洛阳市2019-2020学年高一上学期期中数学试卷及详细解析
河南省洛阳市2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
河南省洛阳市2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={1,2,3}，B ={1,3,4}，则A ∪B =( )A. {1,2,3,4}B. {1,2,3}C. {1,3}D. {1,2}2. 函数f (x )=e x +x −2的零点所在的一个区间为( )A. (−2,−1)B. (−1,0)C. (0,1)D. (1,2)3. 下列函数中，既是偶函数，又在(0,+∞)上单调递减的是( )A. y =log 12x B. y =2−|x | C. y =x 2−1 D. y =x −14. 已知直线x +a 2y +6=0与直线(a −2)x +3ay +2a =0平行，则a 的值为( )A. 0或3或−1B. 0或3C. 3或−1D. 0或−15. 已知a =0.65.1，b =5.10.6，c =log 0.65.1，则( )A. a <b <cB. c <a <bC. c <b <aD. a <c <b6. 已知四面体ABCD 的所有顶点都在球O 的球面上，球O 的半径为2，AB ，AC ，AD 两两垂直，AB =√2，则四面体ABCD 体积的最大值为( )A. 7√26B. 73C. 2√2D. 27. 给出函数f(x)={(12)x ,(x ≥4)f(x +1),(x <4)，则f(log 23)等于( )A. 124B. 111C. −238D. 1198. 已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列为真命题的是( )A. 若m//α，n//α，则m//nB. 若n//m ，n ⊥α，则m ⊥αC. 若m//α，n//β，m ⊥n ，则α⊥βD. 若m//α，n ⊥β，m//n ，则α//β9. 已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=2a n ，则{a n }的通项公式是( )A. a n =2n−1B. a n =2nC. a n =2n −1D. a n =2n−1+110. 若点P(x 0,y 0)是圆x 2+y 2=4内任意一点，当点P 在圆内运动时，直线x 0x +y 0y =4与圆的位置关系是( )A. 相交B. 相切C. 相交或相切D. 相离11.三棱锥P−ABC中，AB=BC=√15，AC=6，PC⊥平面ABC，PC=2，则该三棱锥的外接球表面积为()A. 253π B. 252π C. 833π D. 832π12.若圆x2+y2−6x−4y−5=0上至少有三个不同的点到直线ℓ：ax+by−a=0的距离为2√2，则直线ℓ倾斜角的取值范围是：()A. [π12,π4] B. [π12,5π12] C. [π6,π3] D. [0,π2]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.直线x3−y2=1在y轴上的截距是___________．14.若函数f(x)=log12(x2−2ax+3)在(−∞,1]上为增函数，则实数a的取值范围____．15.圆C：(x−1)2+y 2=1关于直线l：x=0对称的圆的标准方程为______ ．16.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，与A1B成45°角的棱有__________条．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.某工程队在南海海域进行填海造地工程，欲在边长为1千米的正三角形岛礁ABC的外围选择一点D(D在平面ABC内)，建设一条军用飞机跑道AD，在点D测得B、C两点的视角∠BDC=60°，如图所示，记∠CBD=θ，如何设计θ，使得飞机跑道AD最长？18.已知某城市2015年底的人口总数为200万，假设此后该城市人口的年增长率为1%(不考虑其他因素)．(1)若经过x年该城市人口总数为y万，试写出y关于x的函数关系式；(2)如果该城市人口总数达到210万，那么至少需要经过多少年(精确到1年)？19.在四棱锥P−ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠BAD=60°，PA=√10，PD=3，PD⊥CD，E为AB的中点．(1)证明：PE⊥CD；(2)求二面角C−PE−D的正切值．20.已知定义在R上的函数f(x)=2x−a⋅2−x为奇函数．(1)求a的值，并判断f(x)的单调性(不用给证明)；(2)t为实数，且f(x−t)+f(x2−t2)≥0对一切实数x都成立，求t的值．21.在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，AA1⊥平面ABCD，M、N分别是棱A1D1、D1C1的中点(1)证明：AC//平面DMN；(2)若DM的中点为E，AB=6，AA1=4，∠BAD=60°，求三棱锥B−ACE的体积．22.已知动点P与两个顶点M(1,0)，N(4,0)的距离的比为1．2(I)求动点P的轨迹方程；(II)若点A(−2,−2)，B(−2,6)，C(−4,2)，是否存在点P，使得|PA|2+|PB|2+|PC|2=36.若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查集合的并集运算，比较基础．根据交集的定义求解即可．解：集合A={1,2,3}，B={1,3,4}，则A∪B={1,2，3，4}．故选A．2.答案：C解析：f(−2)=e−2−2−2<0，f(−1)=e−1−1−2<0，f(0)=e0+0−2<0，f(1)=e+1−2>0，所以函数的零点所在区间为(0,1)．3.答案：B解析：本题考查了函数的奇偶性和函数的单调性及单调区间，属于基础题．利用偶函数的定义，再利用函数的单调性得结论．解：A.函数y=log12x的定义域(0,+∞)不关于原点对称，故函数y=log12x为非奇非偶函数；B.函数y=2−|x|为偶函数，当x>0时，函数y=2−x在(0,+∞)单调递减；C.函数y=x2−1为偶函数，在(0,+∞)单调递增；D.函数y=x−1为奇函数，在(0,+∞)单调递减．综上所述，只有B符合题意．故选B．4.答案：D解析：本题主要考查了两直线平行充要条件的应用，属于基础题.解决此题的关键是根据两直线平行的条件建立关于a的方程求解，注意排除重合的情况．解：∵直线x+a2y+6=0与直线(a−2)x+3ay+2a=0平行，∴1×3a−a2(a−2)=0，即a(a2−2a−3)=0，解得a=0或a=−1或a=3，经验证当a=3时，两直线重合，故选D．5.答案：B解析：解：∵a=0.65.1∈(0,1)，b=5.10.6>1，c=log0.65.1<0，∴c<a<b．故选：B．利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.答案：A解析：解：设AC=a，AD=b，则a2+b2+2=16，∴a2+b2=14，∴14≥2ab，∴ab≤7∴四面体ABCD体积V=√23×12ab≤7√26，∴四面体ABCD体积的最大值为7√26，故选：A．设AC=a，AD=b，则a2+b2+2=16，利用基本不等式，可得ab≤7，利用体积公式，即可求出四面体ABCD体积的最大值．本题考查四面体ABCD体积的最大值，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．7.答案：A解析：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．推导出f(log23)=f(log23+1)=f(log23+2)=f(log23+3=(12) log23+3，由此能求出结果．解：∵函数f(x)={(12)x (x ≥4)f(x +1)(x <4)∴f(log 23)=f(log 23+1)=f(log 23+2)=f(log 23+3)=(12)log 23+3=13×18=124．故选A ．8.答案：B解析：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，空间中的位置关系，熟练掌握空间中线面关系的定义、判定、性质及几何特征是解答本题的关键.根据空间直线与平面，直线与直线判定定理及性质定理，以及几何特征，我们逐一对题目中的四个命题进行判断，即可得到答案． 解：对于A ，m//α，n//α，m ，n 有异面和相交的可能，A 错误，对于B ，根据定理可知，两平行直线中的一条与一平面垂直，另一条也与该平面垂直，B 正确， 对于C ，m//α，n//β，m ⊥n ，两平面有平行的可能，C 错误， 对于Ｄ，m//α，n ⊥β，m//n ，两平面有相交的可能，Ｄ错误， 故选Ｂ，9.答案：A解析：本题考查等比数列的通项公式的求解． 解：因为a n+1=2a n ，所以a n+1a n=2，所以{a n }是以a 1=1为首项，2为公比的等比数列，所以a n =2n−1．故选A ．10.答案：D解析：由圆的方程找出圆心坐标与半径，因为P 为圆内一点，所以P 到圆心的距离小于圆的半径，利用两点间的距离公式表示出一个不等式，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d ，根据求出的不等式即可得到d 大于半径r ，得到直线与圆的位置关系是相离． 解：圆心到直线的距离d =√x 0+y 0，由于点P(x 0,y 0)在圆内，所以x 02+y 02<4，所以d =√x 0+y>√4=2，即圆心到直线的距离大于半径，故直线与圆相离． 故选D ．11.答案：D解析：解：∵AB =BC =√15，AC =6， ∴cosC =√15，∴sinC =√6√15， ∴△ABC 的外接圆的半径=√152⋅√6√15=5√64，设三棱锥的外接球的球心到平面ABC 的距离为d ，则R 2=d 2+(5√64)2=(2−d)2+(5√64)2， ∴该三棱锥的外接球半径为R 2=838，表面积为：4πR 2=4π×838=832π，故选：D ．根据已知条件得出△ABC 的外接圆的半径，利用勾股定理得出外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表面积．本题综合考查了空间几何体的性质，考查三棱锥的外接球表面积，正确求出三棱锥的外接球半径是关键，属于中档题．12.答案：B解析：解：圆x 2+y 2−6x −4y −5=0的圆心C(3,2)，r =12√36+16+20=3√2，∵圆x 2+y 2−6x −4y −5=0上至少有三个不同的点到直线ℓ：ax +by −a =0的距离为2√2， ∴圆心C(3,2)到直线ℓ：ax +by −a =0的距离小于等于√2， 即d =|3a+2b−a|√a 2+b 2≤√2，b =0时，不符合，∴b ≠0， ∴d =√a 2+b 2=|2ab +2√a 2b2+1|≤√2，∴(ab )2+4⋅ab +1≤0.∴−2−√3≤ab ≤−2+√3.即2−√3≤k ≤2+√3，∴倾斜角的范围为[π12,5π12]. 故选：B ．由题意得到圆心C(3,2)到直线ℓ：ax +by −a =0的距离小于√2，由此能求出倾斜角的范围． 本题考查直线的倾斜角的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．13.答案：−2解析：本题主要考查直线的截距式方程，属于基础题． 解：直线x3−y2=1，令x =0，解得y =−2， ∴在y 轴上的截距是−2， 故答案为−2．14.答案：[1,2)解析：本题主要考查复合函数的单调性，解本题的关键是掌握复合函数的单调性“同增异减”，还要注意函数的单调区间必在函数的定义域内，不要忘了对数的真数要大于0，属于中档题．令u =x 2−2ax +3，则由题意可得u =x 2−2ax +3在(−∞,1]上为减函数且函数值大于0，可得{a ≥11−2a +3≥0，解得a 的范围． 解：令u =x 2−2ax +3，则y =log 12u 在(0,+∞)上单调递减． 由f(x)=log 12(x 2−2ax +3)在(−∞,1]上 为增函数，可得u =x 2−2ax +3在(−∞,1]上为减函数且函数值大于0， 可得{a ≥11−2a +3>0，解得1≤a <2，故答案为[1,2)．15.答案：(x +1)2+y 2=1解析：解：∵圆 C ：(x −1)2+y 2=1的圆心为原点(1,0)，半径为1， ∴已知圆关于直线l ：x =0对称的圆半径为1，圆心为(−1,0)，因此，所求圆的标准方程为(x+1)2+y2=1．故答案为(x+1)2+y2=1：.求出圆C:(x−1)2+y2=1的圆心为原点(1,0)，半径为1，可得对称的圆半径为1，圆心为(−1,0)，由此结合圆的标准方程即可得到所求圆的方程．本题给出圆C：(x−1)2+y2=1，求它关于定直线对称的圆的方程，着重考查了圆的标准方程、直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．16.答案：8解析：此题考查异面直线所成的角，利用异面直线所成角的概念，通过找平行线求解．解：在正方体中，与A1B所成角为45°的面对角线有A1B1，AB，C1D1，CD，AA1，BB1，CC1，DD1，共8条．故答案为8．17.答案：解：在△BCD中，BC=1，∠BDC=60°，∠CBD=θ，由正弦定理知BCsin60°=BDsin(120°−θ)，所以BD=sin(120°−θ)sin60°=cosθ+√33sinθ，…(4分)在△ABD中，AB=1，∠ABD=60°+θ，由余弦定理知AD2=AB2+BD2−2AB⋅BD⋅cos(60°+θ)，…(8分)AD2=12+(cosθ+√33sinθ)2−2×1×(cosθ+√33sinθ)(12cosθ−√32sinθ)=1+43sin2θ+4√3 3sinθcosθ=53+43sin(2θ−30°)…(14分)当2θ−30°=90°，θ=60°时，跑道AD最长．…(16分)解析：首先利用正弦定理在△BCD中表示出BD，然后在△ABD中，利用余弦定理求出AD即可．本题考查了解三角形的实际应用；关键是利用两个定理得到三角形的边角关系，进一步解三角形．18.答案：解：(1)y=200(1+1%)x．(2)令y=210，即200(1+1%)x=210，解得x=log1.011.05≈5．答：约经过5年该城市人口总数达到210万．解析：(1)利用指数型增长模型得出函数关系式；(2)令y=210，计算x即可．本题考查了指数型函数增长模型的应用，属于基础题．19.答案：证明：(1)在菱形ABCD中，∵∠BAD=60°，E为AB的中点，∴DE⊥CD，又∵PD⊥CD，且DE∩PD=D，DE⊂平面PDE，PD⊂平面PDE，∴CD⊥平面PDE，∵PE⊂平面PDE，∴PE⊥CD．解：(2)过D作DH⊥PE，垂足为H，连结CH．