一阶常微分方程组
一阶常系数线性齐次微分方程组的两种解法
一阶常系数线性齐次微分方程组的两种解法
吴翠兰;乔文敏
【期刊名称】《河北地质学院学报》
【年(卷),期】1995(018)005
【摘要】一阶常系数线性齐次微分方程组ｘ（ｔ）＝Ａｘ（ｔ）…（１），其中Ａ＝（ａｉｊ）ｎ×ｎ，ｘ（ｔ）＝）ｘ１，ｘ２，…ｘｎ）＾Ｔ的求解，一般有两种解法。
第一种，归结为求矩阵Ａ的特征值和特征向量，微分方组（１）的解一的般结构完全由代数问题的解析决定。
第二种，归结为求矩阵Ａ的Ｊｏｒｄａｎ标准形，从而可以写出ｙ１，ｙ２，…ｙｎ，由ｘ＝ｐ＾－１ｙ其中ｙ＝ｙ１ｙ２…ｙｎ，Ｐｎ×ｎ为可逆阵，求出ｘ＝ｘ１ｘ２…ｘｎ即为
【总页数】5页(P422-426)
【作者】吴翠兰;乔文敏
【作者单位】不详;不详
【正文语种】中文
【中图分类】O241.6
【相关文献】
1.一阶常系数线性齐次微分方程组求解探析 [J], 罗毅
2.常系数非齐次线性微分方程组的几种常见解法 [J], 雷凤生;
3.常系数非齐次线性微分方程组的几种常见解法 [J], 雷凤生
4.n阶常系数线性齐次微分方程与一阶常系数线性齐次微分方程组求解类比法 [J],
周艳华;
5.追赶法求解一阶常系数线性非齐次微分方程组 [J], 张秋生
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一阶常微分方程
Chapter 1 First-order ordinary differential equations (ODE)一階常微分方程1.1 基本概念()x f y =或()t f y =，y 是x 或t 的函數，y 是因變數(dependent variable )，x 或t 是自變數(independent variable )◎ 微分方程(differential equations)：一方程式包含有因變數y 關於自變數x 或t的導數(derivatives)y y ′ ,&或微分(differentials)dy 。
◎ 常微分方程(ordinary differential equations, ODE)：一微分方程包含有一個或數個因變數（通常為()x y ）關於僅有一個自變數x 的導數。
Ex. 222)2(2 ,09 ,cos y x y e y y x y y x y x +=′′+′′′′=+′′=′◎ 偏微分方程(partial differential equations, PDE)：一微分方程包含至少有一個因變數關於兩個以上自變數的部分導數。
Ex. 02222=∂∂+∂∂yux u◎ 微分方程的階數：在微分方程式中所出現最高階導數的階數。
◎ 線性微分方程：在微分方程式中所出現的因變數因變數因變數或其導數僅有一次式(first degree)而無二次以上的乘積（自變數可以有二次以上的乘積）。
Ex. x y y x y cos 24=+′+′′ 因變數：y ，自變數：x ，二階線性常微分方程 x y y y y cos 24=+′+′′ 因變數：y ，自變數：x ，二階非線性常微分方程 222)2(2 y x y e y y x x +=′′+′′′′ 因變數：y ，自變數：x ，三階非線性常微分方程□ 一階常微分方程(first-order ordinary differential equations)隱式形式(implicit form) 表示 0),,(=′y y x F (4)顯式形式(explicit form) 表示 ),(y x f y =′Ex. 隱式形式ODE 0423=−′−y y x ，當0≠x 時，可表示為顯式形式234y x y =′□ 解的概念(concept of solution)在某些開放間隔區間b x a <<，一函數)(x h y =是常微分方程常微分方程0),,(=′y y x F 的解，其函數)(x h 在此區間b x a <<是明確(defined)且可微分的(differentiable)，其)(x h 的曲線（或圖形）是被稱為解答曲線(solution curve)。
一阶常微分方程组与高阶方程
y(
x0
)
