跨考教育考研数学高数第一章常考题型分析七
高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解
第一章 函数、极限、连续第1节 函数★基本内容学习一 基本概念和性质1函数的定义设有两个变量x 和y ，变量x 的变域为D ，如果对于D 中的每一个x 值，按照一定的法则，变量y 有一个确定的值与之对应，则称变量y 为变量x 的函数，记作：()y f x =。
2函数概念的两要素①定义域：自变量x 的变化范围②对应关系：给定x 值,求y 值的方法。
3函数的三种表示方法①显式：形如()y f x =的称作显式，它最直观，也是初等函数一般采用的形式。
②隐式：有时有些关系用显式无法完全表达，这时要用到隐式，形如(,)0F x y =，如椭圆函数22221x y a b+=。
③参数式：形如平抛运动的轨迹方程212x vt y gt =⎧⎪⎨=⎪⎩称作参数式。
参数式将两个变量的问题转化为一个变量的问题，从而使很多难以处理的问题简化。
4函数的四个基本性质①奇偶性：设函数()f x 在对称区间X 上有定义，如果对于x X ∀∈恒有()()f x f x =- (或)()()f x f x =--，则称()f x 为偶函数(或()f x 奇函数)。
注：偶函数()f x 图形关于y 轴对称，奇函数()f x 的图形关于坐标原点对称。
②有界性：设函数()f x 在区间X 上有定义,如果0M ∃>,使得对一切x X ∈,恒有：()f x M ≤,则称()f x 在区间X 上有界；若不存在这样的0M >，则称()f x 在区间X 上无界.注：函数()f x 有无界是相对于某个区间而言的。
③周期性：设函数()f x 在区间X 上有定义,若存在一个与x 无关的正数T ，使对任一x X ∈，恒有()()f x T f x += 则称()f x 是以T 为周期的周期函数，把满足上式的最小正数T 称为函数()f x 的周期。
④单调性：设函数()f x 在区间X 上有定义，如果对1212,,x x X x x ∀∈<,恒有：()()12f x f x ≤(或()()12f x f x ≥)则称()f x 在区间X上是单调增加(或单调减少)的；如果对于1212,,x x X x x ∀∈<,恒有：()()12f x f x < (或()()12f x f x >)则称()f x 在区间X上是严格单调增加(或严格单调减少)的。
考研数学(一)真题知识点分布总结
考研数学(一)真题知识点分布总结科目/知识题型点高等数学线性代数概率论与数理统计选择题 1. 渐近线的计算2. 函数图形的凹凸性3. 交换累次积分的次序与坐标系的转换4. 定积分的计算5. 数值型行列式的计算6. 向量组的线性无关7. 概率的基本公式8. 随机变量函数的期望、方差填空题9. 曲面的切平面10. 函数的周期性11. 变量替换求解微分方程12. 斯托克斯公式13. 惯性指数14. 无偏估计解答题15. 等价无穷小代换求极限16. 函数的极值17. 二阶偏导数、二阶常系数非齐次线性微分方程18. 曲面积分的计算19. 级数收敛的比较判别法20. 齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的通解21. 矩阵可相似对角化的充要条件22. 随机变量函数的分布、随机变量的数学期望23. 随机变量的数学期望、最大似然估计、辛钦大数定律科目/知识题型点高等数学线性代数选择题 1. 高阶无穷小2. 渐近线的计算3. 函数图形的凹凸性4. 曲率半径5. 等价无穷小、洛必达法则6. 多元函数的最值7. 数值型行列式的计算8. 向量组的线性无关填空题9. 反常积分的计算10. 函数的周期性11. 多元函数的全微分12. 坐标系的变换、导数的几何意义13. 质心14. 惯性指数解答题15. 等价无穷小代换求极限16. 函数的极值17. 二重积分的计算（轮换对称性）18. 二阶偏导数、二阶常系数非齐次线性微分方程19. 函数单调性的判别20. 平面图形的面积21. 旋转体的体积22. 齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的通解23. 矩阵可相似对角化的充要条件科目/知识题题点高等数学线性代数概率论与数理统计选择题 1. 极限的概念2. 渐近线的计算3. 高阶无穷小4. 函数图形的凹凸性5.数值型行列式的计算6. 向量组的线性无关7. 概率的基本公式8. t分布填空题9. 导数的经济意义10. 平面图形的面积11. 定积分的分部积分法12. 交换累次积分的次序、二重积分的计算13. 惯性指数14. 随机变量的数学期望解答题15. 等价无穷小代换求极限16. 二重积分的计算（轮换对称性）17. 多元函数的偏导数、一阶线性微分方程18. 幂级数的收敛域、和函数19. 函数单调性的判别20. 齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的通解21. 矩阵可相似对角化的充要条件22. 随机变量函数的分布、随机变量的数学期望23. 二维离散型随机变量的概率分布、概率的计算。
高数第一章考试例题答案解析
高数第一章考试例题答案解析在学习高等数学时，一章考试是一个重要的环节。
在这里，我们将介绍一些常见的高等数学第一章考试例题及其答案解析，从而帮助广大学子更好地学习、运用和修正高等数学知识。
1.题：在平面直角坐标系中，若设$frac{dx}{dt}=6$,$frac{dy}{dt}=4$,并$x_0=2$,$y_0=0$，求点$(x,y)$的位置。
答案：其中$frac{dx}{dt}=6$表示$x$在$t$的变化率为$6$，而$frac{dy}{dt}=4$表示$y$在$t$的变化率为$4$，根据提供的条件，当$t=0$时，$x_0=2$，$y_0=0$。
因此，当$t$变化时，可得$x=2+6t$，$y=0+4t$。
设$t=k$，则$x=2+6k$,$y=4k$，所以点$(x,y)$的位置为$(2+6k,4k)$。
2.题：求函数$y=x^2+2x-3$关于$x$的一阶导数。
答案：设函数$y=x^2+2x-3$，其关于$x$的一阶导数为$frac{dy}{dx}$，根据微分法则，有$frac{dy}{dx}=2x+2$。
3.题：已知$f(x)=2x^2-7x+6$，求$f(x)$的极值答案：设函数$f(x)=2x^2-7x+6$，求$f(x)$的极值，其一阶导数为$f(x)=4x-7$，求$f(x)$的零点为$x=frac{7}{4}$，此时函数$f(x)$取得极值，由$f(x)=2x^2-7x+6$，算得极值为$f(frac{7}{4})=frac{25}{8}$。
4.题：已知函数$f(x)=frac{cos{x}+3sin{x}}{sin{x}}$，求$f(x)$的定义域。
答案：设函数$f(x)=frac{cos{x}+3sin{x}}{sin{x}}$，求$f(x)$的定义域，由于分母$sin{x}$不能为零，因此$f(x)$的定义域为$ {cos{x}eq -3sin{x}}$。
从上述例题分析可知，高等数学中各章考试例题的答案解析有着非常清晰的规律性和解题思路，如果可以找到正确的解题方法，就可以轻松解答大部分考试例题。
高数第一章知识点总结
高数第一章知识点总结希望同学们在准备考研数学高数的复习过程中能够适当结合真题与模拟题，下面是xx精心收集的，希望能对你有所帮助。
篇一：高等数学是考研数学的重中之重，所占的比重较大，在数学一、三中占56%，数学二中占78%，重点难点较多。
具体说来，大家需要重点掌握的知识点有几以下几点：1.函数、极限与连续：主要考查极限的计算或已知极限确定原式中的常数;讨论函数连续性和判断间断点类型;无穷小阶的比较;讨论连续函数在给定区间上零点的个数或确定方程在给定区间上有无实根。
2.一元函数微分学：主要考查导数与微分的定义;各种函数导数与微分的计算;利用洛比达法则求不定式极限;函数极值;方程的的个数;证明函数不等式;与中值定理相关的证明;最大值、最小值在物理、经济等方面实际应用;用导数研究函数性态和描绘函数图形;求曲线渐近线。
3.一元函数积分学：主要考查不定积分、定积分及广义积分的计算;变上限积分的求导、极限等;积分中值定理和积分性质的证明;定积分的应用，如计算旋转面面积、旋转体体积、变力作功等。
4.多元函数微分学：主要考查偏导数存在、可微、连续的判断;多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数;多元函数极值或条件极值在与经济上的应用;二元连续函数在有界平面区域上的最大值和最小值。
此外，数学一还要求会计算方向导数、梯度、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。
5.多元函数的积分学：包括二重积分在各种坐标下的计算，累次积分交换次序。
数一还要求掌握三重积分，曲线积分和曲面积分以及相关的重要公式。
6.微分方程及差分方程：主要考查一阶微分方程的通解或特解;二阶线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解;微分方程的建立与求解。
差分方程的基本概念与一介常系数线形方程求解方法由于微积分的知识是一个完整的体系，考试的题目往往带有很强的综合性，跨章节的题目很多，需要考生对整个学科有一个完整而系统的把握。
最后凯程考研名师预祝大家都能取得好成绩。
考研数学一大纲重要知识点解析高等代数部分典型题型详细解读
考研数学一大纲重要知识点解析高等代数部分典型题型详细解读高等代数是考研数学一科目中的重要组成部分，掌握了高等代数的基本知识和解题技巧，将极大地有助于我们在考试中取得好成绩。
本文将详细解读考研数学一大纲中高等代数部分的典型题型以及重要知识点。
一、行列式行列式是高等代数中的重要内容，考研数学一中经常会出现与行列式相关的题目。
掌握行列式的性质和计算方法是解答这类题目的关键。
1.行列式的定义和性质行列式是一个方阵所具有的特征数，常用记号为|A|。
行列式具有以下性质：- 行列式的第i行和第j列的元素记作a_ij，其中i表示行标，j表示列标。
- 行列式的行与列可以互换，行列式的值不变。
- 如果行列式的两行/两列完全相同，行列式的值为0。
2.行列式的计算方法行列式的计算方法有多种，常用的有：- 拉普拉斯展开法：根据行列式的定义，利用代数余子式的概念，将行列式按某一行（列）展开成若干个代数余子式的乘积之和。
