高数 第六章
高数第六章
二、求由下列各曲线所围成的图形的面积： 1 1、 y 与直线 y x 及 x 2 ； x 2 2、 y x 与直线 y x 及y 2 x ； 3、 r 2a ( 2 cos ) ； 4、摆线 x a(t sin t ) , y a(1 cos t ) (0 t 2 ) 及 x 轴；
2 2
曲线由参数 方程给出
例
求摆线 x a( t sin t ) ， y a(1 cos t ) 的
一拱与 y 0 所围成的图形分别绕 x 轴、 y 轴旋 转构成旋转体的体积.
解 绕 x 轴旋转的旋转体体积
y( x )
a
2a
Vx
2 0
2a
0
y dx
2
a 2 (1 cos t ) 2 a(1 cos t )dt a
y
y f ( x)
1 dV [y ] dx ）
2
o
b
x x dx
x
[f (x )]2dx
2）旋转体的体积为 Vx [f (x )]2dx
a
情形二： 如果旋转体是由连续曲线 x ( y )、 直
线 y c 、y d 及 y 轴所围成的曲边梯形绕
y
轴旋转一周而成的立体，求体积 V y
2
o
例 求心形线 r a(1 cos ) 所围平面图形的 面积(a 0) .
a
解 利用对称性知
0 2a
1 2 (1 cos ) 2 d A 2 a 2 0
a
2
0
(1 2 cos cos 2 )d
3 2 3 1 a 2 2 sin sin 2 a . 2 0 2 4
高等数学 第六章
微分方程
y f (x)
（6-26）
的特点是右端仅含有自变量，其解法是逐次积分两次，具体如
下．
微分方程（6-26）两边积分得 y f (x)dx C1
上式两边再积分，便得到微分方程（6-26）的通解，即
．
y f (x)dx C1 dx C2
例 1 求微分方程 y x cos x 的通解 解 所给微分方程两边积分得
二、齐次型微分方程
形如 dy P(x) y Q(x) dx
的微分方程称为一阶线性微分方程，其中P（x)、Q(x)为已 知函数．
当时Q(x)=0，微分方程变为 dy P(x) y 0 dx
是齐次的，称一阶齐次线性微分方程，简称齐次线性方程． 当Q(x)≠0时，微分方程是非齐次的，称为一阶非齐次线性微 分方程，简称非齐次线性方程．
y dp dp dy p dp ， dx dy dx dy p dp f ( y ，p) ， dy
这是关于 y ，p 的一阶微分方程，设求出其通解为 y p ( y ，C1) ，
上式 分离变 量并积 分，便 得到微 分方程 （6 -2 8）的 通解．
例 3 求微分方程 yy ( y)2 的通解．
第六章
微分方程
导学
函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映，利用函数关系又可以 对客观事物的规律性进行研究，因此如何寻求函数关系在实践中具有重要 意义．然而在许多问题中，往往不能直接找出所需的函数关系，但有时可 根据问题所提供的情况，列出含有要找的函数及其导数的关系式，这种关 系式就是微分方程．微分方程建立后，对它进行研究，找出未知函数，就 是解微分方程．本章主要介绍微分方程的一些基本概念和几种常用微分方 程的解法．
y e3dx e2xe3dx dx C e3x e2xe3x dx C
高数第六章无穷级数
第六章 无穷级数无穷级数是数学分析的一个重要工具，也是高等数学的重要组成部分.本章首先讨论常数项级数，然后研究函数项级数，最后研究把函数展开为幂级数和三角级数的问题.我们将只介绍两种最常用的级数展开式——泰勒级数展开式和傅里叶级数展开式.第一节 常数项级数的概念和性质常数项级数的概念在中学课程中，我们就已经遇到过“无穷项之和”的运算，比如等比级数2n a +ar +ar ++ar +另外，无限小数其实也是“无穷项的和”，比如14142234414.1210101010=+++=++对于有限项之和，我们在初等数学里已经详尽地研究了；对于“无穷项之和”，这是一个未知的新概念，不能简单地引用有限项相加的概念，而必须建立一套严格的理论.定义1 给定一个数列{}n u ，将它的各项依次用“+”号连接起来的表达式123n u u u u +++++ (6-1-1)称做（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数，记为1231nn n u u u u u∞==+++++∑ ，其中，12,,,,n u u u 都称为级数(6-1-1)的项，n u 称为级数(6-1-1)的一般项或通项.级数1n n u ∞=∑是“无限多个数的和”.但怎样由我们熟知的“有限多个数的和”的计算转化到“无限多个数的和”的计算呢？我们借助极限这个工具来实现。
设级数1n n u ∞=∑的前n 项的和为n S ，即12n n S u u u =+++ (6-1-2)或1nk k n u S ==∑.我们称n S 为级数1n n u ∞=∑的前n 项部分和，简称部分和. 显然，级数1n n u ∞=∑的所有前n 项部分和nS 构成一个数列{}n S ，我们称此数列为级数1n n u ∞=∑的部分和数列.定义2 若级数1n n u ∞=∑的部分和数列{}n S 收敛于S （即lim n n S S →∞=），则称级数1n n u ∞=∑收敛，称S 为级数1n n u ∞=∑的和，记作1231n n n S u u u u u ∞==+++++=∑ .而12n n n n r S S u u ++=-=++称为级数1n n u ∞=∑的余项，显然有lim lim()0n n n n r S S →∞→∞=-=.若{}n S 是发散数列，则称级数1n n u ∞=∑发散，此时级数1n n u ∞=∑没有和.由此可知，级数的收敛与发散是借助于级数的部分和数列的收敛与发散定义的，于是研究级数及其和只不过是研究与其相对应的一个数列及其极限的一种新形式.例1 设,a q 为非零常数，无穷级数20n nn a aq q qa q a a ∞==+++++∑ (6-1-3)称为等比级数（又称为几何级数），q 称为级数的公比.试讨论级数0n n aq ∞=∑的敛散性.解 若1q ≠，则11n n na aq S a aq aqq-=-=+++- 11n aq aq q-=--. 当1q <时，由于0lim nn q →∞=，从而lim 1n n a S q →∞=-，因此这时级数0n n aq ∞=∑收敛，其和为1aq -；当1q >时，由于lim nn q →∞=∞，从而lim n n S →∞=∞，这时级数0n n aq ∞=∑发散；当1q =时，若1q =，这时（）n S na n =→∞→∞，因此级数0n n aq ∞=∑发散；若1q =-，这时级数0n n aq ∞=∑成为a a a a -+-+ ，显然n S 随着n 为奇数或为偶数而等于a 或等于零，从而n S 的极限不存在，因此级数0n n aq ∞=∑发散.综上所述，对于等比级数0n n aq ∞=∑，当公比q 的绝对值1q <时级数收敛；当1q ≥时级数发散.例2 证明级数1111335(21)(21)n n ++++⋅⋅-⋅+ 收敛，并求其和.解 由于1111(21)(21)22121n n n n n u ⎛⎫=- ⎪-⋅+-+⎝⎭=，因此1111335(21)(21)n S n n ++++⋅⋅-⋅+=1111111112323522121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎝++⎭⎭⎝⎭ 111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭. 从而1lim 2n n S →∞=，所以该级数收敛，它的和为12.例3 证明级数13111211n n n∞==+++++∑ 是发散的.证 该级数的部分和为=131112n nS ++++ .显然，部分和数列{}n S 是单调增加的数列，要证明调和级数发散，仅须证明其部分和数列{}n S 无上界即可.事实上=11=12461112 3.222S S S +≥+⨯+⨯；；假设1212k S k ≥+成立，则=111221111122212222k k k kk k k S S +++-+++≥⋅=++ .于是()122111122k k S S k +≥+≥++.由归纳法，对一切正整数n 有212n nS ≥+. 由极限的性质，有lim n n S →∞=∞.故调和级数11n n∞=∑发散.常数项级数的性质性质1 若级数1n n u ∞=∑收敛于和，S k 为任意常数，则1n n ku ∞=∑也收敛，且其和为kS .证 设级数1n n u ∞=∑与级数1n n ku ∞=∑的部分和分别为n S 与*n S ，显然有*n n S kS =.于是*lim lim lim n n n n n n kS k S k S S →∞→∞→∞===⋅.这表明级数lim n n ku →∞收敛，且和为kS .需要指出，若级数1n n u ∞=∑发散，即{}n S 无极限，且k 为非零常数，那么{*n S }也不可能存在极限，即lim n n ku →∞也发散.因此可以得出如下结论：级数的每一项同乘以一个不为零的常数后，其敛散性不变.上述性质的结果可以改写为1lim n n n n ku u ∞→∞==∑（0k ≠为常数），即收敛级数满足分配律.性质2 若级数1n n u ∞=∑，1n n v ∞=∑分别收敛于12，S S ，则级数1n n n u v ∞=±∑也收敛，且其和为12S S ±. 可以利用数列极限的运算法则给出证明.性质2的结果表明：两个收敛级数可以逐项相加或逐项相减.性质3 在级数中去掉、增加或改变有限项，不会改变级数的敛散性.证 只需证明“去掉、改变级数前面的有限项，或在级数前面增加有限项，不会改变级数的敛散性”.设将级数121n n n u u u u ∞==++++∑ 的前k 项去掉，得新的级数12k k k n u u k +++++++此级数的前n 项部分和为12n k k k n k n k A u u u S S ++++=+++=- ，其中k n S +是原来级数的前k n +项的和.因为k S 是常数，所以当n →∞时，n A 与k n S +或同时存在极限，或同时不存在极限.类似地，可以证明改变级数前面的有限项或在级数的前面加上有限项，不会改变级数的敛散性.性质4 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛，且其和不变.