由CD⊥平面PDE，得CH⊥PE，∴∠CHD是二面角C−PE−D的平面角．由PE⊥CD，AB//CD，可得PE⊥AB，∵E为AB中点，PA=√10，∴PE=3．又PD=3，DE=√3，在△PDE中，由余弦定理得cos∠DEP=√36，∴sin∠DEP=√336，∴DH=DE⋅sin∠PED=√3×√336=√112．在Rt△CHD中，可得tan∠CHD=CDDH =4√1111．所以，二面角C−PE−D的正切值为4√1111．解析：本题考查线线垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(1)推导出DE⊥CD，PD⊥CD，从而CD⊥平面PDE，由此能求出PE⊥CD；(2)过D作DH⊥PE，垂足为H，连结CH.由CD⊥平面PDE，得CH⊥PE，∠CHD是二面角C−PE−D 的平面角，由此能求出二面角C−PE−D的正切值．20.答案：解：(1)∵f(x)=2x−a⋅2−x为奇函数，∴f(0)=0，则1−a=0，解得a=1，即f(x)=2x−2−x=2x−(12)x，∵函数y=2x、y=−(12)x在定义域上是增函数，∴f(x)=2x−(12)x在R上单调递增；(2))∵f(x)是奇函数，且在R上是增函数，∴f(x−t)+f(x2−t2)≥0化为：f(x2−t2)≥−f(x−t)=f(−x+t)，∴x2−t2≥−x+t，则x2+x−t2−t≥0对一切实数x恒成立，∴△=12−4×1×(−t2−t)≤0，则(2t+1)2≤0，解得t=−12，∴t的值是−12．解析：(1)根据奇函数的性质：f(0)=0，列出方程求出a，利用指数函数的单调性判断f(x)的单调性；(2)由奇函数f(x)的单调性转化不等式，由二次函数的恒成立列出不等式求出t的值．本题考查函数单调性与奇偶性综合应用，以及二次函数的性质，考查转化思想，属于中档题．21.答案：证明：(1)∵在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，AA1⊥平面ABCD，M、N分别是棱A1D1、D1C1的中点，∴MN//A1C1//AC，∵AC⊄平面DMN，MN⊂平面DMN，∴AC//平面DMN．解：(2)∵DM的中点为E，AB=6，AA1=4，∠BAD=60°，∴E到平面ABC的距离为d=12AA1=2，S△ABC=12×6×6×sin120°=9√3，∴三棱锥B−ACE的体积：V B−ACE=V E−ABC=13×S△ABC×d=13×9√3×2=6√3．解析：(1)推导出MN//A1C1//AC，由此能证明AC//平面DMN．(2)三棱锥B−ACE的体积V B−ACE=V E−ABC，由此能求出三棱锥B−ACE的体积．本题考查线面平行的证明，考查的三棱柱的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．22.答案：解：(I)设P(x,y)，则∵动点P与两个顶点M(1,0)，N(4,0)的距离的比为1，2∴2√(x−1)2+y2=√(x−4)2+y2，∴x2+y2=4，即动点P的轨迹方程是x2+y2=4；(II)由|PA|2+|PB|2+|PC|2=36，可得(x+2)2+(y+2)2+(x+2)2+(y−6)2+(x+4)2+(y−2)2=36，∴3x2+3y2+16x−12y+32=0，∵x2+y2=4，∴4x−3y+11=0，>2，圆心到直线4x−3y+11=0的距离d=115∴直线与圆相离，∴不存在点P，使得|PA|2+|PB|2+|PC|2=36．解析：(I)利用直接法，求动点P的轨迹方程；(II)由|PA|2+|PB|2+|PC|2=36，可得3x2+3y2+16x−12y+32=0，得出公共弦的方程，即可得出结论．本题考查轨迹方程，考查圆与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于中档题．。
河南省洛阳市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题参考答案
… …２ 分
又 犇犈 ∩ 犅犉 ＝ 犉，犇犉 平 面 犅犉犇，犅犉犆 平 面 犅犉犇，
∴ 犃犆 ⊥ 平面 犅犉犇，
… …４ 分
又 ∵ 犅犇 平面 犅犉犇，
∴ 犃犆 ⊥ 犅犇．
… …５ 分
（２）连接 犉犈， ∵ 犃犆 ⊥ 平面 犅犉犇，犅犉 平面 犅犉犇，犉犈 平面 犅犉犇．
∴ 犃犆 ⊥ 犅犉，犃犆 ⊥ 犉犈，
∴ 犉犈 ＝ １２犅犇 ＝ 槡２２犪．
故 △犅犈犉 为正三角形， ∴ ∠犅犉犈 ＝６０°，
∴ 二面角 犅 －犃犆 －犈 的大小为６０°．
２０．解：（１）∵ 犳（狓）为奇函数，且定义域为 犚，
所以犳（０）＝０，即犿１＋－犲犲００ ＝０，所以 犿 ＝１，
所
以
犳（狓）＝
１－犲狓 １＋犲狓
．
函数犳（狓）在 犚 上单调递减．
… …７ 分
∴ ∠犅犉犈 即为二面角犅 －犃犆 －犈 的平面角．
… …８ 分
设 犃犅 ＝ 犅犆 ＝犪，则 犃犆 ＝ 犃犇 ＝ 犆犇 ＝ 犅犇 ＝ 槡２犪
∴ 犅犉 ＝ 槡２２犪，犇犉 ＝ 槡２６犪，
在 △犅犉犇 中，犅犇２ ＝ 犅犉２ ＋犇犉２， ∴ 犅犉 ⊥ 犇犉，即 △犅犉犇 是直角三角形．
… …１０ 分
市 阳 洛 省 南 河
洛阳市２０１９———２０２０学年第一学期期末考试
高一数学试卷参考答案
一 、选 择 题
１－５ ＡＢＢＣＡ ６－１０ ＡＣＤＤＣ １１－１２ＢＤ 二 、填 空 题
１３．狓＋狔－５
＝
０或
３狓－２狔
＝
０
１４．（－
∞
，１］ ２
１５．（狓－２）２ ＋ （狔－３）３ ＝４
１６．４
河南省洛阳市2019-2020学年高三上学期期中数学(文)试题(解析版)
洛阳市2019—2020学年高中三年级上学期期中考试数学试卷（文）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i 为虚数单位，复数z 满足12iz i ，则z 等于（）A. 2i B. 2i C. 12i D. 12i【答案】 B【解析】【分析】在等式12iz i 两边同时除以i ，可求出复数z .【详解】12iz i Q ，212iz i i ，故选：B.【点睛】本题考查复数的除法，考查计算能力，属于基础题. 2.已知集合3log 22Ax x ，29B x x ，则A B （）A.,32,U B. 3,11C. 2, D. ,32,3【答案】A【解析】【分析】解出集合A 、B ，再利用并集的定义可得出集合A B . 【详解】3log 220292,11Ax x x x ，29,33,B x x ，因此，,32,A B U U .故选：A.【点睛】本题考查集合并集的运算，同时也考查了对数不等式以及一元二次不等式的解法，解题的关键就是解出题中所涉及的集合，考查运算求解能力，属于基础题.3.已知实数x 、y 满足1341yx xy y ，则3x y 的最大值为（）A. 7B. 4C. 3D. 0【答案】A【解析】【分析】设3z x y ，作出不等式组所表示的可行域，平移直线3z x y ，观察该直线在x 轴上取得最大值时对应的最优解，再将最优解代入目标函数计算即可. 【详解】设3z x y ，作出不等式组1341yx x yy所表示的可行域如下图所示：联立13y xx y ，解得12x y ，得点1,2A ，平移直线3z x y ，当直线3z x y 经过点1,2A 时，直线3zx y 在x 轴上的截距最大，此时3z x y 取得最大值，即max 1327z . 故选：A.【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，一般利用平移直线的方法找出线性目标函数取得最值时的最优解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.。
洛阳市2019-2020学年高一质量检测数学试卷(文)
洛阳市2019-2020学年高一质量检测数学试卷（文）一、选择题1. y=tan2x的最小正周期是（）A.3πB.2πC.π2D.π2. 某中学举行校园歌手大赛，经预赛后共10名同学进入决赛，现采用抽签方式确定出场顺序，若甲同学先抽，则他抽到的出场序号小于4的概率为（）A.3 10B.25C.710D.153. 已知函数f(x)=ln x+√16−2x，则f(x)的定义域为（）A.(0,2]B.(0,4]C.(0,1)D.(1,2]4. 已知直线a、b与平面α、β、γ，下列条件中能推出α // β的是（）A.α⊥γ，且β⊥γB.a⊥α，且a⊥βC.a⊂α，b⊂α，a // β，b // βD.a⊂α，b⊂β，a // b5. 在区间[−1,1]上随机地取一个数x，则cosπx2的值介于0到12之间的概率为（）A.1 3B.12C.23D.2π6. 某高中一年级两个数学兴趣小组举行对抗赛，满分100分，每组20人参加，成绩统计如图：根据统计结果，比较甲、乙两小组的平均成绩及方差大小（）A.x¯甲>x¯乙,S甲2>S乙2B.x¯甲<x¯乙,S甲2<S乙2C.x¯甲<x¯乙,S甲2>S乙2D.x¯甲>x¯乙,S甲2<S乙27. 已知a=sin33∘,b=cos55∘,c=tan35∘，则a，b，c的大小关系是（）A.b<c<aB.b<a<cC.a<b<cD.a<c<b8. 已知a→,b→是不共线的非零向量AB→=a→+2b→,BC→=3a→−b→,CD→=2a→−3b→．则四边形ABCD是（）A.菱形B.梯形C.矩形D.平行四边形9. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（参考数据：√3≈1.732,sin15∘≈0.2588，sin75∘≈0.1305）（）A.48B.36C.12D.2410. 已知的△OMN三个顶点为O(0,0),M(6,0),N(8,4)过点(3,5)作其外接圆的弦，若最长弦与最短弦分别为AC，BD，则四边形ABCD的面积为（）A.40√6B.30√6C.10√6D.20√611. 已知体积为4√3的三棱锥O−ABC的顶点A，B，C都在球O的表面上，且AB=6,BC=2√3,AC=4√3，则球O的表面积是（）A.72πB.64πC.16πD.32π12. 已知四边形ABCD中，AC⊥BD,AB=BC=BD2=2,AC=CD=2√3，点E在四边形ABCD上运动．则EB→⋅ED→的最小值是（）A.−4B.−3C.3D.−1二．填空题已知cos θ=45，且θ∈(−π2,0)，则tan (π4+θ)=________．函数y =log a (2x −3)+4(a >0，且a ≠1）的图像恒过定点A ，且点A 在幂函数f (x )的图像上，则f (3)=_________．若直线√3x −3y +9=0被圆(x −2)2+(y −3)2=r 2截得的弦长为√3r ，则r =________．已知f(x)＝e x−1+e1−x+2a 只有一个零点，则a ＝________．三、解答题已知平面向量a →=(1, x)，b →=(2x +3, −x)(x ∈N)． (1)若 a →与 b →垂直，求x ；(2)若a → //b →，求|a →−b →|．已知某校高一（1）班数学老师根据本班50名同学的月考数学成绩，绘制频率分布直方图如图所示．(1)根据频率分布直方图，估计这50名同学的数学平均成绩；(2)用分层抽样方法从成绩低于115分的同学中抽取6名作问卷调查，再在抽取的这6名同学中任选2名谈话，求这两名同学数学成绩均在[105,115)中的概率．已知函数f (x )=log 2(2x +1)+kx (k ∈R )． (1)若k =0，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )为偶函数，求k 的值．已知矩形ABCD 中，AD =2AB =2，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，现将矩形ABCD 沿EF 折起，使二面角D ′−EF −B 为60∘．(1)求证EF ⊥AD ′；(2)求四棱锥A −EFC ′D ′的体积．已知函数f (x )=A sin (ωx +φ)(ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示．(1)将函数y =f (x )的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，再将所得函数图象向左平移π3个单位长度．得到函数y =g (x )的图象，求g (x )的单调递增区间；(2)当x ∈[−π2,π12]时，求函数y =f (2x +π12)−√2f (2x +π3)的值域．已知动点M 到两定点A (1,1),B (2,2)的距离之比为√2．(1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与直线l:2x +y −6=0夹角为30∘的直线，交l 于点Q ，求|PQ|的最大值和最小值．参考答案与试题解析洛阳市2019-2020学年高一质量检测数学试卷（文）一、选择题1.【答案】此题暂无答案【考点】三角于数的深期两及其牛法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】此题暂无点评2.【答案】此题暂无答案【考点】古典因顿二其比率计算公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】此题暂无点评3.【答案】此题暂无答案【考点】函数的定较域熔其求法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】此题暂无点评4.【答案】此题暂无答案【考点】平面与平三平行腔判定平面与平较平夏的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】本题考查平面与平面垂直的性质，以及直线与平面平行与垂直的性质，同时考查了推理论证的能力，属于基础题．5.【答案】此题暂无答案【考点】几何概表计声（集长样、角度奇附积、体积有关的几何概型）【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】此题暂无点评6.【答案】此题暂无答案【考点】古典因顿二其比率计算公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】此题暂无点评7.【答案】此题暂无答案【考点】正因归理三使函以线【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】此题暂无点评8.【答案】此题暂无答案【考点】向量在于何中侧应用向量水较线定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】此题暂无点评9.【答案】此题暂无答案【考点】归都读理数三的最用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】此题暂无点评10.【答案】此题暂无答案【考点】圆的明合钙用直线和圆体方硫的应用圆的射纳方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】此题暂无点评11.