- 三角形法则：将矩阵化为上（下）三角矩阵，然后计算对角线上元素的积。
二、线性方程组线性方程组也是考研数学一中的重点内容，理解线性方程组的解的性质以及解的计算方法是解答这类题目的关键。
1.线性方程组的定义和性质线性方程组是形如a_11x_1 + a_12x_2 + ... + a_1nx_n = b_1，a_21x_1 + a_22x_2 + ... + a_2nx_n = b_2，...，a_m1x_1 + a_m2x_2 + ... + a_mnx_n = b_m的方程组。
线性方程组具有以下性质：- 如果齐次线性方程组有非零解，则其系数矩阵的行向量线性相关。
- 如果齐次线性方程组的系数矩阵的秩等于未知量的个数n，则齐次线性方程组只有零解。
- 如果非齐次线性方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，且秩的值等于未知量的个数n，则非齐次线性方程组有唯一解。
2.线性方程组的计算方法线性方程组的计算方法有多种，常用的有：- 列主元高斯消元法：通过逐列消元的方法将线性方程组化为上（下）三角矩阵，然后回代求解未知量。
2020年考研《数学一》各题考点分析
xx考研《数学一》各题考点分析一、选择题部分：前四题是高等数学部分，第1题是关于一元函数积分学中的反常积分判别收敛问题，这部分是要求我们会计算反常积分和判别其收敛性的。
第2题是有关原函数的问题，这部分是要知道原函数的概念的，别切要求我们知道哪些函数一定有原函数(连续函数)，哪些函数一定没有原函数的(含有可去、跳跃、无穷间断点的函数)。
第3题是有关一阶微分方程解的性质的问题，关于常微分方程问题是我们常考的内容，在考试前我们已经做了大量的相关练习，因此这块内容相信同学们已经比较了解，做的也应该不错。
第4题是我们高等数学上册第一章节间断点的知识点。
关于间断点这一块，我们知道，它是常考内容，作为小题，其考察的也比较频繁的。
对于这一块内容，我们在找间断点前，首先要考虑的就是其间断点的嫌疑点问题，一是其无定义的点，一定是间断点，二是分段函数的分段点(有可能是间断点)。
选择题的5、6两题是线性代数部分的：第5题，是有关矩阵相似的问题，这题我们利用相似定义很快便可得出答案选C,关于矩阵相似的问题我们已经做过很多练习了，相对而言本题还是容易判别的。
第6题是关于二次型与空间解析几何中的双叶双曲面结合起来的。
其实对于这一部分数一单一的内容，我们在暑假的时候的二阶强化课讲义上就有类似的题，我们是要求考数一的同学一定要注意这些小的边角问题的。
记的在考前一周时，有数一的同学还特地问了我关于空间解析几何会考哪些东西，会与线代怎么结合，我是说了有关双曲面的问题的。
后面7、8两题是关于概率统计的：第7题是关于正态分布的题，这一题与我们之前做练习时所讲的题型，其实是没什么区别的，因此这题应该会做的，主要考察正态分布的知识内容。
第8题是关于相关系数的内容，此题的灵活性是比较大的，与10年考的拿到大题是差不多的，所以同学们在做这题时可能会有些难度。
关于数字特征这一章节我们讲的也比较多了，也讲了其也可能会与分布函数问题结合处大题的。
二、填空题部分：前四题是高数部分的内容，第9题是和往年差不多，也是考查了极限的计算问题，其是与变限积分相结合的，这里就要求同学们要掌握变限积分的求导方法，带有变限积分问题的极限往往要用洛必达法则来求解。
考研高数1
考研高数1高等数学是考研数学的一个重要组成部分，也是很多考生的心头大患。
高等数学的内容繁杂，难度较大，考生们在备考过程中常常会遇到许多困惑和困难。
本文将从高等数学的基本概念开始，逐步介绍高等数学中的各个重要概念和方法，并给出一些解题技巧和注意事项，希望能给广大考生带来一些帮助。
一、基本概念1.函数函数是高等数学的基本概念之一。
函数$f(x)$可以理解为一个输入$x$和一个输出$f(x)$之间的关系。
常见的函数有多项式函数、指数函数、对数函数等等。
函数的性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性等等，这些性质在解题时经常需要用到。
2.极限极限是高等数学的另一个基本概念。
极限可以理解为一个数列或函数在某个点或者无穷远处的趋势。
常见的极限有数列极限、函数极限等等。
在解题过程中，需要根据极限的定义和性质来计算各种极限值。
3.导数导数是高等数学中的重要概念之一，也是微分学的核心内容。
导数可以理解为函数在某一点处的变化率。
导数的性质包括可导性、导数的计算方法等。
在解题过程中，需要根据导数的定义和性质来计算给定函数的导数值。
4.积分积分是高等数学中的另一个重要概念，也是积分学的核心内容。
积分可以理解为函数在某一区间上的累积量。
积分的性质包括可积性、积分的计算方法等。
在解题过程中，需要根据积分的定义和性质来计算给定函数的积分值。
5.级数级数是数学中的一个重要概念，是数列的一种扩展。
级数可以理解为无穷多项累加的和。
级数的性质包括收敛性、敛散判别法等。
在解题过程中，需要根据级数的定义和性质来计算级数的和或者判断级数的敛散性。
二、重要方法和技巧1.换元法换元法是高等数学中常用的一种计算方法。
通过合理的变量替换，可以将原来的复杂函数化简为更简单的形式，从而得到更便于计算的结果。
在解题过程中，如果遇到复杂的函数，请首先考虑是否可以通过换元法进行简化。
2.分部积分法分部积分法是高等数学中常用的一种积分计算方法。
通过分部积分法，可以将原来的积分转化为一个已知的积分和一个新的积分，从而实现对原积分的计算。
考研数学考点解析及必考题型总结
考研数学考点解析及必考题型总结考研数学考点分析及和考题型总结考研数学的卷种分三种，分别为数学一、数学二、数学三。
这三个卷中针对的专业不同，须使用数学一的招生专业为工学门类中的力学、机械工程、光学工程、仪器科学与技术、信息与通信工程、控制科学与工程、计算机科学与技术、土木工程、水利工程、测绘科学与技术、交通运输工程、交通运输工程、传播与海洋工程、航空宇航科学与技术、兵器科学与技术、核科学与技术、生物医学工程等20个一级学科中所有的二级学科、专业，授工学学位的管理科学与工程的一级学科。
工学门类中的材料科学与工程、化学工程与技术、地质资源与地质工程、矿业工程、石油与天然气工程、环境科学与工程等一级学科中对数学要求较高的二级学科，专业的选用数学一，对数学要求较高的选用数学二。
专业不同对数学的要求自然不同，从难度看数学一最难，其次是数学二，最后是数学三，从考试范围看，数学一考试范围最多，数学三次之，最后，数学二，三种卷中大部分考试内容是一样的，数一数二数三又各有自己特点和单独考查的内容。
下面跨考教育数学教研室边一老师就数学一单独考查内容进行一一盘点。
一元函数微分学：隐函数求导、曲率圆和曲率半径;一元积分学：旋转体的侧面积、平面曲线的弧长、功、引力、压力、质心、形心等;向量代数与空间解析几何：向量、直线与平面、旋转曲面、球面、柱面、常用的二次曲面方程及其图形、投影曲线方程;多元函数微分学：方向导数和梯度、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面和法线;隐函数存在定理;多元函数积分学：三重积分、第一型曲线积分、第二型曲线积分、第一型曲面积分、第二型曲面积分、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式、散度、旋度;无穷级数：傅里叶级数;微分方程：伯努利方程、全微分方程、可降阶的高阶微分方程、欧拉方程。
以上内容为数学一单独考查的内容，是数学一特有的内容，所以这些内容每年必考。
其中：多元函数积分学中曲线曲面积分三重积分几乎每年必考，常与空间解析几何一起考查，尤见于大题，今年(2017年)考查了第一型曲面积分及投影曲线，散度旋度常见于小题。
考研数学大纲全考点教材(高数上)习题解析
第一章 极限与连续140114400011440002sin 1lim .1:2sin 2sin lim lim lim 01112sin 2sin lim lim lim 11x x xx x x x x x xx x x x x x x e x x e e x e x I x x e e e x e x I x x e e +++---→→→→→→→⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎛⎫++ ⎪=+=+=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎛⎫++ ⎪=+=+= ⎪- ⎪++⎝⎭右左.求解（按课上所讲,容易看出需要分左右极限处理）；211;1.I -=⇒= ()()()()()()121111ln cos 12lim.1sin2sin 1ln cos 1cos 1sin 1cos 1224:limlimlimlim.1sincoscossin222222x x x x x x xx x x x x I xxxxππππππππππ→→→→→-⎡⎤⎣⎦----⎡⎤---⎣⎦=====----.求解()()()()()()()4242200032222200001cos ln 1tan 3lim.sin 1ln 1tan ln 1tan tan tan ln 1tan 112:lim lim lim 2211tan tan ln 1tan 1tan 111132lim lim lim lim .22224,x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x I x x x x x x x x x x x x x →→→→→→→→--+⎡⎤⎣⎦-+⎡⎤⎣⎦-+-+-+==*=--+-=+=+=.求解另外().*对也可以直接使用洛必达法则101ln 22000124lim .2:1,11221ln 21lim 1lim lim ln 2,2222xxx A x x x x x I e x A I e x xx →∞→→→⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+-=-===== ⎪⎝⎭.求解这是型,直接有其中所以()002215lim sin cos .:1,,21sin 2cos 1lim sin cos 1lim lim 2cos 2sin 2,.xx A x t t x x I e t t A x t t x x t I e →∞∞→∞→→⎛⎫+ ⎪⎝⎭=+-⎛⎫=+-==-= ⎪⎝⎭=.