高等数学：第十二章函数无穷级数(高等教育出版社)

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Calculus第Ⅱ册教学设计

Calculus第Ⅱ册教学设计一、教学目标本课程旨在让学生掌握以下内容： - 了解无限级数和纯数列的概念 - 掌握级数的判敛方法 - 学会比较判别法，极限比较法和积分比较法 - 掌握收敛性的一些基本性质 - 学会对常见函数进行幂级数展开二、教学内容本课程将分为以下几个部分：1. 第十二章无限级数和纯数列•无限级数和级数的收敛性•纯数列及其极限•无穷级数的加法、乘法和绝对收敛2. 第十三章级数的判敛方法•柯西收敛准则•比较判别法•极限比较法•积分比较法•对数级数和p级数的探讨3. 第十四章收敛性的性质和应用•收敛级数的性质•正项级数的判敛法•绝对收敛级数的判敛法•反常级数及其收敛性•常数项级数和交错级数的探讨4. 第十五章幂级数•幂级数及其收敛区间•幂级数的求和及其应用•常见函数的幂级数展开•泰勒公式及其应用三、教学方法本课程采用以下教学方法： - 讲授基本概念和理论 - 通过习题演示和解析加深学生的理解 - 展示和讲解具体的例题 - 组织学生参与课堂互动 - 培养学生的独立思考能力和解决问题的能力四、教学重点和难点•第十二章和第十三章的基本理论和方法，如极限比较法和柯西收敛准则的掌握•第十五章的幂级数及其应用五、教学评估•日常考核：每周布置习题，通过小测验进行检验•期中考试：针对本学期课程进行考核•期末考试：对整个学期的课程进行考核，包括分析和计算题六、教学参考书•《高等数学》（第七版），同济大学数学系编著，高等教育出版社•《微积分学教程》（第二版），汤家凤、马国明编著，高等教育出版社以上为本课程的教学设计。

希望通过这门课程，学生们能够深入理解学习微积分的重要性，并在此基础上开展更多有意义的研究，为社会做出更多有益的贡献。

高等数学无穷级数

一、问题的提出
1. 计算圆的面积
R
正六边形的面积
a1
正十二边形的面积
a1 a2
正 3 形的2面n积
a1 a2 an
即 A a1 a2 an
2.
1 3
3 10
3 100
3 1000
3 10n
二、级数的概念
1. 级数的定义:
一般项
un u1 u2 u3 un
n1
(常数项)无穷级数
无穷级数
从18世纪以来，无穷级数就被认为是微积分的一个不可缺少的部分，是高等数学的重要内容，同时也是有力的数学工具，在表示函数、研究函数性质等方面有巨大作用，在自然科学和工程技术领域有着广泛的应用
本章主要内容包括常数项级数和两类重要的函数项级数——幂级数和三角级数，主要围绕三个问题展开讨论：①级数的收敛性判定问题，②把已知函数表示成级数问题，③级数求和问题。
根据级数收敛的必要条件，
1
开式的成立范围——即连续区间，也即只要去
3; 4
但在一般项趋于 0 的级数中为什么有的收敛有的却发散，
F由ouf(rxie) r单级调数减少知第一次分叉：
开式的成立范围——即连续区间，也即只要去
上满足Dirichlet 条件
②根据公式计算Fourier系数
4 Fourier系数，利用函数的奇偶性可简化Fourier系数计算，
例 1 讨论等比级数(几何级数)
aq n a aq aq2 aqn (a 0)
n0
的收敛性.
解如果q 1时
sn a aq aq2 aqn1
a aq n a aqn ,
1 q
1q 1q
当q 1时,
lim qn 0

课程标准

《高等数学》课程标准《高等数学》课程是本科非数学类各理科专业的重要专业基础课，在大学教育及高素质人才的培养过程中占有十分重要的地位。

随着时代的发展、科学的进步、经济的腾飞，数学科学已与自然科学、社会科学并列为三大基础科学，数学地位的巨大变化必将影响到高等数学课程在整个高等教育中的地位与作用。

同时，《高等数学》课程还担负着培养学生严谨的思维、求实的作风、创新的意识等任务。

因此，《高等数学》不仅要向学生传授数学知识，更要注重培养学生的数学修养。

但是，不同学科和专业对高等数学知识的需求不同，同时，为了满足我校学生将来考研的需要，根据专业需求的特点和考研《数学一》至《数学三》的要求，将《高等数学》课程划分为如下三个层次。

《高等数学I》（第一层次）一、课程说明：《高等数学I》由微积分、线性代数和概率论与数理统计三部分构成，本课程是物理教育专业和计算机等专业的一门必修的基础课程，也可供将来考研时需要考《数学一》的其它专业同学选修。

课程总学时为276学时，分四个学期行课，其中，第一学期78学时，4学分，第二学期90学时，5学分，第三学期54个学时，3学分，第四学期54个学时，3学分，共15学分。

