现代设计方法(关于有限元)作业
《现代设计方法》有限元实验报告
《现代设计方法》有限元实验报告班级：XX机设（X）班姓名：XXX 学号：XXXXXXXXXX 实验地点：A1楼机房实验时间：XXXX.XX.XX 教师：XXX实验题目:中心开孔悬臂梁有限元分析1、实验目的：（1）了解有限元分析阶段（建立有限元模型，完成单元网格划分，采集处理分析结果）（2）掌握如何运用有限元分析解决实际问题2、问题描述：某一悬臂梁长800宽200厚20在其几何中心处开有直径D=100通孔，试有有限元法求解其位移，应力。
3、实验步骤：（1）建立有限元模型①打开我的电脑C盘→el文件夹→BIN文件夹→ELCUT.exe运行程序②选择File→选择New→命名236.pbm③选择Edit→选择默认平面应力问题→236.pbm④按键盘上的Esc键→选择Edit→选择Geometry→选择Model→选择Add Vertex→回车→用键盘上Tab键切换设X=200，Y=500，继续设点（200，500），（400，500），（900，500），（1000，500）（600，450），（600，350），（200，300），（1000，300），⑤按键盘上的Esc键→选择Add Edge→选择Arc angle→填0→建立悬臂梁的四条边平面图⑥按键盘上的Esc键→选择Add Edge→选择Arc angle→填180→建立悬臂梁中心的开孔平面图（2）完成单元网格划分①选择Edit→选择Mesh→选择Set Spacing→用定在界面上的光标选定所建模型的最左端左上角端点（轴两端弯矩大）→设置Spacing=30→同样用定在界面上的光标选定所建模型的最左端左下角端点（轴两端弯矩大）→设置Spacing=30→光标选定圆的最上点和最下点（孔周边应力大）→设置Spacing=25→光标选定所建模型的最右端右上角端点（轴两端弯矩大）→设置Spacing=40→光标选定所建模型的最右端右下角端点（轴两端弯矩大）→设置Spacing=50（受弯矩和应力）②按键盘上的Esc键→选择Build All→显示网格的划分③按键盘上的Esc键→选择Remove Mesh→光标选定悬臂梁中心的开孔（删掉多余的网格划分）④按键盘上的Esc键（两次）→选择Label Blocks→回车→命名为B1→回车⑤按键盘上的Esc键→选择Label Edges→光标选定悬臂梁平面图的位于左边的那条边→命名为e1→回车⑥按键盘上的Esc键→选择Label Edges→光标选定悬臂梁平面图位于上边均布载荷的那段→命名为e1→回车⑦按键盘上的Esc键→选择Label Vertices→光标选定悬臂梁平面图右上角点→命名为V1→回车⑧按键盘上的Esc键→选择Find Label（查看命名是否齐全）⑨按键盘上的Esc键（两次）→选择Save→选择yes(3)采集处理分析结果A:①选择Edit→选择Data→选择OK→选定Label B1→设置相应参数Ex=2.06e11,Ey=2.06e11,Ez=2.06e11→回车②按键盘上的Esc键→选定Label e1→用键盘上Tab键切换，按键盘上空格键设置相关参数。
现代设计方法-有限元分析-概述
有限元分析-基本概念
现代设计方法
有限元法的基本思想
有限元分析-基本概念
现代设计方法
有限元法的基本思想
有限元分析-基本概念
现代设计方法
有限元法的基本思想
• 离散为单元网格的冲压件仍然要保证是一 个连续体，单元与单元之间没有裂缝、不 能重叠，所有单元通过单元节点相互关联 着 • 板料无论产生多大的塑性变形，单元与单 元之间依然不会产生裂缝、交叉和重叠， 关联单元的节点也不能脱开
有限元分析-基本概念
现代设计方法
3）利用节点间的刚度系数直接写出总体刚度矩阵 总体刚度矩阵对角线上的刚度系数 K ij 等于在节 (e) K 点 i 汇交的几个单元的刚度系数 ij 之和；非对角线 上的刚度系数 K ij 等于联结节点i与节点j间几个单元 的刚度系数
(e) K ij 之和。
有限元分析-基本概念
有限元分析-基本概念
现代设计方法 不合格单元
有限元法的基本思想
单元裂缝 有限元分析-基本概念
单元重叠
现代设计方法
有限元法的基本思想
根据研究对象的不同，有限元法中采用的单元 形式也不相同。 通常，按照单元结构，可将单元划分为一维单 元（线单元）、二维单元（面单元）和三维单元
一维单元
J
二维单元
L K
现代设计方法
4. 确定约束条件 由上述所形成的整体平衡方程是一组线性代数 整体平衡方程 方程，在求解之前，必修根据具体情况分析，确定 求解对象问题的边界约束条件，并对这些方程进行 求解对象问题 适当修正。
有限元分析-基本概念
现代设计方法
5. 有限元方程求解 通过求解整体平衡方程，即可求得各节点的 位移进而根据位移可计算单元的应力及应变。 6. 结果分析与讨论
现代设计方法第11章 平面问题有限元法
量、6个应变分量和3个位移分量共15个未知量，因此原则上可以解出这