求解这是型直接有其中所以()()()()()()()()()()220222222200ln 16lim2,.551,0,20,1,22211122:lim lim 2,1510,2,1,,.22x x x x ax bx x A a b B a b C a b D a b a x b x o x x x o x ax bx I x x a b a b A →→→+-+===-==-==-==-⎛⎫--++-+-+ ⎪⎝⎭===⎛⎫⇒-=-+===- ⎪⎝⎭.设则____解故选（）()()()()10007,lim 2,,.111:,lim lim ,1100,1,0,,lim 1120x x t t t t t t tt a b ax b e x a b x a bt e a t I b e x t t t x a bt e t a I be bt e b +++→+∞→→+→⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦→∞⎧+-⎡⎤⎪⎛⎫==+-=⎨ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎪⎩+-→→∞=⎡⎤=++=+=⎣⎦.已知实数满足求的值解考虑倒带换则带则此时分子（）（否则上述极限为）故此时上述极限为使用洛必达法则有, 1.b =则()()()()22200022200080,____.1arcsin cos :limlim lim 11arcsin cos 11cos 1arcsin 11lim lim lim 22222x x x x x x x x kx x k x x x x I x kx kx x x x x x x kx kx kx k αββα→→→→→→→===+-===+--==+=⋅+.已知当时,与则解11331.244k k k ⋅==⇒={}()()()111122111111111342,2,3,,lim .134211:2,,,123343401,2,1111343314,11n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nx x x n x x x x x x x x x x x x x x x x x n x x x x x xx x x -→∞----++--++===++⨯===>>+++--=-=>>=+++++==+<+=++ 9.设（）证明有极限,并求解由知于是；设则故,单调增；有上界1lim lim ,343433lim .1122n n n n n n n n n x x A x A x A A x x A →∞→∞+→∞=++±+=⇒=⇒==++；所以存在；设在两端取极限,（舍负）,故()()()()()()()333000311____.sin 123sin 00,1,2,3;2,3,010,lim lim lim 0sin 01,lim lim sin 0x x x x x x x f x xA B C D x x x x x x x f x x x x x x x f x x ππππππ→→→→→-===±±±±±--====⇒=-⎛== 10.函数的可去间断点的个数为无穷多个解:使的点,都是间断点对于这些点使分子不为,故这些点显然是第二类间断点;对考查是可去间断点；对考查21132lim 1cos 1x x x x x πππ→-⎫==⇒= ⎪⎝⎭=-是可去间断点；同理可知也是可去间断点,选（C）.第二章 导数与微分()()()()()()()()()()()()()()()()220000200001.,0____.,0,,100lim lim lim lim 000lim lim lim 0..x x x x x x x x f x g x f x x x g x x A B C D x f x f f x f x f x g x f xg x D x x++++---+→→→→-→→→>==≤⎩-'=====-'====设其中是有界函数,则在处极限不存在极限存在但不连续连续但不可导可导解:；选（）0其中左导数最后极限为利用了"无穷小与有界变量乘积仍是无穷小".()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()1102.1,0,,,____.11111111100:1limlim lim 0,.111.x x t f x x f x af x f b a b A f x x B f x x f a C f x x f b D f x x f abf x f af x af f t f f a af ab D x x tx t →→→'+=='===''====----''=====---=设对任意的满足且其中为非零常数则在处不可导在处可导,且在处可导,且在处可导,且解选（）这里第三个等号利用了的换元()()()()()()()01212001cos ,03.,,0,0,0____.:0lim 01110cos cos sin ,11lim lim cos sin ,"x x x x x f x x f x x xx f x x f x f x f x x x x x x x f x x x x x λλλλλλλλλλλ→----→→⎧≠⎪==⎨⎪=⎩''=⇔='⎛⎫'≠==+ ⎪⎝⎭⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭设其中是使有意义的实数的导函数在处连续则的取值范围是解的导函数在处连续；时,则根据无穷小乘有界变量仍()()()()()()()()()010000,10,20,2,lim 0;1cos010lim lim lim cos ,",10,1,00;,2lim 0,00,lim 0x x x x x x f x x f x f x f x x x xf f x f f x f λλλλλλλλ→-→→→→→'->->>=-'==='->>=''''>===为无穷小"此极限若存在则即且此时又根据无穷小乘有界变量仍为无穷小"此极限若存在则即且此时综述当时,且达到的目的.()()202024.(),____.sin sin 1cos cos cos 11:,,.11181t t t tt t t tt t t x t e d yy y x dx y t t e t e y t d tdt y y y x e dt e dx e e ==⎧=+==⎨=⎩-+-⋅'⎛⎫'''''===⋅=⋅⇒=-⎪'+++⎝⎭+设由参数方程确定则解则()()()()()25.tan 0,0____.4:tan ,sec 1,02,440,0020,2.y y y x y e x y e x y y e y y y x y x πππ⎛⎫++= ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫'''++=++⋅+=⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=--=-曲线在点处的切线方程是解由则故所以在处的切线方程是即()()()()()()()()()()()()()()220200000sin ,06.,0,,,,00.,0:0,0lim lim 0,0;sin00lim lim lim sin 0,00lim lim x x x x x x x x x x f x A x A a b f x x f ax b x f x x f x x f x f x f b A x f x f x f x x x xf x f a f x πππ-+---++→→-→→→+→→⎧<⎪⎪'===⎨⎪+>⎪⎩==⇒====-'====-'==设求常数的值使在处可导,并求解在处可导则在处连续即而且()20lim 0,;0,00.x x ax a xA b a f +→==∀'⇒===是任意常数,()()()()()()()()()()442222227.sin cos ,____.:sin cos sin cos sin cos cos 2,cos 22cos 2.2n nn n f x x x f x f x x x x x x x x n f x x x π=-==-+=-=-⎛⎫⇒=-=-+⎪⎝⎭设则解第三章 微分中值定理与导数的应用()()11.10,.xf x x ⎛⎫=++∞ ⎪⎝⎭证明在内单调增加()()3222.221,1y y x y y xy x y y x x =-+-===设由方程2确定求的极值点.答案:是极小值点.3.,4?:,.44a aa x y πππ==++将长为的铁丝切成两段一段围成正方形,一段围成圆形.问这两段铁丝各长多少时,正方形与圆形的面积之和最小答案圆的周长为正方形的周长为()324.5____.y x x =-曲线的拐点的坐标为解：311122225151515,2244y x x y x x -'''=-=-，由0y ''=，得14,x y ==-，并且1x >时0y ''>，1x <时0y ''<，所以拐点为()1,4-()()()()()()()()()()()()()()5.,,,.22233132f x A f x f x B f x f x C f x f x D f x f x -∞+∞设在内连续其导函数的图形如图则____函数有个极值点,曲线有个拐点函数有个极值点,曲线有个拐点函数有个极值点,曲线有个拐点函数有个极值点,曲线有个拐点()()()()226.____.10123x xy x A B C D +=-曲线3247.,1234x y x+=设求:（）渐近线；（）函数的增减区间及极值；（）函数图像的凹凸区间及拐点；（）作出其图形.解：（1）因为3204lim =+x x x →+∞，所以0x = 为铅直渐近线324lim x x x→∞+不存在，所以无水平渐近线 334lim lim 1x x y x x x→∞→∞+==，()324lim lim 0x x x y x x x →∞→∞+-=-= 所以y x = 是斜渐近线（2）323481x y x x '⎛⎫+'==- ⎪⎝⎭，所以()[),0,2,-∞+∞ 为单调增区间，()0,2 单调减区间，所以2x = 是极小值点，极小值为3 （3）4240y x''=>，所以在定义区间均为凹函数，无拐点。
高数第一章 知识点总结
例 2. lim[x − x2 ln(1+ 1 )]
x→∞
x
例 3. lim[tan(π + 1 )]n
n→∞
4n
⎛
1
⎞
例
4.
