第8讲 变形不均匀概念
焊接应力与变形
焊接变形
ε ε 低碳钢应力应变关系 ε-变形率， εe-外观变形率，
σ= E·ε=E ( e － T)
εT-自由变形率
1)伸长受阻但可自由收缩 2)伸长受阻自由收缩
结论：
1)当ε﹤εs时，杆件可以 恢复到原来的长度，则 杆件中不存在应力；
2)当ε﹥εs时产生残余
变形
不均匀温度场作用下的变形和应力
s 0,T 600C
受拘束体在热循环中应力与变形
1. s E(e T )
弹性状态， 无残余应力
受拘束体在热循环中应力与变形
2. s ,TMAX 500C E(e T ) Ts s 100C
E
α-线膨胀系数
有塑性变形 及残余应力
残余应力等于材料屈服极限
3. s ,TMAX 600C
横向应力产生的原因
2) 由焊缝冷却先后顺序不同而引起的横向应力
焊缝先焊的部位先冷却，并恢复变形抗力，将对后冷却部位 的横向收缩变形产生制约，并由此使后冷却部位产生拉应力， 而后冷却部位的横向收缩作用会对先冷却部位产生压缩作用， 因此使先冷却部位产生压应力。此外，由于应力平衡的结果， 在焊缝的最末段也将产生压应力。 上述两方面原因综合作用结果决定了焊缝中最终横向应力。
不对称纵向焊缝形成的弯曲力矩：M=P•Z 构件的挠度可由下式求得： f ML2 PZL2
8EI 8EI
式中：P-不对称纵向焊缝形成的偏心力 Z-塑性区中心到截面中性轴距离 L-构件长度；I-构件截面惯性矩
(四)横向收缩引起的挠曲变形
横向焊缝在结构上分布不对称，每一条横 向收缩都将使结构弯曲一个角度，而该弯 曲角变形将使结构下挠形成弯曲变形。
焊接结构中经常会出现多轴应力状态
《材料力学》课程讲解课件第八章组合变形
强度条件（简单应力状态）——
max
对有棱角的截面，最大的正应力发生在棱角点处，且处于单向应力状态。
max
N A
M zmax Wz
M ymax Wy
x
对于无棱角的截面如何进行强度计算——
1、确定中性轴的位置；
y
F z
M z F ey M y F ez
ez F ey z
y
zk yk z
y
x
1、荷载的分解
F
Fy F cos
Fz F sin
z
2、任意横截面任意点的“σ”
x
F
y
（1）内力： M z (x) Fy x F cos x
M y (x) Fz x F sin x
（2）应力：
Mz k
M z yk Iz
My k
M y zk Iy
（应力的 “＋”、“－” 由变形判断）
F
1， 首先将斜弯曲分解
为两个平面弯曲的叠加 Fy F cos
z
L2
L2
Fz F sin
z
2， 确定两个平面弯曲的最大弯矩
y
Mz
Fy L 4
M
y
Fz L 4
3， 计算最大正应力并校核强度
max
My Wy
Mz Wz
217.8MPa
查表： Wy 692.2cm3
4， 讨论 0
y
Wz 70.758cm3
的直径为d3，用第四强度理论设计的直径为d4，则d3 ___＝__ d4。
（填“＞”、“＜”或“＝”）
因受拉弯组合变形的杆件，危险点上只有正应力，而无切应力，
r3 1 3 2 4 2
r4
第08讲一元一次方程的概念与解法(8大考点)(原卷版)
第08讲一元一次方程的概念与解法（8大考点）一、方程和一元一次方程的概念 1）方程：含有未知数的等式。
如何判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数．例：3x=5y+2；100x=200；3x 2+2y=3等2）一元一次方程：只含有一个未知数（元，隐含未知数系数不为0），未知数的次数是1（次），等号两边都是整式（整式：未知数的积，而非商）的方程。
如何判断一元一次方程：①整式方程；②只含一个未知数，且未知数的系数不为0；③未知数的次数为1. 例：3112=+x ；3112=+x ；3m-2n=5；3m=5；6x 2-12=0 二、方程的解与解方程1)方程的解：使方程两边相等的未知数的值 解方程：求方程的解的过程 三、等式的性质1）等式两边同加或同减一个数（或式子），等式仍然成立。
即：c b c a ±=±=，则若b a （注：此处字母可表示一个数字，也可表示一个式子）2）等式两边同乘一个数（或式子），或同除一个不为零的数（式子），等式仍然成立。
即：⎩⎨⎧≠÷=÷⨯=⨯=0c c b c a cb c a b a ，，则若（此处字母可表示数字，也可表示式子）例：3x+7=2-2x 3x+7+2x=2-2x+2x 3x+7+2x-7=2-2x+2x-7 5x=-5 5x ÷5=-5÷5 x=-13）其他性质：①对称性：若a=b ，则b=a ；②传递性：若a=b ，b=c ，则a=c 。
四、合并同类项解一元一次方程（1）合并同类项：将同类项合并在一起的过程 方法：1）合并同类项；2）系数化为1 五、移项解一元一次方程 （1）移项 例：2x-3=4x-72x-3+3=4x-7+3（利用等式的性质） （左边的﹣3变到右边变成了+3） 2x=4x-4考点考向2x-4x=4x-4-4x （利用等式的性质） （右边的4x 变到左边变成了－4x ） -2x=-4 x=24−− x=2①我们发现，利用等式两边同加或同减一个数（式子），等式不变的性质，可以将方程化为同类项在同一边的情形（即未知数在一边，数值在另一边）。
(金属塑性成形原理课件)第9讲变形不均匀原因及防止措施
Lesson Nine
第五章 塑性变形的不均匀性
主要内容
Main Content 变形不均匀的基本概念 变形不均匀的原因 减小变形不均匀的措施 残余应力
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5.2 变形不均匀的原因
接触面上的外摩擦 变形区的几何因素 工具与工件的轮廓形状 变形体内部温度分布不均 变形体的外端 金属性质不均的影响
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使产品质量降低
由于变形的不均匀分布使物体内产生附加应 力，若变形后物体的温度较低不足以消除此 附加应力时，则在物体内将存有残余应力， 从而使物体的力学性能下降。同时，由于变 形体内各处的变形不同，其再结晶后各处的 晶粒大小也不同，造成组织与性能分布不均。
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接触面上的外摩擦
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在工具和变形金属之间的接触面上必然 存在摩擦。由于摩擦力的作用，在一定 程度上改变了金属的流动特性并使应力 分布受到影响。
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镦粗时的分区
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圆柱体镦粗时，由于接触面上有摩擦存在， 在接触表面附近金属流动困难，圆柱形坯料 转变成鼓形。在此情况下，可将变形金属整 个体积大致分为三个区：
试分析外摩擦和变形区的几何形状对不均匀 变形的影响。
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双鼓形
