高等数学多元函数微分法
高等数学复习-多元函数微分法及其应用
高等数学复习-多元函数微分法及其应用
一、列举二元函数的例子？
二、求多元函数的极限？
三、证明函数的连续性？
四、多元函数的性质？
五、求多元函数再某点的偏导数？
六、求多元函数的偏导数？
七、求多元函数的高阶偏导数？
八、二阶混合偏导数定理？
九、求函数的全微分？
十、全微分的应用?
十一、一元函数与多元函数复合定理?
十二、多元函数与多元函数复合定理?
十三、其它复合定理？
十四、求复合函数的偏导数？
十五、求复合函数的全导数？
十六、利用全微分形式不变形求偏导数？
十七、利用隐函数求导？
十八、利用方程组求偏导数?
十九、求函数的单位切向量？
二十、求曲线的切线及法平面方程？
二十一、求球面的切线及法平面方程？
二十二、求旋转抛物面的切线及法平面方程？
二十三、求某个方向的方向导数？
二十四、求函数在某点的梯度？
函数在某点的梯度是这样一个向量，他的方向是函数再这点方向导数取得最大值的方向，它的模就等于方向导数的最大值。
（1）求出函数在各个自变量上的偏导数
（2）带入点惊醒计算
（3）表示出该向量（记得加上i、j、k）
二十五、求函数再某个方向的变化率？
二十六、举例说明多元函数最值及极值？
二十七、有极值定理?
二十八、求多元函数的极值？
二十九、拉个朗日乘数法求极值？。
《高等数学》(同济六版)教学课件★第9章.多元函数微分法及其应用(1)
例如, f ( x, y )
4
x2 y 2 2 2 xy 2 , x y 0 2 x y 0, x2 y 2 0
2 2 4
x 4x y y 2 2 y , x y 0 2 2 2 f x ( x, y ) (x y ) 0, x2 y2 0 x4 4x2 y 2 y 4 2 2 x , x y 0 2 2 2 f y ( x, y ) (x y ) 0, x2 y2 0 y f x (0, y ) f x (0, 0) lim 1 f x y (0,0) lim y 0 y y 0 y f y ( x, 0) f y (0, 0) x 1 lim f y x (0,0) lim x 0 x x 0 x
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r2
定理. 若 f x y ( x,y) 和 f y x ( x,y) 都在点 ( x0 , y0 ) 连续, 则
f x y ( x0 , y0 ) f y Байду номын сангаас ( x0 , y0 )
本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.
(证明略)
例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数 在点 (x , y , z) 连续时, 有
x 0 y 0
0
得
x 0 y 0
lim f ( x x, y y ) f ( x, y )
即 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微
z f ( x x, y y) f ( x , y ) 函数在该点连续
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
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高等数学下册第7章多元函数微分法及其应用 (7)
故当 y y0， x x0时，有 f ( x, y0 ) f ( x0 , y0 ),
5
说明一元函数 f ( x, y0 )在 x x0处有极大值,
必有
f x ( x0 , y0 ) 0;
类似地可证
f y ( x0 , y0 ) 0.
从几何上看，这时如果曲面 z f ( x, y) 在点
21
例6
求椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1 的内接长方体,
使长方体的体积为最大.
解 设长方体与椭球面在第一卦限内的接点坐标为
(x, y, z),则内接长方体的体积为8x构yz造, 函数
F
( x,
y,
z)
8 xyz
(
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1),
得方程组
8
yz
2x a2
0,
8 xz
2y b2
求出实数解，得驻点.
第二步 对于每一个驻点( x0 , y0 )，
求出二阶偏导数的值A、B、C.
第三步 定出AC B2 的符号，再判定是否是极值.
8
例1 求函数f ( x, y) x3 y3 3x2 3 y2 9x的极值.
解 先解方程组
f x ( x, y) 3x2 6x 9 0,
x y 1 3，z 2 3 和 2
x y 1 3，z 2 3 2
dmax 9 5 3, dmin 9 5 3.
25
例8. 求函数f(x, y)=xy在闭区域x2 y2 1上的
最大值与最小值
解 由fx(x, y)=y=0, fy(x, y)得=x到=0函, 数在区域内 的唯一驻点为(0,0),且 f(0,0)下=0面.考虑函数在区域 的边界x2+ y2=1上的最大值与最小值.设
《高等数学教学课件》9.1多元函数微分学法及其应用
在社会科学中的应用（如人口动态学、市场均衡分析等）
在工程科学中的应用（如机器人控制、信号处理等）
总结词：优化和控制
感谢观看
THANKS
全微分的定义
线性性质、可加性、全微分与偏导数的关系、全微分与方向导数的关系。
全微分的性质
全微分的定义与性质
03
梯度的性质
梯度与方向导数的关系、梯度的几何意义。
01
方向导数的定义
在某一方向上函数值的变化率。
02
梯度的定义
方向导数在各个方向上的最大值，表示函数值变化最快的方向。
方向导数与梯度
04
多元函数的极值
在物理科学中的应用（如流体动力学、热传导等）
总结词：揭示内在机制 总结词：预测和政策制定 总结词：复杂系统分析 详细描述：在人口动态学和市场均衡分析等社会科学领域，多元函数微分学也具有广泛的应用。通过建立微分方程模型，我们可以揭示人口动态变化和市场供需关系的内在机制，预测未来的发展趋势。此外，这些模型还可以为政策制定提供依据，帮助政府和企业制定有效的政策和措施。在复杂系统分析中，多元函数微分学也为我们提供了理解和预测系统动态行为的有力工具。
极值点处的函数一阶导数必须为零
如果一个多元函数在某点的所有偏导数都为零，并且该点的二阶导数矩阵正定，那么该点就是函数的极值点。
费马定理是判断多元函数极值点的充分条件，但在实际应用中，需要结合其他条件进行判断，例如函数的单调性、凹凸性等。
极值的充分条件（费马定理）
费马定理的应用
费马定理
最大值与最小值的定义
多元函数的表示方法
可以用数学符号表示，如$z = f(x, y)$，其中$x$和$y$是自变量，$z$是因变量。
多元函数的定义域
高等数学 多元函数的微分中值定理和泰勒公式
一元函数 f ( x) 的泰勒公式:
f ( x0 ) 2 f ( x0 h) f ( x0 ) f ( x0 )h h 2!
f ( n ) ( x0 ) n h n!
推广 多元函数泰勒公式
(0 1)
记号 (设下面涉及的偏导数连续): • (h k ) f ( x0 , y0 ) 表示 h f x ( x0 , y0 ) k f y ( x0 , y0 ) x y 2 • (h k ) f ( x0 , y0 ) 表示 x y
1 (h 2! x 1 (h n! x 2 k y) n k y)
f ( x0 , y0 ) f ( x0 , y0 ) Rn
①
1 ( h k ) n 1 f ( x h, y k ) ② 其中 Rn ( n 0 0 1)! x y
m
( m) (0) (h x k y ) m f ( x0 , y0 )
由 (t ) 的麦克劳林公式, 得
将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.
说明: 因 f 的各 n+1 阶偏导数连续, (1) 余项估计式. 在某闭
邻域其绝对值必有上界 M , M Rn ( h k ) n 1 (n 1) ! 则有
例1. 求函数 f ( x, y ) ln(1 x y ) 在点 (0,0) 的三阶泰
勒公式. 解:
1 f x ( x, y ) f y ( x, y ) 1 x y f x x ( x, y ) f x y ( x, y ) f y y ( x, y )
3 f x y 4 f x y
高等数学第六章多元函数微分法及应用第三节 全微分
dz f x (1,2)dx f y (1,2)dy 2 0.04 0 0.02 0.08
(1.04)2.02 1.08
V 2rhr r 2h
其余部分是 (r)2 (h)2的高阶无穷小，所以
V 2rhr r 2h o( (r)2 (h)2 )
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线性主部
无穷小量
3
二 全微分的定义
(Definition of total differential)
全微分存在．
xy
例如，
f
(
x,
y)
x2 y2
0
x2 y2 0 .
x2 y2 0
在 点 (0 ,0 )处 f x (0 ,0 ) f y (0 ,0 ) 0
z [ f x (0,0) x f y (0,0) y]
x y , (x)2 (y)2
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记全微分为 dz z dx z dy. x y
通常我们把二元函数的全微分等于它的两个 偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加 原理．
叠加原理也适用于二元以上函数的情况． 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数
du u dx u dy u dz. x y z
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证 令 x cos , y sin ,
则 lim xy sin 1
( x , y )(0,0)
x2 y2
lim 2 sin cos sin 1
高等数学二第一章多元函数微分学
X0
显然, E的孤立点X0总是E的边界点, 但不是聚点.
邻域, 内点, 边界点, 开集, 连通, 有界, 开 区域, 闭区域, 聚点，孤立点这些概念都可毫 无困难地推广到三维空间 R3 中去, 且有类似 的几何意义. 它们还可推广到 4 维以上的空 间中去, 但不再有几何意义.
内至少含有 E 中一个异于X0 的点. 则称 X0 为
E 的 一个聚点. (自证). 2.E 的聚点 X0可能属于 E , 也可能不属于E . 3.E 的内点一定是 E 的聚点.