lim
x→0
⎜ ⎜⎜⎝
2 1
+ +
ex
4
ex
+
sin x ⎟ | x | ⎟⎟⎠
往年考题:
(13-14) lim⎜⎛ x sin 1 + 1 sin x ⎟⎞ = _______________。
① lim sinϕ(x) = 1，注意极限的特征为 0 型；
ϕ(x)→0 ϕ(x)
0
②
ϕ
lim
( x )→∞
⎛ ⎜1 ⎝
+
ϕ
1 (x)
⎞ϕ ⎟ ⎠
(
x
)
=
1
e 或 lim (1+ ϕ(x))ϕ(x) ϕ (x)→0
=
e ，注意极限的特征为1∞
型。
4. 等价无穷小代换
① 常用的等价无穷小
ϕ(x) → 0 时
利用极限与无穷小的关系直接从已知极限中解出抽象函数然后代入待求极限利用极限的四则运算将其转化为已知函数的极限
第一章 一元函数的极限与连续1
基本知识点:
1. 函数运算
2. 求数列或函数的极限
3. 利用已知极限求极限
4. 无穷小量的比较
5. 确定极限表达式中的参数
6. 函数的连续性（间断点）
7. 确定分段函数中的参数
②
f
(
x)
在点
x0
有定义，但
lim
跨考教育考研数学高数第一章常考题型分析五
考研数学高数第一章常考题型五：极限中参数的确定59.【00—2 3分】设函数()bxx f x a e =+在(,)-∞+∞内连续，且lim ()0x f x →-∞=，则常数,a b 满足（ ） ()A 0,0a b << ()B 0,0a b >>()C 0,0a b ≤> ()D 0,0a b ≥< 60.【10—3 4分】 若 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→x x e a x x )1(1lim 0=1， 则a 等于（ ） ()A 0. ()B 1. ()C 2. ()D 3.61.【08—2 4分】已知函数()f x 连续，且201cos[()]lim 1(1)()x x xf x e f x →-=-，则(0)____f =62.【98—2 5分】确定常数,,a b c 的值，使30sin lim (0)ln(1)x x b ax x c c t dtt →-=≠+⎰ 63.【01—3 8分】已知()f x 在(),-∞+∞内可导，()()()lim ',lim lim 1xx x x x c f x e f x f x x c →∞→∞→∞+⎛⎫==--⎡⎤ ⎪⎣⎦-⎝⎭， 求c 的值。
64.【13—1 4分】已知极限0arctan lim k x x x c x →-=，其中,c k 为常数，且0c ≠，则（ ） （A ）12,2k c ==-（B ）12,2k c == （C ）13,3k c ==- （D ）13,3k c == 【小结】：极限中参数的求法1）常用结论：()lim ()x x αβ存在且lim ()0x β=，则lim ()0x α=；()lim 0()x c x αβ=≠且lim ()0x α=，则lim ()0x β=.2）当极限式中有两个或两个以上的未知参数时，则一般先保证极限存在，从而确定一部分参数值，再求出极限值，进而确定剩余的参数.参考答案59.【00—2 3分】()B60.【10—3 4分】()C61.【08—2 4分】262.【98—2 5分】1a =，10,2b c ==63.【01—3 8分】1264.【13—1 4分】()D。
考研《高等代数》考研考点与考研真题详解
考研《高等代数》考研考点与考研真题详解第1章多项式1.1考点归纳一、一元多项式1．数环与数域（1）数环设S是由一些复数组成的一个非空集合，如果对任何a，b∈S，总有a＋b，a －b，a·b∈S，则称S是一个数环．整数集Z，有理数集Q，实数集R，复数集C都是数环．（2）数域设P是由一些复数组成的集合，其中包括0与1，如果P中任意两个数（这两个数也可以相同）的和、差、积、商（除数不为零）仍然是P中的数，那么P 就称为一个数域．有理数集Q，实数集R，复数集C是最重要的三个数域．2．一元多项式设x是一个符号（或称文字），n是一非负整数，形式表达式…，其中a0，a1，…，an全属于数域P，称为系数在数域P中的一元多项式，或者简称为数域P上的一元多项式．n称为多项式的系数，f（x）的次数记为．3．一元多项式环所有系数在数域P中的一元多项式的全体，称为数域P上的一元多项式环，记为P[x]，P称为P[x]的系数域．二、整除的概念1．带余除法定义对于P[x]中任意两个多项式f（x）与g（x），其中g（x）≠0，一定有P[x]中的多项式q（x），r（x）存在，使f（x）＝q（x）g（x）＋r（x）成立，其中或者r（x）＝0，并且这样的q（x），r（x）是惟一决定的．带余除法中所得的q（x）通常称为g（x）除f（x）的商，r（x）称为g（x）除f（x）的余式．2．整除定义如果数域P上的多项式h（x）使等式f（x）＝g（x）h（x）成立，就称数域P 上的多项式g（x）整除f（x），用“g（x）丨f（x）”表示；用g（x）不能整除f（x）则用“g（x）f（x）”表示．当g（x）丨f（x）时，g（x）就称为f（x）的因式，f（x）称为g（x）的倍式．3．整除性的判别对于数域P上的任意两个多项式f（x），g（x），其中g（x）≠0，g（x）丨f （x）的充分必要条件是g（x）除f（x）的余式为零．注意：任一个多项式f（x）一定整除它自身；任一个多项式f（x）都整除零多项式；零次多项式，也就是非零常数，能整除任一个多项式．4．整除性的常用性质（1）如果f（x）丨g（x），g（x）丨f（x），那么f（x）＝cg（x），其中c 为非零常数；（2）如果f（x）丨g（x），g（x）丨h（x），那么f（x）丨h（x）（整除的传递性）；（3）如果f（x）丨gi（x），i＝1，2，…，r，那么f（x）丨（u1（x）gl（x）＋u2（x）g2（x）＋…＋ur（x）gr（x）），其中ui（x）是常数域P上任意的多项式．三、最大公因式1．公因式定义如果多项式既是f（x）的因式，又是g（x）的因式，那么就称为f（x）与g（x）的一个公因式．2．最大公因式（1）定义设f（x），g（x）是P[x]中两个多项式，若P[x]中多项式d（x）是f（x），g （x）的公因式且f（x），g（x）的公因式全是d（x）的因式，则称d（x）称为f（x），g（x）的一个最大公因式．两个多项式的最大公因式在可以相差一个非零常数倍的意义下是惟一确定的．（2）引理如果有等式f（x）＝q（x）g（x）＋r（x），成立，那么f（x），g（x）和g（x），r（x）有相同的公因式．（2）定理对于P[x]中任意两个多项式f（x），g（x），在P[x]中存在一个最大公因式d（x），且d（x）可以表成f（x），g（x）的一个组合，即有P[x]中多项式u（x），υ（x）使d（x）＝u（x）f（x）＋υ（x）g（x）可用辗转相除法来求最大公因式．3．多项式互素（1）定义P[x]中两个多项式f（x），g（x）满足（f（x），g（x））＝1，则称f（x）和g （x）互素（也称互质）．（2）性质①P[x]中两个多项式f（x），g（x）互素的充分必要条件是有P[x]中的多项式u （x），v（x）使u（x）f（x）＋υ（x）g（x）＝1；②如果（f（x），g（x））＝1，且f（x）丨g（x）h（x），那么f（x）丨h（x）；③如果f1（x）丨g（x），f2（x）丨g（x），且（f1（x），f2（x））＝1，那么f1（x）f2（x）丨g（x）；④如果（f（x），g（x））＝（f（x），h（x））＝1，则（f（x）g（x），h（x））＝1．四、因式分解定理1．不可约多项式（1）定义数域P上次数≥l的多项式p（x）如果不能表成该数域上的两个次数比p（x）的次数低的多项式的乘积，则称p（x）为域P上的不可约多项式．按照定义，一次多项式总是不可约多项式．（2）性质①如果p（x）是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式f（x），g（x），由p（x）丨f（x）g（x）一定推出p（x）丨f（x）或者p（x）丨g（x）．②如果不可约多项式p（x）整除一些多项式f1（x），f2（x），…，fs（x）的乘积f1（x），f2（x），…，fs（x），那么p（x）一定整除这些多项式之中的一个．2．因式分解及惟一性定理（1）惟一性定理数域P上每一个次数≥1的多项式f（x）都可以惟一地分解成数域P上一些不可约多项式的乘积．惟一性是指，如果有两个分解式f（x）＝p1（x）p2（x）…ps （x）＝q1（x）q2（x）…qt（x），那么必有s＝t，并且适当排列因式的次序后有pi（x）＝ciqi（x），i＝1，2，…，s，其中c（i＝1，2，…，s）是一些非零常数．（2）因式分解在多项式f（x）的分解式中，可以把每一个不可约因式的首项系数提出来，使它们成为首项系数为1的多项式，再把相同的不可约因式合并，于是f（x）的分解式成为其中c是f（x）的首项系数，p1（x），p2（x），…，ps（x）是不同的首项系数为1的不可约多项式，而r1，r2，…，rs是正整数，这种分解式称为多项式的标准分解式．五、重因式与多项式的根1．重因式定义如果不可约多项式p（x）满足（k≠0），而，则称p（x）为f（x）的k重因式，其中，若k＝1，那么p（x）称为f（x）的单因式．如果k＝0，那么p（x）根本不是f（x）。
高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解
第一章 函数、极限、连续第1节 函数★基本内容学习一 基本概念和性质1函数的定义设有两个变量x 和y ，变量x 的变域为D ，如果对于D 中的每一个x 值，按照一定的法则，变量y 有一个确定的值与之对应，则称变量y 为变量x 的函数，记作：()y f x =。
2函数概念的两要素①定义域：自变量x 的变化范围②对应关系：给定x 值,求y 值的方法。
3函数的三种表示方法①显式：形如()y f x =的称作显式，它最直观，也是初等函数一般采用的形式。
②隐式：有时有些关系用显式无法完全表达，这时要用到隐式，形如(,)0F x y =，如椭圆函数22221x y a b+=。
③参数式：形如平抛运动的轨迹方程212x vt y gt =⎧⎪⎨=⎪⎩称作参数式。
参数式将两个变量的问题转化为一个变量的问题，从而使很多难以处理的问题简化。
4函数的四个基本性质①奇偶性：设函数()f x 在对称区间X 上有定义，如果对于x X ∀∈恒有()()f x f x =- (或)()()f x f x =--，则称()f x 为偶函数(或()f x 奇函数)。
注：偶函数()f x 图形关于y 轴对称，奇函数()f x 的图形关于坐标原点对称。
②有界性：设函数()f x 在区间X 上有定义,如果0M ∃>,使得对一切x X ∈,恒有：()f x M ≤,则称()f x 在区间X 上有界；若不存在这样的0M >，则称()f x 在区间X 上无界.注：函数()f x 有无界是相对于某个区间而言的。
③周期性：设函数()f x 在区间X 上有定义,若存在一个与x 无关的正数T ，使对任一x X ∈，恒有()()f x T f x += 则称()f x 是以T 为周期的周期函数，把满足上式的最小正数T 称为函数()f x 的周期。
④单调性：设函数()f x 在区间X 上有定义，如果对1212,,x x X x x ∀∈<,恒有：()()12f x f x ≤(或()()12f x f x ≥)则称()f x 在区间X上是单调增加(或单调减少)的；如果对于1212,,x x X x x ∀∈<,恒有：()()12f x f x < (或()()12f x f x >)则称()f x 在区间X上是严格单调增加(或严格单调减少)的。
考研高数总复习第一章多项式第七节(讲义)PPT课件
.
