现代设计方法(关于有限元)作业

《现代设计方法》作业关于有限元法的研究

学院：机械工程学院

专业：机械制造及其自动化

0.有限元法

有限元法分析起源于50年代初杆系结构矩阵的分析。随后，Clough于1960年第一次提出了“有限元法”的概念。其基本思想是利用结构离散化的概念，将连续介质体或复杂结构体划分成许多有限大小的子区域的集合体，每一个子区域称为单元（或元素），单元的集合称为网格，实际的连续介质体（或结构体）可以看成是这些单元在它们的节点上相互连接而组成的等效集合体；通过对每个单元力学特性的分析，再将各个单元的特性矩阵组集成可以建立整体结构的力学方程式，即力学计算模型；按照所选用计算程序的要求，输入所需的数据和信息，运用计算机进行求解。

当前，有限元方法/理论已经发展的相当成熟和完善，而计算机技术的不断革新，又在很大程度上推进了有限元法分析在工程技术领域的应用。然而，如此快速地推广和应用使得人们很容易忽视一个前提，即有限元分析软件提供的计算结果是否可靠、满足使用精度的前提，是合理地使用软件和专业的工程分析。有限元法分析一般包括四个步骤：物理模型的简化、数学模型的程序化、计算模型的数值化和计算结果的分析。每一个步骤在操作过程中都或多或少地引入了误差，这些误差的累积最终可能会对计算结果造成灾难性的影响，进而蒙蔽我们的认识和判断。

1.受内压空心圆筒的轴对称有限元分析

例图1.1所示为一无限长的受内压的轴对称圆筒，该圆筒置于内径为120mm的刚性圆孔中，试求圆筒内径处的位移。结构的材料参数

为：200

=，0.3

E GPa

μ=。

图1 结构图

对该问题进行有限元分析的过程如下。

（1）结构的离散化与编号

由于该圆筒为无限长，取出中间一段（20mm高），采用两个三角形轴对称单元，如图1.2所示。对该系统进行离散，单元编号及结点编号如图1.3所示，有关结点和单元的信息见表1.1。

图1.2 有限元模型

图1.3 节点位移编号及单元编号

表1.1 单元编号及结点编号

单元编号

结 点 编 号 ①

②

1 2 3 2 3 4

结构的结点位移列阵为

11223344[]T r r r r u w u w u w u w δ= (1.1) 结构的结点外载列阵

12[000000]T r r F F F = （1.2）

1r F 和2r F 为由内压作用而等效在结点1和结点2上的载荷，其大小为

1122240202//502622r r r h p F N F N ππ-

⨯⨯⨯==== （1. 3） 约束的支反力矩阵

123344[00T z z r z r z R R R R R R R = ] (1.4)

其中1z R 和2z R 为结点1和结点2在Z 方向的约束支反力，（3r R ，3z R ）和（4r R ，4z R ）为结点3和结点4在r 方向和Z 方向的约束支反力。 总的结点载荷列阵

11223344[]r z r z r z r z P F R F R F R F R F R =+= （1.5）

（2）各个单元的描述

（3）单元的弹性矩阵为5 2.69 1.15 1.1501.15 2.69 1.15010 1.15 1.15 2.6900000.77D ⎡

⎤

⎢⎥

⎢⎥=⨯⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

（1.6） 计算各个单元的刚度矩阵2e e T

A K

B DB rdrdz π=⎰，即

112244

r r r w w w μμμ↓↓↓↓↓↓

1

1

2(1)72

4

4

4.03 2.58 2.34 1.45 1.93 1.138.46 1.377.89 1.930.5652.300.240.16 1.13107.89 1.9302.2600.565r r r K μ---←⎡⎤⎢⎥ω--←⎢⎥⎢⎥μ

--←=⨯ ⎢⎥ω-←⎢⎥⎢⎥μ←⎢⎥ω←⎣⎦对称

(1.7)

223344

r r r w w w μμμ↓↓↓↓↓↓

2

2

3

(2)73

4

4

2.050 2.22 1.690.085 1.690.64 1.290.645 1.2905.110.645 1.290109.66 1.059.022.610.249.02r r r K μ

---←⎡⎤⎢⎥ω--←⎢⎥⎢⎥

μ--←=⨯ ⎢⎥ω-←⎢⎥⎢⎥μ←

⎢⎥ω←⎣⎦对称

(1.8) (3)建立整体刚度方程

组装整体刚度矩阵并形成整体刚度方程，有

P K ⋅ δ= (1.9)

(88)(81)(81)⨯⨯⨯

其中

(1)(2)K K K =+ (1.10)

(4)边界条件的处理及刚度方程求解

边界条件为10w =，20w =，40w =，40r μ=，40w =，将其代入方程（1.9）中，有

7 4.03 2.43502610 2.43 4.355026-⎡⎤⎡⎤⨯⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦

（1.11） 对该方程进行求解得

4142 2.78102.6410r r mm mm --μ=⨯μ=⨯} （1.12）

2.误差分析 在上面的例子中，发现有限元法解决实际工程问题产生的误差主要可能出现在以下几个方面：

1. 对受内压空心圆筒的轴进行了模型简化。简化为理想的不受边界条件以及z 方向变形的轴，施加了w 1=0,w 2=0,w 3=0,w 4=0的边界条件。理想化误差是在有限元法分析开始之前引入的，因此我们不可能通过改进有限元分析技术来达到消除其的目的，而只能通过修改数学模型本身来实现消除其的目的。

2. 有限元法是将实际物体离散成若干单元，进行分析求解。例子中是将一小块问题离散为2个三角形，4个节点，这是一个非常简单的求解，没有连续性，所以其结果不能反映真是的变形误差。在实际问