证 设级数1n n u ∞=∑的部分和为n S ，加括弧后的级数（把每一括弧内的项之和视为一项）为()()()121112111212k k k n n n n n n n uu u u u u u u u --+++++++++++++++++设其前k 项之和为k A ，则有11211n n A u u u S =+++= ，()()2121112212n n n n n u u u A S u u u ++=++++++=+ ，()()()121112111212k k k k n n n n k n n n n A u u u u u u u u S u --+++++++++++=++++=+ ，可见数列{}k A 是数列{}n S 的一个子列，由收敛数列与其子列的关系可知，数列{}k A 必定收敛，且有lim lim k n k n A S →∞→∞=，即加括弧后所成的级数收敛，且其和不变.注意 若加括弧后所成的级数收敛，则不能断定原来的级数也收敛.例如，（11）（11）-+-+ 收敛于零，但级数111111(1)nn i -==-+-+-∑ 却是发散的. 推论 若加括弧后所成的级数发散，则原来的级数也发散.性质5（级数收敛的必要条件） 若级数1n n u ∞=∑收敛，则它的一般项n u 趋于零，即0lim n n u →∞=.证 设级数1n n u ∞=∑的部分和为n S ，且（）n S S n →→∞，则 11lim()nn n n n uS S ∞-→∞==-∑10lim lim n n n n S S S S -→∞→∞-==-=.由性质5可知，若n →∞时级数的一般项不趋于零，则该级数必定发散. 例如，级数112331471031n n nn n ∞==+++++++∑ 的一般项31n u nn =+当n →∞时，不趋于零，因此该级数是发散的. 注意 级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件.例如，在例3中讨论的调和级数11n n∞=∑，虽然它的一般项()10n n n u =→→∞，但它是发散的.*三、 柯西审敛原理因为级数1n n u ∞=∑的敛散性与它的部分和数列{}n S 的敛散性是等价的，故由数列的柯西审敛原理可得下面的定理.定理1［柯西（Cauchy ）审敛原理］ 级数1n n u ∞=∑收敛的充分必要条件为：0ε∀>，总存在自然数N ，使得当n N >时，对于任意的自然数p ，都有12n n n p u u u ε++++++<成立.证 设级数1n n u ∞=∑的部分和为n S ，因为12n n n p n p n u u u S S +++++++=- ，所以，由数列的柯西审敛原理，即得本定理结论.例4 利用柯西审敛原理证明级数1cos 22nn n ∞=∑收敛.证 对任意自然数p ，都有1212cos 2cos 2cos 2222n n n p n n n n p pn S S +++++++-++=+ 12111222n n n p++++++≤111122112n p +⎛⎫- ⎪=⎝⎭- 1111222n p n ⎛⎫< ⎪⎝⎭=-.于是，对()100εε>∀<<，2log 1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∃，当n N >时，对任意的自然数p 都有12n p n n S S ε+-<<，从而该级数收敛.例5 证明级数n ∞=. 证 对任意自然数p ，都有n p n S S ++-=>.特别地取p n =，得2n n S S -n ∞=发散.第二节 正项级数敛散性判别法本节我们讨论各项都是非负数的级数，这种级数称为正项级数.研究正项级数的敛散性十分重要，因为许多其他级数的敛散性问题都可归结为正项级数的敛散性问题.设级数12n u u u ++++ (6-2-1) 是一个正项级数（0n u ≥），它的部分和为n S ，显然，数列{S n }满足：12n S S S ≤≤≤≤ ，即{}n S 是单调增加的数列.而单调增加的数列收敛的充要条件是该数列有上界，于是可以得到下面的定理.定理1 正项级数1n n u ∞=∑收敛的充分必要条件是：它的部分和数列{}n S 有上界.以这个定理为基础，可以导出判断正项级数是否收敛的几种方法.定理2（比较审敛法） 设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都是正项级数，且存在自然数N 和正常数k ，当n N ≥时，有n n u kv ≤，则有：（1） 若级数1n n v ∞=∑收敛，则级数1n n u ∞=∑也收敛；（2） 若级数1n n u ∞=∑发散，则级数1n n v ∞=∑也发散.证 根据级数的性质，改变级数前面有限项并不改变级数的敛散性，因此，不妨设对任意自然数n 都有()123,,,n n u kv n ≤= .设级数1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑的部分和分别为n A 与n B ，由上面的不等式有1212n n n n A u u u kv kv kv kB =+++≤+++= .（1） 若级数1n n v ∞=∑收敛，根据定理1的必要性，数列{}n B 有上界，由不等式n n A kB ≤知，数列{}n A 也有上界，于是1n n u ∞=∑收敛.（2） 采用反证法.若1n n v ∞=∑收敛，则由（1）知1n n u ∞=∑收敛，与已知矛盾，因此1n n v ∞=∑发散.推论 设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都是正项级数，且(),im00l n nn nk v u v k →∞=≤≤+∞≠，则有：（1） 若0k <<+∞，则级数1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑同时收敛或同时发散；（2） 若0k =，则当1n n v ∞=∑收敛时，1n n u ∞=∑收敛；（3） 若k =+∞，则当1n n v ∞=∑发散时，1n n u ∞=∑发散.证 （1）由极限定义，对2εk=，存在自然数N ，当n N >时有不等式 22n n u k k k v k <<+-，即322n n n u k v k v <<. 再根据比较审敛法，即得所要证的结论. （2）当0k =时，对1ε=，由极限的定义，存在自然数N ，当n N >时，有10nnu v ≤<，从而n n u v <.再根据比较审敛法，当1n n v ∞=∑收敛时，1n n u ∞=∑收敛.（3）当k =+∞时，由极限的定义，存在自然数N ，当n N >时，有1nnu v >，从而n n u v >.再根据比较审敛法，当1n n v ∞=∑发散时，1n n u ∞=∑发散.例1 讨论p 级数11111123p p p n pu n∞==+++++∑ (6-2-2) 的敛散性，其中0p >为常数.解 先考虑1p >的情形，因为当1n x n -≤≤时，有11pp n x≤，所以 d d 2,3,11111111111())(1n n p p p p p n n x x p n n n n x n ----⎡⎤=≤=-⎢⎥-=-⎣⎦⎰⎰ . 考虑级数11211(1)p p n n n ∞--=⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦∑. (6-2-3) 级数(6-2-3)的部分和为11111111111223(1)p p p p p n n n S -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎝=⎭⎭111(1)p n --+=. 因为11lim lim 11(1)n p n n S n -→∞→∞⎡⎤=-=⎢⎥+⎣⎦，故级数(6-2-3)收敛，根据定理2，原级数收敛. 当10p <≤时，有11p n n ≥，而11n n∞=∑发散，根据定理2，原级数发散. 例2 判别下列正项级数的敛散性：（1） 11sin n n n =∑； （2） 211ln 1nn n =⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑. 解 （1） 因为1sin lim11n n n →∞=，而11n n∞=∑发散，根据推论1，该级数发散； （2） 考察221ln 1lim 1n n n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，用实变量x 代替n ，并应用洛必达法则，有 0ln(1)1lim lim 11n x x xx →∞→+==+. 因此221ln(1)lim 1n n n→∞+，而211n n∞=∑收敛，故该级数收敛.定理3［比值审敛法，达朗贝尔（D’Alembert ）判别法］ 若对正项级数1n n u ∞=∑有：1limn n nu ρu +→∞=，则当1ρ<时，级数收敛；1ρ>（或1limn n nu u +→∞=+∞）时，级数发散；1ρ=时级数可能收敛，也可能发散.证 （1）当1ρ<时，取一个适当小的正数ε，使得1ρεγ+=<，根据极限定义，存在自然数N ，当n N >时有1n nu u ρεr +<+=. 由此，并利用归纳法，容易证明1,2,k N k Nu r u k +≤= .而1r <时，等比级数1kN k r u ∞=∑是收敛的. 所以1N k k u ∞+=∑也收敛.由于级数1n n u ∞=∑只比1N k k u ∞+=∑多前N 项，因此级数1n n u ∞=∑也收敛.（2） 当1ρ>时，取一个适当小的正数ε，使得1ρε->，根据极限定义，存在自然数N ，当n N >时，有不等式＞11n nu u ρε+->，也就是1n n u u +>，所以当n N >时，级数的一般项n u 是逐渐增大的，从而0lim n n u →∞≠，根据级数收敛的必要条件可知级数1n n u ∞=∑发散.类似地，可以证明当1limn n nu u +→∞=+∞时，级数1n n u ∞=∑发散. （3） 当1ρ=时，级数可能收敛也可能发散. 例如，p 级数11p n n ∞=∑，不论p 为何值都有 11(1)lim lim 11p n n n npu n u n +→∞→∞+==. 但我们知道，当1p >时级数收敛，当1p ≤时，级数发散.例3 判断下列正项级数的敛散性.（1）112n n n ∞-=∑； （2）1!n n n n∞=∑；（3）616nn n∞=∑.解 （1）111112lim lim lim 1222n n n n n nn n u n u n n +→∞→∞→∞-++===<，故级数收敛.（2）e 11(1)!(1)1lim lim lim 1!1nn n n n n nn n u n n u n n n ++→∞→∞→∞++⎛⎫===< ⎪+⎝⎭，故级数收敛. （3）166166(1)lim lim lim 66116n n n n n n nu n n u n n++→∞→∞→∞+⎛⎫===> ⎪+⎝⎭ ，故级数发散. 定理4（根值判别法，柯西判别法） 若对正项级数1n n u ∞=∑有：n ρ∞==，则当1ρ<时，级数收敛；1ρ>（或n ∞=+∞）时，级数发散；1ρ=时，级数可能收敛也可能发散.