15个物理量。实际求解时并不是同时求出全部未知量，而是先求出一部 分未知量（称为基本未知量），再通过基本方程求出其他未知量。根据 基本未知量的选法不同，也就产生了三种不同的解题方法──位移法、
应力法和混合法。其中位移法以三个位移分量作为基本未知量，目前有
第11章 平面问题有限元法
11.1 平面问题的基本概念
现代设计方法—— 第11章 平面问题有限元法
11.1.1 弹性力学中的物理量
1）载荷:
载荷是外界作用在弹性体上的力，又称为外力。它包括体力、面力和 集中力三种形式。
体力: 面力： 集中力：
Pv Pvx Ps Psx Pc Pcx
需要指出：这里的载荷、应力、应变和位移都是位置坐标的函数， 称为场变量
重庆大学机械工程学院
5
现代设计方法—— 第11章 平面问题有限元法
11.1.2 弹性力学基本方程
（1）平衡方程
x xy xz x y z pvx 0 xy y yz pvy 0 y z x xz yz z pvz 0 y z x
o x
微元体的应力分量
z εz γzx γzy γ yz γxz εx γxy γ yx εy y εz
3） 应变
{ε} = [εx εy εz γxy γyz γzx
]T
o x
εy
微元体的应变分量 重庆大学机械工程学院 3
现代设计方法—— 第11章 平面问题有限元法
应变定义
εy
z
z
dz dx o x
1
现代设计方法(关于有限元)作业
《现代设计方法》作业关于有限元法的研究学院：机械工程学院专业：机械制造及其自动化0.有限元法有限元法分析起源于50年代初杆系结构矩阵的分析。
随后，Clough于1960年第一次提出了“有限元法”的概念。
其基本思想是利用结构离散化的概念，将连续介质体或复杂结构体划分成许多有限大小的子区域的集合体，每一个子区域称为单元（或元素），单元的集合称为网格，实际的连续介质体（或结构体）可以看成是这些单元在它们的节点上相互连接而组成的等效集合体；通过对每个单元力学特性的分析，再将各个单元的特性矩阵组集成可以建立整体结构的力学方程式，即力学计算模型；按照所选用计算程序的要求，输入所需的数据和信息，运用计算机进行求解。
当前，有限元方法/理论已经发展的相当成熟和完善，而计算机技术的不断革新，又在很大程度上推进了有限元法分析在工程技术领域的应用。
然而，如此快速地推广和应用使得人们很容易忽视一个前提，即有限元分析软件提供的计算结果是否可靠、满足使用精度的前提，是合理地使用软件和专业的工程分析。
有限元法分析一般包括四个步骤：物理模型的简化、数学模型的程序化、计算模型的数值化和计算结果的分析。
每一个步骤在操作过程中都或多或少地引入了误差，这些误差的累积最终可能会对计算结果造成灾难性的影响，进而蒙蔽我们的认识和判断。
1.受内压空心圆筒的轴对称有限元分析例图1.1所示为一无限长的受内压的轴对称圆筒，该圆筒置于内径为120mm的刚性圆孔中，试求圆筒内径处的位移。
结构的材料参数为：200=，0.3E GPaμ=。
图1 结构图对该问题进行有限元分析的过程如下。
（1）结构的离散化与编号由于该圆筒为无限长，取出中间一段（20mm高），采用两个三角形轴对称单元，如图1.2所示。
对该系统进行离散，单元编号及结点编号如图1.3所示，有关结点和单元的信息见表1.1。
图1.2 有限元模型图1.3 节点位移编号及单元编号表1.1 单元编号及结点编号单元编号结 点 编 号 ①②1 2 3 2 3 4结构的结点位移列阵为11223344[]T r r r r u w u w u w u w δ= (1.1) 结构的结点外载列阵12[000000]T r r F F F = （1.2）1r F 和2r F 为由内压作用而等效在结点1和结点2上的载荷，其大小为1122240202//502622r r r h p F N F N ππ-⨯⨯⨯==== （1. 3） 约束的支反力矩阵123344[00T z z r z r z R R R R R R R = ] (1.4)其中1z R 和2z R 为结点1和结点2在Z 方向的约束支反力，（3r R ，3z R ）和（4r R ，4z R ）为结点3和结点4在r 方向和Z 方向的约束支反力。
现代设计 有限元分析作业
1.题目概况矩形板尺寸如下图1，板厚为5mm。
材料弹性模量为52E=⨯，泊210N/mm μ。
施加约束和载荷并讨论：松比27=.0图1 计算简图1.1基本数据序号载荷约束备注42向下集中载荷F=800N, 作用于cd边3/4处（近d） c d 点简支1.2 分析任务/分析工况讨论板上开孔、切槽等对于应力分布的影响。
（载荷约束组合不变）。
提示：各种圆孔，椭圆孔随大小、形状、数量，分布位置变化引起的应力分布变化；各种形状，大小的切槽及不同位置引起应力分布的变化等，选择二至三种情况讨论，并思考其与机械零部件的构型的相对应关系。
2.模型建立2.1 单元选择及其分析由于平板长宽分别为300x100，故可取网格单元大小为1。
