抽象函数经典习题

经典习题1

1. 若函数

(21)f x +的定义域为31,2⎛

⎫- ⎪⎝

⎭,则函数2(log )f x 的定义域为

( ) A.

1

,22⎛⎫

⎪⎝⎭

B.

1,22⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

C.

12⎛ ⎝ D.12⎡⎢

⎣ 2. 若*(1)()1(f n f n n N +=+∈),且f(1)=2,则f(100)的值是( )

A ．102

B ．99

C ．101

D ．100 3. 定义R 上的函数

()f x 满足：()()(),(9)8,f xy f x f y f f =

+==

且则（ ） A

B ．2

C ．4

D ．6

4. 定义在区间（-1，1）上的减函数()f x 满足：()()f x f x -=-。若

2(1)(1)0

f a f a -+-<恒成立，则实数

a

的取值范围是

___________________. 5. 已知函数()f x 是定义在(0,+∞)上的增函数,对正实数,x y ,都

有:

()()()

f xy f x f y =+成立.则不等式

2(log )0

f x <的解集是

_____________________. 6. 已知函数

()

f x 是定义在（-∞，3]上的减函数，已知

22(sin )(1cos )f a x f a x -≤++对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围。

7. 已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的

,,a b R ∈都满足: ()()()f a b af b bf a •=+.

(1)求(0),(1)f f 的值;

(2)判断()f x 的奇偶性,并证明你的结论;

(3)若

(2)2f =,*(2)

()n n f u n N n

-=∈,求数列{n u }的前n 项和n s . 8. 定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1） 求证：f(0)=1；

（2） 求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R 上的增函数；

（4）若f(x)·f(2x-x 2

)>1，求x 的取值范围。 9. 已知函数

()

f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有

1()()()2f m n f m f n +=++

,且1()02f =,当1

2

x >时, ()f x >0. (1)求(1)f ;

(2)求和(1)(2)(3)...()f f f f n ++++*()n N ∈; (3)判断函数()f x 的单调性,并证明. 10.

函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有

()f x >0;②对任意,x y R ∈,有()[()]y f xy f x =;③1

()13

f >.

(1)求(0)f 的值; (2)求证:

()f x 在

R 上是单调减函数;

(3)若0a b c >>>且2b ac =,求证:()()2()f a f c f b +>. 11. 已知函数

()

f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有

()()()f m n f m f n +=•,且当0x >时,0()1f x <<.

(1)证明:(0)1,0f x =<且时,f(x)>1; (2)证明:

()f x 在

R 上单调递减;

(3)设A=22{(,)()()(1)}x y f x f y f •>,B={(,)(2)1,x y f ax y a R -+=∈},若

A B =Φ,试确定a 的取值范围.

12. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数,且它的图象关于直线

1x =对称.

(1)求(0)f 的值;

(2)证明: 函数()f x 是周期函数;

(3)若()(01),f x x x =<≤求当x R ∈时,函数()f x 的解析式,并画出满足 条件的函数()f x 至少一个周期的图象. 13. 函数

()

f x 对于x>0有意义，且满足条件

(2)1,()()(),()f f xy f x f y f x ==+是减函数。

（1）证明：(1)0f =；

（2）若()(3)2f x f x +-≥成立，求x 的取值范围。 14. 设函数()f x 在(,)-∞+∞上满足(2)(2)f x f x -=

+，(7)(7)f x f x -=+，且在闭区间［0，7］上，只有(1)(3)0f f ==．

（1）试判断函数()y f x =

的奇偶性；

（2）试求方程()f x =0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数， 并证明你的结论

1. B

2. A

3. A

4.

0a <<解:由2(1)(1)0f a f a -+-<得,

2(1)(1)f a f a -<-,得22111

11111a a a a -<-<⎧⎪

-<-<⎨⎪->-⎩

⇒02021a a a a <<⎧⎪<<≠⎨⎪-<<⎩

⇒0a <<5. {}12x x <<；解：令

1

x y ==，则

(1)2(1)f f =(1)0

f ⇒=，则

2(log )(1)f x f <⇒222log 1log log 22x x x <⇒<⇒<………..①

∵函数()f x 是定义在(0,+∞)上的增函数 ∴

2og 01l x x >⇒>,……………………………………………………②

由①②得，不等式的解集为{}12x x <<。 6.

a ≤≤

；解：22(sin )(1cos )f a x f a x -≤

++等价于

2

2

22222222sin 33sin 311cos 32cos 205sin 1cos 1cos sin 14

a x a x a a x a x a a x a x a a x x a a ⎧

⎧⎧-≤-≤⎪-≤-⎪⎪⎪++≤⇒-≤-⇒-≤⎨⎨⎨⎪⎪⎪-≥++--≥+⎩⎩⎪--≥

⎩⇒

122a a a a a ⎧

⎪≤≤⎪⎪≤⇒≤≤⎨

⎪

⎪≤≥⎪⎩

7. （1）解：令0a b ==，则(0)0f = 令1a b ==，则(1)2(1)(1)0f f f =⇒=

（2）证明：令1a b ==-，则(1)2(1)f f =-，∵(1)0f =，∴(1)0f -=