《直线和平面所成的角》公开课课件

A
B

O
C
cos A B C cos 60o \ cos A B O = = cos CB O cos 45o 2 = 2
\ ? A BO
45
o
例2 如图，在正方体 AC1中，求面对角 线 A1B 与对角面 BB1D1D 所成的角。
〖解〗 连结 A1C1与 B1D1 交于O，连结 OB AC B1D1 AC ∵ DD1 是否还有其他解 1 1 法呢？？？？ 1 1 ∴ AO 平面 BB1D1D 1
\ cos q = cos q1 cos q2
O
l
l是平面 的斜线，O是l 上任意一点，OB是平面 的垂线，B是垂足， AB是斜线l的射影，θ是 斜线l与平面 所成的角.
A

C

B D
θ与∠OAD的大小关系如何？
O
l
θ与∠OAD的大小关系如何？ 在Rt△AOB中，
OB 斜线和平面所成 sin q = B AO 的角，是这条斜线和 C D 平面内任意的直线所 OC sin ? OA D 在Rt △AOC中， 成的一切角中最小的 A O 最小角原理 角。 ∵AB＜AC，∴sin θ＜sin∠OAD
N N
作业
P45 第4题 P47第2题
10
如图，已知PA 正方形ABCD所在平面，且PC 24, PB PD 6 求PC和平面ABCD所成的角。
P
A B
C
D
A

∴θ＜∠OAD
斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内 经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。
例 题 例1、 如图，已知AB为平面 a 的一条斜线，B为斜 足，A O ^ a O为垂足，BC为 内的一条 直线， ? A BC 60。 ，? OBC 45。 求斜线AB 和平面所成的角， 解：依题意，知 ÐA BO 为 AB和 a 所成的角
D1
O
C1 B1
A1
D
A
C B
A B 与对角面所成的角， ∴ A 1 BO 是 1
在Rt A1BO中
1 A1O A1 B 2
有
A1BO 30

解法一
解法二
（法二）由法一得 A1BO 是 A1B 与对角面 BB D D所成的角， 1 1
Q cos ? A1BB 1 cos 45o = 2 , cos ? B 1BO 2 B 1B 6 = BO 3
\ cos ? A1BO
2 cos ÐA1BB 1 3 2 = = 6 cos ÐB 1BO 2 3
\ ? A1BO
30
o
练习
线段MN长6厘米，M到平面β的距离是1厘米， N到平面β的距离是4厘米，求MN与平面β所成角的 N 余弦值。 ∠MOM'就是MN与β所成的角 N M 移出图 6 M 4 N' O 1 M' N' β O M' M M O N' 1 O M' N' 移出图 M' 6 β 4
直 线 和 平 面 所 成 的 角
O B A

已知AO是平面 的斜线，A是斜足，OB垂 直于 ，B为垂足，则直线AB是斜线在平 面 a 的射影
H E F
G
D
A HC与EF在平面 ABCD上的射影 分别是什么？ B
HC与FG在平面 ABCD上的射影 分别是什么？ DC与BC FG 与 EA 在平面 C ABCD上的射影 分别是什么？ BC与A点 练习
证明：设OA为单位长度
O
A

C
B D
uuu r uuu r | AC |= | AB | cos q2 = cos q1 cos q2 uuu r uuu r | A C |= | A O | cos q = cos q
uuu r uuu r | AB |= | AO | cos q1 = cos q1
DC与AB
q
Байду номын сангаас

一个平面的斜线和 它在平面内的射影的夹 角，叫做这条直线和这 个平面所成的角（或斜 线和平面的夹角）。
如果直线和平面垂直，那么就说直线和平面所成的角是 直角； 如果直线和平面平行或在平面内，那么就说直线和 平面所成的角是0 的角。
直线和平面所成角的范围是[0，90]。
如图，AO是平面 的斜 线，OB ⊥平面 于B， AC是 内不与OB重合的 直线，∠OAB= q1 ， ∠BAC= q2 ，∠OAC= q ， 求证：cos q=cos q1cos q2