比如，“你以前见过它吗?”“你是否知道一个与此有关的问题?”“这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题．你能不能利用它?”等等，都不涉及问题的具体内容，都是针对解题主体、对其解题思维活动的反思，都属于元认知提问，而不完全是认知提问．波利亚解题表中的“回顾”也并不完全是常规解题中的“检验”，主要是有分析地领会所得的解法(参见例1的回顾)，它包含着把“问题及其解法”(认知)作为对象进行自觉反思的元认知意图．至于解题表本身所给出的解题程序(一种程序性知识)，所体现的解题策略(一种策略性知识)及所进行的元认知提问，都属于元认知知识．波利亚对具体范例的分析，基本上是对“问题及其解法”的再认知，已反映出开发元认知的朴素意图．波利亚的另一些问句，如“你能不能重新叙述这个问题?你能不能用不同的方法重新叙述它?”“你能不能改变未知数或数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近?”(接近度)，“你能不能一下子看出它来?”(题感)等，则属于朴素的元认知体验．至于解题表本身，则自始至终体现着元认知调控．综上所述，“解题系统”是波利亚解题思想的整体框架，“分析解题过程”是波利亚解题思想的思维实质，“念头诱发”是波利亚解题思想的外在表现，“问题转换”是波利亚解题思想的具体实现，朴素的元认知观念是波利亚解题思想的心理学基础．而这一切的背后，丰富的数学前沿研究经历和发现体验是波利亚解题思想的物质基础，现代启发法是波利亚解题思想的灵魂，揭示“发现和发明的方法和规律”是波利亚解题思想的目标．４波利亚解题研究的发展４．１反思数学上存在证明的方法与发现的方法，在逻辑实证主义占主导地位的历史时期，关于数学发现方法的研究一度陷于停顿，波利亚的贡献就在于自觉承担起复兴数学启发法的重任，并提出合情推理，为数学启发法的现代研究提供了必要基础．20世纪80年代初期，美国数学教育界兴起的“问题解决”研究是对波利亚现代启发法的直接继承，曾经有“对波利亚的重新发现”、“数学启发法…几乎成了问题解决的同义词”等提法．但是，已有数学实践却未能获得预期的成功，尽管学生已经具备了必要的数学知识，也已经了解了相关的方法原则，或者说已执行了解题表的建议，却仍不能有效地解决问题，这不能不引起数学教育界的反思．(1)波利亚构建的“四阶段”解题系统具有开创性的意义，但局限于“四阶段”对学会“数学地思维”而言是不是有点简单化了?对数学问题解决全过程的探索可能比解题表所简洁描述的复杂得多．(2)数学启发法的现代复兴及其所取得的成功，无论怎样评价都不算过分，但启发法能不能看成影响问题解决能力的惟一要素?“知识+启发法”之外可能还有更多的因素需要重视(如“元认知调节”、“观念”等)，“好念头”的出现可能也需要从方法论的角度做出更为自觉的分析．(3)波利亚从数学内部研究数学问题解决并强调解题实践是一个值得继承的研究方向(与那些连数学题都没有出现的解题研究形成鲜明对照，也与那些对中学教材作业题都不那么过关的研究者形成鲜明对照)，但局限于“解题”、专注于技能技巧是不是狭窄了点?至少“问题发现(提出)”、“实际应用”都与解决问题有同样的重要性．。