证 （1） 1ρ<时，我们总可取到适当小的正数ε，使1ρε+<.根据极限定义，对于该正数ε1ρr ε<+=<，即nn u r <，由于等比级数1n n r ∞=∑（公比1r <）收敛，由比较审敛法知级数1n n u ∞=∑收敛.（2） 1ρ>时，我们总可取到正数ε，使1ρε->.根据极限定义，对于该正数ε，存在自然数N ，当n N ≥时，有1ρε>->，即1n u >，于是lim 0n n u →∞≠，故级数1n n u ∞=∑发散.（3）1ρ=时，仍可用p 级数作为例子说明. 例4 判断下列正项级数的敛散性： （1）1321nn n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑； （2）()21ln nn n ∞=∑； （3）ln 153nnn ∞=∑. 解（1）33lim1212n n n n →∞=>+，故级数发散；（2）1lim01ln n n n→∞=<，故级数收敛； （3）ln 5lim 513n n n n→∞=>，故级数发散. *定理5（积分判别法） 设()f x 为定义在［1，）+∞上的非负单调递减函数，那么正项级数1()n f n ∞=∑与反常积分d 1()f x x +∞⎰具有相同的敛散性.证 由于（）f x 为［1，）+∞上的非负单调减函数，故对任何正数A ，（）f x 在［1，］A 上可积，且有()d （）1,2,3,1()kk f x x f k f k k -≤≤-=⎰.依次相加，可得d 11221()()(1)()nn n nk k k f k f x x f k f k -===≤≤-=∑∑∑⎰. (6-2-4)若反常积分d 1()f x x +∞⎰收敛，则由(6-2-4)式知：对任何自然数n ，有d d 111()(1)()(1)()nnn k S f k f f x x f f x x +∞==≤+≤+∑⎰⎰.根据定理1，级数1()n f n ∞=∑收敛.反之，若1()n f n ∞=∑为收敛级数，则由(6-2-4)式知：对任一自然数()1n n >有d 111()()nn k f x x S f k S ∞-=≤≤=∑⎰. (6-2-5)因为（）f x 为非负单调减函数，故对任何正数［,1］A n n ∈+，都有d 110(),An f x x S n n S A ≤≤≤≤≤+⎰.根据无穷点极限存在判别法，可知反常积分d 1()f x x +∞⎰收敛.例5 讨论级数（1）21(ln )pn n n ∞=∑；（2）31ln (lnln )pn n n n ∞=∑的敛散性.解（1）考虑反常积分d 2(ln )pxx x +∞⎰，由于d(ln )d d 22ln 2(ln )(ln )p p p x xu x x x u +∞+∞+∞==⎰⎰⎰.上式右端的反常积分当1p >时收敛；当1p ≤时发散.根据积分判别法知，级数当1p >时收敛；1p ≤时发散.（2） 考察反常积分31ln (ln ln )px x x +∞⎰，类似可推出1p >时收敛，当1p ≤时发散. 第三节 任意项级数敛散性判别法上一节，我们讨论了正项级数的敛散性判别问题.对于任意项级数的敛散性判别要比正项级数复杂，这里先讨论一种特殊的非正项级数的收敛性问题.一、 交错级数收敛性判别法定义1 如果级数的各项是正、负交错的，即112341(1)n n n u u u u u ∞-=-=-+-+∑ (6-3-1)或112341(1)n n n u u u u u ∞-=-=-+-+-∑ ， (6-3-2)其中()1,2,0n u n ≥= ，则称此级数为交错级数.定理1[莱布尼茨（Leibniz ）判别法] 如果交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑满足条件：（1）()1231,,,n n u n u +=≥ ；（2）lim 0n n u →∞=，则级数收敛，且其和1S u ≤，其余项n r 的绝对值1n n r u ≤+.证 先证明级数前2n 项的和2n S 的极限存在.为此把2n S 写成两种形式：()()()21234212n n n S u u u u u u -=-+-++-及()()()21234522212n n n n S u u u u u u u u --=-------- .根据条件（1）知道所有括弧中的差都是非负的，由第一种形式可见数列{}2n S 是单调增加的.由第二种形式可见21n S u ≤.于是由“单调有界数列必有极限”的准则知2lim n n S →∞存在，记为S ，则有12lim n n S S u →∞=≤.下面证明级数的前21n +项的和21n S +的极限也是S .事实上，我们有21221n n n S S u ++=+.由条件（2）知21lim 0n n u +→∞=，因此21221lim lim()n n n n n S S u S ++→∞→∞=+=.由数列{}2n S 与{}21n S +趋于同一极限S ，不难证明级数11(1)n n n u ∞-=-∑的部分和数列{}n S 收敛，且其极限为S ，因此级数11(1)n n n u ∞-=-∑收敛于和S ，并且有1S u ≤.最后，由于12n n n r u u ++=-+ 或 12n n n r u u ++=-+- ，从而12n n n r u u ++=-+ .这也是一个满足定理条件的交错级数，根据上面所证，有1n n r u +≤.例1 判别下列交错级数的收敛性.（1）111(1)n n n ∞-=-∑；（2）11(1)10n nn n∞-=-∑. 解（1） 因()1,2,111n n n =>+ ，1lim 0n n →∞= ，根据莱布尼茨判别法，级数收敛，其和1S ≤. （2） 易证111010n n n n ++>（利用110n n ⋅>+），且im 100l n n n →∞=，根据莱布尼茨判别法，级数收敛，其和S 110≤.绝对收敛与条件收敛现在讨论任意项级数1n n u ∞=∑的敛散性.定义2 如果级数1n n u ∞=∑收敛，则称级数1n n u ∞=∑绝对收敛；如果级数1n n u ∞=∑收敛，而级数1nn u ∞=∑发散，则称级数1n n u ∞=∑条件收敛.定理2 如果级数1n n u ∞=∑绝对收敛，则级数1n n u ∞=∑必定收敛.证 设级数1nn u∞=∑收敛，令()()1,2,3,12n nn v u u n =+= .显然0nv≥，且n n v u ≤()1,2,3,n = .由比较审敛法知级数1nn v∞=∑收敛，从而级数12n n v ∞=∑也收敛，而2n n n u v u =-，由收敛级数的性质可知1112nn n n n n uv u ∞∞∞====-∑∑∑收敛，定理证毕.注意 上述定理的逆定理不成立.定理2说明，对于任意项级数1n n u ∞=∑，若用正项级数的审敛法判定出级数1n n u ∞=∑收敛，则1nn u ∞=∑亦收敛，这就使得一大类级数的收敛性判别问题可以转化为正项级数的收敛性判别问题.一般说来，如果级数1n n u ∞=∑发散，我们不能断定级数1n n u ∞=∑也发散. 但是，如果级数1n n u ∞=∑的一般项数列{}n u 不收敛于0，即()0n u n →→∞/，则我们必定可以得到()0n u n →→∞/.由级数收敛的必要条件，则一定可以断定级数1n n u ∞=∑发散.例2 判别级数21cos n nxn ∞=∑的收敛性. 解 因为22cos 1nx n n ≤，而级数211n n ∞=∑收敛.所以级数21cos n nx n ∞=∑也收敛，由定理2知，级数21cos n nxn∞=∑绝对收敛. 例3 判别级数12111()(1)2nn nn n ∞=-⋅+∑的收敛性.解 由211(1)2n n nu n =+，则有 11(1)2n n+e >1111lim 122nn n n →∞⎛⎫=+= ⎪⎝⎭. 故由正项级数的根值审敛法知级数211112n nn n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑发散，所以原级数发散. 绝对收敛级数有一些很好的性质，这是条件收敛级数所不具备的. *定理3 绝对收敛级数经任意交换项的位置后构成的级数也绝对收敛，且与原级数有相同的和（即绝对收敛级数具有可交换性）.证 先证定理对于收敛的正项级数是正确的.设级数1n n u ∞=∑为收敛的正项级数，其部分和为n S ，和为S .并设级数1*n n u ∞=∑为1n n u ∞=∑任意交换项的位置后构成的级数，其部分和为*n S .对于任何正整数n ，我们总可取m 足够大，使12,,,***n u u u 各项都出现在12m m S u u u =+++ 中.于是得*n m S S S ≤≤，所以，单调增加的数列{}*n S 有上界，根据极限存在的准则可知*lim n n S →∞存在，即级数1*n n u ∞=∑收敛，且**lim n n S S S →∞=≤.另一方面，原来的级数1n n u ∞=∑也可看成是级数1*n n u ∞=∑交换项的位置后所成的级数，故应用上面的结论，又有*S S ≤.注意到上面已有*S S ≤，因此必定有*S S =. 下面证明定理对一般的绝对收敛级数是正确的.设级数1n n u ∞=∑收敛，()12n n n v u u =+.在定理2的证明中已知1n n v ∞=∑是收敛的正项级数，故有()111122nn n n n n n n n uv u v u ∞∞∞∞=====-=-∑∑∑∑.设级数1n n u ∞=∑任意交换项的位置后的级数为1*n n u ∞=∑，1n n v ∞=∑相应地改变为1*n n v ∞=∑，1n n u ∞=∑相应地改变为1*n n u ∞=∑，由上面证得的结论可知*1*111,nn n nn n n n vv uu ∞∞∞∞======∑∑∑∑，所以11***12n n nn n n uv u ∞∞∞====-∑∑∑1112n n n n n n v u u ∞∞∞===-==∑∑∑.在给出绝对收敛级数的另一性质之前，我们先来讨论级数的乘法运算.设级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都收敛，仿照有限项之和相乘的规则，写出从这两个级数中各取一项所有可能的乘积的(),1,2,3,i k u v i k = 如下：11111,,,,，23n u v u v u v u v ； 1,,,,，222232n u v u v u v u v ；1,,,,，332333n u v u v u v u v ；1,,,,，23n n n n n u v u v u v u v ；这些乘积可以用很多的方式将它们排成一个数列.例如，可以按“对角线法”或按“正方形法”将它们排成下面形状的数列.