【答案】此题暂无答案【考点】球的表体积决体积【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】此题暂无点评12.【答案】此题暂无答案【考点】向量在于何中侧应用平面向量三量积州运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】此题暂无点评二．填空题【答案】此题暂无答案【考点】两角和常差铝正切同角正角测数解的当本关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】此题暂无点评【答案】此题暂无答案【考点】对数函数表础象与性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】此题暂无点评【答案】此题暂无答案【考点】直线与三相交的要质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力．【答案】此题暂无答案【考点】函数根助点与驶还根的关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】本题考查函数的零点、基本不等式的性质，理解函数的零点与方程的根之间的联系是解题的关键，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．三、解答题【答案】此题暂无答案【考点】平面水因共线（平行）的坐似表阻【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】本题考查了平面向量垂直与平行的应用问题，是基础题．【答案】此题暂无答案【考点】归都读理基来雨等式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】此题暂无点评【答案】此题暂无答案【考点】奇偶性与根调性的助合函数奇明性研性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】此题暂无点评【答案】此题暂无答案【考点】二面角的使面角及爱法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】此题暂无点评【答案】此题暂无答案【考点】由y=于si械（ωx+美）的部分角象六定其解断式函数y射Asi过（ω复非φ）的图象变换正弦函射的单调长正较夏造纵定义域和值域【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】此题暂无点评【答案】此题暂无答案【考点】圆锥曲三的综合度题直线常椭圆至合业侧值问题轨表方擦【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】此题暂无点评。
洛阳市2019-2020上学期期中考试高一数学试卷及答案
的狓 的取值范围是
Ａ．（２，＋ ∞）
Ｂ．（１ ２，１）∪ （２，＋ ∞）
Ｃ．（０．１ ２）∪ （２，＋ ∞）
Ｄ．（１ ２ ，２）
１１．若偶函数犳（狓）＝犲－（狓－犿）２ （犲是自然对数的底数）的最大值为狀，则犳（狀犿 ）＝
Ａ．犲１
Ｂ．犲１２
Ｃ．犲
Ｄ．１
１２．已知定义在（０．＋ ∞）上的单调函数犳（狓），满足犳（犳（狓）－狓２）＝２，则不等式 犳（狓）＞ ７狓 －１１ 的 解 集 为
２ 狋
＋１，
设 犵（狋）＝狋－
２ 狋
＋１
则函数犵（狋）在狋∈ ［１，＋ ∞）上是增函数． ∴ 犵（狋）ｍｉｎ ＝犵（１）＝０ ∴ 犿 ≤０， ∴ 实数 犿 的取值范围为犿 ≤０．
… …１０ 分 … …１１ 分 … …１２ 分
… …１ 分 … …４ 分
… …６ 分 … …８ 分
… …１０ 分 … …１１ 分 … …１２ 分
槡 １８．解
：（１）（２
１
）１ ２
４
＋
［（－３）４］１ ４
－
（槡５－槡３）０ ＋３
３ ３ ８
＝
（９
）１ ２
４
＋３４×１４
－１＋
（２７）１ ３ ８
＝
３ ２
＋３－１＋
３ ２
＝５
（２）ｌｏｇ２．５６．２５＋ｌｇ０．０１－２１＋ｌｏｇ２３ ＋ｌｏｇ４５·ｌｏｇ５４
＝２＋ｌｇ１０－２ －２·２ｌｏｇ２３ ＋ｌｏｇ４５·ｌｏｇ１４５
（２）当狓 ∈ ［１，＋ ∞）时，犿犳（狓）≤２狓 －２恒成立，求实数 犿 的取值范围．
高 一 数 学 第４ 页 （共 ４ 页 ） （２０１９．１１）
洛阳市２０１９———２０２０学年第一学期期中考试
河南省洛阳市2019-2020学年高三上学期期中考试数学(文)试卷word版
洛阳市2019—2020学年高中三年级上学期期中考试数学试卷（文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上．2．考试结束，将答题卡交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i 为虚数单位，复数z 满足iz ＝1＋2i ，则z 等于A ．2＋iB ．2－iC ．1＋2iD ．1－2i2．已知集合A ＝{x ｜log 3（x －2）≤2}，B ＝{x ｜x 2＞9}，则A ∪B ＝A ．（－∞，3）∪（2，＋∞）B ．（3，11]C ．（2，＋∞）D ．（－∞，－3）∪（2，3）3．已知实数x ，y 满足1341y x x y y －≤，＋≤，≥则x ＋3y 的最大值为A ．7 B ．4 C ．3D ．04．执行右边的程序框图，则输出的结果是A ．1132B ．833C ．1112D ．145．已知单位向量a ，b 满足｜a －b ｜＝｜a ＋2b ｜，则a ，b 夹角为A ．6B ．3C ．23D ．566．已知35a ＝，02log 01b ．＝．，3log 2c ＝，则a ，b ，c 的大小关系是A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．a ＜c ＜bD ．b ＜c ＜a7．已知点P 是圆C ：（x －3－cos θ）2＋（y －sin θ）2＝1上任意一点，则点P 到直线x ＋y ＝1距离的最大值为A ．2B ．22C ．21＋D ．22＋8．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P ，Q ，R 分别为棱AA 1，BC ，C 1D 1的中点，经过P ，Q ，R 三点的平面为，平面被此正方体所截得截面图形的周长为A ．2B ．62C ．32D ．339．已知p ：函数y ＝ln （x 2－ax ＋1）的定义域为R ，q ：e x＞ax 对任意实数x 恒成立，若p ∧q 真，则实数a 的取值范围是A ．[0，2）B ．[2，e ）C ．（－2，e ）D ．[0，e ）10．双曲线C 的对称轴与坐标轴重合，两个焦点分别为F 1，F 2，虚轴的一个端点为A ，若△AF 1F 2是顶角为120°的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为A ．62B ．2C ．3D ．211．已知数列{n a }为等差数列，其前n 项和为n S ，若9n n S S －＝（nN ∈且n ＜9），有以下结论：①9S ＝0；②5a ＝0；③{n a }为递增数列；④9a ＝0．则正确的结论的个数为A ．1 B ．2C ．3D ．412．已知三棱锥P －ABC 的侧棱长相等，底面正三角形ABC 的边长为2，PA ⊥平面PBC 时，三棱锥P－ABC 外接球的表面积为A ．32B ．32C ．D ．3第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知tan （x ＋4）＝2，则tan （x －4）＝__________．14．已知函数f （x ）的导函数为f x，222f x x xf ＝＋，则不等式f （x ）＜0的解集为__________．15．已知函数f （x ）＝sinx ＋2cosx 在x 0处取得最小值，则f （x ）的最小值为__________，此时cosx 0＝__________．16．若命题“0x ∈[0，e]，使得0121ax x e－＞成立．”为假命题，则实数a 的最大值为__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P －ABC 中，△PAC 为正三角形，M 为棱PA 的中点，AB ⊥AC ，AC ＝12BC ，平面PAB ⊥平面PAC ．（1）求证：AB ⊥平面PAC ；（2）若AC ＝2，求三棱锥P －BMC 的体积．18．（本小题满分12分）设数列{n a }的前n 项和为n S ，且n S ＝21n－，数列{n b }满足1b ＝2，1n b ＋－2n b ＝8n a ．（1）求数列{n a }的通项公式；（2）求数列{n b }的前n 项和n T ．19．（本小题满分12分）在△ABC 中，D 是BC 中点，AB ＝3，AC ＝13，AD ＝7．（1）求边BC 的长；（2）求△ABC 的面积．20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221x y ab＋＝（a ＞b ＞0）的右焦点为F （1，0），点P （1，32）在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）圆x 2＋y 2＝1的切线l 与椭圆C 相较于M ，N 两点，证明：∠MON 为钝角．21．（本小题满分12分）已知函数f （x ）＝e x－cosx ．（1）求f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；（2）求证：f （x ）在（－2，＋∞）上仅有2个零点．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑．22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为113x t y t＝＋，＝－（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为22cos30－－＝．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，设M（1，1），求11MA MB＋的值．23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）已知函数f（x）＝｜x－3｜－2｜x｜．（1）求不等式f（x）≥2的解集；（2）若f（x）的最大值为m，a，b，c为正数且a＋b＋c＝m，求证：a2＋b2＋c2≥3．。
河南省洛阳市2019-2020学年高三上学期期中数学(理)试题(带答案)
河南省洛阳市2019-2020学年高三上学期期中考试数学（理)试题第I 卷（选择题)评卷人 得分一、单选题1．已知i 为虚数单位，复数z 满足12iz i =+，则z 等于（ ） A ．5 B ．5C ．1D ．32．已知集合{}3log (2)2A x x =-≤，{}20B x x m =->，若A B ⊆，则实数m 的取值范围是（ ）A ．]4∞（-， B ．4∞（-，）C ．22∞（-，）D ．22]∞（-， 3．已知实数,x y 满足1341y x x y y -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，，．则3x y +的最大值为（ ）A ．0B ．3C ．4D ．74．执行如图所示的程序框图，若输出的14S =，则输入的n 值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．已知35a =，02log 01b =．．，3log 2c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a c b <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b c a <<6．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P ，Q ，R 分别为棱AA 1，BC ，C 1D 1的中点，经过P ，Q ，R 三点的平面为α，平面α被此正方体所截得截面图形的面积为（ ） A．B．CD7．已知偶函数()f x 的图象关于(1,0)对称，且当01x ∈（，）时，2()f x x =，则910x ∈（，）时，()f x ＝（ ） A ．2xB ．2x -C ．28x -（）D ．2(10)x --8．已知:p 函数()2ln 1y x ax =-+的定义域为R ，:x q e ax >对任意实数x 恒成立，若p q ∧真，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)0,2B ．[)2,eC ．()2,e -D ．[)0,e9．双曲线C 的对称轴与坐标轴重合，两个焦点分别为F 1，F 2，虚轴的一个端点为A ，若△AF 1F 2是顶角为120°的等腰三角形，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A．y =B．y =或2y x =±C．y = D．y x =或y = 10．已知函数()(]201lg (1,)x x x f x x x ⎧-+∈⎨∈+∞⎩，，，＝，，若()f x a =有三个不等实数根123,,x x x ，则123x x x ++的取值范围是（ ）A ．（2，＋∞）B ．[2，＋∞）C ．（2，1 D ．[2，1+11．已知数列{n a }满足11a =，22a =，2221cossin 22n nn n a a ππ+⎛⎫+ ⎪⎝+⎭=，n *∈N 则2019a ·22020log a 的值为（ ）A ．0B ．1C ．10102D ．1010101012．菱形ABCD 的边长为2，∠ABC ＝60°，沿对角线AC 将三角形ACD 折起，当三棱锥D －ABC 体积最大时，其外接球表面积为（ ）A ．3B C ．209π D ．203π第II 卷（非选择题)二、填空题13．已知平面向量a ，b r 满足2a b ⋅=v v ，1=r b ，22a b -=v v ，则a r ＝__________．14．已知数列{n a }的通项公式为631317n n a n －＝－，若i a ，j a 分别是该数列的最大项和最小项，则i ＋j ＝__________．15．已知函数()sin 2cos f x x x =+在0x 处取得最小值，则()f x 的最小值为__________，此时0cos x =__________． 16．已知点P 是曲线214x y =上任意一点，过点P 向y 轴引垂线，垂足为H ，点Q 是曲线xy e =上任意一点，则｜PH ｜＋｜PQ ｜的最小值为__________．三、解答题17．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21nn S =－，数列{}n b 满足12b =，128n n n b b a +-=.