2019学年浙江省杭州市第二次高考科目教学质量检测高三数学检测试卷

2019学年浙江省杭州市第二次高考科目教学质量检测
高三数学检测试卷
考生须知：
1．本卷满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，在答题卷密封线内填写学校、班级和姓名． 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效． 4．考试结束，只需上交答题卷． 选择题部分（共40分）
一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1． 已知集合 A ＝{x | x ＞1}， B ＝{x | x ＜2}，则 A ∩B ＝（ ） A ． { x | 1＜x ＜2} B ． {x | x ＞1} C ． {x | x ＞2} D ． {x | x ≥1}
2．设 a ∈R ，若(1＋3i)(1＋a i)∈R （ i 是虚数单位），则 a ＝（ ） A ． 3 B ． －3 C ．
13 D ． －13
3． 二项式
5
12)x
x -（的展开式中 x 3项的系数是（ ） A ． 80 B ． 48 C ． －40 D ． －80
4．设圆 C 1： x 2＋y 2＝1 与 C 2： (x －2)2＋(y ＋2)2＝1，则圆 C 1与 C 2的位置关系是（ ） A ．外离 B ．外切 C ．相交 D ．内含
5． 若实数 x ， y 满足约束条件 2x+3y-90
x-2y-10≥⎧⎨≤⎩
，设z ＝x ＋2y ，则（ ）
A ． z ≤0
B ．0≤z ≤5
C ． 3≤z ≤5
D ．z ≥5 6．设 a ＞b ＞0， e 为自然对数的底数． 若 a b ＝b a ，则（ ） A ． ab ＝e 2 B ． ab ＝21e
C ． ab ＞e 2
D ． ab ＜e 2
7． 已知 0＜a ＜
1
4
，随机变量 ξ 的分布列如下： ξ －1 0 1
P
3 4
1 4
－a
a
当 a 增大时，（ ）
A ． E (ξ)增大， D (ξ)增大
B ． E (ξ)减小， D (ξ)增大
C．E(ξ)增大，D(ξ)减小 D．E(ξ)减小，D(ξ)减小
8．已知a＞0 且a≠1，则函数f (x)＝(x－a)2ln x（）
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值 D．既无极大值，又无极小值
9．记M 的最大值和最小值分别为M max 和M min．若平面向量a，b，c 满足| a |＝| b |＝a•b ＝c•(a＋2b－2c)＝2．则（）
A． |a－c|max＝37
2
+
B． |a＋c|max＝
37
2
-
C． |a－c|min＝√37
+
D． |a＋c|min＝
37
-
10．已知三棱锥S－ABC 的底面ABC 为正三角形，SA＜SB＜SC，平面SBC，SCA，SAB 与
平面ABC 所成的锐二面角分别为α1，α2，α3，则（）
A．α1＜α2 B．α1＞α2
C．α2＜α3 D．α2＞α3
非选择题部分（共 110 分）
二、填空题（本大题共 7 小题，第 11-14 题，每小题 6 分， 15-17 每小题 4 分，共 36 分）
11．双曲线
2
2
2
x
y
-= 1的渐近线方程是________，离心率是_______．
12．设各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为Sn，若S4＝80，S2＝8，则公比q＝______，a5＝_______．
13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________，表面积是________．
14．在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则cos C＝______；当BC＝1时，则△ABC的面积等于______．15．盒子里有完全相同的6个球，每次至少取出1个球(取出不放回)，取完为止，则共有_______种不同的取法（用数字作答）．
16．设函数f(x)（x∈R）满足|f(x)－x2|≤1
4
，|f(x)＋1－x2|≤
3
4
，则f(1)＝．
17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若对任意λ∈R ，不等式恒成立，则
的最大值为．
三、解答题：（本大题共5小题，共74分） 18．（本题满分14分）已知函数f (x )＝
（Ⅰ）求f (x )的最小正周期和最大值； （Ⅱ）求函数y ＝f (－x )的单调减区间．
19．（本题满分15分）如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝120°，M 为线段BC 的中点，D 为线段BC 上一点，且BD ＝BA ，沿直线AD 将△ADC 翻折至△ADC ′，使AC ′⊥BD ． （Ⅰ）证明：平面AMC ′⊥平面ABD ；
（Ⅱ）求直线C ′D 与平面ABD 所成的角的正弦值．
20．（本题满分15分）已知函数f (x )＝2lnx
x x
（Ⅰ）求函数f (x )的导函数f ′(x )； （Ⅱ）证明：f (x )2e+e
e 为自然对数的底数）．
21．（本题满分15分）如图，过抛物线M ：y ＝x 2上一点A （点A 不与原点O 重合）作抛物线M 的切线AB 交y 轴于点B ，点C 是抛物线M 上异于点A 的点，设G 为△ABC 的重心（三条中线的交点），直线CG 交y 轴于点D ．
（Ⅰ）设A (x 0，x 02)（x 0≠0），求直线AB 的方程； （Ⅱ）求|OB|
|OD|
的值．
