考研数学专题训练：中值定理
(完整版)有关中值定理的证明题
中值定理证明题集锦1、已知函数()f x 具有二阶导数，且0()lim0x f x x→=，(1)0f =，试证：在区间(0,1)内至少存在一点ξ，使得()0.f ''ξ= 证：由0()lim0x f x x→= ，可得0lim ()0x f x →=，由连续性得(0)0f =，由此又得00()(0)()(0)lim lim 00x x f x f f x f x x→→-'===-，由(0)(1)0f f ==及题设条件知()f x 在[0,1]上满足罗尔中值定理条件，因此至少存在一点 (0,1)c ∈，使得()0f c '=，又因为(0)()0f f c ''==， 并由题设条件知()f x '在[0,]c 上满足拉格朗日中值定理的条件，由拉格朗日中值定理知，在区间(0,1)内至少存在一点ξ，使得()0.f ''ξ=2、设()f x 在[0,]a 上连续，在(0,)a 内可导，且()0f a =，证明：存在一点(0,)a ξ∈，使得()()0.f f ξξξ'+=证：分析：要证结论即为：[()]0.x xf x ξ='=令()()F x xf x =，则()F x 在[0,]a 上连续，在(0,)a 内可导，且(0)()0F F a ==，因此()()F x xf x =在[0,]a 上满足罗尔中值定理的条件，故存在一点(0,)a ξ∈，使得()0F ξ'=，即()()0.f f ξξξ'+= 注1：此题可改为：设()f x 在[0,]a 上连续，在(0,)a 内可导，且()0f a =，证明：存在一点(0,)a ξ∈，使得()()0.nf f ξξξ'+=分析：要证结论()()0nf f ξξξ'+=等价于1()()0n n n f f ξξξξ-'+=（给()()0nf f ξξξ'+=两端同乘以1n ξ-），而1()()0n n n f f ξξξξ-'+=即为[()]0.nx x f x ξ='= 故令()()nF x x f x =，则()F x 在[0,]a 上满足罗尔中值定理的条件，由此可证结论. 注2：此题与下面例题情况亦类似：设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)0f =，(0,1)x ∀∈，有()0f x ≠，证：n N +∀∈，(0,1)ξ∃∈，使得()(1)()(1)nf f f f ξξξξ''-=-成立.分析：要证结论可变形为()(1)()(1)0nf f f f ξξξξ''---=，它等价于1()()(1)()(1)0n n nf f f f f ξξξξξ-''---=(给()(1)()(1)0nf f f f ξξξξ''---=两端同乘以1()n f ξ-)，而1()()(1)()(1)0n n nf f f f f ξξξξξ-''---=即为[()(1)]0n x f x f x ξ='-=，用罗尔中值定理.以上三题是同类型题.3、已知函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)(1)0f f ==，1()12f =，证明： （1）存在一点1(,1)2ξ∈，使().f ξξ= （2）存在一点(0,)ηξ∈，使() 1.f η'=（3）存在一点0(0,)x ξ∈，使000()1(()).f x f x x λ'-=- 证：（1）分析：要证结论即为：()0.f ξξ-=令()()F x f x x =-，则只需证明()F x 在1(,1)2内有零点即可。
专升本拉格朗日中值定理例题
专升本拉格朗日中值定理例题根据你给出的题目，我将按照例题的形式来解答。
拉格朗日中值定理是微积分中的一个重要定理，具有广泛的应用。
它是拉格朗日的名字命名的，拉格朗日是18世纪的法国数学家，他在这个定理的证明与应用方面做出了卓越的贡献。
本文将通过一个例题来说明拉格朗日中值定理的基本原理和应用方法。
例题：已知函数f(x)=x^2在闭区间[1,5]上连续且可导，求函数f(x)在该区间上至少有多少个零点。
解析：首先，我们要明确拉格朗日中值定理的表述：对于一个连续函数f(x)，如果在闭区间[a,b]上可导，则在开区间(a,b)内至少存在一个数c，使得函数的导数f'(c)等于函数在这个区间的平均斜率。
根据题目中给出的函数f(x)=x^2，可以求出该函数的导函数f'(x)=2x。
由于函数f(x)在闭区间[1,5]上是连续可导的，我们可以使用拉格朗日中值定理来解决此题。
根据拉格朗日中值定理的原理，我们要找到一个数c，使得函数的导数f'(c)等于函数在闭区间[1,5]上的平均斜率。
首先计算函数f(x)在闭区间[1,5]上的平均斜率：平均斜率 = (f(5) - f(1)) / (5 - 1)= (25 - 1) / 4= 6接下来，我们要找到一个数c，使得函数的导数f'(c)等于平均斜率6。
由于函数f(x)的导函数f'(x)=2x，我们可以设2c=6，即c=3。
因此，函数f(x)在闭区间[1,5]上至少有一个零点。
综上所述，函数f(x)=x^2在闭区间[1,5]上至少有一个零点。
这个例题通过拉格朗日中值定理来计算函数f(x)在闭区间[1,5]上的零点个数，充分展示了该定理在实际问题中的应用价值。
拉格朗日中值定理不仅仅用于求函数的零点，它还可以用于证明函数的性质、研究函数的变化趋势等方面，是微积分中的基础定理之一。
当然，上述的例题只是拉格朗日中值定理的一个简单应用，实际应用中可能会遇到更加复杂的情况。
考研数学中值定理 证明题
考研数学中值定理证明题考研数学中经常出现定理的证明题，其中中值定理是一个常见的题型。
中值定理是高等数学中一个非常重要的定理，它有着广泛的应用，在计算机科学、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。
中值定理有两种形式：罗尔中值定理和拉格朗日中值定理。
其中罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例，在下文中以罗尔中值定理为例来介绍中值定理的证明方法。
罗尔中值定理是一个非常简单的定理，它的内容是：如果一个函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$上可导，并且$f(a)=f(b)$，那么存在一个$\xi \in (a,b)$, 使得$f'(\xi)=0$。
那么该如何证明罗尔中值定理呢？下面就来介绍一下证明的过程。
证明：首先，根据$f(a)=f(b)$, 可得函数$f(x)$在$[a,b]$上至少存在一个极值点。
如果该极值点在$(a,b)$内，则此极值点即为所求的$\xi$，满足$f'(\xi)=0$；如果该极值点在$\{a,b\}$上，则此时存在一个开区间$(c,d) \subseteq (a,b)$，使得$f(x)$在$(c,d)$上可导，从而可以使用拉格朗日中值定理。
接下来，我们通过反证法来证明假设“不存在这样的$\xi$”是不成立的。
我们假设不存在一个$\xi \in (a,b)$，使得$f'(\xi)=0$。
因为$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$[a,b]$上有最大值和最小值，由于假设不存在$\xi$，使得$f'(\xi)=0$，因此最大值和最小值都不在$(a,b)$内。
那么最大值和最小值只能发生在$a$和$b$处，即$f(a)=f(b)$是$f(x)$的最大值或最小值。
假设$f(x)$在$[a,b]$上为最大值，则有$f(x) \leq f(a) = f(b),\forall x \in [a,b]$。
又因为$f(x)$在$(a,b)$上可导，即$\forall x \in (a,b)$，有$f'(x)$存在，所以$f(x)$在$(a,b)$上单调递减，即$\forall x_1,x_2 \in (a,b)$，如果$x_1 < x_2$，则$f(x_1) >f(x_2)$。
中值定理证明练习题
中值定理证明练习题中值定理是微积分中的一个重要定理，它给出了函数在某个区间内存在一个点，该点处的导数等于函数在该区间两个端点处导数的平均值。
在本文中，我将给出中值定理的证明练习题，帮助读者更好地理解和掌握这个定理的应用。
题目一证明：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，在区间(a, b)内可导，且f(a) ≠ f(b)，则存在一个点c ∈ (a, b)，使得f'(c) = [f(b) - f(a)] / (b - a)。
解答：根据中值定理的条件，我们可以先定义一个新的函数g(x)，使得g(x) = f(x) - [(f(b) - f(a)) / (b - a)] * (x - a)。
这里，我们先把中值定理的结论作为一个已知条件，然后通过构造g(x)来证明中值定理。
因为根据题目中的条件，f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，所以函数g(x)在区间[a, b]上连续，在(a, b)内可导。