波利亚解题理论

波利亚的怎样解题表陕西师范大学罗增儒罗新兵１乔治·波利亚乔治·波利亚(George Polya，1887～1985)是美籍匈牙利数学家、数学教育家．在解题方面，是数学启发法(指关于发现和发明的方法和规律，亦译为探索法)现代研究的先驱．由于他在数学教育方面取得的成就和对世界数学教育所产生的影响，在他93岁高龄时，还被ＩＣＭＥ（国际数学教育大会）聘为名誉主席．作为一个数学家，波利亚在函数论、变分法、概率、数论、组合数学、计算和应用数学等众多领域，都做出了开创性的贡献，留下了以“波利亚”命名的定理或术语；他与其他数学家合著的《数学分析中的问题和定理》、《不等式》、《数学物理中的等周问题》、《复变量》等书堪称经典；而以200多篇论文构成的四大卷文集，在未来的许多年里，将是研究生攻读的内容．作为一个数学教育家，波利亚的主要贡献集中体现在《怎样解题》(1945年)、《数学与似真推理》(1954年)、《数学的发现》(1962年)三部世界名著上，涉及“解题理论”、“解题教学”、“教师培训”三个领域．波利亚对数学解题理论的建设主要是通过“怎样解题”表来实现的，而在尔后的著作中有所发展，也在“解题讲习班”中对教师现身说法．他的著作把传统的单纯解题发展为通过解题获得新知识和新技能的学习过程，他的目标不是找出可以机械地用于解决一切问题的“万能方法”，而是希望通过对于解题过程的深入分析，特别是由已有的成功实践，总结出一般的方法或模式，使得在以后的解题中可以起到启发的作用．他所总结的模式和方法，包括笛卡儿模式、递归模式、叠加模式、分解与组合方法、一般化与特殊化方法、从后往前推、设立次目标、归纳与类比、考虑相关辅助问题、对问题进行变形等，都在解题中行之有效．尤其有特色的是，他将上述的模式与方法设计在一张解题表中，并通过一系列的问句或建议表达出来，使得更有启发意义．著名数学家互尔登在瑞士苏黎世大学的会议致词中说过：“每个大学生、每个学者、特别是每个教师都应该读这本引人入胜的书”(1952年2月2日)．２怎样解题表波利亚是围绕“怎样解题”、“怎样学会解题”来开展数学启发法研究的，这首先表明其对“问题解决”重要性的突出强调，同时也表明其对“问题解决”研究兴趣集中在启发法上．波利亚在风靡世界的《怎样解题》（被译成14种文字）一书中给出的“怎样解题表”，正是一部“启发法小词典”．２．１“怎样解题”表的呈现弄清问题第一，你必须弄清问题未知是什么?已知是什么?条件是什么?满足条件是否可能?要确定未知，条件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的?画张图，引入适当的符号．把条件的各个部分分开．你能否把它们写下来?拟定计划第二，找出已知数与未知数之间的联系．如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题．你应该最终得出一个求解的计划你以前见过它吗?你是否见过相同的问题而形式稍有不同?你是否知道与此有关的问题?你是否知道一个可能用得上的定理?看着未知数，试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题．这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题．你能不能利用它?你能利用它的结果吗?你能利用它的方法吗?为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素?你能不能重新叙述这个问题?你能不能用不同的方法重新叙述它?回到定义去．如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题．你能不能想出一个更容易着手的有关问题?一个更普遍的问题?一个更特殊的问题?一个类比的问题?你能否解决这个问题的一部分?仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分．这样对于未知数能确定到什么程度?它会怎样变化?你能不能从已知数据导出某些有用的东西?你能不能想出适合于确定未知数的其他数据?如果需要的话，你能不能改变未知数或数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近?你是否利用了所有的已知数据?你是否利用了整个条件?你是否考虑了包含在问题中的必要的概念?实现计划第三，实行你的计划实现你的求解计划，检验每一步骤．你能否清楚地看出这一步骤是正确的?你能否证明这一步骤是正确的?回顾第四，验算所得到的解．你能否检验这个论证?你能否用别的方法导出这个结果?你能不能一下子看出它来?你能不能把这一结果或方法用于其他的问题?下面是实践波利亚解题表的一个示例，能够展示波利亚解题风格的心路历程，娓娓道来，栩栩如生．２．２“怎样解题”表的实践例1给定正四棱台的高h，上底的一条边长a和下底的一条边长b，求正四棱台的体积F．(学生已学过棱柱、棱锥的体积)讲解第一，弄清问题．问题1．你要求解的是什么?要求解的是几何体的体积，在思维中的位置用一个单点F象征性地表示出来(图1)．问题2．你有些什么?一方面是题目条件中给出的3个已知量a、b、h；另一方面是已学过棱柱、棱锥的体积公式，并积累有求体积公式的初步经验．把已知的三个量添到图示处(图2)，就得到新添的三个点a、b、h；它们与F之间有一条鸿沟，象征问题尚未解决，我们的任务就是将未知量与已知量联系起来．第二，拟定计划．问题3．怎样才能求得F?由于我们已经知道棱柱、棱锥的体积公式，而棱台的几何结构(棱台的定义)告诉我们，棱台是“用一个平行于底面的平面去截棱锥”，从一个大棱锥中截去一个小棱锥所生成的．如果知道了相应两棱锥的体积B和A，我们就能求出棱台的体积Ｆ＝Ｂ－Ａ．①我们在图示上引进两个新的点A和B，用斜线把它们与F联结起来，以此表示这三个量之间的联系(图3，即①式的几何图示)．这就把求F转化为求A、B．图3问题4．怎样才能求得A与B?依据棱锥的体积公式(V＝13Ｓｈ)，底面积可由已知条件直接求得，关键是如何求出两个棱锥的高．并且，一旦求出小棱锥的高x，大棱锥的高也就求出，为ｘ＋ｈ．我们在图示上引进一个新的点x，用斜线把A与x、ａ连结起来，表示A能由a、ｘ得出，A ＝13ａ2ｘ；类似地，用斜线把B 与b 、ｈ、ｘ连结起来，表示B 可由ｂ、ｈ、ｘ得出，Ｂ＝13ｂ2（ｘ＋ｈ）(图4)，这就把求A 、B 转化为求x ．图4问题5．怎样才能求得x ？为了使未知数x 与已知数a 、ｂ、ｈ联系起来，建立起一个等量关系．我们调动处理立体几何问题的基本经验，进行“平面化”的思考．用一个通过高线以及底面一边上中点(图5中，点Q)的平面去截两个棱锥，在这个截面上有两个相似三角形能把a 、b 、h 、x 联系起来(转化为平面几何问题)，由△ＶＰＯ1∽△ＶＱＯ2得图5x a x h b =+②这就将一个几何问题最终转化为代数方程的求解．解方程②，便可由a 、b 、h 表示x,在图示中便可用斜线将x 与ａ、ｂ、h 连结起来．至此，我们已在F 与已知数a 、b 、h 之间建立起了一个不中断的联络网，解题思路全部沟通．第三，实现计划．作辅助线(过程略)如图5，由相似三角形的性质，得x a x h b =+，解得x=ah b a-．进而得两锥体的体积为Ａ＝13ａ2x ＝13·3a h b a-，Ｂ＝13ｂ2（ｘ＋ｈ）＝13·3b hb a-，得棱台体积为Ｆ＝Ｂ－Ａ＝13·33()b a hb a--＝13（a2＋ab＋b2）h．③第四，回顾．(1)正面检验每一步，推理是有效的，演算是准确的．再作特殊性检验，令ａ→０，由③可得正四棱锥体的体积公式；令ａ→ｂ，由③可得正四棱柱体的体积公式．