对角线法11121314212223243132333441424344u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v正方形法 11121314232122243431323341424344u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v对角线法排列为： 111221132231；，；，，；u v u v u v u v u v u v 正方形法排列为： 111222211323333231；，，；，，，，；u v u v u v u v u v u v u v u v u v 把上面排列好的数列用加号相连，就得到无穷级数.我们称按“对角线法”排列所组成的级数()()1112211211n n n u v u v u v u v u v u v -++++++++ 为两级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑的柯西乘积.*定理4（绝对收敛级数的乘法） 设级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都绝对收敛，其和分别为u 和v ，则它们的柯西乘积()()1112211211n n n u v u v u v u v u v u v -++++++++也是绝对收敛的，且其和为uv .证明从略.由定理4，我们利用收敛级数可以构造出另外一些非常有用的收敛级数.如当1r <时，几何级数11n n r ∞-=∑是绝对收敛的，且2111n r r rr =+++++- . 将()1211n n r r ∞-=⎛⎫ ⎪⎝⎭<∑按对角线的顺序排列.则得到2221（）（）211()(1)n n n n r r r r r r r r r +=+++++++++++- 2123（1）n r r n r =++++++ ()111n n r r n ∞-==<∑ .即()111n n r nr ∞-=<∑也是绝对收敛的，其和为21(1)r -.第四节 函数项级数本节中我们进一步研究级数的各项都是某一个变量的函数的情况，即函数项级数.一、 函数项级数的概念定义1 设()()()()()123,,,,,{}:n n u x u x u x u x u x 为定义在数集I 上的一个函数序列，则由此函数列构成的表达式：()()()()123+++++1()n nn u x u ux x u x u x ∞==∑ (6-4-1)称为定义在数集I 上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数.对于每一个确定的值0x I ∈，函数项级数(6-4-1)成为常数项级数()()()()()1231nnn x u x u x x u u x u ∞=+++++=∑ (6-4-2)若级数(6-4-2)收敛，则称点0x 是函数项级数(6-4-1)的收敛点；若级数(6-4-2)发散，则称点0x 为函数项级数(6-4-1)的发散点.函数项级数(6-4-1)的收敛点的全体构成的集称为其收敛域，发散点的全体构成的集称为发散域.对应于收敛域内的任意一个数x ，函数项级数成为一个收敛的常数项级数，因而有一确定的和，记为()S x .于是，在收敛域上，函数项级数的和()S x 是x 的函数，通常称()S x 为函数项级数的和函数.和函数的定义域是级数的收敛域，在收敛域内有()()()()()1231()n n n S x u x u x u x u u x x ∞==+++++=∑ .把函数项级数(6-4-1)的前n 项的部分和记作()n S x ，(){}n S x 称为函数项级数的部分和函数列.在函数项级数的收敛域上有lim ()()n n S x S x →∞=.我们仍把()()()n n r x S x S x =-称为函数项级数的余项（当然，只有x 在收敛域上()n r x 才有意义）.显然有lim (0)n n r x →∞=.与常数项级数一样，函数项级数的敛散性就是指它的部分和函数列的敛散性. 例1 判断下列级数的收敛性，并求其收敛域与和函数. (1)11n n x∞-=∑；(2)()110nn x x ∞=⎛⎫⎪⎝⎭≠∑.解 (1) 此级数为几何级数(即等比级数)，由第一节例1知1x <时，级数收敛，1x ≥时级数发散.故其收敛域为(-1，1)，和函数为11()lim ()lim n n n n n S x S x x ∞-→∞→∞===∑1111li 1(m)1n n x x x x →∞--=<-<=- . (2) 此级数也为几何级数，公比为1x ，由(1)知11x <时，级数收敛. 11x≥时级数发散，其收敛域为，11，()()-∞-+∞ ，和函数为()()111111xx x S x x =⎛⎫-- ⎪⎝⎭=> .二、 幂级数及其收敛性函数项级数中简单而应用广泛的一类级数就是各项都是幂函数的级数，称为幂级数.它的形式为21200n n nn n a a x a xa x a x ∞==+++++∑ (6-4-3)或212000000()()()()n n n nn a a x x a x x a ax x x x ∞==+-+--++-+∑ ， (6-4-4)其中,1,2,(0)n a n = 是常数，称为幂级数的系数，0x 为常数. 对于第二种形式的幂级数，只需作代换0t x x =-，就可以化为第一种形式的幂级数.因此我们主要讨论第一种形式的幂级数.显然，0x =时幂级数0nn n a x ∞=∑收敛于0a ，即幂级数0n n n a x ∞=∑至少有一个收敛点0x =.除0x =以外，幂级数在数轴上其他的点的收敛性如何呢？ 先看下面的例子:考虑幂级数210n n n x x x x ∞==+++++∑ ，由本节例1可知，该级数的收敛域是开区间1,1()-，发散域是，1］［1，()-∞-+∞ . 从这个例子可以看到，这个幂级数的收敛域是一个区间.事实上，这个结论对于一般的幂级数也是成立的.定理1［阿贝尔(Abel)定理］ 若幂级数0n n n a x ∞=∑在()000x x x =≠处收敛，则对满足＜0x x 的一切x ，该级数绝对收敛，反之，若级数0n n n a x ∞=∑在0x x =时发散，则对满足0x x >的一切x ，该级数也发散.证 先证第一部分.即要证明若幂级数在00x x =≠收敛，则对满足＜0x x 的每一个固定的x 都有0nn n a x ∞=∑收敛.因为nnnn n x a xa x x =⋅，且＜10x x ，故0nx x 可看作一收敛的几何级数的通项，而由00n n n a x ∞=∑收敛可知0lim 0nn n a x →∞=.根据极限的性质，存在＞0M ，使得,1,2,0(0)nn M n a x ≤= .因此，对,1,2,0n = 有 0··nnnn n n xx a xa M x x x ≤=.因为00nn x x ∞=∑是收敛的等比级数(公比为＜10x x )，根据比较审敛法知0n nn a x ∞=∑收敛，也就是nn n a x∞=∑绝对收敛.定理的第二部分可用反证法证明.若幂级数在0x x =发散，而有一点1x 使1＞0x x 且幂级数在1x 处收敛，则根据本定理的第一部分，级数在0x x =应收敛，这与所设矛盾，定理得证.定理1告诉我们，若幂级数在()000x x x =≠处收敛，则对于开区间(),00x x -内的任何x ，幂级数都收敛，若级数在1x x =处发散，则对于区间()()11，，x x -∞-+∞ 上的任何x ，幂级数都发散.我们知道，幂函数在整个数轴上有定义，对于给定的幂级数0n n n a x ∞=∑而言，数轴上所有的点都可归为其收敛点和发散点这两类中的一类，而且仅属于其中一类.因此，幂级数的收敛域必为以原点为中心的区间，该区间包含所有的收敛点.在前面的讨论中，我们假设幂级数在1x x =处发散，故1x 不属于收敛域.因而，收敛域包含在区间()11,x x -内，故幂级数如果既有非零的收敛点，又有发散点，则其收敛域是以原点为中心的由P '与P 所确定的有界区间，如图6-1所示.图6-1从上面的几何说明可得以下推论.推论 若幂级数0nn n a x ∞=∑在，()-∞+∞内既有异于零的收敛点，也有发散点，则必有一个确定的正数R 存在，使得当＜x R 时，幂级数在x 处绝对收敛； 当x R >时，幂级数在x 处发散；当x R =时，幂级数在x 处可能收敛也可能发散.我们称上述的正数R 为幂级数的收敛半径，称，()R R -为幂级数的收敛区间.幂级数的收敛区间加上它的收敛端点，就是幂级数的收敛域. 若幂级数仅在0x =收敛，为方便计，规定这时收敛半径0R =，并说收敛区间只有一点0x =；若幂级数对一切，()x ∈-∞+∞都收敛，则规定收敛半径R =+∞，这时收敛区间为，()-∞+∞.关于幂级数的收敛半径的求法，有下面的定理.定理2 若1lim n n na ρa +→∞=，则幂级数0n n n a x ∞=∑的收敛半径：1,0,,0,0,.ρρR ρρ⎧≠⎪⎪=+∞=⎨⎪=+∞⎪⎩证 考察0n n n a x ∞=∑的各项取绝对值所成的级数2120n n a a x a x a x +++++ . (6-4-5)该级数相邻两项之比为111n n n nn n a x a x a a x +++=⋅. (1) 若 ()1lim0n n na ρa ρ+→∞=≠存在，根据正项级数的比值审敛法，当＜1ρx ，即1x ρ<时，级数(6-4-5)收敛，从而0nn n a x ∞=∑绝对收敛；当1ρx >，即1x ρ>时，级数(6-4-5)发散，故0nn n a x ∞=∑也发散. 这是因为当n →∞时，n n a x 不收敛于0，从而n n a x 亦不收敛于0.(2) 若0ρ=，则对任何0x ≠，有() 110n n nn a x a x n ++→→∞，所以级数(6-4-5)收敛，从而级数0n n n a x ∞=∑绝对收敛，于是R =+∞.(3) 若ρ=+∞，则除掉0x =外，对任意0x ≠都有＞1111lim limn n n nn n nn a x a x a a x +++→∞→∞⋅=+∞=，即对一切0x ≠，级数0n n n a x ∞=∑都发散，于是0R =.例2 求幂级数12310(1)(1)123n nnn n x x x x x n n ∞+-=-=-+++-++∑ 的收敛区间与收敛域.解 因为111lim lim 11n n n na n ρa n+→∞→∞+===， 所以收敛半径为11R ρ==，于是收敛区间为(-1，1).对于端点1x =，级数成为交错级数111(1)n n n ∞-=-∑，它是收敛的；对于端点1x =-，级数成为1111n n n n∞∞==-=-∑∑，它是发散的.因此原幂级数的收敛域为(1，1-⎤⎦.例3 求幂级数0!n n n x ∞=∑的收敛半径（这里!10=）.