巧用完全平方公式解题例析

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完全平方公式的综合应用

完全平方公式的综合应用例1：矩形面积最大问题假设一个菜农要栽种一片长方形菜田，如果他只有一定长度的篱笆，那么他应该怎样才能使得菜田的面积最大呢？解法：设菜田的长度为x，宽度为y，根据题意我们可以得到一个方程：2x+y=200（因为需要两条边之和等于篱笆的长度）现在我们要找到这个方程的最大值，首先将方程变形为：y=200-2x 接下来我们可以使用完全平方公式来求解最大值。

根据完全平方公式，这是一个开口向下的抛物线，所以我们可以知道最大值是在顶点处取得的。

所以矩形的长度为50，宽度为100，当且仅当菜田是一个正方形时，面积最大。

例2：解一元二次方程假设有一个一元二次方程x^2+8x+16=0，我们需要求解它的解。

解法：首先，我们观察这个方程可以发现它可以化简为一个完全平方形式。

将方程变形为：(x+4)^2=0根据完全平方公式，我们知道只有当一个数的平方等于0时，这个数才能等于0。

所以，我们可以得到：x+4=0或x=-4所以方程的解为x=-4例3：求两点之间的距离假设有两个点A(5,7)和B(9,3)，我们需要求解它们之间的距离。

解法：我们可以利用两点之间的距离公式来求解。

根据两点之间的距离公式，我们可以得到：d=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)将点A的坐标代入为x1=5，y1=7，将点B的坐标代入为x2=9，y2=3，带入方程可得：d=√((9-5)^2+(3-7)^2)d=√(4^2+-4^2)d=√(16+16)d=√32所以点A和点B之间的距离为√32通过以上例子，我们可以看到完全平方公式在解决不同类型的问题时起到了非常重要的作用。

无论是求解最值问题、解一元二次方程还是求解两点之间的距离，完全平方公式都是一个非常有用的工具。

在实际生活中，完全平方公式也有很多其他应用，比如在物理学中的运动学问题、在经济学中的成本最小化问题等等。

因此，熟练掌握完全平方公式的应用是非常有价值的。

完全平方公式经典例题

完全平方公式经典例题
【原创实用版】
目录
1.完全平方公式的定义和基本形式
2.经典例题解析
3.完全平方公式的应用场景和技巧
正文
一、完全平方公式的定义和基本形式
完全平方公式，又称平方差公式或完全平方差公式，是指两个数的平方和与这两个数的乘积的二倍之间的关系。

其基本形式为：(a+b)=a+2ab+b 和 (a-b)=a-2ab+b。

二、经典例题解析
例题 1：求解 (3x+2y) 的值。

解答：根据完全平方公式，(3x+2y)= (3x) + 2*3x*2y + (2y) = 9x + 12xy + 4y。

例题 2：求解 (x-3y+2z) 的值。

解答：根据完全平方公式，(x-3y+2z)= x - 2*x*3y + (3y) - 2*x*2z + (2z) = x - 6xy + 9y - 4xz + 4z。

