高等数学多元函数微分法

第 八 章 多元函数微分法及其应用 第 一 节 多元函数的基本概念教学目的：学习并掌握关于多元函数的区域、极限以及多元函数概念，掌握多元函数的连续性定理，能够判断多元函数的连续性，能够求出连续函数在连续点的极限。

教学重点：多元函数概念和极限，多元函数的连续性定理。

教学难点：计算多元函数的极限。

教学内容：一、 区域1． 邻域设),(000y x p 是xoy 平面上的一个点，δ是某一正数。

与点),(000y x p 距离小于δ的点(,)p x y 的全体，称为点0P 的δ邻域，记为),(0δP U ，即 ),(0δP U =}{0δ<PP P ，也就是),(0δP U = {),(y x │δ<-+-2020)()(y y x x }。

在几何上，),(0δP U 就是xoy 平面上以点),(000y x p 为中心、0>δ为半径的圆内部的点),(y x P 的全体。

2． 区域设E 是平面上的一个点集，P 是平面上的一个点。

如果存在点P 的某一邻域E P U ⊂)(，则称P 为E 的内点。

显然，E 的内点属于E 。

如果E 的点都是内点，则称E 为开集。

例如，集合}41),{(221<+<=y x y x E 中每个点都是E 1的内点，因此E 1为开集。

如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点，也有不属于E 的点（点P 本身可以属于E ，也可以不属于E ），则称P 为E 的边界点。

E 的边界点的全体称为E 的边界。

例如上例中，E 1的边界是圆周122=+y x 和 22y x +=4。

设D 是点集。

如果对于D 内任何两点，都可用折线连结起来，且该折线上的点都属于D ，则称点集D 是连通的。

连通的开集称为区域或开区域。

例如，}0),{(>+y x y x 及}41),{(22<+<y x y x 都是区域。

开区域连同它的边界一起所构成的点集，称为闭区域，例如{),(y x │y x +≥0}及{),(y x │1≤22y x +≤4}都是闭区域。

对于平面点集E ,如果存在某一正数r ，使得 (0,)E U r ⊂，其中0是原点坐标，则称E 为有界点集，否则称为无界点集。

例如，{),(y x │1≤22y x +≤4}是有界闭区域，{),(y x │y x +>0}是无界开区域。

二、多元函数概念在很多自然现象以及实际问题中，经常遇到多个变量之间的依赖关系，举例如下：例1 圆柱体的体积V 和它的底半径r 、高h 之间具有关系h r V 2π=。

这里，当r 、h 在集合}0,0),{(>>h r h r 内取定一对值),(h r 时，V 的对应值就随之确定。

例2 一定量的理想气体的压强p 、体积V 和绝对温度T 之间具有关系 p =VRT ， 其中R 为常数。

这里，当V 、T 在集合0{(,)0,}V T V T T >>内取定一对值(,)V T 时，p 的对应值就随之确定。

定义1 设D 是平面上的一个点集。

称映射:f D R →为定义在D 上的二元函数，通常记为),(y x f z =，(,)x y D ∈（或)(P f z =，P D ∈）。

其中点集D 称为该函数的定义域，y x 、称为自变量，z 称为因变量。

数集}),(),,({D y x y x f z z ∈=称为该函数的值域。

z 是y x ,的函数也可记为 ),(y x z z =， (,)z x y ϕ=等等。

类似地可以定义三元函数),,(z y x f u =以及三元以上的函数。

一般的，把定义1中的平面点集D 换成n 维空间内的点集D ，则可类似地可以定义n 元函数),,,(21n x x x f u Λ=。

n 元函数也可简记为)(P f u =，这里点D x x x P n ∈),,,(21Λ。

当1=n 时，n 元函数就是一元函数。

当2≥n 时，n 元函数就统称为多元函数。

关于多元函数定义域，与一元函数类似，我们作如下约定：在一般地讨论用算式表达的多元函数()u f x =时，就以使这个算式有意义的变元x 的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域。

例如，函数)ln(y x z +=的定义域为}0){(>++y x y x（图8-1），就是一个无界开区域。

又如，函数)arcsin(22y x z +=的定义域为}1){(22≤++y x y x （图8-2），这是一个有界闭区域。

图8-1 图8-2设函数),(y x f z =的定义域为D 。

对于任意取定的点D y x P ∈),(，对应的函数值为),(y x f z =。

这样，以x 为横坐标、y 为纵坐标、),(y x f z =为竖坐标在空间就确定一点 ),,(z y x M 。

当),(y x 遍取D 上的一切点时，得到一个空间点集 }),(),,(),,{(D y x y x f z z y x ∈=，这个点集称为二元函数),(y x f z =的图形。