解 因为1(1)!limlim !n n n n a n ρa n +→∞→∞+===+∞， 所以收敛半径0R =，即级数仅在0x =收敛.例4 求幂级数21112!n x x x n+++++ 的收敛区间以及收敛域.解 因为11(1)!1lim lim lim 011!n n n n na n ρa n n +→∞→∞→∞+====+， 所以收敛半径R =+∞，从而收敛区间为，()-∞+∞，收敛域也是，()-∞+∞.例5 求幂级数20(1)2nnn n x ∞=-∑的收敛区间以及收敛域.解 级数缺少奇次幂的项，定理2不能直接应用，我们根据比值审敛法求收敛半径.因为2212212(1)2lim lim 22(1)2n n n n n n n nx x x x +++→∞→∞-==-， 所以当＜122x 时，级数收敛；＞122x时，级数发散.即xx.收敛半径为R =x =时，级数均为0(1)n n ∞=-∑，发散，所以原幂级数收敛区间与收敛域均为(.例5 求幂级数1(1)2nn n x n∞=+⋅∑的收敛区间以及收敛域.解 令1t x =+，上述级数成为12nn n t n∞=⋅∑.因为1121lim lim 22(1)n n n n n na n ρa n ++→∞→∞===+ ， 所以收敛半径为2R =.当2t =时，级数为11n n ∞=∑，发散；当2t =-时，级数为1(1)nn n ∞=-∑，收敛. 因此收敛区间为2＜＜2t -，即2＜1＜2x -+，亦即3＜＜1x -，所以原级数的收敛区间为(-3，1)，收敛域为)3,1-⎡⎣.三、 幂级数的和函数的性质我们看到，幂级数在其收敛区间内任一点都是绝对收敛的，因而前面第一节中常数项级数的运算性质在收敛点都是行得通的.在收敛区间上定义的和函数有下面的性质.定理3 设幂级数0n n n a x ∞=∑的收敛域为I ，则其和函数()S x 在区间I 上连续.由函数在区间上连续的定义，我们知道如果收敛域I 包含左（右）端点，则和函数()S x 在区间I 的左（右）端点必右（左）连续.在讨论幂级数的逐项求导与逐项求积之前，我们先说明这样一个事实，即幂级数(6-4-3)在收敛区间,()R R -内逐项求导与逐项求积之后所得到的幂级数112n n a +2a x ++na x +- (6-4-6)与211021n n a a a x x x n ++++++ (6-4-7) 的收敛区间也是,()R R -.事实上，设0x 是幂级数(6-4-3)的收敛区间,()R R -内的任意非零点，则必存在1,()x R R ∈-,满足01x x R <<.由于级数10n n n a x ∞=∑收敛，有1lim 0n n n a x →∞=，即{}1n n a x 为有界数列.而0001111n nnnn n n n x x a x a x a x x x ⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭，因此，存在正数M （可取为数列{}1n n a x 的上界）及1r < （可取10||||x r x =）,使得对一切正整数n ，有0n n n a x M r ≤，而10000n n n n n n M na x a x nr x x -=⋅≤， 由级数的比值审敛法知1n n nr ∞=∑收敛，故0x 也是级数(6-4-5)的绝对收敛点. 因此幂级数(6-4-6)与(6-4-3)有相同的收敛区间.同理也可以得到幂级数(6-4-7)与(6-4-3)有相同的收敛区间.定理4 设幂级数0nn n a x ∞=∑在收敛区间,()R R -上和函数为()S x ，若x 为,()R R -内任意一点，则(1) ()S x 在x 处可导，且()11n n n na x S x ∞-='=∑；(2) ()S x 在0与x 构成的区间上可积，且d 10()1xn n n a S t t x n ∞+==+∑⎰.定理4指出幂级数在收敛区间内可逐项求导与逐项求积.例6 在区间(-1，1)内求幂级数111n n x n ∞-=+∑的和函数.解 由于12lim 111n n n →∞+=+，所以此幂级数的收敛半径为1，收敛区间为(-1，1).设和函数为()S x ，则()()111120,n n S x S x n ∞-=+==∑.对()2111n n x n x S x ∞+==+∑逐项求导得()21＜＜1111)11(n n n n x x x n x x S x x ∞∞-=='⎛⎫== ⎪+-'⎡⎤=-⎣⎭⎦⎝∑∑ . 对上式从0到x 积分得()d 20ln(1)1x xx x x xx S x ==----⎰.于是当0x ≠时，有()2ln(1)S x x x x +-=-. 从而2ln(1),01;()1,0.2x x x x S x x +-⎧-≤≤⎪=⎨⎪=⎩ 由幂级数的和函数的连续性可知，这个和函数()S x 在0x =处是连续的.事实上，我们有20ln(1)1lim ()lim(0)2x x x x S x S x →→---===.四、 幂级数的运算设幂级数21200n n nn n a a x a xa x a x ∞==+++++∑ (6-4-8)及21200n n nn n b b x b xb x b x ∞==+++++∑ (6-4-9)分别在区间11,()R R -及22,()R R -内收敛.令12min ,{}R R R =，则根据收敛级数的性质，我们在区间,()R R -上对幂级数(6-4-8)和(6-4-9)可进行下面的加法、减法和乘法运算.1. 加法,0())(nnnn n n n n n n a xb x a x b R R x ∞∞∞====+∈+-∑∑∑.2. 减法,0())(nnnn n n n n n n a xb x a x b R R x ∞∞∞====-∈--∑∑∑.3. 乘法,0()n nnnnn n n n a x b xR c x x R ∞∞∞===∈⋅-=∑∑∑，其中0k n nk n k a b c -==∑.4. 除法00nnn n n nn n n a xc x b x∞∞=∞===∑∑∑，这里假设00b ≠.为了决定系数12,,,,,0n c c c c ，可以将级数0nn n b x ∞=∑与0n n n c x ∞=∑相乘（柯西乘积），并令乘积中各项的系数分别等于级数0n n n a x ∞=∑中同次幂的系数，即得000a b c =，11100a b c b c =+，2211200a b c b c b c =++， 由这些方程就可以顺次地求出12,,,,,0n c c c c . 值得注意的是，幂级数(6-4-8)与(6-4-9)相除后所得的幂级数0n n n c x ∞=∑的收敛区间可能比原来两级数的收敛区间小得多.第五节 函数展开成幂级数。
高等数学第六章
解 方程可化为 d y (1 x)(1 y2 ， ) 分离变量得 1 d y (1 x) d x，
dx
1 y2
两边积分得
1
1 y
2
dy
(1
x) d x，求积分得 arctan
1 微分方程的基本概念
高等数学 第六章. 第一节
第7 页
通常把含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微分 方程．微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称 为微分方程的阶．
微分方程的解有两种不同的形式，如果n阶微分方程其解
中含有n个（独立的）任意常数，这样的解称为方程的通解．
根据某些条件，使通解中的任意常数都成为确定常数，这样的
d y f (x) g( y)（? 或y f (x) g( y)） dx
的一阶微分方程，称为可分离变量的微分方程．
（6 10）
2 一阶微分方程
高等数学 第六章. 第二节
第 13 页
例1 求微分方程 d y 2xy的通解．
dx
解 此方程为可分离变量的方程，分离变量后得 1 d y 2x d x，
程x y n y，得
左边 x C nxn1 C nxn n C xn n y 右边，
因此y C xn 是x y n y的通解．
将条件代y x1 1入y C xn中，得y C xn，所以满足初始条
件y x1 1的特解为y x． n
1 微分方程的基本概念
解称为特解，这些条件称为初始条件．
1 微分方程的基本概念
高等数学 第六章. 第一节
第8 页
例3 验证y C xn 是微分方程x y n y的通解，并求满足初
《高数》第6章
把 x t t 0 1, x t t 0 3 代入 x t c1 cos t c2 sin t 和
x t c1 sin t c2 cos t 得 c1 1, c2 3 ．故所求的解为： x t cos t 3sin t
得到通解
G ( y ) F ( x) c 1 其中G(y)与F(x)分别是 与f(x)的一个原函数， c是 g ( y) 任意常数，式(2)就是方程(1)的隐式通解. 第 三 步 ， 在 第 一 步 中 ， 用 g(y) 除 方 程 的 两 边 ， 而 g(y)=0 是 不 能 做 除 数 的 ， 所 以 对 g(y)=0 要 单 独 考 虑．由g(y)=0解出的y是常数，它显然满足原方程， 是原方程的特解，这种特解可能包含在所求出的通解 中，也可能不包含在所求出的通解中（此时要把它单 独列出）． 例1 分方程 y 2 xy 的通解．
例3(推广普通话问题) 在某地区推广普通话，该地 区的需要推普的人数为N，设t时刻已掌握普通话的 人数为p(t)，推普的速度与已推普的人数和还未推普 的人数之积成正比，比例常数为k＞0于是得到 dp kp ( N p ) dt
此方程称为logisitic方程，在生物学，经济学等学科 领域有着广泛应用． 定义1 含有未知函数的导数(或微分)的方程叫微分方 程．未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方 程．如 (1) y x dp kp ( N p ) (2) dt
y P ( x ) y Q ( x ) 的方程称为一阶线性微分方程，其中P(x)为Q(x)的已 知函数．当Q(x)不恒为0时，方程(5) 称为一阶线性非 齐次微分方程.当 Q( x) 0时，方程(5)变成 y P ( x ) y 0 该方程称为一阶线性齐次微分方程． 显然，一阶线性齐次微分方程是可分离变量的方 程．一阶线性非齐次微分方程的求解步骤如下： 第一步，先求解其对应的齐次方程： y P ( x ) y 0
高数课件第六章定积分的应用：第二节定积分的几何应用
y
c
b O
x
bx
x
x x 1 sh dx ch dx c c b x xb s 2 ch dx 2c sh 0 c c 0 x b 1 x 2c sh ( c ch ) c sh c c c c
2
e e ch x 2 x x e e sh x 2 (ch x) sh x