三、完全平方公式的应用场景和技巧
完全平方公式在代数运算中具有广泛的应用，例如求解平方和、平方差、完全平方等。

在解题过程中，熟练掌握完全平方公式可以简化运算过程，提高解题效率。

技巧 1：注意符号。

在运用完全平方公式时，要特别注意符号。

例如，(a+b) 中的 + 号，在展开后应分别与 a 和 b 相乘。

技巧 2：化简表达式。

利用完全平方公式，可以将复杂的平方和或平方差表达式化简为更容易计算的形式。

技巧 3：结合其他代数公式。

在解题过程中，完全平方公式可以与其他代数公式相结合，如乘法公式、分配律等，以达到更快速地解决问题。

8.3《平方差公式与完全平方公式》典型例题精析

8.3 完全平方公式与平方差公式1．了解乘法公式的几何背景，掌握公式的结构特征，并能熟练运用公式进行简单的计算．2．感受生活中两个乘法公式存在的意义，养成“观察—归纳—概括”的数学能力，体会数形结合的思想方法，提高学习数学的兴趣和运用知识解决问题的能力，进一步增强符号感和推理能力．1．完全平方公式(1)完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.上式用语言叙述为：两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍．(2)完全平方公式的证明：(a±b)2＝(a±b)(a±b)＝a2±ab±ab＋b2(多项式乘多项式)＝a2±2ab＋b2(合并同类项)．(3)完全平方公式的特点：①左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．可简单概括为“首平方，尾平方，积的2倍夹中央”．②公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式．③对于符合两数和(或差)的平方的乘法，均可用上述公式计算．【例1－1】用完全平方公式计算(1)(x＋2y)2；(2)(2a－5)2；(3)(－2s＋t)2；(4)(－3x－4y)2；(5)(2x＋y－3z)2.分析：第(1)、(2)两题可直接用和、差平方公式计算；第(3)题可先把它变成(t－2s)2，然后再计算，也可以把－2s看成一项，用和平方公式计算；第(4)题可看成－3x与4y差的平方，也可以看成－3x与－4y和的平方；(5)可把2x＋y看成一项，用差平方公式计算，然后再用和平方公式计算，也可以把它看成2x与y－3z的和平方，再用差平方公式计算．解：(1)(x ＋2y )2＝x 2＋2·x ·2y ＋(2y )2＝x 2＋4xy ＋4y 2；(2)(2a －5)2＝(2a )2－2·2a ·5＋52＝4a 2－20a ＋25；(3)(－2s ＋t )2＝(t －2s )2＝t 2－2·t ·2s ＋(2s )2＝t 2－4ts ＋4s 2；(4)(－3x －4y )2＝(－3x )2－2·(－3x )·4y ＋(4y )2＝9x 2＋24xy ＋16y 2；(5)(2x ＋y －3z )2＝[2x ＋(y －3z )]2＝(2x )2＋2·2x ·(y －3z )＋(y －3z )2＝4x 2＋4xy －12xz ＋y 2－2·y ·3z ＋(3z )2＝4x 2＋y 2＋9z 2＋4xy －12xz －6yz .(1)千万不要与公式(ab )2＝a 2b 2混淆，发生类似(a ±b )2＝a 2±b 2的错误；(2)切勿把“乘积项”2ab 中的2漏掉；(3)计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件，如符合，则可以直接套用公式进行计算；如不符合，应先变形，使其具备公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，则应运用乘法法则进行计算．此外，在运用公式时要灵活，如第(4)题，由于(－3x －4y )2与(3x ＋4y )2是相等关系，故可以把(－3x －4y )2转化为(3x ＋4y )2，再进行计算，再如(5)题，也有许多不同的方法．(4)完全平方公式的几何解释．如图是对(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2几何意义的阐释．大正方形的面积可以表示为(a ＋b )2，也可以表示为S ＝S Ⅰ＋S Ⅱ＋S Ⅲ＋S Ⅳ，又S Ⅲ，SⅠ，S Ⅳ，S Ⅱ分别等于a 2，ab ，ab ，b 2，所以S ＝a 2＋ab ＋ab ＋b 2＝a 2＋2ab ＋b 2.从而验证了完全平方公式(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2.如图是对(a－b)2＝a2－2ab＋b2几何意义的阐释．正方形Ⅰ的面积可以表示为(a－b)2，也可以表示为SⅠ＝S大－SⅡ－SⅣ＋SⅢ，又S大，SⅡ，SⅢ，SⅣ分别等于a2，ab，b2，ab，所以SⅠ＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2.从而验证了完全平方公式(a－b)2＝a2－2ab＋b2.【例1－2】下图是四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中的空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于a，b的恒等式：__________________.解析：根据图中的面积写一个恒等式，需要用两种方法表示空白正方形的面积．首先观察大正方形是由四个矩形和一个空白正方形组成，所以空白正方形的面积等于大正方形的面积减去四个矩形的面积，即(a＋b)2－4ab，空白正方形的面积也等于它的边长的平方，即(a－b)2，根据面积相等有(a＋b)2－4ab＝(a－b)2.答案：(a＋b)2－4ab＝(a－b)22．平方差公式(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.上式用语言叙述为：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．(2)平方差公式的证明：(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab＋b2(多项式乘多项式)＝a2－b2(合并同类项)．(3)平方差公式的特点：①左边是两个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去互为相反数项的平方)；③公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．利用此公式进行乘法计算时，应仔细辨认题目是否符合公式特点，不符合平方差公式形式的两个二项式相乘，不能用平方差公式．如(a＋b)(a－2b)不能用平方差公式计算．【例2－1】计算：(1)(3x＋2y)(3x－2y)；(2)(－m＋n)(－m－n)；(3)(－2x－3)(2x－3)．分析：(1)本题符合平方差公式的结构特征，其中3x对应“a”，2y对应“b”；(2)题中相同项为－m，互为相反数的项为n与－n，故本题也符合平方差公式的结构特征；(3)利用加法交换律将原式变形为(－3＋2x)(－3－2x)，然后运用平方差公式计算．解：(1)(3x＋2y)(3x－2y)＝(3x)2－(2y)2＝9x2－4y2.(2)(－m＋n)(－m－n)＝(－m)2－n2.(3)(－2x－3)(2x－3)＝(－3＋2x)(－3－2x)＝(－3)2－(2x)2＝9－4x2.利用公式计算，关键是分清哪一项相当于公式中的a，哪一项相当于公式中的b，通常情况下，为防止出错，利用公式前把相同项放在前面，互为相反数的项放在后面，然后套用公式．(4)平方差公式的几何解释如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即a2－b2；若把小长方形Ⅲ旋转到小长方形Ⅳ的位置，则此时的阴影部分的面积又可以看成SⅠ＋SⅢ＝SⅠ＋SⅣ＝(a＋b)(a－b)．从而验证了平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2.【例2－2】下图由边长为a和b的两个正方形组成，通过用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，可以验证的一个乘法公式是____________________．分析：要表示阴影部分的面积，可以从两个方面出发：一是观察阴影部分是由边长为a的正方形除去边长为b的正方形得到的，所以它的面积等于a2－b2；二是阴影部分是由两个直角梯形构成的，所以它的面积又等于两个梯形的面积之和．这两个梯形的面积都等于12 (b＋a)(a－b)，所以梯形的面积和是(a＋b)(a－b)，根据阴影部分的面积不变，得(a＋b)(a－b)＝a2－b2.因此验证的一个乘法公式是(a＋b)(a－b)＝a2－b2.答案：(a＋b)(a－b)＝a2－b23．运用乘法公式简便计算平方差公式、完全平方公式不但是研究整式运算的基础，而且在许多的数字运算中也有广泛地运用．不少数字计算题看似与平方差公式、完全平方公式无关，但若根据数字的结构特点，灵活巧妙地运用平方差公式、完全平方公式，常可以使运算变繁为简，化难为易．解答此类题，关键是分析数的特点，看能否将数改写成两数和的形式及两数差的形式，若改写成两数和的形式乘以两数差的形式，则用平方差公式；若改写成两数和的平方形式或两数差的平方形式，则用完全平方公式．【例3】计算：(1)2 0132－2 014×2 012；(2)1032；(3)1982.分析：(1)2 014＝2 013＋1,2 012＝2 013－1，正好符合平方差公式，可利用平方差公式进行简便运算；(2)可将1032改写为(100＋3)2，利用两数和的平方公式进行简便运算；(3)可将1982改写为(200－2)2，利用两数差的平方公式进行简便运算．解：(1)2 0132－2 014×2 012＝2 0132－(2 013＋1)×(2 013－1)＝2 0132－(2 0132－12)＝2 0132－2 0132＋1＝1.(2)1032＝(100＋3)2＝1002＋2×100×3＋32＝10 000＋600＋9＝10 613.(3)1982＝(200－2)2＝2002－2×200×2＋22＝40 000－800＋4＝39 204.4．利用乘法公式化简求值求代数式的值时，一般情况是先化简，再把字母的值代入化简后的式子中求值．在化简的过程中，合理地利用乘法公式能使整式的运算过程变得简单．在代数式化简过程中，用到平方差公式及完全平方公式时，要特别注意应用公式的准确性．【例4】先化简，再求值：5(m ＋n )(m －n )－2(m ＋n )2－3(m －n )2，其中m ＝－2，n ＝15. 解：5(m ＋n )(m －n )－2(m ＋n )2－3(m －n )2＝5(m 2－n 2)－2(m 2＋2mn ＋n 2)－3(m 2－2mn ＋n 2)＝5m 2－5n 2－2m 2－4mn －2n 2－3m 2＋6mn －3n 2＝－10n 2＋2mn .当m ＝－2，n ＝15时，原式＝－10n 2＋2mn ＝－10×⎝ ⎛⎭⎪⎫152＋2×(－2)×15＝－65. 5．乘法公式的运用技巧一些多项式的乘法或计算几个有理数的积时，表面上看起来不能利用乘法公式，实际上经过简单的变形后，就能直接运用乘法公式进行计算了．有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便．在运用平方差公式时，注意以下几种常见的变化形式：①位置变化：(b ＋a )(－b ＋a )＝a 2－b 2.②符号变化：(－a ＋b )(－a －b )＝(－a )2－b 2＝a 2－b 2.③系数变化：(0.5a ＋3b )(0.5a －3b )＝(0.5a )2－(3b )2.④指数变化：(a 2＋b 2)(a 2－b 2)＝(a2)2－(b2)2＝a4－b4.⑤增项变化：(a－b－c)(a－b＋c)＝(a－b)2－c2，(a＋b－c)(a－b＋c)＝a2－(b－c)2.⑥增因式变化：(a＋b)(a－b)(－a－b)(－a＋b)＝(a2－b2)(a2－b2)＝(a2－b2)2.⑦连用公式变化：(a－b)(a＋b)(a2＋b2)(a4＋b4)＝a8－b8.【例5－1】计算：(1)(a＋b＋1)(a＋b－1)；(2)(m－2n＋p)2；(3)(2x－3y)2(2x＋3y)2.解：(1)(a＋b＋1)(a＋b－1)＝[(a＋b)＋1][(a＋b)－1]＝(a＋b)2－1＝a2＋2ab＋b2－1.(2)(m－2n＋p)2＝[(m－2n)＋p]2＝(m－2n)2＋2·(m－2n)·p＋p2＝m2－4mn＋4n2＋2mp－4np＋p2.(3)(2x－3y)2(2x＋3y)2＝[(2x－3y)(2x＋3y)]2＝(4x2－9y2)2＝(4x2)2－2×4x2×9y2＋(9y2)2＝16x4－72x2y2＋81y4.在运用平方差公式时，应分清两个因式是否是两项之和与差的形式，符合形式才可以用平方差公式，否则不能用；完全平方公式就是求一个二项式的平方，其结果是一个三项式，在计算时不要发生：(a＋b)2＝a2＋b2或(a－b)2＝a2－b2这样的错误；当因式中含有三项或三项以上时，要适当的分组，看成是两项，从而应用平方差公式或完全平方公式．【例5－2】计算：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)的值．分析：为了能便于运用平方差公式，观察到待求式中都是和的形式，没有差的形式，可设法构造出差的因数，于是可乘以(2－1)，这样就可巧妙地运用平方差公式了．解：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(24－1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝…＝(22n－1)(22n＋1)＝24n－1.6．乘法公式的实际应用在解决生活中的实际问题时，经常把其中的一个量或几个量先用字母表示，然后列出相关式子，进而化简，这往往涉及到整式的运算．解题时，灵活运用乘法公式，往往能事半功倍，使问题得到快速解答．【例6】一个正方形的边长增加3 cm，它的面积就增加39 cm2，这个正方形的边长是多少？分析：如果设原正方形的边长为x cm，根据题意和正方形的面积公式可列出方程(x＋3)2＝x2＋39，求解即可．解：设原正方形的边长为x cm，则(x＋3)2＝x2＋39，即x2＋6x＋9＝x2＋39，解得x＝5(cm)．故这个正方形的边长是5 cm.7．完全平方公式的综合运用学习乘法公式应注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”，注意为使用公式创造条件．(1)完全平方公式变形后可得到以下一些新公式：①a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ；②a 2＋b 2＝(a －b )2＋2ab ；③(a ＋b )2＝(a －b )2＋4ab ；④(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ；⑤(a ＋b )2＋(a －b )2＝2(a 2＋b 2)；⑥(a ＋b )2－(a －b )2＝4ab 等．在公式(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2中，如果把a ＋b ，ab 和a 2＋b 2分别看做一个整体，则知道了其中两个就可以求第三个．(2)注意公式的逆用不仅会熟练地正用公式，而且也要求会逆用公式，乘法公式均可逆用，特别是完全平方公式的逆用——a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2，a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2.【例7－1】已知a 2＋b 2＋4a －2b ＋5＝0，则a ＋b a －b的值是__________．解析：原等式可化为(a 2＋4a ＋4)＋(b 2－2b ＋1)＝0，即(a ＋2)2＋(b －1)2＝0，根据非负数的特点知a ＋2＝0且b －1＝0，从而可知a ＝－2且b ＝1.然后将其代入求a ＋b a －b的值即可．答案：13【例7－2】已知a ＋b ＝2，ab ＝1，求a 2＋b 2的值．分析：利用完全平方公式有(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，把2ab 移到等式的左边，可得(a ＋b )2－2ab ＝a 2＋b 2，然后代入求值即可．解：∵(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，∴a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2aB ．∵a ＋b ＝2，ab ＝1，∴a 2＋b 2＝22－2×1＝2.涉及两数和或两数差及其乘积的问题，就要联想到完全平方公式．本题也可从条件出发解答，如因为a＋b＝2，所以(a＋b)2＝22，即a2＋2ab＋b2＝4.把ab＝1代入，得a2＋2×1＋b2＝4，于是可得a2＋b2＝4－2＝2.。

