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实际问题与一元二次方程的几种常见模型

繁殖问题

1．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮

感染后就会有81 台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮

感染中平均一台电脑会感染几台电脑若病毒得不到有效控制， 3 轮感染后，被感染的电脑会不会超过700 台

解： 1 设每轮感染中平均一台电脑会感染x 台电脑, 依题意得

1+x+（1+x）x=81整理得：

2

X1=8 x 2=-10( 舍去 )

三轮后被感染的电脑总数为：

1+ x+ x （ x +1 ）+x（x +1 ）2=739( 台)

答：每轮感染中平均一台电脑会感染8 台电脑， 3 轮感染后，被感染的电脑为739 台，超过 700 台

2．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样

数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支

解：设每个支干长出x 小分支，依题意得

1+x（x +1 ）=91

解得： X1=9 x 2=-10( 舍去 )

答：每个支干长出9 小分支

单（双）循环问题

1．参加一次足球赛的每两队之间都进行两次比赛，共赛90 场，共有多少队参加

解：设共有x 队参加依题意列方程得

x（x -1 ） =90

解得： X1=10 x 2=-9( 舍去 )

答：共有 10 队参加

2.参加一次聚会的每两人都握了一次手 , 所有人共握手 66 次, 有多少人参加聚会

解：设共有x 人参加聚会，依题意列方程得

x(x1) =66

2

解得： X1=12 x 2=-11( 舍去 )

答：共有 12 人参加聚会

3.要组织一场篮球联赛 , 赛制为单循环形式 , 即每两队之间都赛一

场 , 计划安排 28 场比赛 , 应邀请多少个球队参加比赛

解：设应邀x 个球队参加，依题意列方程得

x(x1) =28

2

解得： X1=8 x 2=-7( 舍去 )

答：应邀 8 个球队参加

4.初三毕业晚会时每人互相送照片一张 , 一共要 90 张照片 , 有多少人

解：有 x 人，依题意列方程得

x（x -1 ） =90

解得： X1=10 x 2=-9( 舍去 )

答：共有 10 人

数字问题

1．两个相邻偶数的积为168，则这两个偶数是多少

解：设其中一个偶数为x, 则另一个为（ x+2）依题意列方程得

x（x+2） =168

解得： X1=12 x 2=-14

则这两个偶数是12 各 14 或 -12-14

2．一个两位数，十位数字与个位数字之和为5，把这个数的十位数字与个位数字对调后，所得的新两位数与原两位数乘积为736，求原两位数。

解：设原两位数的个位为x, 则十位为 10(5-x)依题意列方程得[10(5-x)+x][10x+(5-x)]

解得： X1=2 x 2=3

当 X=2 时，原两位数为32，当 X=3 原两位数为23

增长率问题

1.某厂去年 3 月份的产值为 50 万元， 5 月份上升到 72 万元，这

两个月平均每月增长的百分率是多少

解：设平均每月增长的百分率是x 依题意列方程得

50(1+x) 2=72

解得： X1= x 2=-2( 舍去 )

答：平均每月增长的百分率是20%

2.某厂一月份产值为 10 万元，第一季度产值共万元。若每个月

比上月的增长百分数相同，求这个百分数。

解：设平均每月增长的百分率是 x 依题意列方程得

10+10（1+x） +10(1+x) 2=

解得： X1= x 2=( 舍去 )

答：这个百分数为10%

销售问题

1．将进价为 40 元的商品按 50 元的价格出售时，能卖出 500 个，已知该商品每涨价 1 元，其销售量就要减少 10 个，为了赚取 8000 元的利润，售价应定为多少元

解：设每件商品涨x 元依题意列方程得

（50-40+x ）(500-10x)=8000

单件商品涨涨价后卖出

价后的利润商品的数量

解得 X1=10 x 2=30( 考虑到促销应舍去)

答每件商品就定价为50+10=60 元

2．商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20 件，每件盈利40 元，已知这种衬衫每件降价 1 元，商场平均每天可多售出2 件，若商场要想平均每天盈利1200 元，那么每件衬衫应降价多

少元

解：设每件衬衫应降价x 元依题意列方程得

（20+2x） (40-x)=1200 解得 X1=20 x 2=10( 考虑到促销应舍去 )答每件衬衫应降价20 元

围圈问题

1．借助一面长 6 米的墙，用一根 13 米长的铁丝围成一个面积为20平方米的长方形，求长方形的两边

解：设长方形的一边为x，则另一边为13x

依题意列方程得2

X( 13x

)=20或x(13-2x)=20 2

解得 X1=5 x 2=8( 不符合题意舍去 )

当一边长为 5 米时，另一边为 4 米

2.如图所示，利用 22 米长的墙为一边，用篱笆围成一个长方形

养鸡场，中间用篱笆分割出两个小长方形，总共用去篱笆 36 米，为了使这个长方形 ABCD 的面积为96平方米，问 AB 和 BC 边各应

是多少 A E D

解：设 BC为 x, 则 AB为36 x

依题意列方程得

X( 36 x

)=96

3

解得 X1=12 x 2=24( 不符合题目舍去 )

3

B F C

∴B C的长为 12 米， AB为36 12

=8 米3

边框问题

在一幅长为80cm，宽为 50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂

2

图的面积是5400cm，求金色纸边的宽为多少

解：设金色纸边的宽为x 依题意列方程得