Hale Waihona Puke 2 (t ) 2 (t ) d t
因此所求弧长
s
2 (t ) 2 (t ) d t
(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
令 x r ( ) cos , y r ( ) sin , 则得
dx [r ( ) cos r ( ) sin ]d dy [r ( ) sin r ( ) cos ]d
2
选 x 为积分变量 (1) x [2, 0], dA1 ( x 3 6 x x 2 )dx 于是所求面积 A A1 A2
特别注意:
各积分区间 A ( x 3 6 x x 2 )dx 0 (x x 6 x)dx 上被积函数的 2 253 形式不同． . 12
0
3
2
3
x2 1 练习：1.求曲线 y , y 与直线 x 3 2 1 x 2
x 3 所围成的图形的面积。
2.求曲线 xy 1 与直线
x y 0 y 2
x y 2
P1
2
所围成的图形的面积。 2014考研题
提示：1
P2
y
1
32 1 0 2 1 1 3 x 1 x 1 1 s 2[ ( )d x ( ( 3 3 2) ) d x ] 2 0 1 x 1 3 2 2 1 x2
高等数学 第6章
即
x2 y2 2C
将 y 0 代入通解中，得 x 1 C1 2
于是所求曲线方程为
x2 y2 1
在解微分方程中，若两个变量同时出现在方程的某一 端，就不能直接用两边积分的方法求解，如果能将两个变 量分离，使方程的一端只含变量y及dy，另一端只含x及dx， 那么就可以用两边同时积分的方法求出通解。这种求解方 法称为分离变量法。变量能分离的微分方程称为可分离变 量的微分方程。它的一般形式可表示为
所以从1999年起第t年我国的GDP为 P(t) 80 423e0.08t
将 t 2012 1999 13代入上式中，得2012年我国的GDP预 测值是
P(13) 80 423e0.0813 227 534.120 亿元
例5 【放射性元素的衰变】放射性物质随时间变化，质量 会不断减少，这种现象称为衰变．实验证明：放射性元素 在任何时刻t的衰变率与该时刻的质量成正比．若最初有50 克的某放射性材料，2小时后减少10%． （1）试确定该材料的衰变规律； （2）预测经过多少年质量变成一半？
1
y2 1
d(y 2
1)
1 x2 1
d(x2
1)
即
ln( y2 1) ln(x2 1) ln C 化简，得通解
(x2 1)( y2 1) C
例4 【国民生产总值】1999年我国的国民生产总值（GDP） 为80 423亿元，如果每年的增长率保持当年的8%，问2012 年我国的GDP是多少？
初始条件 m(0) 50, m(2) 50 (110%) 45
分离变量，得
dm kdt m
两边积分，得 ln m kt ln C
化简，得通解
m Cekt
例5 【放射性元素的衰变】放射性物质随时间变化，质量 会不断减少，这种现象称为衰变．实验证明：放射性元素 在任何时刻t的衰变率与该时刻的质量成正比．若最初有50 克的某放射性材料，2小时后减少10%． （1）试确定该材料的衰变规律； （2）预测经过多少年质量变成一半？
高数 第六章-重积分-二重积分(第1-2节)
∫∫ 3．积分 3 1 − x 2 − y 2 dxdy 有怎样的符号, 其中 D : x 2 + y 2 ≤ 4. D
4.利用二重积分的性质估计下列积分的值:
∫∫ (1) I = (x2 + 4 y2 + 9) dσ , 其中=D {(x, y) x2 + y2 ≤ 4} ； D
闭区域;
(4)
∫∫
D
sin x
x
dxdy
,
其中 D 是由 y =
x,
y= x, 2
x = 2 所围成的闭区域；
(2) ∫∫| y − x2 | dxdy, 其中 D 为 −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1； D
3
(5) ∫∫ (x2 + y2 − x)dxdy , 其中 D 是由 y = 2 , y = x , y = 2x 所围成 D
π
dx
0
sin x −sin x
f (x, y)dy ;
2
4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∫ ∫ (4)
1
dy
y f (x, y)dx ;
0
y
2
2y
∫ ∫ (5) dy f (x, y)dx ;
0
y2
3. 将下列积分表示为极坐标形式下的二次积分:
{ } ∫∫ (1) f (x, y)dσ , 其= 中 D (x, y) | x2 + y2 ≤ 4x ; D
x − 3y = 0, y − 3x = 0 所围成的平面闭区域.
(3)
∫∫D
1+
1 x2 +
y2
dxdy
,
高数答案（全集）第六章参考答案
高数答案（全集）第六章参考答案第六章常微分方程1. (1) b,c,d (2) a,c (3) b,d2. (1) 二阶,线性 (2) 一阶,非线性 (3) 一阶,非线性 (4) 一阶,非线性3. (1)-(3)均为微分方程0222=+y dxy d ω的解,其中(2) (3)为通解 4. (1)将变量分离,得dx ydy cos 2= 两边积分得 c x y +=-sin 1通解为,sin 1c x y +-=此外,还有解0=y(2)分离变量,得dx x x y y d xx dx dy y y )111(1)1(2112222+-=+++=+或两边积分,得cx x y ln )1ln(ln )1ln(212++-=+即(1+ 2y )(1+ x)2=c 1 2x(3)将变量分离,得1122=-+-yydy xxdx积分得通解21x -+)20(12还有使因子21x -?012=-y 的四个解.x=(±)11 y -, y=(±)11 x - (4)将方程改写为(1+y 2)ex2dx-[]0)1( )e y +(1y=+-dy yex2dx=dy y y ??++-2y11 (e 积分得--=y e e y x arctan 212)1ln(212y +-21(5)令 z=x+y+1,z dx dz sin 1+=分解变量得到dx zdz=+sin 1………………(*) 为了便于积分,用1-sinz 乘上式左端的分子和分母,得到dz z z z se dz zzdz z z )tan sec (cos sin 1sin 1sin 1222-=-=-- 将(*)两端积分得到tanz-secz=x+c22z-∏)=x+c,将z 换为原变量,得到原方程的通解 X+c=-tan(214++-∏y x )6.令y=ux,则dy=udx+xdu 代入原方程得x 2( u 2-3)(udx+xdu)+2 x 2udx=0分离变量得du x dx 1)-u(u u 22-=,即得y 3=c(2y -2x ) 7. 令xy u =,则原方程化为dx x udu 1=,解得c x u ==ln 212,即,ln 2222cx x x y +=由定解条件得4=c ,故所求特解为,ln 4222x x x y +=8. 将方程化为x y xyy +-='2)(1，令x yu =，得,u u x y +'=代入得dx x du u 1112=- 得c x u ln ln arcsin +=，cx xyln arcsin= 9．化为x e x y dx dy x =+，解得)(1xe c xy +=，代入e y =)1(得0=c 特解x e y x = 10．由公式得1)()(-+=-x ce y x ??11.化为x y x y dx dy ln 2=+为贝努里方程令xyu =,则原方程化为dx dy y dx du 2--= 代入方程的x u x dx du ln 1-=-用公式求得])(ln 21[2x c x u -=解得12])(ln 21[1--=x c x y 另为，0=y 也是原方程的解 12．为贝努里方程令x yu =,则原方程化为322x xu dx du -=+用公式求得122+-=-x ce u x解得1122+-=-x cey x13．23x y yx dx dy =-将上式看成以y 为自变量的贝努里方程令x z 1=有3y yz dxdy-=- 22212+-=-y ce z y ，得通解1)2(2212=+--y cex y14．令x y N x y M +-=-=4,32有xNy M ??==??1，这是全微分方程0=duxy x y dy x y dx x y u y x +--=---=?32),()0,0(22)4()3(，即方程得通解为c y x xy =--232 15．化为0122=+-+xdx yx xdy ydx ，得通解为c x xy xy =+-+211ln 16．该方程有积分因子221y x +，)(arctan ))ln(21(2222x y d y x d y x ydx xdy xdy ydx ++=+-++ 17．1c e xe dx e xe e xd dx xe y xx x xx x+-=-==='?21211)2()(c x c x e c e xe x c e dx c e xe y x x x x x x ++-=+-++-=+-=?18．xx x dx x x y x1ln 32ln 12--=+=''? 2ln ln 213)1ln 3(21---=--='?x x x dx x x x y x 21ln 2223)2ln ln 213(2212+--=---=?x x x x dx x x x y x19．令y z '=，则xz z =-'，xx x dxdx e c x c e x e c dx xe e z 111)1(])1([][++-=++-=+??=--?即x e c x y 1)1(++-='得2121c e c x y x ++--=20．令p y ='，则dy dp p dx dy dy dp dx dp y =?==''所以0)(2323=+-=+-p p dy dp y p p p dy dp p y 则得p=0或02=+-p p dy dp y，前者对应解，后者对应方程y dy p p dp =-)1(积分得y c pp11=-即y c y c p dx dy 111+==两边积分得21||ln c x y c y '+='+，因此原方程的解是21||ln c x y c y '+='+及y=c 。
高等数学 第六章
(1) 建立反映实际问题的微分方程； (2) 按实际问题写出初始条件； (3) 求微分方程的通解；
(4) 由初始条件确定所求的特解. 例3 函数y=C1ex+C2e－x(C1，C2为任意常数)且微分方程y″ －y=0的通解吗？说明理由. 解 首先先验证是微分方程的解，对y=C1ex+C2e－x求导得
初始条件为s(0)=0，v(0)=s′(0)=20.