4.若 E 是开区域. 则 E 中每一点都是 E 的聚点.
若 E E E 为闭 .则 E 中 区每 域 E 的 一.聚 点
R2中的点X只可能有三种情形.
(1)X为E的内点. (3)X为E的外点.
(2)X为E的边界点.
4. 开集
设 E 是一平面点集, 若 E 中每一点都是 E 的内点. 即 E E0, 则称 E 是一个开集. 规定, , R2为开集. 由于总有 E0 E, 因此, E E0 E = E0 故也可说, 若E = E0 , 则称 E 是一个开集.
9.聚点
设 E 是平面点集, X0 是平面上一个点.
若X0的任一邻域内总有无限多个点属于E .
则称 X0 是E 的一个聚点. 从几何上看, 所谓 X0 是 E 的聚点是指
在 X0 的附近聚集了无限多个 E 中的点.即, 在 X0 的任意近傍都有无限多个 E 中的点.
如图
X0
1.聚点定义也可叙述为: 若 X0 的任一邻域
称为闭区域.
如图.
易见,例2中的D是闭
区域. 从几何上看,闭区域
E
专升本《高等数学》易错题解析-第八章：多元函数微分法
多元函数微分学 一、知识网络图⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧线空间曲线的切平面与法曲线的切线与法平面几何应用拉格朗日乘数法定义法条件极值充分条件必要条件极值泰勒公式应用方程组一个方程隐函数复合函数的微分定义微分法质闭区域上连续函数的性关系连续性与全微分之间的偏导数极限与累次极限的关系性质全微分梯度方向导数偏导数连续极限有界闭区域区域集闭开边界点外点内点邻域距离图形多元函数变化域基本概念，、、、、、、、、、、、)( 二、典型错误分析例1.求.lim 222300y xy x xy x y x +-+→→[错解] 引入极坐标,并注意到02sin 211≠-θ,故原式02sin 211cos lim )sin cos 1()sin cos (cos lim 022330=-=-+→→θθθθθθθr r r r r[错因分析] 若A y x f y y x x =→→),(lim 00, 则要求动点),(y x Q 沿任何方向、任意方式趋于点),(00y x P 时,函数均趋于A. 本题的以上解法仅反映了动点),(y x Q 沿从原点引出的射线方向趋向于)0,0(时,函数的极限是零,这不足以说明该函数的极限就是零.[正确解法] 由于22222322230yxy x xy y xy x x y xy x xy x +-++-≤+-+< ||||243||222223y xy x y x y x x x +-+⎪⎭⎫⎝⎛-+= ||||34||||||43||223y x y x y x x x +=+≤且 0||||34lim 00=⎪⎭⎫⎝⎛+→→y x y x于是 .lim 222300y xy x xy x y x +-+→→例2.求.lim22y xy x yx y x +-+∞→∞→[错解] 由于222222222y xy x y x y xy x +-++=+-442)(22222222y x y x y x y x +++≥-++= 4)(424222y x xy y x +=++≥ 于是||4)(41||222y x y x y x y xy x y x +=++≤+-+ 又 ∞→∞→y x lim0||4=+y x故 .lim22y xy x yx y x +-+∞→∞→[错因分析] ∞→∞→y x lim0||4=+y x 未必成立,例如,取n y n x n n -==4,则1||4lim,lim lim =+∞==∞→∞→∞→nn n n n n n y x y x[正确解法] 由于 22222y x y xy x +≥+-)(2)(222y x y x +≤+)(2||22y x y x +≤+⇒于是 2222222222)(212yx y x y x yxy x yx +=++≤+-+而 ∞→∞→y x lim02222=+yx故 .lim22y xy x yx y x +-+∞→∞→例3.设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=0,00,1sin )(),(22222222y x y x y x y x y x f 问),(y x f 在点)0,0(处:(1)偏导数是否存在? (2)偏导数是否连续? (3)是否可微? [错解](1) 2222221cos 21sin2),(y x y x x y x x y x f x ++-+='2222221cos 21sin2),(yx y x y y x y y x f y ++-+=' 可见)0,0(x f '及)0,0(y f '都不存在.(2)显然可知),(y x f x '及),(y x f y '在)0,0(处不连续.(3)由上述知),(y x f 在)0,0(处不可微.[错因分析] 忽略了分段函数在其分界点处的偏导数必须利用定义来求. [正确解法] (1)由于0)(1sin)(lim )0,0()0(lim)0,0(2200=∆∆∆=∆-∆+='→∆→∆xx x xf x f f x x x故)0,0(x f '存在. 同理)0,0(y f '也存在且等于零. (2)⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++-+='0,00,1cos 21sin 2),(2222222222y x y x y x y x x y x x y x f x ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++-+='0,00,1cos 21sin 2),(2222222222y x y x y x y x y y x y y x f y由于 ]1cos 21sin2[lim ),(lim 22222200y x y x x y x x y x f xy x x xy x ++-+='=→=→]21cos 121sin2[lim 220x x x x xy x -==→ 可知该极限不存在.同理可证),(lim 0y x f y xy x '=→不存在. 故),(y x f x '及),(y x f y '在)0,0(处不连续.(3)注意: 函数的偏导数连续是函数可微的充分条件, 而不是必要条件,因此不能由(2)直接得出),(y x f 在)0,0(处不可微.由于 =∆z α+∆'+∆'y f x f y x )0,0()0,0( 且知 )0,0(x f '0)0,0(='=y f因而 )0,0()0,0(f y x f z -∆+∆+=∆=α2222)()(1sin])()[(y x y x ∆+∆∆+∆=000lim lim →∆→∆→∆→∆=y x y x ρα0)()(1sin )()(])()[(222222=∆+∆∆+∆∆+∆y x y x y x 故函数),(y x f 在)0,0(处可微.例4.设),,(v u x f =ω,),(y x u ϕ=,x ),(y x v ψ=.试将u ∂∂ω,v∂∂ω用ψϕ,,f 的偏导数表示.[错解] 如下图,可知 xω u xv yxvv x u u dx dx x x ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂=∂∂ωωωω x x vu x ψωϕωω'∂∂+'∂∂+∂∂=)(a 故0='∂∂+'∂∂x x vu ψωϕω )(b 又由yv v y u u dy dx x y ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂=∂∂ωωωω y y vu ψωϕω'∂∂+'∂∂+=0 )(c 故yv u yy ∂∂='∂∂+'∂∂ωψωϕω )(d 由)(b ,)(d 联立解之, 得xy y x xx y y x xyv y u ψϕψϕωϕωψϕψϕωψω''-''∂∂'=∂∂''-''∂∂'-=∂∂,其中0≠''-''x y y x ψϕψϕ[错解分析]由)(a 得到的)(b 是错的. )(a 中等式左右两端的x∂∂ω不能消掉,这是因为两者的含义截然不同. 等式左边的x∂∂ω是在)),(),,(,(y x y x x f ψϕω=中把y 看作常量对x 求偏导而得;而等式右端的x∂∂ω是把x 与v u ,看作相互独立的变量,即把v u ,看作常量对x 求偏导而得. 以后凡遇到一个变量即是自变量又是中间变量的情况,两边对该变量的偏导数要写成不同的符号以示区别. [正确解法] 由前面图可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'∂∂+'∂∂+=∂∂'∂∂+'∂∂+∂∂=∂∂y y x x v f u f y v f uf x f x ψϕωψϕω0解之, 可得,xy y x x y y x f x u u f ψϕψϕψωψωω''-'''∂∂-'⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂=∂∂.xy y x y xx f x y v v f ψϕψϕϕωϕωω''-'''⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-'∂∂=∂∂=∂∂其中0≠''-''x y y x ψϕψϕ.例5.设),(t x f y =,而t 是由方程0),,(=t y x F 所确定的y x ,的函数,试求dxdy. [错解] 由),(t x f y =,则xt t f x f dx dy ∂∂∂∂+∂∂= )(a 又由0),,(=t y x F ,则t x F F x t''-=∂∂ )(b 将)(b 代入)(a 得t f x f dx dy ∂∂+∂∂=t x t t x t x F F f F f F F '''-''=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''- [错因分析] 没有弄清函数的关系是问题所在. 一般来说, 三个未知量两个方程所反映的函数关系是其中两个变量是另一个变量的函数.从所求之结果dxdy可知,t y ,均是x 的一元函数. [正确解法]由),(t x f y =及0),,(=t y x F 确定出t y ,为x 的函数)(),(x t t x y y ==,将给定的两个方程的两边对x 求导,便有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='+'+'∂∂+'=0dx dt F dx dy F F dxdt t f f dx dy t y x x解之, 得=dx dy t y t x t t x f F F F f F f ''+'''-'' 例6.