22．（本题满分15分）已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n
c
a （c ＞0，n ∈N *）， （Ⅰ）证明：a n ＋1＞a n ≥1； （Ⅱ）若对任意n ∈N *，都有
证明：（ⅰ）对于任意m ∈N *，当n ≥m 时，()n m m
c
a n m a a -+≤ （ⅱ）．51
n n a -
2019学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题：（共10小题，每小题4分，共40分）
二、填空题：（共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）
11．y x = 12．3；162 13．
14
3
π；6(6++π 14．－14 15．32
16．
3
4
17．
三、解答题：(本大题共5小题，共74分)． 18．（本题满分14分）
（Ⅰ）因为sin(x ＋74π)＝cos(x －3
4
π)，
所以 f (x )＝2sin(x ＋74π)＝－2sin(x ＋3
4
π)．
所以函数f (x )的最小正周期是2π，最大值是2．…………7分 （Ⅱ）因为f (－x )＝2sin(x －3
4
π)，
所以单调递减区间为(54π＋2kπ，9
4
π＋2kπ)（k ∈Z）．…………14分
19．（本题满分15分） （Ⅰ）有题意知AM ⊥BD ，
又因为 AC ′⊥BD ， 所以 BD ⊥平面AMC ， 因为BD ⊂平面ABD ，
所以平面AMC ⊥平面AB D ．
…………7分
（Ⅱ）在平面AC ′M 中，过C ′作C ′F ⊥AM 交AM 于点F ，连接F D ．
由（Ⅰ）知，C ′F ⊥平面ABD ，所以∠C ′DF 为直线C ′D 与平面ABD 所成的角．
设AM ＝1，则AB ＝AC ＝2，BC
MD ＝2
DC ＝DC ′＝
2，AD
．
在Rt△C ′MD 中，
222222)(2MC C D MD ''=-=-
＝9－
设AF ＝x ，在Rt△C ′FA 中，AC ′2
－AF 2
＝MC ′2
－MF 2
， 即 4－x 2
＝(9－
－(x －1)2
， 解得，x ＝
2，即AF ＝
2． 所以 C ′F ＝
故直线C D '与平面ABD 所成的角的正弦值等于
C F
AF '
． …………15分
20．（本题满分15分）
（I ）22
1(21)ln ()()x x x
f x x x +-+'=
+．
…………6分
（Ⅱ）设111
()ln ln 21242
x g x x x x x +=
-=+-++， 则函数g (x )在(0,)+∞
单调递减，且0g >，(e)0g <，
所以存在0x ∈，使g (x 0)＝0，即0001
ln 021
x x x +-=+， 所以 x 0＋1－(2x 0＋1)ln x 0＝0，
所以 f ′(x )＝0，且f (x )在区间(0，x 0)单调递增，区间(x 0，＋∞)单调递减． 所以 f (x )≤f (x 0)＝
00ln (1)
x x x +
＝
001(21)x x + …………15分
21．（本题满分15分）
（Ⅰ）因为 y ′＝2x ，所以直线AB 的斜率k ＝y ′0|x x =＝2x 0．
所以直线AB 的方程y －x 0＝2x 0(x －x 0)，
A
B
C′
D M F （第19题）
即 y ＝2x 0x －2
0x ．
…………6分
（Ⅱ）由题意得，点B 的纵坐标y B ＝－2
0x ，所以AB 中点坐标为0
(
,0)2
x ． 设C (x 1，y 1)，G (x 2，y 2)，直线CG 的方程为x ＝my ＋
1
2
x 0． 由02
1,2x my x y x ⎧
=+⎪⎨⎪=⎩
，联立得m 2y 2
＋(mx 0－1)y ＋2014x ＝0．
因为G 为△ABC 的重心，所以y 1＝3y 2． 由韦达定理，得y 1＋y 2＝4y 2＝02
1mx m
-，y 1y 2＝3
220
2
2
4x y m
=
．
所以
2200
4
2
(1)1612mx x m m -=
，
解得 mx 0
＝3-±
所以点D 的纵坐标y D
＝2
02x m -=，
故||||6||B
D
y OB OD y ==±． …………15分
22．（本题满分15分）
（Ⅰ）因为c ＞0，所以 a n ＋1＝a n ＋
n
c
a ＞a n （n ∈N *）， 下面用数学归纳法证明a n ≥1． ①当n ＝1时，a 1＝1≥1； ②假设当n ＝k 时，a k ≥1， 则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a k ＋k
c
a ＞a k ≥1． 所以，当n ∈N *时，a n ≥1． 所以 a n ＋1＞a n ≥1．
…………5分
（Ⅱ）（ⅰ）当n ≥m 时，a n ≥a m ，
所以 a n ＋1＝a n ＋n c a ≤a n ＋m
c
a ， 所以 a n ＋1－a n ≤m c a ，累加得 a n －a m ≤m
c a (n －m )， 所以 ()n m m
c
a n m a a -+≤
． …………9分
（ⅱ）若1
2c >
，当2
82(21)c m c ->-时，
2
1822()1221(21)m c c a c c c ->--=--，所以1
2
m c c a <-． 所以当n m ≥时，1()1()2n m m
c
c n a n m a a ---+≤≤．
所以当112m m m
cm a a n c c a +-
>--时，1()1()2m m c
c n n m a a -->-+，矛盾．
所以 1
2
c ≤．
因为 22
2
222
1
25224n n
n n n
c a a c a c c a a +=
+++++≤≤，
所以n a …………15分。