高数 第六章

n→∞
收 , 其 数 敛 且 和s ≤ u1 ,其 项n 的 对 rn ≤ un+1. 余 r 绝 值
4、任意项级数及其审敛法
定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数. 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数
∞ ∞
理 若∑ un 收 , 则∑un 收 . 定 敛 敛
n=1 n=1
为绝对收敛; 定义: 收敛, 定义:若 ∑ un 收敛, 则称 ∑ un 为 为绝对收敛;
n→∞
∞
如果limnun = l > 0 (或limnun = ∞), 或
n→∞
则级数
发散; ∑un 发散 n=1
n→∞
∞
果 如 有p > 1, 使 limnpun存 , 得 在 级 则 数
∑u 收敛.
n=1 n
∞
比值审敛法(达朗贝尔D Alembert 判别法) (4) 比值审敛法(达朗贝尔 D’Alembert 判别法) ∞ un +1 设 ∑ un 是正项级数,如果 lim 是正项级数 如果 = ρ (ρ数或 + ∞ ) n→ ∞ u n =1 n
幂级数∑ an x n 的和函数 s( x ) 在收敛区间
∞ n= 0
( R, R ) 内可积 且对x ∈ ( R, R ) 可逐项积分. 内可积,且对
幂级数 ∑ an x n 的和函数 s( x ) 在收敛区间
∞ n= 0
( R, R ) 内可导 并可逐项求导任意次 内可导, 并可逐项求导任意次.
∞
x 1 x 1 = , = 1 ( x 1) 2 x 求导， 两边再对 x 求导，得 x 1 1 s( x ) = ( )′ = . 2 2 x (2 x )
收敛级数的基本性质
性质1: 性质1
级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变. 级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变. 性质2 性质2: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减. 收敛级数可以逐项相加与逐项相减.
性质3: 在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性. 性质3 在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性 性质4 性质4: 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和. 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和. 级数收敛的必要条件: 级数收敛的必要条件 limun = 0.
1 = exp{lim } = e 0 = 1; x →∞ x
∴ lim un = 1 ≠ 0, n→ ∞
根据级数收敛的必要条件，原级数发散． 根据级数收敛的必要条件，原级数发散．
nπ ∞ ncos 3 ; (2) ∑ 2n n=1
2
解
nπ n cos 3 < n, un = 2n 2n
2
n 令 vn = n , 2
2、正项级数及其审敛法
定义
∑u ,
n=1 n
∞
un ≥ 0
审敛法 正项级数收敛 部分和所成的数列 有界 sn . (1) 比较审敛法
∞ n=1
若vn ≤ un (un ≤ vn ), 则∑un 收 (发 ) 敛 散
∑v
n=1
∞
敛 散 n 收 (发 ).
(2)
比较审敛法的极限形式
∞ ∞
un 设∑un 与 vn 都 正 级 ,如 lim ∑ 是 项 数如果n→∞ v = l , n=1 n=1 n
(3)幂级数的运算 (3)幂级数的运算 a.代数运算性质: a.代数运算性质: 代数运算性质
设∑an xn和 bn xn的收敛半径各为R1和R2 , ∑
R = min{R1 , R2 }
加减法
∞ ∞ n
n=0 n=0
∞
∞
∑ an x ± ∑ bn x = ∑ c n= 0 n= 0
n
n= 0
∞
n
x .
∞ n=1
n
n lnn 是条件收敛还是绝对收 ？ 敛
敛 如果收敛， 是否收 ？如果收敛，
∞ 1 1 1 > , 而 ∑ 发散, 解 Q n ln n n n=1 n
∴
∑
n =1
∞
∞ ( 1 ) 1 =∑ 发散 , n ln n n =1 n ln n n
即原级数非绝对收敛． 即原级数非绝对收敛．
(2) 常见函数展开式
1 2 1 n e = 1 + x + x +L+ x +L x ∈(∞,+∞) 2! n!
x源自文库
1 3 1 5 x2n+1 sin x = x x + x L+ (1)n +L 3! 5! (2n + 1)!
x ∈(∞,+∞)
1 2 1 4 x 2n cos x = 1 x + x L + ( 1)n +L 2! 4! ( 2n)!