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．在△ABC 中，D 是BC 中点，AB ＝3，AC AD ． （1）求边BC 的长； （2）求△ABD 内切圆半径．19．如图，在三棱锥P ABC -中，PAC ∆为正三角形，M 为棱PA 的中点，AB AC ⊥，AC AB =，平面PAB ⊥平面PAC ．（1）求证：AB ⊥平面PAC ； （2）若Q 是棱AB 上一点，14Q BMC P ABC V V =－－，求二面角Q MC A --的大小．20．已知椭圆C ：22221x y a b +＝（a ＞b ＞0）的离心率为6，且经过点P （2，2）． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点Q （1，－1）的直线与椭圆C 相交于M ，N 两点（与点P 不重合），试判断点P 与以MN 为直径的圆的位置关系，并说明理由． 21．已知函数()2x f x e cosx x -=-． （1）求()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）求证：()f x 在(,)2π-+∞上仅有2个零点．22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为113x ty t =+⎧⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ--=．（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设()1,1M ，求11MA MB＋的值． 23．已知函数()32f x x x =--． （1）求不等式()2f x ≥的解集；（2）若()f x 的最大值为m ，a 、b 、c 为正数且a b c m ++=，求证：2223a b c ++≥．参考答案1．B 【解析】 【分析】先化简得到2z i =-，再计算z =【详解】=1+2iz i 则1+2=2iz i i=-,z 故选B 【点睛】本题考查了复数的模，属于简单题. 2．A 【解析】 【分析】先计算集合A 和集合B ，再根据A B ⊆关系解得答案. 【详解】{}{}3log (2)2211A x x x x =-≤=<≤{}202m B x x m x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭A B ⊆，则2,42mm ≤≤ 故选：A 【点睛】本题考查了集合的包含关系，属于基础题型. 3．D 【解析】 【分析】画出可行域，根据平移得到答案. 【详解】 画出可行域：如图所示，取30x y +=画出图像通过平移：当目标函数过直线1y x -=和3x y +=的交点(1,2)A 时，有最大值 即1,2x y ==时，有最大值为7 故选：D 【点睛】本题考查了线性规划，准确作图是解题的关键. 4．C 【解析】 【分析】 设数列111(1)1n a n n n n ==-++，则程序框图表示的是从n 项到11项之和，利用裂项相消法得到答案. 【详解】 设数列111(1)1n a n n n n ==-++则程序框图表示的是数列从n 项到11项之和 即111111111 (1121112124)S n n n n n =-+-++-=-=+++ 3n =故选C 【点睛】本题考查了程序框图，确定程序框图所表示的数列关系是解题的关键. 5．A 【解析】 【分析】先根据函数的单调性判断b c >，再判断c a >得到答案. 【详解】0202log 01log 0.21b =>=．．． 33log 2log 31c =<=故b c >3353553332323log 2log 35>∴>∴>= ，即c a >故b c a >> 故选：A 【点睛】本题考查了利用函数的单调性比较大小，意在考查学生的计算能力. 6．A 【解析】 【分析】先确定平面α被此正方体所截得截面图形为正六边形HPFQGR ，再计算机其面积为得到答案. 【详解】如图所示：,,F G H 是对应线段的中点. 易知：RF 与HQ 相交，确定一个平面HQ ‖RG ，故G 在平面内，同理P 在平面内故平面α被此正方体所截得截面图形为正六边形HPFQGR12623S π=⨯=故选A【点睛】本题考查了截面图形的面积，确定截面为正六边形是解题的关键. 7．D 【解析】 【分析】根据对称和偶函数得到周期为4，设910x ∈（，），则10(0,1)x -∈，代入化简得到答案. 【详解】偶函数f x （）的图象关于10（，）对称 则()(),(1)(1)f x f x f x f x =--=-+得到()()(2)f x f x f x =-=-+，(2)(4)f x f x +=-+，故(4)()f x f x +=周期为4 设910x ∈（，），则10(0,1)x -∈ 2()(2)(10)(10)(10)f x f x f x f x x =-+=--=--=--故选：D 【点睛】本题考查函数的对称性和奇偶性，利用代换得到函数的周期是解题的关键. 8．A【分析】由p q ∧真得出两个命题均为真命题，求出p 、q 均为真命题时对应的参数a 的取值范围，取交集即可得出实数a 的取值范围. 【详解】由于命题p q ∧为真命题，则命题p 、q 均为真命题. 若命题p 为真命题，则240a ∆=-<，解得22a -<<.若命题q 为真命题，构造函数()xf x e ax =-，则()min 0f x >，且()xf x e a '=-.（1）当0a <时，()0f x '>对任意的x ∈R 恒成立，此时，函数()y f x =单调递增， 且当x →-∞时，()f x →-∞，不合乎题意； （2）当0a =时，()0xf x e =>恒成立；（3）当0a >时，令()0xf x e a '=-=，得ln x a =.当ln x a <时，()0f x '<，当ln x a >时，()0f x '>.()()()ln min ln ln ln 1ln 0a f x f a e a a a a a a a ∴==-=-=->，即1ln 0a ->，解得0a e <<.所以，当命题q 为真命题时，0a e ≤<. 因此，实数a 的取值范围是[)0,2. 故选：A. 【点睛】本题考查利用复合命题的真假求参数的取值范围，同时也考查了对数型函数的定义域与不等式恒成立问题，解题时要根据复合命题的真假判断出简单命题的真假，考查运算求解能力，属于中等题. 9．B 【解析】 【分析】根据题意得到a =，再讨论焦点在x 轴，y 轴两种情况得到答案.12AF F ∆是顶角为120︒的等腰三角形：则=c故a =当焦点在x轴上时：渐近线方程为y x = 当焦点在y轴上时：渐近线方程为y =综上所述：渐近线方程为y =或y x = 故选：B 【点睛】本题考查了双曲线的渐近线，遗漏一种情况是容易发生的错误. 10．C 【解析】 【分析】画出函数图像，根据对称性得到121x x =+，再计算31x <. 【详解】()(]201lg (1,)x x x f x x x ⎧-+∈⎨∈+∞⎩，，，＝，， ，()f x a =有三个不等实数根123,,x x x 设123x x x << 画出函数图像得：根据对称性知：121x x =+取1lg ,4x x ==，则31x <<综上所述：21312x x x ++<<故选：C【点睛】本题考查了函数零点的范围，画出图像得到临界点是解题的关键.11．C【解析】【分析】讨论n 的奇偶性分别计算得到21k a k -=，22k k a =代入数据计算得到答案.【详解】11a =，22a =，2221cos sin 22n n n n a a ππ+⎛⎫+ ⎪⎝+⎭=，n *∈N 当n 为奇数时：化简得到21n n a a +=+，隔项成等差数列.设21n k =-，21k a k -=，故20191010a =当n 为偶数时：化简得到22n n a a +=，隔项成等比数列.设2n k =，22k k a =，故202010102a =故2019a ·02220210101010l 010og 1a =⨯= 故选：C【点睛】本题考查了数列的求值，讨论n 的奇偶性分别计算是解题的关键.12．D【解析】【分析】当平面ACD 与平面ABC 垂直时体积最大，如图所示，利用勾股定理得到222)()3R OG =+和222(3R OG =+，计算得到答案. 【详解】易知：当平面ACD 与平面ABC 垂直时体积最大.如图所示：E 为AC 中点，连接,DE BE ，外接球球心O 的投影为G 是ABC ∆中心，在BE 上BE =DE =EG = ，BG =设半径为R ，则222)3R OG =-+，222(3R OG =+解得：3R =，表面积22043S R ππ== 故选：D【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，利用勾股定理求出半径是解题的关键.13．【解析】【分析】 对22a b -=r r 两边平方得到，计算得到答案.【详解】22a b -=r r 两边平方得到：22444a a b b -⋅+=r r r r ，即28,a a ==r r故答案为：【点睛】本题考查了向量模的计算，意在考查学生的计算能力.14．11【解析】【分析】 变形32317n a n =+-，构造函数3()2317f x x =+-，根据函数的单调性，得到答案. 【详解】 6312(317)332317317317n n n a n n n --+=+-==-- 易知对应函数3()2317f x x =+- 在17(,)3+∞上单调递减，对应函数值大于零 在17(,)3-∞上单调递减，对应函数值小于零 故32317n a n =+-的最大项为6a ，最小项为5a 即11i j +=故答案为11【点睛】 本题考查了数列的最大项和最小项，构造函数3()2317f x x =+-得到单调区间是解题的关键，可以简化运算.15． 【解析】【分析】利用辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简为()()f x x ϕ=+，可得出函数()y f x =的最小值，根据题中条件得出0x 与ϕ之间的关系，然后利用诱导公式可求出0cos x 的值.【详解】())sin 2cos sin cos cos sin f x x x x x x x ϕϕ⎫=+=+=+⎪⎪⎭Q()x ϕ+，锐角ϕ满足cos ϕ=，sin ϕ=()y f x =的最小值为由题意可得()()00f x x ϕ=+=()0sin 1x ϕ∴+=-，得()0322x k k Z πϕπ+=+∈，()0322x k k Z πϕπ∴=-+∈，则03cos cos 2sin 2x k πϕπϕ⎛⎫=-+=-= ⎪⎝⎭.故答案为. 【点睛】本题考查三角函数的最值，解题时首先要利用辅助角公式将三角函数解析式化简，同时要注意取最值时对应角与辅助角之间的关系，并借助诱导公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.161【解析】【分析】 利用抛物线性质得到11PH PQ PQ PF QF +=+-≥-设(,)x Q x e ，则22221x QF e x x =+-+，22()21x f x e x x =+-+，求导，得到函数的单调性，进而求得最小值.【详解】如图所示：1PH PF =- ，11PH PQ PQ PF QF +=+-≥- 即求QF 最小值设(,)x Q x e ，则22222(1)()21x x QF x e e x x =-+=+-+设函数222()21,'()222x x f x e x x f x e x =+-+=+-，'(0)0f =2''()420x f x e =+>，'()f x 单调递增故()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增.min ()(0)2f x f ==，QF当(0,1)Q ，,,P Q F 共线时，PH PQ +11【点睛】 本题考查了距离的最小值，变换11PH PQ PQ PF QF +=+-≥-是解题的关键.17．（1）12n n a -=；（2）()12326n n +-⋅+【解析】【分析】（1）令1n =，由11a S =计算出1a 的值，再令2n ≥，由1n n n a S S -=-计算出n a ，再验证1a 是否满足()2n a n ≥的表达式，由此可得出数列{}n a 的通项公式；（2）由题意得出21282n n n n b b a ++-==，然后在等式两边同时除以12n +可得出11222n n n n b b ++-=，可知数列2n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为公差的等差数列，由此求出数列2n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，可解出数列{}n b 的通项公式，然后利用错位相减法求出数列{}n b 的前n 项和n T .【详解】（1）当1n =时，111211a S ==-=；当2n ≥时，()()11112121222n n n n n n n n a S S ----=-=---=-=.11a =也适合12n n a -=，因此，数列{}n a 的通项公式为12n n a -=；（2）21282n n n n b b a ++-==Q ，在等式两边同时除以12n +得11222n n n n b b ++-=，且112b =. 所以，数列2n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以2为公差的等差数列，()121212n n b n n ∴=+-=-， ()212n n b n ∴=-⋅.()123123252212n n T n ∴=⨯+⨯+⨯++-⋅L ，得()()23121232232212n n n T n n +=⨯+⨯++-⋅+-⋅L ，上式-下式得()12312222222212n n n T n +-=+⨯+⨯++⨯--⋅L ()()()31112122212322612n n n n n -++-=+--⋅=-⋅--，因此，()12326n n T n +⋅=-+.【点睛】 本题考查由前n 项和n S 求数列通项n a ，同时也考查了构造法求数列的通项以及错位相减法求和，在利用前n 项和n S 求数列通项n a 时，一般利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩来计算，但需对1a 是否满足()2n a n ≥的表达式进行验证，考查运算求解能力，属于中等题. 18．（1）4；（2【解析】【分析】（1）设BD BC m ==，利用两次余弦定理和ADB ADC π∠+∠=，化简计算得到答案. （2）利用余弦定理得到cos ADB ∠=，sin 14ADB ∠=，再利用面积公式得到ABD S ∆=，再利用1()2ABD S r AB BD AD ∆=++计算得到答案. 