y0 ,
y(x0 )
y0
（7.35）
在引入新的变量 z y后,即化为一阶方程组初值问题:
z f (x, y, z) y z, y(x0 ) y0 , z(x0 ) y0
（7.36）
式（7.36）为一个一阶方程组的初值问题，对此可
用1.1中介绍的方法来求解。例如应用四阶龙格-库
K2,
zi
h 2
L2
)
K 4 zi hL3
L4 f (xi1 , yi hK3 , zi hL3 )
（7.37） （7.38）
消去 Ki (i 1,2,3,4) ，上式简化为：
h2
yi1 yi hzi
6
(L1 L2 L3 )
z
i
1
zi
h 6
( L1
2L2
2L3
L4 )
（7.39）
例7.7 求解下列二阶微分方程的初值问题
y y x y(0) 0, y(0) 1
0 x 1
取步长h=0.1
解:先作变换：令 z y ，代入上式，得一阶方程组
z z x
y
z,
y(0)
0,
z(0)
1
用四阶龙格-库塔方法求解,按式(7.37)及(7.38)
进行计算：
取步长h 0.1 ,x0 0 ,y0 0 ,z0 1 i0 时
yi
1
yi
h 6
(K1
2K2
2K3
K4)
zi
1
zi
h 6
(L1
2L2
2L3
L4
)
（7.33）
式中
K1 f (xi , yi , zi ) L1 g (xi , yi , zi )
一阶线性常微分方程组
一阶线性常微分方程组
一阶线性常微分方程组:
1.什么是一阶线性常微分方程组？
一阶线性常微分方程组是一组由若干一阶常微分方程组成的系统，这些方程采用同一组参数，其解可以由另一组函数作为其近似解。
2.一阶线性常微分方程组的性质
(1)一阶线性常微分方程组的性质是指当函数f(x)为一阶常数时，方程本身满足常数性。
(2)一阶线性常微分方程的的形式可以用dy/dx=bg(x)来表示，其中b 为常数，g(x)为函数。
(3)一阶线性常微分方程组的解是非线性的，因为它的解可以使用另一组函数替代d积分，以更快的速度解决问题。
3.一阶线性常微分方程组的应用
(1)一阶线性常微分方程组可用于解决复杂的物理、生物、经济和工程问题。
(2)一阶线性常微分方程组可以用于预测模型的动态变化。
(3)一阶线性常微分方程组可以用来描述复杂的流体力学系统的运动学。
(4)一阶线性常微分方程组可以用来分析复杂的社会系统变化。
(5)一阶线性常微分方程组可以被应用到生态学系统中，以研究物种及其数量在时间变化上的变化。
(6)一阶线性常微分方程组可以用于测量复杂系统中多种不同参数相互作用的结果，以更好的理解非线性的数据。
(7)一阶线性常微分方程组可以用于估计序列数据的运动趋势及其变化规律。
一阶常微分方程-高阶常微分方程-方程组-差分方程-偏微分方程模型
计可以通过
dN / dt r sN , s r
N
进行线性拟合。其中
Nm
dN / dt N / t
。而
模型的检验也可以通过这两个参数的估计
量与一个实际的人口数量之间进行比较加
以检验。
（5） 阻滞增长模型不仅能够大体上描述人 口及许多物种的变化规律，而且在社会经
济领域中有广泛的应用，如耐用消费品的 销售量也可以用此模型来描述。
新技术推广模型
一项新技术如何在有关企业中推广,是 人们最为关心的问题,也就是说,一旦一家企 业采用了一项新技术,那么行业中的其他企 业将以怎样的速度采用该技术？哪些因素 将影响到技术的推广？下面我们在适当的 条件下讨论此问题。
记p(t)为t 时刻采用该技术的企业数。并
设 p(t)连续可微。假设未采用该技术者之所 以决定采用该技术，是因为其已知有的企 业采用了该技术并具有成效。即是以“眼 见为实”作为决策依据的,亦即“示范效应” 在起作用。
增长率递增的现象），但是随着人口数的 增加，人口的年增长率将呈现逐年递减的 现象。再考虑到环境适应程度的制约，想 象人口的增长不可能超过某个度。
（2）对于其中常数增长率r 的估计可以使用 拟合或者参数估计的方法得到。
（3）在实际情况下，可以使用离散的近似 表达式 N (t) N0 (1 r)t 作为人口的预测表 达式。
在式 (1) 中，设
A A0ert ( A0 , r 0)