如图：2.2 模型建立及网格划分模型按单元为1划分后的网格大小如图所示：2.3 载荷处理向下集中载荷F=800N, 作用于cd边3/4处（近d） c d 点简支3．计算分析3.1 位移分布及其分析（1）位移分布如图：3.2 应力分布及其分析（1）应力分布（2）位移分析分析：由上述位移图可看出，无论有无孔槽，最大位移MX所在点总是在集中力作用点处，无孔槽时最小位移MN即位移为零的点在左边的简支点c，加了孔或者槽后最小位移MN即位移为零的点在右边的简支点d。
I.大小由①-②-③组可知，随着圆孔大小由无到有r=10mm的孔，从r=10mm 到r=20mm变大，引起最大位移也在逐渐变大。
故圆孔越大引起的位移变化越大。
II.形状由②-⑥组可知，随着孔的形状由r=10mm的圆孔到边长=20mm的切槽变化时，引起最大位移也在逐渐变大。
故切槽相比于圆孔，槽引起的位移变化较大。
III.位置由②-④组可知，圆孔（r=10mm）的分布位置从中间到2/3（近d）变化，引起最大位移在逐渐变大，但位移变化不明显。
而由②-⑤组可知，圆孔（r=10mm）的分布位置从中间1/2处到1/3处和2/3处变化，引起最大位移在变小。
有限元程序设计大作业
有限元程序设计大作业1.不同板宽的孔边应力集中问题姓名：胡宇学号：21201201282.摘要本文采用MATLAB和FOTRAN四节点平面单元，利用有限元数值解法对不同板宽的孔边应力集中问题进行了数值模拟研究。
对于不同的板宽，并且与解析系数（半板宽b/孔半径r），得到了不同的应力集中系数1解进行了比较，验证了有限元解的正确性，并且得出了解析解的适用范围。
3.引言通常情况下的有限元分析过程是运用可视化分析软件(如ANSYS、ABAQUS、SAP等)进行前处理和后处理，而中间的计算部分一般采用自己编制的程序来运算。
具有较强数值计算和处理能力的Fortran语言是传统有限元计算的首选语言。
随着有限元技术的逐步成熟,它被应用在越来越复杂的问题处理中。
MATLAB是由美国MATHWORKS公司发布的主要面对科学计算、可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境。
它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方案，并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言（如C、Fortran）的编辑模式，代表了当今国际科学计算软件的先进水平。
4.MATLAB部分1，计算模型本程序采用MATLAB编程，编制平面四边形四节点等参元程序，用以求解近似平面结构问题。
本程序的研究对象为中央开有小孔的长方形板，选取的材料参数为：板厚h=1、材料强度E=1.0e11 Pa、泊松比mu=0.3。
此外，为方便网格的划分和计算，本文所取板的长度与宽度相等。
其孔半径为r=1，板宽为2b待定。
由于本程序的目的在于验证有限元解的正确性和确定解析解的适用范围，因此要求网格足够细密，以满足程序的精度要求。
同时为了减小计算量，我采取网格径向长度递增的网格划分方法。
此种方法特点是，靠近小孔部分的网格细密，在远离小孔的过程中，网格逐渐变得稀疏。
有限元分析大作业报告
有限元分析大作业报告一、引言有限元分析是工程领域中常用的数值模拟方法，通过将连续的物理问题离散为有限个子区域，然后利用数学方法求解，最终得到数值解。
有限元分析的快速发展和广泛应用，为工程领域提供了一种强大的工具。
本报告将介绍在大作业中所进行的有限元分析工作及结果。
二、有限元模型建立本次大作业的研究对象是工程结构的应力分析。
首先，通过对结构进行几何建模，确定了结构的尺寸和形状。
然后，将结构离散为有限个单元，每个单元又可以看作一个小的子区域。
接下来，为了求解结构的应力分布，需要为每个单元确定适当的单元类型和单元属性。
最后，根据结构的边界条件，建立整个有限元模型。
三、材料属性和加载条件在建立有限元模型的过程中，需要为材料和加载条件确定适当的参数。
本次大作业中，通过实验获得了结构材料的弹性模量、泊松比等参数，并将其输入到有限元模型中。
对于加载条件，我们选取了其中一种常见的加载方式，并将其施加到有限元模型中。
四、数值计算和结果分析为了求解结构的应力分布，需要进行数值计算。
在本次大作业中，我们选用了一种常见的有限元求解器进行计算。
通过输入模型的几何形状、材料属性和加载条件，求解器可以根据有限元方法进行计算，并得到结构的应力分布。
最后，我们通过对计算结果进行分析，得出了结论。
五、结果讨论和改进方法根据计算结果，我们可以对结构的应力分布进行分析和讨论。
根据分析结果，我们可以得出结论是否满足设计要求以及结构的强度情况。
同时，根据分析结果，我们还可以提出改进方法，针对结构的特点和问题进行相应的优化设计。
六、结论通过对工程结构进行有限元分析，我们得到了结构的应力分布，并根据分析结果进行了讨论和改进方法的提出。
有限元分析为工程领域提供了一种有效的数值模拟方法，可以帮助工程师进行结构设计和分析工作，提高设计效率和设计质量。