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工具与工件的轮廓形状
Lesson Nine
工具（或坯料）形状是影响金属塑性流 动方向的重要因素。工具与金属形状的 差异，是造成金属沿各个方向流动的阻 力有差异，因而金属向各个方向的流动 （即变形量）也有相应差别。
第8讲 选修2-2复习小结(教师版)
第8讲 选修2-2复习小结一．基础知识回顾(一)推理与证明1.归纳与内比：(1)归纳推理：从个别事实中推演出一般性的结论的推理．归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．由归纳推理得到的结论不一定成立。
(2)类比推理：根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同的推理．类比推理是由特殊到特殊的推理．由类比推理得到的结论不一定成立。
我们把归纳推理和类比推理统称为合情推理（3）演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．（4）“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提：已知的一般原理；②小前提：所研究的特殊情况；③结论：根据一般原理，对特殊情况做出的判断．2.数学证明方法：(1)综合法：①定义：由因导果法②框图表示：P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→…→Q n ⇒Q (其中P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示要证明的结论)．(2)分析法①定义：执果索因法②框图表示：Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→得到一个明显成立的条件.（3）反证法：①定义：在证明数学命题时，先假定 成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明原命题成立，由此断定命题的结论成立，这种证明方法叫作反证法．② 反证法的证题步骤：(1)假设:命题结论不成立（命题结论反面成立）；(2)正确推理，推出矛盾；(3)否定假设，肯定原命题．（4）数学归纳法：证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：①(归纳奠基)证明当n 取初始值时命题成立；②(归纳递推)假设当n ＝k (k∈N *，且n≥n 0)时结论正确，证明当n ＝k ＋1时结论也正确．那么，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都成立．（二）导数及其应用1．函数的平均变化率：一般地，已知函数y ＝f(x)，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx＝x 1－x 0，Δy ＝y 1－y 0＝f(x 0＋Δx)－f(x 0)，则当Δx≠0时，商00()()f x x f x x +-△△＝Δy Δx 称作函数y ＝f(x)在区间[x 0，x 0＋Δx](或[x 0＋Δx ，x 0])的平均变化率．2．函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的导数：(1)定义：函数y ＝f(x)在点x 0处的瞬时变化率0limx y x →△△△通常称为f(x)在x ＝x 0处的导数，并记作f′(x 0)，即00'()l i m x y f x x →=△△△． (2)几何意义：函数f(x)在点x 0处的导数f′(x 0)的几何意义是过曲线y ＝f(x)上点(x 0，f(x 0))的切线的斜率．导函数y ＝f′(x)的值域即为切线斜率的取值范围． 3．函数f(x)的导函数：如果函数y ＝f(x)在开区间(a ，b)内每一点都是可导的，就说f(x)在开区间(a ，b)内可导，其导数也是开区间(a ，b)内的函数，又称作f(x)的导函数，记作y′或f′(x)．4．基本初等函数的导数公式表（右上表）5．导数运算法则：(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x) ；(2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f′x g x －f x g′x [g x ]2 [g(x)≠0]．（4）复合函数的求导法则：设函数u ＝φ(x)在点x 处有导数u x ′＝φ′(x)，函数y ＝f(u)在点x 处的对应点u 处有导数y u ′＝f′(u)，则复合函数y ＝f(φ(x))在点x 处有导数，且y′x ＝y′u ·u′x ，或写作f′x (φ(x))＝f′(u)φ′(x)．5．导数和函数单调性的关系：(1)若f′(x)>0在(a ，b)上恒成立，则f(x)在(a ，b)上是增函数，f′(x)>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；(2)若f′(x)<0在(a ，b)上恒成立，则f(x)在(a ，b)上是减函数，f′(x)<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间(3)若在(a ，b)上，f′(x)≥0，且f′(x)在(a ，b)的任何子区间内都不恒等于零⇔f(x)在(a ，b)上为增函数，若在(a ，b)上，f′(x)≤0，且f′(x)在(a ，b)的任何子区间内都不恒等于零⇔f(x)在(a ，b)上为减函数．6．函数的极值：(1)判断f(x 0)是极值的方法：一般地，当函数f(x)在点x 0处连续时，①如果在x 0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x 0)是极大值；②如果在x 0附近的左侧f ′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x 0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．7．函数的最值：(1)函数f(x)在[a ，b]上必有最值的条件如果函数y ＝f(x)的图象在区间[a ，b]上连续，那么它必有最大值和最小值．(2)求函数y ＝f(x)在[a ，b]上的最大值与最小值的步骤：①求函数y ＝f(x)在(a ，b)内的极值；②将函数y ＝f(x)的各极值与端点值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．（三）定积分1．定积分的几何意义：如果在区间[a ，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么函数f(x)在区间[a ，b]上的定积分的几何意义是直线x ＝a ，x ＝b (a≠b，y ＝0和曲线y ＝f(x))所围成的曲边梯形的面积．2．