首先，计算g(a)和g(b)：g(a) = f(a) - [(f(b) - f(a)) / (b - a)] * (a - a) = f(a)g(b) = f(b) - [(f(b) - f(a)) / (b - a)] * (b - a) = f(b) - (f(b) - f(a)) = f(a)由于f(a) ≠ f(b)，所以g(a) ≠ g(b)。
接下来，我们利用罗尔定理（Rolle's theorem）来证明函数g(x)在区间[a, b]上存在一个点x0，使得g'(x0) = 0。
根据罗尔定理，在区间[a, b]上，如果函数g(x)在(a, b)内可导，且满足g(a) = g(b)，则必定存在一个点x0 ∈ (a, b)，使得g'(x0) = 0。
因为g(a) ≠ g(b)，所以我们可以得出结论：函数g(x)在区间[a, b]上必有一个点x0，使得g'(x0) = 0。
数学《中值定理》练习题
第六章 中值定理与泰勒公式1. 证明: 10x x ++=3只有一个实根且在(1,0)-中.2.证明：若函数f 在区间I 上可导，且()0f x '≡，x I ∈, 则f 在I 上恒为常数.3. 求分段函数()f x 的导数. [说明定理的作用]sin ,()ln(1),x x x f x x x ≤⎧+=⎨>+⎩２0,0,4. 设sin , () 0,x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩２１0,0,求(00)f '+，(0)f '.5． 考察2()f x x =，3()g x x =，[1,1]x ∈-相应的中值形式.6. 1) 设f 在闭区间[,]a b (0)a >上连续,(,)a b 内可导, 则存在(,)a b ξ∈, 使得()()ln()()bf b f a f aξξ'-=⋅⋅.2) 对函数()f x x =２确定()()()f x h f x h f x h θ'+-=⋅+中的θ, 1()2θ=.7. 证明: 对任何x R ∈，arctan arccot x x π+=2.8. 设函数f 对任何,x h R ∈，2()()f x h f x Mh +-≤，0M >为常数，则f 为常值函数.9. 证明0h >时，2arctan 1hh h h <<+10. 1）证明: 方程sin cos 0x x x +⋅=在(0,)π内有实根.2）证明: 方程32432+ax bx cx a b c ++=+在(0,1)内有实根.11.证明: 1) 1x x >+e ，()0x ≠;2) ()()22ln 1221x x x x x x -<+<-+. 0x >.12. 证明: 0x >时，sin x x x >-33!.13. 1) x >１2时，2ln(1)arctan 1x x +>-.2) tan (0)sin 2x x x x x π<<<.14. 用中值定理证明：sin sin x y x y -≤-，,x y R ∀∈.15. 证明: 若函数g f ,在区间],[b a 上可导,且)()(),()(a g a f x g x f ='>', 则在],(b a 内有)()(x g x f >.16. 设f 在[,]a b 上二阶可导，且()()0f a f b ==，且存在点(,)c a b ∈使得()0f c >，证明: 至少存在一点(,)a b ξ∈使得"()0f ξ<.17. 试问函数32)(,)(x x g x x f ==在区间]1,1[-上能否应用Cauchy 中值定理得到相应的结论, 为什么?18. 设函数f 在点a 的某个领域具有二阶导数, 证明: 对充分小的h ，存在θ，10<<θ，使得2)()()(2)()(2h a f h a f ha f h a f h a f θθ-''++''=--++.19. 若f 在[,]a b 上可微，则存在(,)a b ξ∈, 使得22'2[()()]()()f b f a b a f ξξ-=-.20. 设f 在[,]a b 上连续, (,)a b 上可导,且()()0f a f b ==,证明:对任何R λ∈,存在c R ∈,使得 '()()f c f c λ=.21. 设0,>b a .证明方程b ax x ++3=0不存在正根.22. 1) 0sin lim x xx→ 2) 132lim 1x x x x x x →-+--+33２3) lim (arctan )x x x π→+∞-2 4) 21cos lim cos tan x xx x π→++5) 0lim x +→ 6) 012limln(1)xx e x x →-++１2２()7) 20ln(1sin 4)lim arcsin x x x x →++() 8) 02lim sin x x x e e xx x -→---（过程不要，直接写答案）23. 1) cos lim x x x x →∞+ 2) 0sinlim sin x x x x →⋅２１ 3) 0ln(sin )limln(sin )x ax bx → 4) 2tan lim tan 3x xx π→24. 1) 011lim()sin x x x →- 2) 11lim()-1ln x x x x→-.25. 1) 111lim xx x-→ 2) ()21lim cos x x x →.26. 1） ln lim ()xx x →+∞+１ 2) ln 0lim(cot )xx x +→１.27. 证明2()x f x x e -=3为R 上的有界函数.28 1） 011lim()1x x x e →-- 2） 111lim x x x -→3） sin 0lim(tan )x x x → 4） 22011lim()sin x x x→- 29.3) 30tan sin limx x x x →- 4) 201cot lim x x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭5) ln lim(ln )xx x x x →+∞ 6) 10(1)lim xx x e x→+-7) 20()lim x x x a x a x→+- 8) 10lim()x xx x e →+必须记住的泰勒公式（peano 型）1) 1!nxn x x e x o x n =+++++２...()2!2) ()11sin 1 (1)(1)!m m m x x x x o x m --=-+++-+-35223!5!2 3) 1cos 1...(1)(2)!m m m x x x x o x m +=-+++-+２４22()2!4! 4) 1ln(1)1...(1)nn n x x x x o x n-+=-+++-+２３()23 5)11n n x x x o x x=+++++-２1...() 6) (1)(1)1(1)1!n n n x x x x o x n ααααααα--⋅⋅⋅-++=+++++２()...()2!1(1)(23)!!1(2)!!n nn n x x x o x n ---=+++++２11!!...()24!! 习题：1．求2cos x 的具Peano 余项的Maclaurin 展式;2．当[0,2]x ∈时，() ()f x f x ''≤≤1，1, 证明: |'()| 2.f x ≤3. 证明：若函数f 在点a 处二阶可导，且()f a ''≠0，则对Lagrange 公式()()()f a h f a f a h h θ'+-=+⋅ 01θ<<中的θ，有0lim h θ→=12.4. 、设函数f 在[0,]a 上具有二阶导数,且"()f x M ≤,f 在(0,)a 内取最大值,求证''(0)()f f a Ma +≤.5. ．有一个无盖的圆柱形容器,当给定体积为V 时,要使容器的表面积为最小, 问底的半径与容器高的比例应该怎样?6. 讨论函数()f x =()arctan g x x =的凸凹性。
高数考研中值定理的应用
同理有x (b 2 , b), 使
f ( x) f (b) x b
0, 即f ( x) f (b),
f (a), f (b)都不是f ( x)在[a, b]上的最大值，
f ( x)在[a, b]上连续， f ( x)在[a, b]上必有最大值和最小值，
则f ( x)的最大值必在(a, b)内取得，
1, f (3) 1 在(c, 3) 内可导 ,
例5. 设函数 f (x) 具有二阶导数,且 lim f ( x) 0, f (1) 0, 试证必存在 (0,1) , 使 f ( ) 0. 证: lim
x 0
x 0
x
f ( x) x
0, f (0) 0, f (0) 0,
则1 (a, b)使f (1 ) 0; 2 (b, c)使f (2 ) 0;
对f ( x)在[1 , 2 ]上用罗尔定理即得结论.
例3. 设 f ( x)在[ a, b]上可导， f (a) f (b) 0, 且 求证： (a, b), 使f ( ) 0. 证明: 不妨设f (a) 0, f (b) 0,
f (b ) f (a ) F (b ) F (a ) f ( ) F ( ) .