设),,(v u x f z =,22,y x v e u xy-==,且f 具有二阶连续的偏导数,求22xz∂∂,yx z∂∂∂2. [错解]vf x u f ye x f x z xy ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂2 22xz ∂∂⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=v f x x u f ye x x f x xy 2x v f x v f x u f ye u f e y xf xy xy ∂∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂+∂∂=2222222y x z ∂∂∂2⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=v f x y u f ye y x f y xy 2 yv f x v f y u f ye u f xye u f e y x f xy xy xy ∂∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂+∂∂+∂∂∂=22222 [错因分析]在求二阶偏导数时,把vfu f x f ∂∂∂∂∂∂,,仅仅看作是x 或y 的函数是不妥当的,事实上它们仍然是以v u x ,,为中间变量, 以y x ,为自变量的函数. [正确解法]xz u xv yvfx u f ye x f x z xy ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂222x z ∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂=v f x u f ye xf x xy 2+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂∂+∂∂=v u f x u f ye xu f ye u f e y v x f x u x f ye x f xy xy xy xy 22222222222 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂+∂∂∂+∂∂2222222v f x u v f ye x v f x v f xy +∂∂∂+∂∂∂+∂∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=u v f xye x v f x x u f ye vf x u f e y x f xy xy xy 2222222222224424 vfu f e y xy∂∂+∂∂22 y x z ∂∂∂2⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂=v f x u f ye x f y xy 2 +∂∂+∂∂+∂∂∂-∂∂∂+⋅∂∂=u f xye u f e v x f y u x f xe xf xy xy xy 222220+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂-∂∂+⋅∂∂∂v u f y u f xe x u f ye xy xy222220 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂∂+⋅∂∂∂2222202v f y u v f xe x v f x xy +∂∂+∂∂++∂∂∂-∂∂∂=22222)1(2u f xye u f xy e v x f y u x f xe xy xy xy222224)(2vf xy u v f e y x xy ∂∂-∂∂∂- 三、综合题型分析 例7.证明极限2200limyx xyy x +→→不存在.[分析] 为了证明二元函数),(y x f 在点),(00y x 处极限不存在,只需找出两条不同的路径1L 和2L ,使点),(y x 在定义域D 内沿1L 和2L 趋向于点),(00y x 时),(y x f 趋向于两个不同数值;或找出一条路径L ,使点),(y x 在定义域D 内沿L 趋向于点),(00y x 时),(y x f 的极限不存在.[证明] 因沿1L :0,0=≠y x ,有022=+yx xy,而沿2L :x y x =≠,0,有2122=+y x xy ,故2200limyx xyy x +→→不存在. 例8.分别讨论下列函数在其定义域中的连续性:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=).0,0(),(,0),0,0(),(,),(22y x y x y x xyy x f (2) ⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=).0,0(),(,0),0,0(),(,),(222y x y x y x y x y x f[分析] 题设的两个函数都是二元分段函数,当)0,0(),(≠y x 时它们分别是由自变量x 与自变量y 的一元基本初等函数经过四则运算得到的函数,利用已知一元函数的连续性知它们在)0,0(),(≠y x 处连续,在)0,0(),(=y x 点是否连续,则需按二元函数连续性定义来判断. [解](1) ),(y x f 当)0,0(),(≠y x 时连续, 但2200lim y x xyy x +→→不存在,故),(y x f 在点)0,0(处不连续.(2) ),(y x f 当)0,0(),(≠y x 时连续, 且由||||21222y y y x y x ≤≤+ 以及0||lim 00=→→y y x )0,0(f =. 可得),(lim 0y x f y x →→)0,0(0f ==, 即),(y x f 在其定义域全平面上连续.[注] 本例（１）中的函数),(y x f 在点)0,0(处不连续, 但两个偏导数都存在且)0,0(x f '=0)0,0(='y f ;而函数||||),(y x y x f +=则是在点)0,0(处连续,但两个偏导数)0,0(x f '和)0,0(y f '都不存在. 这两个例子表明对多元函数而言,连续性与偏导数存在这二者是既不充分又不必要的条件.与一元函数的情况不大相同.例9.设,sin y x e u x-=则y x u ∂∂∂2在点)1,2(π的值为______________.[答案] 2)(eπ[分析一] =∂∂xuy y x e y x e x x 1)cos (sin --+-)sin cos 1(y x y x y e x -=-,将该式对y 求导得y x u ∂∂∂2)].(cos )(sin 1cos 1[222y xy x y x y x y y x ye x -----=- 令π1,2==y x 并代入上式,得223222)()2cos 22sin 22cos (ee y x u πππππππ=++-=∂∂∂-.[分析二]=∂∂yu )(cos 2y x y x e x --2)1,2(2)1,(=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂∂x y x u dx d xy uππ22)cos (=--=x x x xe dx d ππ =---==--22)sin cos )1([x x x x xe x x e ππππ2)(eπ. 例10． 求下列极限(1) 2243002332lim y xy x y x y x +--→→; (2) y x yx xy y x y x +++→→24300lim[解] (1)由于224223224332)31(33)(2223320yy x y y x x xy xy x yx +-+-+≤+--≤224232932322y x y y xx+=+≤ 因为00lim →→y x 0292=⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x 故原极限等于零.(2)令x x y -=3,则)()()()(lim lim 33243330024300x x x x x x x x x x x x y x y x xy y x y x y x -+-+-+-=+++→→→→ 1)(lim 344300-=+--=→→x x o x x y x .又令x y =,则02lim lim 3540024300=++=+++→→→→x x x x y x y x xy y x y x y x故y x yx xy y x y x +++→→24300lim 不存在. [方法小结]二元函数的极限比一元函数的极限要复杂得多, 计算也更困难. 通常从以下三个方面考虑.(1)设法利用变换化为一元函数的极限;(2)掌握绝对值不等式的放缩技巧, 使用夹逼定理;(3)通过观察, 若能大致估计所求极限不存在, 可选择两条不同路径, 求出不同的极限值, 借以证明原式极限不存在.例11．设f 具有二阶连续偏导数, 求函数),(2xyy x f z =, 求y x z ∂∂∂2,22x z ∂∂.[分析]本题给出的函数没有具体的表达式,这类函数称为抽象函数, 求抽象函数的偏导数, 一定要明确中间变量,中间变量可分别设为ω,,v u 等. 一般来说,抽象函数的高阶偏导数采用如下记号较为简便不易出错,用记号321,,f f f '''分别表示函数f 对第一、第二、第三中间变量的偏导数(多个中间变量可类推).用312312,,f f f '''''' 分别表示函数f 对第一、第二中间变量，第二、第三中间变量，第三、第一中间变量的二阶偏导数. 另外需注意,一般而言,函数对中间变量的偏导数仍是中间变量的函数,从而也是自变量的复合函数, 故对它们求高阶偏导时重复使用复合函数求偏导法则. 本题采用后一记号.[解]x z ∂∂22122122f x y f xy x y f xy f '-'=⎪⎭⎫⎝⎛-'+⋅'=y x z ∂∂∂2⎪⎭⎫⎝⎛'-'∂∂=2212f x y f xy y ⎪⎭⎫⎝⎛''+''-⎪⎭⎫ ⎝⎛''+''+'-'=2221221211222111212f x f x x y f x f x xy f x f x 22312113221212f xy f y f y x f x f x ''-''+''+'-'= 22x z ∂∂⎪⎭⎫⎝⎛'-'∂∂=2212f x y f xy x⎪⎭⎫⎝⎛''-''-⎪⎭⎫ ⎝⎛''-''+'+'=2222121221123122222f x y f xy x y f x y f xy xy f x y f y 224212211222314422f xy f x y f y x f x y f y ''+''-''+'+'= 例12．设),,(x v u f z =, ),(y x u ϕ=,)(y v ψ=,求复合函数)),(),,((x y y x f z ψϕ=的偏导数x z∂∂与yz ∂∂. [解] 由复合函数求导法,得321f x f x f x z '+∂∂'+∂∂'=∂∂ψϕ,31f xf '+∂∂'=ϕ =∂∂yz dy d f y f ψϕ21'+∂∂')(21y f y f ψϕ''+∂∂'=. [注] 在本题的情况下, 记号xf∂∂的含意是不清楚的. ),,(x v u f 作为x v u ,,的三元函数求x x v u f ∂∂),,(与)),(),,((x y y x f ψϕ作为y x ,的二元函数求xx y y x f ∂∂)),(),,((ψϕ的含意是不同的.因此,这里应避免使用记号xf∂∂,若要使用它,则必须对其含意加以说明.若x f ∂∂表示),,(x v u f 对x 的偏导数,则该例中)),(),,((x y y x f z ψϕ=的偏导数xz ∂∂,yz∂∂也可表示为 )(,y v f y u f y z x f x u f x z ψϕϕ'∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂. 应用复合函数求导法则应注意以下几点: ①复合函数对指定的自变量求偏导数∑=⨯=mi i 1量求偏导该中间变量对指定自变个中间变量求偏导数函数对第,其中m是中间变量的个数.原则上函数有几个中间变量,公式中就有几项.要分清中间变量与自变量,一定要注意对哪个自变量求导,对中间变量求导, 对中间变量求导不要漏项.有时公式中右端项的项数比中间变量个数少,那是因为有的中间变量与求偏导数的自变量无关,从而导数为零.如上例中yz ∂∂. ②复合函数求导公式中,函数对中间变量的偏导数仍然是中间变量的函数,如设),(v u f z =,),(y x u ϕ=,),(y x v ψ=, 则,xv f x u f x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ψϕ 这里vfu f ∂∂∂∂,仍然是v u ,的函数,而),(y x u ϕ=,),(y x v ψ=. 