1．参考专业：物理教育和计算机等专业。

2．课程类别：专业基础课3．参考教材与参考书目教材：1 《高等数学》第六版，同济大学高等数学教研室编，高等教育出版社，2007年。

2 居余马等编著，线性代数（第2版），北京，清华大学出版社，2002年9月第2版3 盛骤等，概率论与数理统计（第二版），北京：高等教育出版社，1989。

参考书目：1 四川大学数学系高等数学教研室编，高等数学（第一、二、三、四册），北京，高等教育出版社，1997。

2 同济大学应用数学系编，线性代数（第4版）北京，高等教育出版社，2003年7月。

3 高世泽，概率统计引论，重庆：重庆大学出版社，2000年。

4．课程教学方法与手段以教师讲授为主，学生自学为辅的教学方式进行教学，课堂上的教学以启发式的方式进行讲授，学生作适当的课内练习。

高等数学第十二章级数

12)1()(x f 0x x =)(00x f a =!)(0)(k x f a k k =ππππ11()cos d (0,1,2,),()sin d (1,2,)ππn n a f x nx x n b f x nx x n --====⎰⎰． 34求收敛半径定理，幂级数展开定理，1 为了叙述方便，称前者为有限加而无穷个数相加只是我们不可能用有限加法的方法来完成另外，有限加法中的结合律和交换律在我们在研究无限累加时，是以有限加法(部一般情况下，这个和的数值不易求得，教科书1 ，B ．）级数的求和问题． +-+-=1111x0)11()11(=+-+-= x 1)11()11(1=-----= x x x -=+-+--=1)1111(1 ，于是12x =．柯西指出：以上解法犯∑∞=--11)1(n n2 ∑∞=1n nu0lim ≠∞→n n u ∑∞=1n nup2 1π3sin4n nn ∞=∑ π303sin π44nnn ⎛⎫<< ⎪⎝⎭13π4nn ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑1π3sin4n nn ∞=∑ 11π3sin341π43sin 4n n n n ++=< 1π3sin4n n n ∞=∑ 3 ∑∞=1n nu0lim ≠∞→n n u 0lim =∞→n n u∑∞=1n nu∑∞=1n nu∑∞=1n nu∑∞=1n nu∑∞=1n nu0lim ≠∞→n n u3 ∑∞=---+-11)11()1(n n n n1111211)11()1(1+>-++=--+=--+--n n n n n n n n∑∑∞=∞==+01111n n nn ∑∞=---+-11)11()1(n n n n0112limlim =-++=∞→∞→n n u n n n0)2)(11()1(2)12(2)2()11(1>++--+--++-+=-+---+=-+n n n n n n n n n n n n u u n n4 ∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--21111n n n∑∑∑∞=∞=∞==-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--22112121111n n k k n n n 11k k ∞=∑∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--21111n n n 4 0n n n a x ∞=∑nn n a a 1lim+∞→R ),(R R -R x ±=nn n a a 1lim +∞→0x x -5 ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛151n nx n111155nnnn n x x n n ∞∞==⎛⎫= ⎪⋅⎝⎭∑∑ 11511lim lim lim lim1(1)55(1)551n n n n n n n na n na n n n ++→∞→∞→∞→∞⋅====+⋅⋅+⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭5=R )5,5(-5=x ∑∞=11n n 5-=n ∑∞=-1)1(n n n)5,5[-6 2111(1)(21)!n n n x n -∞+=--∑2221(21)!1limlim lim 0(21)!2(21)n n n n nu n x x x u n n n +→∞→∞→∞-===⋅+++∞=R ),(+∞-∞7 11(1)(1)nn n x n∞-=--∑ 1-=x t ∑∞=--11)1(n nn nt 1111lim 1lim lim1=+=+=∞→∞→+∞→nn n a a n n n n n1=R )1,1(-1-=t ∑∑∞=∞=--=--1111)1()1(n n n n n n 1=t ∑∞=--111)1(n n n ∑∞=--11)1(n nn nt ]1,1(-]2,0( 5 )(x f )(x f 0lim ()0n n R x →∞=)(x f)1()2()3()4()5( 8 2()12xf x x x=+-x ⎪⎭⎫⎝⎛+--=+-=x x x x x x f 2111131)21)(1()(+++++=-n x x x x2111)11(<<-x+-++-+-=+n n x x x x x )2(842121132⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-2121x∑∞=-+=)2)1(1()(n n n nx x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-2121xn n 9 x x f ln )(=2-x2()ln[2(2)]ln 2ln 12x f x x -⎛⎫=+-=++⎪⎝⎭22-=x t )1ln(221ln t x +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-++-+-=-nn t nt t t t 1432)1(432t <-1(1) 2312322(2)(2)(1)(2)ln 12222322n nnx x x x x n -------⎛⎫+=-++++ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭ x <0(≤)4+⋅--++-+---+=-n nn n x x x x x 2)2()1(2)2(312)2(21222ln ln 13322x <0(≤)4 10 ∑∞=+++12)2)(1(n n n n x1)3)(2()2)(1(lim=++++=∞→n n n n R n 1±=x ]1,1[-．∑∞=+++=12)2)(1()(n n n n x x S∑∞=++='111)(n n n x x S ∑∞==''1)(n nx x S∑∞=-=11n n x x x xxx S -=''1)()11(<<-x ⎰⎰---=-=''='-'x xx x x xxx x S S x S 00)1ln(d 1d )()0()()11(<<-x 0)0(='S )1ln()(x x x S ---=')11(<<-x⎰⎰---='=-x xx x x x x S S x S 0d )]1ln([d )()0()(⎰--+---=x x xx x x x 02d 1)1ln(2 )1ln()1(22x x x x --+-= )11(<<-x 0)0(='S)1ln()1(2)(2x x x x x S --+-= )11(<<-x11 ∑∞=+02!12n nx n n 0)1)(12(32lim !12)!1(32lim 2232=+++=+++∞→+∞→x n n n x n n xn n n n n n),(+∞-∞∑∞=+=2!12)(n nx n n x S2212200021()d d e !!!n nx x n x n n n n x x S x x x x x x n n n +∞∞∞===+====∑∑∑⎰⎰()2220()()d (e )e (12)x x x S x S x x x x ''===+⎰222021()e (12)!n x n n S x x x n ∞=+==+∑),(+∞-∞∈x )1(10)1)(2(2+++n n x n )2(11nx n n 2!12+1)3(106 )(x f )(x f )(x f )(x f )(x f [π,π]-n a n b ∑∞=++1)sin cos (2n n n nx b nx a a )(x f )(x f [π,π]-n a n b)(x f x )(x f )(x f )(x f 2)()()(-++=x f x f x f∑∞=++=1)sin cos (2)(n n n nx b nx a a x f )(x f12 +-+-=!6!4!21cos 642x x x x 13246357cos isin 1i 2!4!6!3!5!7!θθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫+=-+-++-+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23456i i 1i 2!3!4!5!6!θθθθθθ=+--++--，2i 1=-3i i =-4i 1=5i i =23456i (i )(i )(i )(i )(i )cos isin 1i e 2!3!4!5!6!θθθθθθθθθ+=+++++++=i cos isin e θθθ+=14 10年，每年向球300?