Foil 9
如果 f (x) - g(x) 0 ，那么它就是一个次数不超过 n
的多项式， 由 定理 8 P它[x不] 中可能n有次n多+ 1项个式根.( n 0 ) 在
因此， f (x) = g(x) .
中的根不可能多于 n 个，重根按重数证计毕算.
为 f (x) 的 k 重根，如果 ( x - ) 是 f (x) 的 k 重因式.
单根 当 k = 1 时， 称为
；
根. .
重 当 k > 1 时， 称为
称
Foil 6
定理 8 P[x] 中 n 次多项式 ( n 0 ) 在数域 P
中的根不可能多于 n 个，重根按重数计算.
证明 对零次多项式定理显然成立.
第七节 多项式函数
主要内容
定义 性质
.
Foil 1
一、定义
直到现在为止，我们始终是纯形式地讨论多项
式，也就是把多项式看作形式的表达式.
在这一节
我们将从另一个观点，即函数的观点来考察多项式
设
f (x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0
(1)
是 P[x] 中的多项式， 是 P 中的数，在 (1) 中用
以 代 x ，得 f ( ) = c .
.
证毕
Foil 5
如果 f (x) 在 x = 时函数值 f ( ) = 0，那么
根 零点 就称为 f (x) 的一个 或
.
由余数定理我们得到根与一次因式的关系：
推论 是 f (x) 的根的充分必要条件是
考研数学一大纲核心知识点解析线性代数部分典型题型详解
考研数学一大纲核心知识点解析线性代数部分典型题型详解考研数学一大纲核心知识点解析——线性代数部分典型题型详解随着考研热潮的兴起，越来越多的学子选择考研数学一。
数学一是理工科考研生非常重要的科目之一，其中线性代数作为数学一的一个重要组成部分，对考生来说是必备技能之一。
本文将围绕着考研数学一大纲中线性代数部分的核心知识点进行解析，并通过详细的典型题型解析，帮助考生掌握线性代数的重要知识点。
一、矩阵及其运算1.1 矩阵的基本概念矩阵是考研数学一中最基本的概念之一，它由行和列组成，可以用于表示线性方程组、线性映射等问题。
矩阵的转置、加法和数乘等运算是矩阵运算的基本操作。
例如，给定矩阵A、B和数k，满足以下条件：\[A = \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\\end{pmatrix},B = \begin{pmatrix}b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \\\end{pmatrix},k \in R\]则有以下矩阵运算法则：（1）矩阵的转置：$A^T$表示矩阵A的转置，即将A的行变为列，列变为行；（2）矩阵的加法：$A + B$表示两个矩阵对应元素相加所得的矩阵；（3）数乘：$kA$表示把矩阵A的每个元素都乘以k所得的矩阵。
考研数学第一章知识点详解
考研数学第一章知识点详解来源：文都图书不知不觉已经进入寒假了，对于准备2017考研的同学们。
这个寒假已近不同于以往的寒假了。
如果大家能偶把握好这个阶段，对日后的复习会有很大的帮助。
那么对于考研数学来说，在基础复习的阶段，一定是以课本为主，所以在这个寒假，大家基本上是从第一掌开始进行复习。
所以下面就给大家总结一下第一章的重要知识点，给大家梳理一下。
首先我们来说说函数。
函数的概念和性质这些都是高中已经学过的内容，我们在这里主要是来帮大家回顾一下，函数的四大性质我们会在后面的章节中，结合到具体函数来加以分析，其中函数的有界性和复合函数运算，要认真学习理解，复合函数运算对后面函数的求导、积分等都有一定的关系，所以请同学们认真学习理解。
其次是极限。
极限是我们整个高等数学的思想，所以一定要认真学习，下面我们来复习一下有关极限计算有几种情况：(1)四则运算。
四则运算要求每个极限都存在，才可以有有两个函数的极限等于分别求极限之和或者之积，否则我们既就不能应用四则运算。
(2)等价无穷小替换。
等价无穷小替换公式主要用于极限的计算化简，使得我们可以更快加迅速的求解，但是我们要注意等价无穷下是在极限后独立乘除的式子中才可以用，并不是任何情况下都可以等价替换的，这一点请同学们要记住。
同时，我们必须把相关常用的等价无穷小替换公式记住，并且会用它的广义化形式，这样才能运用自如。
(3)洛必达法则。
说起这个法则，大家应该都很熟悉，但是使用洛必达法则是需要条件的，它是有三个条件的，而且，洛必达法则也并不是一上来就用的，一般是先利用等价无穷替换公式和四则运算又或者是先把非零因式提出来，进而将极限形式简化，最后再用洛必达法则，当然是要先满足洛必达法则的三个条件才能用。
(4)单侧极限。
单侧极限是要分左右两侧求极限，例如分段函数、指数函数、反正切函数等这都是要分测计算极限的，并且这些函数我们在讲极限的性质时已经给同学们讲过了，像这几种函数的极限都是不存在的，他们的左右极限是不相等的。
考研数学 数一常考题型和知识点归纳
第二篇高等数学第一章函数、极限、连续思考的鱼点拨“函数、极限、连续”这一部分的概念及运算是高等数学的基础，它们是每年必考的内容之一，数学一中本部分分数平均每年约占高等数学部分的10％.本章的考题类型及知识点大致有：1.求函数的表达式：(1)给出函数在某一区间上的表达式及某些条件，求该函数在另一区间上的表达式(数学(二)考过)；(2)求分段复合函数的表达式(1990一(3)题考过，数学(二)考过多次).2.数列的极限的概念理解与运算定理：(1)数列极限的概念的理解及定义的等价叙述(数学(二)考过)；(2)运算定理的正确运用与性质的正确理解(2003二(2)题)；(3)求数列的极限：①化成积分和式求极限(1998七题)；②夹逼定理求极限(1998七题，2005二(7)题)；③单调有界定理求极限或讨论极限的存在性(2006三(16)题，2008一(4)题)；④化成函数极限求极限(2006三(16)题).3.函数的极限：(1)求七种待定型的极限(1998一(1)题，1999一(1)题，2003一(1)题，2006一(1)题，2008三(15)题，2003三题，1997五题)；(2)运算定理的正确使用与性质的正确理解(1997一(1)题，2000三题，2004二(8)题)：(3)已知某些极限求其中的某些参数(2009一(1)题)；(4)已知某函数的极限，求与此有关的另一函数的极限(数学(二)考过).4.无穷小的比较：(1)给了若干个无穷小，比较它们的阶的高低(2004二(7)题，2007一(1)题)；(2)给了两个无穷小，已知一个是另一个的等价(或高阶)无穷小，求其中的参数(2002三题).5.函数的连续与间断：(1)讨论初等函数的间断点及类型(数学(二)考过多次)；(2)讨论分段函数的连续性或由连续性确定其中的参数(数学(二)考过多次)；(3)函数以极限形式表达，讨论该函数的连续性(数学(二)考过多次)；(4)已知某些函数的连续性(间断点)，讨论与此有关的另一些函数的连续性(间断点)(数学(二)考过多次)；(5)连续函数介值定理的应用(2005三(18)题，2004三(18)题，数学(二)考过多次).读者请注意，上面提到的类型，数学(一)有许多未曾考到，所以本章尚有相当大的命题空间.其次，以后各章要用到本章内容，从而掌握本章内容是十分基础、十分重要的.第二章一元函数微分学思考的鱼点拨导数与微分是微分学的基本概念，导数与微分的计算是微分学的基本计算，导数与微分的应用——利用导数研究函数的性质是微分学的基本内容，每年必考，本部分分数在数学中平均约占高等数学部分的17％.本章的考题类型及知识点大致有：1.求导数与微分，导数的几何意义：(1)显函数求导数(未考过)；(2)隐函数求导数(2002一(2)题，2008二(10)题)；(3)参数式求导数(1997一(3)题)；(4)在直角坐标中求切线斜率、切线方程(2004一(1)题)，2002四题，2003三题，2005三(17)题)；(5)在极坐标中求切线斜率、切线方程(1997一(3)题)；(6)奇、偶、周期函数的导数(2005二(8)题)；(7)变限积分求导数(2002四题，1997一(2)题，1998二(1)题，1999二(1)题，1997五题)；(8)导数的变量变换(变量变换变化微分方程)(2003七题).2.