【详解】（1）设BD BC m ==，在,ABD ACD ∆∆中利用余弦定理得到：297cos m ADB =+-∠，2137m ADC =+-∠ADB ADC π∠+∠=解得2m =，则24BC m ==（2）在ABD ∆中，利用余弦定理得到：2972ADB =+-∠，cos 14ADB ∠=，sin 14ADB ∠=12sin 22ABD S ADB ∆=⨯∠=又1()2ABD S r AB BD AD ∆=++=即1(52r =解得6r =【点睛】本题考查了余弦定理和面积公式，内切圆半径，其中1()2ABD S r AB BD AD ∆=++是一个求内切半径的常用方法，需要熟练掌握. 19．（1）见解析；（2）4π 【解析】【分析】 （1）先证明CM ⊥平面PAB 得到CM AB ⊥，再根据AB AC ⊥得到AB ⊥平面PAC .（2）根据14Q BMC P ABC V V －－＝确定Q 为AB 中点，再根据定义得到QMA ∠为面角 Q MC A --的平面角，计算得到答案.【详解】（1）PAC ∆为正三角形，M 为棱PA 的中点，故CM PA ⊥Q 平面PAB ⊥平面PAC ，CM PA ⊥，故CM ⊥平面PABAB ⊆平面PAB ，故CM AB ⊥，又Q AB AC ⊥，,AC CM 相交，故AB ⊥平面PAC ；（2）Q 是棱AB 上一点，设h 为三棱锥P ABC -的高132M BCQ Q B C MC B Q h V V S -∆==⨯⨯－ 13A ABCB PC V S h ∆=⨯⨯－ 14Q BMC P ABC V V －－＝，即12BCQ ABC S S ∆∆=，故Q 为AB 中点. 由（1）知：AM MC ⊥，QM MC ⊥故QMA ∠即为面角Q MC A --的平面角.在Rt QAM ∆中，12AM AC =，1122AQ AB AC ==故AM AQ = QAM ∆为等腰直角三角形，4QMA π∠=故二面角Q MC A --为4π 【点睛】 本题考查了线面垂直，二面角，找出二面角对应的平面角是解题的关键，也可以利用空间直角坐标系求解.20．（1）22116163x y +=；（2）点P 在以MN 为直径的圆上【解析】【分析】（1，过点22P （，），代入计算得到答案案. （2）设直线(1)1y k x =--，联立方程组得到222(31)6(1)3(1)160k x k k x k +-+++-=，根据韦达定理计算0PM PN ⋅=u u u u r u u u r，验证斜率不存在的情况，得到答案.【详解】 （1）22221x y a b +＝c a = 经过点22P （，），则22441a b +=，解得4,a b == 故椭圆C 的方程为：22116163x y +=（2）当MN 斜率存在时：设直线方程为(1)1y k x =--，1122(,),(,)M x y N x y 则22(1)1116163y k x x y =--⎧⎪⎪⎨+=⎪⎪⎩得到：222(31)6(1)3(1)160k x k k x k +-+++-=1,1Q -（）在椭圆内，恒有两个交点.12221226(1)313(1)1631k k x x k k x x k +⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩11221122(2,2)(2,2)(2,(1)3)(2,(1)3)PM PN x y x y x k x x k x ⋅=--⋅--=---⋅---u u u u r u u u r 1212(2)(2)[(1)3][(1)3]x x k x k x =--+----22121212122()4(3)()(3)x x x x k x x k k x x k =-+++-++++222223(1)166(1)(1)(2(3))4(3)3131k k k k k k k k k --+=+-+++++++ 222222(1)(3613)6(32)(1)(613)(3+1)=031k k k k k k k k k k k +---++++++=+即PM PN ⊥u u u u r u u u r当MN 斜率不存在时：(1,M N 0PM PN ⋅=u u u u r u u u r即PM PN ⊥u u u u r u u u r综上所述：点P 在以MN 为直径的圆上【点睛】本题考查了椭圆方程，直线的椭圆的关系，将点P 在以MN 为直径的圆上转化为 0PM PN ⋅=u u u u r u u u r 是解题的关键，意在考查学生的计算能力.21．（1）y x =-，（2）见解析【解析】【分析】（1）求导得到'(0)1k f ==-，代入切点得到切线方程y x =-. （2）先验证0是函数的1个零点，再求导得到当02x x π-<<时，函数()f x 单调递减.当0x x >时，函数()f x 单调递增，得到0()0f x <，根据零点存在定理得到证明.【详解】（1）()2x f x e cosx x -=-，s '()2in x f x e x +=-'(0)1k f ==-，(0)0f =故切线方法为：y x =-（2）()2x f x e cosx x -=-，易知：(0)0f = ，0是函数的1个零点s '()2in x f x e x +=-取'()20sin xf x e x +=-=，即sin 2x e x -=-画出函数图像：知两函数有一个交点设为00(,)x y ，001x << 当02x x π-<<时，'()0f x <，函数()f x 单调递减.(0)0f =，所以0()0f x <当0x x >时，'()0f x >，函数()f x 单调递增.x →+∞时,()f x →+∞，根据零点存在定理：当0x x >时有且仅有一个零点综上所述：()f x 在(,)2π-+∞上仅有2个零点 【点睛】本题考查了函数的切线问题，零点问题，根据单调性判断存在0()0f x <是解题的关键，意在考查学生的综合应用能力.22．（1）22:230C x y x +--=，10l y +=；（2）3. 【解析】【分析】（1）在曲线C 的极坐标方程中，由222x y ρ=+，cos x ρθ=可将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，在直线l 的参数方程中消去参数t ，可得出直线l 的普通方程；（2）将直线l的参数方程表示为1121x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），并设点A 、B 对应的参数分别为1t 、2t ，将直线l 的参数方程与曲线C 的普通方程联立，得出关于t的二次方程，并列出韦达定理，可计算出121211t t MA MB t t ++=的值. 【详解】（1）在曲线C 的极坐标方程中，由222x y ρ=+，cos x ρθ=可得出曲线C 的普通方程为22230x y x +--=，即()2214x y -+=. 在直线l 的参数方程中消去t1y +=10y +=；（2）直线l的参数方程表示为1121x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），并设点A 、B 对应的参数分别为1t 、2t ，将直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程联立，消去x 、y得230t --=.由韦达定理得12t t +=1230t t =-<. 因此，1212121211t t t t MA MB t t t t +-+=====.【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程与普通方程之间的互化，同时也考查了直线参数方程t 的几何意义，对于这类问题，常将直线的参数方程与曲线的普通方程联立，利用韦达定理求解，考查计算能力，属于中等题.23．（1）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）分0x ≤、03x <<、3x ≥去绝对值，分段解不等式()2f x ≥，可得出该不等式的解集；（2）由（1）可将函数()y f x =表示为分段函数，可求出函数()y f x =的最大值为3m =，可得出3a b c ++=，然后利用柯西不等式得出()()()2222111a b c a b c ++++≥++，由此可证明出2223a b c ++≥.【详解】（1）当0x ≤时，()()32323f x x x x x x =--=-+=+，由()2f x ≥，得32x +≥， 解得1x ≥-，此时10x -≤≤；当03x <<时，()()323233f x x x x x x =--=--=-，由()2f x ≥，得332x -≥， 解得13x ≤，此时103x <≤； 当3x ≥时，()()323236f x x x x x x =--=--=--≤-，此时不等式()2f x ≥无解. 综上所述，不等式()2f x ≥的解集为11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； （2）由（1）可知()3,033,033,3x x f x x x x x +≤⎧⎪=-<<⎨⎪--≥⎩.当0x ≤时，()33f x x =+≤；当03x <<时，()()336,3f x x =-∈-；当3x ≥时，()36f x x =--≤-.所以，函数()y f x =的最大值为3m =，则3a b c ++=.由柯西不等式可得()()()2222111a b c a b c ++++≥++，即()222233a b c ++≥， 即2223a b c ++≥，当且仅当1a b c ===时，等号成立.因此，2223a b c ++≥.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查了绝对值函数的最值以及利用柯西不等式证明不等式，在求解绝对值不等式时，一般利用零点分段法去绝对值来求解，考查分类讨论数学思想，属于中等题.。
洛阳市2019-2020学年上学期期末考试高一数学答案
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∴ ∠犅犉犈 即为二面角犅 －犃犆 －犈 的平面角．
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设 犃犅 ＝ 犅犆 ＝犪，则 犃犆 ＝ 犃犇 ＝ 犆犇 ＝ 犅犇 ＝ 槡２犪
∴ 犅犉 ＝ 槡２２犪，犇犉 ＝ 槡２６犪，
在 △犅犉犇 中，犅犇２ ＝ 犅犉２ ＋犇犉２， ∴ 犅犉 ⊥ 犇犉，即 △犅犉犇 是直角三角形．
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高 一 数 学 答 案 第２ 页 （共 ４ 页 ） （２０２０．１）
设狓１ ＜狓２，则
犳（狓１）－犳（狓２）＝
１－犲狓１ １＋犲狓１
－１ １－ ＋犲犲狓狓２ ２
＝
（１－犲狓１ ）（１＋犲狓２ ）－ （１－犲狓２ ）（１＋犲狓１ ） （１＋犲狓１ ）（１＋犲狓２ ）
… …２ 分
又 犇犈 ∩ 犅犉 ＝ 犉，犇犉 平 面 犅犉犇，犅犉犆 平 面 犅犉犇，
∴ 犃犆 ⊥ 平面 犅犉犇，
… …４ 分
又 ∵ 犅犇 平面 犅犉犇，
∴ 犃犆 ⊥ 犅犇．
… …５ 分
（２）连接 犉犈， ∵ 犃犆 ⊥ 平面 犅犉犇，犅犉 平面 犅犉犇，犉犈 平面 犅犉犇．
∴ 犃犆 ⊥ 犅犉，犃犆 ⊥ 犉犈，
… …３ 分
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狋
０
５
１０
１５
２０
犘１／ 万 元
２０
３０
４０
５０
６０
犘２／ 万 元
２０
２０槡２
４０
４０槡２
８０
… …８ 分
高 一 数 学 答 案 第１ 页 （共 ４ 页 ） （２０２０．１）
… …１０ 分
房价按函数 犘１ ＝犳（狋）呈直线上升，每年的增加量相同，保持相同的增长速度；按
河南省洛阳市2020-2021学年高一上学期期中数学试题
洛阳市2020-2020学年第一学期期中考试高一数学试卷―､选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合A ={a ,4}，B ={1，2，3}，A B ={2}则 AB =（ ）A. {2,3,4}B. {3}C. {1,2,3,4}D. {2,4}C根据交集和并集的定义直接求解.{}2A B =，2a ∴=，{}1,2,3,4A B =.故选：C2. 函数()f x =+2log x 的定义域是（ ） A. (0，+∞). B. [-1,+)∞ C. (-1,0)(0,+∞)D. (-1,+∞)A根据函数的形式，直接列式求函数的定义域. 函数()f x 的定义域需满足100x x +>⎧⎨>⎩，解得：0x >， 所以函数的定义域是()0,∞+.故选：A3. 下列函数中，()f x 与()g x 是相等函数的为（ ）A.()(),f x x g x x ==.B. ()(),f x x g x ==.C. ()()2,f x g x == D.()()log ,a x f x x g x a ==.B判断两个函数是否是相等函数，判断两个函数的定义域和对应关系是否相同，有一个不相同，就不是相等函数，只有两个都相等，才是相等函数.A.两个函数的对应关系不相同，所以不是相等函数；B.两个函数的定义域相等，且()g x x ==，两个函数的对应关系相等，所以是相等函数；C.()2f x =的定义域是[)0,+∞，()g x =R ，两个函数的定义域不相同，所以不是相等函数； D.()f x 的定义域是R ，()log a x g x a =的定义域是()0,∞+，两个函数的定义域不相同，所以不是相等函数.故选：B4. 下列函数中，既是奇函数又在()0,∞+上单调递增的是（ ）A. ()2xf x =B. ()31f x x= C. ())f x x =D.()x x f x e e -=-D依次判断函数的单调性和奇偶性得到答案.()2xf x =是偶函数，A 错误；()31f x x=在()0,∞+上单调递减，B 错误； ()))lnlnf x x x ===-，函数y x =在()0,∞+上单调递增，故())f x x =在()0,∞+单调递减，C 错误；()x x f x e e -=-在()0,∞+上单调递增，且()()e e x x f x f x --=-=-，为奇函数，D 正确.故选：D. 5. 若x >l ，3121,,log 2xa xbc x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. a <b <c B. c <a <b C. c <b <a D. a <c <bC根据x >l ，由指数函数，对数函数和幂函数的单调性判断. 因为x >l ，所以3121,0,log 02112xa xbc x ⎛⎫=<==< ⎪⎝⎭><，所以c <b <a ，故选：C 6. 