假设存储30003000B p B 元． r t nntn r p B ⎪⎭⎫⎝⎛+=1ntn r B p ⎪⎭⎫⎝⎛+=1， re rt B p =e ertrt B p B -==．10300万元，第一次付款是在签约当%5113=(百万元)， 2205.013+=33205.13=10905.13=1029131 1.05333324.3211.05 1.05 1.051 1.05⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=++++=≈-， 2432300?%5 13= 20.053e-=)，30.0523(e )-=)，0.050.0520.05333e 3(e )3(e )---=++++，0.05ex -=0.05361.51e -=≈-(百万元)．（ √ ） )(x f )(x f 能展开成0x x -的幂级)(x f（ ⨯ ） )(x f )(x f 时，)(x f,0lim =∞→n n u ∑∞=1n nu收敛；（ ⨯ ）0lim =∞→n n u 正项级数∑∞=1n n u 0lim =∞→n n u ∑∞=11n n 01lim =∞→n n ∑∞=11n n(),11∑∞=-n n na ,0lim =∞→n n a ∑∞=-1)1(n n n a ⨯),2,1(1=≥+n u u n n∑∞=1n na0lim =∞→n n a 1lim1<+∞→n nn a a1lim1n n na a +→∞≤ 1lim 1>=+∞→λn n n a a1lim 1<=+∞→nn n a a q∑∞=+1)4(n n nx a2-=x 2=x4+=x t ∑∞=1n nn ta 2-=x 2=t ∑∞=1n nn ta 2-2(,2)∪(2,)-∞-+∞2=x 6=t ∑∞=+1)4(n n nx a∑∞=1n nn x1<x 1≤x11<≤-x 11≤<-x 11lim lim1=+=∞→+∞→n na a n nn n 1)1,1(-1=x ∑∞=11n n 1-=x ∑∞=-1)1(n n n )1,1[-∑∑∑∞=∞=∞=111,,n nn nn ncb a n n nc b a <<),2,1( =n∑∞=1n nb∑∞=1n na∑∞=1n nb∑∞=1n nc∑∞=1n na∑∞=1n nc∑∞=1n nb∑∞=1n na∑∞=1n nc∑∞=1n nb∑∞=1n na∑∞=1n nc∑∞=1n nb)(x f ∑∞=-100)()(!)(n n n x x n x f)(x f 0)(!)(lim 00)(=-∞→n n n x x n x f ∑∞=-100)()(!)(n n n x x n x f)(x f 0)(!)(lim00)(=-∞→n n n x x n x fe x = 212!!n x x x x n +++++∈R ；=x sin 35211(1)3!5!(21)!n n x x x x x n ---+-+-+∈-R ；=x cos 2421(1)2!4!(2)!nnx x x x n -+-+-+∈R ；=+)1ln(x ]1,1()1(32132-∈+-+-+-+x nx x x x nn ；mx )1(+=)1,1(!)1()1(!2)1(12-∈++--++-++x x n n m m m x m m mx n；∑∞=1n nnx aR ，则∑∞=12n n n x a 的收敛半径为R ；∑∞=1n nnx aR ，则∑∞=1n n n x a 的收敛区间为),(R R -．21nn n a x∞=∑R x <<20⇒R x R <<-，所以，∑∞=12n n n x a 的收敛R)(x f 2π[π,π]-的表达式为{1,π0,()1,0π,x x f x x x --≤<=+≤<则)(x f πx = 1π+ ．ππlim ()lim(1)1πx x f x x --→→=+=+， ππlim ()lim(12π)1πx x f x x ++→→=-+=+， πlim ()1π(π)(2ππ)(π)x f x f f f →=+=-=-= ，)(x f πx =)(x f πx =处收敛于(π)f =1π+ ．∑∞=+1)1(n nxn n 的收敛域与和函数；∑∞=+1)1(n nxn n =∑∞=-+11)1(n n nxn x=∑∞=++0)1)(2(n nxn n x，)(x s ∑∞=++0)1)(2(n nxn n 1-11)(x u 0()d x s x x ⎰00(2)(1)d x nn n n x x ∞=++∑⎰∑∞=++01)2(n n x n()d x u x x ⎰100(2)d x n n n x x ∞+=+∑⎰∑∞=+02n n xxx -12)(x u )1(2'-x x 22)1()1(2x x x x -+-22)1(2x x x -- )(x s ])(['x u ])1(2[22'--x x x 3)1(2x -∑∞=+1)1(n n x n n )(x xs 3)1(2x x- )1,1(-∈x ∑∞=-11n n nx∑∞=+1212n nn x)(x s ∑∞=-11n n nx()d x s x x ⎰101d x n n nx x ∞-=∑⎰∑∞=1n n x xx-1 )(x s )1('-xx2)1(1x -∑∞=-11n n nx 2)1(1x - )1,1(-∈x∑∞=+1212n n n x ∑∞=++112121n n n x x)(x u ∑∞=++11212n n n x='])([x u )12(112'+∑∞=+n n n x ∑∞=12n nx 221x x - )(x u 0()d x u x x '⎰220d 1xx x x -⎰201d 1x x x -⎰0d x x ⎰x x x --+11ln 21∑∞=+1212n n n x ∑∞=++112121n n n x x 111ln 21--+x xx xx f 1)(=3-x x x f 1)(=3)3(1+-x 331131-+⋅xx+11)1,1()1(12-∈+-+-+-x x x x nnx x f 1)(=331131-+⋅x 31]33)1()33(331[2 +⎪⎭⎫⎝⎛--+--+--nn x x x ∑∞=+--01)3(3)1(n nn n x )1,1(33-∈-x )6,0(∈xx sin π6x +x sin ππsin[()]66x +-3π1πsin()cos()2626x x +-+ )6sin(π+x 35211πππ()()()π666()(1)63!5!(21)!n n x x x x x n --++++-+-+-+∈-R ，πcos()6x +242πππ()()()6661(1)2!4!(2)!nnx x x x n +++-+-+-+∈R ，x sin 3π1πsin()cos()2626x x +-+ 234πππ()()()13π131666()22622!23!24!x x x x +++-+++⋅--⋅+22111ππ()()1366(1)(1)2(2)!2(21)!n n n n x x x n n ---+++-⋅+-⋅+∈-R ．{0,()π,f x x =-π0,0π,x x -≤<≤<将)(x f 在[π,π]-上展成傅里叶级数，傅叶级数在0=x0a ππ1()d πf x x -⎰π01(π)d πx x -⎰2π011(π)π2x x -π2n a ππ1()cos d πf x nx x -⎰π01(π)cos d πx nx x -⎰π1(π)d(sin )πx nx n -⎰π01(π)sin πx nx n -π01sin d πnx x n ⎰π021cos πnx n -20,21,2,2,πn k n k n =-⎧⎪⎨=⎪⎩ n b ππ1()sin d πf x nx x -⎰π01(π)sin d πx nx x -⎰π01(π)d(cos )πx nx n --⎰π01(π)cos πx nx n -π01cos d πnx x n ⎰0cos 1n n1 )(x f)(x f π421211[cos(21)sin(21)sin 2](21)π212k k x k x kx k k k ∞=-+-+--∑ )(lim 0x f x +→0lim(π)x x +→-π)(lim 0x f x -→ 0=x π2∑∞=-211n n n11-n n 1)1(1--n n 23)1(1-n∑∞=-223)1(1n n ∑∞=1231n n312p =>p ∑∞=-211n n n11πtan 2n n n ∞+=∑nn n a aq 1lim +∞→=21π(1)tan2limπtan 2n n n n n +→∞++⋅⋅21π(1)2limπ2n n n n n +→∞++⋅⋅n n n 21lim +∞→2111πtan2n n n ∞+=∑∑∞=+-111)1(n nnn n u ∞→lim 11lim+∞→n n1+n u 21+n 11+n n u∑∞=+-111)1(n nn1000 n B ∞→n%)51(10001+⨯=a n %)51(%)51(10001+++⨯=-n n a a1221223323211211000(15%)(15%),(15%)1000(15%)(15%),(15%)1000(15%)(15%),(15%)1000(15%)(15%),n n n n n n n n n a a a a a a a a --------=⨯+++⎧⎪+=⨯+++⎪+=⨯+++⎨⎪⎪+=⨯+++⎩n a 1112%)51(]%)51(%)51(%)51[(1000--++++++++⨯n n an n %)51(1000%)51(1]%)51(1%)[51(10001+⨯++-+-+⨯- ]1%)51(-+nn n a ∞→lim ∞，n B ]1%)51(-+n元，当∞→n。