即自发支出有一个常数增长率r ，则式 (2) 的
解为
Y (t)
(
A0
r)
e t
Y0
(
A0
r)
e
t
由此可见：
(1)当
r
一阶微分方程的常见类型及解法
一阶微分方程的解法多样，包括分离变量法、常数变易法、 积分因子法等，灵活运用这些方法可以求解各种类型的一 阶微分方程。
02 一阶线性微分方程
一阶线性微分方程的标准形式
一阶线性微分方程的一般形式为：$y' + p(x)y = q(x)$，其中$p(x)$和 $q(x)$是已知函数，且$p(x)$在所考虑的区间上连续。
应用领域
物理学、化学、工程学等领域中的实际问题，如放射性衰变、化学反应速率、电路分析等。
04 一阶常系数线性微分方程 组
一阶常系数线性微分方程组的标准形式
一阶常系数线性微分方程组的一般形式为
$y' + p(x)y = q(x)$，其中$p(x)$和$q(x)$是已知函数，且$p(x)$和$q(x)$的系数是常数。
03
积分因子法：通过构造一个积分因子，将原方程转化为全微分方程，从而简化 求解过程。具体步骤包括：根据方程形式构造积分因子，将原方程两边同乘以 积分因子，得到全微分方程，求解全微分方程得到原方程的通解。
举例与应用
举例
求解一阶常系数线性微分方程组 $y' + 2y = x$。首先写出对应的齐次方程 $y' + 2y = 0$，求出齐次方程的 通解 $y = C_1e^{-2x}$。然后用常数变易法求出非齐次方程的特解 $y = frac{1}{2}x - frac{1}{4}$。最后将
通解和特解相加得到原方程的通解 $y = C_1e^{-2x} + frac{1}{2}x - frac{1}{4}$。
应用
一阶常系数线性微分方程组在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。例如，在电 路分析中，一阶常系数线性微分方程组可以用来描述电路中电压和电流的关系；在经济 学中，一阶常系数线性微分方程组可以用来描述商品价格与供求关系之间的动态变化。
一阶常微分方程的数值求解
作业 利用Euler方法和R-K方法求解一个 常微分初值问题，并比较数值结 果，计算数值解和解析解的误差。
在 [ xk , xk 1 ] 内多取几个点，将它们的导数加权平均代 替 f ( x, y( x)) ，设法构造出精度更高的计算公式。
常用的是经典的 四阶R-K方法
y0 y( x0 ), xk 1 xk h yk 1 yk h (L1 2 L2 2 L3 L4 )/6
若 f 在 D {a x b,| y | } 内连续，且满足 Lip 条件：
dy f ( x , y) , y( x0 ) y0 , x [a, b] dx
L 0, s.t.| f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) || y1 y2 | , 则上述问题的连续可
Matlab函数数值求解
[T,Y] = solver(odefun,tspan,y0)
其中 y0 为初值条件，tspan为求解区间；Matlab在数值求解 时自动对求解区间进行分割，T (向量) 中返回的是分割点的 值(自变量)，Y (向量) 中返回的是解函数在这些分割点上的函 数值。
solver 为Matlab的ODE求解器（可以是 ode45、ode23、
其中
L1 L2 L3 L4
f ( xk , yk ) f ( xk h / 2, yk hL1 / 2) f ( xk h / 2, yk hL2 / 2) f ( xk h, yk hL3 )
例3：利用四阶R-K方法求解例1与例2，并与Euler方法的 数值解进行比较。
y( xk 1 ) y( xk ) y( xk 1 ) y( xk ) dy O ( h) dx x h h k
一阶与二阶常系数线性微分方程及其解法
公式解法
公式法
通过求解特征方程p^2 - 4q = 0，得到通解y = C*exp(rx)，其中C和r是常数，exp(rx)是自然指数函数。
初始条件
在给定初始条件y(x0) = y0时，可以通过公式法求得特解。
初始条件与特解