于是,它们仍是y x ,的复合函数,求高阶偏导数时要注意这一点.例13. 设0),,,(2=--ωy z x y x F ,其中F 具有二阶连续偏导数, 且04≠'F , 求22y∂∂ω. [分析]隐函数求偏导数时,要弄清楚哪个是因变量, 哪个是自变量, 哪个是中间变量, 然后将方程两边对自变量求偏导, 再解相应的方程得出所出的偏导数. [解] 由所求结论可知ω是因变量, 又因只有一个方程, 可知z y x ,,均为自变量, 将方程0),,,(2=--ωy z x y x F )(a两边对y 求偏导, 有0)2()(4321=∂∂-'+-∂∂⋅'+'+∂∂'yy F z x y F F y x F ω )(b 由于z x ,与y 无关, 故0)(,0=-∂∂=∂∂z x yy x )(c 422F F y y ''+=∂∂ω)(d 将)(b 式的两边对y 求偏导, 得+∂∂-''+-∂∂⋅''+''+∂∂'')2()(24232221yy F z x y F F y x F ω0)2()2()()2(22444434241=∂∂-'+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-''+-∂∂⋅''+''+∂∂''∂∂-y F y y F z x y F F y x F y y ωωω 将)(c ,)(d 代入上式并整理可得22y∂∂ω34224442242422)()(2)(2F F F F F F F F ''''+''''-'''+= 例14. 证明曲面0,=⎪⎭⎫ ⎝⎛----c z b y c z a x f 的切平面通过一定点. [分析]所谓定点就是三个坐标均为固定常数的点, 由题设考虑, 极有可能是以c b a ,,为坐标的点.[证明] 由方程0,=⎪⎭⎫⎝⎛----c z b y c z a x f 有,1,121c z f f cz f f y x -⋅'='-⋅'=')]()([)(1212b y f a x fc z f z -'+-'--='其切平面方程为0)()()()()()(22121=--'-+'----'+--'z Z c z f b y f a x y Y c z f x X c z f即0)])(())([()])(())([(21='-----+'-----f z Z b y y Y c z f z Z a x x X c z 显然, 当),,(),,(c b a Z Y X =时,上式恒成立,故所证命题成立.例15.设),(y x f z =在区域D 上有定义,若在D 中任一点处),(y x f 的一阶偏导数存在且有界, 则),(y x f 在D 上连续. [分析] 由函数连续的定义可知, 若能证明lim 0=∆→∆→∆z y x 或),(),(lim 00y x f y y x x f y x =∆+∆+→∆→∆即可证明),(y x f 在D 中任一点),(y x 处连续.[证明] 设),(y x 为D 中任一点, 则 ),(),(y x f y y x x f z -∆+∆+=∆)],(),([)],(),([y x f y y x f y y x f y y x x f -∆++∆+-∆+∆+= )(a 由于),(),,(y x f y x f y x ''存在, 依据拉氏定理有=∆+-∆+∆+),(),(y y x f y y x x f x y y f x ∆∆+'),(ξ )(b =-∆+),(),(y x f y y x f y x f y ∆'),(η )(c其中ηξ,分别在x 与x x ∆+,y 与y y ∆+之间.又因),(),,(y x f y x f y x ''在D 中有界, 故∃一个0>M , 使得M y y f x ≤∆+'),(ξ, M x f y ≤'),(η )(d利用)(),(),(),(d c b a 式, 有)(y x M z ∆+∆≤∆于是 0000lim lim 0→∆→∆→∆→∆≤∆≤y x y x z 0)(=∆+∆y x M故lim 00=∆→∆→∆z y x即),(y x f 在点),(y x 处连续. 由于),(y x 在D 中的任一点处, 因而可知原结论成立.例16.求由方程010422222=--+-++z y x z y x 确定的函数),(y x f z =的极值.[解法一] 将方程010422222=--+-++z y x z y x 的两边分别对y x ,求偏导, 得⎩⎨⎧='-+'+='--'+0422204222y y x x z z z y z z z x )(a 由函数极值的必要条件知0,0='='y x z z ,将其代入)(a 得, 1,1-==y x 即得驻点)1,1(-P .由)(a 的两个方程分别对y x ,求偏导, 得zz A Pxx-=''=21)(b 0=''=Pxyz Bzz C Pyy-=''=21因为 0)2(1022<--=-z AC B )2(≠z故)1,1(-=f z 为极值.将1,1-==y x 代入方程010422222=--+-++z y x z y x ,得6,221=-=z z将21-=z 代入)(b 中可知041>=A故2)1,1(-=-=f z 为极小值.将61=z 代入)(b 中可知041<-=A 故6)1,1(=-=f z 为极大值. [解法二] 配方法.方程010422222=--+-++z y x z y x 可变形为16)2()1()1(222=-+++-z y x22)1()1(162+---±=-y x z显然, 当1,1-==y x 时, 根号中的极大值为4, 由此可知, 42±=z 为极值. 即6=z 为极大值, 2-=z 为极小值.例17.当0,0,0>>>z y x 时, 求函数z y x u ln 3ln 2ln ++=在球面22226r z y x =++上的最大值, 并证明对任意的正实数c b a ,,成立不等式6326108⎪⎭⎫⎝⎛++≤c b a c ab[解] 令λ+++=z y x z y x F ln 3ln 2ln ),,()6(2222r z y x -++有⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-++=+='=+='=+=')4(06)3(023)2(022)1(0212222r z y x z z F y y F x x F z yx λλλ由)3(),2(),1(, 得22223,2x z x y ==代入)4(,得 r z r y r x 3,2,===及)3,2,(r r r P可知最大值为)36ln()3ln(3)2ln(2ln 6)3,2,(r r r r u r r r =++=即 ≤++z y x ln 3ln 2ln )36ln(6r亦即 63236r z xy ≤或 622226426)36(⎪⎪⎭⎫⎝⎛++≤z y x z y x 令c z b y a x ===222,,, 于是6326108⎪⎭⎫⎝⎛++≤c b a c ab例18.设方程x y e xy cos 2=+确定y 为x 的函数, 则dxdy=_______ [答案]yxe xye xy xy 2sin ++-[解法一] 设=),(y x F x y e xy cos 2-+,x ye F xy x sin +=', y xe F xy y 2+='由公式y x F F dx dy ''-=,得=dx dy yxe xye xy xy 2sin ++- [解法二] )(x y y =, 方程两端对x 求导, 得x y y y x y e xy sin 2)(-='+'+,解得yxe x ye y xyxy 2sin ++-=' 四、考研试题分析例19.(1991年数学一、二)由方程2222=+++z y x xyz 所确定的函数),(y x z z =在点)1,0,1(-处的全微分=dz __________ [答案]dy dx 2-[分析]本题是隐函数全微分的题. 有两种方法:其一是对方程两边求全微分,解出dz , 另一种方法是先求出yz x z ∂∂∂∂,.再利用全微分公式dy y zdx x z dz ∂∂+∂∂= . [解法一] 对方程两边求全微分可得+++xydz xzdy yzdx 0222=++++zy x zdz ydy xdx将1,0,1-===z y x 代入上式可得0)(21=-+-dz dx dy由此得到dy dx dz 2-=[解法二] 设=),,(z y x F 2222-+++z y x xyzx F '=222zy x x yz +++ ; y F '=222zy x y xz +++;z F '=222zy x z xy +++222222z y x xy z z y x yz x F F x zz x ++++++-=''-=∂∂;222222zy x xy z z y x xz y F F y z z y ++++++-=''-=∂∂=dz dx zy x xy z z y x yz x 222222++++++-dy zy x xy z z y x xz y 222222++++++-将1,0,1-===z y x 代入上式可得dy dx dz 2-=例20.(1998年数学一)设)()(1y x y xy f xz ++=ϕ,ϕ,f 具有二阶连续导数, 则y x z ∂∂∂2=__________.[答案])()()(y x y y x xy f y +''++'+''ϕϕ[分析]这是一道基本运算题, 求复合函数的导数. 依题意ϕ,f 是一元函数.[解答])()(1)(12y x y y xy f x xy f xx z +'+'+-=∂∂ϕ; )()()()(1)(122y x y y x x xy f x yxy f x x xy f xy x z +''++'+''+'+'-=∂∂∂ϕϕ )()()(y x y y x xy f y +''++'+''=ϕϕ[点评]本题中的)(),(y x xy f +ϕ,其中间变量均是一元, 如果考生误认为中间变量是二元,将出现y x y x f f ϕϕ'''',,,等记号,从而无法化简导致错误.)()()()(xy f y xy x xy f xy f x '=∂∂'=∂∂, )()()()(xy f x xy yxy f xy f y '=∂∂'=∂∂. 都是用)(xy f '表示,而不能将前一式写成)()(xy f y xy f xx '=∂∂, 后一式写成)()(xy f x xy f yy '=∂∂. 对于)(y x x +∂∂ϕ亦如此, )()(y x y x x+'=+∂∂ϕϕ. 而2000年数学一第四题设)(),(xyg y x xy f z +=,其中f 具有二阶连续偏导数,g 具有二阶连续导数, 求yx z ∂∂∂2. 这个题目从题设条件中就可看出),(y x xy f ,)(x yg 的不同,前者二个中间变量,后者一个中间变量,要区别开.g xyf y f y x z '-'+'=∂∂2211g xyg x f y x f x y f y f y x f x y f y x z ''-'-''-''+'-''-''+'=∂∂∂32222212212211121)(11)( g x yg x f y x f xy f y f ''-'-''-''+'-'=322231122111 例21.（2001年数学一）设函数),(y x f z =在点)1,1(处可微, ,1)1,1(=f3,2)1,1()1,1(=∂∂=∂∂yz xz,)),(,()(x x f x f x =ϕ, 求13)(=x x dx d ϕ [分析]求全导数,应用多元复合函数求全导数的法则求之. 关键是弄清复合函数的复合关系.