六年级奥数几何;第4讲;几何综合_一_;学生版

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六年级奥数.几何.圆柱与圆锥(AB级).学生版

六年级奥数.几何.圆柱与圆锥(A B级).学生版work Information Technology Company.2020YEAR立体图形表面积体积圆柱hr222π2πS rh r =+=+圆柱侧面积个底面积2πV r h =圆柱圆锥h r22ππ360nS l r =+=+圆锥侧面积底面积注：l 是母线，即从顶点到底面圆上的线段长 21π3V r h =圆锥体◆ 求表面积时要注意几点：一、有几个底面。

二、结果近似数，进一法、去尾法、四舍五入法．．．．．．．．．．．．．。

三、单位是否统一。

◆ 圆柱与圆锥的关系等底等高的圆柱和圆锥：圆柱的体积是圆锥体积的3倍；等底等体积的圆柱和圆锥：圆锥的高是圆柱的高的3倍；等高等体积的圆柱和圆锥：圆锥的底面积是圆柱的底面积的3倍板块一圆柱与圆锥【例 1】如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体．问这个物体的表面积是多少平方米？(π取3.14)1110.511.5例题精讲知识框架圆柱与圆锥有一个底面无底面鱼缸、厨师帽、烟囱、排水管、压路机【例 2】有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米(见右图)．如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？【例 3】【例 4】(第四届希望杯2试试题)圆柱体的侧面展开，放平，是边长分别为10厘米和12厘米的长方形，那么这个圆柱体的体积是________立方厘米．(结果用π表示)【例 5】如右图，是一个长方形铁皮，利用图中的阴影部分，刚好能做成一个油桶(接头处忽略不计)，求这个油桶的容积．(π 3.14=)【巩固】如图，有一张长方形铁皮，剪下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成1个圆柱体，这个圆柱体的底面半径为10厘米，那么原来长方形铁皮的面积是多少平方厘米？(π 3.14=)【例 6】把一个高是8厘米的圆柱体，沿水平方向锯去2厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少12.56平方厘米．原来的圆柱体的体积是多少立方厘米？【例 7】【巩固】一个圆柱体底面周长和高相等．如果高缩短4厘米，表面积就减少50.24平方厘米．求这个圆柱体的表面积是多少？4cm【例 8】(2008年第二届两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)一个圆柱体形状的木棒，沿着底面直径竖直切成两部分．已知这两部分的表面积之和比圆柱体的表面积大22008cm，则这个圆柱体木棒的侧面积是________2cm．(π取3.14)第2题【巩固】已知圆柱体的高是10厘米，由底面圆心垂直切开，把圆柱分成相等的两半，表面积增加了40平方厘米，求圆柱体的体积．(π3=)【例 9】一个圆柱体的体积是50.24立方厘米，底面半径是2厘米．将它的底面平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了多少平方厘米 (π 3.14=)【例 10】右图是一个零件的直观图．下部是一个棱长为40cm的正方体，上部是圆柱体的一半．求这个零件的表面积和体积．【例 11】输液100毫升，每分钟输2.5毫升．如图，请你观察第12分钟时图中的数据，问：整个吊瓶的容积是多少毫升？【例 12】【例 13】 (2008年”希望杯”五年级第2试)一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水(如图)，由图中的数据可推知瓶子的容积是_______ 立方厘米．(π取3.14)8(单位：厘米)4106【巩固】一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈)，如图．已知它的容积为26.4π立方厘米．当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米；瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米．问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米合多少升26【巩固】一个酒瓶里面深30cm ，底面内直径是10cm ，瓶里酒深15cm ．把酒瓶塞紧后使其瓶口向下倒立这时酒深25cm ．酒瓶的容积是多少？(π取3)253015【巩固】一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水，瓶底面积为10平方厘米，(如下图所示)，请你根据图中【巩固】一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱体和一个圆锥体组成，圆柱体的底面直径和高都是12厘米．其内有一些水，正放时水面离容器顶11厘米，倒放时水面离顶部5厘米，那么这个容器的容积是多少立方厘米？(π3)5cm【例 14】 (第四届希望杯2试试题)如图，底面积为50平方厘米的圆柱形容器中装有水，水面上漂浮着一块棱长为5厘米的正方体木块，木块浮出水面的高度是2厘米．若将木块从容器中取出，水面将下降________厘米．【例 15】有两个棱长为8厘米的正方体盒子，A 盒中放入直径为8厘米、高为8厘米的圆柱体铁块一个，B 盒中放入直径为4厘米、高为8厘米的圆柱体铁块4个，现在A 盒注满水，把A 盒的水倒入B 盒，使B 盒也注满水，问A 盒余下的水是多少立方厘米？【例 16】【例 17】兰州来的马师傅擅长做拉面，拉出的面条很细很细，他每次做拉面的步骤是这样的：将一个面团先搓成圆柱形面棍，长1.6米．然后对折，拉长到1.6米；再对折，拉长到1.6米……照此继续进行下去，最后拉出的面条粗细(直径)仅有原先面棍的164．问：最后马师傅拉出的这些细面条的总长有多少米(【例 18】假设马师傅拉面的过程中．面条始终保持为粗细均匀的圆柱形，而且没有任何浪费) 【例 19】【例 20】一个圆柱形容器内放有一个长方形铁块．现打开水龙头往容器中灌水．3分钟时水面恰好没过长方体的顶面．再过18分钟水灌满容器．已知容器的高为50厘米，长方体的高为20厘米，求长方体底面面积与容器底面面积之比．【巩固】有甲、乙两个圆柱形容器，甲容器的底面积是690 cm2，乙容器的底面积是230 cm2，甲容器中的水深36cm，现将其中一部分水倒入空着的乙容器中，使甲、乙两容器内的水深一样，则甲、乙容器中水深多少厘米？【巩固】【巩固】甲乙两个圆柱形水杯，甲的底面半径3厘米，里面盛有高13厘米的水，乙圆柱底面半径2厘米，里面没有水，甲杯水倒入乙杯一部分，使两杯水面一样高，求现在乙杯水的高度。

小学六年级奥数知识整理：几何初步认识

小学六年级奥数知识整理：几何初步认识1、长方形(1) 特征对边相等， 4 个角都是直角的四边形。

有两条对称轴。

(2) 计算公式c=2(a+b)s=ab2、正方形(1) 特征：四条边都相等，四个角都是直角的四边形。

有 4 条对称轴。

(2) 计算公式c=4as=a23、三角形(1) 特征由三条线段围成的图形。

内角和是180 度。

三角形具有稳定性。

三角形有三条高。

(2) 计算公式s=ah/2(3) 分类按角分锐角三角形：三个角都是锐角直角三角形：有一个角是直角。

等腰三角形的两个锐角各为45 度，它有一条对称轴。

钝角三角形：有一个角是钝角。

按边分不等边三角形：三条边长度不相等。

等腰三角形：有两条边长度相等;两个底角相等;有一条对称轴。

等边三角形：三条边长度都相等; 三个内角都是60度;有三条对称轴。

4、平行四边形(1) 特征两组对边分别平行的四边形。

相对的边平行且相等。

对角相等，相邻的两个角的度数之和为180 度。

平行四边形容易变形。

(2) 计算公式s=ah5、梯形(1) 特征只有一组对边平行的四边形。

中位线等于上下底和的一半。

等腰梯形有一条对称轴。

(2) 公式s=(a+b)h/2=mh6、圆(1) 圆的理解平面上的一种曲线图形。

圆中心的一点叫做圆心。

一般用字母o 表示。

半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。

一般用r 表示。

在同一个圆里，有无数条半径，每条半径的长度都相等。

直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。

一般用 d 表示。

同一个圆里有无数条直径，所有的直径都相等。

同一个圆里，直径等于两个半径的长度，即d=2r 。

圆的大小由半径决定。

圆有无数条对称轴。

(2) 圆的画法把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离(即半径); 把有针尖的一只脚固定在一点(即圆心) 上; 把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。

(3) 圆的周长围成圆的曲线的长叫做圆的周长。

把圆的周长和直径的比值叫做圆周率。

用字母n表示。

小学奥数几何知识点讲解

小学奥数几何知识点讲解几何是数学的一个重要分支，主要研究空间形状、大小、相对位置等概念及其性质和关系。

在小学奥数竞赛中，几何是一个常见的考察内容。

下面我将为大家讲解一些小学奥数几何知识点，希望能够帮助大家更好地应对几何题目。

1.点、线、面的概念在几何中，点是没有大小和形状的，只有位置的概念。

线是由无数个点组成的，没有宽度、长度、厚度等，可以用箭头表示方向。

面是由无数个点和线组成的，是平面上的一个二维图形。

2.正方形、长方形、三角形正方形是一种四条边都相等且角都是直角的四边形，它拥有四条对称轴。

长方形是一种拥有两组相等的对边和四个直角的四边形，它有两条对称轴。

三角形是一种由三条边和三个角组成的图形。

3.圆和半圆圆是由等距离圆心的所有点组成的集合，圆心到圆上任意一点的距离都相等。

半圆是圆的一半，由圆周上的一个弧和两条半径组成。

4.平行线和垂直线平行线是在同一个平面内永远不会相交的两条直线。

垂直线是与另一条线段相交时，两条线段之间的角度为90度的线。

5.直角、锐角和钝角直角是一个角度为90度的角，锐角是小于90度的角，钝角是大于90度小于180度的角。

6.对称和中心对称对称是指两个物体在一些轴线上镜像重合的关系，中心对称是指一个图形可以通过一些点进行旋转180度后重合。

7.面积和周长面积是指一个二维图形所占的空间大小，通常用平方单位表示，如平方厘米、平方米等。

周长是指一个图形的边缘长度。

8.直角三角形和勾股定理直角三角形是一种其中一个角为90度的三角形。

勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方之和等于斜边的平方，即a²+b²=c²。

9.分数、比例和相似分数是表示一个整体被分成几等份的表达方式。

比例是指两个或多个数之间的等比关系。

相似是指两个图形有相同的形状，但是可能有不同的大小。

10.正多边形和不规则图形正多边形是指所有边和角都相等的多边形。

不规则图形是指边和角都不相等的图形。

小学六年级奥数系列讲座几何综合(含答案解析)

