高中数学必修二第八章《立体几何初步》单元训练题(高难度) (36)(含答案解析)

必修二第八章《立体几何初步》单元训练题(高难度) (36)

一、选择题（本大题共3小题，共15.0分）

1.正三棱柱ABC−A1B1C1中，底面边长AB=，侧棱长AA1=2，则该棱柱的外接球表面积等于

()

A. 20π

B. 24π

C. 8π

D. 12π

2.某正四面体的外接球与内切球的表面积之差为12π，则该正四面体的棱长为()

A. 2√3

B. 4

C. 2

D. 3

3.已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球O(重量忽略不计)，现从该三棱锥顶端向内注

水，小球慢慢上浮，当注入的水的体积是该三棱锥体积的7

8

时，小球与该三棱锥各侧面均相切(与水面也相切)，则小球的表面积等于()

A. 2π

3B. 4π

3

C. 7π

6

D. π

2

二、填空题（本大题共12小题，共60.0分）

4.在四棱锥P−ABCD中，PD⊥AC，AB⊥平面PAD，底面ABCD为正方形，且CD+PD=3.若

四棱锥P−ABCD的每个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积的最小值为______；当四棱锥P−ABCD的体积取得最大值时，二面角A−PC−D的正切值为______．

5.如图是第七届国际数学教育大会的会徽，它的主题图案由一连串如图所示的直角三角形演化而

成，设其中的第一个直角△OA1A2是等腰三角形，且A1A2=A2A3=⋯=A n A n+1=1，则OA2=√2，OA3=√3，…OA n=√n，现将△OA1A2沿OA2翻折成△OPA2，则当四面体OPA2A3体积最大时，它的表面有__________个直角三角形；当PA3=1时，四面体OPA2A3外接球的体积为__________．

6.已知底面是正六边形的六棱锥P−ABCDEF的七个顶点均在球O的表面上，底面正六边形的边

长为1，若该六棱锥体积的最大值为√3，则球O的表面积为______．

7.用一张长12cm，宽8cm的矩形铁皮围成圆柱体的侧面，则这个圆柱体的体积=______ ．

8.若点N为点M在平面α上的正投影，则记N=fα(M).如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1

中，记平面AB1D1为β，平面ABCD为γ，点P是线段CC1上一动点，Q1=fγ[fβ(P)],Q2=fβ[fγ(P)].

给出下列四个结论：

①Q2为△AB1D1的重心；

；

③当CP=4

时，PQ1//平面β；

5

④当三棱锥D1−APB1的体积最大时，三棱锥D1−APB1外接球的表面积为2π．

其中，所有正确结论的序号是________________．

9.如图，三棱锥P−ABC的体积为24，又∠PBC=∠ABC=90∘，BC=3，

AB=4，PB=4√10，且∠PBA为锐角，则PA与平面ABC所成的角为

________．

10.学生劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长

方体ABCD−A1B1C1D1挖去四棱锥O—EFGH后所得几何体，其

中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB=

BC=6cm,AA1=4cm，3D打印所用原料密度为0.9g/cm3，不

考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g．

11.已知三棱锥D−ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在平面互相垂直，AC=

√3,AB=3,BC=CD=BD=2√3，则球O的体积为________．

12.正方体ABCD−A1B1C1D1中AC1与底面ABCD所成角的正弦值__________

13.设a、b、c表示直线，给出结论：①a⊥b；②b⊥c；③a⊥c；④a//c.以其中两个作为条件，

另外的某一个作为结论，试写出你认为正确的组合是.

14.正四面体的内切球与外接球的体积之比______．

15.已知三棱锥P−ABC的三条侧棱两两互相垂直，且AB=√5，BC=√7，AC=2，则此三棱锥外

接球的表面积为______．

三、解答题（本大题共14小题，共168.0分）

16.如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点

P是DD1的中点．

求证：(1)直线BD1//平面PAC

(2)①求异面直线PC与AA1所成的角．

②平面PAC⊥平面BDD1．

17.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA=PD，底面ABCD是矩形，侧面PAD⊥底面ABCD，E是AD

的中点．

(1)求证：PE⊥BD；

(2)若AD=2，AB=√3，V P−ABCD=4，求PB与底面ABCD所成的角．

18.如图，菱形ABCD所在平面与矩形ACEF所在平面相互垂直，点M是线段EF的中点．

(1)求证：AM//平面BDE；

(2)当BD

为何值时，平面DEF⊥平面BEF？并证明你的结论．

AF

19.如图，ABCDEF是由两个全等的菱形ABEF和CDFE组成的空间

图形，AB=2，∠BAF=∠ECD=60°．

(1)求证：BD⊥DC；

(2)如果二面角B−EF−D的平面角为60°，求直线BD与平面

BCE所成角的正弦值．

20.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA=PC=√3，PB=PD=√6，

∠APB=∠CPD=90°，设平面PAB∩平面PCD=l．

(1)证明：l//AB；

(2)若平面PAB⊥平面PCD，求四棱锥P−ABCD的体积．

21.如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60∘，点M是棱PC的中点，

PA⊥平面ABCD．

(Ⅰ)证明：PA//平面BMD；

(Ⅱ)当PA长度为多少时，直线AM与平面PBC所成角的正弦值为√42

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