如果)),(,()),(,()(21x x f x f x x f x f x '+'='ϕ,就少复合了一次. [解]1)1,1())1,1(,1()1(===f f f ϕ.)),(,()(3)()(3)(223x x f x f dxdx x dx d x x dx d ϕϕϕϕ== ))],(),())(,(,()),(,()[(321212x x f x x f x x f x f x x f x f x '+''+'=ϕ取1=x ,由于3)1,1()1,1(,2)1,1()1,1(21='='='='y x f f f f ,故13)(=x x dx d ϕ=51))32(32(3))]1,1()1,1()(1,1()1,1()[1(3=++='+''+'y x y x f f f f ϕ. 例22.(2002年数学一)考虑二元函数),(y x f 的下面4条性质:①),(y x f 在点),(00y x 处连续,②),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数连续,③),(y x f 在点),(00y x 处可微,④),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数存在.若用""Q P ⇒表示可由性质P 推出性质Q ,则有( ) (A) ②⇒③⇒①; (B) ③⇒②⇒①; (C) ③⇒④⇒①; (D) ③⇒①⇒④. [答案](A)[分析]本题考查下面因果关系的认知:①② ③④记住上述因果关系,不难看出应选(A).如果误认为偏导数存在必然为连续函数, 就有④⇒①,就选择了(C).错误在于把一元函数的情形搬到二元函数中来了. 例23.(2001年数学二)设函数)(x f y =由方程1)cos(2-=-+e xy e y x 所确定,则曲线)(x f y =在点)1,0(处的法线方程为__________. [答案]022=+-y x[分析]本题考查隐函数求导和曲线的法线方程,本题应注意的是求法线方程而不是切线方程.[解法一]方程两边对x 求导,得0)sin()()2(2='++'++xy y x y e y y x解得 )sin()sin(222xy x e xy y e dx dy yx y x ++-=++, 所以2)1,0(-=dx dy因此法线的斜率为21,法线方程为022=+-y x . [解法二]设),(y x F 1)cos(2+--=+e xy e y x)sin(22xy y e F y x x +='+, )sin(2xy x e F y x y +='+)sin()sin(222xy x e xy y e F F dx dy yx y x y x ++-=''-=++, 则2)1,0(-=dx dy因此法线的斜率为21,法线方程为022=+-y x . 例24.(1994年数学二)在椭圆4422=+y x 上求一点, 使其到直线0632=-+y x 的距离最短.[分析]点),(y x 到直线0632=-+y x 的距离|632|131-+=y x d ,因此问题变成了求函数d 在限制条件4422=+y x 下的极值问题.[解]问题可以转化成求函数=),(y x f 2)632(-+y x ,在限制条件4422=+y x 下的极值问题, 构造拉格朗日函数),,(λy x L =2)632(-+y x )44(22-++y x λ那么02)632(4=+-+=∂∂x y x xLλ08)632(6=+-+=∂∂y y x yLλ 04422=-+=∂∂y x Lλ消去λ, 解得53,58;53,582211-=-===y x y x ,于是,1311,131),(),(2211==y x y x dd由问题的实际意义知最短距离是存在的, 因此⎪⎭⎫⎝⎛53,58即为所求的点.例25.(2002年数学一)设有一小山, 取它的底面所在的平面为xoy 坐标面, 其底部所占的区域为}75|),{(22≤-+=xy y x y x D ,小山的高度函数为xy y x y x h +--=2275),(.(1)设),(00y x M 为区域D 上一点, 问),(y x h 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大?若记此方向导数的最大值为),(00y x g ,试写出),(00y x g 的表达式.(2)现欲利用此小山开展攀岩活动, 为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点, 也就是说, 要在D 的边界线7522=-+xy y x 上找出使(1)中的),(y x g 达到最大值的点, 试确定攀登起点的位置. [分析和解法一](1)高度函数),(y x h 在点),(00y x M 处的梯度是j y x i x y y x gradh y x )2()2(),(0000),(0-+-=由梯度的几何意义知, 沿此梯度方向, 高度函数),(y x h 的方向导数取最大值, 并且这个最大值就是此梯度的模, 于是),(00y x g 200200)2()2(y x x y -+-=002020855y x y x -+=(2) 令),(),(2y x g y x f =xy y x 85522-+=,依题意, 只需求二元函数),(y x f 在约束条件7522=-+xy y x 下的最大值点.令),,(λy x L xy y x 85522-+=)75(22--++xy y x λ, 则,0)2(810=-+-='y x y x L xλ ,0)2(810=-+-='x y x y L y λ='λL 07522=--+xy y x 消去λ, 解得35,35;35,35;5,5;5,544332211-=-====-=-==y x y x y x y x , 于是得到4个可能的极值点)35,35(),35,35(),5,5(),5,5(4321----M M M M 又150)()(;450)()(4321====M f M f M f M f .故)5,5(),5,5(21--M M 可以作为攀登起点. [分析和解法二]把山看作曲面, 山岗某一处坡度的大小就是曲面在该处的切平面与水平面的夹角的大小, 也就是切平面的法线与z 轴的夹角(锐角的那个)的大小. 山曲面z ),(y x h =在点),(y x M 处的切平面法向量是}1,,{y x h h '', 设它与z 轴的夹角(锐角的那个)为θ,那么.8551)2()2(1)()(11cos 222222xyy x y x x y h h y x -+=-+-='+'+=θ由此可见, 为了要在D 的边界线7522=-+xy y x 上找出使θ最大, 只要θcos 最小, 也只要二元函数xy y x 85522-+在条件7522=-+xy y x 下找最大值.以下同解法一.例26.(1994年数学四)某养殖场饲养两种鱼, 若甲种鱼放养x (万尾), 乙种鱼放养y (万尾), 收获时两种鱼的收获量分别为x y x )3(βα--和)0()24(>>--βααβy y x , 求使产鱼总量最大的放养数.[解] 设总产量为z , 则z =xy y x y x βαα224322---+,由极值的必要条件,得方程组0223=--=∂∂y x xzβα0244=--=∂∂x x yzβα 0>>βα, 方程组的唯一解)2(234,223220220βαβαβαβα--=--=y x .记α222-=∂∂=x z A , ,22β-=∂∂∂=y x z B ,422α-=∂∂=yzC 有0,0)2(4222<<--=-A AC B βα, 因此z 在),(00y x 处有极大值. 又由问题的实际意义,知最大值是存在的, 所以z ),(00y x 即最大值.易验证0,000>>y x ,且⎪⎩⎪⎨⎧>=-->=--.02)24(,023)3(00000000y y y x x x y x αββα 综上所述, 0x 和0y 分别为所求甲和乙两种鱼的放养数. 例27.(2005年数学四)设二元函数),1ln()1(y x xe z y x +++=+则._________)0,1(=dz [答案]dy e edx )2(2++[分析]利用二元函数的全微分公式dy y z dx x z dz ∂∂+∂∂=,再在yzx z ∂∂∂∂,中以 0,1==y x 代入.[解]应用二元复合函数求偏导数法则得)1ln(y xe e xzy x y x +++=∂∂++, yx xe y z y x +++=∂∂+11, 所以 dx y xe e dz y x y x )]1ln([+++=+++dy y x xe y x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++11, 以0,1==y x 代入得dy e edx dz )2(2)0,1(++=. 例28.(2005年数学四)设)(u f 具有二阶连续偏导数, 且⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=y x yf x y f y x g ),(,求y x g y x g x ∂∂∂-∂∂22222. [解]利用复合函数偏导数的链锁法则,可得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎭⎫⎝⎛'-=∂∂y x f x y f x y x g 2, =∂∂22x g ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''+⎪⎭⎫ ⎝⎛''+⎪⎭⎫ ⎝⎛'y x f y x y f x y x y f x y 12423 ,1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛'=∂∂y x f y x y x f x y f x y g =∂∂22y g ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-⎪⎭⎫ ⎝⎛''y x f y xy x f y x y x f y x x y f x 322221 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''+⎪⎭⎫ ⎝⎛''=y x f y xx y f x 3221于是y x g y x g x ∂∂∂-∂∂22222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''+⎪⎭⎫ ⎝⎛''+⎪⎭⎫ ⎝⎛'y x f y x x y f x y x y f x y 2222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''-⎪⎭⎫ ⎝⎛''-y x f y x x y f x y 222 ⎪⎭⎫⎝⎛'=x y f x y 2. 例29.(2004年数学三)函数),(v u f 由关系式)(]),([y g x y y xg f +=确定, 其中函数)(y g 可微, 且0)(≠y g , 则vu f∂∂∂2=______________.[答案] []2)()(v g v g '-[分析]第一种解法可令⎩⎨⎧==,,)(v y u y xg 解出),,(),,(v u y y v u x x ==代入)(]),([y g x y y xg f +=以求出),(v u f ,再计算所求的偏导数.第二种解法是,在题给的等式两边求偏导, 使出现待求的vu f∂∂∂2,从而解之.[解法一]令⎩⎨⎧==,,)(v y u y xg 即⎪⎩⎪⎨⎧==,,)(v y y g u x )(a 代入原式得)()(),(v g v g uv u f +=, 两边对u 求偏导得,)(1v g u f =∂∂ 两边对v 求偏导得[]22)()(v g v g v u f '-=∂∂∂. [解法二]在等式)(]),([y g x y y xg f +=两边对x 求偏导2次, 得,0)]([,1)(2=''=⋅'y g f y g f uuu 但按已知, 0)(≠y g , 所以0=''uuf . 