几何综合（一）几何图形的设计与构造．涉及比例与整数分解，需要添加辅助线、寻找规律或利用对称性解的较为复杂的直线形和圆的周长与面积计算问题．1．今有9盆花要在平地上摆成9行，其中每盆花都有3行通过，而且每行都通过3盆花．请你给出一种设计方案，画图时用点表示花，用直线表示行.【分析与解】如下图所示，我们给出四种不同的排法．2．已知如图12-1，一个六边形的6个内角都是120°，其连续四边的长依次是1、9、9、5厘米．求这个六边形的周长．【分析与解】如下图所示，将六边形的六条边分别延长，相交至三点，并将其标上字母，因为∠BAF=120°，而么∠IAF=180°-∠BAF=60°．又∠EFA=120°，而∠IFA=180°-∠EFA：60°，则△IAF为等边三角形．同理△BCG、△EHD、△IGH均为等边三角形．在△IAF中，有IA=IF=AF=9(厘米)，在△BGC中，有BG=GC=BC=1(厘米)，有IA+AB+BG=IG=9+9+1=19，即为大正三角形的边长，所以有IG=IH=GH=19(厘米)．则EH=IH-IF-FE=19-9-5=5(厘米)，在△EDH中，DH=EH=5(厘米)，所以CD=GH-GC-DH=19-1-5=13(厘米)．于是，原图中六边形的周长为1+9+9+5+5+13=42(厘米)．3．图12-2中共有16条线段，每两条相邻的线段都是互相垂直的．为了计算出这个图形的周长，最少要量出多少条线段的长度?【分析与解】如下图所示，我们想像某只昆虫绕图形爬行一周，回到原出发点，那么往右的路程等于往左的路程，往上的路程等于往下的路程．于是只用量出往右的路程，往下的路程，再将它们的和乘以2即为所求的周长．所以，最少的量出下列6段即可．4．将图12-3中的三角形纸片沿虚线折叠得到图12-4，其中的粗实线图形面积与原三角形面积之比为2：3．已知图12-4中3个画阴影的三角形面积之和为1，那么重叠部分的面积为多少?【分析与解】设重叠部分的面积为x，则原三角形面积为1+2x，粗实线的面棚为1+x.因此(1+2x)：(1+x)=3：2，解得x=1，即重叠部分面积为1．5．如图12-5，涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米．问：大正六角星形的面积是多少平方厘米?【分析与解】如下图所示，在正六边形ABCDEF 中,与面积相等，12个组成小正六角星形，那么由6个及12个组成的正六边形的面积为16÷12×(12+6)=24(平方厘米)．而通过下图，我们知道，正六边形ABCDEF 可以分成6个小正三角形，并且它们面积相等，且与六个角的面积相等，所以大正六角星形的积为24÷6×12=48(平方厘米)．6．如图12-6所示，在三角形ABC 中，DC=3BD ，DE=EA ．若三角形ABC 的面积是1．则阴影部分的面积是多少?【分析与解】 △ABC 、△ADC 同高，所以底的比等于面积比，那么有33.44ADC ABC ABC DC S S S BC ∆∆∆=⨯=⨯=而E 为AD 中点，所以13.28DEC ADC S S ∆∆== 连接FD ，△DFE 、△FAE 面积相等，设,FEA S x ∆=则．FDE S ∆的面积也为x ，11.44ABD ABC S S ∆∆==12,4BDF ABD FEA FDE S S S S x ∆∆∆∆=--=-而3.8FDC FDE DEC S S S x ∆∆∆=+=+ 13:(2);()1:348BDF FDC S S x x ∆∆=-+=，解得356x =.所以，阴影部分面积为333.8567DEC FEA S S ∆∆+=+=7．如图12-7，P 是三角形ABC 内一点，DE 平行于AB ，FG 平行于BC ，HI 平行于CA ，四边形AIPD 的面积是12，四边形PGCH 的面积是15，四边形BEPF 的面积是20．那么三角形ABC 的面积是多少?【分析与解】有平行四边形AIPD 与平行四边形PGCH 的面积比为IP 与PH 的比，即为12：15=4：5．同理有FP:PG=20:15=4:3， DP:PE=12:20=3:5．如图12-7(a)，连接PC 、HD ，有△PHC 的面积为152△DPH 与△PHC 同底PH ，同高，所以面积相等，即152DPH S ∆=，而△DPH 与△EP H 的高相等，所以底的比即为面积的比，有::3:5DPH EPH S S DP PE ∆∆==，所以551525.3322EPH DPH S S ∆∆=⨯=⨯⨯如图12-7(b)所示，连接FH 、BP ，4108;5IFP EPH FBP IP IP S S S PH PH ∆∆∆===⨯=如图12-7(c)所示，连接FD 、AP ，396.42DPG DFP APD PG PG S S S FP FP ∆∆∆===⨯=有925122015872.22ABC AIPD BEPFCGPHIFP DGP EHP S SSSS S S ∆∆∆∆=+++++=+++++=8．如图12-8，长方形的面积是小于100的整数，它的内部有三个边长是整数的正方形，①号正方形的边长是长方形长的512，②号正方形的边长是长方形宽的18．那么，图中阴影部分的面积是多少?【分析与解】有①号正方形的边长为长方形长的512，则图中未标号的正方形的边长为长方形长的712. 而②号正方形的边长为宽的18，所以未标号的正方形的边长为长方形宽的78. 所以在长方形中有：712长=78宽，则长：宽=12：8，不妨设长的为12k ，宽为8k ，则①号正方形的边长为5k ，又是整数，所以k 为整数，有长方形的面积为962k ,不大于100．所以k 只能为1，即长方形的长为12，宽为8．于是，图中①号正方形的边长为5，②号正方形的边长为1，则未标号的正方形的边长为7，所以剩余的阴影部分的面积为： 22212851721.⨯---=9．如图12-9，三个一样大小的正方形放在一个长方形的盒内，A和B是两个正方形重叠部分，C，D，E是空出的部分，这些部分都是长方形，它们的面积比是A：B：C：D：E=1：2：3：4：5．那么这个长方形的长与宽之比是多少?【分析与解】以下用E横表示E部分横向的长度，E坚竖表示E部分竖向的长度，其他下标意义类似．有E横：D横=5：4，A横：B横=l：2．而E横+A横=D横+B横，所以有E横：D横：A横：B横=5：4：1：2．而A横+B横+C横=E横+A横对应为5+1=6，那么C横对应为3．而A面积：B面积：C面积=1：2：3，所以A坚=B坚=C坚．有A坚+C坚竖对应为6，所以A坚=C坚对应为3．那么长方形的竖边为6+C坚对应为9，长方形横边为E横+6+D横对应为5+6+4=15．所以长方形的长与宽的比为15：9=5：3．10．如图12-10，红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个正方形盒内，它们之间互相叠合．已知露在外面的部分中，红色的面积是20，黄色的面积是14，绿色的面积是lO．那么，正方形盒子的底面积是多少?【分析与解】如下图所示，我们将黄色的正方形纸片向左推向纸盒的过缘，有露在外面的部分，黄色减少的面积等于绿色增加的面积，也就是说黄色、绿色部分露在外面部分的面积和不变．并且有变化后，黄色露出面积+红色部分面积，绿色露出面积+红色部分面积，都是小正方形纸片边长乘以大正方形盒子边长的积．所以，黄色露出面积+红色部分面积=绿色露出面积+红色部分面积，于是．黄色露出面积=绿色露出面积，而它们的和为14+10=24，即黄色露出面积=绿色露出面积=12．有黄：空白=红：绿，12：空白=20：12，解得空白=7.2，所以整个正方形纸盒的底面积为12+7.2+20+12=51.2．11．如图12-11，在长260厘米，宽150厘米的台球桌上，有6个球袋A，B，C，D，E，F，其中AB=EF=130厘米．现在从4处沿45°方向打出一球，碰到桌边后又沿45°方向弹出，当再碰到桌边时，仍沿45°方向弹出，如此继续下去．假如球可以一直运动，直至落入某个球袋中为止，那么它将落人哪个袋中?【分析与解】将每个点的位置用一组数来表示，前一个数是这个点到FA的距离，后一个数是点到FD的距离，于是A的位置为(0，150)，球经过的路线为：(0,150)→(150,0) →(260,110) →(220，150) →(70，0) →(0，70) →(80，150) →(230,0) →(260，30) →(140，150) →(0，10) →(10，0) →(160，150) →(260，50) →(210,0) →(60，150) →(0，90) →(90，0) →(240，150) →(260，130) →(130，0)．因此，该球最后落入E袋．12．长方形ABCD是一个弹子盘，四角有洞．弹子从A出发，路线与边成45度角，撞到边界即反弹，并一直按此规律运动，直到落人一个洞内为止．如图12-12．当AB=4，AD=3时，弹子最后落入B洞．问：若AB=1995，AD=1994时，弹子最后落入哪个洞?在落入洞之前，撞击BC边多少次?【分析与解】撞击AD边的点，每次由A向D移动2；撞击BC边的点，每次由C向B移动2．因为第一次撞击BC边的点距C点1，第一次撞击AB边的点距A点为2，1994÷2=997．所以最后落人D洞，在此之前撞击BC边997次．13．10个一样大的圆摆成如图12-13所示的形状．过图中所示两个圆心A，B作直线，那么直线右上方圆内图形面积总和与直线左下圆内图形面积总和的比是多少?【分析与解】直线AB的右上方的有2个完整的圆，2个半圆，1个1个而1个1个正好组成一个完整的圆，即共有4个完整的圆．那么直线AB的左下方有10-4=6个完整的圆，每个圆的面积相等，所以直线右上方圆内图形面积总和与直线左下圆内图形面积总和的比是4：6=2：3．14．在图12-14中，一个圆的圆心是0，半径r=9厘米，∠1=∠2=15°.那么阴影部分的面积是多少平方厘米?( 取3.14)【分析与解】有AO=OB，所以△A OB 为等腰三角形，AO=OC，所以△A OC为等腰三角形.∠ABO=∠1=15°，∠AOB=180°-∠1-∠ABO=150°. ∠ACO=∠2=15°,∠AOC=180°-∠2-∠ACO=150°. 所以 ∠BOC=360°-∠AOB-∠AOC=60°，所以扇形BOC 的面积为260942.39360π⨯⨯≈(平方厘米)．15．图12-15是由正方形和半圆形组成的图形．其中P 点为半圆周的中点，Q 点为正方形一边的中点．已知正方形的边长为10，那么阴影部分的面积是多少?(π取3.14)【分析与解】过P 做AD 平行线，交AB 于O 点，P 为半圆周的中点，所以0为AB 中点．有2ABCD DPC 101S 1010100S 12.522ππ=⨯==⨯⨯=半圆，（）. AOP OPQB 101101S 510+37.5S 105550.2222∆⎡⎤⎛⎫=⨯⨯==++⨯⨯= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦梯形（），阴影部分面积为ABCD AOP DPC OPQB S S S S 10012.537.55012.512.551.75.ππ∆+-=+--=+≈半圆梯形-几何综合(二)内容概述勾股定理，多边形的内角和，两直线平行的判别准则，由平行线形成的相似三角形中对应线段和面积所满足的比例关系．与上述知识相关的几何计算问题．各种具有相当难度的几何综合题．典型问题2．如图30-2，已知四边形ABCD 和CEFG 都是正方形，且正方形ABCD 的边长为10厘米，那么图中阴影三角形BFD 的面积为多少平方厘米?【分析与解】方法一：因为CEFG 的边长题中未给出，显然阴影部分的面积与其有关．设正方形CEFG 的边长为x ，有：=1010=100,ABCD S ⨯正方形2=x ,S 正方形CEFG 21110x-x =DG GF=(10-x)x=,222DGF S ∆⨯又1=1010=50,2ABD S ∆⨯⨯2110x+x =(10+x)x=.22BEF S ∆ 阴影部分的面积为:DGF ABD BEF ABCD CEFG S S S S S ∆∆∆++--正方形正方形2221010100505022x x x x x -+=++--=(平方厘米).方法二：连接FC ，有FC 平行与DB ，则四边形BCFD 为梯形．有△DFB 、△DBC 共底DB ，等高，所以这两个三角形的面积相等，显然,△DBC 的面积11010502⨯⨯=(平方厘米)．阴影部分△DFB的面积为50平方厘米．4.如图30-4，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I等于多少度?【分析与解】为了方便所述，如下图所示，标上数字，有∠I=1800-(∠1+∠2),而∠1=1800-∠3,∠2=1800-∠4,有∠I=∠3+∠4-1800同理,∠H=∠4+∠5-1800,∠G=∠5+∠6-1800,∠F=∠6+∠7-1800,∠E=∠7+∠8-1800, ∠D=∠8+∠9-1800,∠C=∠9+∠10-1800,∠B=∠10+∠11-1800,∠A=∠11+∠3-1800则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I=2×(∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8+∠9+∠10+∠11)-9×1800而∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8+∠9+∠10+∠11正是9边形的内角和为(9-2)×1800=12600．所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I=2×12600-9×1800=90006．长边和短边的比例是2：1的长方形称为基本长方形．考虑用短边互不相同的基本长方形拼图，要求任意两个基本长方形之间既没有重叠，也没有空隙.现在要用短边互不相同且最小短边长为1的5个基本长方形拼接成一个更大的长方形．例如，短边长分别是1，2，5，6，12的基本长方形能拼接成大长方形，具体案如图30-6所示．请给出这5个基本长方形所有可能的选择方式.设a1=1<a2<a3<a4<a5分别为5条短边的长度,则我们将这种选择方式记为(a1,a2,a3,a4,a5),这里无需考虑5个基本长方形的拼图方案是否惟一．【分析与解】我们以几个不同的基本长方形作为分类依据，并按边长递增的方式一一列出．第一类情况：以为特征的有7组：第二类情况：以为特征的有6组：第三类情况有如下三组：共有16组解，它们是：(1，2，2.5，5，7.25)，(1，2，2．5，5，14.5)．(1，2，2.25，2.5，3.625)，(1，2，2.25，2.5，7.25)．(1，2，5，5.5，6)，(1，2，5，6，11)，(1，2，2.5，4.5，7)，(1，2，2.5，4.5，14)，(1，2，5，12，14.5)，(1，2，5，12，29)，(1，2，2.25，2.5，4.5)，(1，2，5，6，12). 1020251,,2,,,999⎛⎫ ⎪⎝⎭(1,2,2.4,4.8,5), 131025147813101,,,,,1,,,,636333313⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.8.如图30-8，ABCD 是平行四边形，面积为72平方厘米，E ，F 分别为边AB,BC 的中点．则图形中阴影部分的面积为多少平方厘米?【分析与解】如下图所示，连接EC ，并在某些点处标上字母，因为AE 平行于DC ，所以四边形AECD 为梯形，有AE:DC=1:2，所以:1:4AEG DCG S S ∆∆=, AGD ECG AEG DCG S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯,且有AGD ECG S S ∆∆=,所以:1:2AEG ADG S S ∆∆=,而这两个三角形高相同，面积比为底的比，即EG ：GD=1:2，同理FH ：HD=1:2．有AED AEG AGD S S S ∆∆∆=+,而111822AED ABCD S S ∆=⨯⨯=(平方厘米) 有EG:GD=:AEG AGB S S ∆∆,所以1612AEG AED S S ∆∆=⨯=+(平方厘米) 21212AGD AED S S ∆∆=⨯=+(平方厘米) 同理可得6HFC S ∆=(平方厘米), 12DCH S ∆=(平方厘米),44624DCG AEG S S ∆∆==⨯=(平方厘米)又GHD DCG DCH S S S ∆∆∆=-=24-12=12(平方厘米)所以原题平行四边形中空白部分的面积为6+6+12=24(平方厘米)，所以剩下的阴影部分面积为72-24=48(平方厘米)．10．图30-10是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米．问：阴影部分的面积是多少平方厘米?【分析与解】如下图所示，为了方便所叙，将某些点标上字母，并连接BG ．设△AEG 的面积为x ，显然△EBG 、△BFG 、△FCG 的面积均为x ，则△ABF 的面积为3x ，120101002ABF S ∆=⨯⨯=即1003x =，那么正方形内空白部分的面积为40043x =. 所以原题中阴影部分面积为400800202033⨯-= (平方厘米)．12．如图30-12，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径长都是1．求阴影部分的面积．【分析与解】如下图所示，左图中的3个阴影部分面积相等，右图中的3个阴影部分的面积也相等．我们把左下图中的每一部分阴影称为A ，右下图中的每一部分阴影称为B ．大半圆的面积为13332A B ++小圆的面积219322ππ=⨯⨯=而小圆的面积为π，则9133223A B πππ⎛⎫+=-÷= ⎪⎝⎭，原题图中的阴影部分面积为小半圆面积与阴影A 、B 的面积和，即为5236πππ+=14.如图30-14，将长方形ABCD 绕顶点C 顺时针旋转90度，若AB=4，BC=3，AC=5，求AD 边扫过部分的面积．(π取3.14)【分析与解】如下图所示，如下图所示，端点A 扫过的轨迹为AA A '''，端点D 扫过轨迹为DD D '''，而AD 之间的点，扫过的轨迹在以A 、D 轨迹，AD ，A D ''所形成的封闭图形内，且这个封闭图形的每一点都有线段AD 上某点扫过，所以AD 边扫过的图形为阴影部分．显然有阴影部分面积为A D C ACA ACD S S S S ''''∆∆+--直角扇形直角扇形CD D ,而直角三角形A D C ''、ACD 面积相等．所以=A D C ACA ACD ACA S S S S S S ''''''∆∆+---直角扇形直角扇形CD D 扇形扇形CD D222290909=(54)7.065()36036044AC CD ππππ-=-==平方厘米即AD 边扫过部分的面积为7．065平方厘米．。

