高中数学 第一章 统计案例 1.1 回归分析 残差分析的相关概念辨析及应用素材 北师大版选修1-2

残差分析的相关概念辨析及应用

在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据．然后，可以通过残差^

^2^1,,,n e e e 来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据．这方面的分析工作称为残差分析.残差分析一般有两种方法:(1)作残差图；（2）利用相关指数R 2来刻画回归效果.

.,,2,1,^^^^n i a x b y y y e i i i i i ^

i e 称为相应于点(x i ，y i )的残差．类比

样本方差估计总体方差的思想，可以用)2)(,(2121^^

1

^2^2

n b a Q n e n n i i 作

为σ2

的估计量，其中^a 和^b 由公式x b y a ^^ ,

n

i i

n

i i i

x x

y y x x

b 1

2

1

^

)()

)((给出，Q(^

a ，

^

b )称为残差平方和.可以用^

2

衡量回归方程的预报精度．通常，^

2 越小，预报

精度越高．

例1．设变量x,y 具有线性相关关系，试验采集了5组数据，下列几个点对应数据的采集可能有错误的是( )

A 点A B.点

B C.点

C D.点E

思路与技巧 由散点图判断出，点A,B,C,D,F 呈线性分布，E 点远离这个区域，说明点E 数据有问题． 解答D

评析 可以用Excel 画散点图，样本的散点图可以形象的展示两个变量的关系，画散点图的目的是用来确定回归模型的形式，若散点图呈条状分布，则x 与y 有较好的线性相关关系，散点图除了条状分布，还有其他形状的分布．

例2．为研究重量x(单位：克)对弹簧长度y(单位：厘米)的影响，对不同重量的6根弹簧进行测量，得如下数据：

(1)画出散点图．

(2)如果散点图中的各点大致分布在一条直线的附近，求y与x之间的回归直线方程．

(3)求出残差，进行残差分析．

思路与技巧可以用Excel画散点图，由散点图发现x与y是否呈线性分布，由此判断x与y之间是否有较好的线性相关关系，若有，求出线性回归方程，再画出残差图，进行残差分析．

解答 (1)由Excel表格画散点图如图

(2)设yˆ=bx+a是线性回归直线方程，

以重量为横坐标，以残差为纵坐标画残差图如图

由残差图看出，这些样本点的残差对应点均匀地落在水平带状区域内，宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程预报精度越高．

评析回归模型中，残差变量不能被直接观测到，必须通过模型拟合后计算得到．画残差散点图的目的就是直观观测残差图，发现观测数据中可能出现的错误及所用模型是否恰当，若样本点残差较大，需确认这个点在采集过程中是否存在错误，若有，需重新采集数据，重新利用数据拟合．若采集数据没有错误，就另找原因．若残差点比较均匀地落在水平带状区域内，说明选用模型较合适，带状区域宽度越窄，模型拟合精度越高，回归方程预报精度越高．

同学们学习残差时应明确以下几点：（1）误差e受许多条件的影响，也受所选用的线性模型的影响，因此线性模型往往只是一种近似的模型.（2）作残差图有时不够精确，也难于认定拟合程度的好坏，因而多数情况下，选用计算相关指数R2来说明拟合效果.（3）可以对某组数据采用几种不同的回归方程进行分析，也可以比较几个R2的值，选择R2大的模型作为这组数据的回归模型.（4）回归方程只适用于我们所研究的样本的总体;建立的回归方程一般都有时间性;样本取值的范围会影响回归方程的适用范围,一般不能超过这个范围，否则没有实用价值;不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值，它是预报变量的可能取值的平均值。

练习:

为研究重量x(单位：克）对弹簧长度y（单位：厘米）的影响，对不同重量的6根弹簧进行测量，数据如下表：

（1)画出散点图．

(2)如果散点图中的各点大致分布在一条直线的附近，求y与x之间的回归直线方程．

(3）对x.y两个变量进行相关性检验．

（4)残差平方和是多少？

解：（1)如下图所示．

从散点图看，这是一个属于线性回归模型的问题．

由于r与1非常接近，说明y与x之间存在线性相关关系．

＝0.013179，即残差平方和是0.013179.