初中数学完全平方公式的五种常见应用举例

完全平方公式的五种常见应用举例完全平方公式是整式乘法中最重要的公式之一在运用完全平方公式时，必须掌握一些使用技巧，才能灵活应用公式，其中包括“顺用”、“逆用”、“顺逆联用”，以及“特例应用”和“变形应用”等.下面举例说明.一、正用根据算式的结构特征，由左向右套用. 例1 计算22(23)m m -- 分析本题是一个三项式的平方，可考虑将三项式中任意两项组合成一个整体，使其转化为一个二项式的平方，然后再运用完全平方公式便可以顺利求解.解 22(23)m m --22[(2)3]m m =--222(2)6(2)9m m m m =---+4322446129m m m m m =-+-++43242129m m m m =--++思考本题中三项式转化为二项式的根据是什么?还有其它的方法吗? 二、逆用将公式逆向使用，即由右向左套用.例2 己知，，，则多项式20172018a x =+20172019b x =+20172020c x =+的值为( )222a b c ab bc ac ++--- (A) 0 (B)1 (C)2 (D)3分析观察本题已知条件，直接代入求值困难.但换个角度仔细观察多项式的结构就不难发现，该多项式的2倍恰好是3个完全平方公式的右端，于是逆用完全平方公式，就可以得到，而，，的值可求，故本题巧妙得解.222()()()a b b c c a -+-+-a b -b c -c a -解 ∵20172018a x =+20172019b x =+20172020c x =+∴，，1a b -=-1b c -=-2c a -=∴222a b c ab bc ac ++---2221(222222)2a b c ab bc ac =++---2222221(222)2a ab b b bc c c ac a =-++-++-+2221[()()()]2a b b c c a =-+-+-2221[(1)(1)2]2=-+-+3=应选D.三、正逆联用根据已知条件和待求式特征，有正用、又逆用，即综合运用.例3 (全国初中数学竞赛试题)已知，且，则21()()()4b c a b c a -=--0a ≠b c a +.= 分析欲求的值，则需要明与之间的等量关系.而题目中的已知条件刚好就b c a+b c +a 是、、之间的关系式，于是将条件等式进行化简变形，明确与之间的关系，a b c b c +a 应该是一条即常规又恰当的选择.解由已知，得2()4()()b c a b c a -=--22224444b bc c ac bc ab a ∴-+=-+-2222(44)40b bc c ab ac a ∴++-++=22()4()40b c a b c a ∴+-++=把和分别看成一个“整体”，再逆用完全平方公式，得b c +2a 2[()2]0b c a +-=，20b c a ∴+-=2b c a+=.22b c a a a+∴== 四、特例应用在完全平方公式中，如果，那么222()2a b a ab b +=++0ab =222()a b a b+=+反之，若，则一定有.222()a b a b +=+0ab =例5 若满足，则.n 22(2017)(2019)4n n -+-=(2019)(2017)n n --= 分析若设，，则很容易验证，这正好2017n a -=2019n b -=222()a b a b +=+符合上面完全平方公式特例.据此，本题迎刃而解.解设，，2017n a -=2019n b -= 则，2()4a b +=又已知224a b +=∴222()a b a b+=+于是0ab =∴(2019)(2017)n n --=(2017)(2019)n n --0ab ==五、变形应用由完全平方公式，易得如下的两个最常见的变形公式:222()2a b a ab b ±=±+①2222()2()2a b a b ab a b ab+=+-=-+②22()()4a b a b ab-=+-(或)221[()()]4ab a b a b =+-- 活用上面变形公式，常常会使问题化难为易，取得奇妙的解题效果。