高等数学-无穷级数ppt

级数分类
根据级数项的性质，无穷级数可分为正项级数、交错级数和任意项级数。
收敛与发散性质பைடு நூலகம்
收敛性质
如果无穷级数的部分和数列有极限，则称该无穷级数收敛，此时极限值称为级数的和。
发散性质
如果无穷级数的部分和数列没有极限，或者极限为无穷大，则称该无穷级数发散。
绝对收敛与条件收敛
绝对收敛
如果无穷级数的每一项的绝对值所构成的级数收敛，则称原级数为绝对收敛。
在量子力学中，波函数通常表示为无穷级数形式，用于描述微观粒子的状态和行为。
电磁学中的场强计算
通过无穷级数的展开，可以计算电磁场中各点的场强分布，进而分析电磁现象。
在工程学中的应用，如信号处理、控制系统设计等
信号处理中的滤波
在信号处理领域，利用无穷级数设计的滤波器可以对信号进行平滑处理、降噪等操作。
要点二
洛朗级数展开
将函数f(z)在圆环域D内展开成双边幂级数形式，即f(z) = ... + a-2/z^2 + a-1/z + a0 + a1z + a2z^2 + ...，其中an是洛朗系数，可通过计算f(z)在D内的各阶导数求得。
泰勒级数与洛朗级数的比较
适用范围不同
泰勒级数适用于在一点处展开的情况，而洛朗级数适用于在圆环域内展开的情况。
控制系统设计中的稳定性分析
在控制系统设计中，通过无穷级数的稳定性分析方法，可以判断控制系统的稳定性并进行相应的优化设计。
THANK YOU
感谢聆听
幂级数展开
幂级数是指形如$sum_{n=0}^{infty} a_n x^n$的级数，其中$a_n$为常数。幂级数在收敛域内可以逐项求导和逐项积分，具有连续性和可微性。

高等数学同济第七版第十二章课后习题答案

…I I
半径为 I,收敛区间为（-1 J）.
（4）lim %" = lim —= 0 ,故收敛半在为+8，收敛区间是（-8 , ♦ 8 ）. …14 | …2 （门♦ I）
第十二童无穷级数
221
由此可知.对任意给定的正数£ .取正整数 A m 岫十,当〃 >投时,对一切正整数 p, 都有 S--
力 < £ ,按柯西收敛原理.该级数收敛•
(4)本题与(2)类同.因 4 =丁\ + (
故对 3/1 ♦ 1 \3n +2 3n + 3) 3〃 ♦ I An
% = + .不论/!取什么正整数.取 p = 〃时.就有 1〃.,・h1 =%八+U..2 ।…+
219
解(D 此级数为公比 g =-5 的等比级数.因|°| < 1 ,故该级数收敛.
(2)此级数的部分和
即该级数发散.
lim sA = + oc , 冬■一
(3)此级数的一股项% =*，有要条忖％ = lim(y), = 1 ,不满足级数收敛的必
件，故该级数发散. (4)此级数为公比 4 二方的等比级数，因|q| > 1 ,故该级数发散. (5)此级数的一般项% =3.二注意到与£ 上分别是公比”;
•
・a
散,故各项乘;志的级数 Ej 也发放,由比较审敛法知原级数 s 二二■? 发散.
1 解法二因=1,而 y 1 发故.故由极限形式的比较审敛法知原 … I 2 1n
级数发散 (2) u = Lt： >二而 f L 发散.由比较审敛法知原级数・
1 > n2 n n2 n Sf”
222
一• 《高等数学》(第七版)下册习咫全解

高等数学下册第十二章无穷级数

边形, 设 a0 表示
这个和逼近于圆的面积 A . 即
DMU
第一节常数项级数
定义给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , 将各项依
次相加, 简记为 un , 即
n1
称为无穷级数，其中第 n 项 un 叫做级数的一般项,
级数的前 n 项和
称为级数的部分和. 收敛 , 并称 S 为级数的和.
xx0
f
(x)
A
xnk
x0
(xnk
x0 )
(k )
f (xnk ) A
例如 lim n2 ((1 1)2n e2 )
n
n
(1 lim
x0
1
)
2 x
x
x2
e2
2 ln(1 1 )
ex x
lim
x0
x2
e2
e (e 2
2 ln(1 1 )2 xx
1)
lim
x0
x2
DMU
第一节常数项级数
5)两边夹法则
n1
莱布尼茨定理：如果交错级数（-1）n-1un满足条件：
n1
（1）un un1(n 1, 2,3, );
（2）lim n
un
0,
则级数收敛，且其和s u1 ,
其余项rn的绝对值 rn un1.
DMU
第三节一般常数项级数的收敛判别法
用莱布尼茨判别法判别下列级数的敛散性:
1) 1 1 1 1 (1)n1 1 n1 1
有和函数
它的发散域是 ( , 1 ] 及 [1，）, 或写作 x 1.
又如, 级数
所以级数的收敛域仅为
DMU
级数发散 ;

高等数学(复旦大学版)第十二章无穷级数

第十二章无穷级数无穷级数是数与函数的一种重要表达形式，也是微积分理论研究与实际应用中极其有力的工具. 无穷级数在表达函数、研究函数的性质、计算函数值以及求解微分方程等方面都有着重要的应用. 研究级数及其和，可以说是研究数列及其极限的另一种形式，但无论在研究极限的存在性还是在计算这种极限的时候，这种形式都显示出很大的优越性. 本章先讨论数项级数，介绍无穷级数的一些基本内容，然后讨论函数项级数，并着重讨论如何将函数展开成幂级数与三角级数的问题.第一节常数项级数的概念和性质教学目的：1、理解无穷级数的概念；2、理解级数的收敛或发散的概念；3、掌握等比级数和p 级数等特殊级数的敛散性；4、了解无穷级数的基本性质。

教学重点：级数收敛或发散的判定教学难点：级数收敛或发散的判定教学内容：一、常数项级数的概念定义1 给定数列{}n u ，则称12n u u u ++++L L为常数项无穷级数，简称级数，记做1n n u ¥=å，即121n n n u u u u ¥==++++åL L式子中每一项都是常数，称作常数项级数，第n 项称为级数的一般项（或通项）。

级数1n n u ¥=å的前n 项和称为级数的部分和，记做n s ，即12n n s u u u =+++L级数的所有前n 项部分和n s 构成一个数列{}n s ，称此数列为级数1n n u ¥=å的部分和数列。

定义2 若级数1n n u ¥=å的部分和数列{}n s 收敛于s ，则称级数1n n u ¥=å收敛，或称1nn u ¥=å为收敛级数，称s 为这个级数的和，记作121n n n s u u u u ¥==++++=åL L而12n n n n r s s u u ++=-=++L称为级数的余项，显然有lim lim()0n n nnr s s =-=若{}n s 是发散数列，则称级数1n n u ¥=å发散，此时这个级数没有和。