定积分的性质(1)ʃb a kf(x)dx ＝k ʃb a f(x)dx (k 为常数)；(2)ʃb a [f 1(x)±f 2(x)]dx ＝ʃb af 1(x)dx±ʃb a f 2(x)dx ；(3)ʃb a f(x)dx ＝ʃc a f(x)dx ＋ʃb c f(x)dx(其中a<c<b).3．微积分基本定理：一般地，如果f(x)是区间[a ，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么ʃb a f(x)dx ＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，为了方便，我们常把F(b)－F(a)记成F(x)|b a ，即ʃb a f(x)dx ＝F(x)|b a ＝F(b)－F(a)．4．定积分在几何中的应用：(1)当x ∈[a ，b]且f(x)>0时，由直线x ＝a ，x ＝b (a≠b)，y＝0和曲线y ＝f(x)围成的曲边梯形的面积S ＝ʃb a f(x)dx (2)当x ∈[a ，b]且f(x)<0时，由直线x ＝a ，x ＝b (a≠b)，y ＝0和曲线y ＝f(x)围成的曲边梯形的面积S ＝－ʃb a f(x)dx .(3)当x ∈[a ，b]且f(x)>g(x)>0时，由直线x ＝a ，x ＝b (a≠b)和曲线y ＝f(x)，y ＝g(x)围成的平面图形的面积S ＝ʃb a [f(x)－g(x)]dx .(4)若f(x)是偶函数，则ʃa －a f(x)dx ＝2ʃa 0f(x)dx ；若f(x)是奇函数，则ʃa －a f(x)dx ＝0.5．定积分在物理中的应用：(1)匀变速运动的路程公式：做变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v(t)[v(t)≥0]在时间区间[a ，b]上的定积分，即s ＝ʃb a v(t)dt ．(2)变力做功公式：一物体在变力F(x)(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向从x ＝a 移动到x ＝b (a<b)(单位：m)，则力F 所做的功W ＝ʃb a F(x)dx .（四）复数的引入1．数系的扩充：数系扩充的脉络是：符号表示为N *⊆N ⊆Z ⊆Q ⊆R ⊆C ，2．复数的有关概念：(1)复数的概念：形如a ＋bi (a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．（2）复数的分类：若b ＝0，则a ＋bi 为实数，若b≠0，则a ＋bi 为虚数，若a ＝0且b≠0，则a ＋bi 为纯虚数．(3)复数相等：a ＋bi ＝c ＋di ⇔a ＝c ，b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．(4)共轭复数：a ＋bi 与c ＋di 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．(5)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数．复数集C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C 与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的．(6)复数的模：向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋bi的模，记作|z|或|a ＋bi|，即|z|＝|a ＋bi|＝a 2＋b 2.3．复数的运算：(1)复数的加、减、乘、除运算法则：设z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di(a ，b ，c ，d ∈R )，则①加法：z 1＋z 2＝(a ＋bi)＋(c ＋di)＝(a ＋c)＋(b ＋d)i ；②减法：z 1－z 2＝(a ＋bi)－(c ＋di)＝(a －c)＋(b －d)i ；③乘法：z 1·z 2＝(a ＋bi)·(c＋di)＝(ac －bd)＋(ad ＋bc)i ；④除法：z 1z 2＝a ＋bi c ＋di ＝a ＋bi c －di c ＋di c －di ＝ac ＋bd ＋bc －ad i c 2＋d 2 (c ＋di≠0)． 二．典例精析：探究点一：数学证明方法例4：（1）已知a ，b ，c 都是实数，求证：a 2＋b 2＋c 2≥13(a ＋b ＋c)2≥ab＋bc ＋ca. （2）若a ，b ，c 是不全相等的正数，求证：lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2>lg a ＋lg b ＋lg c. （3）若x ，y 都是正实数，且x ＋y>2，求证：1＋x y <2与1＋y x<2中至少有一个成立． （4）数列{a n }满足a n >0，S n ＝12(a n ＋1a n)，求S 1，S 2，猜想S n ，并用数学归纳法证明． 证明（1）∵a，b ，c>0，根据基本不等式，有a 2b ＋b≥2a，b 2c ＋c≥2b，c 2a＋a≥2c. 三式相加：a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋a ＋b ＋c≥2(a＋b ＋c)．当a ＝b ＝c 时取等号．即a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a＋b ＋c.（2）证明：要证lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2>lg a ＋lg b ＋lg c ，只需证lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>lg(a·b·c)，只需证a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>abc.因为a ，b ，c 是不全相等的正数，则a ＋b 2≥ab>0，b ＋c 2≥bc>0，c ＋a 2≥ca>0.且上述三式中的等号不全成立，所以a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>abc.所以lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2>lg a ＋lg b ＋lg c.（3）证明：假设1＋x y <2和1＋y x <2都不成立，则有1＋x y ≥2和1＋y x≥2同时成立，因为x>0且y>0，所以1＋x≥2y，且1＋y≥2x，两式相加，得2＋x ＋y≥2x＋2y ，所以x ＋y≤2，这与已知条件x＋y>2相矛盾，因此1＋x y <2与1＋y x<2中至少有一个成立．（4）解 ∵a n >0，∴S n >0，由S 1＝12(a 1＋1a 1)，变形整理得S 21＝1，取正根得S 1＝1.由S 2＝12(a 2＋1a 2)及a 2＝S 2－S 1＝S 2－1得S 2＝12(S 2－1＋1S 2－1)，变形整理得S 22＝2，取正根得S 2＝ 2.同理可求得S 3＝ 3.由此猜想S n ＝n.