巧用完全平方公式解题例析

巧用完全平方公式解题例析完全平方公式“(a±b)2＝a2±2ab+b2”是整式运算中非常重要的一个公式，灵活运用完全平方公式的一些变形和技巧，可以使运算化繁为简，化难为易.为帮助大家及早掌握完全平方公式的有关用法，现结合实例对完全平方公式的应用技巧作如下分类小结.一、对号入座，直接应用例1．计算：()222+.x y32简析：上式括号内是两个单项式（23x与22y）的和，括号外是这两个单项式和的完全平方，因此可将23x与22y分别看作a、b而直接套用完全平方公式进行计算.解：原式=()2222222224224+=+⋅⋅+=++.32(3)232(2)9124x y x x y y x x y y二、适当变换，间接应用1、符号变换例2．计算：2--.(2)x y简析：上式括号内的两项均带负号，计算时可先逆用乘法分配律，将负号变换到括号外，待处理好符号后再应用完全平方公式进行计算.解：原式=[]222222-+=+=+⋅⋅+=++.x y x y x x y y x xy y(2)(2)(2)22442、系数变换例3．计算：(32)(96)m n m n--.简析：因上式后一个括号内的两项9m与-6n含有公因数3，（逆用乘法分配律）将3作为公因式提取后，可得(32)-，与前一个括号相同，所以本题可先m n变换第二个括号内的系数，然后再套用完全平方公式进行计算.解：原式=22222m n m n m n m mn n m mn n--=-=-+=-+.3(32)(32)3(32)3(9124)2736123、指数变换例4．计算：22-+()()m n m n简析：上式若按运算顺序先用完全平方公式展开再相乘，则较麻烦，但若逆用积的乘方，将上式变换成()()2m n m n -+⎡⎤⎣⎦，则可先用平方差公式，后用完全平方公式，这样计算就简便多了.解：原式=()()22224224()2m n m n m n m m n n -+=-=-+⎡⎤⎣⎦. 4、分组变换例5．计算：()()32513251x y z x y z +-+-+--.简析：上式前后两个括号中2y 与5z -完全相同，而3x 和1的符号分别相反，故可适当分组，先用平方差公式，然后再用完全平方公式进行计算.解：原式=()()()()()()2222225312531253149252061y z x y z x y z x y x z yz x -++--+=--+=-+---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.。

完全平方公式知识点例题变式

完全平方公式知识点例题变式完全平方公式知识点、例题、变式。

一、完全平方公式知识点。

1. 公式内容。

- (a + b)^2=a^2 + 2ab+b^2- (a - b)^2=a^2-2ab + b^22. 公式结构特点。

- 左边是一个二项式的完全平方，右边是一个三项式。

- 右边第一项是左边第一项的平方，右边第三项是左边第二项的平方，右边第二项是左边两项乘积的2倍（对于(a + b)^2是正的2ab，对于(a - b)^2是负的2ab）。

二、例题。

1. 计算(3x + 2y)^2。

- 解析：根据完全平方公式(a + b)^2=a^2 + 2ab+b^2，这里a = 3x，b=2y。

- 计算过程：- (3x+2y)^2=(3x)^2+2×(3x)×(2y)+(2y)^2- = 9x^2+12xy + 4y^2。

2. 计算(2m - 5n)^2。

- 解析：根据完全平方公式(a - b)^2=a^2-2ab + b^2，这里a = 2m，b = 5n。

- 计算过程：- (2m - 5n)^2=(2m)^2-2×(2m)×(5n)+(5n)^2- =4m^2-20mn + 25n^2。

三、变式。

1. 已知(x + 3)^2=x^2+ax + 9，求a的值。

- 解析：根据完全平方公式(x + 3)^2=x^2+2× x×3+9=x^2 + 6x+9，因为(x + 3)^2=x^2+ax + 9，所以a = 6。

2. 若(m - n)^2=16，m^2 + n^2=20，求mn的值。

- 解析：- 由完全平方公式(m - n)^2=m^2-2mn + n^2，已知(m - n)^2 = 16，即m^2-2mn + n^2=16。

- 又已知m^2 + n^2=20，将其代入m^2-2mn + n^2=16中，得到20-2mn = 16。

- 移项可得-2mn=16 - 20=-4，解得mn = 2。

完全平方公式的复杂问题解析

完全平方公式的复杂问题解析完全平方公式是初中数学中常见且重要的一个概念，其用途广泛且
深奥，很多学生在理解和运用完全平方公式时常常遇到困扰。

本文将
从理论与实际问题两个方面对完全平方公式进行深入解析，帮助读者
更好地掌握这一知识点。

一、理论解析
完全平方公式是指一个二项式的平方可写成两个一次式的和的形式。

具体来说，对于任意实数a和b，完全平方公式可表示为：
(a + b)² = a² + 2ab + b²
这是一个非常重要且基础的数学公式，应用范围广泛，包括代数运算、二次函数等多个数学领域。

在解决数学问题时，熟练掌握完全平
方公式可以大大简化计算过程，提高解题效率。

二、实际问题解析
在实际问题中，完全平方公式常常被运用于解决关于面积、长度等
问题。

例如，在计算一个正方形的面积时，若已知其边长为a，则可利
用完全平方公式求解其面积：
正方形面积 = a² = (a + 0)² = a² + 2 * a * 0 + 0² = a²
这个例子清晰地展示了完全平方公式在实际问题中的应用之处，通
过将已知条件代入公式，我们可以快速准确地得出结论。

总结：
完全平方公式是数学中重要的基础概念，熟练掌握这一知识点对于学习和应用更高阶数学知识具有重要意义。

通过对理论和实际问题的解析，可以更好地理解和运用完全平方公式，为数学学习打下坚实基础。

希望本文的解析能够帮助读者更深入地了解完全平方公式，有助于提升数学水平。

愿大家在学习数学的道路上取得更大的成就！。

完全平方公式的变形及其应用

完全平方公式的变形及其应用完全平方公式的变形及其应用多项式乘法的完全平方公式的变形形式很多，且应用广泛。

下面结合例题，介绍完全平方公式的变形及其应用。

一、变式1：$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$这是因为：由$(a+b)=a^2+b^2+2ab$，移项，得$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$。

