第8章 常微分方程—8-2(齐次、一阶线性)

u 2 tan(2 x C ) , (C 2C1 )
而u 4 x y 1, 故原方程通解为
4 x y 1 2 tan(2 x C ) .
dx ( x / y 1)2e x / y ， x/ y dy 1 2e dx du y u, dy dy
分离变量并积分得
1 2e u dy d ( u 2e u ) dy u 2e u du y u 2e u y ln(u 2e u ) ln y lnC u x / y x C C x/ y u 2e u 2e y y y
解
y 令u ， 则 dy xdu udx， x
( x ux cos u)dx x cos u( udx xdu) 0,
dx cos udu , x
微分方程的解为
sin u ln x C ,
y sin ln x C . x
例2. 解微分方程
2 2
dy 2 求方程 ( 4 x y 1 ) 的通解。 例８ dx 解 令u 4 x y 1, 则u 4 y, y u 4, du 2 原方程可化为 u 4 u , 即 4 u2 . dx 分离变量并积分得 du 1 u dx u2 4 2 arctan 2 x C1
例题 基本形式和解法 例题 习题 基本形式 一阶齐次线性方程的解法
8.2.2 齐次方程
可化为齐次方程的方程
8.2.3 一阶线性微分方程
一阶非齐次线性方程的解法 例题 一阶线性微分方程题解 习题
模型1 探照灯的聚光镜面是一张旋转曲面, 它的形状由
xOy 坐标面上的一条曲线 L 绕 x 轴旋转而成 , 按聚光性 能的要求, 在其旋转轴 (x 轴)上一点O处发出的一切光线， 经它反射后都与旋转轴平行. 求曲线 L 的方程. 解: 将光源所在点取作坐标原点, 并设
代回原变量得通解
x ( y x ) C y (C 为任意常数)
说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在 求解过程中丢失了.
例题
例 3 求解微分方程
dx dy 2 . 2 2 x xy y 2 y xy
2
解
y y 2 2 dy 2 y xy x x , 2 2 2 y y dx x xy y 1 x x y 令u , 则 dy xdu udx, x
高等数学A
第8章 常微分方程
8.2 一阶微分方程
8.2.2 齐次方程 8.2.3 一阶线性微分方程
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8.2
8.2.2 齐次方程
一阶微分方程
8.2.3 一阶线性微分方程
8.2.1可分离变量的方程（复习上次课的相关内容）
一 阶 微 分 方 程
基本形式和求解方法
齐次方程
分离变量法得
X 2 (u2 2u 1) c,
即 Y 2 2 XY X 2 C ,
将 X x 1,Y y 2 代回，
得原方程的通解
( y 2)2 2( x 1)( y 2) ( x 1)2 C , 或 x 2 xy y 2 x 6 y C1 .
当c c1 0时,
2.解法
令x X h, （其中h和k是待定的常数） y Y k， dx dX , dy dY
dY aX bY ah bk c f( ) dX a1 X b1Y a1h b1k c1
可化为齐次的方程
ah bk c 0, a1h b1k c1 0, a b (1) 0, 有唯一一组解. a1 b1
dY aX bY f( ) dX a1 X b1Y
( 2) 0,
得通解代回
X x h, Y y k，
未必有解, 上述方法不能用.
当b1 0时, a1与b中必至少有一个为零.
可化为齐次的方程
若 b 0,
可分离变量的微分方程.
dy ax by c 方程可化为 f ( ), dx (ax by ) c1
dy 1 dz 若 b 0, a1 0, 令 z ax by , ( a ), dx b dx 1 dz zc ( a) f ( ) 可分离变量的微分方程. b dx c1 a1 b1 当b1 0时, 令 , a b
令 z ax by,
dz dy 1 dz z c 可分离变量. 则 a b ， ( a) f ( ). dx dx b dx z c1
3 2
微分方程的解为
( y x )2 Cy( y 2 x )3 .
dy y y tan 的通解。 例 4 求方程 dx x x
解： 令 u y ，则 d y u x d u ，
x dx dx
于是，原方程化为
两边积分，得
du dx ， tanu x
1 cos x cot x tan x sin x
x 2 ye x / y C .
可化为齐次的方程
定义
dy ax by c 形如 f ( )的微分方程 dx a1 x b1 y c1
a1 b1 dy a1 x b1 y f f a xb y dx a b 2 2 2 2 y y x y x x
2u 2 u u xu , 2 1 u u
例题
1 1 1 2 1 dx [ ( ) ]du , 2 u 2 u u 2 u1 x
3 1 ln(u 1) ln(u 2) ln u ln x ln C , 2 2 u1 Cx. u ( u 2)
解
1 1 2 0, 1 1
h k 1 0 方程组 h 1, k 2, h k 3 0,
令 x X 1, y Y 2.
dY X Y , dX X Y
代入原方程得
Y 令u ， X
方程变为
du 1 u u X , dX 1 u
y
由光的反射定律:
可得
入射角 = 反射角
M
T
OMA = OAM =