4) 判别 f ( x ) C 的方法 若 f ( x ) 0 ，则 f ( x ) C 5) 三个定理之间的内在联系 柯西中值定理
f (b ) f (a ) F (b ) F (a ) f ( ) F ( )
证明: 令 F ( x )
f (x) x ,
由已知条件知 F ( x ) 在[ a , b ] 上连续, 在 ( a , b ) 内可导， 且 F ( a ) 0 F (b ) 故由罗尔定理知, ( a , b ), 使 F ( ) 0 , 即
拉格朗日中值定理练习题
拉格朗日中值定理练习题拉格朗日中值定理是微积分中的一项重要定理，它通过中值定理的形式，给出了函数在某个区间内的平均变化率与其导数在该区间内某点的取值之间的关系。
本文将结合几个练习题来深入理解拉格朗日中值定理及其应用。
练习题一已知函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，且在开区间 (a,b) 内可导。
证明：在开区间 (a,b) 内至少存在一点 c，使得f’(c) = (f(b) - f(a))/(b - a) 成立。
解：根据题目中的条件，我们知道函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，在开区间 (a,b) 内可导。
因此，根据拉格朗日中值定理，我们可以找到一个点c ∈ (a,b)，使得f’(c) = (f(b) - f(a))/(b - a) 成立。
练习题二已知函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，在开区间 (a,b) 内可导，且f’(x) ≠ 0，即导函数在开区间 (a,b) 内不为零。
证明：在开区间 (a,b) 内至少存在一点 c，使得f’(c) = (f(b) - f(a))/(b - a) 成立。
解：根据题目中的条件，我们知道函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，在开区间 (a,b) 内可导，并且导函数不为零。
因此，根据拉格朗日中值定理，我们可以找到一个点c ∈ (a,b)，使得f’(c) = (f(b) - f(a))/(b - a) 成立。
练习题三已知函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，在开区间 (a,b) 内可导。
证明：在开区间 (a,b) 内至少存在两个点 c1 和 c2，使得f’(c1) = f’(c2)。
解：根据题目中的条件，我们知道函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，在开区间 (a,b) 内可导。
根据拉格朗日中值定理，我们可以找到一个点c ∈ (a,b)，使得f’(c) = (f(b) - f(a))/(b - a) 成立。
我们再次应用拉格朗日中值定理在同一区间 (a,b) 上，可以找到另一个点d ∈ (a,b)，使得f’(d) = (f(b) - f(a))/(b - a) 成立。
D考研基础班中值定理及其应用专题
对F(x)在[ ,1]上用罗尔定理：
2 ( ,1) (0,1)使F(2 ) 0即f (2 ) 0.
证毕
例2. 设f ( x)C[0,1]且 1 f ( x)dx 0, g( x)在[0,1]上有连续导数
在(0,1)内g(x)
0, 又
1 0
0
f ( x)g( x)dx
0，证明:不同1 , 2
在(0,1)内g( x) 0,又
1 0
0
f ( x)g( x)dx
0，证明:不同1,2 (0,1)
使f (1 ) f (2 ) 0
分析：若证f ( ) 0,可用零点定理,罗尔定理.
证明 : 令F(x)
x
f (t)dt,
0
0
1
(欲证结论,需找a, b, c [0,1],使F(a) F(b) F(c) 0)
(n 1) !
(
x
x0
)n1
o((
x
x0
)n
)
当 x0 0 时为麦克劳林公式 .
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (n)(0) xn ( xn )
2!
n!
第2页/共34页
2
微分中值定理之间的相互关系
罗尔定理
f (a) f (b) 拉格朗日中值定理
f ( ) 0
f (a) F (a)
,
第1页/共34页
1
泰勒中值定理：若函数
内具有 n + 1 阶导数,
f
(x)
f ( x0) f ( x0 )( x x0 ) f
f
(n) ( x0 n!
)
(
x
x0
)n
考研竞赛凯哥微分中值定理笔记
考研竞赛凯哥微分中值定理笔记【考研竞赛凯哥微分中值定理笔记】1. 导言在数学考研和竞赛中，微分中值定理是一个非常重要的概念。
它不仅在微积分学科中具有重要地位，而且在实际问题中也有广泛的应用。
本篇文章将围绕微分中值定理展开深入探讨，从概念、原理到应用，帮助读者全面了解和掌握这一重要内容。
2. 概念解析微分中值定理（Mean Value Theorem）是微积分学中的一个基本定理，它刻画了函数在某一区间内平均变化率与瞬时变化率之间的关系。
具体来说，对于可导函数f(x)，在区间[a, b]内一定存在一点ξ，使得f'(ξ)等于f(b)-f(a)除以b-a，即f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
3. 原理探究微分中值定理的证明和理解对于深入学习微积分至关重要。
通过介绍导数的几何意义和连续函数的性质，可以辅助读者更好地理解微分中值定理成立的原因和内在含义。
也可以通过实例和图表加深理解，使读者对微分中值定理有直观的认识。
4. 应用拓展微分中值定理不仅在理论数学中有着重要作用，而且在实际问题中也有着广泛的应用。
利用微分中值定理可以证明某些函数的性质，解决一些优化问题，甚至在物理、经济学等领域都有具体的应用。
通过具体的案例分析，我们可以看到微分中值定理在实际问题中的丰富应用。
5. 总结回顾微分中值定理作为微积分领域的重要内容，不仅有着深厚的理论基础，同时也具有广泛的应用前景。
通过本篇文章的深入剖析，相信读者已经对微分中值定理有了更加全面、深刻的理解。
在今后的学习和工作中，让我们善用微分中值定理，去探索更广阔的数学领域和解决实际问题。
6. 个人观点在我看来，微分中值定理不仅是一种数学工具，更是一种思维方式。
它教会我们从平均变化率和瞬时变化率的关系中触发思考，引导我们理解函数变化的规律，并以此解决实际问题。
这种思维方式对于数学学科的深入理解和应用能力的培养都起着重要的作用。
通过以上的分析，相信读者对考研竞赛凯哥微分中值定理已经有了更全面、深入的了解。
考研数学三(中值定理与一元函数微分学的应用)模拟试卷3(题后含
考研数学三（中值定理与一元函数微分学的应用）模拟试卷3(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设曲线y=x2+ax+b与曲线2y=xy3一1在点(1，一1)处切线相同，则( )．A．a=1，b=1B．a=一1，b=一1C．a=2，b=1D．a=一2，b=一1正确答案：B解析：由y=x2+ax+b得y′=2x+a，2y=xy3一1两边对x求导得2y′=y3+3xy2y′，解得因为两曲线在点(1，一1)处切线相同，所以解得选(B)．知识模块：中值定理与一元函数微分学的应用2．设f(x)在(一∞，+∞)上有定义，x0≠0为函数f(x)的极大值点，则( )．A．x0为f(x)的驻点B．一x0为一f(-x)的极小值点C．一x0为一f(x)的极小值点D．对一切的x有f(x)≤f(x0)正确答案：B解析：因为y=f(一x)的图像与y=f(x)的图像关于y轴对称，所以一x0为f(一x)的极大值点，从而一x0为一f(一x)的极小值点，选(B)．知识模块：中值定理与一元函数微分学的应用3．设f′(x0)=f”(x0)=0，f”′(x0)＞0，则下列正确的是( )．A．f’(x0)是f’(x)的极大值B．f(x0)是f(x)的极大值C．f(x0)是f(x)的极小值D．(x0，f(x0))是y=f(x)的拐点正确答案：D解析：因为f”′(x0)＞0，所以存在δ＞0，当0＜|x一x0|＜δ时，从而当x∈(x0-δ，x0)时，f”(x)＜0；当x∈(x0，x0+δ)时，f”(x)＞0，即(x0，f(x0))是y=f(x)的拐点，选(D)．知识模块：中值定理与一元函数微分学的应用4．设f(x)=x3+ax2+bx在x=1处有极小值一2，则( )．A．a=1，b=2B．a=一1，b=一2C．a=0，b=一3D．a=0，b=3正确答案：C解析：f′(x)=3x2+2ax+b，因为f(x)在x=1处有极小值一2，所以解得a=0，b=一3，选(C)．知识模块：中值定理与一元函数微分学的应用5．当x∈[0，1]时，f”(x)＞0，则f′(0)，f′(1)，f(1)=f(0)的大小次序为( )．A．f’(0)＞f(1)一f(0)＞f’(1)B．f’(0)＜f’(1)＜f(1)一f(0)C．f’(0)＞f’(1)＞f(1)一f(0)D．f’(0)＜f(1)一f(0)＜f’(1)正确答案：D解析：由拉格朗日中值定理得f(1)一f(0)=f′(c)(0＜c＜1)，因为f”(x)＞0，所以f′(x)单调增加，故f′(0)＜f′(c)＜f′(1)，即f′(0)＜f(1)一f(0)＜f′(1)，选(D)．