定义在R 上的函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+，且()48f =，则f（ ）A.B. 2C. 4D. 6B根据条件等式，通过赋特殊值，求f.()()()()()4222222f f f f f =⨯=+=，()24f ∴=，()()()()()2222222f fff f =⨯=+=，()22f ∴=.故选：B7. 已知函数()223f x x x =+-，则()f x 的值域为（ ）A. [)4,-+∞B.[)3,-+∞C.[)0,+∞D.[]0,4B 变换得到()()214f x x =+-，根据二次函数性质得到值域.()()222232314f x x x x x x =+-=+-=+-，[)0,x ∈+∞，故()()min 03f x f ==-，故函数值域为[)3,-+∞.故选：B.8. 已知函数()f x 与()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()x f x g x e -=，则()1f =（ ）A. eB.122e e- C. 1e e-D. 122e e-- B根据函数的奇偶性得到()()11f g e -=，()()111f g e--=，解得答案.根据题意：()()11f g e -=，()()111f g e ---=，即()()111f g e--=，解得()1122e f e=-.故选：B. 9. 函数()(),log (0a a f x x g x x a ==>且1)a ≠在同一直角坐标系中的部分图像可能是（ ）A. B.C. D.A分别当01a <<时和当1a >时，分析两个函数的图象可得答案. 当01a <<时，选项A 中图象正确；选项B 中，()g x 的图象错误；选项C 中()f x 的图象错误；选项D 中()f x 的图象错误.当1a >时，选项A 中()f x 与()g x 的图象都错误，选项B 中()f x 的图象错误；选项C 中()g x 的图象错误；选项D 中()f x 与()g x 的图象都错误.故选：A 10. 函数()2log 1f x x x =++的零点所在的区间是（ ）.A. (0，14)B. (11)53，C. (1132，)D. (112，) C判断选项中端点值的正负，利用零点存在性定理判断选项.22111114log 1log 10555455f ⎛⎫=++<++=-< ⎪⎝⎭，221114log 1log 303333f ⎛⎫=++=-+< ⎪⎝⎭，21111log 102222f ⎛⎫=++=> ⎪⎝⎭，11032f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据零点存在性定理可知，函数()2log 1f x x x =++零点所在的区间是11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：C 11. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，满足()()1f x f x =-+，当102x ≤≤时，()f x x =错误的是（ ）A. 方程()f x x a -+=0最多有四个解B. 函数()f x 的值域为[]C. 函数()f x 的图象关于直线12x =对称 D. f (2020)=0 A由已知可分析出函数的对称轴以及周期，值域，进而可以判断B ，C ，D 是否正确，而选项A ，需将方程根的问题转化为函数的零点问题进行求解即可． 由()(1)f x f x =-+可得：(1)(2)f x f x +=-+，则()(2)f x f x =+，所以函数()f x 的周期为2， 所以(2020)(0)0f f ==，D 正确，排除D ；再由()(1)f x f x =-+以及()()f x f x =--， 所以()(1)f x f x -=+，则函数()f x 的对称轴为12x =，C 正确，排除C ；当012x时，()[0f x =，2，又函数是奇函数，102x -时，()[f x =，0]，即1122x -时()[f x ∈， 又因为函数()f x 的对称轴为12x =，所以1322x 时()[f x ∈，所以1322x -时()[22f x ∈又因为函数()f x 的周期为2，所以函数()f x 的值域为[22-，B 正确，排除B ；故选：A ． 12. 已知函数()1,0lg ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩若存在互不相等的实数a ，b ，c ，d 满足|()|f a =|()()()|f b f c f d ==，则+++a b c d 的取值范围为（ ）A. (0,+∞)B. (-2,+)∞C.812,10⎛⎫⎪⎝⎭D.810,10⎛⎤⎥⎝⎦D画出函数()f x图象，根据图象结合对称性知2a b+=-，1c d dd+=+，(]1,10d∈，根据双勾函数性质得到范围.()1,0lg,0x xf xx x+≤⎧=⎨>⎩，则()()[]()[)1,,11,1,0lg,0,1lg,1,x xx xf xx xx x⎧--∈-∞-⎪+∈-⎪=⎨-∈⎪⎪∈+∞⎩，画出函数()f x图像，如图所示：()()()()f a f b f c f d k====，则(]0,1k∈，不妨取01a b c d<<<<<，根据对称性知2a b+=-，lg lgc d-=，即1cd=，1c d dd+=+，(]1,10d∈，故11012,10dd⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦，故810,10a b c d⎛⎤+++∈ ⎥⎝⎦.故选：D.二､填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分13. 函数()log212(0,1)xay a a=-+>≠的图像恒过定点的坐标为_________.(1,2)令真数211x-=，求出x的值和此时y的值即可得到定点坐标．令211x-=得：1x=，此时log12022ay=+=+=，所以函数的图象恒过定点(1,2)，故答案为：(1,2)．14. 若()2213xf x x-=+，则()3f=_________.13取2x=，代入计算得到答案.()2213x f x x -=+，取2x =，则()2232313f =+=.故答案为：13.15. 若()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()122xf x x m ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭(m 为常数)，则当0x <时，()f x =_________.221x x --+【分析】 根据()00f =得到1m =-，再取0x <时，0x ->，根据函数奇偶性得到表达式.()f x 是定义在R 上的奇函数，则()011020f m m ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，故1m =-，0x <时，0x ->，则()()1212212x xf x f x x x -⎡⎤⎛⎫=--=--=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢-⎥⎣⎦+.故答案为：221x x --+. 16. 有以下结论：①将函数xy e =的图象向右平移1个单位得到1x y e -=的图象；②函数()x f x e =与()g x lnx =的图象关于直线y =x 对称③对于函数()xf x a =(a >0,且1a ≠)，一定有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭④函数()22log (2)f x x x =-+的图象恒在x 轴上方.其中正确结论的序号为_________. ②③④①根据图象的平移规律，直接判断选项；②根据指对函数的对称性，直接判断；③根据指数函数的图象特点，判断选项；④先求22x x -+的范围，再和0比较大小.①根据平移规律可知xy e =的图象向右平移1个单位得到1x y e -=的图象，所以①不正确；②根据两个函数的对称性可知函数()xf x e =与()g x lnx =的图象关于直线y =x 对称，正确；③如下图，设1a >，122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭对应的是曲线上横坐标为122x x +的点C 的纵坐标，()()122f x f x +是线段AB 的中点D 的纵坐标，由图象可知()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，同理，当01a <<时，结论一样，故③正确；④2217721244x x x ⎛⎫-+=-+≥> ⎪⎝⎭ 根据函数的单调性可知()222log 2log 10x x -+>=，所以函数()22log (2)f x x x =-+的图象恒在x 轴上方，故④正确. 故答案为：②③④三､解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 已知全集U =R ，集合1{|28},{22x A x B x x m =<≤=<-或2}x m >+ （1）若A {}|03RB x x ⋂=≤≤，求实数m 的值；（2）若AB =B ，求实数m 的取值范围.（1）m =2；（2）{5m m >或3}m ≤-..（1）分别求集合A 和B R，根据运算结果，求实数m 的值；（2）根据运算结果，转化为A B ⊆，列不等式求m的取值范围.解：（1）由已知得{}13A x x =-<≤，{}22RB x m x m =-≤≤+，∵A {}|03RB x x ⋂=≤≤，∴2023m m -=⎧⎨+≥⎩，，即 2.1m m =⎧⎨≥⎩∴m =2. （2）A B B =，∴A B ⊆.∴23m ->或21m +≤-， ∴5m >或3m ≤-. 即实数m 的取值范围为{5m m >或3}m ≤-.18. 求下列各式的植： （1）130.25148239-⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭；（2100log 125. （1）103；（2）12.（1）利用指数幂的运算法则直接计算得到答案. （2）根据对数运算法则计算得到答案.（1）原式1113343412422210(2)()()23933323=++=++=⨯⨯；（2）原式1313lg 2lg52lg 2lg 2lg52222=-=---33312lg 2lg522222=--=-=.19. 已知函数()21x f x a e =-+为奇函数，（1）求实数a 的值； （2）判断函数()f x 的单调性，并用函数单调性的定义证明；（3）解不等式()f lnx >0.（1）1；（2）()f x 在R 上是増函数，证明见解析；（3）(1,+∞).（1）利用特殊值()00f =，求a ，并代入函数验证()()f x f x -=-；（2）()211xf x e =-+，根据含特征判断函数的单调性，并利用单调性的定义证明；（3）首先求()1ln 1x f x x -=+，再解不等式()ln 0f x >的解集. 解：（1）∵10x e +≠的解集是R ， ∴()f x 的定义域是R .又∵()f x 是奇函数，∴()0f =0.∴()0f =a -1=0，即a =1.经检验知，当a =1时，()()f x f x -=-，符合题意.（2）由（1）知()211xf x e =-+， 经判断可知()f x 在R 上是増函数.任取12x x ∈，R ，且1x <2x ，则()1f x -()122221111x x f x e e =--+++ =()12122()(1)1x x x x e e e e -++， ∴y =x e 为増函数，1x <2x ，∴012x x e e <<. ∴11x e +>0，21x e +>012x x e e -，<0. ∴()1f x -()20f x <0，即()1f x <()2f x .∴()f x 在R 上是增函数.⑶由()211x f x e =-+，可得()22111111lnx x f lnx e x x -=-=-=+++ ∴1010x x x -⎧>⎪+⎨⎪>⎩ 解得x >1，∴原不等式的解集为(1，+∞). 20. 已知函数()()22212f x x a x a =--+-.（1）若()f x 存在一正，一负两个零点，求实数a 的取值范围； （2）若()f x 在区间(],2-∞上是减函数，求()f x 在[1,a ]上的最大值.（1）(；（2）221a a -+. （1）根据题意得到()()2241420a a ∆=--->，220a -<，解得答案.（2）根据函数的单调性得到3a ≥，判断函数的单调区间，计算()()10f f a -≥，得到函数最值.（1）若存在一正､一负两个零点，则()()2241420a a ∆=--->，220a -<，解得<a，∴a 的取值范围为(（2）若()f x 在区间(],2-∞上是减函数，则对称轴12x a =-≥，解得3a ≥，当[]11x a ∈-，时，函数()f x 单调递减，当[]1x a a ∈-，时，函数()f x 单调递増， 且()()()212121f a a f a a =-+=-，， ∴()()1f f a -=()()22221214321a a a a a a -+--=-+=--， ∵3a ≥，∴()()10f f a -≥. 故()f x 在[1，a ]上的最大值为221a a -+.21. 某工厂可以生产甲､乙两类产品，设甲､乙两种产品的年利润分别为1y ､2y 百万元，根据调查研究发现，年利润与前期投人资金x 百万元的关系分别为12,y a y bx ==(其中m a b ，，都为常数)，函数1y ､2y 的图象分别是1C ､2C ，如图所示，曲线1C ､2C 均过点(5,1).（1）求函数1y ､2y 的解析式；（2）若该工厂用于投资生产甲､乙产品共有5百万元资金，问：如何分配资金能使一年的总利润最大，最大总利润是多少万元？（1）12125y y x ==，；（2）投资甲产品225万元，投资乙产品275万元，获得最大利润为105万元. （1）由题意知两个函数的图象都过点()0,0和()5,1，代入求两个函数的解析式；（2）首先设投资甲产品为x 百万元，则投资乙产品为(5-x )百万元，05x ≤≤，然后列出关于x 的利润的表达式，再利用换元法求函数的最大值.解：（1）由函数1y 的图象过点(0，0)，(5，1)得2031m a m a +=⎧⎨+=⎩，所以 12m a =⎧⎨=-⎩； 由函数2y 的图象过点(0，0)，(5，1)得5b =1，所以b =15.