在等式1)(=⋅'yg f u 两边对y 求偏导, 得0)(])([)(=''+'''+'⋅'y g f y g x f y g f uv uuu 以0=''uuf 代入, 并解出uv f ''得 )()()()(2y g y g f y g y g f u uv'-='⋅'-='', 其中v u y x ,,,满足方程组)(a , 从而)()(2v g v g f uv'-='' 例30.(2003年数学三)设),(v u f 具有二阶连续偏导数, 且满足,12222=∂∂+∂∂v fu f 又)](21,[),(22y x xy f y x g -=, 求2222yf x f ∂∂+∂∂.[分析]利用求偏导数的链锁法则求二元复合函数的偏导数.[解],vf x u f y xg ∂∂+∂∂=∂∂.vf y u f x yg ∂∂-∂∂=∂∂ vf v f x v u f xy u f y xg ∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂2222222222.v f vf y v u f xy u f x yg ∂∂-∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂2222222222. 22x g ∂∂22yg ∂∂+22222222)()(v f y x u f y x ∂∂++∂∂+=22y x +=. 例31.(2003年数学一)已知函数),(y x f 在点(0,0)的某个邻域内连续, 且1)(),(lim22200=+-→→y x xyy x f y x , 则(A)点(0,0)不是),(y x f 的极值点. (B)点(0,0)是),(y x f 的极大值点.(C)点(0,0)是),(y x f 的极小值点.(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为),(y x f 的极值点. [答案](A)[解]由),(y x f 在点(0,0)的连续性及1)(),(lim22200=+-→→y x xyy x f y x知0)0,0(=f .且α+=+-1)(),(222y x xyy x f ,其中0lim 00=→→αy x 则222222)()(),(y x y x xy y x f ++++=α令x y =, 得)(44),(22442x o x x x x x x f +=++=α令x y -=, 得)(44),(22442x o x x x x x x f +-=++-=-α从而),(y x f 在(0,0)点的邻域内始终可正可负, 又0)0,0(=f , 由极值定义可知),(y x f 在点(0,0)没有极值,故应选(A). 例32.(2004年数学一)设),(y x z z =是由方程0182106222=+--+-z yz y xy x 确定的函数,求),(y x z z =的极值点极值.[分析]是求二元函数的极值问题. 应用隐函数求偏导法则求两个偏导数,并求出函数的驻点.再求二阶偏导数, 判断是否为极值点. [解法一]方程0182106222=+--+-z yz y xy x两边分别对y x ,求偏导得02262=∂∂-∂∂--xzz x z yy x )(a0222206=∂∂-∂∂--+-yz z y z yz y x )(b 令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂00yz x z, 得⎩⎨⎧=-+-=-,0103,03z y x y x故 ⎩⎨⎧==,,3y z y x将上式代入0182106222=+--+-z yz y xy x , 可得⎪⎩⎪⎨⎧===3,3,9z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=.3,3,9z y x 方程)(a 两边分别对y x ,求偏导得,0222222222=∂∂-⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂-x z z x z x z y,02222622=∂∂∂-∂∂⋅∂∂-∂∂∂-∂∂--yx z z x z y z y x z y x z方程)(b 两边对y 求偏导得.022********22=∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-y zz y z y z y y z y z 所以,35,21,61)3,3,9(22)3,3,9(2)3,3,9(22=∂∂=-=∂∂∂==∂∂=yzC yx z B xzA故,03612<-=-AC B 又061>=A ,从而点(9,3)是),(y x z 的极小值点,极小值为 .3)3,9(=z 类似地, 由,35,21,61)3,3,9(22)3,3,9(2)3,3,9(22-=∂∂==∂∂∂=-=∂∂=---------yzC yx z B xzA可知,03612<-=-AC B 又061<-=A ,所以点)3,9(--是),(y x z 的极大值点,极大值为.3)3,9(-=--z[解法二]令182106),,(222+--+-=z yz y xy x z y x F 应用隐函数求偏导法则得zy y x z y y x F F x z z x +-=----=''-=∂∂32262zy zy x z y z y x F F y z z y +-+-=---+-=''-=∂∂103222206 由0,0=∂∂=∂∂yzx z 解得y z y x ==,3,与原式联立解得驻点为 )3,9(1P 与)3,9(2--P . 再求二阶导数,11)3()(1222P P x z y x z y z y xzA ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂--++=∂∂=,6124112=⋅=P y y 111)(3()(3)(122P P y z y x z y z y yx zB ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+--+-+=∂∂∂=,21)6(4112-=-=P y y11)1)(103())(10()(1222P P y z z y x z y y z z y yzC ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+-+--+∂∂-+=∂∂= ,35204112=⋅=P y y 于是,03612<-=-AC B 又061>=A ,从而点)3,9(1P 是),(y x z 的极小值点,极小值为.3)3,9(=z对于驻点2P ,类似地可求得,35,21,61-==-=C B A于是,03612<-=-AC B 又061<-=A ,从而)3,9(2--P 是),(y x z 的极大值点,极大值为.3)3,9(-=--z 例33.(2003数学一)曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面方程是________.[答案] 542=-+z y x[分析]利用偏导数先求曲面的法向量, 使其与已知平面的法向量平行, 再求切点的坐标, 最后写出切平面的点法式方程.[解]令022=-+=z y x F , 则)1,2,2(-=y x n ,又已知平行的法向量为)1,4,2(1-=n ,由于1||n n ,所以 ,114222--==y x 由此解得切点的坐标为(1,2,5),所以切平面方程为0)5()2(4)1(2=---+-z y x ,化简得542=-+z y x .。
高等数学 第八章 多元函数微分法及其应用 第五节 隐函数的求导法则
Fx dy = . dx Fy
求导公式推导:
隐函数的求导公式
方程 F ( x , f ( x )) ≡ 0两边对 x求导数,得:
Fx dy dy = 0, = . Fx + Fy dx Fy dx
例1 验证方程 x + y 1 = 0 在点 ( 0,1) 的某邻 域内能唯一确定一个可导,且 x = 0 时 y = 1 的隐 函数 y = f ( x ) ,并求这函数的一阶和二阶导 数在 x = 0 的值.
隐函数存在定理 2 (1)设函数 F ( x , y , z )在点 P ( x0 , y0 , z0 ) 的某一邻域内有连续的偏导数, (2) F ( x0 , y0 , z0 ) = 0 ,(3) Fz ( x0 , y0 , z0 ) ≠ 0 ,则 方程 F ( x , y , z ) = 0 在点 P ( x0 , y0 , z0 ) 的某一邻域 内恒能唯一确定一个具有连续偏导数的函数 z = f ( x , y ) ,它满足条 z0 = f ( x0 , y0 ) , 并有
Fx Fv G x Gv 1 (F ,G ) u , = = Fu Fv x J ( x, v ) Gu Gv
Fu Fx v 1 (F ,G ) = = Gu G x x J ( u, x )
Fu Fv Gu Gv
Fy 1 (F ,G ) u = = Gy y J ( y, v )
Fv Gv
Fu
在 J ≠ 0 的条件下,
u y u v x xu + yv v = = = 2 , 2 x y x x x +y y x x u3;y y x
将所给方程的两边对 y 求导,用同样方法得
u xv yu = 2 , 2 y x + y v xu + yv = 2 . 2 y x +y
高等数学第八章 多元函数微分法及其应用
其中是曲面在M的法向量
n {Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )}
2、曲面方程：z=f(x，y)
它在点M( x0 , y0 , z0 )的切平面方程
z z0 f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 )
第五节 隐函数的求导公式
存在定理1：设函数F(x，y)在点 P( x0 , y0 ) 的某一邻
域内具有连续的偏导数，且F ( x0 , y0 ) 0, Fy ( x0 , y0 ) 0，
则方程F(x，y)=0在点( x0 , y0 ) 的某一邻域内恒能确定
一个单值连续且具有连续导数的函数y=f(x)，它满足
性质:(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函 数，若在D上取得两个不同的函数值，则它在D 上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。
第二节 偏导数
一、偏导数的定义及其计算法
定义 ：设函数z=f(x，y)在点(x0, y0 )的某一邻域内有定
义有存，增在当量，则yf固(称x定0此在极xy限,0而y0为x) 在函xf数(0处xz0=,有yf(0增x)，，量如y)果在x 时点lxi，m(0x相f0,(y应x00)处地x对函x,x数y的0 )
,
y
|x x0 , z y y y0
|x x0 y y0
或f y ( x0 ,
y0 )
类似导数，函数z=f(x，y)对自变量x的偏导函数为
z x
,
f x
,
z
x或f
x
(
x,
高等数学之多元函数微分学
′ 1 ;
2. 全微分形式不变性
′ 2 x y v
x y
不论 u , v 是自变量还是因变量,
d z = fu (u , v) d u + fv (u, v) d v
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思考与练习
1. 求函数 答案： u = f1 ′ x u u = f1′ y u ′ = f2 z 的一阶偏导数.
