巧用完全平方公式解题例析

巧用完全平方公式解题例析

完全平方公式“(a±b)2＝a2±2ab+b2”是整式运算中非常重要的一个公式，灵活运用完全平方公式的一些变形和技巧，可以使运算化繁为简，化难为易。为帮助大家及早掌握完全平方公式的有关用法，现结合实例对完全平方公式的应用技巧作如下分类小结.

一、对号入座，直接应用

例1．计算：()2

22

+。

x y

32

简析：上式括号内是两个单项式（2

3x与2

2y）的和，括号外是这两个单项式和的完全平方，因此可将2

3x与2

2y分别看作a、b而直接套用完全平方公式进行计算。

解：原式=()2

222222224224

+=+⋅⋅+=++。

32(3)232(2)9124

x y x x y y x x y y

二、适当变换，间接应用

1、符号变换

例2．计算：2

--。

(2)

x y

简析：上式括号内的两项均带负号，计算时可先逆用乘法分配律，将负号变换到括号外，待处理好符号后再应用完全平方公式进行计算。

解：原式=[]222222

-+=+=+⋅⋅+=++。

x y x y x x y y x xy y

(2)(2)(2)2244

2、系数变换

例3．计算：(32)(96)

m n m n

--。

简析：因上式后一个括号内的两项9m与-6n含有公因数3，（逆用乘法分配律）将3作为公因式提取后，可得(32)

-，与前一个括号相同，所以本题可先

m n

变换第二个括号内的系数，然后再套用完全平方公式进行计算。

解：原式=22222

m n m n m n m mn n m mn n

--=-=-+=-+。

3(32)(32)3(32)3(9124)273612

3、指数变换

例4．计算：22

-+

()()

m n m n

简析：上式若按运算顺序先用完全平方公式展开再相乘，则较麻烦，但若逆

用积的乘方，将上式变换成()()2

m n m n -+⎡⎤⎣⎦，则可先用平方差公式，后用完全平方公式，这样计算就简便多了。

解：原式=()()22224224()2m n m n m n m m n n -+=-=-+⎡⎤⎣⎦。 4、分组变换

例5．计算：()()32513251x y z x y z +-+-+--。

简析：上式前后两个括号中2y 与5z -完全相同，而3x 和1的符号分别相反，故可适当分组，先用平方差公式，然后再用完全平方公式进行计算。

解：

原式=()()()()()()22

22225312531253149252061y z x y z x y z x y x z yz x -++--+=--+=-+---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦。 。