H∞控制器的设计

一、H

∞控制器的设计

（一）

H

∞状态反馈控制器设计思路

图2-1 广义系统

针对如上图所示的广义系统，P(s)是一个线性时不变系统，其状态方程可以用下面的式子描述:

x Ax B

11 B u

12

z C x

1 D

11

D u

12

2-1

y C

2 x D

21

D u

22

其中：n

x R是状态向量，

m

u R是控制输入，

p

y R是测量输出，z R

r

是被调输出，q

R是外部扰动。这里考虑在外部扰动不确定但能量有限的情况

下，设计一个控制器u(s) K (s) y( s) ，使得闭环系统满足：

（1）闭环系统内部稳定；

（2）从扰动到被调输出的传递函数满足下面的关系：

T (s) 1

wz 2-2 满足这样性质的控制器称为系统的一个H 控制器。

通过将系统模型中的系数矩阵分别乘以一个适当的常数，可以使得闭环系统

具有给定的H 性能γ，即使得T wz (s) γ的H 控制问题转化为使得T wz (s) 1的标准H 控制问题。称具有给定H 性能γ的H 控制器为系统P(s) 的γ-次优H 控制器。进一步可以通过对γ的搜索，可以求取使得闭环系统的扰

动抑制度γ最小化的控制器。

对于上面给出的系统，令D21、D22 为零矩阵，C2 为单位阵，那么就形成了一个状态反馈控制系统。

对于这个系统，如果可以设计一个静态反馈控制器u(s) K (s)x(s)，使得系统闭环稳定，并且满足从扰动到被调输出的传递函数为：

1

T wz (s) (C1 D K)[ sI ( A B )] B11 D11 1 2-3

12 12

那么，我们称这样的反馈控制器为系统P(s)的一个状态反馈H 控制律。

定理对于系统P(s)，存在一个状态反馈H 控制器，当且仅当存在一个对称正定矩阵X和W，使得以下矩阵不等式成立：

AX B W (

12 AX B W

12

T

) B

11

(C X

1

D W

12

T

)

T B

11 I T

D

11

0 2-4

C X

1 D W

12

D

11

I

成立，而且，如果上面的矩阵不等式存在一个可行解W * 、X * ，则有1

K W * (X *) 为系统的状态反馈H 控制矩阵。

对于次优控制问题，通产可以进行一下变换：

T wz (s) γγwz ( ) 1 2-5

- 1T s

将原模型中的C、D 、D 替换为

1 11 1

2 1 1 1

C、 D 、 D ，则得到新的状态反

1 11 12

馈次优控制器对应的矩阵不等式：

AX B W (

12 AX B W

12

T

) B

11

-1 (C X

1

D W

12

T

)

T B

11 I -1 T

D

11

0 2-6

-1

C X

1 D W

12

-1

D

11

I

为了计算方便，在上式的左右两边分别乘以diag { I ,I, I } ，则得到如下式子：

AX B W (

12 AX B W

12

T

) B

11

(C

1

X D W

12

T

)

T B

11 I T

D

11

0 2-7

C X

1 D W

12

D

11

2

I

求解该不等式即可得到系统状态反馈γ-次优H 控制器求解该不等式，即可得到系统状态反馈γ-次优H 控制器。

这样，γ-次优H 控制器存在的条件下（LMI 可解），通过建立和求解以下

优化问题即可得到γ-次优H 控制器:

min

T T

AX B W (AX B W ) B (C X D W )

12 12 11 1 12

T T

B I D

11 11

2

C X

D W D I

1 1

2 11

X 0

下面利用状态反馈进行γ-次优H 控制器的设计。

（二）系统矩阵

下面给出系统的各个矩阵：

0 1 0 0 0 1 0 2 3 1

0 0 1 0 0 1 1 8 2 1

A ,

B , B

11 12

0 0 0 1 1 3 0 2 3 4

0 0 11 0 2 1 1 1 4 2

1 2 3 1 1 2 2 4 1 4

C ,D, D

1 11 12

4 2

5 3 1 4 3 1 2 4

C I ,

D 0, D 0

2 21 22

（三）仿真结果

T

仿真条件设置：系统的状态初值设置为：X0 0 0 0 0 ,时间间隔设置为

T

0.1s，共仿真10s，在0.2秒处施加一个 2 1

的扰动。

设置mincx 函数的解算精度为1e-5，计算得到系统的反馈控制矩阵：