按定义求一点处的导数，可导与连续的关系.(1)讨论分段函数在分界点处的可导性或求导数(2005二(7)题)；(2)按定义讨论某点的可导性(1999二(2)题)；(3)已知某极限存在讨论某点可导，或反之，或利用导数求极限，利用极限求某点处的导数(200l二(3)题；2007 (4)题；2009三(18)题)；(4)已知某点可导，求其中参数(2002三题)；(5)绝对值函数求导数(1998二(2)题)；(6)由极限表示的函数的可导性(2005一(7)题).3.讨论函数单调性、极值、凹凸性、拐点、渐近线、曲率：(1)单调性与极值(2003二(1)题，2004二(8)题)；(2)增量、导数与微分的关系(1998二(3)题，2006二(7)题)；(3)凹向与拐点(2005三(17)题)；(4)渐近线(2005—1)题，2007一(2)题)；(5)曲率(1991九题考过).4.中值定理及其应用：(1)不等式的证明(2000二(1)题，1999六题，2004三(15)题)；(2)零点问题(2005三(18)题，1998九题，2000九题，2007三(19)题)；(3)有关函数与导数的关系(2001二(1)题，2002二(3)题，2007一(5)题)；(4)有关“中值”的极限问题(2001七题)；(5)泰勒公式的应用(1999六题，2001七题，2002三题)；(6)中值定理的证明(2009三(18)题).由上列举可见，本章的知识点及考题类型几乎全部考到，频率出现多的是：变限积分求导数，按定义求导，不等式与零点问题，泰勒公式的应用.在按定义求导数时，应与使用洛必达法则的条件相区别.其他频率出现少的，也应注意，例如导数的几何意义、单调性与极值、绝对值函数求导数等.第三章一元函数积分学思考的鱼点拨定积分与不定积分的概念及运算是积分学的基础，利用定积分表示与计算一些几何、物理量是积分学的基本应用，每年必考，本部分分数在数学一中平均约占高等数学部分的17％.本章的考题类型及知识点大致有：1.不定积分与定积分的计算：(1)分段函数求不定积分(未考过)；(2)分段函数求定积分与变限积分(数学(二)考过)；(3)计算带绝对值号的定积分(数学(二)考过)；(4)计算般不定积分(2004 (2)题，2001三题)；(5)计算一般定积分(2000一(1)题，2007二(11)题)：(6)计算反常积分(2002 (1)题)；(7)计算被积函数含有导数或变限积分的积分(2005三(17)题).2.定积分的应用：(1)几何应用(1997二(2)题，2003三题，2007一(3)题，2009一(3)题，2009三(16)题，2009三(17)题)；(2)物理应用(1997七题，2003六题)；(3)利用积分和式求极限(1998七题).3.定积分(变限积分)的证明题：(1)不等式问题(包括估值问题)(1997二(2)题，1997二(3)题)；(2)零点问题(1998九题，2000九题)；(3)关于奇、偶函数、周期函数的证明题(1999二(1)题，2005二(8)题，2008三(18)题)：(4)变限函数关于单调性的题(2009一(3)题)；(5)变限函数求导问题(1999一(2)题，1998二(1)题，1997五题，2008一(1)题)；(6)积分中值定理的应用(2000九题).本章虽然各类型大都考过，但变换具体函数去命题，考题空间仍很大，读者注意举一反三，掌握一般方法.第四章向量代数与空间解析几何思考的鱼点拨向量代数主要是向量的表示法与向量的代数运算(加减、数乘、点积、叉积)，空间锯析几何主要是曲面与空间曲线的方程，重点是平面、直线以及常见曲面(球面、柱面以及旋转面等)的方程，历年考题中直接对本部分命制的题目不多，且多为选择题或填空题.本章的考题类型及知识点大致有：1.关于向量运算：(1)给出一些关系求另一些关系(1995一(3)考过)；(2)两向量平行、垂直、交角、模等问题(未考过)；(3)三点共线与三向量共面问题(未考过)；2.直线与平面问题(大都与空间曲面的切平面、空间曲线的切线相结合的问题)：(1)求直线方程(1998三题)，2000一(2)题，1992二(3)考过)；(2)求平面方程(1997四(1)题，2000一(2)题，2003一(2)题，1989二(2)题，1990一(1)题，1991一(3)题，1994一(2)题，1996一(2)题都考过)；(3)平面与直线的相对位置(平行、垂直、交角等)(1993二(3)题，1995二(1)题都考过)；(4)点到平面的距离(2006一(4)题，1999八题).3.二次曲面的题(大都与第六章相结合，给出二次曲面，要求知道它的位置及大致图形.二次曲面中常用的图形为椭球面(包括球面)、旋转抛物面、锥面、母线与坐标面平行的柱面.求旋转面的方程(2009三(17)题).由以上列举看出，近十年来本章单独考的不多，与第五章相结合的考过四次.应该说是属于不常考的章节.但基本公式、基本方法仍应掌握.第五章多元函数微分学思考的鱼点拨多元函数微分学包括有若干基本概念及其联系，多元函数的复合函数求导法及其应用，梯度向量与方向导数的计算方法，多元函数微分学的几何应用(求空间曲线的切线、法平面与空间曲面的切平面、法线)极值判断与最值问题等，在历年考试中多元函数微分学的平均分数约占高等数学的l／7，也是比较重要的.本章的考题类型及知识点大致有：1.求偏导数，全微分，方向导数，梯度，散度，旋度：(1)给出具体函数关系的复合函数求偏导数或全微分(1994 (3)考过)；(2)给出抽象函数关系的复合函数求偏导数或全微分(1998一(2)题，2005二(9)题，2006二(10)题，2000四题，2001四题，2007二(12)题，2006三(15)题，2009二(9)题)；(3)给出方程经变量变换化简方程(1997四(2)题，1996四(2)也考过)；(4)给出具体的方程求隐函数的偏导数或全微分(199l一(2)考过)；(5)给出抽象的方程(方程组)求隐函数的偏导数或全微分(1999三题)；(6)求方向导数，梯度，散度，旋度(200l一(2)题，2005一(3)题，3.5(2002八题，2008一(2)题，1992一(2)也考过).2.函数在一点处极限的存在性，连续性，偏导数的存在性，全微分存在性与偏导数的连续性的讨论与它们之间的因果关系：(1)函数在点处极限不存在性讨论(1997二(1)题)；(2)隐函数的存在性(2005二(10)题)；(3)偏导数的存在性(1997二(1)题)；(4)全微分的存在性(200l二(2)题)；(5)函数在一点处连续性，偏导数存在性，全微分存在性与偏导数的连续性的因果关系讨论(2002二(1)题).3.曲面的切平面，曲线的切线：(1)曲面的法向量、切平面与法线(2000一(2)题，2003一(2)题，1997四(1)题，1999八题，1993一(2)也考过，1994一(2)也考过)；(2)曲线的切向量、切线与曲线的法平面(2001二(2)题).4.极值与最值：(1)按定义讨论极值(2003二(3)题)；(2)极值的必要条件，驻点的讨论(2006二(10)题)；(3)求极值(含拉格朗日乘数法)与最值(2002八题，2007三(17)题，2008三(17)题，2009三(15)题)；(4)求隐函数的极值(2004三(19)题).由以上可见，本章各知识点大都考过，主要是计算.考题频率最高的是抽象函数关系的复合函数求偏导数，其次是方向导数，曲面的法向量与切平面(与空间解析几何相合).关于概念(见以上“2”)方面的题，应引起注意.关于“4”极值与最值的题，出题频率虽然不高，但有一定的综合性与难度，从考试结果看，这部分碍分不理想，考生不应忽视.第六章多元函数积分学思考的鱼点拨多元函数积分学包括各类积分的概念、计算和应用；格林公式、高斯公式和斯托克斯公式及其应用；平面曲线积分与路径无关及全微分式的原函数问题等.在历年的考试中多元函数积分学占有最重要的地位，平均分数约占高等数学总分的1／4.本章的考题类型及知识点大致有：1.二重积分的计算及应用：(1)二重积分在直角坐标中的计算(单独未考过，在其他题中出现过)；(2)二重积分在极坐标中的计算与直极互化(2006二(8)题，2001八题，2005三(15)题，2006三(15)题)；(3)交换积分次序(2001一(3)题，2004二(10)题，1990一(4)题考过)；(4)绝对值函数的二重积分(二次积分)的计算(未考过)；(5)分块函数的二重积分(二次积分)的计算(2002五题，2005三题)；(6)利用对称性、轮换对称性化简计算(2003五题，2006三(15)题，2009～(2)题)；(7)二重积分的证明题与二重积分的估值(2003五题)；(8)三重积分的应用(2001八题).2.