这既反映了新知识与原有知识的相容性，又显示出棱台体积公式的一般性；这既沟通了三类几何体极限状态间的知识联系，又可增进三个体积公式的联系记忆．(2)回顾这个解题过程可以看到，解题首先要弄清题意，从中捕捉有用的信息(如图1所示，有棱台，a、b、h、F共5条信息)，同时又要及时提取记忆网络中的有关信息(如回想：棱台的定义、棱锥的体积公式、相似三角形的性质定理、反映几何结构的运算、调动求解立体几何问题的经验积累等不下6条信息)，并相应将两组信息资源作合乎逻辑的有效组合．这当中，起调控作用的关键是如何去构思出一个成功的计划(包括解题策略)．由这一案例，每一个解题者还可以根据自己的知识经验各自进一步领悟关于如何制定计划的普遍建议或模式．(3)在解题方法上，这个案例是分析法的一次成功应用，从结论出发由后往前找成立的充分条件．为了求F，我们只需求A、B(由棱台体积到棱锥体积的转化——由未知到已知，化归)；为了求A、B，我们只需求x(由体积计算到线段计算的转化——由复杂到简单，降维)；为了求x，我们只需建立关于x的方程(由几何到代数的转化——数形结合)；最后，解方程求x，解题的思路就畅通了，在当初各自孤立而空旷的画面上(图1)，形成了一个联接未知与已知间的不中断网络(图5)，书写只不过是循相反次序将网络图作一叙述．这个过程显示了分析与综合的关系，“分析自然先行，综合后继；分析是创造，综合是执行；分析是制定一个计划，综合是执行这个计划”．(4)在思维策略上，这个案例是“三层次解决”的一次成功应用．首先是一般性解决(策略水平上的解决)，把F转化为A，B的求解（Ｆ＝Ａ－Ｂ），就明确了解题的总体方向；其次是功能性解决(方法水平的解决)，发挥组合与分解、相似形、解方程等方法的解题功能；最后是特殊性解决(技能水平的解决)，比如按照棱台的几何结构作图、添辅助线找出相似三角形、求出方程的解、具体演算体积公式等，是对推理步骤和运算细节作实际完成．(5)在心理机制上，这个案例呈现出“激活——扩散”的基本过程．首先在正四棱台(条件)求体积(结论)的启引下，激活了记忆网络中棱台的几何结构和棱锥的体积公式，然后，沿着体积计算的接线向外扩散，依次激活截面知识、相似三角形知识、解方程知识(参见图1～图5)，……直到条件与结论之间的网络沟通．这种“扩散——激活”的观点，正是数学证明思维中心理过程的一种解释．(6)在立体几何学科方法上，这是“组合与分解”的一次成功应用．首先把棱台补充(组合)为棱锥，然后再把棱锥截成(分解)棱台并作出截面，这种做法在求棱锥体积时曾经用过(先组合成一个棱柱、再分解为三个棱锥)，它又一次向我们展示“能割善补”是解决立体几何问题的一个诀窍，而“平面化”的思考则是沟通立体几何与平面几何联系的一座重要桥梁．这些都可以用于求解其他立体几何问题，并且作为一般化的思想(化归、降维)还可以用于其他学科．(7)“你能否用别的方法导出这个结果?”在信念上我们应该永远而坚定地做出肯定的回答，操作上未实现只是能力问题或暂时现象．对于本例，按照化棱台为棱锥的同样想法，可以有下面的解法．如图6，正四棱台ABCD-Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中，连结DA 1，ＤB 1，ＤＣ1，ＤＢ，将其分成三个四棱锥Ｄ-Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1，Ｄ-ＡＡ1Ｂ1Ｂ，Ｄ-ＢＢ1Ｃ1Ｃ，其中1111D A B C D V -＝13b 2ｈ， 11D AA B B V -＝11D BB C C V -．（等底等高)图6 图7 为了求11D AA B B V -，我们连结A Ｂ1，将其分为两个三棱锥Ｄ-ＡＢＢ1与Ｄ-ＡＡ1Ｂ1（图7），因11AA B S ∆＝b a1ABB S ∆，故11D AA B B V -＝b a1D ABB V -，但1D ABB V -＝1B ABD V -＝13·12ａ2·ｈ＝16a 2ｈ，故11D AA B B V -＝1D ABB V -＋11D AA B V -＝16a 2ｈ＋b a ·16a 2ｈ＝16(a 2＋ａｂ)ｈ．从而1111ABC D A B C D V -＝11D AA B B V -＋11D BB C C V -＋1111D A B C D V -＝16 (a 2＋ａｂ)ｈ＋16 (a 2＋ａｂ)ｈ＋13b 2ｈ＝13（a 2＋ab ＋b 2）h ． (8)“你能不能把这一结果或方法用于其他问题?”能，至少我们可以由正四棱台体积公式一般化为棱台体积公式(方法是一样的)．注意到a2＝Ｓ1，b2＝Ｓ2，ａｂ＝12S S，可一般化猜想棱台的体积公式为Ｖ台＝13(Ｓ1＋12S S＋Ｓ2)ｈ．３波利亚的解题观对于波利亚的怎样解题表及有关著作，人们从不同的角度阐发了对波利亚解题思想的认识(见参考文献)，我们将其归结为5个要点．３．１程序化的解题系统怎样解题表，就“怎样解题”、“教师应教学生做些什么”等问题，把“解题中典型有用的智力活动”，按照正常人解决问题时思维的自然过程分成四个阶段——弄清问题、拟定计划、实现计划、回顾，从而描绘出解题理论的一个总体轮廓，也组成了一个完整的解题教学系统．既体现常识性，又体现由常识上升为理论(普遍性)的自觉努力．这四个阶段首先是一个四步骤的宏观解题程序，其中“实现计划”虽为主体工作，但较为容易完成，是思路打通之后具体实施信息资源的逻辑配置，“我们所需要的只是耐心”；其次，“弄清问题”是认识问题、并对问题进行表征的过程，应成为成功解决问题的一个必要前提；与前两者相比，“回顾”是最容易被忽视的阶段，波利亚将其作为解题的必要环节而固定下来，是一个有远见的做法，在整个解题表中“拟定计划”是关键环节和核心内容．“拟定计划”的过程是在“过去的经验和已有的知识”基础上，探索解题思路的发现过程，波利亚的建议是分两步走：第一，努力在已知与未知之间找出直接的联系(模式识别等)；第二，如果找不出直接的联系，就对原来的问题做出某些必要的变更或修改，引进辅助问题，为此，波利亚又进一步建议：看着未知数，回到定义去，重新表述问题，考虑相关问题，分解或重新组合，特殊化，一般化，类比等，积极诱发念头，努力变化问题．这实际上是阐述和应用解题策略并进行资源的提取与分配．于是，这个系统就集解题程序、解题基础、解题策略、解题方法等于一身，融理论与实践于一体．３．２启发式的过程分析(1)还在当学生的时候，波利亚就有一个问题一再使他感到困惑：“是的，这个解答好像还行，它看起来是正确的，但怎样才能想出这样的解答呢?是的，这个实验好像还行，它看起来是个事实，但别人是怎样发现这样的事实?而且我自己怎样才能想出或发现它们呢?”从解题论的观点看，这实际上是既提出了“怎样解题”又提出了“怎样学会解题”的问题，波利亚说，这“终于导致他写出本书”(指《怎样解题》)．波利亚认为“数学有两个侧面”，“用欧几里得方式提出来的数学看来像是一门系统的演绎科学；但在创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学．这两个侧面都像数学本身一样古老．但从某一点说来，第二个侧面则是新的，因为以前从来就没有‘照本宣科’地把处于发现过程中的数学照原样提供给学生，或教师自己，或公众．”他以数十年的时间悉心研究数学启发法，其“怎样解题”的基本思想就可以概括为“知识＋启发法”．在解题表中，波利亚给出了“启发法小词典”，让读者通过阅读词典来开阔思路、指导实践，自己学会怎样解题．