例1：已知$x+y=5$，$xy=2$，求下列各式的值：（1）$x^2+y^2$；（2）$x^4+y^4$。

解：由变式1，得（1）$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=5^2-2\times2=21$；（2）$x^4+y^4=\left(x^2+y^2\right)^2-2x^2y^2=21^2-2\times4=433$。

二、变式2：$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$这是因为：由$(a-b)=a^2-2ab+b^2$，移项，得$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$。

例2：已知$a-\sqrt{11}=5$，求$a^2+11$的值。

解：由变式2，得$a^2+11=\left(a-\sqrt{11}\right)^2+2\sqrt{11}=5^2+2\sqrt{11}=27$。

三、变式3：$ab=\dfrac{1}{2}\left(2a+b-\sqrt{a^2+b^2}\right)$这是因为：由$(a+b)=a^2+b^2+2ab$，得$2ab=(a+b)-\left(a^2+b^2\right)$，两边同除以2，得$ab=\dfrac{1}{2}\left(2a+b-\sqrt{a^2+b^2}\right)$。

例3：已知$a+b=7$，$a^2+b^2=29$，求$ab$的值。

解：由变式3，得$ab=\dfrac{1}{2}\left(2a+b-\sqrt{a^2+b^2}\right)=\dfrac{1}{2}\left(2a+b-\sqrt{7^2-29}\right)=10$。

利用完全平方公式分解因式案例分析

利用完全平方公式因式分解案例分析一．知识回顾环节：师：前面我们学习了因式分解的两种方法：提公因式和套用平方差公式。

请根据以下几道题复习回顾相关知识点：分解因式：生：1.a3-16a 2.(x+y)2-1 3.m4-n4师：归纳：1.分解因式的基本步骤是先_______________，然后再______________.2..公式a² - b² = (a+b)(a-b)中的字母 a , b可以是数，也可以是单项式或多项式，当是多项式时，要运用______思想。

3.分解因式要彻底，必须进行到多项式的因式____________为止。

分解因式时，除了可以套用平方差公式以外，还可以套用完全平方公式。

完全平方公式的文字叙述为：____________________________________________________公式表达为: __________________________________________ 评价1：该环节选题全面，过渡自然，时间安排合理。

二．探索新知:师：将形如______________________的式子叫做完全平方式。

活动（一）小试身手：生：练习1. 下列多项式是不是完全平方式？为什么？（1） 44a 2+-a （2） 24a 1+（3） 144b 2-+b （4） 22a b ab ++练习2.请补上一项，使下列多项式成为完全平方式活动（二）小组交流订正答案，并归纳完全平方式的特征：特征1：特征2:特征3：师：将完全平方公式：的等式两边互换位置，就得到我们可以通过以上公式对“完全平方式”分解因式。

我们称之为：运用完全平方公式分解因式评价2：该环节前两个题设计好，让学生先感知后由学生总结，体现了新课程理念下重过程，同时也体现了学生为主体，但老师为主导体现不到位因为当学生总结不全面，老师应引导学生全面归纳完全平方式的三个环节，并由班班通。

出示板书特征，并让学生记忆，了解学生。

完全平方公式的综合举例

完全平方公式的综合举例为了更好地理解和运用完全平方公式，下面将为您举例说明。

首先，我们来看一些求解平方差的例子：例子1：计算49^2-21^2根据完全平方公式，我们有(49-21)(49+21)=(49-21)(70)。

简化得(28)(70)=1960。

因此，49^2-21^2=1960。

例子2：计算144^2-100^2根据完全平方公式，我们有(144-100)(144+100)=(144-100)(244)。

接下来，我们来看一些求解平方和的例子：例子3：计算25^2+30^2根据完全平方公式，我们有(25+30)^2=(25+30)(25+30)。

简化得(55)(55)=3025因此，25^2+30^2=3025例子4：计算16^2+12^2根据完全平方公式，我们有(16+12)^2=(16+12)(16+12)。

简化得(28)(28)=784因此，16^2+12^2=784除了求解平方差和平方和之外，完全平方公式还可以用于因式分解。

例子5：将x^2+8x+16分解为完全平方。

根据完全平方公式，我们知道16是4的平方，即4^2因此，x^2+8x+16=(x+4)(x+4)=(x+4)^2例子6：将9y^2-12y+4分解为完全平方。

根据完全平方公式，我们知道4是2的平方，即2^2因此，9y^2-12y+4=(3y-2)(3y-2)=(3y-2)^2除了上述的求解平方差、平方和和因式分解，完全平方公式还可以用于其他类型的问题，例如求解最值问题。

例子7：求函数f(x)=x^2-6x+9的最小值。

将f(x)用完全平方公式进行变换，可以得到f(x)=(x-3)^2由于平方的结果是非负的，所以最小值为0，当且仅当(x-3)^2=0时，即x=3通过以上的例子，我们可以看到完全平方公式的广泛应用。

它不仅仅用于求解平方差和平方和，还可以用于因式分解和解决最值问题。

对于数学问题的解答和推导，完全平方公式是一个非常有用的工具。

完全平方公式的实际问题解析

完全平方公式的实际问题解析完全平方公式是初中数学中非常重要的内容之一，它的应用领域非常广泛，不仅可以用来解决数学问题，还可以在现实生活中的各种实际问题中得到运用。

本文将对完全平方公式的实际问题进行深入分析和解析。

一、完全平方公式概述完全平方公式是指一个二元二次方程可以写成两个一次方程的平方和的形式，即a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2。

在数学中，完全平方公式通常用于解决关于平方根的问题，包括方程的因式分解、解方程等。

二、房屋装修中的应用在现实生活中，完全平方公式可以被运用到房屋装修中。

比如，如果我们需要铺设一个长方形房间的地板，可以根据房间长度和宽度应用完全平方公式来计算所需的地板面积。

假设房间长度为a，宽度为b，则地板面积为a*b，这里a和b都是常数。

如果我们知道地板的总面积为x平方米，那么可以得到方程a*b=x。

通过完全平方公式的求解，可以得到a和b的具体数值，帮助我们合理规划房屋装修的预算和材料使用。

三、汽车行驶中的应用另外一个实际问题中完全平方公式的应用是汽车行驶中。

在汽车行驶中，速度、时间和距离之间存在着复杂的关系，而完全平方公式可以帮助我们更好地理解这些关系。

例如，如果我们知道汽车以a km/h的速度行驶了b小时，就可以通过完全平方公式计算汽车行驶的总距离。

假设汽车行驶的距离为x公里，可以得到方程a*b=x。

通过完全平方公式的运用，可以求解出汽车的行驶距离，为我们提供出行的参考依据。

四、多项式函数的图像分析除了房屋装修和汽车行驶这些实际问题，完全平方公式还可以被应用于多项式函数的图像分析中。

在数学函数的研究过程中，完全平方公式可以帮助我们快速求解函数的极值点、拐点等重要信息。

通过对多项式函数进行完全平方公式的分解，可以更清晰地了解函数的特性和规律，为数学建模和实际问题的解决提供了有效途径。

五、结语总的来说，完全平方公式在数学领域中的应用非常广泛，同时也可以在现实生活中的各种实际问题中得到有效运用。

完全平方公式的应用

完全平方公式的应用首先，让我们回顾一下完全平方公式的表达方式。

对于一个一元二次方程ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为实数并且a ≠ 0，我们可以使用完全平方公式来求解它的根。