【1】XXX，XXXX。
【2】XXX，XXXX。
以上是本次大作业的有限元分析报告，总结了在建立有限元模型、确定材料属性和加载条件、数值计算和结果分析等方面的工作，并对计算结果进行讨论和改进方法的提出。
现代设计方法思考题和练习题
现代设计方法思考题和练习题一、有限元部分思考题1 有限单元法中离散的含义是什么?有限单元法是如何将具有无限自由度的连续介质问题转变成有限自由度问题?2 位移有限单元法的标准化程式是怎样的?3 什么叫做节点力和节点载荷?两者有什么不同?为什么应该保留节点力的概念?4 单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有哪些性质?单元刚度系数和整体刚度系数的物理意义是什么?两者有何区别?5 减少问题自由度的措施有哪些?各自的基本概念如何?6 构造单元函数应遵循哪些原则？7 在对三角形单元节点排序时，通常需按逆时针方向进行，为什么？8采用有限元分析弹性体应力与变形问题有哪些特点和主要问题？9 启动ANSYS一般需几个步骤?每一步完成哪些工作?10 进入ANSYS后,图形用户界面分几个功能区域?每个区域作用是什么?11 ANSYS提供多种坐标系供用户选择,主要介绍的6种坐标系的主要作用各是什么?12工作平面是真实存在的平面吗?怎么样理解工作平面的概念和作用?它和坐标系的关系是怎样的?13 如何区分有限元模型和实体模型?14网格划分的一般步骤是什么?15单元属性的定义都有什么内容?如何实现?如何实现单元属性的分配操作?16自由网格划分、映射网格划分和扫掠网格划分一般适用于什么情况的网络划分?使用过程中各需要注意什么问题?17如何实现网格的局部细化?相关高级参数如何控制?18负载是如何定义和分类?19在有限元模型上加载时,节点自由度的约束有几种?如何实现节点载荷的施加?20与有限元模型加载相比,实体模型加载有何优缺点?如何实现在点、线和面上载荷的施加?21 ANSYS提供的两种后处理器分别适合查看模型的什么计算结果?22使用POST1后处理器,如何实现变形图、等值线图的绘制?习题试用ANSYS应用程序计算下列各题：1. 如习题图2-1，框架结构由长为1米的两根梁组成，各部分受力如图表明，μ，求各节点的力及力矩，节点位移。
⨯=，0.32E11.2pa1001=习题图2-1 框架结构2. 自行车扳手由钢制成，尺寸如习题图2-2，pa 1001.2E 11⨯=，0.32=μ，扳手的厚度为3mm,受力分布如图示，左边六边形固定，求受力后的应力、应变、及变形。
现代设计方法-有限元法-3
y
*eT
e
*T c
*eT
T
m
Py P Riy
Rmx
R jy
c( xc , yc ) P x
j
R jx
i
o
Rix
x
• 边界分布载荷
将ds段上的载荷 Ptds 视为集中力，则ds段的等效节点载荷为：
dRe NT Ptds
e 上的等效节点载荷为： R 单元边界线
1 x x x3
2
vj
y
y xy y xy 2
2
j
v
uj
x2 y
y3
u
vm
( x, y )
vi
i
ui
m
对于三角形单元，3节点i, j , m按逆时针排列
um
x
位移函数
单元节点位移向量
vj
y
j
qe ui vi u j v j um vm
T
v
vm
( x, y )
uj
u
vi
i
u a1 a2 x a3 y v a4 a5 x a6 y
节点
1
2
3
节点
1
3
4
2 k 14 k2 34 1 2 k 44
1 K 2 3
1
k 1 k 1 11 12 1 1 k 21 k 22 k 1 k 1 32 31 2 k 3 22 3 k 52 k 3 32 5
3 k 25 3 k 55 3 k 35
Px P c点处作用一非节点载荷 Py
y
m
现代设计方法第4章-3弹性力学平面问题的有限单元法(4)
（11）
上式即为本题的总体线性代数方程组，但不能获得唯 一解，因为上式中的矩阵是奇异的。这种奇异性不是因数据 巧合造成的，而是有其必然性。原因在于总体方程组式（8）
只考虑了力平衡条件，而只根据力平衡不能唯一地确定系统
的位移，因为系统在有任意刚性位移的情况下仍可处于力平 衡状态。为获得各节点位移的唯一解，必须消除可能产生的 刚体位移，即必须计入位移边界条件。
3.单元方程（单元节点位移与节点力的关系）
由等截面杆变形与拉力的关系（虎克定律）得到
Ae E e (ui u j ) Pi e l e e A E (u u ) P j i j e l
（3）
式中，Pi和Pj分别为作用于单元e的节点i和节点j的节点力。
式（3）写成矩阵形式为：
0 (1) P u 1 1 A( 2 ) E ( 2 ) (1) ( 2) ( 2) u2 P2 P2 l ( 2) ( 2) ( 2) u P3 3 A E l ( 2)
k11 k12 [k ] k k 21 22
(1)
i=2; j=3
[k ]
( 2)
k22 k32
k23 k33
具体来说，单元1的扩展方程为：
