2019学年浙江省杭州市第二次高考科目教学质量检测高三数学检测试卷
2019届浙江省杭州市高三第二次质检理科数学试卷【含答案及解析】
2019届浙江省杭州市高三第二次质检理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 设集合，则（）A． B． C．D．2. 设等比数列的前项和为，则“ 且”是“数列单调递增”的（）A．充分不必要条件___________ B．必要不充分条件C．充分必要条件____________________________________________ D．即不充分也不必要条件3. 若直线与函数的图象及轴分别交于三点，若，则（）A．或________________________ B．或C．或________________________ D．4. 设，若，则（）A．______________________________________ B．______________________________________ C． D．5. 在梯形中，，，，，若，则的取值范围是（）A． B． C．___________________________________ D．6. 设双曲线的顶点为，为双曲线上一点，直线交双曲线的一条渐近线于点，直线和的斜率分别为，若且，则双曲线离心率为（）A．2 B． C．D． 47. 设函数与的定义域为，且单调递增，，，若对任意，不等式恒成立，则（）A．都是增函数 B．都是减函数C．是增函数，是减函数___________________________________D．是减函数，是增函数8. 在四棱锥中，底面是直角梯形，，，侧面底面，若，则（）A．当时，平面平面B．当时，平面平面C．当，直线与底面都不垂直D．，使直线与直线垂直二、填空题9. 设函数，最小正周期，则实数__________，函数的图象的对称中心为__________，单调递增区间是__________.10. 已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为__________，表面积为__________.11. 设直线，若，则__________.12. 若实数满足，则的取值范围是__________.13. 设抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，弦中点在准线上的射影为，则的最大值为__________.14. 定义，设，则的最小值为__________，当取到最小值时， __________， __________.15. 在边长为1的正方体，中，分别在上，并且满足，，，若平面，平面，平面交于一点，，则 __________， __________.三、解答题16. 在中，内角所对的边分别为，若．（1）当时，求的最小值；（2）当时，求的取值范围.17. 在底面为正三角形的三棱柱，，平面，分别为的中点.（1）求证：平面；（2）若，求二面角的大小.18. 设数列满足， .（1）求证：；（2）求证： .19. 设直线与抛物线交于两点，与椭圆交于，两点，直线（为坐标原点）的斜率分别为，若 .（1）是否存在实数，满足，并说明理由；（2）求面积的最大值.20. 设函数，函数在区间上的最大值为 .（1）若，求的值；（2）若对任意的恒成立，求的最大值.参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】。
【2019杭州二模】浙江省杭州市2019届高三第二次高考科目质检数学文试题
2019年杭州市第二次高考科目教学质量检测高三数学检测试卷（理科）考生须知：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷密封线内填写学校、班级和姓名.3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效.参考公式：如果事件A,B 互斥，那么 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 )()()(B P A P B A P +=+ n 次独立重复试验中事件A 恰好发生的k 次概率如果事件A,B 相互独立，那么 )...,3,2,1()1()(n k P C k P k n kn n =-=-)()()(B P A P B A P ∙=∙选择题部分（共50分）一、选择题（本大题共10个小题.每小题5分.共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 设全集,R U =集合{}012＜-=x x A ，{}0)2(≥-=x x x B ，则()B C A U ⋂=（ ） A.{}20＜＜x x B.{}10＜＜x x C.{}10＜x x ≤ D.{}01＜＜x x - 2. 设n S 为公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，若893a S =，则=5153a S （ ） A.15 B.17 C.19 D.213. 设直线012:1=--my x l ，01)1(:2=+--y x m l .则“2=m ”是“21//l l ”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4. 设函数x x x f sin )(2=，则函数)(x f 的图像可能为（ ）5. 某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的结果不大于37，则输入的整数i 的最大值为（ ） A.3 B.4 C.5 D.66. 设O △ABC 的外心（三角形外接圆的圆心）.若 AC AB AO 3131+=，则BAC ∠的度数为（ ） A.30° B.60° C.60° D.90° 7. 在△ABC 中，若42cos 52cos 322=+-CB A ，则C tan 的 最大值为（ ） A.43-B.34-C.42- D.22- 8. 设),,()(2R c b a c bx ax x f ∈++=，e 为自然对数的底数.若xx f x x f )(ln )(＞'.则（ ） A.)()(2,2ln )()2(2e f e f e f f ＞＜ B.)()(2,2ln )()2(2e f e f e f f ＜＜ C. )()(2,2ln )()2(2e f e f e f f ＜＞ D.)()(2,2ln )()2(2e f e f e f f ＞＞9. 设21,F F 为椭圆)0(1:22221＞＞b a by a x C =+与双曲线2C 的公共点左右焦点，它们在第一象限内交于点M ,△21F MF 是以线段1MF 为底边的等腰三角形,且21=MF .若椭圆1C 的离心率⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈94,83e ，则双曲线2C 的离心率取值范围是（ ） A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡35,45 B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,23C.(]4,1D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,2310.在等腰梯形ABCD 中，F E ,分别是底边BC AB ,的中点，把四边形AEFD 沿直线EF 折 起后所在的平面记为αα∈p ,，设α与PC PB ,所成的角分别为21,θθ（21,θθ均布为零）. 若21θθ=，则点P 的轨迹为（ ）A.直线B.圆C.椭圆D.抛物线非选择题部分（共100分）二、填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共28分.） 11. 设i 是虚数单位,若复数i zi -=1，则=z ______.12. 某几何体的三视图如图所示，若该正视图面积为S ，则此几何体的体积是______.13. 若..., (112)3322102++++++=+x a x a x a x a a xn 则3a =_____. 14. 用1,2,3,4,5组成不含重复数字的五位数，数字2不出现在首位和 末位，数字1,3,5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五 位数的个数是_______.（注：用数字作答）15. 若R y x ∈,，设y x y xy x M +-+-=2232，则M 的最小值为_____.16. 设集合{}R a a a x x x A ∈++-=,022＜,{}2＜x x B =.若≠A ∅且B A ⊆,则实数a 的取值范围是______.17. 设抛物线)0(2:2＞p px y C =,A 为抛物线上一点（A 不同于原点O ）,过焦点F 作直线 平行于OA ,交抛物线C 于点Q P ,两点.若过焦点F 且垂直于x 轴的直线交直线OA 于B ,则OB OA FQ FP -∙=____________.三、解答题：（本大题共5个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 18.（本题满分14分）设数列{}12-n a 是首项为1的等差数列，数列{}n a 2是首项为2的等比 数列，数列{}n a 的前n 项和为)(*∈N n S n ，已知2,45343+=+=a a a a S .（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）比较n S 2与22n n+的大小，并说明理由.19.（本题满分14分）已知箱子中装有标号分别为1,2,3,4,5的五个小球.现从该箱子中取钱，每次取一个球（无放回，且每球取到的机会均等）.（I ）若连续取两次，求取出的两球上标号都是奇数或都是偶数的概率；（II ）若取出的球的标号为奇数即停止取球，否则继续取，求取出次数X 的分布列和数学 期望)(X E .20.（本题满分15分）如图，在直三棱柱中， 2=='=AC AA AB ，π32=∠BAC ,点E D ,分别是BC , ''B A 的中点.（I ）求证：//DE 平面''A ACC ； （II ）求二面角'--'C AD B 的余弦值.21.（本题满分15分）设椭圆)0(1:2222＞＞b a b y a x =+ℜ的左顶点)0,2(-A ,离心率23=e ,过点)0,1(G 的直线交椭圆ℜ于C B ,两点，直线AC AB ,分别交直线3=x 于N M ,两点.（I ）求椭圆ℜ的标准方程；（II ）以线段MN 为直径的圆是否过定点，若是，求 出所有定点的坐标；若不是，请说明理由.22.（本题满分14分）设函数)1ln()(+-=x e x f x. （I ）求函数)(x f 的最小值； （II ）已知210x x ＜≤.求证：1)1(ln1212++-x x e e x x ＞；（III ）设)(ln 1)(x f x x xe x g x-+-=，证明：对任意的正实数a ，总能找到实数)(a m ， 使[]a a m g ＜)(成立.注：e为自然对数的底数.。
2019年【杭州二模】浙江省杭州市高三第二次高考科目质检数学(文)试题及答案
B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
3. 设直线 l 平面 ，直线 m 平面 .（ ）
A. 若 m // ，则 l // m
B. 若 // ， l m 则
C.若 l m ，则 //
D.若
，则 l // m
4. 设 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和， (n 1) Sn＜nSn 1(n
二、 填空题：（本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分 .）
11. 设 i 是虚数单位 ,若复数 zi 1 i ，则 z ______. 12. 设数列 an 是各项均为正数的等比数列，若 a1 a2n 1 4 n ，则数列 an 的通项公式是
_______. 13. 某几何体的三视图如图所示，若该正视图面积为
折起后所在的平面记为 , p ，设 PB, PC与 所成的角分别为 1, 2 （ 1, 2 均不为
零） .若 1 2 ，则满足条件的 P 所形成的图像是 _______.