初始条件的重要性
初始条件决定了微分方程的特解，对于一阶常系数线性微分方程来说，初始条件通常是指 y(x0) = y0。
一阶与二阶常系数线性微分 方程及其解法
目录
• 一阶常系数线性微分方程 • 二阶常系数线性微分方程 • 对比与联系 • 扩展与应用
01
一阶常系数线性微分方程
定义与公式
定义
一阶常系数线性微分方程是形如y' + P(x)y = Q(x)的方程，其中P(x)和Q(x) 是已知函数。
公式
一阶常系数线性微分方程的标准形式 是y' + py = q，其中p和q是常数。
初始条件与特解
初始条件
给定初始条件y(x₀) = y₀和y'(x₀) = y'₀，可以求解微分方程得到特解。
特解
满足初始条件的解称为特解。通过代入初始条件，可以得到特解的具体形式。
03
对比与联系
一阶与二阶方程的异同
一阶方程
y' = f(x)
二阶方程
y'' = f(x, y', y'')
相同点
两者都是描述函数y与自变量x之间的导数关系。
实际应用场景与案例
一阶方程应用场景
01
描述物体运动、化学反应速率等。
二阶方程应用场景
02
描述波动现象、弹簧振动等。
案例
一阶微分方程
一阶微分方程一阶微分方程是指在其中，仅有变量为一阶连续可微函数的微分方程。
也称为常微分方程。
它是最简单、最基本的微分方程，因而成为学习高等数学的入门课程。
比如在上述的微分方程，都只是一阶的。
除此之外，还有很多的其他形式的一阶微分方程。
这里我们就不列举了，但是大家要记住的是，在现实生活中，要么是考虑变量，要么是考虑时间的，这些都是一阶的。
首先，在求解一阶微分方程的过程中，要注意的是：在求解一阶微分方程的过程中，要注意到变量取值范围的影响。
在开始时，对微分方程进行化简和整理，将初始条件设为零。
这样有利于更好地掌握问题的条件和结论，使问题得以顺利地解决。
同时，化简和整理，可使计算工作减少到最低限度。
在初始条件已经给出后，一定要找到问题的特征，特别是关键的性质或概念，并加以强调和突出。
在解微分方程时，如果运用基本的微分方程，便可以求出微分方程的解。
(1)微分法和积分法的关系类似于连续介质法与隔离介质法的关系。
如果一个具体问题能用微分法或者积分法来解，则应优先考虑用微分法或者积分法，这主要是因为微分法或积分法的计算量较小，解决问题的速度较快，而且有利于建立模型。
(2)方程中各项系数的意义要清楚。
(3)在解方程组时，必须写出原方程组的系数和相应的各项。
(4)当只有一个未知数，但其他方程的系数已知时，应该把原方程的系数放在方程的左边，而把未知数的系数放在右边。
(5)在解微分方程时，若微分方程组没有通解，可按如下步骤处理：①将所求的未知函数设为y=0; ②将微分方程改写为aomega +bx+c=0;③代入①式，求出a、 b、 c，代入②式，求出a和b; ④从第⑤步开始重复步骤①～步骤④，直至方程组有解; ⑤从方程组中选出一个满足要求的方程，解出a，代入方程组，求出b; ⑥从方程组中选出一个满足要求的方程，代入方程组求出c; ⑦将选出的方程代入方程组求出a; ⑧检验各项系数，并根据“单调性”，在前三个方程中选出一个满足要求的方程，即为微分方程的解; ⑨解方程组。
一阶方程组的eluer形式
一阶方程组的欧拉方法（Euler method）是一种常用的数值解法，用于求解一阶常微分方程组。
其基本思想是将微分方程转化为差分方程，通过逐步迭代来逼近解。
对于一阶常微分方程组：
dx/dt = f(x, t)
其中，x是向量，f是关于x和t的函数，t表示自变量。
欧拉方法的迭代公式如下：
x(i+1) = x(i) + h * f(x(i), t(i))
其中，x(i)表示第i步的解向量，x(i+1)表示下一步的解向量，h表示步长，t(i)表示第i 步的时间。
具体步骤如下：
1. 初始化：给定初始条件x(0)和时间范围。
2. 设置步长h。
3. 迭代计算：从t=0开始，根据迭代公式计算x(i+1)。
4. 更新时间：更新t(i)为t(i)+h。
5. 重复步骤3和步骤4，直到达到所需的时间范围或满足停止准则。
需要注意的是，欧拉方法是一种一阶精度的数值方法，当步长选取不合适时，可能会引入较大的误差。