A(1) E (1) l (1)
(1) P 1 1 1 0 u1 (1) 1 1 0 u 2 P2 u 0 0 0 0 3
别记为ui和uj 。设单元中坐标为x处的场变量为u(x) 。
单元的位移场为u(x) 由两个端点的位移来进行线形插值确定，
设u(x) 为：
现代设计方法-有限元法
3. 单元分析
单元分析工作主要有两项： （1）选择单元位移模式(位移函数)
在有限元法中选择节点位移作为基本未知量，单元 内的物理量就可以通过节点位移来描述。
在有限元法中，首先将单元内的位移表示成单元节点 位移的函数，称为位移函数或位移模式。
（2）分析单元的特性，建立单元刚度矩阵
进行单元力学特性分析，将作用在单元上的所有力 等效地移置为节点载荷；
变分法
是把弹性力学基本方程的定解问题变为求泛 函的极值问题；在求近似解时，又转变为求函数 的极值问题，并把问题归结为求线性代数方程组 问题。
有限元法
把一个连续体分割成有限个单元，即把一个 复杂的结构看成由有限个通过节点相连的单元组 成的整体，先进行单元分析，然后再把这些单元 组合起来代表原来的结构，以得到复杂问题的近 似数值解。这种方法称为有限元法（The Finite Element Method ）。
间的关系式，这个过程称为单元分析 3、整体分析：
把各个单元的关系在节点上集成，得到一个与有 限离散节点相关的整体方程，这个过程称为整体分析。
4、引入边界条件、求解方程： （1）位移法 （2）力法
5、后处理（由节点位移计算单元应变与应力）
有限元法的主要特点：
（1）借助于两个工具，矩阵和计算机得以实现 （2）化整为零，积零为整 （3）算法具有通用性 （4）适用处理各种材料的组合和复杂的边界形状问题
ABAQUS软件与ANSYS软件的对比分析
1．在世界范围内的知名度 两种软件同为国际知名的有限元分析软件，在世界范围内具
有各自广泛的用户群。 2．应用领域
ANSYS软件注重应用领域的拓展，覆盖流体、电磁场和多 物理场耦合等十分广泛的研究领域。ABAQUS则集中于结构力学 和相关领域研究，致力于解决该领域的深层次实际问题。 3．求解器功能
现代设计理论与方法 有限元法
5.1
3. 整体分析
概述
利用节点变形协调条件和结构力的平衡 条件各个单元按原来的结构重新连接起来， 形成整体的有限元方程。
4. 添加约束条件
上面形成的整体有限元方程，在求解时需 要已知约束以及边界条件，所以准确地添加 约束和边界条件是求解的关键之一。
5.1
5. 有限元方程求解
概述
求解各节点的位移、应力、应变等。
5.2.2
2. 虚功原理法
单元特性的推导方法
位移函数：（用多项式逼近的线性多项式）
u u( x, y ) 1 2 x 3 y v v( x, y ) 4 5 x 6 y
位移列阵：
u 1 x {d } v 0 0
单元特性的推导方法
建立刚度矩阵的方法：
直接刚度法、虚功原理法、能量变分法、 加权残数法。
5.2.2
1. 直接刚度法
单元特性的推导方法
分析对象:桁架,刚架和受剪杆板式结构.
研究的基础:杆,梁以及受剪板 一般情况，研究对象可能并不是由杆、梁板 直接组成，但是在离散化之后，可以将其分解为 这些基本单元。对于结构的分析，是以位移为基 本未知量进行的，位移包括线位移和角位移，而 这种研究的方法称为直接刚度法。 单元分析的实质是建立节点力和节点位移之 间的关系，然后得到单元刚度矩阵，以便进行计 算机分析或者计算。
5.1
概述
从单纯结构力学计算发展到求解许多物理场问题 有限元分析方法最早是从结构化矩阵分析发 展而来，逐步推广到梁、壳和实体等连续体固体 力学分析，实践证明这是一种非常有效的数值分 析方法。 有限元方法已发展到流体力学、温度场、电 传导、磁场、渗流和声场等问题的求解计算，最 近又发展到求解几个交叉学科的问题。
现代设计方法-有限元法
zx
zy
yz
y
xz x xy yx
z
x
y
yz zy， zx xz
记为 ij 或
x
11
ADM
1.2.2 应变 1. 位移
第一章 弹性力学简介
u [u x
uy
u z ]T [u v w]T
A
B
u u ( x, y , z ) v v ( x, y , z ) w w( x, y, z ) ui ui ( x, y, z ), i x, y, z 点A的位移为u，点B的 位移为u du，du为位移增量， du [dux duy duz ]T
6
ADM
1. 材料力学的局限性
序 论
只能求解梁、杆的应力、应变（变形）状态，对于更一般的结构（如 短梁等）不能给出合理的解。原因：材料力学的基本假设于简化。
2. 弹性力学
• 弹性力学解：求解弹性力学基本方程（包括微分平衡方程、几何方程、 物理方程、边界条件等），得到结构内应力、应变分布的解析解，是 结构内应力、变形状态的精确解。 • 弹性力学求解的困难：弹性力学需求解边值条件下的偏微分方程组， 在大多数情况下，不存在显式的解析解。 3. 有限元法（Finite Element Method-FEM）
现代设计方法
——有限元法