y
A O P
x
从而
于是方程化为
y AP OP y cot x x y 2 2 OM x y y 2 2 于是得微分方程 : x y x y
而 AO
AO = OM
(齐次方程)
解 原方程可化为
dx ( x / y 1)2e x / y ， x/ y dy 1 2e
x dx du 令u ，则x yu, y u, 代入上述方程得 y dy dy
即
du ( u 1)2e u y u ， u dy 1 2e du (u 2e u ) y ， u dy 1 2e
du u 4 2u du u 4 2u x u x - u， 3 3 dx 2u 1 dx 2u 1 1 2u 3 dx du u 4 u ln x , 4 du x 3 u u x dx 1 2u 1 2u 3 1 u 3 u 3 2u 3 u4 u du u4 u du, 1 u3 3u3 1 3u3 du ( 4 )du, 4 u u u u u 1 3u 2 ( 3 )du lnu ln(u3 1) lnC , u u 1
齐次方程的定义和解法
1.定义 形如
dy y f ( ) 的微分方程称为齐次方程. dx x
2. 解法 作变量代换
y u , x
即 y xu,
dy du u x , dx dx
代入原式
du u x f ( u), dx
可分离变量的方程
du f ( u) u 即 . dx x
例 ５ 求方程 ( y 4 -2 x 3 y)dx ( x 4 2 xy3 )dy 0 的通解。
x y x y
x 例 ６ 求方程 (1 2e )dx 2e (1 )dy 0, y 满足y x0 1 的特解。
例题 例 1 求解微分方程
y y ( x y cos )dx x cos dy 0. x x
dy y 4 2 yx3 ， 3 4 dx 2 xy x
右端分子分母同除以 x 4得
dy ( y / x )4 2( y / x ) ， 3 dx 2( y / x ) 1
y 令u ，则y xu , dy x du u, x dx dx
代入原方程得
du u 4 2u x u ， 3 dx 2u 1
du dx tanu x ，
ln | sinu | ln | x | ln | C |， 即
y 故原方程的通解为 sin Cx 。 x
sin u Cx ，
例５
求方程 ( y 4 -2 x 3 y)dx ( x 4 2 xy3 )dy 0 的通解。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解： 原方程可化为
齐次方程的定义和解法
当 f (u) u 0时, 得
即 x Ce
( u )
du ln C1 x , f ( u) u
,
（ ( u )
du ） f ( u) u
y ( ) y 得通解 x Ce x , 将 u 代入, x 当 u0 , 使 f (u0 ) u0 0, 则 u u0是新方程的解 ,
dy y y 解: 方程变形为 2 dx x x
则有

2
,
y 令u , x
u x u 2 u u 2
du dx 1 1 dx 分离变量 即 d u 2 x u u u 1 u x x ( u 1) u 1 积分得 即 C ln ln x ln C , u u
dy x y 1 例7 求 的通解. dx x y 3
dy 2 求方程 ( 4 x y 1 ) 的通解。 例８ dx
例９ 求 (2 x 3 y 7) x d x (3x 2 y 8) y d y 0
2 2 2 2
的通解。
dy x y 1 例7 求 的通解. dx x y 3
dv y 1 v 2 dy
x 令v , y
dx dv v y dy dy
积分得 故有
故反射镜面为旋转抛物面.
ln ( v 1 v 2 ) ln y ln C 2 y 2y v y 2 2 1 ( v ) 1 v 2 C C C 得 y 2 2 C ( x C ) (抛物线) 2
所以通解为 即
ln x lnu ln(u3 1) lnC , Cu x 3 . u 1
将u y / x代入并整理得 x 3 y 3 Cxy.
例6
x 求方程 (1 2e )dx 2e (1 )dy 0, y 满足y x0 1 的特解。
x y
x y
代回原方程, 得齐次方程的解 y u0 x.
例 1 求解微分方程
y y ( x y cos )dx x cos dy 0. x x
例2 解微分方程
例 3 求解微分方程
dx dy 2 . 2 2 x xy y 2 y xy
例 ４ 求方程
dy y y tan 的通解。 dx x x