小学奥数4-1-1几何图形的认识.专项练习及答案解析

知识点拨本讲知识点属于几何模块的第一讲，属于起步内容，难度并不大．要求学生认识各种基本平面图形和立体图形；了解简单的几何图形简拼和立体图形展开；看懂立体图形的示意图，锻炼一定的空间想象能力．几何图形的定义：1、几何图形主要分为点、线、面、体等，他们是构成中最基本的要素．（1）点：用笔在纸上画一个点，可以画大些，也可以画小些．点在纸上占一个位置．（2）线段：沿着直尺把两点用笔连起来，就能画出一条线段．线段有两个端点．（3）射线：从一点出发，沿着直尺画出去，就能画出一条射线．射线有一个端点，另一端延伸的很远很远，没有尽头．（4）直线：沿着直尺用笔可以画出直线．直线没有端点，可以向两边无限延伸（5）两条直线相交：两条直线相交，只有一个交点．（6）两条直线平行：两条直线平行，没有交点，无论延伸多远都不相交．（7）角：角是由从一点引出的两条射线构成的．这点叫角的顶点，射线叫点的边．边顶点（8）角分为锐角、直角和钝角三种：直角的两边互相垂直，三角板有一个角就是这样的直角．教室里天花板上的角都是直角．锐角比直角小，钝角比直角大．直角锐角钝角（9）三角形：三角形有三条边，三个角，三个顶点．（10）直角三角形：直角三角形是一种特殊的三角形，它有一个角是直角．它的三条边中有两条叫直角边，一条叫斜边．（11）等腰三角形：等腰三角形也是一种特殊的三角形，它有两条边一样长(相等)，相等的两条边叫”腰”，另外的一条边叫”底”．（12）等腰直角三角形：等腰直角三角形既是直角三角形，又是等腰三角形．（13）等边三角形：等边三角形的三条边一样长(相等)，三个角也一样大(相等)．（14）四边形：四边形有四条边，内部有四个角．（15）长方形：长方形的两组对边分别平行且相等，四个角也都是直角．（16）正方形：正方形的四条边都相等，四个角都是直角．（17）平行四边形：平行四边形的两组对边分别平行而且相等，两组对角分别相等．顶角顶角边边角角角顶角边直角边斜边直角边腰腰底直角边直角边斜边腰腰底边边边角角角（18）等腰梯形：等腰梯形是一种特殊的四边形，它的上下两边平行，左右两边相等．平行的两边分别叫上底和下底，相等的两边叫腰．（19）菱形：菱形的四条边都相等，对角分别相等．（20）圆：圆是个很美的图形．圆中心的一点叫圆心，圆心到圆上一点的连线叫圆的半径，过圆心连接圆上两点的连线叫圆的直径．直径把圆分成相等的两部分，每一部分都叫半圆．（21）扇形：（22）长方体：长方体有六个面，十二条棱，八个顶点．长方体的面一般是长方形，也可能有两个面是正方形．互相垂直的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高．（23）正方体：正方体有六个面，十二条棱，八个顶点．正方体的每个面都是同样大的正方形，所以它的十二条棱长都相等．（24）圆柱：圆柱的两个底面是完全相同的圆．（25）圆锥：圆锥的底面是圆．腰腰下底上底半径直径半圆直径弧半径半径高宽长（26）棱柱：这个棱柱的上下底面是三角形．它有三条互相平行的棱，叫三棱柱．底面底面（27）棱锥：这个棱锥的底面是四边形．它有四条棱斜着立起来，所以叫四棱锥．底面（28）三棱锥：因为三棱锥有四个面，所以通常又叫”四面体”．三棱锥的每一个面都是三角形．（29）球体，简称球：球有球心，球心到球面上一点的连线叫球的半径．例题精讲模块一、几何图形的认识【例1】请看下图，共有个圆圈。