口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导
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z z 例3. 设 z = e sin v, u = xy , v = x + y , 求 , . x y z z v + 解: x v x
u
= eu sin v
+ eu cos v 1
z
u v
z y
u
z v + v y
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z
u v
x
y x
y
教材P81： 1; 2.
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又如, z = f (x, v) , v =ψ (x, y) 当它们都具有可微条件时, 有
z= f
z f = x x
z y
′ ′ = f1′ + f2ψ1
′ ′ = f2ψ2
x
v
x y
z f 不同, 注意: 注意 这里 与 x x z f 表示固定 y 对 x 求导, 表示固定 v 对 x 求导 x x
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dz . 例1. 设 z = e , u = sin x , v = cos x , 求 dx
uv
解:
dz z du z dv = + dx u dx v dx
高等数学-多元微分
= f1 (xy, x + y) ，也可以看作一个复合函数的道理，才能
∂y ∂x
( )=
(f1 ∙ y + f2 ∙ 1)
∂f2 ∂y ∂f1 ∂y
1 = ∂y ∙ y + f1 ∙ 1 +
∂f
其中f1 = f1 (xy, x + y)，所以
∂ ∂z ∂y ∂x
= f11 ∙ x + f12 ∙ 1，同理，
∂v ∂y
) + (f22 ∙
+ f23 ∙
)y + f2 + (f32 ∙
∂u ∂y
+ f33 ∙
∂v ∂y
)
= f12 ∙ x + f13 ∙ 1 + (f22 ∙ x + f23 ∙ 1)y + f2 + f32 ∙ x + f33 ∙ 1 例 4. 设z = f(u)，u = x 2 y + y 2 ，求∂ x 和
z
∂2 z
∂
∂z
∂2 z
解：令F x, y, z = x − 2y + z − ez ，
∂z ∂x
= − Fx = − 1−e z
z
F
1
∂z ∂y 1 e z −1
= − Fy = − 1−e z = 1−e z
z
F
−2
2
∂2 z ∂x ∂y= ∂y∂∂z ∂x= ∂y
∂
= 这里 z 要看作 z x, y 的函数 =
2 2 2 2
z 2 z 及 x x 2
2. 设 z f ( x y, e ) ，其中 f 具有二阶连续偏导数，求
高等数学第四章多元函数的微分知识点及习题
− − −
=
=
特别：曲线方程写成： = , 时，令 , , = , − 则在 , ,
的法向量为 = , , −
例题、求曲面 2 + 2 2 + 3 2 = 36在点
线方程。
。
三、全微分
全微分： = (, ) ,
= (, , ) ,
ⅆ =
ⅆ
ⅆ =
+
ⅆ
ⅆ
+
ⅆ
例题、计算 = ⅇ 在点 2,1 处的全微分。
+
ⅆ
例题、计算 = +
解：
=1
sin
2
+ ⅇ 的全微分。
求证
+
1
ln
= 2
例题、设 = arcsin
例题、设 = 1 +
，求 ， 。
2
2
+
，求 ， 。
例题、设 =
ln tan ，求 ， 。
例题、设 =
2
ⅇ
sin
1, −2,1 处的切线方程和法平面方程。
十一、曲面的切平面和法平面方程
曲面: , , = 在 , , 处的法向量
= , , , , , , , ,
切线方程：
− + − + − =
《高等数学教学课件》高数-第八章-多元函数微分学
目
CONTENCT
录
• 多元函数微分学概述 • 多元函数的导数与偏导数计算 • 多元函数微分学在几何上的应用 • 多元函数微分学在极值问题中的应
用
目
CONTENCT
录
• 多元函数微分学在约束最优化问题 中的应用
• 多元函数微分学在实际问题中的应 用
01
多元函数微分学概述
04
多元函数微分学在极值问题中的应用
极值的第一充分条件
总结词
极值的第一充分条件是多元函数微分 学中用于判断函数极值的重要定理。
详细描述
极值的第一充分条件表明，如果一个 多元函数在某一点的偏导数等于零， 并且这个点的海森矩阵（Hessian matrix）是正定的或负定的，那么这 个点就是函数的极值点。
多元函数的概念
80%
多元函数
设D是n维空间的一个区域，对D 中的任意点P，若存在实数x、y、 z...与之对应，则称f(x,y,z...)是D上 的多元函数。
100%
多元函数的定义域函数f(x Nhomakorabeay,z...)中所有自变量x、y 、z...的取值范围共同构成的集合 称为多元函数的定义域。
80%
多元函数的几何意义
在三维空间中，二元函数f(x,y)表 示曲面上的点P(x,y,f(x,y))的轨迹 。
偏导数的定义与性质
偏导数的定义
对于多元函数f(x,y,z...)，如果当 其他变量保持不变时，函数关 于某个特定变量的一阶导数存 在，则称这个导数为该函数在 该特定变量上的偏导数。
偏导数的几何意义
在三维空间中，二元函数f(x,y) 在点(x0,y0)处关于x的偏导数 表示曲面在点(x0,y0)处沿x轴 方向的切线斜率。
高等数学讲义——多元函数微分法
dz Ax By
定理2 (必要条件) 若函数 z f (x, y)在点(x, y)可微,则
(1) f (x, y)在(x, y)处连续;
xy
yx
例4 证明u
1
满足拉普拉斯方程
x2 y2 z2
2u x 2
2u y 2
2u z 2
0
证明:
u
1
(x2
y2
z
2
)
3 2
2x
x 2
x
3
(x2 y2 z2)2
2u x 2
(x2
1 y2
3
z2)2
x[ 3 (x2 2
y2
5
z2) 2
2x]
2x2 y2 z2
5
(x2 y2 z2)2
F f xy (x 3x, y 4y)xy 0 3 , 4 1
f yx (x 2x, y 4y) f xy (x 3x, y 4y)
由于f xy , f yx连续, 令x 0, y 0得 : f xy (x, y) f yx (x, y)
二. 全微分
1. 概念
x
(3)u z yx
z 6x2 y 2 ex y
(2) z x
1
1
y2 x2
(
y) x2
x2
y
y2
;
z x y x2 y2
(3) u z y x ln z y x ln y; u z y x ln z xy x1;
x
y
u y x z y x 1 z
《高等数学》 第八章(下)多元函数微积分简介
x2
y2
xdy x2
ydx
x2
y
y2
dx
x2
x
2．全微分在近似计算中的应用
设函数 z f (x ，y) 在点 P0(x0 ，y0 ) 可微，则函数在点 P0(x0 ，y0 ) 的全增量为 z f (x0 x ，y0 y) f (x0 ，y0 ) fx(x0 ，y0 )x f y(x0 ，y0 )y () ，
1
y x2
y2
，
所以 全微分为
z 1 ，z 1 ． x (1，1) 3 y (1，1) 3 dz z x z y 1 x 1 y ．
x y 3 3
第二节 多元函数微分学
例 16 求 z arctan y 的全微分． x
解
dz
d arctan
y x
1
1 y x
2
d
y x
x2
x y dz z x z y ．
x y 在一元函数里，可微和可导是等价的，定理 1 告诉我们，二元函数可微一定 存在偏导数，反过来，是否成立呢？也就是就，若二元函数 z f (x ，y) 在点 P(x ，y) 处存在偏导数，那么二元函数 z f (x ，y) 在点 P(x ，y) 是否可微呢？回 答是否定的．
第二节 多元函数微分学
定理 4 （充分性）若函数 z f (x ，y) 在点 P(x ，y) 邻域内存在关于 x ， y 的两 个偏导数 z ，z ，且它们在该点连续，则函数 z f (x ，y) 在点 P(x ，y) 处可微．
x y 此定理说明，只有当二元函数的两个偏导数在该点连续，才能保证其可微． 习惯上，把自变量的改变量 x ， y 分别记作 dx ，dy ，并称为自变量的微分， 所以二元函数的全微分可以表示为 dz fxdx f ydy ． 类似地，二元函数的微分及性质可以推广到三元以及三元以上的函数．
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第 八 章 多元函数微分法及其应用 第 一 节 多元函数的基本概念教学目的：学习并掌握关于多元函数的区域、极限以及多元函数概念，掌握多元函数的连续性定理，能够判断多元函数的连续性，能够求出连续函数在连续点的极限。
教学重点：多元函数概念和极限，多元函数的连续性定理。
教学难点：计算多元函数的极限。
教学内容：一、 区域1． 邻域设),(000y x p 是xoy 平面上的一个点，δ是某一正数。
与点),(000y x p 距离小于δ的点(,)p x y 的全体，称为点0P 的δ邻域，记为),(0δP U ，即 ),(0δP U =}{0δ<PP P ，也就是),(0δP U = {),(y x │δ<-+-2020)()(y y x x }。
在几何上，),(0δP U 就是xoy 平面上以点),(000y x p 为中心、0>δ为半径的圆内部的点),(y x P 的全体。
2． 区域设E 是平面上的一个点集，P 是平面上的一个点。
如果存在点P 的某一邻域E P U ⊂)(，则称P 为E 的内点。
显然，E 的内点属于E 。
如果E 的点都是内点，则称E 为开集。