完全平方公式的表达式如下所示：x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)这个公式由两个解构成，分别对应于二次方程的两个根。

正号表示一个解，负号表示另一个解。

首先是代数方面的应用。

我们可以使用完全平方公式来解决一元二次方程的根的问题。

例如，假设我们有一个方程x^2+3x+2=0，我们可以使用完全平方公式来求解它的根。

根据完全平方公式，我们可以计算出x的值为-2和-1、因此，这个方程的根为x=-2和x=-1除了求解一元二次方程的根之外，完全平方公式还可以帮助我们解决其他类型的数学问题。

例如，我们可以使用完全平方公式来解决关于面积和周长的问题。

假设我们有一个正方形的周长为12个单位，我们可以使用完全平方公式来计算出正方形的面积。

由于正方形的周长等于4a（其中a为正方形的边长），我们可以得到方程4a=12、通过解方程，我们可以得到正方形的边长为3个单位。

然后，我们可以使用完全平方公式来计算正方形的面积，即3^2=9、因此，这个正方形的面积为9个单位。

在几何方面，完全平方公式也有重要的应用。

例如，我们可以使用完全平方公式来求解直角三角形的斜边长度。

考虑一个直角三角形，其中两条边的长度分别为a和b，斜边的长度为c。

根据勾股定理，我们可以得到a^2+b^2=c^2、如果我们已知a和b的值，我们可以使用完全平方公式来求解c的值。

例如，如果a=3和b=4，我们可以计算出c=√(3^2+4^2)=5在物理方面，完全平方公式也有一些应用。

例如，根据牛顿第二定律F=ma（其中F为力，m为质量，a为加速度），我们可以得到a=F/m。

假设我们想要计算物体的加速度，但是我们只知道物体的质量和施加在它上面的力。

在这种情况下，我们可以使用完全平方公式来解决这个问题。

完全平方公式的五种常见应用举例

完全平方公式的五种常见应用举例完全平方公式的五种常见应用举例完全平方公式是整式乘法中最重要的公式之一在运用完全平方公式时，必须掌握一些使用技巧，才能灵活应用公式，其中包括“顺用”、“逆用”、“顺逆联用”，以及“特例应用”和“变形应用”等.下面举例说明.一、正用根据算式的结构特征，由左向右套用.例1 计算22(23)m m --分析本题是一个三项式的平方，可考虑将三项式中任意两项组合成一个整体，使其转化为一个二项式的平方，然后再运用完全平方公式便可以顺利求解. 解 22(23)m m --22[(2)3]m m =--222(2)6(2)9mm m m =---+ 4322446129m m m m m =-+-++43242129m m m m =--++思考本题中三项式转化为二项式的根据是什么?还有其它的方法吗?二、逆用将公式逆向使用，即由右向左套用.例 2 己知20172018a x =+，20172019b x =+，20172020c x =+，则多项式222a b c a b b c a c ++---的值为( ) (A) 0 (B)1 (C)2 (D)3分析观察本题已知条件，直接代入求值困难.但换个角度仔细观察多项式的结构就不难发现，该多项式的2倍恰好是3个完全平方公式的右端，于是逆用完全平方公式，就可以得到222()()()a b b c c a -+-+-，而a b -，b c -，c a -的值可求，故本题巧妙得解. 解∵20172018a x =+20172019b x =+20172020c x =+∴1a b -=-，1b c -=-，2c a -=∴222a b c a b b c a c ++---2221(222222)2a b c a b b c a c =++--- 2222221(222)2a a b b b b c c c a c a =-++-++-+ 2221[()()()]2a b b c c a =-+-+- 2221[(1)(1)2]2=-+-+3=应选D.三、正逆联用根据已知条件和待求式特征，有正用、又逆用，即综合运用. 例3 (全国初中数学竞赛试题)已知21()()()4b c a b c a -=--，且0a ≠，则b c a += . 分析欲求b c a +的值，则需要明b c +与a 之间的等量关系.而题目中的已知条件刚好就是a 、b 、c 之间的关系式，于是将条件等式进行化简变形，明确b c +与a 之间的关系，应该是一条即常规又恰当的选择.解由已知，得2()4()()b c a b c a -=-- 22224444b b c ca cbc a b a ∴-+=-+- 2222(44)40b b c c a b a c a∴++-++= 22()4()40b c a b c a ∴+-++=把b c +和2a 分别看成一个“整体”，再逆用完全平方公式，得2[()2]0b c a +-= 20b c a ∴+-=，2b c a +=22b caa a +∴==.四、特例应用在完全平方公式222()2a b a a b b +=++中，如果0a b =，那么222()a b a b +=+反之，若222()a b a b +=+，则一定有0a b =.例5 若n 满足22(2017)(2019)4n n -+-=，则(2019)(2017)n n --= . 分析若设2017n a -=，2019n b -=，则很容易验证222()a b a b +=+，这正好符合上面完全平方公式特例.据此，本题迎刃而解.解设2017n a -=，2019n b -=，则2()4a b +=，又已知224a b +=∴222()a b a b +=+于是0a b =∴(2019)(2017)n n --=(2017)(2019)n n --0a b ==五、变形应用由完全平方公式222()2a b a a b b ±=±+，易得如下的两个最常见的变形公式:①2222()2()2a b a b a b a b a b +=+-=-+②22()()4a b a b a b -=+-(或)221[()()]4a b a b a b =+--活用上面变形公式，常常会使问题化难为易，取得奇妙的解题效果。

完全平方公式案例分析

“完全平方公式”案例研究海原三中马静【案例背景】：根据教育局相关文件精神，近几年来，我县各校强力推进有效教学，大兴教学教研之风，有效教学初显成效。

本案例节选自“完全平方公式”一课时，拟“在课堂教学中发挥教师的主导作用，提高教学的有效性”谈一谈自己的看法。

【案例事件】：知识应用环节，教师课件展示了以下一组练习。

①请计算：（1）（x+y/2）2；（2）（-2m+4n）2 （3）（-a-3b）2；（4）（x+y+4）2②下列式子在利用公式中有没有错误？如有，请你加以改正。

（1）（3x+2y）2 =（2x）2 +（3y）2；（2）（3x-2y）2=9x2-6xy-4y2；（3）（-3x+2y）2=9x2-6xy+4y2；（4）（-3x-2y）2=9x2-6xy+4y2操作过程：师：请观察①中的几个题目，想一想，议一议，你会计算它们吗？（学生短暂思考，小组内相互交流，一部分学生跃跃欲试，有四名学生主动上台展示解题过程，其余学生台下完成）。