这些看法来源于波利亚对数学教育宗旨的认识，波利亚认为，数学教育应“教会年轻人去思考”，培养学生的“独立性、能动性和创新精神”；他认为一个人在学校所受的教育应该受益终生，他赞成，良好的教育应该“系统地给学生自己发现事物的机会”，“应该帮助学生自己再发现所教的内容”，“学东西的最好途径是亲自去发现它”；他特别重视发展学生的数学思维能力，强调数学教学要加强思维训练，要发展学生运用所学知识的能力，发展技能、技巧、有益的思考方式和科学的思维习惯，他反复指出，数学教育的目的不仅仅是传授知识，还要“发展学生本身的内蕴能力”．教师要“教学生证明问题”，也要“教他们猜想问题”．波利亚提出“合情推理”的概念，号召：“让我们教猜想吧!”(2)在解题表的展开中，波利亚则通过剖析典型例题的思维过程来研究“发现和发明的方法和规律”．波利亚不断地提问、不断地建议，“怎样才能想出这样的解答呢?”“我自己怎样才能想出或发现它们呢?”既驱使人们去分析解题过程，又要求人们去总结发现的规律．波利亚在《数学的发现》序言中提出：“领会方法的最佳时机，可能是读者解出一道题的时候，或是阅读它的解法的时候，也可能是阅读解法形成过程的时候”．波利亚书中的例题，其实就是对典型例题进行解题过程的分析，就是暴露数学解题的思维过程，也就是教人“怎样学会解题”．在例1中，数学操作与思维开展相结合的图解或阐释，使我们既领会到了这样的意图，也见到了这样的行动．波利亚对解题过程淋漓尽致的剖析，实质上已接触到心理层面，但没有用到多少教育学或思维学的相关名词，基本上都是其数学前沿研究中切身体验的自然流露，数学功底和过程体验发挥了重要作用．这正是数学家研究数学教育的优势，处处有数学的“真刀真枪”，绝非“纸上谈兵”．波利亚说“货源充足和组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资本”，在“知识”与“组织良好”之间，波利亚更强调后者，他说“良好的组织使得所提供的知识易于用上，这甚至可能比知识的广泛更为重要．”用现在的话来说，波利亚在这里强调了“原有的知识经验”和“优化的认知结构”对问题解决的基础作用．３．３开放型的念头诱发．波利亚解释说：“我们表中的问题和建议并不直接提到念头；但实际上，所有的问题和建议都与它有关(可以说解题表中的每一个问句，都是从认知或元认知的角度向读者启发解题念头．），弄清问题是为好念头的出现做准备；拟订计划是试图引发它；在引发之后，我们实现它；回顾此过程和求解的结果，我们试图更好地利用它．”他强调指出：“老师为学生所能做的最大的好事是通过比较自然的帮助，促使他自己想出一个好念头．”在《怎样解题》一书里，出现“念头”这个词不下四五十次．念头有什么用?波利亚说：“它会给你指出整个或部分解题途径”．“也许有些念头会把你引入歧途”，但这并不可怕，“在明显失败的尝试和一度犹豫不决之后”会“突然闪出一个‘好念头’”，最糟糕的是没有任何念头，还“笨头呆脑地干等着某个念头的降临，而不会做任何事情去加速其来到．”这里说的念头不仅在字面上比“问题表征”更为浅白，而且在内涵上更为丰富，其实质是开展积极活跃的思维活动，产生念头与找出解题途径完全可以理解为同义语．那么产生念头的基础是什么呢?波利亚的回答是：“过去的经验和已有的知识”．(解题力量)“如果我们对该论题知识贫乏，是不容易产生好念头的．如果我们完全没有知识，则根本不可能产生好念头．”波利亚一再提到“好念头”，其实这就是直觉、顿悟或灵感，“想出一个好念头是一种‘灵感运动’”，“想像力有了一个突然的跳跃，产生了一个好念头，这是天才的一次闪烁”，“是我们观点上的重大突变，我们看问题方式的一个骤然变动，在解题步骤方面的一个刚刚露头的有信心的预感”．波利亚关于念头的种种议论，正是开展积极思维活动的激发与激活．３．４探索性的问题转换这里说的“问题转换”，在《怎样解题》一书中亦叫“变化问题”、“题目变更”，它揭示了探索解题思路的数学途径，也体现了解题策略的实际运用．波利亚强调：“解题的成功要靠正确思路的选择，要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒，为了找出哪个方面是正确的方面，哪一侧是好接近的一侧，我们从各个方面、各个侧面去试验，我们变更问题．”“变化问题使我们引进了新的内容，从而产生了新的接触，产生了和我们有关的元素接触的新可能性．”“新问题展现了接触我们以前知识的新可能性，它使我们做出有用接触的希望死而复苏．通过变化问题，显露它的某个新方面，新问题使我们的兴趣油然而生”．在“怎样解题”表中，波利亚拟出了启引我们不断转换问题的30多个问句或建议：把问题转化为一个等价的问题，把原问题化归为一个已解决的问题，去考虑一个可能相关的问题，先解决一个更特殊的问题、或更一般的问题、或类似的问题……那些启发新念头的问句，也往往与问题转换有关．“如果我们不用‘题目变更’，几乎是不能有什么进展的”——这就是波利亚的结论．３．５朴素的数学解题元认知观念．元认知是对认知的再认知，包括元认知知识，元认知体验和元认知监控．虽然元认知概念提出较晚，但元认知思想早就存在，在波利亚的解题思想中存在着朴素的元认知观念．波利亚解题表的大量问句或建议，都不是问别人，而是自己给自己提问题、提建议，这是解题者的自我诘问、自我反思．问题中的一部分，其对象针对具体的数学内容，属于认知性的；另一部分则以解题者自身为对象，属于元认知性的．比如，“你以前见过它吗?”“你是否知道一个与此有关的问题?”“这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题．你能不能利用它?”等等，都不涉及问题的具体内容，都是针对解题主体、对其解题思维活动的反思，都属于元认知提问，而不完全是认知提问．波利亚解题表中的“回顾”也并不完全是常规解题中的“检验”，主要是有分析地领会所得的解法(参见例1的回顾)，它包含着把“问题及其解法”(认知)作为对象进行自觉反思的元认知意图．至于解题表本身所给出的解题程序(一种程序性知识)，所体现的解题策略(一种策略性知识)及所进行的元认知提问，都属于元认知知识．波利亚对具体范例的分析，基本上是对“问题及其解法”的再认知，已反映出开发元认知的朴素意图．波利亚的另一些问句，如“你能不能重新叙述这个问题?你能不能用不同的方法重新叙述它?”“你能不能改变未知数或数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近?”(接近度)，“你能不能一下子看出它来?”(题感)等，则属于朴素的元认知体验．至于解题表本身，则自始至终体现着元认知调控．综上所述，“解题系统”是波利亚解题思想的整体框架，“分析解题过程”是波利亚解题思想的思维实质，“念头诱发”是波利亚解题思想的外在表现，“问题转换”是波利亚解题思想的具体实现，朴素的元认知观念是波利亚解题思想的心理学基础．而这一切的背后，丰富的数学前沿研究经历和发现体验是波利亚解题思想的物质基础，现代启发法是波利亚解题思想的灵魂，揭示“发现和发明的方法和规律”是波利亚解题思想的目标．４波利亚解题研究的发展４．１反思数学上存在证明的方法与发现的方法，在逻辑实证主义占主导地位的历史时期，关于数学发现方法的研究一度陷于停顿，波利亚的贡献就在于自觉承担起复兴数学启发法的重任，并提出合情推理，为数学启发法的现代研究提供了必要基础．20世纪80年代初期，美国数学教育界兴起的“问题解决”研究是对波利亚现代启发法的直接继承，曾经有“对波利亚的重新发现”、“数学启发法…几乎成了问题解决的同义词”等提法．但是，已有数学实践却未能获得预期的成功，尽管学生已经具备了必要的数学知识，也已经了解了相关的方法原则，或者说已执行了解题表的建议，却仍不能有效地解决问题，这不能不引起数学教育界的反思．(1)波利亚构建的“四阶段”解题系统具有开创性的意义，但局限于“四阶段”对学会“数学地思维”而言是不是有点简单化了?对数学问题解决全过程的探索可能比解题表所简洁描述的复杂得多．。