高等数学系列教材目录表

高等数学系列教材目录表第一章：极限与连续1.1 极限的概念1.2 极限的运算法则1.3 无穷小与无穷大1.4 一元函数的连续性第二章：函数的导数与微分2.1 导数的定义2.2 导数的基本运算法则2.3 高阶导数与高阶微分2.4 隐函数与参数方程求导第三章：一元函数的微分学应用3.1 最值与最值存在条件3.2 凹凸性与拐点3.3 曲线的渐近线3.4 微分中值定理与Taylor公式第四章：不定积分4.1 不定积分的概念4.2 基本积分表与换元法4.3 分部积分与定积分的计算4.4 函数积分的性质第五章：定积分5.1 定积分的概念5.2 定积分的计算方法5.3 反常积分5.4 定积分的应用第六章：微分方程6.1 常微分方程的基本概念6.2 可分离变量与齐次方程6.3 一阶线性微分方程6.4 高阶线性微分方程第七章：多元函数微分学7.1 多元函数的极限与连续7.2 多元函数的偏导数7.3 隐函数与参数方程的偏导数7.4 多元函数的全微分第八章：重积分8.1 二重积分的概念与计算8.2 极坐标系下的二重积分8.3 三重积分的概念与计算8.4 数值积分与重积分的应用第九章：曲线曲面积分9.1 第一类曲线积分9.2 第二类曲线积分9.3 曲面积分的概念与计算9.4 应用实例解析第十章：无穷级数10.1 数项级数的概念与性质10.2 收敛级数的判定10.3 幂级数与函数展开10.4 泰勒级数与麦克劳林级数第十一章：常微分方程11.1 一阶常微分方程11.2 高阶常微分方程11.3 实际问题建模与解答11.4 系统常微分方程第十二章：向量代数与解析几何12.1 向量空间与基底12.2 向量的内积与外积12.3 线性方程组与矩阵12.4 空间曲线与曲面第十三章：多元函数微分学的应用13.1 梯度与方向导数13.2 多元函数的极值与最值条件13.3 二次型与正定性13.4 特征值与特征向量第十四章：多元积分学14.1 二重积分的计算技巧14.2 三重积分的计算技巧14.3 坐标变换与积分的几何应用14.4 曲线曲面积分的计算方法第十五章：无穷级数的应用15.1 幂级数的收敛域与函数展开15.2 Fourier级数与函数展开15.3 数学物理方程的解析解15.4 波动方程与热传导方程第十六章：曲线积分与曲面积分的应用16.1 曲线积分的物理应用16.2 曲面积分的物理应用16.3 物理场的散度与旋度16.4 应用实例解析与计算第十七章：多元函数的傅里叶级数17.1 多元函数的Fourier级数展开17.2 空间中的Fourier级数与Fourier变换17.3 矢量值函数的Fourier级数展开17.4 傅里叶级数的物理应用第十八章：向量场与格林公式18.1 向量场的数学描述18.2 向量场的积分与路径无关性18.3 格林公式的证明与应用18.4 微分形式与斯托克斯公式这是一份高等数学系列教材的目录表，涵盖了极限与连续、函数的导数与微分、微分方程、重积分、曲线曲面积分、无穷级数、向量代数与解析几何、多元函数微分学的应用等主要内容。

《高等数学》第12章无穷级数12_6一致收敛

维尔斯特拉斯(Weierstrass) 判别法
若函数项级数 un (x) 在区间 I 上满足:
n1
1) un (x) an (n 1, 2,);
2) 正项级数 an 收敛 ,
n1
则函数项级数 un (x) 在区间 I 上一致收敛 .
n1
简介目录上页下页返回结束
证: 由条件2), 根据柯西审敛原理, 0, N , 当
1 2
,
因此级数在
[0,
1]
上不
一致收敛 .
机动目录上页下页返回结束
Sn (x) xn S(x) 0,
1,
0 x 1 x 1
说明: 对任意正数 r < 1,
级数在 [ 0, r ] 上一致收敛 .
y
(1,1)
n 1
n2
n4
n 10
n 30
o
S(x) 1 x
事实上, 因为在 [ 0, r ] 上 rn (x) r n , 任给 > 0, 欲使
(0 x )
因此, 任给
> 0, 取自然数
N
1
1
,
则当n > N 时有
rn (x) (0 x )
这说明级数在
[0,
+∞)
上一致收敛于
S(x)
x
1
. 1
机动目录上页下页返回结束
例2. 证明级数 x (x2 x) (x3 x2 ) (xn xn1)
在 [0,1] 上不一致收敛 .
un (x) 一致收敛于和函数S(x)
n1
部分和序列 Sn (x) 一致收敛于S(x)
余项 rn (x) 一致收敛于 0

教案《新编高等数学》(理工类)(第八版) (4)[8页]

)
(x
x0
)
f
(x0 ) 2!
(x
x0 )2
f
n ( x0 n!
)
(
x
x0
)n
Rn (x)
其中 Rn (x)
f (n1) (ξ ) (n 1)!
(x
x0 )n1
(
ξ
在
0
与
x
之间),为拉格朗日余项。
在泰勒公式中,当 x0 0 则有麦克劳林公式
f (x)
f (0)
f (0) x 1!
f (0) x 2!
数 f (x) 在该区间内能展开成幂级数.
一、泰勒级数
1. 泰勒(Taylor)公式与麦克劳林 (Machaurin)公式
定理(泰勒定理)如果函数 f (x) 在 x0 的某邻域内有 n 1阶导数，则对此邻域内任意点 x ,
有 f (x) 的 n 阶泰勒公式
f (x)
f (x0 )
f
( x0 1!
n
取极限得，
lim
n
Sn1
(
x)
f
(x) ，即
f (x)
f (x0 )
f
(x0 ) (x 1!
x0 )
f
(x0 ) (x 2!
x0 )2
f
(n) (x0 ) n!
(x
x0 )n
反之，若上式成立，则必有
lim
n
Rn
(
x)
0.
另外，还需要注意，为使上式成立，f (x) 在 x x0
的某邻域内必须有任意阶导数.
f x
n1
f
n (x0 n!
)

考研高数讲解新高等数学下册辅导讲解第十二章

第十二章无穷级数【本章网络构造图】第一节常数项级数概念与性质一、常数项级数收敛与发散给定一个数列将各项依次相加, 简记为，即，称该式为无穷级数，其中第项叫做级数一般项,级数前项与称为级数局部与。

假设存在，那么称无穷级数收敛，并称为级数与,记作；假设不存在，那么称无穷级数发散。

当级数收敛时, 称差值为级数余项。

显然。

【例1】〔93三〕级数与为 .【答案】结论：等比〔几何〕级数：收敛当时发散当时二、收敛级数与假设收敛，那么其与定义为。

三、无穷级数根本性质学习笔记：〔1〕假设级数收敛于，即，那么各项乘以常数所得级数也收敛，其与为。

注：级数各项乘以非零常数后其敛散性不变（2）设有两个收敛级数，，那么级数也收敛, 其与为。

注：该性质说明收敛级数可逐项相加或相减相关结论：〔1〕假设两级数中一个收敛一个发散,那么必发散。

〔2〕假设二级数都发散，不一定发散。

【例】取，，而。

〔3〕在级数前面加上或去掉有限项，不会影响级数敛散性。

〔4〕收敛级数加括弧后所成级数仍收敛于原级数与。

推论：假设加括弧后级数发散，那么原级数必发散。

注：收敛级数去括弧后所成级数不一定收敛。

【例】，但发散。

【例2】判断级数敛散性：【解析与答案】学习笔记：不存在故原级数发散四、级数收敛必要条件必要条件：假设收敛，那么。

逆否命题：假设级数一般项不趋于0，那么级数必发散。

【例】，其一般项为，当时，不趋于0，因此这个级数发散。

注：并非级数收敛充分条件【例】调与级数，虽然，但是此级数发散。

事实上，假设调与级数收敛于，那么，但，矛盾！所以假设不真。

【例3】判断以下级数敛散性，假设收敛求其与：〔1〕〔2〕【答案】〔1〕发散；〔2〕发散五、两个重要级数：几何级数与p级数敛散性学习笔记：〔1〕几何级数：，当时收敛；当时发散.〔2〕级数(或对数级数)：，当时收敛，当时发散。