知识模块：中值定理与一元函数微分学的应用6．设f(x)，g(x)(a＜x＜b)为大于零的可导函数，且f′(x)g(x)-f(x)g′(x)＜0，则当a＜x＜b时，有( )．A．f(x)g(b)＞f(b)g(x)B．f(x)g(a)＞f(a)g(x)C．f(x)g(x)＞f(b)g(b)D．f(x)g(x)＞f(a)g(a)正确答案：A解析：由f′(x)g(x)-f(x)g′(x)＜0得从而为单调减函数，由a＜x＜b得故f(x)g(b)＞f(b)g(x)，选(A)．知识模块：中值定理与一元函数微分学的应用7．设f(x)在x=0的某邻域内连续，若则f(x)在x=0处( )．A．不可导B．可导但f’(0)≠0C．取极大值D．取极小值正确答案：D解析：由得f(0)=0，由极限保号性，存在δ＞0，当0＜|x|＜δ时，从而f(x)＞0=f(0)，由极值的定义得f(0)为极小值，选(D)．知识模块：中值定理与一元函数微分学的应用8．设f(x)连续，且f′(0)＞0，则存在δ＞0，使得( )．A．f(x)在(0，δ)内单调增加B．f(x)在(一δ，0)内单调减少C．对任意的x∈(一δ，0)，有f(x)＞f(0)D．对任意的x∈(0，δ)，有f(x)＞f(0)正确答案：D解析：因为所以由极限的保号性，存在δ＞0，当0＜|x|＜δ时，当x∈(一δ，0)时，f(x)＜f(0)；当x∈(0，δ)时，f(x)＞f(0)，选(D)．知识模块：中值定理与一元函数微分学的应用填空题9．设f(x)为偶函数，且f′(一1)=2，则正确答案：因为f(x)为偶函数，所以f′(x)为奇函数，于是f′(1)=一2，涉及知识点：中值定理与一元函数微分学的应用10．设f(x)在x=a处可导，则正确答案：因为f(x)在x=a处可导，所以f(x)在x=a处连续，于是涉及知识点：中值定理与一元函数微分学的应用11．设可导，则a=__________，b=__________．正确答案：f(1一0)=f(1)=a+b，f(1+0)=1，因为f(x)在x=1处连续，所以a+b=1．又因为且f(x)在x=1处可导，所以a=3．故a=3，b=一2．涉及知识点：中值定理与一元函数微分学的应用12．曲线的斜渐近线为________．正确答案：则斜渐近线为y=x+3．涉及知识点：中值定理与一元函数微分学的应用13．曲线的斜渐近线为____________．正确答案：由得曲线的斜渐近线为y=x．涉及知识点：中值定理与一元函数微分学的应用解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
中值定理练习题
中值定理练习题一、基本概念题1. 判断下列命题是否正确，并说明理由：若函数f(x)在[a, b]上连续，则在(a, b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ) = (f(b) f(a))/(b a)。
若函数f(x)在[a, b]上可导，且f'(x) = 0，则f(x)在[a, b]上恒为常数。
2. 设函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，证明至少存在一点ξ∈(a, b)，使得f'(ξ) = (f(b) f(a))/(b a)。
3. 设函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f(a) =f(b)，证明至少存在一点ξ∈(a, b)，使得f'(ξ) = 0。
二、应用题1. 利用罗尔定理证明下列等式：sinπ = sin2πe^a = e^b，其中a = b2. 设函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f(a) = 0，f(b) = 1。
证明至少存在一点ξ∈(a, b)，使得f'(ξ) = 1/(b a)。
3. 设函数f(x)在[0, 1]上连续，在(0, 1)内可导，且f(0) = 0，f(1) = 1。
证明至少存在一点ξ∈(0, 1)，使得f'(ξ) = 1。
三、综合题1. 设函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f(a) =f(b)。
证明至少存在一点ξ∈(a, b)，使得f'(ξ) = f'(η)，其中η∈(a, b)。
证明至少存在一点ξ∈(a, b)，使得f(ξ) = (f(b) f(a))/(b a)。
3. 设函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f'(x) ≤ 0。
证明至少存在一点ξ∈[a, b]，使得f(ξ) = (f(b) f(a))/(ba)。
四、拓展题1. 设函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f'(x) ≠ 0。
中值定理习题
题型一：中值定理中关于 的问题
题型二：证明
常见思路：（1）罗尔定理； （2）极值法； （3）泰勒ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ式
题型三：证明
思路：（1）高阶导数具有连续性；（2）辅助函数构造
题型四：结论中含有一个中值 ，不含a，b，导数的差距为一阶
题型五：含两个中值 的问题
题型六：含有a，b及中值 的问题
情形一：a，b与 可分离
情形二：a，b与 不可分离
七.杂例
八.：中值定理证明不等式问题
7.一车从开始启动（速度为零）到刹车停止用单位时间走完单位路程，证明至少有一个时间点其加速度的绝对值不小于4。
考研数学中值定理证明题技巧以及结论汇总
目录第一部分：中值定理结论总结 (1)1、介值定理 (1)2、零点定理 (2)3、罗尔定理 (2)4、拉格朗日中值定理 (2)5、柯西中值定理 (2)6、积分中值定理 (3)第二部分：定理运用 (3)第三部分：构造函数基本方法 (9)一、要证明的等式是一阶导数与原函数之间的关系 (10)二、二阶导数与原函数之间关系 (11)第四部分：中值定理重点题型分类汇总（包含所有题型) (14)题型一：中值定理中关于θ的问题题型二：证明f(n)(ξ)=0题型三：证明f(n)(ξ)=C0(≠0)题型四：结论中含一个中值ξ，不含a,b，导数的差距为一阶题型五：含两个中值ξ,η的问题题型六：含a,b及中值ξ的问题题型七：杂例题型八：二阶保号性问题题型九：中值定理证明不等式问题（第一部分：中值定理结论总结1、介值定理：设函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值 f(a)=A 及f(b)=B ，那么对于 A 与 B 之间的任意一个数 C ，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ<b).Ps:c 是介于 A 、B 之间的，结论中的ξ取开区间。
介值定理的推论：设函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续,则 f(x)在[a,b]上有最大值 M ，最小值m,若 m≤C≤M,则必存在ξ∈[a,b], 使得 f(ξ)=C 。
闭区间上的连续函数必取得介于最大值 M 与最小值 m 之间的任何值。
此条推论运用较多）Ps ：当题目中提到某个函数 f(x),或者是它的几阶导函数在某个闭区间上连续，那么该函数或者其几阶导函数必可以在该闭区间上取最大值和最小值，那么就对于在最大值和最小值之间的任何一个值，必存在一个变量使得该值等于变量处函数值。
2、零点定理：设函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续,且 f(a)与 f(b)异号，即 f(a).f(b)<0, 那么在开区间内至少存在一点ξ使得 f(ξ)=0.Ps:注意条件是闭区间连续，端点函数值异号，结论是开区间存在点使函数值为 0.3、罗尔定理：如果函数f(x)满足：（1）、在闭区间[a,b]上连续；（2）、在开区间(a,b)内可导;（3）、在区间端点处函数值相等，即f(a)=f(b).那么在(a,b)内至少有一点ξ(<aξ<b),使得f`(x)=0;4、拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足：（1）、在闭区间[a,b]上连续；（2）、在开区间(a,b)内可导;那么在(a,b)内至少有一点ξ(<aξ<b),使得f(b)-f(a)=f`(ξ).(b-a).5、柯西中值定理：如果函数f(x)及g(x)满足（1）、在闭区间[a,b]上连续；（2）、在开区间(a,b)内可导;（3）、对任一x(a<x<b),g`(x)≠0,那么在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f(b)-f(a) g(b)-g(a)=f`(ξ) g`(ξ)Ps：对于罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理结论都是开开区间内取值。
考研数学-中值定理