师：请大家看一看四位同学生的解题过程，谈一谈自己的想法。

生1：第（1）题错将（y/2）2写成了y2/2……生2：第（2）题正确，并且格式也很规范，值得我学习……生3：第（3）题完全按照公式展开即：（-a-3b）2 =（-a）2 -2·（-a）·3b+（-3b）2 =……虽然结果正确，但不好理解。

我的解法是：（-a-3b）2=〔（-a）+（-3b）〕2=（-a）2 +2·（-a）·（-3b）+（-3b）2=……生4：对第（3）题，我有更简单的方法，即：（-a-3b）2=〔-（a+3b）〕2=（a+3b）2=a2+2·a·3b+（3b）2=……生5：我喜欢生4的解法……（此刻学生积极举手，争相发言，甚至不等教师同意就想发言，课堂气氛达到高潮）师：同学们对①的讨论，表现得都很出色，下面，请看第②题，你们会解吗？（学生逐一回答，予以正确解决）师：根据正确结果，你们发现了什么规律吗？请大家先讨论，再回答。

平方差和完全平方公式应用举例

平方差公式、完全平方公式应用例说例1 计算（1）)1)(1(+-ab ab ；（2）)32)(32(---x x ；（3）1022；（4）992.【点拨】（1）符合平方差公式的特征，只要将ab 看成是a ，1看成是b 来计算.（2）利用加法交换律将原式变形为)23)(23(x x --+-,然后运用平方差公式计算.（3）可将1022改写为2)2100(+,利用两数和的平方公式进行简便运算.（4）可将992改写为2)1100(-，利用两数差的平方公式进行简便运算. 解：（1）)1)(1(+-ab ab =11)(222-=-b a ab ；（2）)32)(32(---x x = )23)(23(x x --+-=22249)2()3(x x -=--；（3）1022= 2)2100(+=1040444001000022100210022=++=+⨯⨯+；（4）992=2)1100(-=98011200100001110021002=+-=+⨯⨯-. 例2 计算（1）)1)(1(-+++b a b a ；（2）2)2(p n m +-.【点拨】（1）两个因式中都含有三项，把三项看成是两项，符号相同的看作是一项，符号相反的看作是一项，运用公式计算，本题可将)(b a +看作是一项.（2）先将三项看成是两项，用完全平方公式，然后再用完全平方公式计算.解：（1）)1)(1(-+++b a b a =121)(]1)][(1)[(222-++=-+=-+++b ab a b a b a b a ；（2）2)2(p n m +-=222)2(2)2(])2[(p p n m n m p n m +⋅-⋅+-=+- =2224244p np mp n mn m +-++-.【点评】1.在运用平方差公式时,应分清两个因式中是不是有一项完全相同,有一项互为相反数,这样才可以用平方差公式，否则不能用；2.完全平方公式就是求一个二项式的平方，其结果是一个完全平方式，两数和或差的平方，等于这两个数的平方和，加上或减去这两个数乘积的2倍，在计算时不要发生：222)(b a b a +=+或222)(b a b a -=-这样的错误；3.当因式中含有三项或三项以上时,要适当的分组,看成是两项,用平方差公式或完全平方公式.例3 一个正方形的边长增加3cm,它的面积就增加392cm ,这个正方形的边长是多少?【点拨】如果设原正方形的边长为xcm,根据题意和正方形的面积公式可列出方程求解. 解：设原正方形的边长为xcm,则39)3(22+=+x x即399622+=++x x x ，解得 x=5.答:这个正方形的边长是5cm .例4 当2)2()23)(23(1,1b a b a b a b a ---+=-=时，求的值.【点拨】先用乘法公式计算,去括号、合并同类项后，再将a 、b 的值代入计算出结果. 解：)44(49)2()23)(23(22222b ab a b a b a b a b a +---=---+=2222228484449b ab a b ab a b a -+=-+--；当时，1,1=-=b a222848)2()23)(23(b ab a b a b a b a -+=---+=8（-1）81)1(42-⨯-+=-4.例5 求证：当n 为整数时，两个连续奇数的平方差22)12()12(--+n n 是8的倍数.【点拨】运用完全平方公式将22)12()12(--+n n 化简，看所得的结果是否是8整数倍.证明:22)12()12(--+n n =)144(14422+--++n n n n=n n n n n 814414422=-+-++，又∵n 为整数,∴8n 也为整数且是8的倍数.例6 解不等式 2)2(9)43)(43(->-+x x x .【点拨】将乘法公式与解不等式相联系，用乘法公式将不等式两边化简、整理，转化成一元一次不等式的一般形式.解：去括号，得 3636916922+->-x x x ，移项、合并，得 913>x . 例7 2005年12月1日是星期四，请问：再过20052天的后一天是星期几?【点拨】因为每个星期都有7天，要求再过20052天的后一天是星期几，可以想办法先求出20052是7的多少倍数还余几天.解：20052=93)2867(2)2867()32867(22+⨯⨯⨯+⨯=+⨯=277)2866()2867(2++⨯⨯+⨯.显然2005年12月1日是星期四，再过20052天的后一天实际上要求星期四再过两天后的一天是星期日.例8 观察下列等式：10122=-，31222=-，52322=-，73422=-，……请用含自然数n 的等式表示这种规律为：________________.【点拨】本题是属于阅读理解，探索规律的题目，认真观察、分析已知的等式的特点，从中总结出规律.同学们相互研讨交流一下.答案为:n n n n n 且1(12)1(22≥-=--为整数).例9 已知2294y Mxy x +-是一个完全平方式,求M 的值.【点拨】已知条件是一个二次三项式,且是一个完全平方式,22y x 与项的系数分别为4和9,所以这个完全平方式应该是2)32(y x ±,由完全平方公式就可以求出M.解：根据2)32(y x ±=229124y xy x +±得: 12±=-M .∴12±=M答:M 的值是±12.例10 计算 1584221)211)(211)(211)(211(+++++. 【点拨】若按常规思路从左到右逐个相乘，比较麻烦；如果乘或除以一个数或一个整式，将本来复杂的问题转化成我们已知的、熟悉的，从而找到问题的捷径.解:1584221)211)(211)(211)(211(+++++ =158422121)211)(211)(211)(211)(211(+÷++++- =1584222121)211)(211)(211)(211(+÷+++- =158442121)211)(211)(211(+÷++- =15882121)211)(211(+÷+- =15162121)211(+÷-=2-15152121+=2. 例11(泰州市)如下图是由边长为a 和b 的两个正方形组成，通过用不同的方法，计算下图中阴影部分的面积，可以验证的一个公式是．【点拨】本题考查借助图形的面积直观认识平方差公式,使学生学习数形结合的思想方法.答案为:22))((b a b a b a -=-+或 22b a -= ))((b a b a -+.。