方程两边同时积分，得速度为
再积分一次，得
ds v(t) dt 0.4t C1 s(t)=－0.2t2+C1t+C2
将初始条件v(0)=20，s(0)=0代入v(t)和s(t)，得C1=20，C2=0. 于是可得，制动后列车的速度方程和运动方程分别为 v(t)=－0.4t+20 s(t)=－0.2t2+20t
积分，得
y 2xdx x2 C
又曲线经过点(1，2)，将y|x=1=2代入上式，得C=1． 于是，所求曲线方程为 y=x2+1 例2 [自由落体运动] 设一质量为m的质点，在t=0时刻自
由下落(空气阻力忽略不计)，求其运动方程． 解 建立坐标系如图6-1，设运动方程为s=s(t)，由于质点
第六章 微分方程
6.1 微分方程的概念 6.2 可分离变量的微分方程 6.3 一阶线性微分方程 6.4 二阶常系数线性齐次微分方程
6.1 微分方程的概念
一、 两个实例 例1 [曲线方程问题] 已知曲线上任一点M(x，y)处切线 的斜率等于该点横坐标的2倍，且曲线经过点(1，2)，求此曲 线方程． 解 设曲线方程为y=f(x)，则曲线在点M(x，y)处的切线斜 率为dy/dx．根据题意有
[工学]高等数学第六章
![[工学]高等数学第六章](https://img.taocdn.com/s3/m/4fe037dd48d7c1c709a1453a.png)
2、7 ； 6
4、3a2 ；
5、5 ； 4
三、9 . 4
四、e . 2
3、2；
6、1 . 2
3、a2 ；
6、3 a 2 . 2
五、8 a 2 . 3
h
29
一、旋转体的体积
旋转体就是由一个平面图形饶这平面内 一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴．
圆柱
圆锥
h
圆台
31
一 般 地 ， 如 果 旋 转 体 是 由 连 续 曲 线 yf(x)、
素
dA
yf(x)
则A A，并取A f (x)dx，
于是A f (x)dx
b
o a xxdbxx
A li m f(x )dx a f(x)dx.
h
4
当 所 求 量 U 符 合 下 列 条 件 ：
（ 1 ） U 是 与 一 个 变 量 x 的 变 化 区 间a ,b 有 关
的 量 ；
（ 2） U对 于 区 间 a,b具 有 可 加 性 ， 就 是 说 ， 如 果 把 区 间 a,b分 成 许 多 部 分 区 间 ， 则 U相
x3 h
3
0
hr 3
2
.
h
34
2
2
2
例2 求星形线x3 y3 a3(a0)绕x轴旋转
构成旋转体的体积.
y
2
2
2
解 y3 a3 x3,
y2
2 a3
2
x3
3
a
x[a,a]
o
ax
旋 转 体 的 体 积
V
aaa32
2
x3
3
dx
32 a3 105
《高等数学(上册)》 第六章
(1) 给出描述 净资 产 W（ t） 的微分 方程； (2) 求 方 程 的 解 ， 假 设 初 始 净 资 产 为 W0； 讨 论 在 W0=500,600,700 三 种 情 况 下 ， W （ t） 变 化 的 特 点 .
2x
y x1 2
的解就是一个初值问题.
定义 7 微分方程的解的图形是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线．
6.1 微分方程的基本概念
例 3 验证函数
x C1 cos kx C2 sin kx
(6)
是微分方程
d2x dt 2
k
2
x
0
，
(k 0)
(7)
的通解.
6.1 微分方程的基本概念
证 求出所给函数(6)的一阶及二阶导数：
dx dt
C1k
sin
kt
C2k
cos
kt
d2x dt 2
k 2(C1
cos kt
C2
sin
kt)
(8)
把(6)及(8)代入方程(7)，得
k 2(C1 cos kt C2 sin kt) k 2(C1 cos kt C2 sin kt) ，而(7)为二阶微 分方程，所以函数(6)是方程(7)的通解.
6.2 可分离变量的微分方程
定义 1 如果一个一阶微分方程能写成 g(y)dyf(x)dx (或写成 y (x) (y))
的形式，即能把微分方程写成一端只含 y 的函数和 dy，另一端只含 x 的函数和 dx，那么原方程就称为可分离变量的微分方程
高等数学 第六章
(6-16)
式(6-16)就是通过常数变易法得到的式(6-12) 的通解. 我们不主 张读者在求解每一道阶线性微分方程的题目时都用该方法,而 是要求大家熟记并直接利用式(6-16)解题,前提是你首先需要把 所给的方程写成式(6-12)的形式或明确方程中哪些因子是p(x) 和q(x) . 公式中出现了三次不定积分的求解,结果都不需要带不 定常数,只需找一个原函数即可.
yn1 f (x)dx C1 F1 x C1
其中,假定F1(x) 为f(x) 的原函数. 现对yn-1 积分一次,则y(n-1) 可降一次阶,即
yn2 F1(x)dx C1x C2 F2 x C1x C2
6.1.4 高阶微分方程
其中,假定F2(x) 为F1(x)的原函数. 现对y(n-2) 积分一次,则n-2 可降一次阶,可得
解 方程两边同除以m 并整理得
dv k v g dt m 这是一阶线性微分方程,由式(6-16)得它的通解
v
e
k dt m
ge
k dt
m dt
C
e
k dt m
g
e
k m
dt
dt
C
kt
em
mg k
k gt
em
C
mg k
k gt
Ce m
例6.2.5 跳伞运动员降落过程的运动方程是
称
dy p(x) y 0 dx
(6-13)
为一阶齐次线性微分方程,简称为式(6-12)对应的齐次方程.
下面我们来求式(6-12)的通解. 为此,先求式(6-13)的通解. 分
离变量得 积分得
dy p(x)dx y
dy y
p( x)dx
即
大一高数课件第六章
证明题
1. 证明罗尔定理；2. 证明拉格朗日中值定理 。
答案及解析
答案：$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$
极限题答案及解析
计算题答案及解析
01
03 02
答案及解析
• 解析：根据极限的性质，当$x \to 0$时， $\sin x \approx x$，所以$\lim{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim{x \to 0} \frac{x}{x} = 1$。
参与讨论
积极参与课堂讨论，与同学分享学 习心得和解题经验。
04
02
第六章基本概念
极限的定义与性质
极限的定义
极限是描述函数在某一点的变化趋势的数学工具。对于函数$f(x)$，若在$x to a$的过程中，$f(x)$的值无限接近 于一个确定的常数$L$，则称$L$为函数$f(x)$在$x to a$时的极限。
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导数的性质
导数具有线性性质、可加性、可乘性、链式法则等性质。这些性质帮助我们更好地理解导数的概念， 并能够进行相关的计算和证明。
积分的定义与性质
积分的定义
积分是计算函数与坐标轴所夹图形的面积的数学工具。对于函数$f(x)$，若函数与坐标 轴所夹图形的面积为$A$，则称$A$为函数$f(x)$在区间[a,b]上的定积分。
积分的性质
积分具有线性性质、可加性、可乘性、积分中值定理等性质。这些性质帮助我们更好地 理解积分的概念，并能够进行相关的计算和证明。
03
第六章定理与公式
极限定理
极限定理
极限定理是微积分学中的基本定理之 一，它描述了函数在某点的极限行为 。根据极限定理，如果一个函数在某 点的极限存在，则该函数在该点附近 的行为可以用其极限值来描述。
高等数学第六章：极坐标系
引一条射线OX，叫做极轴。
再选定一个长度单位
和角度单位及它的正
方向（通常取逆时针
方向）。
O X
这样就建立了一个极坐标系。
二、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点M，
用 表示线段OM的长度，
用 表示从OX到OM 的
M
角度， 叫做点M的极径，
叫做点M的极角，有序
数对（，）就叫做M的
x
x=ρcosθ, y=ρsinθ
三、点的极坐标的表达式的研究
如图：OM的长度为4，
请说出点M的极坐标的其 4
他表达式。
O
思：这些极坐标之间有何异同？
M X
极径相同，不同的是极角 思考：这些极角有何关系？
这些极角的始边相同，终边也相同。也 就是说它们是终边相同的角。
本题点M的极坐标统一表达式：
4，2kπ+
π 4
x=ρcosθ, y=ρsinθ
互化公式的三个前提条件： 1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.
例1. 将点M的极坐标 (5, 2 )
3
化成直角坐标.
解: x 5cos 2 5
32
y 5sin 2 5 3
原因在于：极角有无数个。
一般地,若(ρ,θ)是一点的极坐标,则 (ρ,θ+2kπ)、都可以作为它的极坐标.
如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π或－π＜θ≤ π,
那么除极点外,平面内的点和极坐标就 可以一一对应了.
极坐标和直角坐标的互化 y M(1, 3)
在直角坐标系中, 以原点作为 极点,x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相同的 长度单位
高数课件第六章
二、函数极限的性质
1.有界性
定理 若在某个过程下 , f ( x ) 有极限 , 则存在 过程的一个时刻,在此时刻以后 f ( x ) ) 存在,则极限唯一.