用数学归纳法证明如下：(1)当n ＝1时，上面已求出S 1＝1，结论成立．(2)假设当n＝k 时，结论成立，即S k ＝k.那么，当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝12(a k ＋1＋1a k ＋1)＝12(S k ＋1－S k ＋1S k ＋1－S k)＝12(S k ＋1－k ＋1S k ＋1－k)．整理得S 2k ＋1＝k ＋1，取正根得S k ＋1＝k ＋1.故当n ＝k ＋1时，结论成立．变式迁移4：（1）设a ，b ，c>0，证明：a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a＋b ＋c. （2）已知a>0，求证： a 2＋1a 2－2≥a＋1a－2. （3）若a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6.求证：a ，b ，c 中至少有一个大于0.（4）用数学归纳法证明122＋132＋142＋…＋1n 2<1－1n(n≥2，n∈N *)． 证明：(1)a 2＋b 2＋c 2－13＝13(3a 2＋3b 2＋3c 2－1)＝13[3a 2＋3b 2＋3c 2－(a ＋b ＋c)2]＝13(3a 2＋3b 2＋3c 2－a 2－b 2－c 2－2ab －2ac －2bc)＝13[(a －b)2＋(b －c)2＋(c －a)2]≥0，(2) 证明 要证 a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2，只要证 a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2.∵a>0，故只要证 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋22，即a 2＋1a 2＋4 a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a 2＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋2，从而只要证2a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ，只要证4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥2⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋2＋1a 2，即a 2＋1a 2≥2，而该不等式显然成立，故原不等式成立．（3）证明：假设a ，b ，c 都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0.∵a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6，∴x 2－2y ＋π2＋y 2－2z ＋π3＋z 2－2x ＋π6＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋(π－3)≤0，①又∵(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2≥0，π－3>0，∴(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋(π－3)>0.②①式与②式矛盾，∴假设不成立，即a ，b ，c 中至少有一个大于0.（4）证明 当n ＝2时，左式＝122＝14，右式＝1－12＝12，因为14<12，所以不等式成立．:假设n ＝k(k≥2，k∈N *)时，不等式成立，即122＋132＋142＋…＋1k 2<1－1k，则当n ＝k ＋1时，122＋132＋142＋ (1)2＋1k ＋12<1－1k ＋1k ＋12＝1－k ＋12－k k k ＋12＝1－k 2＋k ＋1k k ＋12<1－k k ＋1k k ＋12＝1－1k ＋1，所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．综上所述，对任意n≥2的正整数，不等式都成立．探究点二：导数及其应用例 2.已知函数kf x x x x k =+-+>2()l n (1)(0),2（1）当2k =时，求曲线()(1,(1y f x f =在点处的切线方程；（2）当1k ≠时，求函数()f x 的单调区间c解：（I ）当2k =时，2()ln(1)f x x x x =+-+，1'()121f x x x=-++由于(1)ln 2f =，3'(1)2f =，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 3ln 2(1)2y x -=-即 322ln 230x y -+-=（II ）(1)'()1x kx k f x x+-=+，(1,)x ∈-+∞当01k <<时，由(1)'()01x kx k f x x +-==+，得10x =，210k x k -=>所以在(1,0)-和1(,)k k-+∞上'()0f x >；在1(0,)k k -上'()0f x <故()f x 在(1,0)-和1(,)k k-+∞单调递增，在1(0,)k k -单调递减当1k >时，(1)'()01x kx k f x x +-==+，得11(1,0)k x k-=∈-，20x =.所以在1(1,)k k --和(0,)+∞上'()0f x >；在1(,0)k k-上'()0f x <故()f x 单调递增区间是1(1,)k k --和(0,)+∞，减区间是1(,0)k k- 变式训练2：已知函数3()f x ax bx c =++在点1x =处取得极值8c -.（1）求,a b 的值； （2）若()f x 有极大值18，求()f x 在[－3,3]上的最大值．解：（1）因3()f x ax bx c =++，故2()3f x a x b '=+由于()f x 在点1x =处取得极值8c -.故有(1)30(1)8f a b f a b c c '=+=⎧⎨=++=-⎩，412a b =⎧∴⎨=-⎩（2） 由（1）知3()412f x x x c =-+2()121212(1)(1)f x x x x '∴=-=-+可知[3,1],()x f x ∈--是增函数，[1,1],()x f x ∈-是减函数，[1,3],()x f x ∈是增函数；由此知()f x 在1x =-时取得极大值(1)818f c -=+=，即10c =此时(1)18,(3)82,f f -==因此函数()f x 的最大值是(3)82.f = 探究点三：导数的实际应用例3：已知某家企业的生产成本z （单位：万元）和生产收入ω（单位：万元）都是产量x （单位：t ）的函数，其解析式分别为：32187580z x x x =-+-， 15x ω=（1）试写出该企业获得的生产利润y （单位：万元）与产量x （单位：t ）之间的函数解析式； （2）当产量为多少时，该企业能获得最大的利润？最大利润是多少？