六年级奥数几何-平面部分.学生版

平面几何部分知识点拨一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图12::S S a b =③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACDBCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDCB A图⑴ 图⑵三、蝴蝶定理任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)： ①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．baS 2S 1DC BA S 4S 3S 2S 1O DCB A A BC D Ob aS 3S 2S 1S 4四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型GF E ABCDAB CDEF G①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．五、燕尾定理在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=．上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.典型例题【例 1】如图，正方形ABCD 的边长为6，AE =1.5，CF =2．长方形EFGH 的面积为．【巩固】如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？_ H_G_F_E_D_C_B_ A _A_B_C_D_E_ F_G_H_ A _ B_ G_ C _ E _ F_ D_ A _ B_ G_ C_ E_ F_ DO F ED C B A【例 2】长方形ABCD的面积为362cm，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少？E【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P点连接,求阴影部分面积．【例 3】如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70，8AD=，四边形EFGO的面积AB=，15为．B【巩固】如图，长方形ABCD的面积是36，E是AD的三等分点，2=，则阴影部分的面积为．AE EDB【例 4】已知ABC 为等边三角形，面积为400，D 、E 、F 分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC)B【例 5】如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是．GFE DC BA【例 6】如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBA【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？EDCBA【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E D CBA【例 7】如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDA【例 8】如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2，求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EF【例 9】如图所示的四边形的面积等于多少？DCB13131212【例 10】如图所示，ABC ∆中，90ABC ∠=︒，3AB =，5BC =，以AC 为一边向ABC ∆外作正方形ACDE ，中心为O ，求OBC ∆的面积．【例 11】如图，以正方形的边AB 为斜边在正方形内作直角三角形ABE ，90AEB ∠=︒，AC 、BD 交于O ．已知AE 、BE 的长分别为3cm 、5cm ，求三角形OBE 的面积．【例 12】如下图，六边形ABCDEF 中，AB ED =，AF CD =，BC EF =，且有AB 平行于ED ，AF 平行于CD ，BC 平行于EF ，对角线FD 垂直于BD ，已知24FD =厘米，18BD =厘米，请问六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？FEABDC【例 13】如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于．FED CBA【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?x y y x ABCD E FGE D CBA【例 14】四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)．如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍．ABC DO【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？B【例 15】如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积．OGFEDCBA【例 16】如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积．ABCD EF G【例 17】如图，正方形ABCD面积为3平方厘米，M是AD边上的中点．求图中阴影部分的面积．CBA【巩固】在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD面积是平方厘米．AB CDEF【例 18】已知ABCD是平行四边形，:3:2BC CE ，三角形ODE的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是平方厘米．B【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是平方厘米．【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是平方厘米．B【例 19】如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为___________平方厘米．?852O A BCDEF【例 20】如图，ABC ∆是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线段AB 与CD 相交于K 点．已知正方形DEFG 的面积48，:1:3AK KB =，则BKD ∆的面积是多少？B【例 21】下图中，四边形ABCD 都是边长为1的正方形，E 、F 、G 、H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数mn，那么，()m n +的值等于．BEE【例 22】如图， ABC △中，DE ，FG ，BC 互相平行，AD DF FB ==，则::ADEDEGF FGCB S S S =△四边形四边形．EGF A D CB【巩固】如图，DE 平行BC ，且2AD =，5AB =，4AE =，求AC 的长．A ED CB【巩固】如图， ABC △中，DE ，FG ，MN ，PQ ，BC 互相平行，AD DF FM MP PB ====，则::::ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形．【例 23】如图，已知正方形ABCD 的边长为4，F 是BC 边的中点，E 是DC 边上的点，且:1:3DE EC =，AF与BE 相交于点G ，求ABG S △GFAEDCB【例 24】如图所示，已知平行四边形ABCD 的面积是1，E 、F 是AB 、AD 的中点， BF 交EC 于M ，求BMG∆的面积．MHGF E D CBAQ E GNMF P A D C B【例 25】如图，ABCD为正方形，1cmAM NB DE FC====且2cmMN=，请问四边形PQRS的面积为多少？CA【例 26】如右图，三角形ABC中，:4:9BD DC=，:4:3CE EA=，求:AF FB．OFED CBA【巩固】如右图，三角形ABC中，:3:4BD DC=，:5:6AE CE=，求:AF FB.OFED CBA【巩固】如右图，三角形ABC中，:2:3BD DC=，:5:4EA CE=，求:AF FB.OFED CBA【例 27】如右图，三角形ABC中，:::3:2AF FB BD DC CE AE===，且三角形ABC的面积是1，则三角形ABE 的面积为______，三角形AGE的面积为________，三角形GHI的面积为______．IHGFED CBA【巩固】如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形GHI 的面积是1，求三角形ABC的面积．IH G FEDCBA【巩固】如图，ABC ∆中2BD DA =，2CE EB =，2AF FC =，那么ABC ∆的面积是阴影三角形面积的倍．B【巩固】如图在ABC △中，12DC EA FB DB EC FA ===,求GHI ABC △的面积△的面积的值． IHG FEDCBA【例 28】如图，三角形ABC 的面积是1，BD DE EC ==，CF FG GA ==，三角形ABC 被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?GFE D CBA【巩固】如图，ABC 的面积为1，点D 、E 是BC 边的三等分点，点F 、G 是AC 边的三等分点，那么四边形JKIH 的面积是多少？K JI HABC D EF G【例 29】右图，ABC △中，G 是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M ，AF 与BG 交于N ，已知ABM △的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米，则ABC △的面积是多少平方厘米？N M GA BCD EF【例 30】如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求阴影部分面积.GCBA【例 31】如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求中心六边形面积.GCBA。

小学六年级奥数几何初步认识知识点

小学六年级的数学中，几何初步认识是非常重要的一部分。

在几何学中，学生将学习各种形状、图形的属性和关系。

这方面的知识能够帮助他们理解空间和形状，并发展他们的空间思维能力。

以下是小学六年级奥数几何初步认识的一些重要知识点。

1.点、线和面：学生需要了解点、线和面的概念。

点是没有大小和形状的，线是由无限多个点组成的，面是由无限多个线段组成的，可以看作是没有厚度的平面。

2.二维和三维：学生需要区分二维和三维的概念。

二维是指平面上的图形，只有长度和宽度，而三维是指有高度的图形，具有长度、宽度和高度。

3.直线和曲线：学生需要能够辨别直线和曲线。

直线是由无限多个连续的点组成的，在两个点之间是最短的路径。

曲线则是有弯曲的，没有最短路径的。

4.线段和射线：学生需要理解线段和射线的概念。

线段是由两个端点及其之间的点组成的，有确定的长度。

射线则是由一个起点和其上的任意点组成的，没有终点，但有一个方向。

5.角：学生需要学习角的概念。

角是由两条射线共享一个起点形成的，起点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边。

6.直角、锐角和钝角：学生需要学习直角、锐角和钝角的概念。

直角是90度的角，锐角是小于90度的角，钝角是大于90度小于180度的角。

7.平行和垂直：学生需要学会判断两条线段或者两条线是否平行或者垂直。

平行的线段在同一平面上，永远不会相交。

垂直的线段或线相交，并且形成90度的角。

8.三角形：学生需要学习三角形的属性和分类。

三角形是由三条线段组成的图形。

根据边的长度和角的大小，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。

9.正方形、长方形和平行四边形：学生需要学习正方形、长方形和平行四边形的属性和特点。

正方形的四条边都相等，四个角都是直角。

长方形的相对边相等，四个角都是直角。

平行四边形的对边平行，相对边相等。

10.圆和圆心：学生需要学习圆和圆心的概念。

圆是平面上到一个固定点距离相等的所有点的集合。

这个固定点叫做圆心，到圆心的距离叫做半径。

六年级上册奥数试题：第4讲最大与最小全国通用(含答案)

第4讲最大与最小知识网络人们经常考虑有关“最”的问题，如最大、最小、最多、最少、最快、最慢等。

这类求最大值、最小值的问题是一类重要典型的问题，我们在实际生产和生活中经常遇到。

在本书的学习中我们经常要用到以下几个重要结论：（1）两个数的和一定，那么当这两个数的差最小时，它们的积最大。

（2）三个数a、b、c，如果a+b+c一定，只有当a=b=c时，a×b×c的积才能最大。

（3）两个数的积一定，那么当两个数的差最小时，它们的和最小。

（4）在所有周长相等的n边形中，以正n边形的面积最大。

（5）在周长相等的封闭平面图形中，以圆的面积为最大。

（6）在棱长的和一定的长方体中，以长、宽、高都相等的长方体，即正方体的体积最大。

（7）在所有表面积一定的几何体中，球体体积最大。

重点·难点本节所涉及的题型较多，但一般都要求根据一个不变量来确定另一变量的最大值或最小值。

如何根据题意，灵活运用不同的方法来求出表达式，再求最值，或直接求最值是本讲的重点。

这就要求我们不能太急于入手，不妨从一些比较简单的现象或数字开始，找出规律，进而解决问题。

学法指导解决本节问题的方法和策略常常因题而异，归纳起来有以下几种常用的方法：（1）从极端情形入手。

（2）枚举比较。

（3）分析推理。

（4）构造。

[例1]不能写成两个不同的奇合数之和的最大偶数为多少？思路剖析两个最小的不同的奇合数为9和15，9+15=24，因此小于24的偶数都不能写成两个不同的奇合数之和。

下面我们只需要考虑大于24的偶数即可。

15后面的一个奇合数为21，9+21=30，所以比24大比30小的偶数也不能写成两个不同的奇合数之和。

32也不能，34=9+25，36=9+27，38不能，40=15+25，42=15=27，44=9+35，…此时初步确定不能写成两个不同的奇合数之和的最大偶数为38。

解答根据以上分析，我们初步确定所求的最大偶数为38，下面我们给予证明。

六年级奥数-第四讲[1].几何-平面部分.学生版

第四讲平面几何部分教学目标：1．熟练掌握五大面积模型2. 掌握五大面积模型的各种变形知识点拨一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图12::S S a b =③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACDBCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDCB A图⑴ 图⑵三、蝴蝶定理任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)： ①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =；③S 的对应份数为()2a b +．四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型baS 2S 1DC BA S 4S 3S 2S 1ODCB AA B C DObaS 3S 2S 1S 4GF E ABCDAB CDEF G①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．五、燕尾定理在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=．上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.典型例题【例 1】如图，正方形ABCD 的边长为6，AE =1.5，CF =2．长方形EFGH 的面积为．【例 2】长方形ABCD 的面积为362cm ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？E_H_G_F_E_D_C_B_ A _ A_B_C_D_E_F_ G_HO F ED C BA【例 3】如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =，15AD =，四边形EFGO 的面积为．B【例 4】已知ABC 为等边三角形，面积为400，D 、E 、F 分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC)B．【例 5】如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是．GFE DC BAABC DE FG【例 6】如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【例 7】【巩固】如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCB A【例 8】如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2，求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGAB CD EF【例 9】如图所示的四边形的面积等于多少？DCB13131212【例 10】如图所示，ABC ∆中，90ABC ∠=︒，3AB =，5BC =，以AC 为一边向ABC ∆外作正方形ACDE ，中心为O ，求OBC ∆的面积．【例 11】如图，以正方形的边AB 为斜边在正方形内作直角三角形ABE ，90AEB ∠=︒，AC 、BD 交于O ．已知AE 、BE 的长分别为3cm 、5cm ，求三角形OBE 的面积．D【例 12】如下图，六边形ABCDEF 中，AB ED =，AF CD =，BC EF =，且有AB 平行于ED ，AF 平行于CD ，BC 平行于EF ，对角线FD 垂直于BD ，已知24FD =厘米，18BD =厘米，请问六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？FEABDCGFEABDC【例 13】如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于．FED CBA33321F E DC BAABCDEF【例 14】四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)．如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍．ABCDOH GA BCD O【例 15】如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积．OGF EDCBA【例 16】如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积．ABCD EF GABCD EF G【例 17】如图，正方形ABCD 面积为3平方厘米，M 是AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．CBA【例 18】已知ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，三角形ODE 的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是平方厘米．BB【例 19】【巩固】如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为___________平方厘米．?852O A B C DEF?852O A BCD EF【例 20】如图，ABC ∆是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线段AB 与CD 相交于K 点．已知正方形DEFG 的面积48，:1:3AK KB =，则BKD ∆的面积是多少？BB【例 21】下图中，四边形ABCD 都是边长为1的正方形，E 、F 、G 、H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数mn，那么，()m n +的值等于．BEE【例 22】如图， ABC △中，DE ，FG ，BC 互相平行，AD DF FB ==，则::ADEDEGF FGCB S S S =△四边形四边形．EGF A D CB【例 23】如图，已知正方形ABCD 的边长为4，F 是BC 边的中点，E 是DC 边上的点，且:1:3DE EC =，AF与BE 相交于点G ，求ABG S △GFAEDC BM GFAEDCBGFAEDCB【例 24】如图所示，已知平行四边形ABCD 的面积是1，E 、F 是AB 、AD 的中点， BF 交EC 于M ，求BMG∆的面积．MHGF E D CBAA【例 25】如图，ABCD 为正方形，1cm AM NB DE FC ====且2cm MN =，请问四边形PQRS 的面积为多少？CACA【例 26】如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．O F EDCBA【例 27】如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形ABC 的面积是1，则三角形ABE的面积为______，三角形AGE 的面积为________，三角形GHI 的面积为______．I HGFEDCBAI HG FEDCBA【例 28】如图，三角形ABC 的面积是1，BD DE EC ==，CF FG GA ==，三角形ABC 被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?GFE D CBAN MQPGF EDCBA【例 29】右图，ABC △中，G 是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M ，AF 与BG 交于N ，已知ABM △的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米，则ABC △的面积是多少平方厘米？N M GA BCD EFNMGA BCD E F【例 30】如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求阴影部分面积.GC BAGCB【例 31】如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求中心六边形面积.CBCBA课后练习：练习1. 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA练习2. 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD的面积．H GED CB A A B CDEFGH练习3. 正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是平方厘米．H GFEDC BAM H GFEDCBA练习4. 如图，已知4cm AB AE ==，BC DC =，90BAE BCD ∠=∠=︒，10cm AC =，则S ABC ACE CDE S S ∆∆∆++=2cm ．DCEBABCA'C'EDA练习5. 如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是_____平方厘米．EDCBEDCB练习6. 如图，ABC ∆中，点D 是边AC 的中点，点E 、F 是边BC 的三等分点，若ABC ∆的面积为1，那么四边形CDMF 的面积是_________．F ABCDEM NFABCDE MN练习7. 如右图，三角形ABC 中，:::4:3AF FB BD DC CE AE ===，且三角形ABC 的面积是74，求角形GHI的面积．IH G FEDCBAIH G FEDCBA月测备选【备选1】按照图中的样子，在一平行四边形纸片上割去了甲、乙两个直角三角形．已知甲三角形两条直角边分别为2cm 和4cm ，乙三角形两条直角边分别为3cm 和6cm ，求图中阴影部分的面积．【备选2】如图所示，矩形ABCD 的面积为36平方厘米，四边形PMON 的面积是3平方厘米，则阴影部分的面积是平方厘米．【备选3】如图，已知3BD DC =，2EC AE =，BE 与CD 相交于点O ,则ABC △被分成的4部分面积各占ABC △ 面积的几分之几？OE DCBA13.54.59211213O E D CBA【备选4】如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至E ，使12CE BC =，F 是AC 的中点，若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少？A BCDEF【备选5】如图，:2:3BD DC =,:5:3AE CE =,则:AF BF =GF EDCBA【备选6】如图在ABC △中，13DC EA FB DB EC FA ===,求GHI ABC △的面积△的面积的值． IHG FEDCBAIH G FEDCB A。