例如，集合}41),{(221<+<=y x y x E 中每个点都是E 1的内点，因此E 1为开集。
如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点，也有不属于E 的点（点P 本身可以属于E ，也可以不属于E ），则称P 为E 的边界点。
E 的边界点的全体称为E 的边界。
例如上例中，E 1的边界是圆周122=+y x 和 22y x +=4。
设D 是点集。
如果对于D 内任何两点，都可用折线连结起来，且该折线上的点都属于D ，则称点集D 是连通的。
连通的开集称为区域或开区域。
例如，}0),{(>+y x y x 及}41),{(22<+<y x y x 都是区域。
开区域连同它的边界一起所构成的点集，称为闭区域，例如{),(y x │y x +≥0}及{),(y x │1≤22y x +≤4}都是闭区域。
对于平面点集E ,如果存在某一正数r ，使得 (0,)E U r ⊂，其中0是原点坐标，则称E 为有界点集，否则称为无界点集。
例如，{),(y x │1≤22y x +≤4}是有界闭区域，{),(y x │y x +>0}是无界开区域。
二、多元函数概念在很多自然现象以及实际问题中，经常遇到多个变量之间的依赖关系，举例如下：例1 圆柱体的体积V 和它的底半径r 、高h 之间具有关系h r V 2π=。
这里，当r 、h 在集合}0,0),{(>>h r h r 内取定一对值),(h r 时，V 的对应值就随之确定。
例2 一定量的理想气体的压强p 、体积V 和绝对温度T 之间具有关系 p =VRT ， 其中R 为常数。
这里，当V 、T 在集合0{(,)0,}V T V T T >>内取定一对值(,)V T 时，p 的对应值就随之确定。
定义1 设D 是平面上的一个点集。
称映射:f D R →为定义在D 上的二元函数，通常记为),(y x f z =，(,)x y D ∈（或)(P f z =，P D ∈）。
其中点集D 称为该函数的定义域，y x 、称为自变量，z 称为因变量。
数集}),(),,({D y x y x f z z ∈=称为该函数的值域。
z 是y x ,的函数也可记为 ),(y x z z =， (,)z x y ϕ=等等。
类似地可以定义三元函数),,(z y x f u =以及三元以上的函数。
一般的，把定义1中的平面点集D 换成n 维空间内的点集D ，则可类似地可以定义n 元函数),,,(21n x x x f u Λ=。
n 元函数也可简记为)(P f u =，这里点D x x x P n ∈),,,(21Λ。
当1=n 时，n 元函数就是一元函数。
当2≥n 时，n 元函数就统称为多元函数。
关于多元函数定义域，与一元函数类似，我们作如下约定：在一般地讨论用算式表达的多元函数()u f x =时，就以使这个算式有意义的变元x 的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域。
例如，函数)ln(y x z +=的定义域为}0){(>++y x y x（图8-1），就是一个无界开区域。
又如，函数)arcsin(22y x z +=的定义域为}1){(22≤++y x y x （图8-2），这是一个有界闭区域。
图8-1 图8-2设函数),(y x f z =的定义域为D 。
对于任意取定的点D y x P ∈),(，对应的函数值为),(y x f z =。
这样，以x 为横坐标、y 为纵坐标、),(y x f z =为竖坐标在空间就确定一点 ),,(z y x M 。
当),(y x 遍取D 上的一切点时，得到一个空间点集 }),(),,(),,{(D y x y x f z z y x ∈=，这个点集称为二元函数),(y x f z =的图形。
通常我们也说二元函数的图形是一张曲面。
三、多元函数的极限定义2 设二元函数),(y x f 的定义域为D ，),(000y x P 是D 的聚点。
如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当点0(,)(,)P x y D U P δ∈⋂o 时，都有ε<-A y x f ),( 成立，则称常数A 为函数),(y x f 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记作00(,)(,)lim (,)x y x y f x y A →=，或 A y x f →),(（00(,)(,)x y x y →）。
为了区别于一元函数的极限，我们把二元函数的极限叫做二重极限。
我们必须注意，所谓二重极限存在，是指),(y x P 以任何方式趋于000(,)P x y 时，函数都无限接近于A 。
因此，如果),(y x P 以某一种特殊方式，例如沿着一条直线或定曲线趋于000(,)P x y 时，即使函数无限接近于某一确定值，我们还不能由此断定函数的极限存在。
但是反过来，如果当),(y x P 以不同方式趋于000(,)P x y 时，函数趋于不同的值，那么就可以断定这函数的极限不存在。
下面用例子来说明这种情形。
考察函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=,0,0,0,),(222222y x y x y x xy y x f 显然，当点),(y x P 沿x 轴趋于点)0,0(时，(,)(0,0)00lim (,)lim (,0)0x y x y f x y f x →→→==；又当点),(y x P 沿y 轴趋于点)0,0(时，(,)(0,0)00lim (,)lim (0,)0x y y x f x y f y →→→==。
虽然点),(y x P 以上述两种特殊方式(沿x 轴或沿y 轴)趋于原点时函数的极限存在并且相等,但是(,)(0,0)lim (,)x y f x y →并不存在.这是因为当点),(y x P 沿着直线kx y =趋于点)0,0(时,有 2222222(,)(0,0)0lim lim 1x y x y kxxy kx k x y x k x k →→===+++， 显然它是随着k 的值的不同而改变的.例3 求 (,)(0,2)sin()limx y xy x→. 解 这里x xy y x f )sin(),(=的定义域为{}(,)0,D x y x y R =≠∈，0(0,2)P 为D 的聚点。
由极限运算法则得(,)(0,2)02sin()sin()limlim lim 122x y xy y xy xy y x xy →→→=⋅=⋅=。
四、多元函数的连续性定义3 设函数),(y x f 在开区域（闭区域）D 内有定义，),(000y x P 是D 聚点，且D P ∈0。
如果0000(,)(,)lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=,则称函数),(y x f 在点),(000y x P 连续。
如果函数),(y x f 在开区域（或闭区域）D 内的每一点连续，那么就称函数),(y x f 在D 内连续，或者称),(y x f 是D 内的连续函数。
若函数),(y x f 在点),(000y x P 不连续，则称0P 为函数),(y x f 的间断点。
这里顺便指出：如果在开区域（或闭区域）D 内某些孤立点，或者沿D 内某些曲线，函数),(y x f 没有定义，但在D 内其余部分都有定义，那么这些孤立点或这些曲线上的点，都是函数),(y x f 的不连续点，即间断点。
前面已经讨论过的函数222222,0,(,)0,0,xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩当(,)(0,0)x y →时的极限不存在，所以点)0,0(是该函数的一个间断点。
二元函数的间断点可以形成一条曲线，例如函数11sin 22-+=y x z 在圆周122=+y x 上没有定义，所以该圆周上各点都是间断点。
与闭区域上一元连续函数的性质相类似，在有界闭区域上多元连续函数也有如下性质。
性质1（最大值和最小值定理） 在有界闭区域 D 上的多元连续函数，在D 上一定有最大值和最小值。
这就是说，在D 上至少有一点1P 及一点2P ，使得)(1P f 为最大值而)(2P f 为最小值，即对于一切P ∈D, 有)()()(12P f P f P f ≤≤.性质2（介值定理） 在有界闭区域D 上的多元连续函数，必取得介于最大值和最小值之间的任何值。
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。
所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。
由多元初等函数的连续性，如果要求它在点0P 处的极限，而该点又在此函数的定义区域内，则极限值就是函数在该点的函数值，即)()(lim 00P f P f P P =→.例4 求(,)(1,2)limx y x y xy →+. 解 函数 xy y x y x f +=),(是初等函数，它的定义域为}0,0),{(≠≠=y x y x D 。
因D 不是连通的，故D 不是区域。
但}0,0),{(1>>=y x y x D 是区域，且D D ⊂1 ，所以D 是函数),(y x f 的一个定义区域。
因10)2,1(D P ∈, 故(,)(1,2)3lim(1,2)2x y x y f xy →+==. 如果这里不引进区域1D ，也可用下述方法判定函数),(y x f 在点)2,1(0P 处是连续的：因0P 是),(y x f 的定义域D 的内点，故存在0P 的某一邻域D P U ⊂)(0，而任何邻域都是区域，所以)(0P U 是),(y x f 的一个定义区域，又由于),(y x f 是初等函数，因此),(y x f 在点0P 处连续。