解：（1）∵利润＝收入－成本，即y z ω=-∴3215(187580)y x x x x =--+- 32186080(0)x x x x =-+-+≥ （2）233660y x x '=-+-解方程0y '=，得12,10x x == 根据x ，x ，列出下表10x =是函数的极大值点，比较2x =和10x =的函数值，(2)24y =，(10)280y =∴产量为10t 时该企业能获得最大的利润，最大利润为280万元. 变式训练3：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （km/h ）的函数解析式可以表示为880312800013+-=x x y )1200(≤≤x ，已知甲、乙两地相距100km .（1）当汽车以40km/h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解: (1)当40=x km/h 时，汽车从甲地到乙地行驶了5.240100=h 要耗油5.175.2)840803401280001(3=⨯+⨯-⨯(升) (2)当速度为x km/h ，汽车从甲地到乙地行驶了x 100h ，耗油量为)(x f 升，依题意得313100()(8)12800080f x x x x =-+ 4158********-+=x x 233264080800640)('xx x x x f -=-=(0120)x <≤令0)('=x f ，得80=x 当)80,0(∈x 时，0)('<x f ，)(x f 是减函数 当)12080(，∈x 时，0)('>x f ，)(x f 是增函数 ∴当80=x 时，)(x f 取得极小值：45)880803801280001()80(3⨯+⨯-⨯=f 25.11445==(升)因此，当汽车以80 km/h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油量少，最少为11.25升。
金属塑性变形的不均匀性-文档资料
1．f 对应力分布的影响
①接触表面 轴向应力（单位压力）：σZ 第1层：σ1＝σs 产生塑性变形 第2层：σ2＝σs＋ σ1’ 第3层：σ3＝σs ＋ σ1’ ＋ σ2’ ……….. 由外层到内层轴向应力逐渐升高。
二．附加应力 —— 由变形不均匀引起的在物体内部自相平 衡的应力
１．分类 附加应力分为三种
① 第一类附加应力 在变形物体大部分体积之间彼此平衡的附加 应力，由宏观的不均匀变形产生。 以凸辊轧制矩形坯为例说明
轧件边缘部分a: 压下量小，延伸小
轧件中间部分b： 压下量大，延伸大
由于轧件是一整体，纵向 延伸趋于一致。所以 b对a有一拉伸的应力，使 a伸长，a产生σ附(+) a对b有一压缩的应力，使 b缩短，b产生σ附(-)
径向应力：σr 由外层到内层σr 逐渐升高
② 中心面 沿高度方向，由接触面至变形体中部，外摩擦 的影响逐渐减弱。 即：离接触面越远，径向流动阻力越小，要使
它变形所需的单位压力越小，其应力分布 是逐渐减小的。 另： 离中心面越远，径向流动阻力越小，应力 越小。
2．f 对应变分布的影响 ① 接触表面 边缘：径向流动阻力小，ε大
中部变形小， σ附(+) 这二种拉应力叠加，可能造成中间部分金属开裂
三．工具和工件形状的影响（△h不均） 由于△h不均匀，造成μ不均匀，产生σ附 下面以凹辊轧制矩形坯为例来讨论 在椭圆孔型中轧制矩形坯时，中部△h小， 边缘△h大，故沿宽度方向纵向延伸不均匀。 中部：μ小，产生σ附(+) 开裂 两边：μ大，产生σ附(-) 皱折（波纹） 两端：呈自由延伸，鱼尾状
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基础工程_第8讲桩基础-3
软土地区的桩基，应考虑桩周土自重固结、蠕变、大 面积堆载及施工中挤土对桩基的影响，在层厚较大的高灵
4、下列建筑桩基应进行沉降计算
（１）设计等级为甲级的非嵌岩桩和非深厚坚硬持力层的建筑桩基； （２）设计等级为乙级的体型复杂、荷载分布显著不均匀或桩端平面以下存 在软弱土层的建筑桩基； （３）软土地基多层建筑减沉复合疏桩基础。
5、桩基设计时，所采用的作用效应组合与相应的抗力 应符合下列规定
（１）确定桩数和布桩时，应采用传至承台底面的荷载效应标准组合；相应 的抗力应采用基桩或复合基桩承载力特征值。 （２）计算荷载作用下的桩基沉降和水平位移时，应采用荷载效应准永久组 合；计算水平地震作用、风载作用下的桩基水平位移时，应采用水平地震 作用、风载效应标准组合。
3 桩的设计长度
主要取决于桩端持力层的选择。通常，坚实土（岩） 层（可用触探试验或其它指标来鉴别）最适宜作为桩端持 力层。对于10层以下的房屋，如在桩端可达的深度内无坚 实土层时，也可选择中等强度的土层作为桩端持力层。 桩端进入坚实土层的深度， 应根据地质条件、荷载及施工 工艺确定，一般不宜小于1～3 倍桩径（粘性土、粉土不宜小 于2倍桩径；砂类土不宜小于 1.5倍桩径；碎石类土不宜小于 1倍桩径）。 软弱下卧层 持 力 层
不宜小于1m。对于大面积桩群，尤其是挤土桩，桩的最
小中心距宜适当加大。 端承型桩的间距一般不小于2倍桩径，其他见P95-96 桩的边距s1（桩的中心至承台边的距离）一般不小 于桩的直径，亦不得小于300mm。
第八讲 金属塑性变形时应力和变形的不均匀性
第八讲金属塑性变形时应力和变形的不均匀性1、均匀变形和不均匀变形物体不仅在高度方向上变形均匀，并且在宽度方向上（从而也是在长度方向上）变形也均匀时，方能称为均匀变形。
要想充分实现均匀变形，严格说来是不可能的。
可见，在实际的金属压力加工时，变形不均匀分布是客观存在的。
2、基本应力、附加应力、工作应力、残余应力（1）基本应力由外力作用所引起的应力叫做基本应力。
（2）附加应力由于物体内各层的不均匀变形受到物体整体性的限制，而引起其间相互平衡的应力叫做附加应力。
（3）工作应力基本应力与附加应力的代数和即为工作应力。
（4）残余应力如果塑性变形结束后附加应力仍残留在变形物体中时，这种应力即称之为残余应力。
3、接触面上外摩擦对变形及应力不均匀分布的影响图6-2 镦粗时摩擦力对变形及应力分布的影响如图6-2所示，若接触面无摩擦力影响时（并认为材料性能均匀）则发生均匀变形。
由于接触面上有摩擦力存在，可将变形金属整个体积大致分为三个变形大小不等的区域，Ⅰ区称为难亦形区，Ⅱ区是大变形区，Ⅲ区是变形程度居中的自由变形区。
由于I区的变形小，Ⅱ区的变形大，由金属的整体性的影响可知在Ⅰ区金属产生的是附加拉应力，但由于接触摩擦的影响，I区径向所受压缩应力大于附加拉应力，所以I区仍保持较强的三向压应力状态，没有危险；Ⅲ区金属产生的也是附加拉应力，原因是当Ⅱ区金属变形时要产生向外扩张，而外层的Ⅲ区金属，则象一套筒把Ⅱ区金属套住而限制了Ⅱ区金属变形的向外扩张。
由于Ⅱ区与Ⅲ区相互作用，在Ⅲ区之外侧表面，便产生了较强的环向附加拉应力，当该拉应力大到一定程度后，将会导致金属在环向产生纵向裂纹，如图6-3所示。
图6-3 环向附加拉应力引起的纵裂纹4、变形区几何因素的影响（H/d）实验表明：镦粗圆柱体时；当试样原始高度与直径比H/d≤2.0时，发生单鼓形不均匀变形。
当坯料高度较大并且变形程度很小时（H/d＞2.0），则往往只产生表面变形（变形不深透），而中间层的金属不产生塑性变形或者塑性变形很小，结果形成双鼓形，如图6-4所示。