Advanced Design Methods
——Finite Element Method
天津大学机械工程学院
1
ADM
第二部分 有限元
序论 第一章 弹性力学简介
目 录
1.1 求和约定
1.2 应力与应变 1.2.1 应力 1.2.2 应变
现代设计方法（第三章-有限元法）
现代设计方法（第三章-有限元法）1.在有限元法中，将求解对象看成由许多小的、彼此相连的杆和梁、一定形状的板和壳所组成。
在使用有限元法进行分析时，该结构可近似地看成由若干能过节点彼此相连的单元所组成。
根据已知的原始数据，按照有限元法规定的运算步骤，首先可求出各节点位移的数值解，进而可求出整个结构各点的响应。
4.有限元法的基本思路：化整为零，集零为整，把复杂结构看成由若干通过节点相连的单元组成的整体。
5.平衡或稳态问题、特征值问题、瞬态问题；6.平衡问题：若是固体力学问题或结构力学问题，刚需求出稳态时位移和应力的分布；若是热传导问题，则要找出温度或热流量的分布；若是液体力学问题，则要得到压力和速度的分布规律；特征值问题：所获得的解呈周期性变化，它可看成是平衡问题的延伸。
这需求出某些参数的临界值及相应的稳态形态。
在这类问题中，如果研究固体力学或结构力学问题，需求出结构的自然频率以及相应的振型；若是液体力学问题，则是研究层流的稳定特性；对电路问题，是分析其共振特性；瞬态问题与时间相关。
在固体力学问题中，研究在随时间变化的力作用下，物体的响应；在研究热传导问题时，则要找出物体突然受热或冷却时热场的分布等。
7.工程技术人员的任务是：首先，将复杂的工程实际问题简化，分清属哪一类问题，然后，选择合理的、可供使用的计算机程序；下一步，根据程序的说明和要求，准备好并向计算机输入全部所需的数据和信息，最后，一定要检查计算结果的合理性，看所作的简化及所选的程序是否合理。
8.k ij都称为单元刚度系数。
它表示该单元内节点j处产生单位位移时，在节点i处所引起的载荷fi。
9.K ij：在整个结构中除节点j产生单位位移外，其余各节点的位移均为零时，在节点i处所引起的载荷F i.10.有限元法求解问题最重要的几个步骤：1）对整个结构进行简化。
将其分割成若干个单元，单元间彼此通过节点相连。
2）求出各单元的刚度矩阵；3）集成总体刚度矩阵并写出总体平衡方程；4）引入支承条件，求出每个节点的位移。
现代设计方法部分习题与答案
现代设计⽅法部分习题与答案第1章1.何谓产品⽣命周期，简述其各个阶段。
产品⽣命周期（Product Life Cycle），简称PLC，是指产品的市场寿命，即⼀种新产品从开始进⼊市场到被市场淘汰的整个过程。
PLC分为介绍期（Introduc- tion）、增长期（Growth）、成熟期（Mature）、衰退期（Decline）四个阶段.2.简述现代设计所指的理论与⽅法有哪些。
3.简述产品开发的⼀般流程。
产品基本开发流程的6个阶段：阶段0，计划：规划经常被作为“零阶段”是因为它先于项⽬的达成和实际产品开发过程的启动。
阶段1，概念开发：概念开发阶段的主要任务是识别⽬标市场的需要，产⽣并评估可替代的产品概念，为进⼀步开发选择⼀个概念。
阶段2，系统⽔平设计：系统⽔平设计阶段包括产品结构的定义、产品⼦系统和部件的划分阶段3，细节设计：细节设计阶段包括产品的所有⾮标准部件及从供应商处购买的标准部件的尺⼨、材料和公差的完整明细表，建⽴流程计划并为每⼀个即将在⽣产系统中制造的部件设计⼯具。
阶段4，测试和改进：测试和改进阶段包括产品的多个⽣产前版本的构建和评估。
阶段5，产品推出：在产品推出阶段，使⽤规划⽣产系统制造第2章1.简述功能分析法的设计步骤。
总功能分析、功能分析、功能元求解、求系统原理、解求最佳系统原理⽅案。
2. 什么是技术系统？举例说明技术系统应具有的分功能单元。
技术系统所具有的功能，是完成技术过程的根本特性。
从功能的⾓度分析，技术系统应具有下列能完成不同分功能的单元：①作业单元，完成转换⼯作；②动⼒单元，完成能量的转换、传递与分配；③控制单元，接受、处理和输出控制信息；④检测单元，检测技术系统各种功能的完成情况，反馈给控制单元；⑤结构单元，实现系统各部分的连接与⽀承切削加⼯中⼼的功能构成第3章1. 产品创新的概念是什么？产品创新在哪些诱导机制下完成的，举例说明。
产品创新：新产品在经济领域⾥的成功运⽤，包括对现有⽣产要素进⾏组合⽽形成新的产品的活动。
现代设计方法-有限元法-5
l263: 1 − ξ = 0
5(0, −1) 2(1, −1)
F1 (ξ1 ,η1 ) = F1 (−1, −1) = (1 + 1)(1 + 1)(1 − 1 − 1) = −4
1(−1, −1)
l58: 1+ξ +η = 0
位移函数
1 N1 = − (1 − ξ )(1 − η )(1 + ξ + η ) 4
坐标变换式的证明： 将自然坐标系中节点1（-1，-1）的坐标代入各形函数得：N1 = 1, N 2 = N3 = N 4 = 0 代入坐标变换式得： x = x1 , y = y1 故节点一一对应映射 同样可证明单元边界也是一一对应的，利用坐标变换式可形成一一对应映射