17. 若向量 a, b 满足 a 2b 1，则 a b 的最大值是 _______.
三、 解答题 ：（本大题共 5 个小题，共 72 分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .）
△
21.（本题满分 15 分）若 a R, 函数 f (x) 1 x3 1 ax 2 ( a 1)x . 32
（ I）若 a 0 ，求函数 f (x) 的单调递增区间；
（ II ）当 x
2 1,2 时， 1 f ( x) 恒成立，求实数 a 的取值范围 .
3
△
22.（本题满分 14 分）设抛物线 : y2 2 px( p＞ 0) 过点 (t, 2t ) （ t 是大于零的常数） .
33
.
浙江省杭州市2019届高三4月教学质量检测(二模)数学试题(WORD版)
杭州市2019届高三教学质量检测（二模）数学试题 2019.4.22一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、设集合{}{}2|1,|4A x x B x x =>=≤，则AB =（ ）A ．()1,2B ．(]1,2C ．(]0,2D ．()1,+∞2、已知复数1z i =+（i 是虚数单位），则211z z -=+（ ）A ．iB ．i -C ．1i +D ．1i -3、二项式612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项为（ ）A ．20B ．-20C ．160D ．-1604、 “a b >”是“a a b b >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5、《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍（音meng ，底面为矩形的屋脊状的几何体），下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．已知该刍甍的三视图如图所示，则此刍甍的体积等于（ ）A ．3B ．5C ．6D ．126、函数()()212x y x x e =--（其中e 为自然对数的底数）的图象可能是（ ）DC A命题p ：=E E ξη，命题q ：D D ξη=，则（ ）A ．p 真q 真B ．p 真q 假C ．p 假q 真D ．p 假q 假8、设函数()111222xxf x ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则函数()()y f f x =（ ）A ．是偶函数也是周期函数B ．是偶函数但不是周期函数C ．不是偶函数是周期函数D ．既不是偶函数也不是周期函数9、已知数列{}n a 满足112n n n a a a -+≤+（*n N ∈，2n ≥），则（ ）A ．52143a a a ≤-B ．2736a a a a +≤+C ．()76633a a a a -≥-D ．2367a a a a +≥+10、已知椭圆()2222:10x y a b a b Γ+=>>，直线1x y +=与椭圆Γ交于,M N 两点，以线段MN 为直径的圆经过原点．若椭圆Γ，则a 的取值范围为（ ） A．(B．⎝ C．⎛ ⎝⎦D．⎛ ⎝⎦非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11、双曲线2214x y -=的焦距是 ，渐近线方程是 ．12、设函数()()()log 020a x x x f x x >⎧⎪=⎨≤⎪⎩，若1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则实数a = ，()()2f f = ． 13、在ABC △中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，已知1cos24C =-，则sin C = ；当2a =，2sin sin A C =时，则b = ．14、设实数x ,y 满足不等式组250,270,0,0.x y x y x y +-≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥≥⎩则2x y +的最小值是 ；设22d x y =+，则d 的最小值等于 ．15、已知集合{}1,3,5A =，{}0,2,4B =，分别从A ,B 中各取2个不同的数，能组成不同的能被3整除的四位偶数的个数是 （用数字作答）．16、已知向量()1,2a =，平面向量b 满足()25a b a b +⋅=，则()4b a b -⋅的最小值等于___________．17、如图，已知矩形ABCD ，AB =，1AD =，AF ⊥平面ABC ，且3AF =．E 为线段DC 上一点，沿直线AE 将△ADE 翻折成△D AE '，M 为BD '的中点，则三棱锥M BCF -体积的最小值是 ．EMC D'DF三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18、（本题满分14分）已知函数()22sin f x x x +．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）当,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域．19、（本题满分15分）如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，90BAF ∠=，2AD =，1AB AF ==，点P 在线段DF 上．（1）证明：AF ⊥平面ABCD ． （2）若二面角DF AP C --PF 的长度． PF EDC BA20、（本题满分15分）设等差数列{}n a 前n 项和为n A ，等比数列{}n b 前n 项和为n B ．若387n n B B +=+，12a b =，44a b =．（1）求n b 和n A ；（2）求数列{}n n b A -的最小项．21、（本题满分15分）如图，已知()1,1P 为抛物线2y x =上一点，斜率分别为k ，k -()2k >的直线P A ，PB 分别交抛物线于点A ，B （不与点P 重合）．（1）证明：直线AB 的斜率为定值； （2）若△ABP（i ）求△ABP 的周长（用k 表示）； （ii ）求直线AB 的方程．22、（本题满分15分）已知函数()()1x f x x e =-．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若方程()(),f x ax b a b R =+∈有非负实数解，求2+4a b 的最小值．。
浙江省杭州市2019第二次高考科目教学质量检测 数学(文)
杭州市2019第二次高考科目教学质量检测数学（文）试题考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟2．答题前，在答题卷密封区内填写学校、班级和姓名 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试题上无效 4．考试结束，只需上交答题卷 参考公式：球的表面积公式 棱柱的体积公式24S R p = V=Sh球的体积公式其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱柱的高343V R p =台体的体积公式其中R 表示球的半径 121()3V h S S =+锥体的体积公式 其中S 1，S 2分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高13V Sh =如果事件A 、B 互斥，那么 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱柱的高 P(A+B)=P(A)+P(B)一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设全集U=R ，集合{|2},{|13},A x x B x x =?-<?则()()U U A B ?痧A ．{|12}x x -<?B ．{|12}x x x ?>或C ．{|23}x x <<D ．{|3}x x >2．已知i 是虚数单位，则11i ii i++=+（ ） A ．1322i -+ B ．1322i - C ．3122i + D ．3122i -3．设m R Î，则“5m =”直线:20l x y m -+=与圆22:(1)(2)5C x y -+-=恰好有一个公共点”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．在一盆子中号为1，2的红色球个，编号为1，2的白色球2个，现从盒子中摸出两个球，每个球被摸到的概率相同，则摸出的两个球中既含有2种不同颜色又含有2个不同编号的概率是A ．16B ．14C ．13D ．125．设m ，n 是两条不同的直线，,a b 是两个不同的半面 A ．若m ∥a ，n ∥b ，m ∥n ，则a ∥b B ．若m ∥a ，n ∥b ，a ∥b 则m ∥nC ．若m ⊥a ，n ⊥b ，m ⊥n 则a ⊥bD ．若m ⊥a ，n ⊥b ，a ⊥b 则m ⊥n6．已知实数x ，y 满足不等式组0320,60x y x y x y ì-?ïïï-+?íïï+-?ïïî则23x y -+的最小值是A ．3B ．4C ．6D ．97．设P 为函数()sin()f x x p =的图象上的一个最高点，Q 为函数()cos()g x x p =的图象上的一个最低点，则|PQ|最小值是（ ）AB ．2 C．2D ．8．在边长为1的菱形ABCD 中，BAD=60，E 是BC 的中点，则AC ·AE =AB ．92CD ．949．已知双曲线22221(0,0)y x a b a b+=>>，A ，B 是双曲线的两个顶点．P 是双曲线上的一点，且与点B 在双曲线的同一支上．P 关于y 轴的对称点是Q 若直线AP ，BQ 的斜率分别是k 1，k 2， 且k 1·k 2=45-，则双曲线的离心率是（ ） AB ．94C ．32D ．9510．若函数()(1).xf x x e =+，则下列命题正确的是（ ）A ．对任意21m e <-，都存在x R Î,使得()f x m < B ．对任意21m e>-，都存在x R Î，使得()f x m < C ．对任意x R Î，都存在21m e <-，使得()f x m < D ．对任意x R Î，都存在21m e >-，使得()f x m < 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．函数2()11x f x nx -=+的定义域是 。
浙江省杭州市2019届高三4月教学质量检测(二模)数学试题(WORD版)