实验八 镦粗不均匀变形和变形力试验
实验八 镦粗不均匀变形和变形力试验一、实验目的通过对圆柱形坯料进行平板间镦粗，了解摩擦对镦粗变形过程和成形试件形状的影响，了解镦粗变形时的3个变形区和不均匀变形。
二、设备与工具油压机，游标卡尺，直尺、圆规。
三、试样试样采用如图1所示的坯料，由外套、半圆坯料和低熔点合金组成，基本材料为纯铝。
具体制作过程为：选定或加工去直径为φ40、高度为40、壁后为2的外套；根据外套的内径，加工出圆柱形内坯料，并保证内坯料与外套过渡配合；将圆柱坯料用线切割或其它方法平分成2半；在半圆形坯料的平面上，刻画上如图1上所示的网格；将2半用低熔点合金焊合后，装配入外套，并最终制作成如图1所示的试件。
四、实验步骤1、试件在油压机上进行镦粗，试件最终高度控制在为25；2、改善端面的润滑条件后，将另1试件在油压机上进行镦粗，试件最终高度也控制在为25；3在成形时，记录成形的压力与位移的曲线；成形后测量试件的形状尺寸；1、 将两试件沿焊合面剖开，并将低熔点合金去除；2、 测量试样上网格的尺寸变化，并计算各位置真实应变的大小，具体过程为： 设变形前圆形网格的直径为d 0；变形后网格形状改变，一般变成椭圆形。
取椭圆长轴方向为1方向和短轴为2方向，量取相应的长度d 1和d 2；则011lnd d =ε 022ln d d=ε3、 根据椭圆的长轴与试件r 方向夹角θ的大小（有方向性）计算出r ε、z ε、rz γ和ε，具体过程为：θεεεεε2cos 222121-++=rθεεεεε2cos 222121--+=zθεεγ2sin 221-=rz()()()2212212212232εεεεεεε+++++=五、实验报告1、本实验的目的，实验用的设备及成形工艺，试样的材料、形状尺寸，变形后的试样形状和尺寸；2、计算试样变形后典型位置的应变，同时根据外形说明摩擦对变形的影响以及镦粗变形的特点；3、记录成形的压力与位移的曲线。
晶格畸变 非均匀场
晶格畸变非均匀场晶格畸变是一种晶体结构中晶格常数发生变化的现象，可能是由于温度、压力等因素造成的。
而非均匀场是指空间中存在的任何形式的场，如电场、磁场等，其大小在不同的空间位置上可能不同。
本文将从以下几个方面详细介绍晶格畸变与非均匀场的基本概念、特点及相关应用。
一、晶格畸变的基本概念及特点晶格畸变是指晶格中的晶格常数随着一定条件的变化而发生变化的现象。
它是由于晶体结构中的原子发生移动而引起的，常见的是通过调节温度和压力来引起晶格常数的变化。
晶格畸变的体积效应和形变效应可能会引起电性、光性等的改变，因此在材料研究及应用领域具有重要的意义。
二、非均匀场的基本概念及特点非均匀场是指空间中存在的任何形式的场，如电场、磁场，其大小在不同的空间位置上可能不同。
非均匀场的分布可以是不规则的，也可以是规则的，例如在磁体中磁场的分布表现为空间中不同位置处的磁场强度不同。
对于物质的运动、形状、结构以及各种物理与化学现象，非均匀场起着重要作用。
三、晶格畸变与非均匀场的关系晶格畸变和非均匀场之间有密切的联系。
鉴于晶格畸变与电性、光性等性质紧密相关，非均匀场对晶格畸变的影响也很大。
在高压和强磁场等非均匀场作用下晶格分布会出现变化，导致晶格畸变的存在。
另外，非均匀场的作用与温度变化具有相似之处，因为温度的变化也可以引起晶格畸变的发生，这也进一步表明了两者之间紧密的联系。
四、晶格畸变与非均匀场的应用晶格畸变和非均匀场在材料研究及应用领域有广泛的应用。
例如，在半导体材料、光电器件、超导材料等领域，非均匀场的存在会导致晶格畸变，而这些材料的电、光、超导性能等均与晶格畸变相关。
另外，非均匀场和晶格畸变还可以应用于材料的巨磁电效应研究、放射性核素的测量等领域。
通过对非均匀场和晶格畸变的研究，我们可以深入了解材料的性质以及材料与现象之间的关系，从而改善材料的性能，提高应用效益。
总之，晶格畸变和非均匀场是相互紧密的。
两者之间的关系对于材料研究及应用领域具有重要意义。
金属塑形变形不均匀性及其在塑形加工中的效应
平砧镦粗圆柱体坯料
Ⅰ区变形程度最小；受摩擦影响较大；温度降低快，变形抗力大，变形困难；
外摩擦 温度 外端
此区域铸态组织不易破碎和再结晶，仍保留粗大的铸态组织。 Ⅱ区变形程度最大；受摩擦影响较小；温度降低慢，变形抗力小，变形容易； 铸态组织被破碎和再结晶充分，从而形成细小晶粒的锻态组织； Ⅲ区变形程度居中；
比较晶粒法
根据再结晶退火后的晶粒大小，与退火前的变形程度的关系，来判断各
部位变形的大小。变形越大，再结晶后晶粒越小。利用再结晶图，近似
地得出变形体内各处的变形程度。此法也只能定性地显示变形分布情况。 对于热变形，因该过程中发生了再结晶现象，就很难判断变形的分布。
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汇报内容：
变形不均匀的基本概念
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变形体内部温度分布不均
变形体温度 分布不均
金属各部分变形和 流动产生差异
高温部分的变形抗力低
物体中变形抗力较 小的部分先变形
高温部分变形量大
同一变形物体
同一外力的作用 低温部分的变形抗力高 低温部分变形量小
物体各部分不均匀变形的 自由发展受整体性的限制 变形体内因温度不同 所产生热膨胀的不同
分布不均
金属各部分的变形和流动的差异
应力集中现象 晶粒必然发生不均匀变形 产生晶间及晶内附加应力
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镦粗变形综合分析
外层金属还阻碍着中心处的金属流动， Ⅱ区变形程度较Ⅲ区程度大，于是Ⅱ区 金属向外流动时对Ⅲ区金属作用有压应 力，并使其在切向受拉应力。越靠近表
面切向拉应力越大。当切向拉应力越过
应力不均匀（接触面上）
变形不均匀
沿试样边缘的应力=屈服极限 边缘 接触面
Ⅰ区由外摩擦影响而产生的难变形区 Ⅱ区与作用力成45°角的最有利方位的易变形区 Ⅲ区变形程度居于中间的自由变形区
变形不均匀原因及防止措施
变形不均的防止措施
变形不均产生的后果
减轻变形不均的措施
1
2
变形不均产生的后果
使单位变形力增大
当变形不均匀分布时，将使物体内部产生相 互平衡的附加应力，使变形能量消耗增加， 也使单位变形力增大。此外，当应力不均匀 分布时，将使变形体内实际的应力分布情况 与基本应力有很大不同，有时虽然作用着单 向的基本应力，但工作应力却可能变成三向 应力状态，此时也会使单位变形力增大。
双鼓形
变形区分为四个部分： 、Ⅱ、Ⅲ区与前相同 区：不变形区 H太大，两个易变形区相距
很远，RT ONE
工具（或坯料）形状是影响金属塑性流动方向的重要因素。工具与 金属形状的差异，是造成金属沿各个方向流动的阻力有差异，因而 金属向各个方向的流动（即变形量）也有相应差别。
减小金属表面上的外摩擦
为减小接触表面上的摩擦系数，应提高和保 持工具表面的光洁度和采用适宜的润滑剂。 也可采用超声振动加工等方法来减少外摩擦 的不利影响。
合理设计加工工
具形状
要正确选择与设计锻模、轧辊孔型及其它工具，使其形状与坯料断 面能很好的配合，以保证变形与应力分布较为均匀。
尽可能保证变形金属的成分及组织均匀