5.5.2 位移函数
根据形函数的性质：
等参数单元的应变矩阵
设3D单元n个节点等参数单元的节点位移向量为
qe = [u1 v1 w1 L un vn wn ]
T
单元应变的矩阵表达式为
ε = Bqe = [ B1
B 2 … B n ] qe
∂N i ∂z i = 1, 2,L , n ∂N i ∂y ∂N i ∂x
4 4 u = ∑ N i ui x = ∑ N i xi 坐标插值 i =1 i =1 位移插值： 4 4 （坐标变换式）： v = N v y = ∑ N i yi ∑ ii i =1 i =1 位移插值和坐标插值形式相同，参数相同，故称这种单元为等参数单元
式中J为雅克比矩阵，可利用坐标变换式得到
n x = ∑ N i xi i =1 n y = ∑ N i yi i =1 n z = ∑ N i zi i =1
现代设计方法-有限元分析报告
中国地质大学研究生课程论文封面课程名称现代设计方法教师姓名研究生姓名研究生学号研究生专业机械工程所在院系机电学院日期: 2013 年 1 月 8 日评语注：1、无评阅人签名成绩无效；2、必须用钢笔或圆珠笔批阅，用铅笔阅卷无效；3、如有平时成绩，必须在上面评分表中标出，并计算入总成绩。
有限元分析简介摘要: ANSYS 软件具有建模简单、快速、方便的特点, 因而成为大型通用有限元程序的代表。
对有限元作了一个总体的介绍, 并着重介绍了ANSYS 软件, 简要地叙述了ANSYS 软件的主要技术特点和各部分构成以及其主要的分析功能,从其构成及功能中可以看到,ANSYS 软件的确是工程应用分析的有效工具。
1、有限元分析的基本概念和计算步骤1.1、有限元分析的基本概念有人将CAE技术称为当今“科学与技术的完美结合”。
这句话说得比较夸张，但不可否认，CAE技术的确是现代产品研发的重要基础技术，其理论性和需要的学科知识厚重而宽广。
有限元软件是目前CAE的主流分析软件之一，在全球拥有最大的用户群。
有限元分析（FEA，Finite Element Analysis）利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。
还利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。
有限元分析的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。
它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。
这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。
由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。
有限元是那些集合在一起能够表示实际连续域的离散单元。
有限元的概念早在几个世纪前就已产生并得到了应用，例如用多边形（有限个直线单元）逼近圆来求得圆的周长，但作为一种方法而被提出，则是最近的事。
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《现代设计方法》作业关于有限元法的研究
学院：机械工程学院
专业：机械制造及其自动化
0.有限元法
有限元法分析起源于50年代初杆系结构矩阵的分析。
随后，Clough于1960年第一次提出了“有限元法”的概念。
其基本思想是利用结构离散化的概念，将连续介质体或复杂结构体划分成许多有限大小的子区域的集合体，每一个子区域称为单元（或元素），单元的集合称为网格，实际的连续介质体（或结构体）可以看成是这些单元在它们的节点上相互连接而组成的等效集合体；通过对每个单元力学特性的分析，再将各个单元的特性矩阵组集成可以建立整体结构的力学方程式，即力学计算模型；按照所选用计算程序的要求，输入所需的数据和信息，运用计算机进行求解。
当前，有限元方法/理论已经发展的相当成熟和完善，而计算机技术的不断革新，又在很大程度上推进了有限元法分析在工程技术领域的应用。
然而，如此快速地推广和应用使得人们很容易忽视一个前提，即有限元分析软件提供的计算结果是否可靠、满足使用精度的前提，是合理地使用软件和专业的工程分析。
有限元法分析一般包括四个步骤：物理模型的简化、数学模型的程序化、计算模型的数值化和计算结果的分析。
每一个步骤在操作过程中都或多或少地引入了误差，这些误差的累积最终可能会对计算结果造成灾难性的影响，进而蒙蔽我们的认识和判断。
1.受内压空心圆筒的轴对称有限元分析
例图1.1所示为一无限长的受内压的轴对称圆筒，该圆筒置于内径为120mm的刚性圆孔中，试求圆筒内径处的位移。
结构的材料参数
为：200
=，0.3
E GPa
μ=。
图1 结构图
对该问题进行有限元分析的过程如下。
（1）结构的离散化与编号