杭州市2019届高三教学质量检测（二模）数学试题 2019.4.22一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、设集合{}{}2|1,|4A x x B x x =>=≤，则AB =（ ）A ．()1,2B ．(]1,2C ．(]0,2D ．()1,+∞2、已知复数1z i =+（i 是虚数单位），则211z z -=+（ ）A ．iB ．i -C ．1i +D ．1i -3、二项式612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项为（ ）A ．20B ．-20C ．160D ．-1604、 “a b >”是“a a b b >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5、《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍（音meng ，底面为矩形的屋脊状的几何体），下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．已知该刍甍的三视图如图所示，则此刍甍的体积等于（ ）A ．3B ．5C ．6D ．126、函数()()212x y x x e =--（其中e 为自然对数的底数）的图象可能是（ ）DC A命题p ：=E E ξη，命题q ：D D ξη=，则（ ）A ．p 真q 真B ．p 真q 假C ．p 假q 真D ．p 假q 假8、设函数()111222xxf x ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则函数()()y f f x =（ ）A ．是偶函数也是周期函数B ．是偶函数但不是周期函数C ．不是偶函数是周期函数D ．既不是偶函数也不是周期函数9、已知数列{}n a 满足112n n n a a a -+≤+（*n N ∈，2n ≥），则（ ）A ．52143a a a ≤-B ．2736a a a a +≤+C ．()76633a a a a -≥-D ．2367a a a a +≥+10、已知椭圆()2222:10x y a b a bΓ+=>>，直线1x y +=与椭圆Γ交于,M N 两点，以线段MN 为直径的圆经过原点．若椭圆Γ，则a 的取值范围为（ ） A．(B．⎝ C．⎛ ⎝⎦D．⎛ ⎝⎦非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11、双曲线2214x y -=的焦距是 ，渐近线方程是 ．12、设函数()()()log 020a x x x f x x >⎧⎪=⎨≤⎪⎩，若1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则实数a = ，()()2f f = ． 13、在ABC △中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，已知1cos24C =-，则sin C = ；当2a =，2sin sin A C =时，则b = ．14、设实数x ,y 满足不等式组250,270,0,0.x y x y x y +-≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥≥⎩则2x y +的最小值是 ；设22d x y =+，则d 的最小值等于 ．15、已知集合{}1,3,5A =，{}0,2,4B =，分别从A ,B 中各取2个不同的数，能组成不同的能被3整除的四位偶数的个数是 （用数字作答）．16、已知向量()1,2a =，平面向量b 满足()25a b a b +⋅=，则()4b a b -⋅的最小值等于___________．17、如图，已知矩形ABCD ，AB =，1AD =，AF ⊥平面ABC ，且3AF =．E 为线段DC 上一点，沿直线AE 将△ADE 翻折成△D AE '，M 为BD '的中点，则三棱锥M BCF -体积的最小值是 ．EMC A D'DF三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18、（本题满分14分）已知函数()222sin f x x x =+．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）当,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域．19、（本题满分15分）如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，90BAF ∠=，2AD =，1AB AF ==，点P 在线段DF 上．（1）证明：AF ⊥平面ABCD ． （2）若二面角DF AP C --PF 的长度． PF EDC BA20、（本题满分15分）设等差数列{}n a 前n 项和为n A ，等比数列{}n b 前n 项和为n B ．若387n n B B +=+，12a b =，44a b =．（1）求n b 和n A ；（2）求数列{}n n b A -的最小项．21、（本题满分15分）如图，已知()1,1P 为抛物线2y x =上一点，斜率分别为k ，k -()2k >的直线P A ，PB 分别交抛物线于点A ，B （不与点P 重合）．（1）证明：直线AB 的斜率为定值； （2）若△ABP（i ）求△ABP 的周长（用k 表示）； （ii ）求直线AB 的方程．22、（本题满分15分）已知函数()()1x f x x e =-．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若方程()(),f x ax b a b R =+∈有非负实数解，求2+4a b 的最小值．。
浙江省杭州市2019学年第二学期高三年级教学质量检测数学试题含答案(2020.5)
16.函数 ye x4x 1( 其中 e 为自然对数的底数 )的图象可能是 (2019学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测数学试卷 2020.5一、选择题1.设集合 A=x|y 4 x 2 B {x|y ln x 1},则 A ∩B=( )A. 2,2B. 2.2C. 1,2D. 1.2x y 1 02.设 M 为不等式所表示的平面区域 ,则位于 M 内的点是 ()x y 1 0A 0,2B 2,0C 0, 2 D.(20)3. 某空间几何体的三视图如图所示 ,则该几何体的体积为 ( )4,n a 3n 是”函数 f x |x 1| |x a| x R 的最小值等于 2”的()A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件5.在我国古代数学著作 《详解九章算法》 中,记载着如图所示的一张数表 ,表中除 1 以外的每一个数都等于它肩上两个数之和 ,如:6=3+3则这个表格中第 8行第6个 数是 ( ) A.21 B.28 C.35 D.565D 4C 5B7.抛掷一枚质地均匀的硬币 ,若出现正面朝上则停止抛掷 ,至多抛掷 n i 次,设抛掷次数为随机变量 i ,i 1,2.若 n 1=3n 2=5,则()A.E( 1) E, 2 <D 1 <D 2B.E 1 E 2 ,D 1 <D 2C.E 1 E 2 ,D 1 D 2 )D.E 1 E 2 ,D 2 ,D 1 D 28.已知函数 f xsin(x a)(x 0) 是偶函数,则 ab 的值可能是 ( ) cos(x b),(x 0)2A.a ,bB.a ,b 3 3 3 6C. ,bD.a 2 ,b 53 6 3 69.设 a,b,c 为非零不共线向量 ,若|a tc (1 t)b ⋯|a c|(t R) 则(1 1 1 1A ． 6B ． 4C ．3D ．2A. a b a cB. a bb*c C. a c a b D. a cbc10.数列｛a n ｝满足a n4a n 13 3n N * . 若存在实数 c.使不等式 a 2n <c<a 2n-1 4对任意 n ∈N *恒成立,当 a 1 1 时,c=()11. 设复数z a i且z 1 b（i a,b R, i为虚数单位）则ab= ▲ |z|= ▲1i612. x 1的的展开式的所有二次项系数和为▲ 常数项为▲x2213. 设双曲线, x2y21 a 0,b 0 的左、右焦点为F,2P 为该双曲线上一点ab且2|PF1| 3|PF2|若F1PF2 60 ,则该双曲线的离心率为▲ 渐近线方程为▲14. 在VABC中,若2sin2 A 3sin A,sin B C 2cosBsinC .2则 A _____ , AC _______AB15.已知S n是等差数列{a n}的前n项和,若S2厔4, S4 16,则a3的最大值是▲16. 安排ABCDEF 共6 名志愿者照顾甲、乙、丙三位老人,每两位志愿者照顾一位老人,考虑到志愿者与老人住址距离问题,志愿者 A 安排照顾老人甲,志愿者 B 不安排照顾老人乙,则安排方法共有▲ 种17. 已知函数 f x |x3a| |3x b| a,b R .当x 0,2 ., f x 的最大值为M a,b ,则M a,b 的最小值为▲18.已知函数 f x 12sin x 3cos 2 2x 23, 0(1)若 ω=1.求 f x 的单调递增区间 2)若 f1. 求 f x 的最小正周期 T 的最大值319. 如图 ,在四棱锥 P=ABCD 中,PC ⊥底面 ABCD,底面 ABCD 是直角梯形AB AD.ABPCD AB=2AD=2CD=2 ，E 是 PB 上的点 (1)求证 :平面 EAC ⊥ PBC;(2)若E 是PB 的中点,且二面角P AC E 的余弦值为 36 ,求直线 PA 与平20. (本题满分 15分)已知数列 {a n } 的各项均为正数 其前 n 项和为 S n ,b 2 S 6 81. (1)求数列{a n } 的通项公式(2)c n1 a 1 1 a 21 a n,T na1a23L n , 若对任意的正整数 n,都有c 1 c 2 c 3c n4aT n <c 恒成立 ,求实数 a 的取值范围21. (本题满分 15分)如图,已知 M(1,2)为抛物线 C:y 2 2px p 0 上一点，过点 D 2, 2 的直线与抛物线 C 交于 AB 两点 (AB 两点异于 M),记直线 AM,BM 的料 率分面 EAC 所成角的正弦值,{b n } 是等差数列别为k1,,,,k2(1)求k1k2 的值(2)记VAMD ,VBMD 的面积分别为S1,S2,当k1 1,2 ,L求S1的取值范围22. (本题满分15 分)已知函数f x e x a ln x a , x⋯0 . 其中 a 0,(1)若a=l.求证: f x 0.(2)若不等式f x ⋯2x a 1 1 ln2 对x 0恒成立,试求a的取值范围玄三伐辛•箒I « CA 4 «)2019学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测数学试題琴考答案及评分标准三.解(本大贮共5小越，共74分>18.