所以12125y y x ==，. （2）设投资甲产品为x 百万元，则投资乙产品为(5-x )百万元，05x ≤≤，则总利润()121125155y y y x x =+=+-=-设23t t =≤≤，， 则()2221111521415555220y t t t t t ⎛⎫=---=-+-=--+ ⎪⎝⎭，所以52t =即94x =时，y 最大为2120. 即投资甲产品225万元，投资乙产品275万元，获得最大利润为105万元.22. 因函数t y x x =+(t >0)的图象形状象对勾，我们称形如“t y x x=+(t >0)”的函数为“对勾函数”该函数具有性质：在]上是减函数，在(,+∞)上是增函数.（1）已知()[]425,1,321f x x x x =+-∈-，利用上述性质，求函数()f x 的单调区间和值域； （2）对于（1）中的函数()f x 和函数()24g x x mx =-+，若对任意1x ∈[1,3]，总存在2x ∈[1,3]，使得()()21g x f x <成立，求实数m 的取值范围.（1）()f x 的单调递减区间为[1,32]，单调递增区间为(32,3]，值域为[0,95]；（2）(4,+)∞. （1）换元化为对勾函数()44h m m m =+-(15)m ≤≤，利用对勾函数的性质可求得结果； （2）由（1）知()1905f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，根据题意转化为g (x )=240x mx -+<，在[1x ∈，3]上有解，分离变量转化为m >(x +4x)最小值，根据对勾函数的单调性求出最小值后可得m >4. （1）()421421f x x x =-+-- 令21x m -=，∵13x ≤≤，∴15m ≤≤. 则()()44f x h m m m ==+- 由对勾函数的性质，可得()hm 在[1，2]上单调递减，在(2，5]上单调递増， ∴()f x 在[1，32]上是减函数，在(32，3]上是增函数. ()()39110325f f f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，，， 综上可得，()f x 的单调递减区间为[1，32]，单调递增区间为(32，3]，值域为[0，95]. （2）由（1）知()1905f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，若存在2[1x ∈，3]，使得g (2x )<()1f x 成立，只需g (x )=240x mx -+<，在[1x ∈，3]上有解即可， 即m >(x +4x )最小值，令u (x )=x +4x，u (x )在[1，2]上是减函数，在[2，3]上是增函数u(x)最小值=u（2）=4，∴m>4.. 即实数m的取值范围为(4，+)。
洛阳市2019—2020学年高三上学期期中考试数学试卷(理)及答案
p∧q 真，则实数 a 的取值范围是
A．[0，2）
B．[2，e）
C．（－2，e）
D．[0，e）
9．双曲线 C 的对称轴与坐标轴重合，两个焦点分别为 F1，F2，虚轴的一个端点为 A，若
△AF1F2 是顶角为 120°的等腰三角形，则双曲线 C 的渐近线方程为
A． y＝ 2x
B． y＝ 2x 或 y＝ 2 x 2
C． y＝ 6 x 2
D． y＝ 6 x 或 y＝ 6 x
2
3
10．已知函数 f x＝－lg xx，2＋x∈ x，(1x＋∈∞0)，，1，若 f（x）＝a 有三个不等实数根 x1，x2，x3，则 x1＋x2＋
x3 的取值范围是
A．（2，＋∞） B．[2，＋∞）
C．（ 2 ，1＋4 10 ） D．[ 2 ，1＋4 10 ]
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的．
1．已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 iz＝1＋2i，则｜z｜等于
A． 5 5
B． 5
C．1
D．3
2．已知集合 A＝{x｜log3（x－2）≤2}，B＝{x｜2x－m＞0}，若 A B，则实数 m 的取值范围是
D－ABC 体积最大时，其外接球表面积为
A． 15 3
B． 2 15 3
C． 20 9
D． 20 3
第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知平面向量 a ， b 满足 a · b ＝2，｜ b ｜＝1，｜ a － 2b ｜＝2，则｜ a ｜＝__________．
2019-2020学年河南省洛阳市高一上学期期中数学试题(附解析)
2019-2020学年河南省洛阳市高一上学期期中数学试题一、单选题1．若U ={2，3，4，5}，M ={3，4}，N ={2，3}，则（∁U M ）∩（∁U N ））是（ ） A ．{2,3,4} B ．{}3C ．{3,4,5}D ．{}5【答案】D【解析】根据集合补集的定义，结合交集进行运算即可． 【详解】解：∵U ={2，3，4，5}，M ={3，4}，N ={2，3}， ∴（∁U M ）={2，5}，（∁U N ）={4，5}， 则（∁U M ）∩（∁U N ））={5}， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，集合补集，交集的定义是解决本题的关键．属于简单题. 2．函数()()31f x x lg x -+的定义域为（ ） A ．{|13}x x -≤≤ B ．{|3x x ≤且1}x ≠- C ．{|13}x x -<< D ．{|13}x x -<≤【答案】D【解析】由题意可得，3010x x -≥⎧⎨+>⎩，解不等式即可求解函数的定义域．【详解】解：由题意可得，3010x x -≥⎧⎨+>⎩，解可得，13x -<≤， 故函数的定义域为(]1,3-． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了函数定义域的求解，属于基础题．3．设()21,23,2x x f x x x ⎧+<=⎨≥⎩，则f （f （-1））的值为（ ）A ．5B ．6C ．9D ．10【答案】B【解析】推导出()()21112f -=-+=，从而()()()12f f f -=，由此能求出结果．【详解】∵()21,23,2x x f x x x ⎧+<=⎨≥⎩，∴()()21112f -=-+=，()()()12326f f f -==⨯=．故选：B ． 【点睛】本题考查求分段函数的值，考查运算求解能力，属于简单题． 4．定义运算：,,a a ba b b a b≤⎧⊕=⎨>⎩，则函数f （x ）=1⊕2x 的值域是（ ）A ．(]0,1B ．()0,1C ．()1,∞+D ．[)1,∞+【答案】A【解析】根据新运算法则求解()f x 的解析式和x 的范围，由分段函数的性质求解值域． 【详解】解：()12xf x =⊕=2,01,0x x x ⎧≤⎨>⎩．∵当0x ≤时，()(]20,1xf x =∈；当0x >时，()1f x =， ∴()f x 的值域为(]0,1． 故选：A ． 【点睛】本题考查了求分段函数的值域，考查了分类讨论思想，解答此题的关键是理解题意，属简单题．5．已知a ＞0且a ≠1，下列四组函数中表示相等函数的是（ ）A ．2y x 与2(y x = B ．1y =与xa y log a = C ．24y x =-22y x x =+-D ．2a y log x =与a y log x =【答案】B【解析】判断函数的定义域与对应法则是否相同，即可判断两个函数是否相同函数． 【详解】 解：A 中y =2x R ，而2y x =定义域为[)0,+∞，定义域不同，不是同一函数；B 中x a y log a x ==，1y =与xa y log a =对应法则与定义域相同，故是同一函数；C 中y =24x -定义域[)(]2,2+∞-∞-U ，，y =22x x +-[)2,+∞，定义域不同，不是同一函数；D 中2log a y x =定义域为()(),00,-∞⋃+∞,a y log x =定义域为()0,∞+，定义域不同，不是同一函数； 故选：B ． 【点睛】本题考查函数的基本性质，判断两个函数是否相同，需要判断定义域与对应法则是否相同，属于简单题.6．函数()332xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在的区间为（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】C【解析】()332xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在定义域内属于单调递增函数，根据二分法只需判断区间端点的正负号即可求解； 【详解】解：∵()332xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在定义域内属于单调递增函数， 且()02f =-，()312f =-，()324f =-，()338f =，()33416f =， 可得()f x 的零点所在区间为()2,3. 故选：C ．【点睛】考查二分法确定函数的零点区间，属于简单题.7．函数f （x ）＝24|2|2x x ---的奇偶性为（ ）A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数【答案】A【解析】先求出定义域为[﹣2，0）∪（0，2]，再根据定义域化简解析式，观察可知为奇函数． 【详解】f （x ）2422x x -=--的定义域为[﹣2，0）∪（0，2]，所以f （x ）224422xx x x --==---()24x --∴f （x ）为奇函数． 故选：A ． 【点睛】本题考查了函数的奇偶性，属中档题．8．已知2log 0.1a =，0.12b =， 1.10.2c =，则,,a b c 的大小关系是 A ．a b c << B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a c b <<【答案】D【解析】分别根据指对函数的性质和运算性质得到各自的范围，进而得到结果. 【详解】显然，0a <，又因为0.10221b =>=， 1.100.20.21c =<=，故a c b << 故答案为：D. 【点睛】这个题目考查的是应用不等式的性质和指对函数的单调性比较大小，两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系. 9．函数()ln 1f x x =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据特殊值，代入检验，排除不合要求的选项即可 【详解】当x=0时，f(x)=0，排除D 选项当x →+∞ 时，()f x →+∞ 排除C 选项 根据定义域{}|1x x ≠ 可排除A 选项 故选B. 【点睛】本题考查了根据解析式判断函数的图像，从特殊值、单调性、奇偶性等方面考虑，属于基础题。
2019-2020学年河南省洛阳市高一(上)期中数学试卷试题及答案(PDF版 含答案)
C．
(
1 2
,1)
(2,
)
B．
(
1 2
,1)
(0,
)
D． (1 , 2) 2
11．若偶函数 f (x) e(xm)2 (e 是自然对数的底数）的最大值为 n ，则 f (nm ) (
)
A． 1 e
B．
1 e2
C． e
D．1
12．已知定义在 (0, ) 上的单调函数 f (x) ，满足 f ( f (x) x2 ) 2 ，则不等式 f (x) 7x 11
．
4
14．某商品进货单价为 30 元，按 40 元一个销售，能卖 40 个；若销售单位每涨 1 元，销售
量减少一个，要获得最大利润时，此商品的售价应该为每个 元．
15．函数 f (x) ln(x 4) ln(1 x) 的单调增区间是 ．
16．已知集合 M {x | m4x 2x1 1 0} ， N {x | 1x1} ，若 M N ，则实数 m 的取
的解集为 ( )
-7-
A．
B．{x | 0 x 7 13 或x 7 13}
7
2
C．{x | 0 x 3 或 x 4}
D．{x | 3 x 7 13} 2
【解答】解： f (x) 是定义在 (0, ) 上的单调函数，
e
e
1 m2 2m 1 m2 2m ，解得 m 0 ，
f (nm ) f （1） e1 1 ． e
故选： A ．
12．已知定义在 (0, ) 上的单调函数 f (x) ，满足 f ( f (x) x2 ) 2 ，则不等式 f (x) 7x 11
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洛阳市2019—2020学年第一学期期中考试高一数学试卷本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至 4页.共150分.考试时间120分钟.第Ⅱ卷 (选择题，共60分)注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上.2.考试结束，将答题卡交回.―、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若U= {2,3,4,5},M= {3,4},N= {2,3}，则))()(N C M C U U 是 ( ) A.{2,3.4} B.{3} C. {3,4,5} D.{5}2.函数)1lg(3)(++-=x x x f 的定义域为( ) A. {31|≤≤-x x }B. {13|-≠≤x x x 且}C. {3<<1|x x -}D. {3<1|≤-x x }3.设⎩⎨⎧≥+=2x 3x,2<,1)(2x x x f ，则))1((-f f 的值为( )A. 5B. 6C. 9D.104.定义运算：⎩⎨⎧≤=⊕ba b ba ab a ＞,,，则函数21)(⊕=x f 的值域是( )A. (0,1]B.(0,1) C.(l ，+ ∞) D.[l ，+∞)5.已知0＞a 且1≠a ，下列四组函数中表示相等函数的是( ) A. 2x y =与2)(x y = B. 1=y 与x a a y log = C. 42-=x y 与22-⋅+=x x y D. 2log x y a =与x y a log =6.函数3)23()(-=xx f 的零点所在的区间为( )A.(0,1)B.(1,2)C. (2,3)D. (3,4)7.函数2|2|4)(2---=x x x f 的奇偶性为( )A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数 8.已知1.11.022.0,2,1.0log ===c b a ，则 a ，b ，c 的大小关系是A. c b a <<B. a c b <<C. b c a <<D. b a c << 9.函数|1|ln )(-=x x f 的图象大致是( )10.定义在R 上的奇函数)(x f 在R 上),0(+∞递增，0)31(=f ，则满足＞0)(log 8x f 的x 的取值范围是( )A. ),2(+∞B. ),0()1,21(+∞C. ),2()21,0(+∞D. )2,21( 11.