利用波利亚怎样解题表提高习题教学价值-2019年教育文档

利用波利亚“怎样解题表”提高习题教学价值乔治?波利亚（ G.Polya ，1887-1985 年）是美籍匈牙利数学家、教育家、数学解题方法论的开拓者，他通过自己数十年的教学与科研经验，对解题过程进行了深入分析，致力于探索解题过程的一般规律，主要表现在他的解题表上。

一、波利亚的“怎样解题表” 波利亚在“怎样解题表”中将解题分为 4 个步骤：（ 1）你必须理解题目。

即明了未知量是什么？已知量是什么？条件是什么？题目所要求的是什么？（ 2）拟订方案。

找出已知数据与未知量之间的联系或者考虑辅助问题，并具体拟定一个求解的计划。

（ 3）执行你的方案即实现求解计划。

（ 4）回顾检查已经得到的解答，检验每一步骤。

在这 4 个步骤中，第一步是认识题目的过程，这一步是成功解决问题的前提。

第二步主要是通过“已有的知识基础和解题经验，探索题目的解题思路”，这一步是解题的核心内容和关键环节。

第三步虽然是整个解题的“主体”，但整个解题思路已经打开，只需要对题目的信息资源进行一次逻辑配置，因此这一步完成较为容易。

由于第三步的完成就代表着整个题目解题的结束，因此很多老师和学生忽视了第四步，而第四步同样是解题的关键。

第四步中所说的“回顾”，即验算所得到的解，并将结果和方法试着用于其他问题；此外，每一个阶段又有一系列启发性问句，譬如：未知数是什么？（在证明题中要求证什么），已知数据是什么？你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同、你能利用它吗？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？你能用别的方法推导出这个结果吗？通过对这些问题的回顾可以提高学生对题目的认知能力，进而提高他们的解题能力。