⑴出QMI 时./(x)≡-sinx÷ >∕3cos ,- - — =-sinx÷-八 2 2 2 222A∏--Z≤1≤2jtπ÷-l ▲奁 Z6 6听以/COtfJ 单调递培区间是［”兀一｛・2心! + 2LkZ ・••••・•7分6 6(II)由 /(Λ)=丄Sinm÷ 73cos 2 — -—=丄Sinfar÷ -Λ>S ^X =si ∣Xm ÷-)・ 2 2 2 22 3因为所以sin<∙, I ÷ — = 2皿 + 亍∙ Λ e Z .乂因为函数/⑴的最小J ：JBJuT =—•且e>()∙ 所以^ω=⅛j. 7•的艮人伯为"・-k 选擇If ：本大题共10小込 毎小通4分•共40分.在每小題绘出的四个选项中・只有一项是符合題目要求的.非选择题部分(共110分)二 填空本大範共7小⅛L 多空贮毎憩6分，≡≥½⅜S4分.共％分. "・ 一6,√ΠT I2・ M∙ 2014. I15・916・ 1817・7U. √7: ⅜≡^√Sr COSx = SIn(X÷-)・2 J19.(I)∣M ¾ FC—平(M ABCD.AC U平(fc ABCD.所以AC丄PC∙因为Λtf=2∙ .4D=CD=L所以AC・BC・4・所以^C2+ΛC J≡A∕F,所以A「丄〃G又BCWG所以AC丄半L⅛ PBC9⅛i为ACC SΛΛFΛC.HrW T-而UC丄半面MU(II)以C为原点•建所示的空何fl：角生标系.则QO, 0. O)VΛh Ir 0). Ba9 -L 0), i殳R0∙ 0. U)(α>0X则Eg -I t S>t CA=(]. L 0). CP=(O. 0. “)∙ C£=(|・一孑≡).IuIW■(】• -I. 0).则m CP≡m G*≡()∙所以炳为J F⅛1MC的法向SLta ∕>≡(-r. .▼• J为TffiMC 的沐向fit•则/I C4=Λ L7=(>∙即j x+p ()• 取Λ=<f t V=-α. :=-2. >!J ∕f=(α. —σ. —2). (,X —y ÷ αz = 0 ・依电岂kσss ∙ ^I=-T⅛Γ7=τ∙解得“=2.所以∕∣=(2. -2. 一2)・设自钱PA与半面UC階或用为次Zl Sintf= ∣c∞<^∙ Λ>l=γ∙ 即直线∕¾ iJTd∏以「所成如的正弦值为耳・……R分20.(本题满分15分)廉(I) VuK｝的公差为几由h∙⅛=81. ^(2+jχi2+15Λ=8l. 即5√7÷14d-19 = 0・⅜m <∕-ι¾<∕--⅛因为敦列g∙｝为⅛l⅞j⅛为正汰加=壽=2•術以dtθ∙听以d≈∖.所以Z>R=Λ+1.所以切=匸寻・... 7分(Λ4 «)(E因为”(T)(T)..(一為)呼号(n+iy 2(π+l)t 術以件∙2∣GY)+G-9+ +(⅛-⅛)∣-⅛⅛Γ以彳、徐式4<⑺VS 化为4α上严C・>lτ4 ZIIB即gαvdi=l+丄+亠恒戚立. n(n*l) n ・1*n血刘川・I ■ • * ,~1 " 1t,洞ifil>t∙n <a÷R所以8α<h BPα≤⅛21. (4题满分15分)(I)柠丽(∣∙ 2)代入拠罚线G y = 2f n方出得P≈2. 所以柚物线力用为Γ-4t.方用为：Λ=∕F<,V+2>+2∙代入枪切线方出,冯V2-Jm—8〃Lg=0・设A(xι9Vi>∙ B(X V2)∙则V∣+y2≡4m. y∣yz=-(8∏ι+8).IIA ii∑2∙^÷^ ∙ 7⅛z^≡ ----- --- ----■---------- -------- ≡ -4.,∙χ>-ι γ-ι γ-ι (r.÷2χy a÷2) r∣y j÷2(y l4yj44)所以4Mi=~4. ••••••8 分(H)由(1)⅛lA∣=τ⅛e∣1∙ 2]∙所以yι+2≡(2∙ 4|.fc≡7⅛∙ EP T⅛⅛=^4* 朋⅛^=^I'∙廿¾=⅛≡∣1∙ 4】)・22. ｛本题洪分15分)(I) fh<i=l∙ ^/(Λ)=e'∙,-lnu+h. t>0,所以⅛7Xn≡e--'--lτ・所以∕w在IQy>)上单WJtm・且∕χo)=;-∣<o. ∕u)=∣>o.&三做竿•活3 A c⅛4 «)所以存在.u∈(0∙ l)t 使∕t%)=O.所以∙^Λ∈(O. ∕W<O. T∙rw(3 +*)时∙βTYQ>O∙所以U∙ ≡∕(⅞) -C rO"1—∣n( tβ +1). (•)^∙-t-¼T=0∙即k沽.网边馭对数.得In(M+ l>=l-χo∙代入(♦)• fi∕C<>mΛ=∕(¼)=^77+^o~ 1 =τ^77^θ∙ ...... 8 分(II)由直恿福e,*w-ln(x÷4∣)>√2x ÷ α + 1 -1 -InZ 对x>3 成立. (O必婪性，将戈=1代入上迩小等式.宙c r--ln< 1 +tf)^√7TT-∣-l∏2.即ln( 1 +α)+ STr3-C1-*-1 - I∏2≤O∙令X(Ol=IlM 1 +α)+√α + 3—严一I —1∏2 ・易知的)在® 4»)上单UIjaiβ∙且S(I)-O.所以UVaWl.(Ii)下iff1⅜O<a≤l B*j∙ e x*d-ln(.r+tθ^√ir + a + 1 — 1 —In2 对J^O 戚立. 即证l∏(τ+a)+√2x + a ÷≤ I + >∏2.因为O<aWl∙所以ln(Λ+a)+√2χ + a ÷ 1 — c^*,j≤ln(Λ +1)+√Zx + 2—c**i.⅛ ∕XΛ>=ltv+l>+√2x + 2—e fβ,.÷÷⅛T-^,∙显然⅛t<)ft(o. +工)上型调递瞇・IiΛυ)=o.所以Λ<nit[()∙ 1)丄单眦⑥fi∙ ffl∣∙ +巧上单询迪裱•故ΛU)WΛ(l)∙l+ta2∙不尊式得1£・由(I)和(ii> 可⅛1 OVaWl. ...... 7⅞«(Λ4 «)。
2019届浙江省杭州市高三教学质量检测数学试题(解析版)
2019届浙江省杭州市高三教学质量检测数学试题一、单选题1．设集合{}{}21,|4A x x B x x =>=≤，则A B =I ( ) A ．()1,2 B ．(]1,2C ．(]0,2 D ．()1,+∞【答案】B【解析】首先求解集合B ，然后求A B I . 【详解】24x ≤，解得22x -≤≤，所以{}22B x x =-≤≤， 所以{}12A B x x ⋂=<≤. 故选：B 【点睛】本题考查集合的交集，重点考查不等式的解法，属于基础题型.2．已知复数1z i =+（i 是虚数单位），则211z z -=+( )A ．iB ．i -C ．1i +D ．1i -【答案】A【解析】根据完全平方和除法计算公式计算结果. 【详解】原式()()()()()211212215112225i i i i ii i i i i +----=====++++-.故选：A 【点睛】本题考查复数的化简求值，属于基础计算题型.3．二项式612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项为( )A ．20B ．-20C ．160D ．-160【答案】D【解析】首先写出二项式的通项公式()6621612rrr r r T C x --+=-⋅⋅，然后令3r =求常数项. 【详解】()()66621661212rrr r rr r r T C x C x x ---+⎛⎫=⋅⋅-=-⋅⋅ ⎪⎝⎭当620r -=时，3r = ，所以二项式的常数项为()333612160C -⋅=-.故选：D 【点睛】本题考查二项式定理指定项的求法，重点考查通项公式，属于基础题型. 4．“a b >”是“a a b b >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】C【解析】首先判断y x x =的单调性，再根据单调性判断充分必要条件. 【详解】22,0,0x x y x x x x ⎧≥==⎨-<⎩，函数是奇函数，并且在R 上单调递增，所以a b >时，a a b b >，反过来，若满足a a b b >时，根据函数y x x =是单调递增函数，所以a b >， 所以a b >”是“a a b b >”的充要条件. 故选：C 【点睛】本题考查充分必要条件，重点考查函数单调性的判断方法，转化与化归的思想，属于基础题型.5．《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍（音meng ，底面为矩形的屋脊状的几何体），下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何.已知该刍甍的三视图如图所示，则此刍甍的体积等于( )A ．3B ．5C ．6D ．12【答案】B【解析】首先由三视图还原几何体，再将刍甍分为三部分求解体积，最后计算求得刍甍的体积. 【详解】由三视图换元为如图所示的几何体，该几何体分为三部分，中间一部分是直棱柱，两侧是相同的三棱锥，并且三棱锥的体积113113⨯⨯⨯=， 中间棱柱的体积131232V =⨯⨯⨯= , 所以该刍甍的体积是1235⨯+=. 故选：B 【点睛】本题考查组合体的体积，重点考查空间想象能力和计算能力，属于中档题型. 6．函数()()212x y x x e =--（其中e 为自然对数的底数）的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】首先判断函数零点，并判断零点左右的正负，排除选项，得到正确答案. 【详解】由函数可知函数有两个零点，1,x =和2x =，当2x >时，0y >，2x <且1x ≠时，0y < ，故排除B,C,D. 满足条件的是A. 故选：A 【点睛】本题考查函数图象的识别，重点考查函数性质的灵活应用，属于基础题型，一般函数图象的识别，首先考查函数的定义域，零点，单调性，极值，特殊值等，一般都是排除选项，得到正确答案.7．已知a c ≠，随机变量ξ，η的分布列如表所示.ξ1 2 3Pabcη1 2 3 P cba命题p ：=E E ξη，命题q ：D D ξη=，则( ) A ．p 真q 真 B ．p 真q 假C ．p 假q 真D ．p 假q 假【答案】C【解析】首先分别求E ξ和E η，然后比较，利用公式()()22D E E ξξξ=-，利用公式1a b c ++=，计算D D ξη-的值.【详解】12323E a b c a b c ξ=⨯+⨯+⨯=++ 12332E c b a a b c η=⨯+⨯+⨯=++ ，()2E E c a ξη-=- a c ≠Q ，E E ξη∴≠，所以命题p 是假命题，()249E a b c ξ=++，()()2223E a b c ξ=++，所以()()24923D a b c a b c ξ=++-++()294E a b c η=++，()()2232E a b c η=++，()()()()2229432D E E a b c a b c ηηη=-=++-++ ，()()()()()2283223D D c a a b c a b c ξη-=-+++-++()()()822444c a a c a b c =-+-++ ， 1a b c ++=Q ，所以()()()()880D D c a a c ξη-=-+-=， 即()()D D ξη=,所以命题q 是真命题. 综上可知p 假q 真. 故选：C 【点睛】本题考查离散型分布列的期望方差，属于重点题型，本题使用的关键公式是()()22D E E ξξξ=-，比较大小的关键是利用1a b c ++=. 8．