因此，在使用欧拉方法求解一阶方程组时，需要根据具体问题选择合适的步长并进行误差分析。
希望以上信息对你有所帮助！如果你有任何进一步的问题，请随时提问。
化工应用数学-常微分方程数值解-一阶联立方程组与高阶方程
1
取h 0.5，解1步。
2020/6/19
化工应用数学
8
dC3 dt
k3C22
初值条件：C1(0) C0 , C2 (0) C3 (0) 0
2020/6/19
化工应用数学
2
一阶常微分方程组的初值问题可描述为：
y1' f1( x, y1, y2 , , yn ) y2' f2 ( x, y1, y2 , , yn )
yn' fn ( x, y1, y2 , , yn )
显式欧拉方程
y1(0) 1 y2 (0) 1
uui01yu0 i
hf (xi , ui ) i 0,1,2,
, n 1
y1(1) y1(0) 1 y1' (0)
11
(2x2
y1
y23
)
x0
10 1
y2 (1) y2 (0) 1 y2' (0)
11
(x
y1
-
y2
)
x0
10 1
2020/6/19
y j ( x0 )
y
0 j
j 1,2, , n
一阶：微分方程组的最高阶数为1阶；
常微分：代表只有一个未知数。
2020/6/19
化工应用数学
3
假设有如下一阶常微分方程组，求 y1(1)、y2 (1)、y1(2)、y2 (2)，h 1
y1' 2x2 y1 y23
y2' x y1 y2
令 : y y1; y' y2 则: y1' y2 y2' x y1 y2
那么二阶常微分方程初值 问题转化为一阶常微分方 程组初值问题：
常系数一阶线性微分方程的解法
常系数一阶线性微分方程的解法:
常系数一阶线性微分方程的一般形式为：
$$y'+p(t)y=q(t)$$
其中，$y(t)$ 是未知函数，$p(t)$ 和$q(t)$ 是已知的函数。
解决常系数一阶线性微分方程的方法如下：
将$y$ 作为一个未知数，将方程转化为$y'=f(t)y+g(t)$ 的形式，其中$f(t)=-p(t)$，$g(t)=q(t)$。
设$y_0$ 为方程的初始条件，即$y(t_0)=y_0$。
对于$t\in(t_0,t_1)$，则有：
$$y(t)=y_0+\int_{t_0}^t f(s)y(s)+g(s)ds$$对于$t\in(t_1,t_2)$，则有：
$$y(t)=y(t_1)+\int_{t_1}^t f(s)y(s)+g(s)ds$$
以此类推，可以通过递推的方法求解常系数一阶线性微分方程。
常系数一阶线性微分方程的解法是基于递推的原理，通过不断地计算当前时刻的未知函数值$y(t)$，来求解整个时间区间内的未知函数值。
注意，在解决常系数一阶线性微分方程时，需要先确定方程的初始条件$y_0$。
此外，在计算过程中，需要注意求解的时间区间的选择，以及如何确定当前时刻的未知函数值$y(t)$。
在解决常系数一阶线性微分方程时，还可以使用其他的方法，比如求解通解、特解、高阶线性微分方程的通解等。
这些方法都是基于常系数一阶线性微分方程的基本性质，并利用数学工具（如积分、微积分、线性代数等）来求解。
一阶常微分方程公式
一阶常微分方程公式一阶常微分方程是微积分中的重要概念，它描述了一个未知函数的导数和该函数自身之间的关系。
一阶常微分方程的一般形式可以表示为dy/dx=f(x)，其中dy/dx表示函数y对变量x的导数，f(x)表示已知的函数。
解一阶常微分方程的基本方法是分离变量法。
首先将方程两边关于自变量和因变量进行分离，然后对两边同时进行积分，最后得到方程的通解。
例如，考虑一阶常微分方程dy/dx=2x，我们可以将其分离为dy=2xdx。
接下来对两边同时进行积分，得到∫dy=∫2xdx。
对于左边的积分，我们得到y的不定积分，即y=C+2x^2/2+C1，其中C和C1为常数。
对于右边的积分，我们得到2x^2/2+C2，其中C2为常数。
将两边的常数合并，得到y=x^2+C3，其中C3为常数。
因此，一阶常微分方程dy/dx=2x的通解为y=x^2+C3。
除了分离变量法，一阶常微分方程还可以通过变量替换、求积因子等方法来解决。