1 f ′( x ) = 1 > 0 ( x > 1), x
1 单减 , ∴ 在 (1,+∞ ) 上单增, 即 x ln x 1 故 当 n > 1 时单减 , n ln n 1 1 ∴ un = > = un+1 ( n > 1), n ln n ( n + 1) ln( n + 1)
6、幂级数
(1) 定义
的级数称为幂级数 幂级数. a n ( x x 0 ) n 的级数称为幂级数 ∑
n= 0 ∞
形如
当x0 = 0时,
an xn ∑
n=0
∞
为幂级数系数. 其中a n 为幂级数系数
定义: 正数R称为幂级数的收敛半径. 称为幂级数的收敛半径 定义: 正数 称为幂级数的收敛半径 幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间 幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间. 收敛区间
s ( x ), 则有
设此级数的和函数为
∞
s( x ) = ∑ ( n + 1)( x 1)n .
n= 0
两边逐项积分
∫
x
1
s( x )dx = ∑ ∫ ( n + 1)( x 1) dx
x n n= 0 ∞ 1
∞
= ∑ ( x 1)n+1 1x = ∑ ( x 1)n+1
n= 0 n= 0
∑ =u ( x ) + u ( x ) + L + u
n =1 1 2
n
( x) + L
上的( 函数项) 无穷级数. 称为定义在区间 I 上的( 函数项) 无穷级数.
(2)
收敛点与收敛域
如果 x 0 ∈ I ,数项级数 数项级数 收敛, ∑1 un ( x0 ) 收敛 n=
∞
则称 x0 为级数
∞
3、交错级数及其审敛法
定义
∞
负项相间的级数称为交错级数. 正 、负项相间的级数称为交错级数.
∞
(1)n1un或∑(1)nun (其中un > 0) ∑
n=1 n=1
莱 尼 定 布 茨 理 如 交 级 满 条 : 果 错 数 足 件
) ;(ⅱ (ⅰ (ⅰ)un ≥ un+1 (n = 1,2,3,L ;(ⅱ)limun = 0 ,则级
时级数收敛; 时级数发散; 时失效. 则ρ < 1时级数收敛 ρ > 1时级数发散 ρ = 1 时失效
(5) 根值审敛法 (柯西判别法) 柯西判别法)
设
∑u
n =1
∞
是正项级数, n 是正项级数,
如果lim n un = ρ ( ρ为数或 + ∞ ) ,
n→ ∞
时级数收敛; 时级数发散; 时失效. 则ρ < 1时级数收敛; ρ > 1时级数发散;ρ = 1时失效.
n→∞
常数项级数审敛法 一般项级数 正项级数 任意项级数
1. 若 Sn → S ,则级数收敛; 则级数收敛 2. 当 n → ∞ , un → 0, 则级数发散; 3.按基本性质 按基本性质; 按基本性质 4.绝对收敛 绝对收敛 4.充要条件 充要条件 5.比较法 比较法 6.比值法 比值法 7.根值法 根值法 4.绝对收敛 绝对收敛 5.交错级数 交错级数 (莱布尼茨定理 莱布尼茨定理) 莱布尼茨定理
n
x ∈ ( R, R )
(其中 cn = an ± bn ) 其中
b.和函数的分析运算性质: b.和函数的分析运算性质: 和函数的分析运算性质
幂级数 ∑ an x n 的和函数 s( x ) 在收敛区间
n= 0 ∞
( R, R ) 内连续 在端点收敛 则在端点单侧连续 内连续,在端点收敛 则在端点单侧连续. 在端点收敛,则在端点单侧连续
所以此交错级数收敛， 故原级数是条件收敛． 所以此交错级数收敛， 故原级数是条件收敛．
例３ 求级数∑(n + 1)( x 1)n 收 敛域及和函数. 解
∞
Q
( n + 1)( x 1)n 的收敛半径为 R = 1, ∑
n= 0
∞
n=0
收敛域为 1 < x 1 < 1,
即 0 < x < 2,
则 当0 < l < +∞时,二 数 相 的 散 ; 二 级 有 同 敛 性 (1)
l ， (2) 当 = 0时 若
∑v
n=1 ∞
∞
n
收 ,则 敛则
∑u 收敛;
n=1 n
∞
(3) 当l = +∞时, 若
∑v
n=1
n
散则 发 ,则
∑u 发散;
n=1 n
∞
(3) 极限审敛法
设
∑u 为正项级数,
n=1 n
v n +1 n + 1 2n n+1 1 Q n lim lim = n→+∞ n+1 = lim = < 1, → +∞ v n→ +∞ 2 n 2 n 2 n n 根据比较判别法， 原级数收敛． ∴ ∑ n 收敛 , 根据比较判别法， 原级数收敛． n=1 2
∞
( 1) 例２ 判断级数∑
理2 定 2 如 幂 数 理 果 级
an xn 的所 系数an ≠ 0, 有 ∑
n=0
∞
a n +1 设 lim = ρ (或 lim n a n = ρ ) 或 n→ ∞ n→ ∞ a n 1 (1) 则当ρ ≠ 0 时, R = ; (2) 当 ρ = 0 时, R = +∞ ; ρ
(3) 当ρ = +∞ 时, R = 0 .