2. 变形区中部：f 影响小，ε大
3．变形区的划分
根据以上分析，常将镦粗时的物体分为三个变形区
一．区：难变形区，与上下压头相 接触的区域，f 影响大， 三向压应力强烈，金属流动困
难， ε≈0 由于 f 的影响 随离接触表面
的距离而减弱，所以Ⅰ区大体 上是一个圆锥体。
Ⅱ区：易变形区（大变 形区）
在变形体内因温度不同所产生热膨胀的不同而引起的热应 力，与由不均匀变形所引起的附加应力相叠加后，有时会 加强应力的不均匀分布，甚至会引起变形物体的断裂。
变形及应力不均匀分布的原因-外端的影响
变形及应力不均匀分布的原因
一、接触面上外摩擦的影响 二、变形区几何因素的影响 三、工具和工件的影响 四、变形体内温度不均匀分布的影响 五、变形金属性质的影响 六、变形物体外端的影响
六、变形物体外端的影响
变形体的外端：指在变形过程中的某瞬间不直接承受工具 作用而处于变形区以外的部分，又称为外区或刚端。
若从横变形来看，邻近外端的金属受外端的 影响不能横向自由流动，距离外端越远影响 越小，从而加剧了横变形的不均匀性。
局部压缩时外端对延伸及宽展的影响 1—工具；2—外端；3—变形区
变形及应力不均匀分布的原因
一、接触面上外摩擦的影响 二、变形区几何因素的影响 三、工具和工件的影响 四、变形体内温度不均匀分布的影响 五、变形金属性质的影响 六、变形物体外端的影响
外端可以分为封闭型外端和非封闭型外端。
在封闭型外端作用条件下的塑压变形 1—工具；2—外端；3—变形区
在非封闭型外端作用条件下的塑压变形 1—工具；2—外端；3—变形区
六、变形物体外端的影响
无外端压缩低在离外
端足够远的横断面上形成单鼓形； 在邻近外端处，金属除受摩擦阻力 之外，还受到外端的影响。 即外端对纵向变形有强迫“拉齐” 的作用。 自由延伸大的部位受到纵向附加压 应力，自由延伸小的部位受到纵向 附加拉应力。
局部压缩时外端对延伸及宽展的影响 1—工具；2—外端；3—变形区
六、变形物体外端的影响
无外端压缩时ABCD变形后变成A′B′C′D′形状。 有外端影响时，变成A″B″C″D″形状。
在外端的强迫“拉齐”作用下，沿宽度的中 间部分将出现纵向附加压应力，使其延伸减 少，而在边部出现纵向附加拉应力，使延伸 增加，结果使纵向变形趋于均匀。
谢谢大家！
金属塑性变形理论_-第8讲_变形不均匀概念
2019/12/8
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其他方法
• 示踪原子法 • 光塑性法 • 云纹法
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课后作业 Homework
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• 给出基本应力、工作应力、附加应力和残 余应力之间的区别和联系。
• 什么叫第一、第二、第三种附加应力？它 们都是怎样产生的？
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高，接触表层的硬度则较小，越靠近表面的 中心越小。在中心部分的同一层上，靠试样 中部硬度比最外部（边部）大。这正好说明 镦粗时三个区的存在。
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比较晶粒法
Lesson Eight
• 此法的实质是根据再结晶退火后的晶粒大小，与 退火前的变形程度的关系，来判断各部位变形的 大小。变形越大，再结晶后晶粒越小。利用再结 晶图，近似地得出变形体内各处的变形程度。此 法也只能定性地显示变形分布情况。对于热变形， 因该过程中发生了再结晶现象，就很难判断变形 的分布。
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坐标网的方格变化情形
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金属通过凹模挤 压的变形分布
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硬度法
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• 此法的基本原理是：在冷 变形情况下，变形金属的 硬度随变形程度的增加而 提高；从图示可见，中心 部分的硬度最
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均匀变形的特点
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• 变形前体内的直线和平面，变形后仍然是直线和 平面；
• 变形前彼此平行的直线和平面，变形后仍然保持 平行；
• 任何一个二阶曲面变形后仍为二阶曲面，其中变 形前的球体于变形后变为椭球体；
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第二种附加应力为在变 形物体内两个或几个相 邻晶粒之间由不均匀变 形所引起的彼此平衡的 附加应力。 附加应力 。
第三种附加应力为在滑移面附近或在滑 移带中由各部分彼此之间平衡起来的晶 格畸变所引起的附加应力， 格畸变所引起的附加应力 ，也就是说在 一个晶粒内由于变形不均所引起的附加 应力。 应力 。
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坐标网的方格变化情形
金属通过凹模挤 压的变形分布
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此法的实质是根据再结晶退火后的晶粒大小 ， 此法的实质是根据再结晶退火后的晶粒大小， 与退火前的变形程度的关系， 与退火前的变形程度的关系 ， 来判断各部位 变形的大小。 变形的大小 。 变形越大 变形越大， ， 再结晶后晶粒越小 再结晶后晶粒越小。 。 利用再结晶图， 利用再结晶图 ， 近似地得出变形体内各处的 变形程度。 变形程度 。 此法也只能定性地显示变形分布 情况。 情况 。 对于热变形 对于热变形， ， 因该过程中发生了再结 晶现象， 晶现象 ，就很难判断变形的分布 就很难判断变形的分布。 。
均匀变形与不均匀变形 基本应力与附加应力 研究变形分布的方法
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Lesson Eight
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均匀变形的特点
均匀变形
变形前体内的直线和平面， 变形前体内的直线和平面 ， 变形后仍然是直 线和平面； 变形前彼此平行的直线和平面， 变形前彼此平行的直线和平面 ， 变形后仍然 保持平行； 任何一个二阶曲面变形后仍为二阶曲面， 任何一个二阶曲面变形后仍为二阶曲面 ，其 中变形前的球体于变形后变为椭球体； 两个几何相似且位置相似的单元体， 两个几何相似且位置相似的单元体 ， 于变形 后仍保持几何相似。 后仍保持几何相似 。
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单鼓形