若函数e e x f m x ()(2)(--=是自然对数的底数）的最大值为n ，则=)(m n f ( )A.e 1 B. 21eC. eD.1 12.已知定义在),0(+∞上的单调函数)(x f ，满足2))((2=-x x f f ，则不等式11-＞7x )(x f 的解集为( )A.φB.{2137＞7137<<0|+-x x x 或} C.{4＞3<<0|x x x 或} D.{2137<<3|+x x }第Ⅱ卷(非选择题，共90分）二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分. 13.已知幂函数)(x f y =的图象过点（2，41),则=)3(f . 14.某商品进货单价为30元，按40元一个销售，能卖40个;若销軎单价每涨1元，销售量减少一个，要获得最大利润时，此商品的售价应该为每个 元. 15.函数)1ln()4ln()(x x x f -++=的单调增区间是 .16.已知集合 M= {0124|1=--⋅+x x m x },N={11|≤≤-x x }，若φ=N M ， 则实数m 的取值范围为.三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分）已知集合 A = {2733|≤≤xx } ,B ={1＞log |2x x }.（1）求B A B A ,；（2）已知集合C= {a x x <<1|}，若A A C = ，求实数a 的取值范围.18.(本小题满分12分） 计算下列各式：（1）3041421833)35(])3[()412(+---+；（2）4log 5log 201.0lg 25.6log 543log 15.22⋅+-++.若函数⎩⎨⎧≤---=0,2220＞,2)(x x x x x f x ，（1）在给定的平面直角坐标系中画出函数)(x f 的图象; （2）利用图象写出函数)(x f 的值域、单调区间.20.(本小题满分12分） 已知函数1)(2++=x b ax x f 是定义在R 上的奇函数，且21)1(=f . (1) 求函数)(x f 的解析式；(2) 判断并证明)(x f 在（1，+ ∞)上的单调性.已知函数x x x f 2log2log )(22⋅=的定义域为[41，2]. （1）若x t 2log =，求t 的取值范围； （2）求)(x f y =的值域.22：(本小题满分12分）已知函数1212)(+-=x x f x .（1）判断并证明)(x f 的奇偶性；（2）当),1[+∞∈x 时，22)(-≤xx mf 恒成立，求实数m 的取值范围.洛阳市2019-2020学年高一上学期期中数学试题1．【答案】D【解析】根据集合补集的定义，结合交集进行运算即可． 解：∵U ={2，3，4，5}，M ={3，4}，N ={2，3}， ∴（∁U M ）={2，5}，（∁U N ）={4，5}， 则（∁U M ）∩（∁U N ））={5}， 2．【答案】D【解析】由题意可得，3010x x -≥⎧⎨+>⎩，解不等式即可求解函数的定义域．解：由题意可得，3010x x -≥⎧⎨+>⎩，解可得，13x -<≤， 故函数的定义域为(]1,3-． 3．【答案】B【解析】推导出()()21112f -=-+=，从而()()()12f f f -=，由此能求出结果．∵()21,23,2x x f x x x ⎧+<=⎨≥⎩，∴()()21112f -=-+=，()()()12326f f f -==⨯=． 4．【答案】A【解析】根据新运算法则求解()f x 的解析式和x 的范围，由分段函数的性质求解值域．解：()12xf x =⊕=2,01,0x x x ⎧≤⎨>⎩．∵当0x ≤时，()(]20,1x f x =∈； 当0x >时，()1f x =， ∴()f x 的值域为(]0,1．【解析】判断函数的定义域与对应法则是否相同，即可判断两个函数是否相同函数．解：A 中y =R ，而2y =定义域为[)0,+∞，定义域不同，不是同一函数；B 中x a y log a x ==，1y =与x a y log a =对应法则与定义域相同，故是同一函数；C 中y =定义域[)(]2,2+∞-∞-，，y =定义域为[)2,+∞，定义域不同，不是同一函数；D 中2log a y x =定义域为()(),00,-∞⋃+∞,a y log x =定义域为()0,∞+，定义域不同，不是同一函数； 故选：B ． 6．【答案】C【解析】()332xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在定义域内属于单调递增函数，根据二分法只需判断区间端点的正负号即可求解；解：∵()332xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在定义域内属于单调递增函数，且()02f =-，()312f =-，()324f =-，()338f =，()33416f =，可得()f x 的零点所在区间为()2,3. 7．【答案】A【解析】先求出定义域为[﹣2，0）∪（0，2]，再根据定义域化简解析式，观察可知为奇函数．f （x ）22x =--的定义域为[﹣2，0）∪（0，2]，所以f （x ）22x x ==---=-f(-x) ∴f （x ）为奇函数．【解析】分别根据指对函数的性质和运算性质得到各自的范围，进而得到结果. 显然，0a <，又因为0.10221b =>=， 1.100.20.21c =<=，故a c b << 9．【答案】B【解析】根据特殊值，代入检验，排除不合要求的选项即可 当x=0时，f(x)=0，排除D 选项 当x →+∞ 时，()f x →+∞ 排除C 选项 根据定义域{}|1x x ≠ 可排除A 选项 10．【答案】C【解析】由已知结合奇函数的对称性可得，81log 3x >或81log 03x -<<，解对数不等式即可求解．解：定义在R 上的奇函数()f x 在()0,∞+递增，103f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴()f x 在(),0-∞上递增，且103f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又∵()8log 0f x >，∴81log 3x >或81log 03x -<<，解可得，2x >或112x <<，故x 的取值范围为()1,12,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭．11．【答案】A【解析】解：∵函数()2()x m f x e --=（e 是自然对数的底数）的最大值为n ， ∴当x m =时，函数()2()x m f x e --=的最大值为1n =，∵()f x 是偶函数，∴()()11f f =-，∴()()221111m m e e ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()()2211m m -=+，221212m m m m +-=++，解得0m =，∴()()111m f n f e e-===．12．【答案】C【解析】解：∵()f x 是定义在()0+∞，上的单调函数， ∴由()()22f f x x -=得，()2f x x c =+， ∴()22f c c c =+=，且0c >，解得1c =， ∴()21f x x =+， ∴由()711f x x >-得，21711x x +>-，且0x >，解得03x <<或4x >，∴原不等式的解集为{}034x x x <<>或．13．【答案】19【解析】设幂函数y=x α（α∈R ），其函数图象经过点（2，14）， ∴2α=14；解得α=﹣2，∴y=f （x ）=x ﹣2；∴f （3）=19， 14．【答案】625【解析】设涨价 x 元，利润 y =(40+x )(40-x )-30(40-x )=-x 2+30x +400， 15?,2bx a=-=当时y 最大=625(元)． 15．【答案】342⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 【解析】解：函数()()()ln 4ln 1f x x x =++-， 定义域{}41x x -<<，()()()()()ln 4ln 1ln 41f x x x x x =++-=+-，令()()41t x x =+-，当342x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，时单调递增，当312x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时单调递减， 则ln y t =为增函数，由复合函数的单调性“同增异减”得：函数()f x 单调递增区间为342⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，单调递减区间为312⎛⎫- ⎪⎝⎭，， 16．【答案】()5,8,4⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭【解析】解：设20x t =>则{}2210M t mt t =--=，122N t t ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭因为M N ⋂=∅，所以题目转化为方程2210mt t --=在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上无解，即222112t m t t t+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦无解， 令11,22n t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦， 即函数y m =和22y n n =+在1,22n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上没有交点， 而函数22y n n =+在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以5,84y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以可得54m <或8m >. 故答案为：()5,8,4⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭17．【答案】（1）A ∩B ={x |2＜x ≤3}，A ∪B ={x |x ≥1}（2）a ≤3【解析】解：（1）A ={x |3≤3x ≤27}={x |1≤x ≤3}，B ={x |log 2x ＞1}={x |x ＞2}．则A ∩B ={x |2＜x ≤3}，A ∪B ={x |x ≥1}．（2）若C ∪A =A ，则C ⊆A ，当C =∅时，则a ≤1，满足条件．则C ≠∅，则a ＞1，则要满足C ⊆A ，则1＜a ≤3，综上a ≤3，即实数a 的取值范围是a ≤3．18．【答案】（1）5（2）-5【解析】解：（1）()()1102443132353348⎡⎛⎫ ⎪⎤+---+⎭⎣⎝⎦ 11123449273148⨯⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，333122=+-+ 5=；（2）21log 32.545log 6.25lg 0.012log 5log 4++-+⋅，2log 34412222log 5log 5=--⋅+⋅ 2315=-⨯+=-.19．【答案】（Ⅰ）（II ）值域为（﹣∞，﹣1]∪（1，+∞），单调递减区间为[﹣1，0]， 单调递增区间为（﹣∞，﹣1）和（0，+∞）.【解析】（Ⅰ）函数图象如图所示；（II ）由图象可得函数的值域为（﹣∞，﹣1]∪（1，+∞），单调递减区间为[﹣1，0]，单调递增区间为（﹣∞，﹣1）和（0，+∞）.20．【答案】（1）()21x f x x =+；（2）()f x 在()1,+∞上单调递减，证明见解析.【解析】解：（1）∵()f x 是R 上的奇函数，∴()00f =，且()112f =， ∴0122b a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩， ∴()21x f x x =+； （2）()f x 在()1,+∞上单调递减，证明如下：设121x x >>，则()()1212221211x x f x f x x x -=-++()()()()21122212111x x x x x x --=++， ∵121x x >>，∴210x x -<，1210x x ->，且22121010x x ++＞，＞，∴()()()()21122121011x x x x x x --++＜， ∴()()12f x f x <，∴()f x 在()1,+∞上单调递减．21．【答案】（1）[]2,1-（2）值域为1,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】解：（1）∵124x ≤≤， ∴2]log 21[t x =∈-，， （2）∵()2log 2f x x = ()2211log 22log 2x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， ∴()()()22132f t t t t t =++=++ =231()24t +- 在32,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增， 当32t =-即4x =时，函数取得最小值14-， 当1t =即2x =时，函数取得最大值6 故函数的值域为1,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 22．【答案】（1）()f x 为定义域为R 的奇函数，证明见解析（2）(],0-∞【解析】解：（1）()f x 为定义域为R 的奇函数，证明如下： ()f x 定义域为R ，∵()2121x x f x -=+，∴()f x -=2121x x ---+=1212x x -+()f x =-， ∴()f x 为定义域为R 的奇函数，（2）由[)1x ∈+∞，时，()22xmf x ≤-恒成立，可得212221x x x m -⋅≤-+， ∵1x ≥，∴21021x x ->+， ∴()()222121x x x m ≤-+-在1x ≥恒成立，令21x t =-，则1t ≥，∴()()12t t m t -+≤21t t=-+，在1t ≥恒成立 设()21g t t t=-+，则()min g m t ≤ 而()g t 在[)1+∞，上单调递增， ∴()()min 10g t g ==，∴0m ≤，故m 的范围为：(],0-∞．。