( 1)n ∑ n ln n 是交错级数, n=1
∞
由莱布尼茨定理： 由莱布尼茨定理：
ln n ln x 1 Q lim = lim = lim = 0, n→ +∞ n x → +∞ x x → +∞ x 1 1 lim lim ∴ n→+∞ = n→+∞ n = 0, ln n n ln n 1 n Q f ( x ) = x ln x ( x > 0),
x ∈ ( ∞ ,+∞ )
1 2 1 3 n 1 x ln(1 + x ) = x x + x L + ( 1) +L 2 3 n x ∈ (1,1]
(1 + x)α = 1 +αx +
n
α(α 1)
2!
x +L+
2
α(α 1)L(α n + 1)
n!
xn +L
x ∈(1,1)
二、典型例题
习题课） 第6章 无穷级数 习题课） 章 无穷级数(习题课
一、内容提要 二、典型例题
1、常数项级数
定义
∑u
n=1
∞
n
= u1 + u2 + u3 +L+ un +L
级数的部分和 sn = u1 + u2 +L+ un = 级数的收敛与发散
∑u
i =1
n
i
lim 在 存 ) 数 级 收 ( 散 常 项 数 敛 发 ) n→∞ sn存 (不 在 .
7、幂级数展开式
(1) 定义
处任意阶可导,则幂级数 如果 f ( x ) 在点 x0 处任意阶可导 则幂级数
∑
n= 0
∞
f ( n ) ( x0 ) n 泰勒级数. ( x x0 ) 称为 f ( x ) 在点 x0 的泰勒级数 n!
∑
n= 0
∞
f ( n ) ( 0) n 麦克劳林级数. x 称为 f ( x ) 在点 x0 的麦克劳林级数 n!
例1
判断级数敛散性: (1)
∑
n=1
∞
n
1 n+ n
1n (n + ) n
1 n
;
1 n
解
n nn n , un = = 1 n 1 n (1 + 2 ) (n + ) n n
1 1 n 1 n2 n Q lim(1 + 2 ) = lim[(1 + 2 ) ] = e 0 = 1; n→ ∞ n→ ∞ n n 1 1 1 n x lim n = lim x = exp{lim ln x } n→ ∞ x →∞ x →∞ x
n =1 n= 0
∞
∞
为条件收敛. 发散, 收敛, 若 ∑ un 发散,而 ∑ un 收敛, 则称 ∑ un 为条件收敛.
n =1 n =1 n =1
∞
∞
∞
5、函数项级数
(1) 定义
∞
设 u1 ( x ), u2 ( x ),L , un ( x ),L 是 定 义在 I R 上 的函数,则 的函数,
否则称为发散点 发散点. 否则称为发散点. 收敛点, ∑ u ( x )的收敛点,
n =1 n
∞
的所有收敛点的全体称为收敛域 收敛域, 函数项级数∑ un ( x ) 的所有收敛点的全体称为收敛域,
n=1
所有发散点的全体称为发散域. 所有发散点的全体称为发散域. 发散域
(3)
和函数
在收敛域上, 在收敛域上,函数项级数的和是 x 的函数s( x ) , 为函数项级数的和函数 和函数. 称 s( x ) 为函数项级数的和函数.