对于某些特殊的一阶常微分方程，还可以使用特解法或者变量分离法来求解。
在实际应用中，一阶常微分方程经常用于描述物理、生物、经济等领域的问题。
例如，牛顿第二定律描述了物体的运动，可以表示为m(dv/dt)=F(x)，其中m为物体的质量，v为物体的速度，t为时间，F(x)表示作用在物体上的力。
通过求解这个一阶常微分方程，我们可以得到物体的速度随时间的变化规律。
一阶常微分方程还有许多重要的应用，如指数衰减、放射性衰变、人口增长等。
通过对这些问题建立适当的一阶常微分方程，我们可以预测和解释许多自然现象和社会现象。
一阶常微分方程是微积分中的重要概念，通过分离变量法等方法可以求解。
一阶常微分方程在物理、生物、经济等领域有广泛的应用，可以描述和解释许多自然现象和社会现象。
对于学习微积分的人来说，掌握一阶常微分方程的解法和应用是非常重要的。
一阶常微分方程求解
一阶常微分方程求解
一阶常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODE）通
常是指给出的只有一个未知函数及其一阶导数的方程。
解决ODE是非
常重要的，因为它在数学物理、化学、地理和统计学中都有广泛的应用。
一阶常微分方程是一种简单且具有普遍性的数学方程，尤其是用
来分析物理系统中的动力变化。
一阶常微分方程有很多种求解方法，其中最基本的是积分的方法。
该方法的基本原理是将一维的方程分解为多个更小的一阶方程，从而
通过不断地积分，最终获得方程的解析解。
此外，使用积分定义积分
常数，并结合积分函数，可以使用复分除法来解一阶常微分方程。
当
复数函数足够简单时，可以使用牛顿定理来证明一阶常微分方程的解。
通过使用简单检查，此方法有助于确定一阶常微分方程满足哪种条件，从而大大减少求解难度。
上述求解方案仍然只是无穷集合中的例子，还有其他求解方法。
在许多情况下，可以使用迭代法、拉格朗日法、可积性法或行列式法
等数学手段来求解一阶常微分方程。
我们还可以使用解析函数作为潜
在的解决方案来解决一阶常微分方程，还可以使用数值解法。
一阶常微分方程求解并不轻松，但它是理解微积分和数学物理、
化学等学科中更复杂问题的基础。
即使是最简单的一阶常微分方程，
其解决方案也必须准确如实地掌握和探究，以便我们可以深入理解许
多实际问题中的复杂数学模型。
一阶线性常微分方程组常数变易公式
一阶线性常微分方程组常数变易公式
一阶线性常微分方程组常数变易公式是一种基本的微分方程组
解法。
它可以帮助我们更快速地求解一些复杂的微分方程组。
这种方法可以有效地解决一些具有复杂依赖的系统的问题，尤其对于模型中的变量较多的情况。
一阶线性常微分方程组常数变易解法(简称CME)的基本思想是，把所有的系数项的常量值抽离出来，各自转化为独立的变量，这样就可以便捷地根据相关的约束条件改变这些变量而得到不同结果。
而CME的公式能够有效地求解多元变量的系统。
在CME中，我们可以把原有的多项式拆分成N个系数项，然后把N个系数项的常量值分别抽取出来，形成N个可变变量，最终获得一个可求解的方程组，并且可用约束条件将可变变量限定在有效范围内。
CME的优点很明显，它使得模型中的复杂性处理变的非常容易。
在模型参数化的情况下，可以快速地对非线性系统进行梯度调整，从而获得更好的结果，而不用担心参数过度调整会导致模型失控。
同时，CME也可以帮助消除不可控因素，从而让模型可以更加稳定地运行。
此外，CME的另一个优点就是可以为实际的现实环境提供更加清晰的模型，从而可以对现实环境中存在的问题进行更加深入的分析和探索，从而为其解决提供更加有力的依据。
总的来说，一阶线性常微分方程组常数变易公式是一种非常有效的解决复杂系统问题的工具，它不仅可以提高模型调整的效率，而且可以让更加准确地从实际环境中挖掘出有价值的信息，从而帮助更好
地解决实际问题。
因此，一阶线性常微分方程组常数变易公式的应用越来越广泛，在多种科学研究和管理的实践中，它都能够起到显著的作用。
§4.5 一阶常系数线性微分方程组解法举例
2x
+ 2(c1e
x
+ c2e
2x
) c3e
2x
= ( 4c2 c3 )e 2 x + c1e x .