题型8 根的存在性与中值定理(*) 一、基础知识!n +!n +二、例题1. 根(零点)的存在性与个数问题(零点定理与中值定理的结合)例1.(05-34) 当a 取何值时，函数a x x x x f -+-=1292)(23恰好有两个不同的零点.【B 】 (A)2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. 例2．（03-2-12分）讨论曲线k x y +=ln 4与x x y 4ln 4+=的交点个数.【答案】0)(=x ϕ有两个实根，分别位于(0,1)与),1(+∞内，即两条曲线有两个交点.例3.(04-1-11分) 设有方程01=-+nx x n，其中n 为正整数. 证明此方程存在惟一正实根n x ，并证明当1>α时，级数∑∞=1n n x α收敛.练习1.在区间(,)-∞+∞内,方程11420x x cosx +-= 【C 】 (A)无实根. (B)有且仅有一个实根. (C)有且仅有两个实根. (D)有无穷多个实根. 2.(97-2)就k 的不同取值情况,确定方程sin 2x x k π-=在(0,)2π内根的个数,并证明你的结论. 【答案】0000sin 0,;sin ,;0,.22k x x k k x x k ππ<-≥=-<或无根唯一实根有两个不同实根3.(931)设在[0,)+∞上函数()f x 有连续导数,且'()0,(0)0f x k f ≥><,证明()f x 在(0,)+∞内有且仅有一个零点.2. 罗尔中值定理例4.（07-1234-11分）设函数(),()f x g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值，()(),()()f a g a f b g b ==, 证明：存在(,)a b ξ∈，使得()().f g ξξ''''= 例5. 设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导,且(0)(1)0,f f ==1()12f =.试证: (1) 存在1(,1),2η∈使()f ηη=;(2) 对任意实数λ,必存在(0,)ξη∈,使得()[()]1f f ξλξξ'--=. 练习1.若函数()f x 在(,)a b 内具有二阶导数,且123()()()f x f x f x ==,其中123a x x x b <<<<,证明:在13(,)x x 内至少有一点ξ,使得''()0f ξ=2.设函数()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且(0)(1)0f f ==,试证在(0,1)内至少存在一点ξ,使得()'()f f ξξξ=-.3. 设函数()f x 在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且(0)(1)(2)3,(3)1f f f f ++==,试证在(0,3)内至少存在一点ξ,使得'()0f ξ=.3. 拉格朗日中值定理例6.(05-12-12分) 已知函数()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且(0)0,(1) 1.f f ==,证明： （I ）存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f ；（II ）存在两个不同的点)1,0(,∈ζη，使得.1)()(=''ζηf f例7.(98-4)设函数()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导,且()()1f a f b ==,试证存在,(,)a b ξη∈,使得[()'()]1e f f ηξηη-+=.例8. (92-1)设''()0f x <,(0)0f =,证明对任何10x >,20x >,有1212()()()f x x f x f x +<+ . 例9.(06-234)证明：当0a b π<<<时，sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++. 例10.(04-2-12分) 设2e a b e <<<, 证明2224ln ln ()b a b a e->-. 例11.设1p >,01x ≤≤,证明:12(1)1pp p x x -≤+-≤.练习1. (99-4)证明:当0sin 2x x x ππ<<>时，有. 2.证明不等式ln a b a a ba b b--<<. 3.设b a e >>,证明不等式baa b >成立.4.当02x π<<时,证明:3tan 3x x x >+ .4.柯西中值定理例12.(03-2-10分)设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内可导，且.0)(>'x f 若极限ax a x f ax --+→)2(lim 存在，证明：(1) 在(,)a b 内()0f x >; (2) 在(,)a b 内存在点ξ，使)(2)(22ξξf dxx f a b ba=-⎰； (3) 在(,)a b 内存在与(2)中ξ相异的点η，使⎰-=-'badx x f a a b f .)(2))((22ξξη5.泰勒定理例13. (02-1)设函数()f x 在0x =的某邻域内具有一阶连续导数,且(0)0f ≠,(0)0f '≠,若()(2)(0)af h bf h f +-在0h →时是比h 高阶的无穷小,试确定,a b 的值.【答案】2,1a b ==-例14.(02-2)设()f x 在0x =的某邻域内具有二阶连续导数,且(0)0f ≠,(0)0f '≠,(0)0f ''≠,证明:存在唯一的一组实数123,,λλλ,使得当0h →时, 123()(2)(3)(0)f h f h f h f λλλ++- 是比2h 高阶的无穷小.【答案】1233,3,1λλλ==-=例15.(99-2) 设函数()f x 在[1,1]-上具有三阶连续导数,且(1)0f -=,(1)1f =,'(0)0f =,证明:在开区间(1,1)-内至少存在一点ξ,使得'''()3f ξ=.题型9 极限保号性的应用例1.设(0)0,(0)f f '=存在,当0x >时120ln(1())()0,lim[1]sin x x f x f x x→+>+=,则(0)f '=【C 】（A ）0． （B ）2-. (C) 2. 例2.设()f x ''在x a =处连续,又cos()'()lim1x a x a f x e e a-→=--,则 【C 】(A)()0,()f a f a ''=是()f x 的极大值点. (B) ()0,()f a f a ''≠是()f x 的极小值点. (C) ()0f a ''=,(,())a f a 是曲线()y f x =的拐点.(D)x a =不是()f x 的极值点, (,())a f a 也不是曲线()y f x =的拐点.例 3.设()f x 在[,]a b 上一阶可导,在(,)a b 内二阶可导,()()0,()()0f a f b f a f b +-''==>则下述选项中错误的为 【B 】(A)()f x 在(,)a b 内有零点. (B)()f x 在(,)a b 内恰有一个零点. (C)()f x '在(,)a b 内有零点. (D)()f x ''在(,)a b 内有零点. 例4.设0,δ>()f x 在δδ[-,]上有定义，(0)1,f =且满足2ln(1)()lim0,1x x x xf x e →-+=-则【A 】(A)()f x 在0x =处可微，且1(0)2f '=. (B)()f x 在0x =处连续，但不可微. (C)()f x 在0x =处可微，且(0)0f '=. (D)()f x 在0x =处不连续. 例5.设()f x 在0x 点的某个邻域内具有二阶连续导数,且当h 足够小时,0001()[()()]2f x f x h f x h <++-.证明:0''()0f x ≥.。
考研第三章中值定理很给力哦(1)
x
6
注意：洛必达法则的使用条件.
1)条件充分但不必要.
若
lim
f ( x) F ( x)
不存在(
)时
,
lim
f F
( (
x) x)
lim
f F
( x) ( x)
.
例如, lim x sin x
xx
x
1 cos x lim 1 x
3
2
f (1) 1 , f (0) 0, 3
f () 2 f ( ) 2 0, f () 2 f ( ) 2 0.
2
总之， 有关中值问题的解题方法: 利用逆向思维 , 设辅助函数 . 一般解题方法: (1) 证明含一个中值的等式或根的存在 , 多用罗尔定理,
3
22
F(1) F(0) F ( )(1 0),
2
2
F(1) F(1) 2
F ()(1 1),
2
两式子相加：
F (1) F (0) 1 [F () F ( )], F ( x) f ( x) 1 x3,
2
3
f (1) 1 f (0) 1 [ f () 2 f ( ) 2],
且f (0) 0,f (1) 1 ,证明:存在 （0, 1）, ( 1 ,1),
3
2
2
证明f ( ) f () 2 2 .