设函数()111222xxf x ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则函数()()y f f x =( )A ．是偶函数也是周期函数B ．是偶函数但不是周期函数C ．不是偶函数是周期函数D ．既不是偶函数也不是周期函数【答案】A【解析】首先去绝对值，得到分段函数()y f x =，判断函数的奇偶性，然后根据()f x 的值域，求函数()()y f f x =，判断函数的周期性.【详解】当1x >时，1122x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以()1111122222x xx f x -⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，当1x ≤时，11,122x⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()11112222xxf x ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以()112122x f x -⎧-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩ 11x x ≤> ， 函数满足()()f x f x -= ， 所以函数()f x 是偶函数， 那么()()()()ff x f f x -=，所以函数()()y f f x =是偶函数，1x >时，10x -<，所以1021x -<<，11112222x --<-<，所以函数()f x 的值域是11,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭， 所以()12f f x =-⎡⎤⎣⎦， 所以()()y ff x =是常函数，所以是周期函数，综上可知，函数()()y f f x =是偶函数，也是周期函数.故选：A 【点睛】本题考查含绝对值函数，判断函数的奇偶性和周期，重点考查函数解析式和性质的灵活运用，属于中档题型，本题的关键是求函数()y f x =. 9．已知数列{}n a 满足112(,2)n n n a a a n n *-+∈≥N ≤＋，则（ ） A ．52143a a a ≤- B ．2736a a a a +≤+ C ．76633()a a a a -≥- D ．2367a a a a +≥+【答案】C【解析】由112n n n a a a -+≤＋可知11n n n n a a a a -+-≤-，再根据这个不等关系判断选项正误． 【详解】由题得11n n n n a a a a -+-≤-，则有213243546576a a a a a a a a a a a a -≤-≤-≤-≤-≤-， 76435465633()()()()a a a a a a a a a a -≥-+-+-=-，故选C ．【点睛】本题考查数列的递推关系，用到了放缩的方法，属于难题．10．已知椭圆Γ：()222210x y a b a b+=>>，直线1x y +=与椭圆Γ交于M ，N 两点，以线段MN 为直径的圆经过原点.若椭圆Γ的离心率不大于2，则a 的取值范围为（ ）A ．(B ．2⎛ ⎝C ．⎛ ⎝⎦D ．⎛ ⎝⎦【答案】D【解析】由题意可得a >1，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，直径所对的圆周角为直角，化为12120x x y y +=，化简整理，结合离心率公式和不等式的解法，可得a 的范围． 【详解】椭圆Γ：()222210x y a b a b+=>>，直线1x y +=与椭圆Γ交于M ，N 两点，可得a >1，由1x y +=联立椭圆方程可得()222222220a bxa x a ab +-+-=，设()()1122,,,M x y N x y ,可得2222121222222,a a a b x x x x a b a b -+==++， 线段MN 为直径的圆经过原点，可得OM ⊥ON ， 即有12120x x y y +=，可得()()1212110x x x x +--=， 化为()1212210x x x x +-+=，则222222222210a a b a a b a b -⋅+-=++，化为22222a b a b +=，由2e ≤,可得22314b a -≤，即2214b a ≥,可得22212a a a ≥-，即有2214a -≤,解得a ≤， 可得12a <≤ 故选：D . 【点睛】本题主要考查直线与椭圆位置关系问题，根据题目条件列出不等式，重点在于联立方程利用韦达定理代入，化简不等关系可解，属于综合题.二、双空题11．双曲线2214x y -=的焦距为__________；渐近线方程为__________．【答案】 12y x =±【解析】由双曲线2214x y -=可知，224,1,a b ==故2225c a b =+=,焦距2c =渐近线:12b y x x a =±=±,故答案为(1) ， (2) 12y x =±.12．设函数()()()log 020a x x x f x x ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，若1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则实数a=________；()()2f f =________.【答案】14 2【解析】代入分段函数求a 的值，然后再求()2f 和()()2f f 的值. 【详解】111log 222a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，得121124a a =⇒=所以()14log 2x x f x ⎧⎪=⎨⎪⎩ 00x x >≤ ，那么()1412log 22f ==-，所以()()1212222f f f -⎛⎫=-== ⎪⎝⎭.故答案为：14；2【点睛】本题考查分段函数求值，属于基础题型.13．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知1cos 24C =-，则sin C =________；当2a =，2sin sin A C =时，则b =________.或【解析】首先根据二倍角公式2cos 212sin C C =-计算求值，再根据正弦定理得到2c a =，最后利用余弦定理2222cos c a b ab C =+-，求b .【详解】21cos 212sin 4C C =-=-，所以25sin 8C =0c π<<Q ，sin C ∴=所以cos 4C =±, 由正弦定理可知24c a ==，2222cos c a b ab C ∴=+-,当cos 4C =时，整理为2120b --= ，即(0b b +-=，所以b =当cos 4C =-，整理为2120b +-=，即(0b b -+=，所以b =，所以b =.故答案为：4或【点睛】本题考查二倍角公式，正余弦定理，解三角形，重点考查公式的灵活运用，属于基础题型.14．设实数x，y满足不等式组2502700,0x yx yx y+-≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥≥⎩，则2x y+的最小值是________；设22d x y=+，则d的最小值等于________.【答案】5 49 5【解析】首先画出可行域，并且做出初始目标函数20x y+=，根据2z x y=+的几何意义确定z的最小值，再根据22d x y=+的几何意义是可行域内的点到原点距离的平方，由图象确定最小值.【详解】首先如图作出可行域，令2z x y=+，设0z=时，作出初始目标函数20x y+=20x y+=与边界250x y+-=平行，平移初始目标函数20x y+=，当2z x y=+与250x y+-=重合时，z取得最小值，所以5z=；22d x y=+表示可行域内的点与原点连线距离的平方，由图象可知，可行域内的点到原点的最小距离就是原点到直线270x y+-=的距离，即22775521d-'==+，那么d的最小值是275495⎛⎫=⎪⎪⎝⎭.故答案为：5；495【点睛】本题考查线性规划和非线性规划，重点考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.三、填空题15．已知集合{}13,5A =,，{}0,2,4B =，分别从A ，B 中各取2个不同的数，能组成不同的能被3整除的四位偶数的个数是________（用数字作答）. 【答案】32【解析】首先先从两个集合分别选出两个元素，这四个数加起来能被3整除，然后再排列4为偶数，得到最后结果. 【详解】首先先从两个集合中选取元素，分别选取1,3,0,2，1,5,2,4，3,5,0,4共3种组合情况，当四个数是1,3,0,2时，能组成的偶数：个位是0时，共有336A =种，个位是2时，有2224A =种，有6410+=种，当四个数是1,5,2,4时，能组成的偶数有33212A =种，当四个数是3,5,0,4时，能组成的偶数：个位是0时，共有336A =种，个位是4时，有2224A =种，有6410+=种，综上可知能组成不同的能被3整除的四位偶数的个数是10+12+10=32种. 故答案为：32 【点睛】本题考查分步计数和分类计数原理，以及排列，重点考查分析，抽象转化的应用能力，属于中档题型，本题的关键是正确选出4个数字.16．已知向量()1,2a =r ，平面向量b r满足()2a b a +⋅=v v v v，则()4b a b -⋅v v v 的最小值等于________. 【答案】20【解析】由已知条件变形可得10a b ⋅=-rr r ，再利用数量积的公式，将()4b a b-⋅v v v 变形为关于b r的二次函数求最小值.【详解】()222a b a a a b +⋅=+⋅=r rr r r r即105a b b +⋅=r r r ，即510a b b ⋅=-rr r ，()22444540b a b b a b b b -⋅=-⋅=-+r r r r r r r r()22520b =-+r，当25b =r 时，可得()4b a b -⋅r rr 的最小值是20.故答案为：20 【点睛】本题考查向量数量积的应用，二次函数求最值，重点考查转化与化归的思想，计算能力，属于基础题型.17．如图，已知矩形ABCD ，3AB =，1AD =，AF ⊥平面ABC ，且3AF =.E 为线段DC 上一点，沿直线AE 将△ADE 翻折成D AE 'V ，M 为BD '的中点，则三棱锥M BCF -体积的最小值是________.【答案】312【解析】首先分析出11123322BCF S BC BF =⨯⨯=⨯⨯=V 即求棱锥M BCF -体积的最小值即求点M 到平面BCF 的距离的最小值，转化为求点D ¢到平面BCF 距离的最小值，由条件确定点D ¢的运动轨迹为以A 为球心，半径为1的球面的一部分，然后根据图象分析点D ¢到平面BCF 距离的最小值. 