3.函数极限的局部保号性
定理(保号性)
若 lim f ( x ) A, 且A 0(或A 0),
x x0
x 例6 验证 lim 不存在. x 0 x
x x lim lim 证 x 0 x x 0 x
y
1
lim ( 1) 1
x 0
o
1
x
x x lim lim lim 1 1 x 0 x 0 x x0 x
左右极限存在但不相等, lim f ( x ) 不存在.
第六节 函数的极限
一、函数极限的定义
1、自变量趋于无穷大时函数的极限 sin x 观察函数 当 x 时的变化趋势. x
问题: 函数 y f ( x ) 在 x 的过程中 , 对应 函数值 f ( x ) 无限趋近于确定值 A.
通过上面演示实验的观察: sin x 当 x 无限增大时, f ( x ) 无限接近于 0. x 问题: 如何用数学语言刻划函数“无限接近”.
要使 f ( x ) A ,
只要取 ,
x 1 lim 2. x 1 x 1
2
x2 1 当0 x x0 时, 就有 2 , x 1
3、单侧极限
1 x, 设 f ( x) 2 x 1, 证明 lim f ( x ) 1.
lim f ( x ) A 或
x
f ( x ) A(当x )
" X " 定义
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1 2 1 3 n 1 x ln(1 + x ) = x x + x L + ( 1) +L 2 3 n x ∈ (1,1]
(1 + x)α = 1 +αx +
n
α(α 1)
2!
x +L+
2
α(α 1)L(α n + 1)
n!
xn +L
x ∈(1,1)
二、典型例题
例1
判断级数敛散性: (1)
∑
n=1
∞
n
1 n+ n
1n (n + ) n
1 n
;
1 n
解
n nn n , un = = 1 n 1 n (1 + 2 ) (n + ) n n
1 1 n 1 n2 n Q lim(1 + 2 ) = lim[(1 + 2 ) ] = e 0 = 1; n→ ∞ n→ ∞ n n 1 1 1 n x lim n = lim x = exp{lim ln x } n→ ∞ x →∞ x →∞ x
6、幂级数
(1) 定义
的级数称为幂级数 幂级数. a n ( x x 0 ) n 的级数称为幂级数 ∑
n= 0 ∞
形如
当x0 = 0时,
an xn ∑
n=0
∞
为幂级数系数. 其中a n 为幂级数系数
定义: 正数R称为幂级数的收敛半径. 称为幂级数的收敛半径 定义: 正数 称为幂级数的收敛半径 幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间 幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间. 收敛区间
n→∞
收 , 其 数 敛 且 和s ≤ u1 ,其 项n 的 对 rn ≤ un+1. 余 r 绝 值
4、任意项级数及其审敛法
定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数. 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数
∞ ∞
理 若∑ un 收 , 则∑un 收 . 定 敛 敛
n=1 n=1
为绝对收敛; 定义: 收敛, 定义:若 ∑ un 收敛, 则称 ∑ un 为 为绝对收敛;
(3)幂级数的运算 (3)幂级数的运算 a.代数运算性质: a.代数运算性质: 代数运算性质
设∑an xn和 bn xn的收敛半径各为R1和R2 , ∑
R = min{R1 , R2 }
加减法
∞ ∞ n
n=0 n=0
∞
∞
∑ an x ± ∑ bn x = ∑ c n= 0 n= 0
n
n= 0
∞
n
x .
3、交错级数及其审敛法
定义
∞
负项相间的级数称为交错级数. 正 、负项相间的级数称为交错级数.
∞
(1)n1un或∑(1)nun (其中un > 0) ∑
n=1 n=1
莱 尼 定 布 茨 理 如 交 级 满 条 : 果 错 数 足 件
) ;(ⅱ (ⅰ (ⅰ)un ≥ un+1 (n = 1,2,3,L ;(ⅱ)limun = 0 ,则级
1 = exp{lim } = e 0 = 1; x →∞ x
∴ lim un = 1 ≠ 0, n→ ∞
根据级数收敛的必要条件，原级数发散． 根据级数收敛的必要条件，原级数发散．
nπ ∞ ncos 3 ; (2) ∑ 2n n=1
2
解
nπ n cos 3 < n, un = 2n 2n
2
n 令 vn = n , 2
n =1 n= 0
∞
∞
为条件收敛. 发散, 收敛, 若 ∑ un 发散,而 ∑ un 收敛, 则称 ∑ un 为条件收敛.
n =1 n =1 n =1
∞
∞
∞
5、函数项级数
(1) 定义
∞
设 u1 ( x ), u2 ( x ),L , un ( x ),L 是 定 义在 I R 上 的函数,则 的函数,
(2) 常见函数展开式
1 2 1 n e = 1 + x + x +L+ x +L x ∈(∞,+∞) 2! n!
x
1 3 1 5 x2n+1 sin x = x x + x L+ (1)n +L 3! 5! (2n + 1)!
x ∈(∞,+∞)
1 2 1 4 x 2n cos x = 1 x + x L + ( 1)n +L 2! 4! ( 2n)!
收敛级数的基本性质
性质1: 性质1
级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变. 级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变. 性质2 性质2: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减. 收敛级数可以逐项相加与逐项相减.
性质3: 在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性. 性质3 在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性 性质4 性质4: 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和. 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和. 级数收敛的必要条件: 级数收敛的必要条件 limun = 0.
时级数收敛; 时级数发散; 时失效. 则ρ < 1时级数收敛 ρ > 1时级数发散 ρ = 1 时失效
(5) 根值审敛法 (柯西判别法) 柯西判别法)
设
∑u
n =1
∞
是正项级数, n 是正项级数,
如果lim n un = ρ ( ρ为数或 + ∞ ) ,
n→ ∞
时级数收敛; 时级数发散; 时失效. 则ρ < 1时级数收敛; ρ > 1时级数发散;ρ = 1时失效.
( 1)n ∑ n ln n 是交错级数, n=1
∞
由莱布尼茨定理： 由莱布尼茨定理：
ln n ln x 1 Q lim = lim = lim = 0, n→ +∞ n x → +∞ x x → +∞ x 1 1 lim lim ∴ n→+∞ = n→+∞ n = 0, ln n n ln n 1 n Q f ( x ) = x ln x ( x > 0),
幂级数∑ an x n 的和函数 s( x ) 在收敛区间
∞ n= 0
( R, R ) 内可积 且对x ∈ ( R, R ) 可逐项积分. 内可积,且对
幂级数 ∑ an x n 的和函数 s( x ) 在收敛区间
∞ n= 0
( R, R ) 内可导 并可逐项求导任意次 内可导, 并可逐项求导任意次.
∞ n=1
n
n lnn 是条件收敛还是绝对收 ？ 敛
敛 如果收敛， 是否收 ？如果收敛，
∞ 1 1 1 > , 而 ∑ 发散, 解 Q n ln n n n=1 n
∴
∑
n =1
∞
∞ ( 1 ) 1 =∑ 发散 , n ln n n =1 n ln n n
即原级数非绝对收敛． 即原级数非绝对收敛．
n→∞
常数项级数审敛法 一般项级数 正项级数 任意项级数
1. 若 Sn → S ,则级数收敛; 则级数收敛 2. 当 n → ∞ , un → 0, 则级数发散; 3.按基本性质 按基本性质; 按基本性质 4.绝对收敛 绝对收敛 4.充要条件 充要条件 5.比较法 比较法 6.比值法 比值法 7.根值法 根值法 4.绝对收敛 绝对收敛 5.交错级数 交错级数 (莱布尼茨定理 莱布尼茨定理) 莱布尼茨定理
n→∞
∞
如果limnun = l > 0 (或limnun = ∞), 或
n→∞
则级数
发散; ∑un 发散 n=1
n→∞
∞
果 如 有p > 1, 使 limnpun存 , 得 在 级 则 数
∑u 收敛.
n=1 n
∞
比值审敛法(达朗贝尔D Alembert 判别法) (4) 比值审敛法(达朗贝尔 D’Alembert 判别法) ∞ un +1 设 ∑ un 是正项级数,如果 lim 是正项级数 如果 = ρ (ρ数或 + ∞ ) n→ ∞ u n =1 n
n
x ∈ ( R, R )
(其中 cn = an ± bn ) 其中
b.和函数的分析运算性质: b.和函数的分析运算性质: 和函数的分析运算性质
幂级数 ∑ an x n 的和函数 s( x ) 在收敛区间
n= 0 ∞
( R, R ) 内连续 在端点收敛 则在端点单侧连续 内连续,在端点收敛 则在端点单侧连续. 在端点收敛,则在端点单侧连续
所以此交错级数收敛， 故原级数是条件收敛． 所以此交错级数收敛， 故原级数是条件收敛．
例３ 求级数∑(n + 1)( x 1)n 收 敛域及和函数. 解
∞
Q
( n + 1)( x 1)n 的收敛半径为 R = 1, ∑
n= 0
∞
n=0
收敛域为 1 < x 1 < 1,
即 0 < x < 2,
2、正项级数及其审敛法
定义
∑u ,
n=1 n
∞
un ≥ 0
审敛法 正项级数收敛 部分和所成的数列 有界 sn . (1) 比较审敛法
∞ n=1
若vn ≤ un (un ≤ vn ), 则∑un 收 (发 ) 敛 散
∑v
n=1
∞
敛 散 n 收 (发 ).
(2)
比较审敛法的极限形式
∞ ∞
un 设∑un 与 vn 都 正 级 ,如 lim ∑ 是 项 数如果n→∞ v = l , n=1 n=1 n
7、幂级数展开式
(1) 定义
处任意阶可导,则幂级数 如果 f ( x ) 在点 x0 处任意阶可导 则幂级数