dx dt = y + z dy 的通解。 例 3．求微分方程组 = z + x 的通解 。 ． dt dz = x + y dt
d ( x y) 由第一个方程和第二个方程得： 解 ： 由第一个方程和第二个方程得 ： = ( x y ) ， dt
则称方程组（ ） 齐次的， 若 gi ( x )= 0 ( i =1, 2, L, n) ，则称方程组（1）为齐次的， 否则称为非齐次的 非齐次的。 否则称为非齐次的。
则称方程组（ ） 若 aij ( x ) ( i , j =1, 2, L n)为常数 ，则称方程组（1）为 一阶常系数线性微分方程组。 一阶常系数线性微分方程组。
x y = C1e ，
同理得 x z = C 2 e t ，
dx = 2 x (C 1 + C 2 ) e t , 由上面两式得 dt
t
解得 x = e 2 t [ ∫ (C 1 + C 2 ) e t e 2 t dt + C 3 ]
1 = e [ (C1 + C 2 )e 3t + C 3 ], 3
2t
即 x = C 3e
y = C 3e
2t
2t
1 + (C 2 2 C 1 )e t ， 3
1 + (C 1 + C 2 ) e t ， 3
1 + (C 1 2 C 2 )e t 。 3
z = C 3e
2t
作
业
习 题 七 （P249） P249）
第5讲(一阶方程组及高阶方程初值问题)
即有
预估： y i 1 yi h f ( xi , yi , zi )
z i 1 zi hg( xi , yi , zi )
y f ( x , y, z ), y( x0 ) y 0 z g( x , y, z ), z( x0 ) z 0
校正： yi 1 yi
基本思想： 把单个方程 y f ( x , y ) 中的 f 和 y 看作向量, 这样就可把前面介绍的各种差分算法推广到求一阶 方程组的初值问题中来。
0 y1 y1 f1 . . , f . , y0 . . 将问题记作向量形式，令： y . . . . y f y0 m m m
y1 y2 , y1 ( x0 ) y0 , 2 y f ( x , y1 , y 2 ), y 2 ( x0 ) y0 y
这是一个一阶方程组的初值问题，可应用四阶 龙格-库塔方法
h yi 1 yi ( k1 2k 2 2k 3 k4 ) 6
yi , z i 为节点上的近似解.
则有改进的Euler公式为
yi 1- predict ( x ) yi h f ( xi , yi ))
h yi 1 _ correct yi f ( xi , yi ) f ( xi 1 , yi 1 _ predict ) 2
y2 , y1 (0) 0.4, y1 2x y y 2 y 2 y e sin x , y2 (0) 0.6 2 1 2
用四阶龙格-库塔方法求解, 取步长 h = 0.1. 本题真解为 y 0.2e2 x (sinx 2 cos x). 源程序
以「合并法」解一阶常微分方程式
∴ x4 y3 = eC1 ≡ C。
d8
10
【練習】解 (x 2 + 3y 2) dx + 2xydy = 0
---------------------------------------------------------
Hint.
mydx
+
nxdy
=
1 ----------x m-1y n-1
d
( x my
n)
Sol. 原式重組成 x 2dx + y (3ydx + 2xdy) = 0，
即
x
2dx
+
y
d ( x 3y 2 ) -----------
=
0，
x2y
同乘 x 2 成 x 4dx + d ( x 3y 2 ) = 0，
積分得
1 ----
x
5
+
x
3y
2
=
C。
5
11
【練習】解 (x 2 + 3y 2) dx + 2xydy = 0 --------------------------------------------------------《另解》
xdx
±
ydy
=
1 ----
d
(x
2
±
y
2)
2
ydx - xdy
x
------y--2-----
=
d
(----) y
Байду номын сангаас
xdy - ydx
y
------x--2-----
=