小学奥数汇编教材第四讲平面几何综合

特级教师小学奥数汇编教材第四讲平面几何综合【专题知识点概述】本讲复习以前所学过的有关平面几何方面的知识，包括直线型图形的五大模型以及圆与扇形方面的知识，旨在提高学生对该部分知识的综合运用能力。

重点模型重温直线型图形五大模型模型一：同一三角形中，相应面积与底的正比关系：即：两个三角形高相等，面积之比等于对应底边之比。

S1︰S2=a︰b ；模型一的拓展：等分点结论（“鸟头定理”）如图，三角形AED占三角形ABC面积的23×14=16模型二：任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）①S1︰S2=S4︰S3或者S1×S3=S2×S4②②AO︰OC=（S1+S2）︰（S4+S3）模型三：梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）①S1︰S3=a2︰b2S4S3s2s1abs2s1S4S3s2s1ODCBA②S 1︰S 3︰S 2︰S 4= a 2︰b 2︰ab ︰ab ; ③S 的对应份数为（a+b ）2模型四：相似三角形性质①a b c hA B C H=== ; ②S 1︰S 2=a 2︰A 2模型五：燕尾定理S △ABG ：S △AGC ＝S △BGE ：S △GEC ＝BE ：EC ； S △BGA ：S △BGC ＝S △AGF ：S △GFC ＝AF ：FC ； S △AGC ：S △BCG ＝S △ADG ：S △DGB ＝AD ：DB ；【授课批注】复习该部分知识的时候可结合前面所讲过的题深入讲解。

【重点难点解析】1. 三角形的相似问题2. 四边形中的蝴蝶定理3. 三角形中燕尾定理的运用hh H cb a CB Aac b HC BAF ED CBA【竞赛考点挖掘】1. 三角形或四边形中的部分面积求解2. 相似形的相关性质3. 多边形内角和4. 圆与圆弧的相关图形面积和周长求解【习题精讲】【例1】（难度等级 ※※※）如图，长方形ABCD 中，阴影部分是直角三角形且面积为54，OD 的长是16，OB 的长是9.那么四边形OECD 的面积是_____. 【分析与解】连结DE ，依题意5492121=⨯⨯=⨯⨯=∆AO AO BO S AOB ，得AO=12.于是可推知9612162121=⨯⨯=⨯⨯=∆AO DO S AOD ，又因为OE S S DOE AOB ⨯⨯===∆∆162154，所以OE=436.这样可得833043692121=⨯⨯=⨯⨯=∆EO BO S BOE ，从而有BOE BCD ECD S S S ∆∆∆-=ABD BOE=S -S 3(50+49)-30851198∆∆==【例2】（难度等级 ※※※）如下左图.将三角形ABC 的BA 边延长1倍到D ，CB 边延长2倍到E ，AC 边延长3倍到F.如果三角形ABC 的面积等于l ，那么三角形DEF 的面积是_____. 【分析与解】连结AE 、BF 、CD(如上右图).由于三角形AEB 与三角ABC 的高相等，而底边EB=2BC ，所以三角形AEB 的面积是2.同理，三角形CBF 的面积是3，三角形ACD 的面积是1. 类似地三角形AED 的面积=三角形AEB 的面积=2. 三角形BEF 的面积=2×(三角形CBF 的面积)=6. 三角形CFD 的面积=3×(三角形ACD 的面积)=3.于是三角形DEF 的面积等于三角形ABC 、AEB 、CBF 、ACD 、AED 、BEF 、CFD 的面积之和，即 1+2+3+1+2+6+3=18.【例3】（难度等级 ※※※※）如图，三角形ABC 的面积是1平方厘米，且BE=2EC ，F 是CD 的中点．那么阴影部分的面积是( )平方厘米．【分析与解】ABE2S3=(平方厘米)， ACE1S 3= (平方厘米). 又ACFADF BCFBDF SSS S==，，，所以S ACF BCFABC11+SS 22==(平方厘米)．于是BCFACF BCFACES (SS)S=+-=111236-=（平方厘米）. 又CEF BEF 1111S S 22612==⨯=(平方厘米)，故BDF BCF BEF CEF 111S S S S 6124==+=+=(平方厘米)因此，BDF BEF115S S S4612=+=+=阴影(平方厘米).【例4】（难度等级 ※※※※）如图，已知AE=15AC ，CD=14BC ，BF=16AB ，那么DEF =____ABC 三角形的面积三角形的面积【分析与解】连结辅助线AD.因为CD=14Bc ，所以14ACD ABC S S ∆∆= (等高的两个三角形面积之比等于底边之比) 同理54ACD ABC S S ∆∆= 从而1=5CDE ABC S S ∆∆ 连结辅助线BE 、CF ，同理可证BDF ABC 1S =S 8∆∆AEF ABC 1S =S 6∆∆所以DEF ABC1111---S 61568S 1120∆∆==【例5】（难度等级 ※※※）如图，BD 是梯形ABCD 的一条对角线，线段AE 与梯形的一条腰DC 平行，AE 与BD 相交于O 点.已知三角形BOE 的面积比三角形AOD 的面积大4平方米，并且EC=25BC.求梯形ABCD 的面积. 【分析与解】三角形ABE 的面积比三角形ABD 大4平方米，而三角形ABD 与三角形ACD 面积相等(同底等高)，因此也与三角形ACE 面积相等，从而三角形ABE 的面积比三角形ACE 大4平方米.但EC=25BC ，所以三角形ACE 的面积是三角形ABE 的225-23 ，从而三角形ABE 的面积是4÷(1－32)=12(平方米)，梯形ABCD 的面积 =12×(1+32×2)=28(平方米)【例6】（难度等级 ※※※※）如图，平行四边形的花池边长分别为60米与30米．小明和小华同时从A 点出发，沿着平行四边形的边由A →B →C →D →A …顺序走下去．小明每分钟走50米，小华每分钟走20米，出发5分钟后小明走到E 点，小华走到F 点．连结AE 、AF ，则四边形AECF 的面积与平行四边形ABCD 的面积的比是______．【分析与解】小明5分钟共走了 50×5=250(米)，这时，小明走过了路线是A →B →C →D →A →B →E ，其中CE=20米(如图)．小华5分钟共走了20×5=100(米)，这时，小华走过的路线是A →B →C →F ，其中CF=10米(如图)．连结辅助线AC ，S△AEC ：S△ABC =20：60=1：3， S△ACF ：S△ACD =10：30=l ：3. 所以S△AEC + S△ACF =31(S△ABC +S△ACD )，即四边形AECF 与平行四边形ABCD 的面积之比是1：3．【例7】（难度等级 ※※）图中正方形周长是20厘米.那么图形的总面积是_____平方厘米.【分析与解】从图中可以看出，正方形的边长也是圆的半径.由此可知这两个圆是等圆.因为正方形的每个角都是90。

小学奥数平面直线型几何专题学生版

A
A1
L1
L2
B
C
若L1 //L2，则S△ABC=S△A1BC
技巧：平行线的来源 A、平行四边形(包括长方形和正方形)和梯形 B、已知平行 C、并排摆放的正方形的同方向对角线（2）等底同高
A
B
D
C
若D为BC中点，则S△ABD=S△ACD
平面直线型几何专题
（3）等高等底
A
E
by 吴哲孙雪艳
h1
h2
S阴=
1 2
S平行四边形
图（2）为内部任意一点，相等于把图（1）中两个点变为一个点，
1
S上 +S下 =S左 +下S
= 2
S平行四边形
图（3）中为平行四边形内部一平行线，
S阴=
1 2
S平行四边形
平面直线型几何专题
拓展 2：
by 吴哲孙雪艳
（1）
（2）
图（1）为平行四边形到长方形的变化
图（2） S正=S长=2S阴
图（3） S正=S长=2S阴,图（3）是图（2）的变形
（3）
2、
梯形的一半模型：
S阴=
1 2
S梯形
（取梯形腰上中点连接三角形）
证明：
A
D
E
F B
C
延长 DE 交 CB 的延长线于 F，得到 S△ADE=S△FBE，S梯形=S△CDF ,因为 E 为 AB
的中点，显然
E
也为
DF
的中点，容易得到
S阴=
1 2
1 8
36
4.5
．
所以阴影部分的面积是： S阴影 18 SEBF 18 4.5 13.5 ．
例 3：（第 6 届走美杯 5 年级决赛第 8 题）央如图， A、B、C 都是正方形边的中点，△COD 比△AOB 大 15 平方厘米。△AOB 的面积为多少平方厘米？