利用完全平方求最值的例题

利用完全平方求最值的例题摘要：1.完全平方公式的应用背景2.完全平方公式的定义和基本形式3.利用完全平方公式求最值的例题解析4.结论和注意事项正文：一、完全平方公式的应用背景在数学中，求最值问题是一种常见的题型，特别是在初中和高中的数学竞赛中。

求最值问题可以分为很多种，如求函数的最值、求不等式的最值、求几何图形的最值等。

解决这类问题，常常需要运用到一些数学方法，如完全平方公式。

完全平方公式是一种非常实用的求最值的方法，它不仅可以帮助我们解决一些复杂的数学问题，还可以提高我们的数学思维能力。

二、完全平方公式的定义和基本形式完全平方公式是指一个二次三项式可以表示成一个平方项加上一个常数项的形式。

它的基本形式为：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$。

这个公式告诉我们，任何一个二次三项式都可以看作是一个平方项加上一个常数项，也就是说，任何一个二次三项式都有一个最值，这个最值就是平方项的值。

三、利用完全平方公式求最值的例题解析下面，我们通过一个具体的例题，来看一下如何利用完全平方公式求最值。

例题：求函数$f(x)=x^2-6x+9$的最小值。

解：首先，我们可以将函数$f(x)$表示成完全平方的形式，即：$f(x)=(x-3)^2$由于一个平方数永远大于等于0，所以函数$f(x)$的最小值就是0，当且仅当$x=3$时取到。

通过这个例题，我们可以看到，利用完全平方公式求最值，不仅可以简化计算过程，还可以提高求解的准确性。

四、结论和注意事项通过以上的讲解，我们可以得出以下结论：1.完全平方公式是一种求最值的有效方法，它可以帮助我们解决一些复杂的数学问题。

2.在使用完全平方公式求最值时，我们需要注意找到正确的平方项和常数项，以保证求解的准确性。

3.在实际的求解过程中，我们还需要注意一些特殊情况，如当平方项的系数为负时，最值就是负无穷。

总之，掌握完全平方公式，对于解决求最值问题具有重要的意义。

利用完全平方求最值的例题

利用完全平方求最值的例题（实用版）目录1.完全平方公式的定义与结构2.利用完全平方公式求最值的例题3.例题的解析与解答过程4.结论和应用范围正文一、完全平方公式的定义与结构完全平方公式，又称平方完成式，是指一个二次三项式在某些条件下可以写成一个完全平方的形式，即 a+2ab+b=(a+b)。

完全平方公式在数学中有着广泛的应用，尤其在求最值问题中，它能够帮助我们简化问题，快速求得答案。

二、利用完全平方公式求最值的例题举例来说，如果我们要求解这样一个最值问题：求 x+2x+1 的最小值，我们可以通过完全平方公式来解决。

首先，观察 x+2x+1 的形式，可以发现它非常接近一个完全平方，即(x+1)。

我们只需要稍作调整，即加上一个适当的常数，使得它能够变成一个完全平方。

因此，我们可以将 x+2x+1 写成 (x+1)-2 的形式。

这样，原来的问题就转化为了求 (x+1)的最小值。

显然，任何实数的平方都是非负的，所以 (x+1)的最小值为 0，当且仅当 x=-1 时取得。

因此，x+2x+1 的最小值为 0，当且仅当 x=-1 时取得。

三、例题的解析与解答过程通过上面的例题，我们可以看到，利用完全平方公式，我们能够将原本复杂的最值问题转化为一个简单的非负数求最小值的问题，大大简化了问题的难度。

在解答过程中，我们首先观察到 x+2x+1 的形式接近完全平方，然后通过加上一个适当的常数，将其转化为完全平方，最后利用完全平方的性质求得最小值。

四、结论和应用范围完全平方公式在求最值问题中的应用非常广泛，尤其对于形如x+ax+b 的问题，通过完全平方公式，我们可以将其转化为一个完全平方的形式，然后利用完全平方的性质求得最值。

需要注意的是，并非所有的最值问题都可以通过完全平方公式来求解，完全平方公式的应用范围主要在于二次三项式的最值问题。

完全平方公式范文

完全平方公式范文一、分解二次多项式：例如，我们有一个二次多项式x²+7x+12、我们可以使用完全平方公式将其分解为两个一次多项式的乘积。

首先，我们找到x²的平方根，即x。

然后，我们找到两个数b和c，使得它们的和为x的系数，乘积为常数项。

在本例中，x的系数是7，常数项是12、因此，我们需要找到两个数，它们的和为7，乘积为12我们可以列出所有可能满足这些条件的组合。

这里有几个可能的组合：1+6=7，1×6=62+5=7，2×5=103+4=7，3×4=12我们可以看到，3和4是唯一满足我们的条件的数。

因此，我们可以将二次多项式x²+7x+12分解为(x+3)(x+4)。

这种分解形式也被称为二次多项式的因式分解形式。

二、解二次方程：1. 将常数项移到方程的右边，得到ax² + bx = -c。

2.将方程两边除以a，得到x²+(b/a)x=-c/a。

现在，我们需要找到一个数k，使得这个数的平方与(b/a)x的乘积的两倍相等。

那么，我们可以将方程重新写为：x²+(b/a)x+(b/2a)²=(-c/a)+(b/2a)²。

我们可以将等式的右边合并，得到：x²+(b/a)x+(b/2a)²=(-c/a)+(b/2a)²然后，我们将等式的左边重新整理成完全平方的形式，得到(x+b/2a)²=(-c/a)+(b/2a)²。

最后，我们可以将方程两边开根号，得到解为：x+b/2a=±√((-c/a)+(b/2a)²)。

我们可以继续化简这个方程，得到两个解：x=-b/2a±√(b²/4a²-c/a)这个解也被称为二次方程的根。

总结：。

巧用完全平方公式解题例析

完全平方公式的综合应用

完全平方公式经典例题

8.3《平方差公式与完全平方公式》典型例题精析

初中数学 完全平方公式的五种常见应用举例

巧用完全平方公式解题例析

完全平方公式知识点例题变式

完全平方公式的复杂问题解析

完全平方公式的变形及其应用

利用完全平方公式分解因式案例分析

完全平方公式的综合举例

完全平方公式的实际问题解析

完全平方公式的应用

完全平方公式的五种常见应用举例

完全平方公式案例分析

平方差和完全平方公式应用举例

利用完全平方求最值的例题

利用完全平方求最值的例题

完全平方公式范文

初中数学完全平方公式的五种常见应用举例