【详解】因为AF ⊥平面ABCD ，所以AF BC ⊥, 又因为AB BC ⊥，AB AF A =I ， 所以BC ⊥平面ABF ， 所以BC BF ⊥()223323BF =+=所以11123322BCF S BC BF =⨯⨯=⨯⨯=V所以求棱锥M BCF -体积的最小值即求点M 到平面BCF 的距离的最小值， 因为点M 是BD '的中点，所以点M 到平面BCF 的距离是点D ¢到平面BCF 距离的一半， 因为1AD '=,随着点E 在线段DC 上移动，点D ¢的运动轨迹为以A 为球心，半径为1的球面的一部分， 因为BC ⊥平面ABF ，所以平面BCF ⊥平面ABF ，并且交于BF ， 所以如图，过点A 作AH BF ⊥，即AH ⊥平面BCF ，当D ¢为AH 与球面的交点G 时，D ¢到平面BCF 的距离最小， 此时点E 在线段DC 上， 根据AB AF BF AH ⋅=⋅，可得32AH =,此时31122GH =-=，即D ¢到平面BCF 的距离的最小值是12，那么点M 到平面BCF 距离的最小值是14，所以三棱锥M BCF -体积的最小值是11333412=. 故答案为：312【点睛】本题考查三棱锥体积的最小值，考查空间点的轨迹问题，意在考查空间想象能力，和数形结合分析问题的能力，属于中档题型.四、解答题18．已知函数()23sin 22sin f x x x =+.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）当,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域. 【答案】（1）(),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）[]1,2-.【解析】（1）首先利用二倍角公式和辅助角公式化简函数()2sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再求函数的单调递增区间； （2）先求26x π-的范围，再求函数sin 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭的范围，最后求函数的值域. 【详解】（1）因为()3sin 21cos 22sin 216f x x x x π⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭， 令222262k x k πππππ-+≤-≤+，解得,63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈所以函数()f x 的单调增区间为(),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.（2）因为,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 所以1sin 21,62x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以()f x 的值域为[]1,2-. 【点睛】本题考查三角函数恒等变换和函数性质的综合应用，重点考查基本变形，基本方法，属于基础题型.19．如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，//EF AB ，90BAF ∠=︒，2AD =，1AB AF ==，点P 在线段DF 上.（1）求证：AF ⊥平面ABCD ； （2）若二面角D AP C --，求PF 的长度. 【答案】（1）见解析；（2【解析】（1）先证明AB AF ⊥，又平面ABEF ⊥平面ABCD ，即得AF ⊥平面ABCD ；（2）以A 为原点，以AB ，AD ，AF 为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题得cos ,m AB m AB m AB⋅===u u u vu u u v u u u v ，解方程即得解.【详解】（1）证明：∵90BAF ∠=︒，∴AB AF ⊥，又平面ABEF ⊥平面ABCD ，平面ABEF I 平面ABCD AB =，AF ⊂平面ABEF ， ∴AF ⊥平面ABCD .（2）以A 为原点，以AB ，AD ，AF 为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,2,0C ，()0,2,0D，()0,0,1F ，∴()0,2,1FD u u u v =-，()1,2,0AC =u u u v，()1,0,0AB =u u u r由题知，AB ⊥平面ADF ，∴()1,0,0AB =u u u r为平面ADF 的一个法向量，设()01FP FD λλ=≤<u u u v u u u v ，则()0,2,1P λλ-，∴()0,2,1AP λλ=-u u u v， 设平面APC 的一个法向量为(),,x y z =m ，则00m AP m AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v u u u v ， ∴()21020y z x y λλ⎧+-=⎨+=⎩，令1y =，可得22,1,1m λλ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，∴cos ,3m AB m AB m AB⋅===u u u vu u u v u u u v ，得13λ=或1λ=-（舍去），∴PF =【点睛】本题主要考查空间垂直关系的证明，考查二面角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20．设等差数列{}n a 前n 项和为n A ，等比数列{}n b 前n 项和为n B .若387n n B B +=+，12a b =，44a b =.（1）求n b 和n A ；（2）求数列{}n n b A -的最小项. 【答案】（1）12n nb -=，2n A n n =+；（2）514c =-.【解析】（1）由等比数列的性质，变形条件为3112387n n n B q B a a a B +=+++=+，列方程求等比数列的首项和公比，再由12a b =，44a b =，求等差数列的首项和公差；（2）由（1）可知122n n n b A n n +-=--，判断数列的单调性，再求最小项.【详解】（1）因为3312387n n n B q B b b b B +=+++=+，所以312387q b b b ⎧=⎨++=⎩，解得112b q =⎧⎨=⎩. 所以12n nb -=.又因为122a b ==，448a b ==，所以2d =，2n a n =，因此2n A n n =+. （2）设122n n n n c b A n n -=-=--.又因为()11221n n n c c n -+-=-+，所以当4n ≤时，1n n c c +<，当5n ≥时，1n n c c +>， 所以数列{}n c 的最小项为514c =-.【点睛】本题考查数列的基本量的求解和等比数列的性质，以及数列的单调性，最值的综合应用，意在考查转化与变形，计算能力，属于中档题型，本题第一问巧妙的运用了等比数列的性质33123n n B q B b b b +=+++，这样问题迎刃而解.21．如图，已知()1,1P 为抛物线2y x =上一点，斜率分别为k ，k -()2k >的直线PA ，PB 分别交抛物线于点A ，B （不与点P 重合）.（1）证明：直线AB 的斜率为定值； （2）若△ABP 265. （i ）求△ABP 的周长（用k 表示）； （ii ）求直线AB 的方程.【答案】（1）证明见解析；（2）（i ）22125k k +；（ii ）224y x =-+. 【解析】（1）首先设直线P A 的方程为()11y k x =-+，与抛物线2y x =联立，求得点A 的坐标，将k k =-，求得点B 的坐标，再求直线AB 的斜率；（2）（ⅰ）利用弦长公式，分别求三角形的三边长，（ⅱ）首先求点P 到直线AB 的距离，再利用等面积公式转化方程求k ，最后求直线AB 的方程. 【详解】（1）设直线P A 的方程为()11y k x =-+，与抛物线2y x =联立，得210x kx k -+-=，易知()()21,1A k k --，()()21,1B k k --+， 所以直线AB 的斜率2AB k =-（定值）.（2）由（1）得直线AB 的方程为()()2211y x k k =--++-，所以点P 到直线AB的距离2d =. ()2AP k =-，()2BP k =+，AB =.（ⅰ）求ABP ∆的周长2l =； （ⅱ）设ABP ∆的内切圆半径为r，则r =-2AB d r l⋅====5k =. 所以直线AB 的方程为224y x =-+. 【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系的综合应用，重点考查转化与化归的思想，计算能力，坐标法解决几何问题的思想，属于中档题型，本题的关键是利用方程联立求出点,A B 的坐标.22．已知函数()()1xf x x e =-.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若方程()(),f x ax b a b R =+∈有非负实数解，求2+4a b 的最小值. 【答案】（1）()0,∞+；（2）()24ln 21--.【解析】（1）首先求函数的导数()xf x xe '=，直接求函数的单调递增区间；（2）设()()g x f x ax b =--，求函数的导数()x g x xe a '=-，当0a ≤时，判断函数在()0,∞+上单调性，当有非负实数解时，求24a b +的最小值，当0a >，转化为存在00x >使()00g x '=，即00x a x e =，且()g x 在[]00,x 上单调递减，在[)0,x +∞上单调递增转化为()002222000441x x a b x ex x e +≥--+，通过构造函数()()22241x x h x x e x x e =--+，求函数的最小值.【详解】（1）因为()xf x xe '=，所以函数()f x 的单调递增区间为()0,∞+.（2）设()()1xg x x e ax b =---，则()xg x xe a '=-.①当0a ≤时，因为()0g x '≥，所以()g x 在[)0,+∞单调递增， 所以()010g b =--≤，得1b ≥-，故244a b +≥-. ②当0a >时，存在00x >使()00g x '=，即00xa x e =，且()g x 在[]00,x 上单调递减，在[)0,x +∞上单调递增.所以()()000010xg x x e ax b =---≤，解得()()0002000011x x x b x e ax x e x e ≥--=--，因此()002222000441x x a b x e x x e +≥--+.设()()22241xx h x x ex x e =--+，则()()()222x x x h x x e e =+-'，所以()h x 在[]0,ln 2上单调递减，在[)ln 2,+∞上单调递增， 所以()()ln 204h h <=-，()()2ln 24ln 28ln 28h x h ≥=-+-.所以当2ln2a =，22ln 22ln 22b =-+-时，24a b +取到最小值()24ln 21--，此时方程()f x ax b =+有零点ln 2.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，最值，零点，属于综合性强的题型，本题的难点是第二问0a >时的讨论，通过转化，变形构造函数，转化为求函数的最小值.。