通常我们也说二元函数的图形是一张曲面。

三、多元函数的极限定义2 设二元函数),(y x f 的定义域为D ，),(000y x P 是D 的聚点。

如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当点0(,)(,)P x y D U P δ∈⋂o 时，都有ε<-A y x f ),( 成立，则称常数A 为函数),(y x f 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记作00(,)(,)lim (,)x y x y f x y A →=，或 A y x f →),(（00(,)(,)x y x y →）。

为了区别于一元函数的极限，我们把二元函数的极限叫做二重极限。

我们必须注意，所谓二重极限存在，是指),(y x P 以任何方式趋于000(,)P x y 时，函数都无限接近于A 。

因此，如果),(y x P 以某一种特殊方式，例如沿着一条直线或定曲线趋于000(,)P x y 时，即使函数无限接近于某一确定值，我们还不能由此断定函数的极限存在。

但是反过来，如果当),(y x P 以不同方式趋于000(,)P x y 时，函数趋于不同的值，那么就可以断定这函数的极限不存在。

下面用例子来说明这种情形。

考察函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=,0,0,0,),(222222y x y x y x xy y x f 显然，当点),(y x P 沿x 轴趋于点)0,0(时，(,)(0,0)00lim (,)lim (,0)0x y x y f x y f x →→→==；又当点),(y x P 沿y 轴趋于点)0,0(时，(,)(0,0)00lim (,)lim (0,)0x y y x f x y f y →→→==。

虽然点),(y x P 以上述两种特殊方式(沿x 轴或沿y 轴)趋于原点时函数的极限存在并且相等,但是(,)(0,0)lim (,)x y f x y →并不存在.这是因为当点),(y x P 沿着直线kx y =趋于点)0,0(时,有 2222222(,)(0,0)0lim lim 1x y x y kxxy kx k x y x k x k →→===+++， 显然它是随着k 的值的不同而改变的.例3 求 (,)(0,2)sin()limx y xy x→. 解 这里x xy y x f )sin(),(=的定义域为{}(,)0,D x y x y R =≠∈，0(0,2)P 为D 的聚点。

由极限运算法则得(,)(0,2)02sin()sin()limlim lim 122x y xy y xy xy y x xy →→→=⋅=⋅=。

四、多元函数的连续性定义3 设函数),(y x f 在开区域（闭区域）D 内有定义，),(000y x P 是D 聚点，且D P ∈0。

如果0000(,)(,)lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=,则称函数),(y x f 在点),(000y x P 连续。

如果函数),(y x f 在开区域（或闭区域）D 内的每一点连续，那么就称函数),(y x f 在D 内连续，或者称),(y x f 是D 内的连续函数。

若函数),(y x f 在点),(000y x P 不连续，则称0P 为函数),(y x f 的间断点。

这里顺便指出：如果在开区域（或闭区域）D 内某些孤立点，或者沿D 内某些曲线，函数),(y x f 没有定义，但在D 内其余部分都有定义，那么这些孤立点或这些曲线上的点，都是函数),(y x f 的不连续点，即间断点。

前面已经讨论过的函数222222,0,(,)0,0,xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩当(,)(0,0)x y →时的极限不存在，所以点)0,0(是该函数的一个间断点。

二元函数的间断点可以形成一条曲线，例如函数11sin 22-+=y x z 在圆周122=+y x 上没有定义，所以该圆周上各点都是间断点。

与闭区域上一元连续函数的性质相类似，在有界闭区域上多元连续函数也有如下性质。

性质1（最大值和最小值定理） 在有界闭区域 D 上的多元连续函数，在D 上一定有最大值和最小值。

这就是说，在D 上至少有一点1P 及一点2P ，使得)(1P f 为最大值而)(2P f 为最小值，即对于一切P ∈D, 有)()()(12P f P f P f ≤≤.性质2（介值定理） 在有界闭区域D 上的多元连续函数，必取得介于最大值和最小值之间的任何值。

一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。

所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。

由多元初等函数的连续性，如果要求它在点0P 处的极限，而该点又在此函数的定义区域内，则极限值就是函数在该点的函数值，即)()(lim 00P f P f P P =→.例4 求(,)(1,2)limx y x y xy →+. 解 函数 xy y x y x f +=),(是初等函数，它的定义域为}0,0),{(≠≠=y x y x D 。

因D 不是连通的，故D 不是区域。

但}0,0),{(1>>=y x y x D 是区域，且D D ⊂1 ，所以D 是函数),(y x f 的一个定义区域。

因10)2,1(D P ∈, 故(,)(1,2)3lim(1,2)2x y x y f xy →+==. 如果这里不引进区域1D ，也可用下述方法判定函数),(y x f 在点)2,1(0P 处是连续的：因0P 是),(y x f 的定义域D 的内点，故存在0P 的某一邻域D P U ⊂)(0，而任何邻域都是区域，所以)(0P U 是),(y x f 的一个定义区域，又由于),(y x f 是初等函数，因此),(y x f 在点0P 处连续。