由于该圆筒为无限长，取出中间一段（20mm高），采用两个三角形轴对称单元，如图1.2所示。
对该系统进行离散，单元编号及结点编号如图1.3所示，有关结点和单元的信息见表1.1。
图1.2 有限元模型
图1.3 节点位移编号及单元编号
表1.1 单元编号及结点编号
单元编号
结 点 编 号 ①
②
1 2 3 2 3 4
结构的结点位移列阵为
11223344[]T r r r r u w u w u w u w δ= (1.1) 结构的结点外载列阵
12[000000]T r r F F F = （1.2）
1r F 和2r F 为由内压作用而等效在结点1和结点2上的载荷，其大小为
1122240202//502622r r r h p F N F N ππ-
⨯⨯⨯==== （1. 3） 约束的支反力矩阵
123344[00T z z r z r z R R R R R R R = ] (1.4)
其中1z R 和2z R 为结点1和结点2在Z 方向的约束支反力，（3r R ，3z R ）和（4r R ，4z R ）为结点3和结点4在r 方向和Z 方向的约束支反力。
总的结点载荷列阵
11223344[]r z r z r z r z P F R F R F R F R F R =+= （1.5）
（2）各个单元的描述
（3）单元的弹性矩阵为5 2.69 1.15 1.1501.15 2.69 1.15010 1.15 1.15 2.6900000.77D ⎡
⎤
⎢⎥
⎢⎥=⨯⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
（1.6） 计算各个单元的刚度矩阵2e e T
A K
B DB rdrdz π=⎰，即
112244
r r r w w w μμμ↓↓↓↓↓↓
1
1
2(1)72
4
4
4.03 2.58 2.34 1.45 1.93 1.138.46 1.377.89 1.930.5652.300.240.16 1.13107.89 1.9302.2600.565r r r K μ---←⎡⎤⎢⎥ω--←⎢⎥⎢⎥μ
--←=⨯ ⎢⎥ω-←⎢⎥⎢⎥μ←⎢⎥ω←⎣⎦对称
(1.7)
223344
r r r w w w μμμ↓↓↓↓↓↓
2
2
3
(2)73
4
4
2.050 2.22 1.690.085 1.690.64 1.290.645 1.2905.110.645 1.290109.66 1.059.022.610.249.02r r r K μ
---←⎡⎤⎢⎥ω--←⎢⎥⎢⎥
μ--←=⨯ ⎢⎥ω-←⎢⎥⎢⎥μ←
⎢⎥ω←⎣⎦对称
(1.8) (3)建立整体刚度方程
组装整体刚度矩阵并形成整体刚度方程，有
P K ⋅ δ= (1.9)
(88)(81)(81)⨯⨯⨯
其中
(1)(2)K K K =+ (1.10)
(4)边界条件的处理及刚度方程求解
边界条件为10w =，20w =，40w =，40r μ=，40w =，将其代入方程（1.9）中，有
7 4.03 2.43502610 2.43 4.355026-⎡⎤⎡⎤⨯⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
（1.11） 对该方程进行求解得
4142 2.78102.6410r r mm mm --μ=⨯μ=⨯} （1.12）
2.误差分析 在上面的例子中，发现有限元法解决实际工程问题产生的误差主要可能出现在以下几个方面：
1. 对受内压空心圆筒的轴进行了模型简化。
简化为理想的不受边界条件以及z 方向变形的轴，施加了w 1=0,w 2=0,w 3=0,w 4=0的边界条件。
理想化误差是在有限元法分析开始之前引入的，因此我们不可能通过改进有限元分析技术来达到消除其的目的，而只能通过修改数学模型本身来实现消除其的目的。
2. 有限元法是将实际物体离散成若干单元，进行分析求解。
例子中是将一小块问题离散为2个三角形，4个节点，这是一个非常简单的求解，没有连续性，所以其结果不能反映真是的变形误差。
在实际问
题中，离散化误差是根植于有限元法分析本身的，因此只能通过改进有限元分析技术或者技巧来尽力消除/减小这方面的误差，比如采用规则化的单元形状避免单元在形状上产生奇异（即单元奇异）、提高单元精度和增加网格密度减小计算方面的误差等方法。
3.例题中2个三角单元的计算使用简单矩阵计算完成，但是在实际问题中，单元数会非常多，计算也会很复杂，计算模型的数值化主要是用数值计算方法（程序求解器）求解、逼近真实的解析值，因而必然存在数值化误差（numerical error）。
数值计算方法的精度（非人为可控）越高，计算结果的误差就越小，但计算的工作量也越大。
3.小结
这门课主要讲解了以有限元、边界元等方法为代表的现代设计方法，这些方法对解决实际问题都十分有用，但是由于平时主要也是用ANSYS等软件直接建模解决问题，对原理性的东西也是第一次接触，所以这次作业完成的较为困难，希望以后能够有更多的机会跟老师学习关于有限元原理性的知识。