2019届浙江省杭州市高三4月教学质量检测(二模)数学试卷【含答案及解析】
2019届浙江省杭州市高三4月教学质量检测（二模）数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 设，集合，则（）A. B. C. D.2. 设（为虚数单位），则（）A. B. C. D. 23. 设，是两个不同的平面，是一条直线，给出下列命题：①若，，则；②若，，则 .则（）A. ①②都是假命题________B. ①是真命题，②是假命题C. ①是假命题，②是真命题________D. ①②都是真命题4. 设，分别是两条直线，的斜率，则“ ”是“ ”的（）A. 充分不必要条件________B. 必要不充分条件C. 充分必要条件________D. 既不充分也不必要条件5. 设方程（，为自然对数的底数），则（）A. 当时，方程没有实数根________B. 当时，方程有一个实数根C. 当时，方程有三个实数根________D. 当时，方程有两个实数根6. 若实数，，，满足对任意实数，有，则（）A. 的最小值为2B. 的最小值为-4C. 的最大值为4D. 的最大值为67. 设倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，与抛物线交于，两点，设点在轴上方，点在轴下方.若，则的值为（）A. B. C. D.8. 设是等差数列，为其前项和.若正整数，，，满足，则（）A. B. C. D.9. 设函数的两个零点为，，若，则（）A. B. C. D.10. 在等腰直角中，，，为中点，为中点，为边上一个动点，沿翻折使，点在面上的投影为点，当点在上运动时，以下说法错误的是（）A. 线段为定长________B.C. D. 点的轨迹是圆弧二、填空题11. 双曲线的渐近线方程为 __________ ；离心率等于 __________ ．12. 若的展开式中所有二项式系数和为64，则 __________ ；展开式中的常数项是 __________ ．13. 已知随机变量的概率分布列为：则 __________ ， __________ .14. 若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是 __________，表面积是 __________ .15. 设为所在平面上一点，且满足 .若的面积为8，则的面积为 __________ .16. 设，，分别为三内角，，的对边，面积 .若，则的最大值是 __________ .17. 设函数，若 |对任意实数都成立，则的最小值为 __________ .三、解答题18. 设函数 .（1）求函数的周期和单调递增区间；（2）当时，求函数的最大值.19. 如图，已知是矩形，，分别为边，的中点，与交于点，沿将矩形折起，设，，二面角的大小为 .（1）当时，求的值；（2）点时，点是线段上一点，直线与平面所成角为 .若，求线段的长.20. 设函数 .（1）求函数的值域；（2）当实数，证明： .21. 如图，设点，，分别为椭圆的左顶点和左，右焦点，过点作斜率为的直线交椭圆于另一点，连接并延长交椭圆于点 .（1）求点的坐标（用表示）；（2）若，求的值.22. 已知数列的各项均为非负数，其前项和为，且对任意的，都有 .（1）若，，求的最大值；（2）若对任意，都有，求证： .参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。
浙江省杭州市2019第二次高考科目教学质量检测 数学(理)
杭州市2019第二次高考科目教学质量检测数学（理）试题考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟2．答题前，在答题卷密封区内填写学校、班级和姓名 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试题上无效 4．考试结束，只需上交答题卷 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 棱柱的体积公式 P （A +B ）=P （A ）+P （B ） V=Sh如果事件A 、B 相互独立，那么 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高 P （A - B ）=P （A ）·P （B ） 棱锥的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概车是p ，那么 13V Sh = n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次概率 ()(1)(0,1,2,,)k k n kn n P k C p p k n -=-= 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高棱台的体积公式 球的表面公式121()3V h S S =+ 24S R p =其中S 1，S 2分别表示棱台的上、下底面积，h 球的体积公式 表示棱台的高化 343V R p =其中R 表示球的半径一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知i 是虚数单位，则11i ii i++=+（ ）A ．1322i -+ B ．1322i - C ．3122i + D ．3122i - 2．已知集合{|sin()sin ,(0,)},{|cos()cos ,2A k Z k Bk Z k pp q q q pq q q =?=??=?(0,)},()2z A B p =则ðA ．{|2,}k k n n Z =?B ．{|21,}k k n n Z =-?C ．{|4,}k k n n Z =?D ．{|41,}k k n n Z =-?3．设P 为函数()sin()f x x p =的图象上的一个最高点，Q 为函数()cos()g x x p =的图象上的一个最低点，则|PQ|最小值是（ ）AB ．2 CD ．4．设直线：:(0)l y kx m m =+?，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>，则“b k a =-”是“直线l 与双曲线C 恰有一个公共点“的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分条件D ．既不充分也不必要条件5．若存在实数x ，y 使不等式组0320,60x y x y x y ì-?ïïï-+?íïï+-?ïïî与不等式20x y m -+?都成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m≥0B ． m≤3C ．m≥lD ．m≥36．设数列{a n }是首项为l 的等比数列，若11{}2n n a a ++是等差数列，则12231111()()22a a a a +++2012201311()2a a +++的值等于（ ） A ． 2019B ． 2019C ． 3018D ． 30197．已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b+=>>，A ，B 是双曲线的两个顶点．P 是双曲线上的一点，且与点B 在双曲线的同一支上．P 关于y 轴的对称点是Q 若直线AP ，BQ 的斜率分别是k 1，k 2， 且k 1·k 2=45-，则双曲线的离心率是（） A B ．94C ．32D ．958．若函数()(1).x f x x e =+，则下列命题正确的是（ ）A ．对任意21m e <-，都存在x R Î,使得()f x m < B ．对任意21m e>-，都存在x R Î，使得()f x m < C ．对任意21m e <-，方程()f x m =只有一个实根 D ．对任意21m e >-，方程()f x m =总有两个实根 9．在直角坐标中，A （3，1），B （－3，－3），C （l ．4）．P 是AB 和AC 夹角平分线上的一点，且AP =2，则AP 的坐标是A ．(-B ．(-C ．(-D (-10．如图，平面a 与平面b 交于直线l ，A ，C 是平面a 内 不同的两点，B ，D 是平面b 内不同的两点，且A ，B ． C ．D 不在直线l 上，M ，N 分别是线段AB ，CD 的中点，下列判断正确的是（ ）A ．若AB 与CD 相交，且直线AC 平行于l 时，则直线BD与l 可能平行也有可能相交B ．若AB ，CD 是异面直线时，则直线MN 可能与l 平行C ．若存在异于AB ，CD 的直线同时与直线AC ，MN ，BD都相交，则AB ，CD 不可能是异面直线D ．M ，N 两点可能重合，但此时直线AC 与l 不可能相交 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 11．已知2cos ()x x R =?，则cos()x p-=12．在二项式6(2x-的展开式中，常数项为 。
(晨鸟)浙江省杭州市2019届高三4月教学质量检测(二模)数学试题(WORD版)
x2 11、双曲线
y2 1 的焦距是
4
，渐近线方程是
4 分，共 36 分． ．
12、设函数 f x
log a x x
x
0 ，若 f
1
1 ，则实数 a
，f f 2
．
2x0
22
13、在 △ABC 中，角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ，已知 cos2C
2sin A sin C 时，则 b
（ 1）证明：直线 AB 的斜率为定值； （ 2）若△ ABP 的内切圆半径为 26 5 ，
（ i）求△ ABP 的周长（用 k 表示）； （ ii）求直线 AB 的方程．
y B
A
P
x
O
22、（本题满分 15 分）已知函数 f x x 1 ex ． （ 1）求函数 f x 的单调递增区间； （ 2）若方程 f x ax b a,b R 有非负实数解，求 a2 +4b 的最小值．
O
O
A
B
C
D
7、已知 a c ，随机变量
1
2
P
a
b
， 的分布列如下表所示． 3 c
1
2
P
c
b
命题 p ： E =E ，命题 q ： D D ，则
A ．p 真 q 真
B． p 真 q 假
C． p 假 q 真
x
x
8、设函数 f x
1
1 1 ，则函数 y f f x （
）
2
22
3 a
（） D．p 假 q 假
．
14、设实数 x, y 满足不等式组
x 2 y 5 0, 2 x y 7 0, 则 x 2 y 的最小值是 x 0, y 0.