【重点小结】1、常数项级数收敛与发散定义2、常数项级数敛散性质3、常数项级数收敛必要条件4、常用两个常数项级数第二节常数项级数审敛法一、正项级数及其审敛法正项级数：假设，那么称为正项级数。

《高等数学》教学大纲

《高等数学》教学大纲Advanced Mathematics英文名称：Higher mathematics 课程类型：必修、基础理论课学时：160 学分：8使用对象:理工科类各专业先修课程:数学课程的教学目的与任务高等数学课程是理工科本科各专业学生的一门必修的重要基础理论课。

通过本课程的学习，要求学生掌握微积分学；向量代数和空间解析几何；级数；和常微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能。

为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。

在本课程的各个教学环节中，一方面要讲授高等数学知识，另一方面要逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有比较熟练的运算和综合运用所学知识去提出问题、分析问题和解决问题的能力。

课程的基本要求本课程的内容按教学要求的不同，分为两个层次。

重点内容部分要求学生深入理解、牢固掌握、熟练运用。

其它内容也时教学中必不可少的，只是在要求上低一些，对相应的概念和原理只作为一般的理解和了解。

具体在课堂教学过程中会做些相应的说明。

教学内容、方法及教学安排第一章：函数与极限建议学时：16[教学目的与要求]1.理解函数的概念，理解分段函数、参数式方程确定的函数，熟练地使用函数记号。

2. 了解函数的单调性、周期性、奇偶性和有界性。

3.了解反函数、复合函数的概念。

4.掌握基本初等函数的图形。

5.能将简单实际问题中的函数关系表达出来。

6.了解极限的e—N、e—δ的定义。

理解极限思想。

7.了解极限的基本性质，理解函数左、右极限概念。

8.掌握极限四则运算法则。

9.理解极限存在的两个准则，掌握利用两个重要极限求极限。

11.了解无穷小，无穷大的概念，理解无穷小的性质以及它与极限的关系，掌握利用无穷小性质求某些极限，掌握无穷小的比较。

12.理解函数在一点连续与间断的概念，掌握间断点的分类及判定。

13.了解初等函数的连续性，连续函数的四则运算，复合函数及反函数的连续性。

无穷级数高等数学下册国家级课程教案

无穷级数——高等数学下册国家级精品课程教案第一章：无穷级数的概念与性质1.1 无穷级数的定义1.2 无穷级数的收敛性与发散性1.3 无穷级数的分类1.4 无穷级数的运算性质第二章：幂级数2.1 幂级数的定义与收敛半径2.2 幂级数的运算2.3 幂级数在函数逼近中的应用第三章：泰勒级数与泰勒公式3.1 泰勒级数的定义3.2 泰勒公式的推导与意义3.3 泰勒级数在函数逼近中的应用第四章：傅里叶级数4.1 傅里叶级数的定义与收敛性4.2 傅里叶级数的运算4.3 傅里叶级数在信号处理中的应用第五章：斯特林级数与级数的热传导问题5.1 斯特林级数的概念与性质5.2 级数的热传导问题及其求解方法5.3 斯特林级数在概率论与数学物理中的运用第六章：级数的一致收敛性与绝对收敛性6.1 一致收敛性与绝对收敛性的定义6.2 级数的一致收敛性与绝对收敛性的判定方法6.3 级数的一致收敛性与绝对收敛性的性质与应用第七章：交错级数7.1 交错级数的定义与性质7.2 交错级数的收敛性判定7.3 交错级数在数学分析中的应用第八章：多重级数8.1 多重级数的定义与性质8.2 多重级数的收敛性判定8.3 多重级数在数学分析中的应用第九章：级数逼近与数值计算9.1 级数逼近的基本概念与方法9.2 数值计算中常用的级数逼近方法9.3 级数逼近在科学计算中的应用第十章：特殊级数10.1 常用特殊级数的概念与性质10.2 特殊级数的求和方法10.3 特殊级数在数学分析中的应用第十一章：级数展开与积分11.1 级数展开的基本方法11.2 常用积分公式与级数展开11.3 级数展开在微分方程求解中的应用第十二章：级数解微分方程12.1 级数解的一阶微分方程12.2 级数解的二阶线性微分方程12.3 级数解微分方程在物理学和工程学中的应用第十三章：级数在常微分方程中的应用13.1 级数方法在常微分方程定性分析中的应用13.2 级数方法在常微分方程数值解中的应用13.3 级数方法在常微分方程几何解释中的应用第十四章：级数在偏微分方程中的应用14.1 级数方法在偏微分方程求解中的应用14.2 级数方法在偏微分方程数值解中的应用14.3 级数方法在偏微分方程稳定性分析中的应用第十五章：级数方法在其他数学领域的应用15.1 级数方法在概率论与数理统计中的应用15.2 级数方法在数值分析中的应用15.3 级数方法在其他数学分支学科中的应用重点和难点解析重点：1. 无穷级数的基本概念、性质及其分类；2. 幂级数、泰勒级数、傅里叶级数和斯特林级数的基本概念、性质与应用；3. 级数的一致收敛性与绝对收敛性的判定方法及其性质；4. 交错级数、多重级数的收敛性判定及其在数学分析中的应用；5. 级数逼近与数值计算的基本方法及其在科学计算中的应用；6. 特殊级数的概念、性质与求解方法；7. 级数展开与积分在微分方程求解中的应用；8. 级数解微分方程、常微分方程定性分析、数值解及几何解释中的应用；9. 级数方法在偏微分方程求解、数值解及稳定性分析中的应用；10. 级数方法在概率论与数理统计、数值分析及其他数学分支学科中的应用。