三重积分的计算及应用：(1)三重积分在直角坐标中的计算(单独未考过)；(2)三重积分在球面坐标与柱面坐标中的计算(2005一(4)题，2006一(3)题，1997三(1)题，2000八题，2003八题，2009二(12)题)；(3)利用对称性、轮换对称性化简计算(2000八题，1995三(2)题考过)；(4)三重积分的应用(2000八题).3.化多重积分为定积分：(1)化二重积分为变限积分求导问题(2004二(10)题)；(2)化二重积分为定积分求其中未知函数(数学(三)1997八题考过)；(3)化其它积分为定积分或二重积分的证明题(2003五题，2003八题).4.第一型曲线积分与第型曲面积分：(1)计算(1999八题，2009二(11)题)；(2)利用对称性、轮换对称性化简(1998一(3)题，2000二(2)题，2007二(14)题)；(3)应用(未考过).5.平面第二型曲线积分及应用：(1)用参数式计算(2004—(3)题，2000五题，2003五题)；(2)用格林公式或加、减弧段格林公式法(1999四题，2003五题，2008三(16)题)；(3)路径无关问题与原函数法(1998四题，1999四题，2002六题，2005三(19)题，2006三(19)题，2007一(6)题)；(4)与微分方程有关的问题(2005三(19)题)；(5)挖洞法(2000五题)；(6)应用(1990九题考过).6.第二型曲面积分及应用：(1)用投影法计算(1998六题，2001六题，2004三(17)题)；(2)用高斯公式或加、减曲面片高斯公式法(2005一(4)题，2006一(3)题，1998六题，2000六题，2004三(17)题，2007三(18)题，2008二(12)题)；(3)转换投影法或化成第一型曲面积分计算(2001六题，2004三(17)题)；(4)挖洞法(2009三(19)题)；(5)与微分方程有关的问题(2000六题).7.空间第二型曲线积分：(1)用参数式计算(1997三(2)题，2001六题)；(2)用斯托克斯公式计算(1997三(2)题，2001六题)；由以上可见，本章在数学(一)中的地位至关重要，考分占总分的1／6，考得最多的是(1)二重积分：包括极坐标中计算，交换积分次序，利用对称性、轮换对称性化简计算；(2)三重积分：包括在球面坐标、柱面坐标中的计算，利用对称性、轮换对称性化简计算；(3)平面第二型曲线积分：包括用参数式计算，用格林公式或加、减弧段格林公式计算，路径无关问题的讨论与路径无关问题计算该积分，原函数法与求原函数，与微分方程相结合的题；(4)第二型曲面积分：包括用投影法计算，用高斯公式或加、减曲面片高斯公式法计算，转换投影法计算或化成第一型曲面积分计算，与微分方程相结合的题.以上各类题的计算，都有一套规范的方法.关键是选择方便而有效的方法，可以起到事半功倍的作用.以上诸项中，“3”以及“5(3)”，有时涉及一些理论，可能会有点困难.但是，正如俗话所说“熟能生巧”，熟了也就不难了.第七章无穷级数思考的鱼点拨级数部分包括级数的若干基本概念，判别级数的敛散性(包括条件收敛与绝对收敛)的各种方法，幂级数的收敛性与和函数的性质，幂级数收敛域的求法，求幂级数的和函数与求函数的幂级数展开式的方法，还有傅里叶级数和它的和函数等.此部分在历年试题中的平均分数约占高等数学总分的l／6.若分为数值级数、幂级数与傅氏级数三大部分，则幂级数部分考得最多，占级数总分的一半还强，求幂级数的收敛域，实质上就是级数敛散性的判断，若把它划入级数敛散性判断部分，这部分的分数将接近级数总分的一半.求一般函数项级数的收敛域在考试大纲中也是要求的，但从未考过.不过这个问题实质上也是级数敛散性的判断问题.本章的考题类型及知识点大致有：1.数项级数判敛：(1)给出具体的数项级数判敛(1999二(3))题考过，1992二(2)题考过，1995二(4)题考过；(2)已知某抽象数项级数的敛散性，讨论与此有关的另一些级数的敛散性(2000二(3)题)，2002二(2)题，2004二(9)题，2006二(9)题，2009一(4)题)；(3)通项由某些条件(具体或抽象)给出，讨论该级数的敛散性(1997六题，1998八题，1999九题，2004三(18)题)；(4)讨论交错级数或任意项级数的敛散性(2000七题).2.关于幂级数：(1)求幂级数的收敛半径、收敛区间与收敛域(2000七题，2005三(16)题，2008二(11)题，1995一(4)题考过)；(2)已知幂级数在某点收敛或发散或条件收敛，或已知收敛半径，讨论另一与此有关的幂级数在另一点处的敛散性，或求收敛半径、收敛区间(的范围)(1997一(2)题)；(3)将函数展开成x－x0的幂级数并求收敛域，并求某数项级数的和(2001五题，2003四题，2006三(17)题)；(4)求幂级数的和函数或可通过幂级数求和的数项级数求和(2005三(16)题，1990四题考过)；(5)验证或设某幂级数满足某微分方程从而求此幂级数的和函数(2002七题，2007三(20))；(6)求某些数项级数的和(1999九题，2009三(16)题).3.傅里叶级数：(1)求傅里叶系数或傅里叶级数(2003一(3)题，2008三(19)，1991五题考过，1993一(3)题考过)；(2)按正弦展开或按余弦展开求其傅里叶系数或傅里叶级数(1995四(2)题考过)；(3)按狄利克雷定理求傅里叶系数在某点的收敛和(1999二(3)题，1989二(4)题考过，1992一(3)题考过)；(4)由傅里叶级数讨论与此有关的另一些数项级数的和(2008三(19)题，1991五题考过)由以上可见，数项级数判敛问题中的1(1)，早期考过几次，后来不考了.近期考得多的是1(2)与1(3).函数展开成幂级数并讨论其成立范围，以及简单幂级数求和，仍是考试热点，考生对此应引起足够重视.函数展开成幂级数采用间接展开法，有一套规范步骤.简单幂级数求和，虽说有一点难度，但作为考研来说，处理的手法还是有法可依.傅里叶级数的考题较简单，由于求傅里叶级数计算量大，所以考得较少，按狄利克雷定理求某点处的收敛和，相对说来考得较多，考生对此应足够重视.第八章常微分方程思考的鱼点拨微分方程问题是积分问题的延伸，有着极为广泛的应用，是历年考研必考内容.在高等数学部分，微分方程在数学一中平均每年所占分数约为15％.本章的考试类型及知识点大致有：1.12种典型类型求解以及自由项为特殊情形时的线性非齐次方程特解y＊的设定：(1)一阶5种类型求解(2005 (2)题，2006一(2)题，2008二(9)题，1992一(4)题，1993二(4)题，1993三(3)题，1994五题均考过)；(2)二阶可降阶3种类型求解(2000一(3)题，2002一(3)题)；(3)二阶及高阶常系数线性齐次方程与非齐次方程3种类型求解(1999 —(3)题，2007二(13)题，2008一(3)题，2009二(10)题)；(4)欧拉方程求解(2004一(4)题)；(5)y＊的设定(数学(二)考过).2.线性非齐次微分方程与对应的线性齐次微分方程的解的关系：(1)已知非齐次方程的解求对应的齐次方程的(通)解(未考过)；(2)已知非齐次方程足够多的解求该非齐次方程的通解(1989二(3)题考过，2006数学(三)、(四)考过.3.已知(通)解求微分方程：(1)未说明方程是什么形式，已知通解求微分方程(未考过)；(2)已知二阶(或一阶或更高阶)线性方程的通解(或若干个线性无关的特解)求该方程(2001 (1)题，2009二(10)题).4.自由项为绝对值函数或有间断点的函数的线性微分方程求解：(1)自由项为绝对值函数的情形(未考过)；(2)自由项为有跳跃间断点的函数的情形(数学(三)1999六题考过).5.经变量变换解微分方程：(1)经反函数变量变换(2003七题)；(2)给出已知的变量变换(数学(二)考过多次).6.将积分方程或偏微分方程化成微分方程求解：(1)积分方程化为微分方程求解(1991二(2)考过)；(2)偏微分方程化为微分方程求解(1997四(2)题，2006三(18)题).7.