高斯小学奥数六年级上册含答案第04讲对应计数

2.现在有12道竞赛题，卡莉娅要在今天、明天、后天这三天内按顺序做完，但每一天可以做很多道题也可以一道不做．共有多少种安排做题的方案？91
3.阿呆在玩PSP格斗游戏，游戏采用的是五局三胜制（阿呆VS电脑），谁先胜三场谁就获得胜利．如果最后阿呆获胜，那么一共有多少种可能的比赛过程？（只考虑每场比赛的胜负）10
练习：
1.答案：；
简答：用插板法即可解决，具体过程略．
2.答案：
简答：相当于把8个球放入4个篮子，每个篮子都可以为空．
3.答案：100
简答：每个田字格都可以找到4个“L”型．共有个田字格，所以共个“L”型．
4.答案：20
简答：6次跳远中，一定3次向左，3次向右，因此共有种不同的跳法．
作业
1.答案：165
例3．在的方格棋盘中，一共可以数出多少个如下图所示的由4个单位小正方形组成的“L”型？
「分析」要把“L”型放入的方格棋盘的方格盘中，按照放的方向分，可以有8种情形，那么是不是需要对每一个方向的“L”型分别进行计数呢？
练习3、在的方格棋盘中，一共可以数出多少个如下图所示的由3个单位小正方形组成的图形？
对应法最早的应用是结绳计数．最早期的时候，人类还没有发明数字．因而用枚举等其他方法来记录数量的多少是不可能办到的．这时，人们的计数方法是在绳子上打结或者在树上刻痕．用绳子上的结的数目或者树上划痕的道数来记录补获了多少猎物，采集了多少花果．这个时期持续了很长时间，因为人类的历史已经有几百万年，而数字的发明距今还不到1万年，在人类历史上的大部分时间，使用的计数方法是对应法——结绳计数．
详解：第一问用课文里所说的“插板法”即可解决．20个苹果，共有19个空隙，分给3个小朋友需要块隔板，将2块隔板插入19个空隙中的某两个中，就是从19个空隙中挑出两个用来插板子，方法有；第二问同样用插板法，仍然是20个苹果和2块隔板．但此时隔板不一定要放在19个空隙中，也可以放在所有苹果的最左端或者最右端，而且它们也不一定插入两个不同的空隙，插入同一个空隙也是可以的．因此，我们只要把20个苹果和2块隔板随意排成一行即可．这个对象排成一行会占22个位置，从这22个位置中挑出2个来放隔板，剩余的20个位置自然就是放苹果，因此共有种不同的方法．

小升初六年级的奥数——几何(平面图形).doc

一、分数百分数问题，比和比例这是六年级的重点内容，在历年各个学校测试中所占比例非常高，重点应该掌握好以下内容：对单位1的正确理解，知道甲比乙多百分之几和乙比甲少百分之几的区别；求单位1的正确方法，用具体的量去除以对应的分率，找到对应关系是重点；分数比和整数比的转化，了解正比和反比关系；通过对“份数”的理解结合比例解决和倍（按比例分配）和差倍问题；二、行程问题应用题里最重要的内容，因为综合考察了学生比例，方程的运用以及分析复杂问题的能力，所以常常作为压轴题出现，重点应该掌握以下内容：路程速度时间三个量之间的比例关系，即当路程一定时，速度与时间成反比；速度一定时，路程与时间成正比；时间一定时，速度与路程成正比。

特别需要强调的是在很多题目中一定要先去找到这个“一定”的量；当三个量均不相等时，学会通过其中两个量的比例关系求第三个量的比；学会用比例的方法分析解决一般的行程问题；有了以上基础，进一步加强多次相遇追及问题及火车过桥流水行船等特殊行程问题的理解，重点是学会如何去分析一个复杂的题目，而不是一味的做题；三、几何问题几何问题是各个学校考察的重点内容，分为平面几何和立体几何两大块，具体的平面几何里分为直线形问题和圆与扇形；立体几何里分为表面积和体积两大部分内容。

学生应重点掌握以下内容：等积变换及面积中比例的应用；与圆和扇形的周长面积相关的几何问题，处理不规则图形问题的相关方法；立体图形面积：染色问题、切面问题、投影法、切挖问题；立体图形体积：简单体积求解、体积变换、浸泡问题；四、数论问题常考内容，而且可以应用于策略问题，数字谜问题，计算问题等其他专题中，相当重要，应重点掌握以下内容：掌握被特殊整数整除的性质，如数字和能被9整除的整数一定是9的倍数等；最好了解其中的道理，因为这个方法可以用在许多题目中，包括一些数字谜问题；掌握约数倍数的性质，会用分解质因数法，短除法，辗转相除法求两个数的最大公因数和最小公倍数；学会求约数个数的方法，为了提高灵活运用的能力，需了解这个方法的原理；了解同余的概念，学会把余数问题转化成整除问题，下面的这个性质是非常有用的：两个数被第三个数去除，如果所得的余数相同，那么这两个数的差就能被这个数整除；能够解决求一个多位数除以一个较小的自然数所得的余数问题，例如求1011121314 (9)899除以11的余数，以及求20082008除以13的余数这类问题；五、计算问题计算问题通常在前几个题目中出现概率较高，主要考察两个方面，一个是基本的四则运算能力，同时，一些速算巧算及裂项换元等技巧也经常成为考察的重点。