10年考研题
分析: 将结论变形为:f ( ) 2 f () 2 0，
证明 令F ( x) f ( x) 1 x3, 在[0, 1 ],[1 ,1]上分别使用中值定理，
极限不存在也 不是无穷大
考研数学二(中值定理与一元函数微分学的应用)模拟试卷1.doc
考研数学二（中值定理与一元函数微分学的应用）模拟试卷1(总分：54.00，做题时间：90分钟)一、填空题(总题数：5，分数：10.00)1.设f(χ)＝ln(1＋χ)，当χ＞0时，f(χ)＝f′(θχ)χ2.00）填空项1:__________________2.函数f(χ)＝χe －2χ的最大值为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________3.曲线t 2.00）填空项1:__________________4.＝ 1 2.00）填空项1:__________________5.曲线y＝(3χ＋ 2.00）填空项1:__________________二、解答题(总题数：22，分数：44.00)6.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 7.设f(χ)二阶连续可导，且f(0)＝f′(0)＝0，f〞(0)≠0，设u(χ)为曲线y＝f(χ)在点(χ，f(χ))处的切线在χ 2.00）__________________________________________________________________________________________ 8.设函数f(χ)在区间[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且f(0)＋f(1)＋f(2)＝3，f(3)＝1．证明：存在ξ∈(0，3)，使得f′(ξ)＝0．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 9.设函数f(χ)和g(χ)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，且f(a)＝g(b)＝0，g′(χ)＜0’试证明存在ξ∈(a，b) 2.00）__________________________________________________________________________________________10.设f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a＞0)，证明：存在ξ∈(a，b) 2.00）__________________________________________________________________________________________11.设f(χ)，g(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且g′(χ)≠0．证明：存在ξ∈(a，b)，（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 12.设f(χ)在[0，1]上连续，证明：存在ξ∈(0，1)，使得∫0ξ f(t)dt＋(ξ－1)f(ξ)＝0．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________13.设f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)f(b)＞0， 2.00）__________________________________________________________________________________________ 14.设f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)＝f(1)，证明：存在ξ，η∈(0，1)，使得f′(ξ)＋f′(η)＝0．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________15.设f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a＞0)．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得f′(ξ)（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 16.设f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，连接点A(a，f(a))，B(b，f(b))的直线与曲线y＝f(χ)交于点C(c，f(c))(其中a＜c＜b)．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f〞(ξ)＝0．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 17.设f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)＝f(b)，且f(χ)在[a，b]上不恒为常数．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得f′(ξ)＞0，f′(η)＜0．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________18.设b＞a＞0 2.00）__________________________________________________________________________________________19.设f(χ)在[a，b]上满足｜f〞(χ)｜≤2，且f(χ)在(a，b)内取到最小值．证明：｜f′(a)｜＋｜f′(b)｜≤2(b－a)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________20.设f(χ)在[0，1]上二阶连续可导且f(0)＝f(1)，又｜f〞(χ)｜≤M，证明：｜f′(χ)数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 21.设函数f(χ)，g(χ)在[a，＋∞)上二阶可导，且满足条件f(a)＝g(a)，f′(a)＝g′(a)，f〞(χ)＞g〞(χ)(χ＞a)．证明!当χ＞a时，f(χ)＞g(χ)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 22.证明：当χ＞0时，χ2＞(1＋χ)ln 2 (1＋χ)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________23.证明不等式：χarctanχ≥ 2.00）__________________________________________________________________________________________ 24.求y＝∫0χ (1－t)arctantdt的极值．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________25.设PQ为抛物线y 2.00）__________________________________________________________________________________________ 26.证明：当0＜χ＜1时，(1＋χ)ln 2 (1＋χ)＜χ2．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________27.证明：对任意的χ，y∈R且χ≠y 2.00）__________________________________________________________________________________________。
第三章中值定理习题参考答案
习题3-1(A)5, 提示：令F(x)二ax 4 bx 3 • ex 2-(a b c)x ，验证在［0,1］上F(x)满足罗尔定理. 6, 提示: 令 F (x) =aresin x areeosx ,证明 F (x)在［-1,1］上为常数.27, 提示：令F(x)=x n ,在［b,a ］上应用拉格朗日中值定 理. 8, 提示：令F(x)=lnx,在［b,a ］上应用拉格朗日中值定 理.9, 提示：令F(x)二sinx,分别在［x 1, x 2］, ［x 2,x 3］上应用拉格朗日中值定 理,再利用cosx在(0,二)上的单调递减性.10, 提示：用零点定理证明f (x)在(0,1)内有根\ ,在(―,1)内有根、，再用罗尔定理2 2证明f (X )在(「J (0,1)内有根. 习题3-1(B)1, 提示：令F(x)二a °x • ^x 2 •…•亚x n ，验证在［0,1］上F(x)满足罗尔定理.2naa2,提示：令 F(x^a 1 sinx 2 sin3x ：：；…汕 nsin(2n - 1)x ,3 (2n —1)验证在［0,1］上F(x)满足罗尔定理.3, 提示：由罗尔定理存在 「(a,b)使f ( J =0,存在 厂(1,b)使f ”( 2) =0,以此类推.4,提示：由拉格朗日中值定理可 证明存在\(a,c)有f ( J P,存在；(c,b)有f (；) 9再对f (x)在［\, 2］上利用拉格朗日中值.定5,提示：由罗尔定理存在 「(0,1)使G(1)=：0，又因为G(0)=0,对G\x)在［0,勺］上验证罗尔定理1,=4 32,6, 设f(x)在［0,1］上连续，在(0,1)内二阶可导，且f(0) = f(1)=0,证明：在［0,1］内分别存在，使得(1)f 小L ⑵f“()=f()提示：(1)设F(x) =(1 —x)f (x),由罗尔定理存在「(0,1)使「(1)=0,所以存在一 (1,1) = (0,1)使F ()在二0.