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双鼓形
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轧件头尾凸形
轧件头部镰刀弯
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基本应力与附加应力ห้องสมุดไป่ตู้
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金属塑性变形理论
Theory of metal plastic deformation
第五章 塑性变形的不均匀性
主要内容
Main Content
第八讲 Lesson Eight
变形不均匀概念
变形不均匀的基本概念 变形不均匀的原因及防止措施 残余应力
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硬度法
比较晶粒法
此法的基本原理是：在 冷变形情况下， 冷变形情况下 ， 变形金 属的硬度随变形程度的 增加而提高；从图示可 见，中心部分的硬度最 高 ， 接触表层的硬度则较小 接触表层的硬度则较小， ， 越靠近表面的 中心越小。 中心越小 。 在中心部分的同一层上 在中心部分的同一层上， ， 靠试样 中部硬度比最外部（ 中部硬度比最外部 （ 边部 边部） ） 大 。 这正好说明 镦粗时三个区的存在。 镦粗时三个区的存在 。
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组合圆柱体的镦粗时网格的变形
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Lesson Eight
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在用网格法研究金属的变形分布时可把网的 每个单元看作是变形区的单元， 每个单元看作是变形区的单元 ， 在整个变形 过程中承受均匀变形。 过程中承受均匀变形 。 坐标网可以是立体的 坐标网可以是立体的， ， 也可以是平面的。 也可以是平面的 。 平面坐标网可以是连续的 或分开的。 或分开的 。 分开的坐标网的单元或者是正方 形 ， 或者是圆形 或者是圆形。 。 圆形在变形过程中变成椭 圆形， 圆形 ， 此椭圆轴的尺寸和方向反映了主变形 的大小和方向。 的大小和方向 。
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研究变形分布的方法
溶质原子与位错间的交互作用
网格法 硬度法 比较晶粒法 其他方法
刃型位错周 围的应力场
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5.1 变形不均匀的基本概念
均匀变形与不均匀变形
均匀变形 若变形区内金属各质点的应变状态相同 若变形区内金属各质点的应变状态相同， ，即 它们相应的各个轴向上变形的发生情况， 它们相应的各个轴向上变形的发生情况 ，发 展方向及应变量的大小都相同， 展方向及应变量的大小都相同 ， 这个体积的 变形可视为均匀的。 变形可视为均匀的 。
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工作应力
工作应力是处于应力状态的物体在变形时用 各种方法实测出来的应力， 各种方法实测出来的应力 ， 其分布图为工作 应力图。 应力图 。 当物体的变形绝对均匀时， 当物体的变形绝对均匀时 ， 基本应力图与工 作应力图相同。 作应力图相同 。 而当变形呈不均匀分布时， 而当变形呈不均匀分布时 ， 工作应力等于基 本应力与附加应力的代数和。 本应力与附加应力的代数和 。
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网格法
它是研究金属塑性加工中变形区内金属流动 情况应用最广的方法。 情况应用最广的方法 。 这种方法是于变形前 在试样的表面上或内部的剖面上用某种方法 刻上坐标网， 刻上坐标网 ， 变形后测量和分析坐标网的变 化 ， 确定变形物体各处的变形大小及分布 确定变形物体各处的变形大小及分布。 。 其实质是观察变形前后， 其实质是观察变形前后 ， 各网格所限定的区 域金属几何形状的变化。 域金属几何形状的变化 。 从图示中网格的变化看出镦粗时圆柱体变形 的不均匀情况。 的不均匀情况 。目前网格法可作定量分析 目前网格法可作定量分析。 。
按宏观级、显微级和原子级的变形不均 按宏观级、 匀性可把附加应力分为下述三种： 第一种附加应力， 第一种附加应力 第 种附加应力，在变形物体的大部分 种附加应力， 体积之间由不均匀变形所引起的彼此平 衡的附加应力。 衡的附加应力 。上述图示的例子即属于 此类。 此类 。
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基本应力
附加应力
由于外力作用所引起的应力 叫做基本应力， 叫做基本应力 ，表示这种应 力分布的图形叫做基本应力 图。或物体在塑性变形状态 中，完全根据弹性状态所测 出的应力叫做基本应力。 出的应力叫做基本应力 。
由于物体内各处的不均匀变形受到物体整体 性的限制， 性的限制 ， 而引起在其间相互平衡的应力叫 做附加应力
对正方形网格来讲 ， 当其轴在变形前后始终 对正方形网格来讲， 与主轴重合时， 与主轴重合时 ， 则此正方形于变形后变为矩 形 ， 此正方形的内切圆变为椭圆 此正方形的内切圆变为椭圆， ， 此椭圆的 轴与矩形的轴相重合。 轴与矩形的轴相重合 。 若主轴的方向相对原 来正方形的轴发生了变化， 来正方形的轴发生了变化 ， 则此正方形将变 为平行四边形， 为平行四边形 ， 此平行四边形的内接圆为椭 圆形， 圆形 ，此椭圆的轴与新的主轴相重合 此椭圆的轴与新的主轴相重合。 。
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挤压时金属流动(a)及纵向应力分布(b)、(c)
图(b)附加应力较小时 (c) 附加应力较大时 实线为基本应力，虚线为附加应力，点划线为工作应力
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残余应力
应当明确 ， 基本应力是在外力作用下与瞬时加载 ( 或 应当明确， 卸载 ) 所发生的弹性变形相对应 所发生的弹性变形相对应， ， 故当外力去除后这 部分弹性变形恢复， 部分弹性变形恢复 ，基本应力便立刻消失 基本应力便立刻消失。 。 而附加应力， 而附加应力 ，是在不均匀变形受物休整体性阻碍而发 生的、 生的 、 在物体内自相平衡的内力 ( 与此内力相对应便 在物体内呈平衡存在弹性变形或畸变 ) ， 并不与外力 发生直接关系， 发生直接关系 ，所以当外力去除， 所以当外力去除，变形终止后 变形终止后， ，仍继 续保留在变形物体内部。 续保留在变形物体内部 。 这样， 这样 ，在塑性变形完毕后仍保留于物体内的自相平衡 的应力称为残余应力。 的应力称为残余应力 。