二、波利亚“怎样解题表”在几何教学中的应用举例题目如图1所示，正方形ABCD中，点E是BC中点，AE!EF, EF 与正方形的外角/ DCP的平分线相交于点 F。

求证： AE=EF1.“弄清问题”阶段，教会学生形成正确的审题方法数学问题的给出是通过“数学语言”达到的。

波利亚怎样解题数学思维的新方法

波利亚怎样解题数学思维的新方法波利亚怎样解题数学思维的新方法引言波利亚（Pólya）是一位杰出的数学家，他在解决数学问题的方法上提出了一些有趣且有效的思维方式。

这些方法不仅适用于数学问题，还可以应用于各个领域的解决方案。

在本文中，我们将详细介绍波利亚的解题思维方法。

1. 理解问题在解决任何问题之前，首先要确保我们对问题有清晰的理解。

这包括理解问题陈述，确定问题类型，识别已知和未知条件。

•阅读问题陈述多次，确保理解所有细节。

•确定问题属于哪个领域，例如代数、几何、概率等。

•找出已知的条件和要求解的未知量。

2. 制定计划制定解决问题的计划非常重要，它有助于我们避免陷入困境和迷失方向。

•问自己：“是否已遇到类似的问题？”回顾过去的经验可能提供启示。

•尝试将问题分解为更简单的子问题。

•使用图表、模型、假设等工具来组织思维。

3. 执行计划一旦我们制定了计划，就可以开始执行。

•逐步执行计划的每个步骤，确保逻辑正确。

•需要时可以反复尝试和修改计划。

•在解决问题的过程中保持耐心和专注。

4. 回顾与扩展在解决问题之后，我们需要回顾整个过程，并思考如何进一步扩展解决方案。

•检查解决方案的正确性。

是否满足所有条件和要求？•思考是否有其他方法可以解决同样的问题。

•探索是否可以将所学的经验应用到其他领域或问题中。

结论通过波利亚的数学思维方法，我们能够更有条理地解决问题，并培养出创造性和灵活性的思维能力。

这种方法不仅适用于数学，还可以应用于科学、工程、计算机科学等领域。

通过理解问题、制定计划、执行计划以及回顾与扩展，我们可以成为更有效的问题解决者。

希望本文对读者能有所启发，使大家在解决问题时能够运用波利亚的数学思维方法取得更好的效果。

5. 实例分析现在让我们通过一个具体的例子来演示波利亚的解题思路。

问题：在一张长方形的草坪上，有一条长36英尺的围栏围成了一个边长为9英尺的正方形花坛。

我们需要在花坛内部种植花卉，计划使用正方形花坛边长为x英尺的石头砌成围墙。

波利亚的解题理论

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2. 掌握转化的方法
解题，实质上就是确立题中条件与问题或条件与结论逻辑上的必然联系，实现由未知向已知的转化．因此把一个数学题转化为我们曾经解决过的与之相似的数学题就成为解题的关键。如何转化？
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3. 及时调控的能力
所谓调控，是指对所进行的解题活动（包括解题模式的识别，解题策略的选择，解题途径的探索，解题方案的构思，解题前景的评价等）的自我意识、自我评估和自我调整.
是成功解决问题的一个必要前提
2. 拟订计划——是探索解题思路的发现过程，是关
键环节和核心内容。
3. 实现计划——是思路打通之后具体实施信息资源
的逻辑配置，“我们所需要的只是耐心”
4. 回顾——是最容易被忽视的阶段，波利亚对其作
。为解题的必要环节而固定下来，是一个有远见的做法
.
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值得注意的四个方面
或者是矛盾的？
(7) 画张图，引入适当的符号． (8) 把条件的各个部分分开，你能否把它们
写下来?
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第2 找出已知数与未知数之间的关系；如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题：你应该最终得出一个求解的计划——拟定计划．
(1) 你以前见过它吗?你是否见过相同的问题而形式稍有不同?
求得答案
数学问题解决的策略
1.分析给出的数据信息和条件; 2.表征信息----从外部和大脑内部; 3.建立假设和计划过程; 4.应用公式算法定理,监控这类应用; 5.决定和检验假设,反思.
变更题目的常用方法——题目
分解与组合——穷举法,中途点等价的题目回到定义
等价变换映射到别的领域简化特殊的题目约化极端情形
考虑具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题.

读《怎样解题——数学思维的新方法》有感

读《怎样解题——数学思维的新方法》有感第一篇：读《怎样解题——数学思维的新方法》有感读《怎样解题——数学思维的新方法》有感池月秋作者简介G·波利亚（GeorgePolya,1887—1985），著名美国数学家和数学教育家。

生于匈牙利布达佩斯。

1912年获布达佩斯大学博士学位。

1914年至1940年在瑞士苏黎世工业大学任数学助理教授、副教授和教授，1928年后任数学系主任。

1940年移居美国，历任布朗大学和斯坦福大学的教授。

1976年当选美国国家科学院院士。

还是匈牙利科学院、法兰西科学院、比利时布鲁塞尔国际哲学科学院和美国艺术和科学学院的院士。

其数学研究涉及复变函数、概率论、数论、数学分析、组合数学等众多领域。

1937年提出的波利亚计数定理是组合数学的重要工具。

长期从事数学教学，对数学思维的一般规律有深入的研究，这方面的名著有《怎样解题》、《数学的发现》、《数学与猜想》等，它们被译成多种文字，广为流传。

内容简介本书出自一位著名数学家G·波利亚的手笔，虽然它讨论的是数学中发现和发明的方法和规律，但是对在其他任何领域中怎样进行正确思维都有明显的指导作用。

本书围绕“探索法”这一主题，采用明晰动人的散文笔法，阐述了求得一个证明或解出一个未知数的数学方法怎样可以有助于解决任何“推理”性问题——从建造一座桥到猜出一个字谜。

一代又一代的读者尝到了本书的甜头，他们在本书的指导下，学会了怎样摒弃不相干的东西，直捣问题的心脏。

精彩分享怎样解题表第一步：弄清问题。

1.未知数是什么？已知数据是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知数，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？2.画张图，并引入适当的符号。

3.把条件的各部分分开，并把它们写下来。

第二步：拟订计划1.考虑以前是否见过它？是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道一个可能用得上的定理？2.考虑具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。

波利亚“怎样解题表”在最值问题中的应用

2013-10课堂内外乔治·波利亚是美籍匈牙利数学家、数学教育家，在解题方面，是数学启发法（指关于发现和发明的方法和规律）现代研究的先驱。

他在《怎样解题》一书中给出“怎样解题表”通过弄清问题—拟定计划—实现计划—回顾，四步呈现解题思维的全过程。

下面通过武汉市2013年中考数学第16题的解题过程来体会和展现波利亚解题风格。

一、例题如图1，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE =DF 。

连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H 。

若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是。

A图1图2二、解题实践1.弄清问题问题1：你要求解的是什么？（要求解的是线段的最小值）问题2：你有些什么？一方面是题目条件中给出正方形边长是2；另一方面（如图2）由∠ABE =∠DCF=∠DAG 可得∠AHB =90°。