高数(同济第六版)下册无穷级数要点

∞
若 lim S n = S ，称数列收敛， S 为级数的和，即：
n →∞
∑u
N =1
n
=S；
若 lim S n 不存在，称级数发散。
n →∞
�
性质：
（1）若级数 � �
∑u ,∑v
n n
n
都收敛，则
∑ (u
± vn ) 也收敛，且 ∑ (un ± vn ) = ∑ un ± ∑ vn
也收敛，且
∑ cu
n =0
幂级数收敛定理——阿贝尔定理
∞
如果幂级数
∑a x
n n =0
n
当 x = x0 ( x0 ≠ 0) 时收敛，则对满足不等式 x < x0 的一切 x ，幂级
数都收敛，并且是绝对收敛；
∞
如果幂级数数都发散。
∑a x
n n =0
n
当 x = x0 ( x0 ≠ 0) 时发散，则对满足不等式 x > x0 的一切 x ，幂级
∑ u ( x) = u ( x) + u ( x ) + ⋯ + u ( x ) + ⋯ 为函数项级数。
n
1 2
∞
n
n =1
∞
�
函数项的收敛点： ∀x0 ∈ I ，
∑ u ( x ) 收敛，称 x 为函数项级数的收敛点；
n
0 0
n =1
∞
函数项的发散点： ∀x0 ∈ I ， � � 收敛域：收敛点的全体。
n →∞
p
∑u
n =1
n
收敛。
∞
�
比值审敛法：设
∑u
n =1
n
是正项级数，则 lim

高等数学电子教案：第12章无穷级数

,,n u 则式子1n u u ++叫做无穷级数,记前n 项和为12n u u u =+++，当，即lim n n SS →∞=则称无穷级数收敛，其极限值S 称为级数的和，并记为n u ++；若n S 没有极限，就称无穷级数发散。

．无穷级数的基本性质n u 收敛于S ，则每一项乘以一个不为零的常数设有两个收敛级数：12n Su u u =++++，1n v v σ=+++()n n u v +±+收敛于和S σ±。

在级数的前面部分去掉或加上有限项，不影响级数的敛散性，但是其级数和会发生相应变化。

收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和S 。

常数项级数收敛的必要条件：若级数1nn u∞=∑收敛，则当n 趋于无穷大时，它的一般项n u 必趋近|n p u ++<nn n n n a x a x ∞=++=∑这种级数称为幂级数，其中a n (n=0,1,2,…)均为常数。

时，它就变为一个常数项级数。

(x 0≠0)时收敛，则适合不等式|x|<|x 111n n n n n na xna x ∞--=++=∑求导后的幂级数与原级数有相同的收敛半径。

s(x)在敛区内可以积分，并且有逐项积分公式：00)1xnn n n n a x dx a x dx n ∞∞====+∑∑⎰()(!n f x n +，称为拉格朗日余项。

阶泰勒公式中的余项趋于零。

此时函数展开式称为()(0)!n n f x n ++）的麦克劳林级数是x 的幂级数，那么这种展开是唯一的，=0的某一临域内收敛，它不一定收敛于）的麦克劳林级数虽然能做出来，但这个级数能否在某个区）都需要进一步验证 1,!nx x n ++-∞<<+∞1211(1),(21)!n n x x n --+-+-∞<<+∞-的展开式2(1)(1)(1),2!!nm m m m m n x x n ---+++++）的展开式：,11n x x +++-<<一般情况下函数展开成幂级数采用间接展开法，即利用简单的函数的展开式、幂级数在收敛域内可逐项求导及可逐项求积分的性质以及变量代换等对复杂函数进行展开。

高等数学教材的目录部分

高等数学教材的目录部分高等数学教材目录：第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质1.2 极限的定义1.2.1 数列极限1.2.2 函数极限1.3 极限的运算法则1.4 连续和间断第二章：导数与微分2.1 导数的概念与性质2.2 基本导数公式2.3 高阶导数2.4 隐函数与参数方程的导数2.5 微分的定义与性质2.6 导数的应用第三章：不定积分与定积分3.1 不定积分的概念与性质3.2 基本积分公式与常用积分法3.3 定积分的概念与性质3.4 定积分的计算方法3.5 牛顿-莱布尼茨公式与定积分的应用第四章：微分方程4.1 微分方程的概念与基本术语4.2 一阶常微分方程4.3 二阶常微分方程4.4 高阶线性微分方程4.5 变量可分离的微分方程4.6 微分方程的应用第五章：无穷级数5.1 数列极限与无穷级数的概念5.2 级数的敛散性5.3 正项级数的审敛法5.4 幂级数的收敛域与常见函数展开第六章：多元函数与偏导数6.1 多元函数的概念与性质6.2 偏导数的定义与计算6.3 高阶偏导数与混合偏导数6.4 隐函数的偏导数6.5 多元函数的极值与条件极值第七章：重积分与曲线积分7.1 重积分的概念与性质7.2 二重积分的计算方法7.3 三重积分的计算方法7.4 曲线积分的概念与计算方法7.5 曲面积分的概念与计算方法7.6 广义积分的概念与收敛性第八章：多元函数的积分学8.1 多元函数的概念与性质回顾8.2 参数方程下的曲线积分8.3 曲面积分的参数化与计算8.4 向量场与格林公式8.5 散度与无源场8.6 旋度与无旋场8.7 斯托克斯公式与高斯公式第九章：常微分方程的数值解法9.1 常微分方程初值问题的数值解法概述9.2 欧拉方法与改进欧拉方法9.3 二阶龙格-库塔法9.4 多步法与预测校正法9.5 常微分方程边值问题的数值解法以上是高等数学教材的目录部分，这些章节覆盖了高等数学的核心内容，从函数与极限到常微分方程的数值解法等方面进行了全面而深入的讲述。