2018六年级奥数数学几何综合训练一

2017年六年级外冲班数学几何综合训练一一、兴趣篇1．图中八条边的长度正好分别是1、2、3、4、5、6、7、8厘米．已知a=2厘米，b=4厘米，c=5厘米，求图形的面积．2．如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6等于度．3．平行四边形ABCD周长为75厘米，以BC为底时高是14厘米（如图）；以CD 为底时高是16厘米．求：平行四边形ABCD的面积．4．如图，一个边长为1米的正方形被分成4个小长方形，它们的面积分别是平方米、平方米、平方米和平方米．已知图中的阴影部分是正方形，那么它的面积是多少平方米？5．如图，红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个正方形盒内，它们之间互相叠合．已知露在外面的部分中，红色的面积是20，黄色的面积是14，绿色的面积是lO．那么，正方形盒子的底面积是多少？6．如图，在三角形ABC中，IF和BC平行，GD和AB平行，HE和AC平行．已知AG：GF：FC=4：3：2，那么AH：HI：IB和BD：DE：EC分别是多少？7．如图，已知三角形ABC的面积为60平方厘米，D、E分别是AB、AC边的中点，求三角形OBC的面积．8．在如图的正方形中，A、B、C分别是ED、EG、GF的中点．请问：三角形CDO 的面积是三角形ABO面积的几倍？9．如图，ABCD是平行四边形，面积为72平方厘米，E，F分别为AB，BC的中点，则图中阴影部分的面积为平方厘米．10．如图，在三角形ABC中，CE=2AE，F是AD的中点，三角形ABC的面积是1，那么阴影部分的面积是多少？二、拓展篇11．如图，A、B是两个大小完全一样的长方形，已知这两个长方形的长比宽长8厘米，图中的字母表示相应部分的长度．问：A、B 中阴影部分的周长哪个长？长多少？12．如图，ABCDE是正五边形，CDF是正三角形，∠BFE等于多少度？13．一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形，将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合，如图所示．问：图中的阴影部分（即折叠的部分）的面积是多少平方厘米？14．图中大长方形被分成四个小长方形，面积分别为12、24、36、48．请问：图中阴影部分的面积是多少？15．三个面积都是12的正方形放在一个长方形的盒子里面，如图，盒中空白部分的面积已经标出，求图中大长方形的面积．16．如图，三角形ABC的面积为1，D、E分别为AB、AC的中点，F、G是BC边上的三等分点．求三角形DEF和三角形DOE的面积．17．如图，梯形ABCD的上底AD长10厘米，下底BC长15厘米．如果EF与上、下底平行，那么EF的长度为多少？18．如图，正六边形的面积为6，那么阴影部分的面积是多少？19．两盏4米高的路灯相距10米，有一个身高1.5米的同学行走在这两盏路灯之间，那么他的两个影子总长度是多少米？20．如图，D是长方形ABCD一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积为3和4，那么阴影直角三角形的面积是多少？21．如图，在三角形ABC中，AE=ED，D点是BC的四等分点，阴影部分的面积占三角形ABC面积的几分之几？22．如图，在三角形ABC中，三角形AEO的面积是1，三角形ABO的面积是2，三角形BOD的面积是3，则四边形DCEO的面积是多少？三、超越篇23．如图，长方形的面积是60平方厘米，其内3条长度相等且两两夹角为120°的线段将长方形分成了两个梯形和一个三角形．请问：一个梯形的面积是多少平方厘米？24．如图，P是三角形ABC内一点，DE平行于AB，FG平行于BC，HI平行于CA，四边形AIPD的面积是12，四边形PGCH的面积是15，四边形BEPF的面积是20．请问：三角形ABC的面积是多少？25．如图所示，正方形ABCD的面积为1．E、F分别是BC和DC的中点，DE与BF 交于M点，DE与AF交于N点，那么阴影三角形MFN的面积为多少？26．如图，三角形ABC的面积为1，D、E、F分别是三条边上的三等分点，求阴影三角形的面积．27．如图，小悦测出家里瓷砖的长为24厘米，宽为10厘米，而且还测出了边上的中间线段均为4厘米，那么中间菱形的面积是多少平方厘米？28．如图，ED垂直于等腰梯形ABCD的上底AD，并交BC于G，AE平行于BD，∠DCB=45°，且三角形ABD和三角形EDC的面积分别为75、45，那么三角形AED的面积是多少？29．在长方形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的点，将长方形的四个角分别沿着HE、EF、FG、GH对折后，A点与B点重合，C点与D点重合．已知EH=3，EF=4，求线段AD与AB的长度比．30．如图，在长方形ABCD中，AE：ED=AF：AB=BG：GC．已知△EFC的面积为20，△FGD的面积为16，那么长方形ABCD的面积是多少？2017年六年级外冲班数学几何综合训练一参考答案与试题解析一、兴趣篇1．图中八条边的长度正好分别是1、2、3、4、5、6、7、8厘米．已知a=2厘米，b=4厘米，c=5厘米，求图形的面积．【解答】解：如图所示，图形的面积为：7×2+5×（7﹣4）+6×1=14+15+6=35（平方厘米）答：图形的面积是35平方厘米．2．如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6等于360 度．【解答】解：∠3=∠7，所以∠2+∠3=180°﹣∠A；同理，∠6=∠8，所以∠1+∠6=180°﹣∠C；∠4+∠5=180°﹣∠B；则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6，=180°×3﹣（∠A+∠B+∠C），=540°﹣180°，=360°，答：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°．故答案为：360．3．平行四边形ABCD周长为75厘米，以BC为底时高是14厘米（如图）；以CD 为底时高是16厘米．求：平行四边形ABCD的面积．【解答】解：由平行四边形面积公式知14×BC=16×CD，即14BC=16CD，则BC：CD=16：14=8：7，BC=CD，又2×（BC+CD）=75，则BC+CD=37.5（厘米），CD+CD=37.5（厘米），CD=17.5（厘米），因此，平行四边形ABCD的面积为：16×17.5=280（平方厘米）；答：平行四边形ABCD的面积为280平方厘米．4．如图，一个边长为1米的正方形被分成4个小长方形，它们的面积分别是平方米、平方米、平方米和平方米．已知图中的阴影部分是正方形，那么它的面积是多少平方米？【解答】解：如图所示：+++=1（平方米）；大正方形的边长就是1米；（FE×AE）：（FE×EB）=：，即：AE：EB=3：4；AE就是大正方形边长的；1×=（米）；（CH×HG）：（HG×HD）=：；BE：EC=2：1；CH是大正方形边长的；1×=（米）；FG=﹣=（米）；×=（平方米）；答：阴影部分的面积是平方米．5．如图，红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个正方形盒内，它们之间互相叠合．已知露在外面的部分中，红色的面积是20，黄色的面积是14，绿色的面积是lO．那么，正方形盒子的底面积是多少？【解答】解：把黄块向左移动就会发现，黄色减少的面积等于绿色增加的面积，从而得出黄+绿=24，黄和绿各是24÷2=12，即两个长方形的面积都是12，设红块边长是b，与红色并排的绿边是a，则根据正方形的面积公式，得大正方形面积b2=20，两个长方形的面积ab=12，小正方形的面积a2=（ab）2÷b2=12×12÷20=144÷20，=7.2；底面积：20+12×2+7.2=51.2；答：正方形盒子的底面积是51.2．6．如图，在三角形ABC中，IF和BC平行，GD和AB平行，HE和AC平行．已知AG：GF：FC=4：3：2，那么AH：HI：IB和BD：DE：EC分别是多少？【解答】解：AG：GF：FC=4：3：2，则（AG+GF）：FC=（4+3）：2，即AF：FC=7：2；因为IF和BC平行，所以△AIF∽△ABC，则AI：IB=AF：FC=7：2；因为GD和AB平行，所以△FGO∽△FAI，则FO：OI=FG：GA=3：4；因为HE和AC平行，所以△IHO∽△IAF，则HI：AH=OI：FO=4：3；所以AH：HI：IB=3：4：2同理可证：BD：DE：EC=4：2：3答：AH：HI：IB=3：4：2；BD：DE：EC=4：2：3．7．如图，已知三角形ABC的面积为60平方厘米，D、E分别是AB、AC边的中点，求三角形OBC的面积．【解答】解：由题意可知AE=CE，AD=BD，根据等底同高的三角形的面积相等得：S△ADC=S△BDC=60÷2=30平方厘米，S△AEB=S△CBE=30（平方厘米），所以S△ADC=S△AEB=30（平方厘米），则S△BOD=S△COE再根据等底同高的三角形的面积相等得：S△AOE=S△COE，S△AOD=S△BOD，所以S△AOE=S△COE=S△AOD=S△BOD，S△ADC=S△AOE+S△COE+S△AOD=30（平方厘米），所以S△COE=30÷3=10（平方厘米），所以S△BOC是：30﹣10=20（平方厘米），答：S△BOC是20平方厘米．8．在如图的正方形中，A、B、C分别是ED、EG、GF的中点．请问：三角形CDO 的面积是三角形ABO面积的几倍？【解答】解：因为四边形是正方形且A、B、C分别是ED、EG、GF的中点．所以：AD=DE=CE=BE=DE，线段AO=BE所以：S△BED=S△CAD，S△AOD=S△BED=S△CAD，S△ABD=S△CAD所以：S△AOB=S△BAD﹣S△AOD=S△CAD﹣S△CAD=S△CADS△COD=S△CAD﹣S△AOD=S△CAD﹣S△CAD=S△CADS△CDO÷S△ABO=S△CAD÷S△CAD=3答：三角形CDO的面积是三角形ABO面积的3倍．9．如图，ABCD是平行四边形，面积为72平方厘米，E，F分别为AB，BC的中点，则图中阴影部分的面积为48 平方厘米．【解答】解：DE、DF分别于AC交于点M、N，M、N是AC的三等分点因为平行四边形的面积=72平方厘米，则S△ADC=72÷2=36（平方厘米），S△ADM=S△DMN=S△DNC=S△ADC=×36=12（平方厘米），S△AEM=S△NFC=S△ADM=×12=6（平方厘米），所以阴影部分的面积=72﹣12﹣6﹣6=60﹣12，=48（平方厘米）；答：阴影部分的面积是48平方厘米．故答案为：48．10．如图，在三角形ABC中，CE=2AE，F是AD的中点，三角形ABC的面积是1，那么阴影部分的面积是多少？【解答】解：连接CF，因为CE=2AE，根据燕尾定理，所以==，同理，=，设S△AEF=1份，那么S△CEF=2份，因为F是AD的中点，S△CFD=S△ACF=S△AEF+S△CEF=1+2=3份，同理，，又因为==，所以，所以S△BDF=S△ABF=3份，这样S△ABC=1+2+3+3+3=12份，阴影部分的份数是：2+3=5份，5÷12=，即1×=．二、拓展篇11．如图，A、B是两个大小完全一样的长方形，已知这两个长方形的长比宽长8厘米，图中的字母表示相应部分的长度．问：A、B 中阴影部分的周长哪个长？长多少？【解答】解：图形A中阴影部分的周长是：2（a+a﹣b）+2（b+2b）=4a+4b，图形B中阴影部分的周长是：2（a+2b+a+b）=4a+6b，4a+6b﹣（4a+4b）=2b，又因为大长方形的长比宽长8厘米，即a+2b﹣（a+b）=8，可得b=8厘米，所以2b=2×8=16（厘米），答：图形B中的阴影部分的周长较长，比图形A中的阴影部分的周长长16厘米．12．如图，ABCDE是正五边形，CDF是正三角形，∠BFE等于多少度？【解答】解：∠BCF=∠EDF=108°﹣60°=48°，因为BC=CF，DF=DE，所以∠BFC=∠EFD=（180°﹣48°）÷2=66°，因此∠BFE=360°﹣66°×2﹣60°=168°．答：∠BFE等于168度．13．一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形，将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合，如图所示．问：图中的阴影部分（即折叠的部分）的面积是多少平方厘米？【解答】解：见下图：×13×DC=×（12﹣DC）×5，13×DC=60﹣DC×5，DC=（厘米）；△ADC=△AEC=××5=（平方厘米）．答：图中的阴影部分（即折叠的部分）的面积是平方厘米．14．图中大长方形被分成四个小长方形，面积分别为12、24、36、48．请问：图中阴影部分的面积是多少？【解答】解：如图，阴影部分面积为：是EF×AJ，设大长方形的长为a，宽为b，则EF=a﹣a=a，因此，阴影部分面积为×a×b，=×（a×b）=×（12+24+36+48）=×120=答：图中阴影部分的面积．故答案为：．15．三个面积都是12的正方形放在一个长方形的盒子里面，如图，盒中空白部分的面积已经标出，求图中大长方形的面积．【解答】解：由分析可知，小长方形3的面积=（大长方形的底边﹣2倍的正方形边长）×（大长方形宽﹣正方形边长）=3，小长方形4+小长方形5的面积=（大长方形底边﹣正方形边长）×（大长方形宽﹣正方形边长）=9，（大长方形底边﹣正方形边长）÷（大长方形的底边﹣2倍的正方形边长）=3，大长方形底边﹣正方形边长=3倍大长方形的底边﹣6倍的正方形边长，2倍大长方形的底边=5倍的正方形边长，大长方形的底边=2.5倍的正方形边长，则大长方形的宽=1.5倍正方形边长，大长方形面积=大长方形的底边×大长方形的宽=2.5倍正方形边长×1.5倍正方形边长=2.5×1.5倍的正方形面积=2.5×1.5×12=45．答：大长方形的面积是45．16．如图，三角形ABC的面积为1，D、E分别为AB、AC的中点，F、G是BC边上的三等分点．求三角形DEF和三角形DOE的面积．【解答】解：①过点A作线段BC的垂线，垂足为Q，过点D作线段BC的垂线，垂足为M，所以线段DM=AQ那么三角形ABC的面积是：BC×AQ÷2=1所以：BC×AQ=2因为D、E分别为AB、AC的中点，所以线段DE=BC，所以三角形DEF的面积：DE×DM÷2=×BC××AQ÷2=×2÷2=②又因为DE=，FG=，所以=，所以三角形DOE面积为：三角形DEF面积×3÷（3+2）=×3÷5=．答：三角形DEF的面积是，三角形DOE的面积．17．如图，梯形ABCD的上底AD长10厘米，下底BC长15厘米．如果EF与上、下底平行，那么EF的长度为多少？【解答】解：∵AD∥BC，EF∥BC，∴===，又==，==∴OE=BC=×15=6（厘米），OF=AD=×10=6（厘米）∴EF=OE+OF=6+6=12（厘米）答：EF的长度为12厘米．18．如图，正六边形的面积为6，那么阴影部分的面积是多少？【解答】解：如图，连结AC、BF、CE、DF，根据六正边形的特征及蝴蝶定理，阴影部分面积：×6=×6=答：阴影部分的面积是．故答案为：．19．两盏4米高的路灯相距10米，有一个身高1.5米的同学行走在这两盏路灯之间，那么他的两个影子总长度是多少米？【解答】解：如图所示：CD、EF为路灯高度，AB为该人高度，BM、BN为该人前后的两个影子．由题意得：b=4米，a=1.5米，DF=10米，∵AB∥CD，∴==，∴==即MB=DB同理BN=FB∴MB+BN=（DB+FB）=0.6×10=6（米）答：他的两个影子总长度是6米．20．如图，D是长方形ABCD一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积为3和4，那么阴影直角三角形的面积是多少？【解答】解：如图：设BC=x，阴影部分三角形的高为h，DC=y因为四边形ABCD是长方形，点O是对角线的中点，所以S△ABC=2×4=8，S△BCD=8所以：S△BWC=8﹣3=5即为：xh÷2=5xh=10所以S长方形ABCD=xy=4×4=16xh：xy=10：16即为：h：y=5：8所以：==所以：=S△BQW=×5=答：阴影直角三角形的面积是．21．如图，在三角形ABC中，AE=ED，D点是BC的四等分点，阴影部分的面积占三角形ABC面积的几分之几？【解答】解：连接CE，设S△CDE=1，因为AE=ED，S△ACE=1，D点是BC的四等分点，根据燕尾模型可得：S△BDE=S△ABE=3，则，所以，S△AEF=，．22．如图，在三角形ABC中，三角形AEO的面积是1，三角形ABO的面积是2，三角形BOD的面积是3，则四边形DCEO的面积是多少？【解答】解：如图：过点O作线段OF∥BC交AC于点F，因为三角形AEO的面积是1，三角形ABO的面积是2，三角形BOD的面积是3，所以==，==所以：S△EOF：S△EBC=，S△AOF：S△ADC=设S△EOF=x，S四边形EODF=y所以x：（3+y+x）=1：9①（1+x）：（1+x+y）=4：25②由①②解得：x=3，y=21所以四边形DCEO的面积是：3+21=24答：四边形DCEO的面积是24．三、超越篇23．如图，长方形的面积是60平方厘米，其内3条长度相等且两两夹角为120°的线段将长方形分成了两个梯形和一个三角形．请问：一个梯形的面积是多少平方厘米？【解答】解：过F点作FG⊥BC于G．因为∠BFC=120°，BF=CF=EF，所以∠FBG=30°，所以EF=BF=2FG，所以FG=EG，所以△BFC=长方形的面积×=10（平方厘米）（60﹣10）÷2=50÷2=25（平方厘米）．答：一个梯形的面积是25平方厘米．24．如图，P是三角形ABC内一点，DE平行于AB，FG平行于BC，HI平行于CA，四边形AIPD的面积是12，四边形PGCH的面积是15，四边形BEPF的面积是20．请问：三角形ABC的面积是多少？【解答】解：DE平行于AB，FG平行于BC，HI平行于CA，四边形AIPD的面积是12，四边形PGCH的面积是15，四边形BEPF的面积是20．又因为四边形AIPD和四边形BEPF的高相等，所以DP：PE=12：20=3：5；则DG：GC=3：5，又因为三角形PDG与平行四边形PHCG高相等，所以三角形PDG的面积与四边形PHCG的面积的一半的比是3：5，所以三角形PDG的面积是：（15÷2）×3÷5=4.5，同理：三角形PEH的面积与平行四边形PFBE的面积的一半的比是：5：4，所以三角形PEH的面积是：（20÷2）×5÷4=12.5，同理三角形PIF的面积与四边形PEBF的面积的一半的比是4：5，所以三角形PIF的面积是：（20÷2）×4÷5=8，12+20+15+4.5+12.5+8=72．答：三角形ABC的面积是72．25．如图所示，正方形ABCD的面积为1．E、F分别是BC和DC的中点，DE与BF 交于M点，DE与AF交于N点，那么阴影三角形MFN的面积为多少？【解答】解：连接CM、EF和AE，因为E、F是中点，所以S△BEM=S△CEM=S△CMF=1÷4÷3=，因为F是CD的中点，所以S△DEF=1÷4÷2=，AN：FN=S△ADE：S△DEF=（1÷2）：=1：4所以S△DFN=1÷4÷（1+4）=，所以S△MFN=S△DEC﹣S△CME﹣S△CMF﹣S△DFN=﹣﹣﹣=．答：阴影三角形MFN的面积为．26．如图，三角形ABC的面积为1，D、E、F分别是三条边上的三等分点，求阴影三角形的面积．【解答】解：1×××=××=×=．答：阴影三角形的面积是．27．如图，小悦测出家里瓷砖的长为24厘米，宽为10厘米，而且还测出了边上的中间线段均为4厘米，那么中间菱形的面积是多少平方厘米？【解答】解：左右两边三角形的高为：（10+4）×2÷7=4（厘米）上下两个三角形的高为：（3+4）×2÷14=1（厘米）四个小三角形的面积和为：（4×4÷2+4×1÷2）=20（平方厘米）大直角三角形的面积为：7×14÷2=49（平方厘米）空白部分面积为：49×4﹣20=176（平方厘米）中间大菱形面积为：24×10﹣176=64（平方厘米）答：中间菱形的面积为64平方厘米．28．如图，ED垂直于等腰梯形ABCD的上底AD，并交BC于G，AE平行于BD，∠DCB=45°，且三角形ABD和三角形EDC的面积分别为75、45，那么三角形AED的面积是多少？【解答】解：过A作AH⊥BC，垂足为H，AH交BD于F，则AH∥EG．因为四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，∠DCB=45°，所以∠ABC=45°，AH=DG=GC=BH，又因为AE∥BD，所以四边形AFDE是平行四边形，DE=AF，S△AED=S△AFD，因为S△DEC=DE•GC=45，S△ABD=S△AFD+S△AFB=75，其中S△AFD=S△AED，S△AFB=AF•BH=DE•GC=S△DEC=45，这样S△AED=S△ABD﹣S△AFB=75﹣45=30．答：三角形AED的面积是30．29．在长方形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的点，将长方形的四个角分别沿着HE、EF、FG、GH对折后，A点与B点重合，C点与D点重合．已知EH=3，EF=4，求线段AD与AB的长度比．【解答】解：由对称性得：∠AEH=∠A'EH，∠BEF=∠B'EF，∠AEH+∠A'EH+∠BEF+∠B'EF=180°，∠A'EH+∠B'EF=90°，∠HEF=90°．根据勾股定理得：HF=5，HF×EA'=HE×EF=3×4=12，EA'=2.4．由对称性得：AE=A'E BE=B'E A'E=B'E 所以AE=BE AE=BE=2.4，AB=4.8．由对称性得：AH=A'H BF=B'F DH=D'H CF=C'F A'H+B'F+D'H+C'F=2HF=10AH+BF+DH+CF=10AD+BC=10AD=5AD：AB=5：4.8=25：24答：线段AD与AB的长度比为25：24．30．如图，在长方形ABCD中，AE：ED=AF：AB=BG：GC．已知△EFC的面积为20，△FGD的面积为16，那么长方形ABCD的面积是多少？【解答】解：设矩形ABCD的对边AB=CD=a，AD=BC=b，再设题中的比例常数AE：ED=AF：AB=BG：GC=k，把这个表达式变换成k和矩形ABCD边长a、b的表达式，则有：AE=BG=kb：（k+1）ED=GC=AF=ka，FB=（1﹣k）aS（矩形ABCD）=ab=S（Rt△AFE）+S（△FEC）+S（ Rt△EDC）+S（Rt△FBC）=×AF×AE+20+×ED×CD+×FB×BC=×ka×kb：（k+1）+20+×b：（k+1）×a+×（1﹣k）a×b=×ab+20解ab，得：ab=（1）同理S（矩形ABCD）=ab=S（Rt△FBG）+S（△FGD）+S（ Rt△GDC）+S（Rt△AFD）=FB×BG+16+GC×CD+AF×AD=（1﹣k）a×+16++b×a+ka×b=×ab+16解ab，得：ab=32（k+1）（2）根据（1）（2），解得k=，代入（1）或（2），得到S（矩形ABCD）=ab=52cm。