2.拟定计划问题3：怎样才能求得DH 的取值范围？（根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，能否构造出如图3所示的△DHM ，并使DM 、HM 可求出，则DM-HM <DH <DM+HM）D图4问题4：怎样才能求得DH 的最小值？（如图4当D 、H 、M 三点共线，且点H 在点D 、点M 之间时，DH 最小；此时DH=DM -HM）BB图5图63.实现计划（如图5，取AB 中点M ，连HM 、DM ，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出HM =12AB =1，由勾股定理可求出DM =AD 2+AM 2√=5√，则5√-1<DH <5√+1。

当D 、H 、M 三点共线时，DH 最小值为5√-1）4.回顾正确检验每一步，看推理是否有效，演算是否准确，再作特殊性检验。

如图6，取AB 中点M ，连DM ，在MD 上取HM =12AB =2，则可得DH 取最小值为5√-1的特殊图形。

三、解题方法和思维策略反思解题方法主要是从结论出发由后往前推成立的充分条件。

波利亚“怎样解题表”在初中数学几何解题中的应用——以一道中考题为例

波利亚怎样解题表在初中数学几何解题中的应用以一道中考题为例杨㊀娟㊀钟文雯(成都市新都一中实验学校ꎬ四川成都６１０５００)摘㊀要:为弥补初中学生因为思考的不完整性而导致的做题难的问题ꎬ文章借助波利亚怎样解题表 ꎬ以２０２０年成都中考第２５题为例ꎬ还原具体的解题教学过程ꎬ反思存在的问题ꎬ促进教师教学ꎬ提高学生数学思维品质和数学科学素养.关键词: 怎样解题表 ꎻ解题教学ꎻ回顾反思中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１１－０００８－０３收稿日期:２０２３－０１－１５作者简介:杨小娟ꎬ女ꎬ四川省成都人ꎬ中学一级教师ꎬ从事初中数学教学研究ꎻ钟文雯ꎬ女ꎬ四川省成都人ꎬ中学二级教师ꎬ从事初中数学教学研究.１问题提出通过对中考中难题的完成情况以及解题方法㊁策略的了解ꎬ学生发现他们在平时的解题中存在思路不清晰㊁思维过程不完整㊁没有对问题进行及时的回顾反思和深入思考等现象ꎬ导致在时间有限的中考中ꎬ很难在短时间内找到解决问题的方法并得出最终的正确答案.因此笔者希望能够通过利用经过长期实践验证的对学生解题有切实帮助的解题方法波利亚怎样解题表 ꎬ弥补学生思考的不完整性ꎬ帮助学生在日常的解题学习中ꎬ形成完整的解题思路ꎬ从而培养他们的数学思维ꎬ从根本上提高他们的数学素养.２波利亚怎样解题表首先ꎬ理解题目.理解题目是解题的首要前提.从题目的叙述开始ꎬ熟悉题目ꎬ找出未知量 ꎬ深入理解题目ꎬ将题目的主要部分分离出来ꎬ 已知数据是什么?条件是什么?[１]其次ꎬ拟定方案.拟定方案是解题的关键步骤.首先通过观察未知量ꎬ并尽量想出一道你所熟悉的具有相同或相似未知量的题目[１].通过对比两者的共同点和区别ꎬ总结出类似题目的解决方法和策略ꎬ并尝试应用到待解题目中ꎬ找出已知数据与未知量之间的直接或间接联系ꎬ必要时考虑辅助题目ꎬ最终得出一个解题方案.这个过程需要联系旧知ꎬ符合学生最近发展区.再次ꎬ执行方案.执行方案是解题的具体实施过程.执行之前拟定的方案是对解题方案的合理性和正确性的检验ꎬ培养学生整理零散思路ꎬ形成条理性思维.最后ꎬ回顾.回顾是对解题过程的检验和完善ꎬ是对数学思维和素养培养的提升.通过检验解题中所得到的结果和论证㊁用不同的方法推导结果实现一题多解并进行方法优劣的比较从中择优择简㊁考虑所得结果和方法在其它题目中的适用性最终实现对知识的迁移.但这个步骤在实际解题往往是最容易被忽略的. 怎样解题表的四个环节是在完整解答一道题目时必定会涉及到的ꎬ是思维的层层递进ꎬ且更多的是教师启发性的提问ꎬ而不是一种解题的固定模式ꎬ所以教师在启发学生解答题目时ꎬ并非要涉及到８表中的所有问题ꎬ而应根据不同题目灵活运用ꎬ创造性地使用怎样解题表 [２].３波利亚怎样解题表在初中数学解题及教学中的具体应用㊀㊀例１㊀面积为６的▱ＡＢＣＤ纸片中ꎬＡＢ＝３ꎬøＢＡＤ＝４５ʎꎬ按下列步骤进行剪裁和拼图.图１㊀▱ＡＢＣＤ剪开图㊀㊀㊀图２㊀平行四边形剪开图㊀㊀㊀图３㊀三角形ＤＣＦ翻转图第一步:如图１ꎬ将▱ＡＢＣＤ纸片沿对角线ＢＤ剪开ꎬ得到әＡＢＤ和әＢＣＤ纸片ꎬ再将әＡＢＤ纸片沿ＡＥ剪开(Ｅ为ＢＤ上任意一点)ꎬ得到әＡＢＥ和әＡＤＥ纸片ꎻ第二步:如图２ꎬ将әＡＢＥ纸片平移至әＤＣＦ处ꎬ将әＡＤＥ纸片平移至әＢＣＧ处ꎻ第三步:如图３ꎬ将әＤＣＦ纸片翻转过来使其背面朝上置于әＰＱＭ处(边ＰＱ与ＤＣ重合ꎬәＰＱＭ与әＤＣＦ在ＣＤ同侧)ꎬ将әＢＣＧ纸片翻转过来使其背面朝上置于әＰＲＮ处(边ＰＲ与ＢＣ重合ꎬәＰＲＮ与әＢＣＧ在ＢＣ同侧).则由纸片拼成的五边形ＰＭＱＲＮ中ꎬ对角线ＭＮ长度的最小值为.３.１第一步:耐心审题ꎬ理解题目首先要明确目标: 该题的未知量是什么? 五边形的一条对角线的最小值.已知数据是什么?▱的面积㊁一条边和一个角.条件是什么?对▱ＡＢＣＤ纸片进行裁剪ꎬ并将某些部分进行平移㊁翻转变换得到五边形ＰＭＱＲＮ.未知量和条件之间的联系是什么?或者说通过现有的条件是否能够确定未知量?３.２第二步:探索思路ꎬ拟定方案我们已经知道了未知量是五边形的一条对角线的最小值ꎬ那你们能想到一道和该题未知量相同的题吗?没有吧ꎬ我们没有学过怎样求五边形的对角线. 那能想到一道和该题未知量相似的题吗?抛开五边形这个前提ꎬ把重点放到对角线上ꎬ请大家仔细想想ꎬ有没有学过求其它多边形的对角线?有的ꎬ我们学过求正方形㊁长方形㊁还有菱形的对角线.非常好!大家想到了以前学过的三个特殊的四边形ꎬ那还能想起它们的对角线是怎么求的吗? 如果我们已知正方形的边长为ａꎬ那么正方形的对角线就可以表示为ａ２＋ａ２＝２ａꎻ若已知长方形的长为ａꎬ宽为ｂꎬ则长方形的对角线就可以表示为ａ２＋ｂ２ꎻ若已知菱形的边长为ａꎬ较小的内角为６０ʎꎬ则菱形的较短的那条对角线就可以表示为２ˑａｓｉｎ３０ʎ＝ａꎬ较长的那条对角线就可以表示为２ˑａｃｏｓ３０ʎ＝２３ａ.连接ＭＮ后得到әＭＮＰ(如图４)ꎬ但不知道它是否为直角三角形.图４㊀图３变式１图㊀㊀图５㊀图３变式２图㊀图６㊀图３变式３图所以下一步需要去尝试判断它是否为直角三角形?如果әＭＮＰ是直角三角形ꎬ那此时未知量是什么呢?未知量是ＲｔәＭＮＰ(如图５)的斜边ＭＮ.如果我们知道了直角边ＭＰ和直角边ＮＰ的值ꎬ那我们就可以用勾股定理求出ＭＮ啦!那直角边ＭＰ和直角边ＮＰ的值是否已知呢? 未知ꎬ但通过题目中的已知数据和条件应该是可以求出ＭＰ和ＮＰ的值ꎬ是等于ＡＥ.所以只要求出ＡＥ的最小值ꎬＭＮ的最小值就求出来啦!非常棒!现在解决这道题的方案就拟订好了:先证明әＭＮＰ是直角三角形ꎬＭＰ＝ＮＰ＝ＡＥꎻ再求ＡＥ的最小值.３.３第三步:执行方案ꎬ细化推理待解决的问题一:证明әＭＮＰ是直角三角形ꎬＭＰ＝ＮＰ＝ＡＥ.９回归定义:平移㊁翻折是全等变换ꎬ变换前后的全等图形中对应边㊁对应角相等.证明:由题意可知:әＡＤＥɸәＢＣＧɸәＰＲＮꎬәＡＢＥɸәＤＣＦɸәＰＱＭꎬ因为øＭＰＱ＝øＥＡＢꎬøＲＰＮ＝øＤＡＥꎬＰＭ＝ＰＮ＝ＡＥꎬ所以øＭＰＱ＋øＲＰＮ＝øＥＡＢ＋øＤＡＥ＝４５ʎꎬ又因为▱ＡＢＣＤꎬ所以øＤＡＢ＝øＤＰ(Ｃ)Ｂ＝４５ʎꎬ所以øＭＰＮ＝øＭＰＱ＋øＲＰＮ＋øＤＰＢ＝４５ʎ＋４５ʎ＝９０ʎꎬ于是ＭＮ＝ＰＭ２＋ＰＮ２＝ＡＥ２＋ＡＥ２＝２ＡＥꎬ待解决的问题二:求ＡＥ的最小值回归定义:垂线段最短.解:过点Ｄ作ＤＨʅＡＢ于点Ｈꎬ根据垂线段最短ꎬ因为当ＡＥʅＤＢ时ꎬＡＥ最小ꎬ此时ＭＮ有最小值ꎬＳ平行四边形纸片ＡＢＣＤ＝ＡＢＤＨ＝６ꎬ所以ＤＨ＝６ＡＢ＝２ꎬ在ＲｔәＡＤＨ中ꎬＡＨ＝ＤＨｔａｎ４５ʎ＝ＤＨ＝２ꎬＢＨ＝ＡＢ－ＡＨ＝１ꎬ所以在ＲｔәＢＤＨ中ꎬＢＤ＝ＤＨ２＋ＢＨ２＝２２＋１２＝５ꎬＳәＡＢＤ＝１２ＡＢＤＨ＝１２ＢＤＡＥꎬＡＥ＝ＡＢＤＨＤＢ＝３ˑ２５＝６５５ꎬＭＮ的最小值＝２ＡＥ＝６１０５.３.４第四步:回顾反思ꎬ深化理解３.４.１转换角度ꎬ一题多解解法一(分析法):在上述解答过程中ꎬ我们的关注点是放在未知量上ꎬ此时解题的思维模式是找未知量解出未知量所需要的条件ң对比题目已知数据和条件是否符合.解法二(直接法):在学生自主思考解题时ꎬ他们可能会把更多关注点是放在已知量上ꎬ此时解题的思维模式是看已知量ң通过已知量能得出的可能结果ң在众多结果中找到该题的结果.两种解法的思维方式和立足点是截然不同的.解法一是从结果找条件ꎬ解法二则是由已知推未知ꎬ显然解法一能很好的避免学生在解题过程中偏题ꎬ但对学生的知识储备和思维能力要求较高ꎬ而解法二则降低了对学生的思维能力要求ꎬ但同时也容易使学生在解题过程中偏离ꎬ浪费时间.３.４.２原题目条件不变ꎬ只改问题将原问题则由纸片拼成的五边形ＰＭＱＲＮ中ꎬ对角线ＭＮ长度的最小值为. 改为:则由纸片拼成的五边形ＰＭＱＲＮ中ꎬ当对角线ＭＮ长度取最小值时ꎬ求阴影部分的面积?通过这样的改编ꎬ是在能够解决原问题的基础上ꎬ进一步加强了对三角形相似知识点的考查ꎬ拓宽了考查面ꎬ从不同角度探析其解题思路ꎬ并通过变式探究这一类问题的通解[３].通过利用波利亚怎样解题表解决上述问题ꎬ很好地展现了波利亚怎样解题表在初中数学解题中的具体应用ꎬ同时也反映出波利亚怎样解题表中所提供的完整的解题步骤.理解题目ꎬ弄清已知未知ꎻ联系旧知ꎬ以旧法解新题ꎬ已知未知建立联系ꎬ细化目标ꎬ逐一求解ꎻ回顾反思ꎬ深化结果迁移解题方法ꎬ为学生的数学解题提供了清晰的思路ꎬ能够帮助学生找到明确的解题方向最终得出正确答案.同时波利亚怎样解题表中所提到的回顾的环节ꎬ指导学生学习深入思考问题㊁发现问题㊁提出新问题ꎬ使学生的思维不仅仅局限于解这一道题上ꎬ对于提高学生的数学思维的培养也有很大帮助.因此ꎬ在日常解题教学中ꎬ教师应该起到积极引导的作用ꎬ有目的性地引导学生ꎬ灵活利用波利亚怎样解题表的解题思维进行解题ꎬ启发学生思考ꎬ从而有效提升解题效率.参考文献:[１]Ｇ.波利亚.怎样解题[Ｍ].涂泓ꎬ译.上海:上海教育科技出版社ꎬ２０１１.[２]徐彦辉. 怎样解题表应用两例[Ｊ].高等数学研究ꎬ２０１４ꎬ１７(０４):６７－７０.[３]杨虎.解法赏析思变式变式探究寻通解[Ｊ].河北理科教学研究ꎬ２０１７(０４):１２－１５.[责任编辑:李㊀璟]０１。

波利亚解题表

（7）这个问题的一般形式是什么？（8）你能解决问题的一部分吗？（9）这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题.你能不能利用它?你能利用它的结果吗?你能利用它的方法吗?为了能利用它,你是否应该引入某些辅助元素? （10）你用了全部条件吗？
实施计划

（1）实现你的解题计划并检验每一步骤。（2）你能清楚地看出这一步骤是正确的吗?你能否证明这一步骤是正确的。
谢谢大家！

从思维活动的角度分析，波利亚认为： “在解题过程中，思维活动主要表现为动员和组织，即从记忆中把有关条款有目的的联系起来”。“资源充足和组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资源。… …良好的组织使得所提供的知识易于用上，这甚至可能比知识的广泛更为重要。至少在有些情况下，知识太多可能反而成为累赘，它可能会妨碍解题者去看出一条简单的途径，而良好的组织则有利而无弊。”
回顾： Nhomakorabea（1）检查结果并检验其正确性. （2）你能否用别的方法做这道题? （3）你能不能尝试把你的结果和方法用到其它问题上去?