(2) 设F(x) =(1 —x)f (x),在［0,1］上二次应用罗尔定理.7,提示：用零点定理证明F(x)=x 5 ・2ax 3 3bx 4c在(-：：,•：：)上有根，再证明F (x)在(-：：,；)上无零点8, 提示：因为(c, f (c))在直线AB 上，所以由拉格朗日中 值定理存在 1 (a,c), 2 (c,b)使得 f ( J = f ©一 f(a) = f(b) - f (c)二 f ( 2)， c —ab — c再对f (x)在(1, 2)(a,b)上利用罗尔定理9, 提示：考虑「(x)二甲，先证明(x)为常数.e10, 提示：令F(x)二f(x)-x,用零点定理证明F(x)在(0,1)内有根，并证明F(x)单调. 11，提示：对f(x)在@8-丄回)上用拉格朗日中值公式 可证明f a -丄®0.kI k 丿12,提示：令F(x) =3,G (X ) J,利用柯西中值定理.xx习题3-2 (A)1 111 1 亠1, (1)- (2) -- (3)3 (4)1 (5)(6)：： (7) (8) (9)1 (10)e 3 (11)e (12)1 3 82 2 32 .1 2 .1x sin x sin 12,简答：lim ------------- =lim ------------ =lim xs in- =0,但若用洛必达法则sin x x t x习题3-2 (B)⑷一-e (5)-2 (6)0 (7)- (82@a .2e2,362xs in cos limx —01因为x 驴0s1不存在'所以不能用洛必达法则2 .1x sinlim -x >0 sinx11,(1)4 ⑵ 1 1283, 简答：lim f(x) = limT40 一x 50 0 1 ■xlim x 「0 01 1一[-ln(1x)」] e x x limln(1丁 公二 ex_011 lim匸 二ex 0 0 2x4, 5, 6, 1lim _ =exJ 02(1x)21=e 2 = f (0).lim x _°半 简答：题设二lim e f (x)lnx =e T 书f (a)(1)a=g (0) In x1 f(x)f 2(x)lim——:—_ e x —00 xf (x)f (0) limx _0f 2(x) xf (0) lim _2 f (x) f (x) =e x■0”x[g (x) +si ix] —[g(x) —co%] ⑵ f (x)=<x 21 2【g (0) 1] (3)处处连续. 习题3-3 1, f (x) - -56 21(x -4) 37(x -4)2 11(x -4)3(x-4)42, 6 5 4 3 2f(x) =x -9x 30x - 45x 30 x -9x1 3, 13tan x = x —x3 sin(r x)[sin 2(vx)2] 45x ,3cos 5 (vx) (0 ：：： v ::: 4) 4, — 1x =2 (x -4)46>4)2A )315(x-4)4 4!16[4 r(x -4)](0 ：：： —： 1)5, 3x 2xxe x x 21+…+ x n(n —1)!O(x n )(0 心：：1)6, e ： 1.6457, (1) 3 30 3.10724; (1)32习题3-4 (A) 1, 单调减少 2, 单调增加8, R 3 ：：1.8810^⑶三 (2) sin180 0.3090; R < 1.3 10*3, (1)在(宀2)内单调上升；在(；；)内单调下降.(2)在(0,2］内单调减少在;［2,；)内单调增力口⑶在(_：：,--•)内单调增加—1 1 —⑷在(-：：,)内单调减少在;(一，；)内单调增加2 2⑸在［0, n］上单调上升E;［n「：)内单调下降1 J __4, (1)提示：令f(x) =1 x - 1 • x，利用函数的单调性证明2⑵提示：令f (x) =1 x ln(x • ；1 - x2)-“;'1 - x2，利用函数的单调性证明1 3⑶提示：令f(x) =tanx -X --X3，利用函数的单调性证明•3⑷提示：令f(x) =2x -x2，利用函数的单调性证明.5,提示：令f(x) =x-cosx，用零点定理证明f(x)有根，用单调性证明其根唯一6, 提示：求出f ”(x),用f ”(x)的符号来说明7，(1)凸(2)凹 (3)在(-：：,0］内凹，在［0,；)内凸(4)凹8，(1)在(」：,2］内凸，在［2,；)内凹，拐点(2, - 8)——2⑵在(-：：,2］内凸，在2,；)内凹，拐绥，2) e⑶在(V, •：：)内凹，无拐点(4) 在(-：：，-1］,［1, •：：)内凸，在-1,1］内凹，拐点-1,1 n2);(1,l n2)—1 1 1(5) 在(-：：，一］内凹，在［_,二)内凸，拐点(_, e arctan3)2 2 2⑹在(-：：，-1］、0,1］凸，在［-1,0卜［1,：：)凹，拐点(0,0)9b =210, a=3, b= -9, c=811, a=1, b= -3, c=-24, d=16f V x) — f 7 x )12, 简答：设lim 0 k( = 0),则无论k • 0或k：：：0,由极限的保号性可知^0 x _X09,f (x)在x0左右异号.习题3-4 (B)1 11, (1)在(-：：,0)、0,—)、1,：：)内单调减少；在(―,1)内单调增加.2 2⑵在［k,k］内单调上玳;［色,k］内单调下降2 2 3 2 3 2 2—2 2(3) 在(-：：, a］、［a, •二)内单调上玳;［a, a］内单调下.降2 31 1 12, (1)a •-时无实根(2)0：：：a 时有两个实根(3) a 是有一个实根.e e e3，在(0,3)内只有一个实根.4，(1)提示：令f (x) =sinx - tanx -2x，利用函数的单调性证明.1(2) 提示：令f (x) =1 n(1 x) In x -In 2，证明f⑴是极小值.2(3) 提示：令f (x) =e x-1-(1 - x) ln(1 - x),利用函数的单调性证明.证明中可利用f (x) 0 来证明f (x).1 H(4) 提示：令f (x)二arctanx ,利用函数的单调性证明.证明中注意f(；) = 0.x 2xd(5) 提示：令f (x) =2x—1 — x2 2 ,利用函数的单调性证明.(6) 证明：令f (x) =e x - (x2 -2ax 1), f (x) = e x 2(a - x), f (x) = e x一2.由 f (x)=0可得x=ln2.从表中可见In 2是f (x)的极小值，所以当x=ln2 时 f (x) • f (In2)=2［a・(1-ln 2)］• 0.即 f (x)单调递增,从而f(x) f(0) =0,题设得证._ f (x)(x-a) -f(x) _ f (x)(x-a)-[f(x) -f(a)](x—a)2(x—a)25,证明: (x)f (x)(x -a) - f ( )(x - a)(x -a)2f (x)-f ()x -a0( (a, x)).6,提示：用5,题的方法证明7, 提示:根据(x —c) f (x) _0证明f (c)是f (x)在［a,b ］上的极小值.8, 当5及^1 293时’方程有且仅有一个实根. 9,(Y ,b ］凹，在［b,：：)凹，拐点(b, a 2)10，略 11，略 12， k =8习题3-5 (A) 1，(1)极大值 y(0)=5,极小值 y(2) =1.(2) 极大值y(2) =4e = 极小值y(0) =0. (3) 极大值 y(4) =1,极小值 y(16) =25.⑷极大值y(^) J .2055103 5(5) 极大值y(—).4 4 (6) 极小值/(0) =0. (7) 没有极值.1(8) 极大值y(e) =e e . (9) 极大值 y(1) =3.(10) 极大值 丫(丄)=81318,极小值 y(-1)=y(5) =0.2 82，(1)最大值 y(3) =11,最小值 y(2)=-14.1 厂(2) 最大值 y(1)=2e 飞=最小值 y(-Tn2)=2-2.1(3) 最大值 y(1) =0,最小值 y(—) = Tn2.43,提示：可导函数的极值点必为驻点， 所以可证明y 在题设条件下无驻点4，最大值 y(1) = -29. 5，最小值 y(-3) =27.2 —6， a =2, f ( ) = . 3为极大值.3217, a = -2, b28, 长为100m ，宽为5m.v J v9, 「刑 27，h 叫药d ：h=1:1.10, 圆的周长为—，正方形周长为 -. 3 +兀4 +兀11, 锥体的高为h = 4a 时，最小体积为8二a 3.312, 应在公路右方6,7公里处.时间为1.22小时.13,⑴ x=1000 (2)x^6000.14, 定价为3.75元，进货量为600件，每天最大利润为 15, p =101,利润 167080.习题3-5 (B)1 3 1, a , b , c = 0, d =14 42, x=1为极小点，y(1)=1为极小值3, 当 c=1 时，a=0,b= -3，当 c= -1 时，a=4,b=5 324, P(x) =x 3_6x 29x 215, (1) f(x)在x=0处连续；(2)当x时,f(x)取极小值；当e16,当x 0 时，三角形面积最小v37,（1）y -飞—r （x-x 。
中值定理习题
第五章中值定理习题课一、主要内容1、中值定理从极值点处的导数性质出发，依次得到Fermat定理、Rolle定理、Lagrange定理、Cauchy定理，应该准确掌握各个定理的内容，掌握定理证明的思想，掌握定理的几何意义，熟练掌握定理的应用。
2、Taylor公式从微分的定义或中值定理出发，从近似计算的角度，得到了函数的高阶展开式，掌握常用的函数的Taylor公式，熟练掌握各种Taylor展开式的计算方法，掌握利用Taylor展开式计算极限的技巧。