高等数学第12章第1节级数的收敛性

第十二章数项级数§1 级数的收敛性1．数项级数的概念在初等数学中，我们知道：任意有限个实数n u u u ,,,21 相加，其结果仍是一个实数，在本章将讨论——无限多个实数相加——级数——所可能出现的情形及特征．如+++++n 2121212132 从直观上可知，其和为1．又如， +-++-+)1(1)1(1．其和无意义；若将其改写为： +-+-+-)11()11()11( 则其和为：0；若写为： ++-++-+]1)1[(]1)1[(1 则和为：1．问题：无限多个实数相加是否存在和；如果存在，和等于什么．定义1 给定一个数列{}n u ，将它的各项依次用加号“+”连接起来的表达式+++++n u u u u 321 （1）称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中n u 称为级数（1）的通项．级数（1）简记为：∑∞=1n n u，或 ∑n u ．2．级数的收敛性记 n n k k n u u u u S +++==∑= 211称之为级数∑∞=1n n u的第n 个部分和，简称部分和．定义2 若数项级数∑∞=1n n u的部分和数列{}n S 收敛于S （即S S n n =∞→lim ），则称数项级数∑∞=1n n u收敛，称S 为数项级数∑∞=1n n u 的和，记作=S ∑∞=1n n u= +++++n u u u u 321．若部分和数列{}n S 发散，则称数项级数∑∞=1n n u 发散．例1试讨论等比级数（几何级数）∑∞=--+++++=1121n n n aq aq aq a aq，)0(≠a的收敛性．解：见P2．例2 讨论级数++++⋅+⋅+⋅)1(1431321211n n 的收敛性．解：见P2． 3．收敛级数的性质由于级数∑∞=1n n u的敛散性是由它的部分和数列{}n S 来确定的，因而也可以认为数项级数∑∞=1n n u 是数列{}n S 的另一表现形式．反之，对于任意的数列{}n a ，总可视其为数项级数∑∞=1n n u+-++-+-+=-)()()(123121n n a a a a a a a的部分和数列，此时数列{}n a 与级数 +-++-+-+-)()()(123121n n a a a a a a a 有相同的敛散性，因此，有定理1（级数收敛的Cauchy 准则）级数（1）收敛的充要条件是：任给正数ε，总存在正整数N ，使得当Nm >以及对任意的正整数p ，都有ε<++++++p m m m u u u 21．注：级数（1）发散的充要条件是：存在某个00>ε，对任何正整数N ，总存在正整数00),(p N m >，有0210000ε≥++++++p m m m u u u ．推论（必要条件）若级数（1）收敛，则0lim =∞→n n u ．注：此条件只是必要的，并非充分的，如下面的例3．例3 讨论调和级数+++++n 131211 的敛散性．解：显然，有 01limlim ==∞→∞→n u n n n ，但当令 m p =时，有 m m m m u u u u 2321+++++++ mm m m 21312111+++++++=2121212121=++++≥m m m m ．因此，取210=ε，对任何正整数N ，只要N m >和m p =就有 0210000ε≥++++++p m m m u u u ，故调和级数发散．例4 应用级数收敛的柯西准则证明级数 ∑21n 收敛．证明：由于p m m m u u u ++++++ 21=222)(1)2(1)1(1p m m m ++++++ ))(11)2)(1(1)1(1p m p m m m m m +-+++++++< mp m m 111<+-=．故对0>∀ε，取]1[ε=N ，使当N m >及对任何正整数p ，都有 pm m m u u u ++++++ 21ε<<m 1．故级数 ∑21n 收敛．定理2 若级数∑∞=1n n u与∑∞=1n n v 都有收敛，则对任意常数d c ,，级数)(1n n n dv cu +∑∞=也收敛，且 )(1n n n dv cu+∑∞=∑∑∞=∞=+=11n n n n v d u c ．即对于收敛级数来说，交换律和结合律成立．定理3 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性．（即级数的敛散性与级数的有限个项无关，但其和是要改变的）．若级数∑∞=1n n u收敛，设其和为S ，则级数 ++++21n n u u 也收敛，且其和为n n S S R -=．并称为级数∑∞=1n n u 的第n 个余项（简称余项），它代表用n S 代替S 时所产生的误差．定理4 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和．注意：从级数加括号后的收敛，不能推断加括号前的级数也收敛（即去括号法则不成立）．如： +-++-+-)11()11()11( ++++=000收敛，而级数+-+-1111是发散的．作业：P5 1， 2， 5。

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g
t 2知
t

2s g
设 tk 表示第 k 次小球落地的时间, 则小球运动的时间为
T t1 2t2 2t3

2 g

1

2

1 2
(
1 2)2

(此式计算用到后面的例1)
2 1 2 2 1 2.63 ( s )
g
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ln n 1 n
(ln 2 ln1) (ln3 ln 2) ln(n 1) ln n
ln(n 1) ( n ）
所以级数 (1) 发散 ;
技巧:
利用 “拆项” 求和
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(2)
Sn

1 1 2

1 23

1 34
性质1. 若级数

收敛于 S , 即 S un , 则各项
n1
乘以常数 c 所得级数
也收敛 , 其和为 c S .
说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .
性质2. 设有两个收敛级数

S un,
vn
n1
n1

则级数 (un vn )也收敛, 其和为 S .
lim
n
un

0
并非级数收敛的充分条件.
例如, 调和级数
虽然
但此级数发散 .
事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则
但
S2n Sn
1 1 1 1
n1 n 2 n3
2n
n 2n
1 2
矛盾! 所以假设不真 .
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例3.判断级数的敛散性: 解: 考虑加括号后的级数
n1
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说明:
(1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或相减 .

(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 ( un vn )
必发散 . (用反证法可证)
n1
但若二级数都发散 ,
不一定发散.
例如, 取 un (1)2n , vn (1)2n1,
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第十二章无穷级数
数项级数无穷级数幂级数
傅里叶级数表示函数
无穷级数是研究函数的工具研究性质数值计算
第一节
第十二章
常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念二、无穷级数的基本性质三、级数收敛的必要条件 *四、柯西审敛原理
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一、常数项级数的概念
引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.
发散 , 从而原级数发散 .
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*四、柯西审敛原理
定理.
的充要条件是: 0, N N ,
当n N 时，对任意 p N , 有
证: 设所给级数部分和数列为 Sn (n 1, 2,), 因为
所以利用数列 Sn (n 1, 2,) 的柯西审敛原理(第一章
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三、级数收敛的必要条件
设收敛级数
则必有
证: un Sn Sn1

lim
n
un

lim
n
S
n

lim
n
Sn1

S
S

0
可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .
例如,
其一般项为
不趋于0, 因此这个级数发散.
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注意:
第六节上册55页) , 即得本定理的结论.
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例4. 利用柯西审敛原理判别级数
解: 对任意 p N , 有
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都有
当 n﹥N 时, 对任意 p N ,
由柯西审敛原理可知, 级数
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因此级数发散 ;
因此
Sn

a, 0,
n 为奇数 n 为偶数
从而
不存在 , 因此级数发散.
综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ;
q 1 时, 等比级数发散 .
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例2. 判别下列级数的敛散性:
解: (1)
Sn

ln 2 1
ln 3 2
ln 4 3
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例1. 讨论等比级数 (又称几何级数)
( q 称为公比 ) 的敛散性.
解: 1) 若
则部分和
因此级数收敛
,
其和为
a 1q
;
因此级数发散 .im Sn
n

a 1q
从而
lim
n
Sn

,
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2). 若
则级数成为
性质3. 加上、去掉或改变有限项, 级数的敛散性不变。性质4. 对收敛级数任意加括弧，仍收敛于原级数的和
（由数列与其子列的关系可证）
用反证法可证
推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.
注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
例如，(11) (11) 0 , 但
发散.
依次作圆内接正内接正三角形面积, ak 表示边数增加时增加的面积, 则圆内接正
边形,设 a0 表示

这个和逼近于圆的面积 A . 即
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引例2. 小球从 1 m 高处自由落下, 每次跳起的高度减
少一半,问小球是否会在某时刻停止运动? 说明道理.
由自由落体运动方程
s

1 2

n
1 (n 1)

1

1 2

1 2

1 3

1 3

1 4

1 n

n
1
1
1 1 1 ( n ） n 1
所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .
技巧:
利用 “拆项” 求和
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二、无穷级数的基本性质
定义：给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , 将各项依

次相加, 简记为 un , 即
n1
称上式为无穷级数，其中第 n 项 un 叫做级数的一般项,
级数的前 n 项和
称为级数的部分和. 收敛 , 并称 S 为级数的和, 记作
则称无穷级数
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则称无穷级数发散 . 当级数收敛时, 称差值为级数的余项. 显然