波利亚指出,最糟糕的情况是:”学生并没有理解问题就进行演算或作图.一般说来, 在尚未看到主要联系或者尚未作出某种计划的情况下,去处理细节是毫无用处的.”
※波利亚解题表
美籍匈牙利数学家、教育家乔治· 波利亚（George Polya)的“怎样解题表”：

弄清问题拟订计划实施计划回顾
弄清问题

（1）已知是什么？未知是什么？（2）条件是什么？结论是什么？（3）画个草图，引入适当的符号.
拟订计划

（1）你见过这道题或与之类似的题吗？（2）你能联想起有关的定理或公式吗？（3）再看看未知数！试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题. （4）换一个方式来叙述这道题. （5）回到定义去. （6）先解决一个特例试试.

波利亚四步解题法

波利亚四步解题法1. 什么是波利亚四步解题法？波利亚四步解题法（Polya’s Four-Step Problem Solving Method）是由匈牙利数学家乔治·波利亚（George Pólya）提出的一种解决问题的方法。

这个方法适用于各种领域的问题，包括数学、科学、工程等。

波利亚四步解题法的核心思想是通过有序、系统的方式来解决问题，以确保每个步骤都得到适当的考虑和分析。

这种方法强调了问题解决过程中的创造性思维和灵活性，而不仅仅是机械地应用公式和算法。

2. 波利亚四步解题法的四个步骤2.1 理解问题（Understand the problem）在解决任何问题之前，首先需要全面理解问题的要求和限制。

这包括明确问题所涉及的概念、条件和目标。

在这一步骤中，可以通过以下几个方面来帮助理解问题：•仔细阅读问题陈述，并将其转化为自己理解的语言。

•将关键信息提取出来，并进行归纳总结。

•确定问题的目标和要求，明确需要解决的具体内容。

理解问题的过程中，可以使用思维导图、流程图等工具来帮助整理和梳理思路。

2.2 制定计划（Devise a plan）在理解问题之后，接下来需要制定解决问题的计划。

这个步骤是一个关键的思考过程，它要求我们考虑使用哪些方法、公式或算法来解决问题。

以下是一些常见的解题策略：•找出类似的问题，并尝试将其应用到当前问题上。

•将大问题分解为小问题，并逐一解决。

•使用图表、模型或示意图来帮助理清思路。

制定计划时，可以尝试不同的方法和角度，寻找最适合自己的解题策略。

2.3 执行计划（Carry out the plan）在制定好计划之后，就可以开始执行计划了。

这一步骤是具体操作和计算的过程。

根据制定的计划，按照一步一步地进行操作，直到得出最终结果。

在执行计划时，需要注意以下几点：•确保每个步骤都正确无误地执行。

•保持记录和注释，以便追溯和复查。

•尝试不同的方法和技巧，以获得更好的结果。

波利亚“解题表”在三角函数中的应用

波利亚“解题表”在三角函数中的应用学生是否能快速地寻找到解题的思路，取决于他是否掌握了解题的方法。

波利亚的“解题表”不仅可以帮助学生在面对各种题型时快速找到解题的思路，在考试中发挥自如，也可以帮助老师讲解课本内容，让学生切身体会到波利亚解题表的作用。

标签：波利亚、波利亚解题表、三角函数Abstract：Whether a student can quickly find the way to solve a problem depends on whether he grasps the meth od of understanding the problem. Polya’s “problem-solving table” can not only help students find the way to solve problems quickly when they face various types of problems，but also help teachers explain the content of textbooks，so that students can realize the function of Polya’s problem-solving table.Key words：George Polya；Polya’s “problem-solving table”；trigonometric function.在人才輩出的新时代，依据新课程标准[1]的理念来命题的高考不仅是考查学生知识技能的方式，更是高校选拔人才的途径之一。

因此解题成了学生学习中的一项重要任务，解题错误也成为了学生常常遇到的现象。

为了让学生在考场上更好发挥，教师要注重培养学生良好的数学思维，将数学的解题思想渗透于整个数学的学习过程中，注重培养数学解题的技巧和规律，以不变应万变。

为了使广大读者快速掌握解题的方法，作者将要介绍一种中学常用的解题方法——波利亚解题表[2]，它包括以下四个步骤：弄清问题；拟定计划；实施计划；回顾。

波利亚的数学解题思想在求解一元一次方程实际问题中的应用-教育文档

波利亚的数学解题思想在求解一元一次方程实际问题中的应用-教育文档(总8页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--波利亚的数学解题思想在求解一元一次方程实际问题中的应用一、波利亚的数学解题思想简介波利亚认为：“学校的目的应该是发展学生本身的内蕴能力，而不仅仅是传授知识。

”在数学学科中，波利亚认为能力就是指学生解决问题的才智，这里所指的问题，不仅仅是寻常的，它还要求人们具有某种程度的独立见解、判断力、能动性的创造精神。

他发现，在数学上要想获得重大的成就或发现，就应该注重平时的解题。

因此，波利亚曾指出：“中学数学教学的首要任务就是要加强解题的训练。

”而这种“解题”并不同于“题海战术”，波利亚主张在解题教学中要善于选择一道有意义但又不太复杂的题目去帮助学生深入挖掘题目的各个侧面，使学生通过这一道题，就如同通过一道大门进入一个暂新的天地。

他所提出的“怎样解题”表只是“题海游泳术”的纲领，他认为解题应该作为培养学生的数学才能和教会他们思考的一种手段和途径。

二、波利亚解题表简介波利亚的解题思想集中体现在解题表上，该解题表主要分为四个部分，分别为理解题目、拟定方案、执行方案、回顾反思。

具体的步骤及问题如下表：三、一元一次方程实际问题教学的重要性方程是贯穿中学数学教学的一条重要纽带，而一元一次方程作为最基础的方程，是教学的重点，也是教学的难点。

掌握一元一次方程应用题解题方法是中学生学好方程的关键，也是学好数学的一个关键环节，能使学生在更深层次上理解数学，进而学好数学。

刚刚从小学升入初中的学生，通过对应用题的学习，对数学概念的形成，数学命题的掌握，数学方法和技能的获得都将起到重大的作用。

一元一次方程的应用是让学生通过审题，根据应用题的现实意义，找出等量关系，列出有关方程。

一元一次方程的应用题，为学生初中阶段学好必备的代数、几何的基础知识与基本技能，解决实际问题起到启蒙作用，对其他学科的学习也将起到积极的促进作用。

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