注、从定理的结论形式上看，中值定理和Taylor公式都能建立函数和导数的关系，但是，二者在使用中是有差别的。
中值定理只是建立了相差一阶导数的相邻函数的关系式，而且结论形式中，原函数的点可以是任意的（涉及到两个原函数的点(),()f a f b，这两个点都可以是任意的），涉及到导数的点不具备任意性，它依赖于原函数中取定的两个点，因此，通常用于利用导函数的性质，研究原函数的性质，当然，若对相应的导函数用中值定理，可以用高阶导数的性质研究低一阶的导函数的性质；而Taylor公式中，展开点是可以任意选取的，因而，可以用于研究所涉及到的中间各阶导数的性质，特别是用两头控制中间的中间导数估计的问题。
3、L’Hospital法则这是极限计算中一个非常重要的法则，也是一个非常高级的法则，利用这一法则，使得一类非常重要，也非常复杂的极限的计算变得非常简单，因此，必须掌握法则的灵活的应用。
4、应用利用上述理论，解决函数研究中的如零点问题、介值问题、中值问题、极值问题、最值问题、导数估计、单调性问题、凸性问题、不等式问题、函数展开、极限计算等各种关键而又重要的问题。
二、典型例题1、零点问题（介值问题、中值问题）这里主要指涉及到导函数的零点问题，因而，处理的基本工具就是Fermat定理、Rolle定理和中值定理。
但是，特别要注意的是，几个定理的根本的出发点就是极值点处的导数性质，这是处理这类问题的基本思想，因此，在涉及到这类问题时，最简便的手段是直接利用相应的定理，但是当定理不能直接应用时，就要考虑最基本的思想了。
1000题中值定理部分巩固提高没思路
1000题中值定理部分巩固提高没思路先来看看一道典型例题：这道题考查了中值定理最基本也是最基本的解题方法。
先来看下面这道题。
这道题，其实很简单。
因为一个两位数是2的正整数是2,而且一个奇数等于0,一个奇数等于1,而且奇数又等于零。
所以，用两位数除以2后，得到4x2+3x3+4x1÷(x-因数)=4。
如果用奇数除以奇数的数量来表示一个数值是0以上这个数字的个数就是 n次方。
这样就可以得到 n次方的乘积。
从而计算出这个分数在这个数列中对应的是几点之间的夹角。
第1步，计算这里，我们要用等号来表示。
因为，等号是用一个两位数除以一个两位数，从而可以用 n次方来表示一个数值是0以上的数字的个数的数列。
这条等号是由一个两位数的正整数来表示的。
下面我们要看一个例子：当一个两位数是6的正整数是1,且这个两位数是1这就意味着一个奇数等于0这个奇数与0相等(1+2)在一个数列中表示为0与1之间的夹角为()r-4x=(-4)°~0°+4°~0°)(r-4x=-4°~0°).一个1值6小于2等于4就可以得到了，这个结果叫3比1,我们要知道，三个数字与3是等号呢？用两位数除以两个数字后得到了 n次方=3/2=4等于4 (x+因数)=4 (2-1-3)=4也就叫2乘以3得到了3×2=4=4-4 ()=4 (3+2-4)=4。
”所以3比1=4×2+3×3-4=4 (2-4)°~0°+(1-1)°+4°~0/5=+4 (2-因数)=4>0>0>5>10或18<3_2|=22或26等于0.注意这里还需要看一个小结：因为 n次方就是分数中所对应的不同次方之间的关系，所以这个分数在这个数列中一定有着一个不同性质的夹角或点和相应性质相对应。
请结合题目实际作答。
第2步，计算分数的公因数这个分数，根据中值定理，可以求出5,然后又给它加上5,然后得到5=（5-因数）。
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1
中值定理
【本章定位】
本部分内容属于考研数学中的难点内容，而且经常被考生所忽略，往往受到课本中的误导，低估了其难度和重要性，事实证明，在历年考研中，虽不是年年必考，但是出现的几率很大，且一般作为区分题加大了试卷的难度，如 201年的真题中“证明拉格朗日中值定理”的题目，让人无从下手，有人将此归结为看书不仔细，实际上是对本该好好研究学习的内容没有认真把握和总结，没有掌握中值定理的方法和技巧。
所以，请考生务必重视！
1、 所证式仅与ξ相关 ①观察法与凑方法
1 ()[0,1](0)(1)(0)0
2() (,)()1 ()()2()0(1)
()() [()]()f x f f f f a b f x f x xf x f x f x xf x xf x xf x '==='ζ''ζ∈ζ=-ζ
'''''ζ--='''''''= 例设在上二阶可导，试证至少存在一点使得分析：把要证的式子中的换成，整理得由这个式可知要构造的函数中必含有，从找突破口
因为()(1) ()()[()()]0()()[()]0
()(1)()()
f x f x f x xf x f x f x f x xf x F x x f x f x '+'''''''''''--+=⇒--='=--，那么把式变一下：
这时要构造的函数就看出来了②原函数法
⎰-⎰-⎰
===⇒=⇒+=⇒='ζζζ=ζ'∈ζ∃==⎰dx
x g dx x g dx x g e x f x F C C e x f Ce x f C dx x g x f x g x f x f x g f f g f b a b a x g b f a f b a b a x f )()()()()( )( )(ln )()(ln )()
()(
)
()()(),( ],[)()()( ),(],[)( 2 很明显了
，于是要构造的函数就现在设换成把有关的放另一边，同样有关的放一边，与现在把与方法
造的函数，于是换一种是凑都不容易找出要构分析：这时不论观察还使得求证：上连续在，又内可导，上连续，在在设例两边积分00
2
③一阶线性齐次方程解法的变形法
0 ()()()[,](,)()0
()()
(,)()()()()0 [()()]pdx pdx
f pf p x u x e F x f e f x a b c a b f c f f a a b f b a
f f a f b a
f f a '+=⎰⎰==⋅'∈=ξ-'ξ∈ξ=
-ξ-'ξ-=-'⇒ξ-对于所证式为型，（其中为常数或的函数）
可引进函数，则可构造新函数例：设在有连续的导数，又存在，使得求证：存在，使得分析：把所证式整理一下可得：11[()()]00 () C=0()[()()]
()() ()0()() x x
dx b a b a b a f f a f pf b a u x e e F x e f x f a f b f a f c f b f a b a ---'-ξ-=+=-⎰==--'==⇒=-－－，这样就变成了型引进函数＝（令），于是就可以设注：此题在证明时会用到这个结论 2、所证式中出现两端点
①凑拉格朗日
a
b a af b bf f f F x xf x F f f a
b a af b bf b a b a b a x f --=ζ'ζ+ζ=ζ'=ζ'ζ+ζ=--∈ζ)()()()()( ),()( )()()()(),( ),(],[)( 3 下
用拉格朗日定理验证一可以试一下，不妨设
证的式子的特点，那么分析：很容易就找到要使得证明至少存在一点内可导
上连续，在在设例
②柯西定理 数就很容易证明了
用柯西定理设好两个函没有悬念了于是这个式子一下变得分子分母同除一下是交叉的，变换一下，发现容易看出来了
这题就没上面那道那么的式子分析：先整理一下要证，使得
至少存在一点可导，证明在在，设例 )
()( )()( )()()
()()()()
()( ),(],[)( 4 1212212121212121111
012121221212121x x x x x x x x x x x x x x x x e e
e
x f e x f e
x f e x f e c f c f e
e x
f e x f e c f c f x f x f e e e e c x x x x x f x x ---'-=--'-=-<<+ ③k 值法
3 。
，用罗尔定理证明即可记得回带，验证可知那么进入第二步，设还是一样的称式，也是说互换
很容易看出这是一个对整理得设量的这个式子
的形式了，现在就看常以此题为例已经是规范两边
常量的式子分写在等号第一步是要把含变量与值法
方法叫做在老陈的书里讲了一个呢？
很好上面那题该怎么办对柯西定理掌握的不是分析：对于数四，如果仍是上题
k x F x F k x f e x F x x k x f e k x f e k e
e x
f e x f e k x x x x x x x )
()(])([)( ])([])([ )
()( 21212112212121=-=-=-=-----④泰勒公式法
有一句话说，管它是什么，先泰勒展开再说。
当定理感觉都起不上作用时，泰勒法往往是可行的，而且对于有些题目，泰勒法反而会更简单。
3、所证试同时出现ξ和η①两次中值定理
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()(])([)]()([ )]()([)]()([),(
)()( ),(],[)( 5 η'+η=--==ζ'=----=η'+η--=η'='η=η'+η=η'+ηηζ=η'+η∈ηζ==ηζ
ζη
ηηζ
ηζ-ηf f e a b e e e G e x G e a b e e a b e e f f e a
b a f e b f e F x f e x F f e f f e e f f e f f e b f a f b a b a x f a
b x a
b a b a b x 得到
则再用拉格朗日定理就令这个更容易看出来了，的关系就行了与只要找到再整理一下利用拉格朗日定理可得，设很容易看出子下手试一下
那么可以先从左边的式一下子看不出来什么，分开，那么就有与分析：首先把使得，试证存在内可导，上连续，在在例1101
②柯西定理（与之前所举例类似）
有时遇到ξ和η同时出现的时候还需要多方考虑，可能会用到柯西定理与拉氏定理的结合使用。