小学六年级奥数--立体几何综合

学科培优数学立体几何综合学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲复习已经学过的立体图形的相关知识和解题技巧，主要有:长方体、立方体、圆柱、圆锥的体积及表面积求解，立体几何计数及多面体顶点与棱以及表面的关系。

重难点在于：1．不规则立体图形的表面积或体积求解2．多面体的顶点与棱数计数 3．体积的等量代换主要的考点：1．规则立体图形的表面积（侧面积）与体积计算2．不规则立体图形的表面积与体积计算 3．染色问题4．立体图形的三视图与展开图知识梳理主要知识点立体几何⑴规则立体图形的表面积和体积公式长方体：体积：长宽高表面积：（长宽+宽高+长高）立方体：体积：棱长的立方表面积：棱长的平方6 圆柱：体积：2r h π 侧面积：2rh π 圆锥：体积：213r h π⑵不规则立体图形的表面积整体观照法⑶体积的等积变形①水中浸放物体：V 升水=V 物 ②测啤酒瓶容积：V=V 空气+V 水⑷三视图与展开图最短线路与展开图形状问题⑸染色问题几面染色的块数与“芯”、棱长、顶点、面数的关系。

例题精讲【试题来源】【题目】一个长方体的表面积是33.66平方分米，其中一个面的长是2.3分米，宽是2.1分米，它的体积是_____立方分米.【试题来源】【题目】右图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上面的正中向下挖一个棱长为1厘米的正方形小洞；接着在小洞的底面正中再挖一个棱长为21厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，棱长为41厘米．那么最后得到的立体图形的表面积是平方厘米【试题来源】【题目】把一个长25厘米，宽10厘米，高4厘米的长方体木块锯成若干个大小相等的正方体，然后拼成一个大的正方体．这个大正方体的表面积是_____平方厘米。

【试题来源】【题目】右图是3层没有缝隙的小立方块组成的．如果它的外表面(包括底面)全都被涂成红色，那么把它们再分开成一个个小立方块时，有多少个小立方块恰有三面是红色的?【试题来源】【题目】一个正方体木块，棱长是15．从它的八个顶点处各截去棱长分别是1、2、3、4、5、6、7、8的小正方体．这个木块剩下部分的表面积最少是( )．【试题来源】【题目】把一根长2．4米的长方体木料锯成5段(如图)，表面积比原来增加了96平方厘米．这根木料原来的体积是_____立方厘米．【试题来源】【题目】用棱长是1厘米的立方体拼成右图所示的立体图形．求这个立体图形的表面积．【试题来源】【题目】把1个棱长是3厘米的正方体分割成若干个小的正方体，这些小正方体的棱长必须是整厘米数．如果这些小正方体的体积不要求都相等，那么最少可分割成个小正方体．【试题来源】【题目】用10块长7厘米，宽5厘米，高3厘米的长方体积木堆成一个长方体，这个长方体的表面积最小是多少?【试题来源】【题目】一个盛有水的圆柱形容器，底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15厘米．今将一个底面半径为2厘米，高为17厘米的铁圆柱垂直放人容器中．求这时容器的水深是多少厘米?【试题来源】【题目】有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是10厘米、20厘米，杯中盛有适量的水．甲杯中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了2厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水未外溢．问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米?【试题来源】【题目】将高都是1米，底面半径分别为1．5米、1米和0．5米的三个圆柱组成一个物体．求这个物体的表面积．【试题来源】【题目】这里有一个圆柱和一个圆锥(下图)，它们的高和底面直径都标在图上，单位是厘米．请回答：圆锥体积与圆柱体积的比是多少?【试题来源】【题目】一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方体．现从它的上面尽可能大的切下一个正方体．然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体．最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体．剩下的体积是平方厘米．【试题来源】【题目】一个圆柱形玻璃杯内盛有水，水面高2．5厘米，玻璃杯内侧的底面积是72平方厘米．在这个杯中放进棱长6厘米的正方体铁块后，水面没有淹没铁块．这时水面高多少厘米?【试题来源】【题目】图1是下面的表面展开图①甲正方体；②乙正方体；③丙正方体；④甲正方体或丙正方体．【试题来源】【题目】如图，剪一块硬纸片可以做成一个多面体的纸模型(沿虚线折，沿实线粘)．这个多面体的面数、顶点数和棱数的总和是多少?【试题来源】【题目】下面是一辆汽车模型纸工平面展开图，中轴线上面的一半标出了尺寸．将该图剪下折叠粘合(相同字母标记处粘合在一起)做成汽车模型的体积为V ．请回答：①403<v<445②473<V<500，哪一个正确，为什么?【试题来源】【题目】现有一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮，请你用它做一只深是5厘米的长方体无盖铁皮盒(焊接处及铁皮厚度不计，容积越大越好)，你做出的铁皮盒容积是多少立方厘米?【试题来源】【题目】如图，在一个立方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞在上下侧面的中心打通一个圆柱形的洞，已知立方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下侧面的洞口是直径为4厘米的圆，求该立方体的表面积和体积(取 =3．14)．【试题来源】【题目】用大小相等的无色透明玻璃小正方体和红色玻璃小正方体拼成一个大正方体ABCD —1A 1B 1C 1D (如图)，大正方体内的对角线A 1C ，B 1D ，C 1A ，D 1B 所穿的小正方体都是红色玻璃小正方体，其它部分都是无色透明玻璃小正方体，小红正方体共用了401个，问：无色透明小正方体用了多少个?习题演练【试题来源】【题目】一个长方体的各条棱长的和是48厘米，并且它的长是宽的2倍，高与宽相等，那么这个长方体的体积是______ 立方厘米【试题来源】【题目】右图是一个表面被涂上红色的棱长为lO厘米的正方体木块，如果把它沿虚线切成8个正方体，这些小正方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和是_____平方厘米【试题来源】【题目】张大爷去年用长2米、宽1米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤．今年改用了长3米、宽2米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤．问：今年粮囤的容积是去年粮囤容积的多少倍?【试题来源】【题目】把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个同样大小的小长方体，其中只有两个面涂上红色的小长方体恰好是12块．那么至少要把这个大长方体分割成个小长方体．【试题来源】【题目】六个立方体A、B、C、D、E、F的可见部分如下图，下边是其中一个立体的侧面展开图，那么它是立方体____的侧面展开图．2。