微分方程的应用(1)几何方面(1999五题，1995五题考过，1996六题考过)；(2)物理方面(1998五题，2004三(16)题)；(3)变化率方面(1997三(3)题，2001八题).由上可见，本章常考的是“1”与“7”.有许多类型未命过题或很少命题，命题空间很大，例如1(5)，4，以及6可以与其他章节结合来命题，值得重视.第三篇线性代数第一章行列式思考的鱼点拨行列式在整个试卷中所占比重不是很大，一般以填空题，选择题为主，但它是必考内容当然，不只是考查行列式的概念、性质、运算，还会涉及到其他各章、节的内容，例如矩阵的可逆、矩阵的秩、向量的线性相关性、线性方程组、矩阵的特征值、正定二次型等等，如果试卷中没有独立的行列式的试题，那必然会在其他章节的试题中得到体现.一般有关行列式的试题有两大类：计算题和判断题1.行列式的计算题.例如：计算行列式计算行列式的值这类属于数字型的直接计算题，一般利用性质，消零展开或消零化成上(下)三角形行列式即可解决.多数行列式的试题，属于与后续章节有关的、抽象型的行列式的计算题，如 1.1题，1.2题这类题增加了考核的知识点，有一定的综合性.要求考生充分利用题设条件，通过知识的内在联系，化简、运算，最后得出所求行列式的值.(2)行列式的判别题，主要是判别行列式是否为零.例2.1题，因为行列式是否为零对矩阵是否可逆、是否满秩，对方程组A n×n X=O是否有非零解，A n×n X=b是否有唯一解，对A中的列(行)向量组是否线性相关等都起到了“分水岭”的作用，会引起矩阵重要性质的变化.︳A n×n ︳是否为零，除直接计算出︳A ︳=O(或≠0)，或计算出︳A ︳=k︳A ︳，其中k≠1，︳A n×n ︳=0(≠0)⇔A n×n不可逆(可逆)⇔r(A)<n，不满秩(=n，满秩)⇔A n×n X=O有非零解(只有零解)⇔A n×n X=b有唯一解(解不唯一；可能无解；若有解，则为无穷解)⇔A n×n 的n个行(列)线性相关(线性无关)注意这些都是充分必要条件，可以相互判别.第二章矩阵思考的鱼点拨矩阵及其运算是线性代数的核心，后续各章的基础，考点较多，重点考点是逆矩阵、伴随矩阵及矩阵方程，这几年还频频出现初等变换与初等阵的试题，应注意到的大致有以下几部分内容.1.基本运算：要搞清概念，熟练掌握运算规则并保证运算的正确性，重点关注以下几点.(1)搞清能否运算，怎样运算，运算结果是什么.(2)搞清数的运算、行列式的性质，与矩阵运算的区别.(3)充分利用运算规则，如计算中结合律、分配律的利用，但矩阵运算没有交换律，消去律.2.逆矩阵：理解逆矩阵的概念，掌握运算法则，掌握矩阵可逆的充分必要条件，会证矩阵可逆，并能正确求出逆矩阵.求逆矩阵的方法：对数值矩阵，一般有(1)公式法.A-1=1/︳A ︳A＊，特别适用二阶矩阵；(2)初等变换法.[A ︳B]→[E ︳A].对抽象矩阵，一般有(3)定义法，化成AB=E，则A可逆，且A-1=B；(4)化成已知可逆矩阵的乘积，即若化成A=BC，其中B，C均是可逆阵，则A可逆，A-1=(BC)-1=C-1B-1.证明A可逆的方法：A可逆⇔︳A ︳≠0⇔AX=0有唯一零解⇔AX=b有唯一解⇔r(A)=n⇔A的行(列)向量组线性无关，或用反证法.3.伴随矩阵A＊：理解伴随矩阵的概念，注意A i j与A＊的联系，能熟练得出A，A-1，A＊，(A ＊)-1，︳A ︳，︳A＊︳之间的关系，如(1)︳A＊︳=︳A ︳n-1，(2)若A可逆，(A＊)-1=1/︳A ︳A，A＊=︳A ︳A-1.若公式中将A代入kA时，有(kA)(kA)＊=︳kA ︳E，得(kA)＊=k n-1A＊；若公式中将A代入A＊时，有A＊(A＊)＊=︳A＊︳E，得(A＊)＊=︳A ︳n-2A.A＊的秩只有n，1，0三种可能，且4.矩阵方程：矩阵方程的试题较多，这类试题具有定的综合性，既考查了利用矩阵运算法则、性质等把方程化简，又考查了具体的数值计算.解这类试题要求分二步走，“先化简”，写出所求矩阵的最简表达式，再代入具体的数值矩阵，进行数值运算(如题2.3).5.初等变换、初等阵、矩阵的秩及等价矩阵理解初等变换的概念，了解初等阵及其性质，能将矩阵的初等变换表达成矩阵乘初等阵，反之能将矩阵乘初等阵翻译成作初等变换(如题2.1～2.3)理解矩阵秩的概念，掌握用初等变换求秩及逆矩阵的方法6.分块阵：了解分块阵及其运算，会求分块对角阵的n次幂及分块对角阵的逆等.第三章向量思考的鱼点拨向量组的线性相关性是线性代数中的难点，也是考试的重点，考生应深刻理解线性相关性的内在的含义外，还应与线性表出、向的秩及线性方程组等相联系，从各个侧面加强对线性相关性的理解.本章试题大致有以下四个部分:1.向量的线性表出向量β能否由向量组α1，α2，…αs，线性表出⇔方程组α1x1+α2x2+…αs x n=[α1，α2，…αs]X=A n×s X=β是否有解，其解即是表出系数⇔r(A)和r(A︳β)是否相等.若α1，α2，…αs线性无关，α1，α2，…αs，β线性相关，则β可由α1，α2，…αs线性表出，且表出法唯一.若α1，α2，…αs线性相关，则至少存在一个向量αi可由其余向量线性表出.向量组(I) β1，β2，…βs中任一个向量βi(1，2，…，s)都可由(Ⅱ) α1，α2，…αs线性表出，称向量组(I)可由向量组(Ⅱ)线性表出，两组向量可以相Ⅰ互表出，则称两向量组等价，等价向量组等秩，反之不成立.2.向量组线性相关性的判别和证明要说明或证明向量组α1，α2，…αs线性相关，只要求出(观察出)有不全为零的数k1，k2，…k s，使k1α1+k2α2+…+k sαs=0.即说明或证明方程组有k1α1+k2α2+…+k sαs=0有非零解.证明一组向量α1，α2，…αs线性无关，有两类题型：(1)若题设条件中只有一组向量(附有一些其他条件)，则应利用定义证明(实质上是反证法)；(2)若已知一组向量线性无关，要证另一组向量也线性无关，则可以用定义证明，也可以用等价向量组、秩、方程组等方法证明(例题2.5).3.求向量组的极大线性无关组及向量组的秩应理解向量组的极大线性无关组的概念，并掌握其求法则向量组α1，α2，…αs和α1＇，α2＇，…αs＇是等价向量组，等价向量组等秩.A=[β1，β2，…βs][ β1＇，β2＇，…βs＇]，则β1，β2，…βs与β1＇，β2＇，…βs＇中任何对应的部分向量组有相同的线性相关性.向量组极大线性无关组不唯一，但极大无关组的向量个数是唯一的，此数即是向量组的秩.(4)向量空间，要求了解向量空间、子空间、解空间，基、维数，坐标等概念，了解基变换公式、坐标变换公式，会求过渡矩阵，掌握施密特标准正交化方法，这部分内容相对试题较少，从1987年考研数学统考以来，共出过4题，二个题是过渡矩阵的(例题1.1)，一题是求解空间的标准正交基，一题是求一个向量在一组基下的坐标.第四章线性方程组思考的鱼点拨本章要求理解线性齐次方程组有非零解、唯一零解，线性非齐次方程组无解、唯一解、无穷多解的充分必要条件，理解线性齐次方程组的基础解系、通解、解空间的概念，掌握求解的方法，并会求解，理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念，并会求解.本章试题大致有三种类型：1.判别齐次方程组是否有非零解，非齐次方程组AX=b是否无解、唯一解、无穷多解A m×n X=O 有非零解(唯一零解)⇔r(A)<n(=n) ⇔A的列向量组线性相关(线性无关).A m×n X=O无解⇔r(A)≠r[A ︳b].唯一解⇔r(A)=r[A ︳b]=n.无穷多解⇔r(A)= r[A ︳b]=r<n.当A是n×n矩阵时，还可用︳A ︳=O(或≠0)判别(例题1.1)，并说明解的几何意义.判别某向量，或某向量集合是否是方程的解或方程组的通解，及两个方程组是否同解等(例题2.1).2.求解线性齐次方程组的基础解系和通解(例题3.5)，求解非齐次方程组的通解(例题3.6)(包括含有参数时，有解情况的讨论)，求解方程组时，请注意每个步骤的正确性.步骤如下：(1)抄对系数矩阵或增广矩阵；(2)正确进行初等行变换，含有参数时，要选择合适的消元的顺序；(3)全面讨论参数的取值与解的关系；(4)认定r(A)(即独立未知量，独立方程个数)，认定自由未知量，并赋予合适的特定值，。