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2019学年浙江省杭州市第二次高考科目教学质量检测高三数学检测试卷考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷密封线内填写学校、班级和姓名． 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效． 4．考试结束，只需上交答题卷． 选择题部分（共40分）一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1． 已知集合 A ＝{x | x ＞1}， B ＝{x | x ＜2}，则 A ∩B ＝（ ） A ． { x | 1＜x ＜2} B ． {x | x ＞1} C ． {x | x ＞2} D ． {x | x ≥1}2．设 a ∈R ，若(1＋3i)(1＋a i)∈R （ i 是虚数单位），则 a ＝（ ） A ． 3 B ． －3 C ．13 D ． －133． 二项式512)xx -（的展开式中 x 3项的系数是（ ） A ． 80 B ． 48 C ． －40 D ． －804．设圆 C 1： x 2＋y 2＝1 与 C 2： (x －2)2＋(y ＋2)2＝1，则圆 C 1与 C 2的位置关系是（ ） A ．外离 B ．外切 C ．相交 D ．内含5． 若实数 x ， y 满足约束条件 2x+3y-90x-2y-10≥⎧⎨≤⎩，设z ＝x ＋2y ，则（ ）A ． z ≤0B ．0≤z ≤5C ． 3≤z ≤5D ．z ≥5 6．设 a ＞b ＞0， e 为自然对数的底数． 若 a b ＝b a ，则（ ） A ． ab ＝e 2 B ． ab ＝21eC ． ab ＞e 2D ． ab ＜e 27． 已知 0＜a ＜14，随机变量 ξ 的分布列如下： ξ －1 0 1P3 41 4－aa当 a 增大时，（ ）A ． E (ξ)增大， D (ξ)增大B ． E (ξ)减小， D (ξ)增大C．E(ξ)增大，D(ξ)减小 D．E(ξ)减小，D(ξ)减小8．已知a＞0 且a≠1，则函数f (x)＝(x－a)2ln x（）A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值C．既有极大值，又有极小值 D．既无极大值，又无极小值9．记M 的最大值和最小值分别为M max 和M min．若平面向量a，b，c 满足| a |＝| b |＝a•b ＝c•(a＋2b－2c)＝2．则（）A． |a－c|max＝372+B． |a＋c|max＝372-C． |a－c|min＝√37+D． |a＋c|min＝37-10．已知三棱锥S－ABC 的底面ABC 为正三角形，SA＜SB＜SC，平面SBC，SCA，SAB 与平面ABC 所成的锐二面角分别为α1，α2，α3，则（）A．α1＜α2 B．α1＞α2C．α2＜α3 D．α2＞α3非选择题部分（共 110 分）二、填空题（本大题共 7 小题，第 11-14 题，每小题 6 分， 15-17 每小题 4 分，共 36 分）11．双曲线222xy-= 1的渐近线方程是________，离心率是_______．12．设各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为Sn，若S4＝80，S2＝8，则公比q＝______，a5＝_______．13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________，表面积是________．14．在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则cos C＝______；当BC＝1时，则△ABC的面积等于______．15．盒子里有完全相同的6个球，每次至少取出1个球(取出不放回)，取完为止，则共有_______种不同的取法（用数字作答）．16．设函数f(x)（x∈R）满足|f(x)－x2|≤14，|f(x)＋1－x2|≤34，则f(1)＝．17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若对任意λ∈R ，不等式恒成立，则的最大值为．三、解答题：（本大题共5小题，共74分） 18．（本题满分14分）已知函数f (x )＝（Ⅰ）求f (x )的最小正周期和最大值； （Ⅱ）求函数y ＝f (－x )的单调减区间．19．（本题满分15分）如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝120°，M 为线段BC 的中点，D 为线段BC 上一点，且BD ＝BA ，沿直线AD 将△ADC 翻折至△ADC ′，使AC ′⊥BD ． （Ⅰ）证明：平面AMC ′⊥平面ABD ；（Ⅱ）求直线C ′D 与平面ABD 所成的角的正弦值．20．（本题满分15分）已知函数f (x )＝2lnxx x（Ⅰ）求函数f (x )的导函数f ′(x )； （Ⅱ）证明：f (x )2e+ee 为自然对数的底数）．21．（本题满分15分）如图，过抛物线M ：y ＝x 2上一点A （点A 不与原点O 重合）作抛物线M 的切线AB 交y 轴于点B ，点C 是抛物线M 上异于点A 的点，设G 为△ABC 的重心（三条中线的交点），直线CG 交y 轴于点D ．（Ⅰ）设A (x 0，x 02)（x 0≠0），求直线AB 的方程； （Ⅱ）求|OB||OD|的值．22．（本题满分15分）已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋nca （c ＞0，n ∈N *）， （Ⅰ）证明：a n ＋1＞a n ≥1； （Ⅱ）若对任意n ∈N *，都有证明：（ⅰ）对于任意m ∈N *，当n ≥m 时，()n m mca n m a a -+≤ （ⅱ）．51n n a -2019学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测数学试题参考答案及评分标准一、选择题：（共10小题，每小题4分，共40分）二、填空题：（共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．y x = 12．3；162 13．143π；6(6++π 14．－14 15．3216．3417．三、解答题：(本大题共5小题，共74分)． 18．（本题满分14分）（Ⅰ）因为sin(x ＋74π)＝cos(x －34π)，所以 f (x )＝2sin(x ＋74π)＝－2sin(x ＋34π)．所以函数f (x )的最小正周期是2π，最大值是2．…………7分 （Ⅱ）因为f (－x )＝2sin(x －34π)，所以单调递减区间为(54π＋2kπ，94π＋2kπ)（k ∈Z）．…………14分19．（本题满分15分） （Ⅰ）有题意知AM ⊥BD ，又因为 AC ′⊥BD ， 所以 BD ⊥平面AMC ， 因为BD ⊂平面ABD ，所以平面AMC ⊥平面AB D ．…………7分（Ⅱ）在平面AC ′M 中，过C ′作C ′F ⊥AM 交AM 于点F ，连接F D ．由（Ⅰ）知，C ′F ⊥平面ABD ，所以∠C ′DF 为直线C ′D 与平面ABD 所成的角．设AM ＝1，则AB ＝AC ＝2，BCMD ＝2DC ＝DC ′＝2，AD．在Rt△C ′MD 中，222222)(2MC C D MD ''=-=-＝9－设AF ＝x ，在Rt△C ′FA 中，AC ′2－AF 2＝MC ′2－MF 2， 即 4－x 2＝(9－－(x －1)2， 解得，x ＝2，即AF ＝2． 所以 C ′F ＝故直线C D '与平面ABD 所成的角的正弦值等于C FAF '． …………15分20．（本题满分15分）（I ）221(21)ln ()()x x xf x x x +-+'=+．…………6分（Ⅱ）设111()ln ln 21242x g x x x x x +=-=+-++， 则函数g (x )在(0,)+∞单调递减，且0g >，(e)0g <，所以存在0x ∈，使g (x 0)＝0，即0001ln 021x x x +-=+， 所以 x 0＋1－(2x 0＋1)ln x 0＝0，所以 f ′(x )＝0，且f (x )在区间(0，x 0)单调递增，区间(x 0，＋∞)单调递减． 所以 f (x )≤f (x 0)＝00ln (1)x x x +＝001(21)x x + …………15分21．（本题满分15分）（Ⅰ）因为 y ′＝2x ，所以直线AB 的斜率k ＝y ′0|x x =＝2x 0．所以直线AB 的方程y －x 0＝2x 0(x －x 0)，ABC′D M F （第19题）即 y ＝2x 0x －20x ．…………6分（Ⅱ）由题意得，点B 的纵坐标y B ＝－20x ，所以AB 中点坐标为0(,0)2x ． 设C (x 1，y 1)，G (x 2，y 2)，直线CG 的方程为x ＝my ＋12x 0． 由021,2x my x y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，联立得m 2y 2＋(mx 0－1)y ＋2014x ＝0．因为G 为△ABC 的重心，所以y 1＝3y 2． 由韦达定理，得y 1＋y 2＝4y 2＝021mx m-，y 1y 2＝3220224x y m=．所以220042(1)1612mx x m m -=，解得 mx 0＝3-±所以点D 的纵坐标y D＝202x m -=，故||||6||BDy OB OD y ==±． …………15分22．（本题满分15分）（Ⅰ）因为c ＞0，所以 a n ＋1＝a n ＋nca ＞a n （n ∈N *）， 下面用数学归纳法证明a n ≥1． ①当n ＝1时，a 1＝1≥1； ②假设当n ＝k 时，a k ≥1， 则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a k ＋kca ＞a k ≥1． 所以，当n ∈N *时，a n ≥1． 所以 a n ＋1＞a n ≥1．…………5分（Ⅱ）（ⅰ）当n ≥m 时，a n ≥a m ，所以 a n ＋1＝a n ＋n c a ≤a n ＋mca ， 所以 a n ＋1－a n ≤m c a ，累加得 a n －a m ≤mc a (n －m )， 所以 ()n m mca n m a a -+≤． …………9分（ⅱ）若12c >，当282(21)c m c ->-时，21822()1221(21)m c c a c c c ->--=--，所以12m c c a <-． 所以当n m ≥时，1()1()2n m mcc n a n m a a ---+≤≤．所以当112m m mcm a a n c c a +->--时，1()1()2m m cc n n m a a -->-+，矛盾．所以 12c ≤．因为 222222125224n nn n nc a a c a c c a a +=+++++≤≤，所以n a …………15分。