2005考研数一真题答案及详细解析

根据题设可知
』中 i / 、
(y)dx+2xydy _ 宣+y 4
cp(y)dx+2xydy
宜+y 4
=O.
MQNRM
MQNPM
f l +』矿+ 根据第二类曲线积分的性质，利用上式可得
叭y)dx + 2xydy =中(y)dx + 2xydy
c
2x 2 +y4
宣+y 4
cp (y)dx+2xydy y4
l-a
110
』, (]!)当a�o时，A�ll I 0
入 —1
l 入E-A I= — l
0
OO —1
入-1
0
2
O
O = (入 — 2)2 入，
入 —2
可知A的特征值为入＝丛 = 2, 从= 0. A的属于入 1= 2的线性无关的特征向量为 1J1 = Cl,l,O尸 ，1J2 = (O,O,l)T ; A的属于从=O的线性无关的特征向量为 1J3 = (—1 , 1 ,Q)T .
=l.
y
z
/
I
，I
:a
｀ ＼ ＼ 、 一- ... --
z，
Q
Mo c N
I
I
I
．,
X
- - 09) < I)证 如上图所示 ， 设 C 是半平面X >O 内的任一分段光滑简单闭曲线 ，在C 上任意取
- ·- 定两点 M,N, 作围绕原点的闭曲线 MQNRM, 同时得到另一围绕在原点的闭曲线
MQNPM.
k i 十k心 = O, { 入 k 2 2 =0.
o, o, 当丛=I= 0 时显 ， 然 有如= 如= 此时a1,ACa1+a 2 ) 线 性无关；反过来，若 al'
A(a1 +贮）线性无关，则必然有从=I= 0. 否则，q与ACa1+a 2 )= 入 1a1 线性相关．
02) C 解 设交换A 的第1行和第2行的初等矩阵为P,则B = PA. B*司B I B-l = I PA I (PA)-]=— I A I A-Ip—I= —A'P, 从而 A'P=-B*
i=2
欢/1
(n — DX�
=
�FO,n -D.
沁:/n — l
归
;�2
;�2
三、解答题
(15)解法-
ff I f乾 i xy[l+xz+y勹dxdy = d0
r3 sin0cos0 [1+r勹dr
o
0
D
＝厂 f sin0cos0d0 W 尸 [l+r勹dr
0
0
f厂 =½(J� 尸dr +
2r 3 dr) =f.
为偶函数，可
见 A 为正确选项． 解法二 令 f(x) = l, 则取 F(x) = x+l, 排除 B、C;
令
f(x) = x, 则取 F(x)
=
—
2
厂，排除
D; 故应选
A.
(9) B 解
因为a— 2xu=中'(x +y)十矿(x-y) +少(x +y) — 少(x — y)
飞＝矿釭+y) — 矿(x -y)气(x+y)气(x -y)
『 厂厂 =『dO r:1 sin0cos0dr+ 2 d0 2r:1 sin0cos0dr
I)
I)
1
(16) 解 因为
=-18 +-41 =—38.
(n+1) (2n+1)+1
n(2n - l)
lim
= 1,
n-= (n+l)(2n+D• n(2n — D+l
所以当 x 2 < l 时，原级数绝对收敛，
易见111•11 2 ,11 3 两两正交．
将111•112 •113单位化得
— e l=
1
(1,1,0) T,
an (1,2,3)
— au
cosa
ax (1,2,3)
— au
ay
cos/3
(1,2,3)
— au
a之
cosy
(1,2,3)
=
1•1
3戎-
＋
1•1
3祁-
＋
1 • 1 =忒
3岛- 3
(4) (2 — 心）穴伈
解 由高斯公式
』 『 r r。 xdydz+ydzdx+zdxdy — 』』3dV�3 ·d0 dq, 尸sin平dr�(2 — 立）玉．
解法二
记 D 1 = { (x,y) I x 2+y 2 < 1,x�0,y�O},
趴={(x,y) I l�x 2+y 2 � 屈,x多O,y多0}' 则有[l+x 2+y 2 ]=l,(x,y)ED 1 ,
[l+x 2+y 2 ]=2,(x,y)ED z .
于是
{xy[l+x'+y勹dxdy�Hxydxdy+�2xydxdy
C D
飞 ap =萨(y)(2x2 + y4 ) - 4中(y)y3 = 2x
ay
< 2x 2 + y4)2
'(y) +矿(y)y4 —锌(y)y3 (2矿+y丁
@
比较少、＠两式的右端，得
｛矿 (y) = — 2y'
＠
矿(y)y4 - 4cp (y)i1 = 2y5 .
＠
巾＠得cp (y) =-y2 +c,
（ 5 、丿
2 解
由题意知
』1
B-[a,,a, 心J [: 2
-AC, 其中
14
1- l
c ＿ 12
14 -
la
－ －
等式两端同时取行列式得
c In l = I A I·I I, 而 IC 1 = 2, 所以 I B 1 = 2.
13 (6)
48
解 本题涉及两次试验，想到用全概率公式，第 一 次试验的各种结果即为完备事件组
✓ lim
n-士。
n
1 + ] X I 3"
I
= lim
,,_十～
(1+
IX
I
3n) ;
= 1°
=1
Clxl<I),
lim :Ji+ Ix尸= lim Cl+ 1)了 = 2° =1 Clx l=l),
＂ 一酝-!"''
·-斗又心
I I lim✓1+ J X J on I II七十"'-'
=
IX尸IIli►m1, 、( 1+
NRM
MPN
f=
<p(y)dx + 2xydy —
』矿+ ,,......
zx 2 + y4
<p(y)dx+2xydy y4
NRM
NPM
＝叫叭 y)dx + 2xydy —
cp (y)dx + 2xydy
＿ 宣+y4
』 宣+y4
MQNRM
MQNl'M
= 0.
<
II)解设P= 2x叭2 +y)y4
,
Q=
且 一 cJF=y +ze:rz 妇
'
cJF
—=
办
x-— y z 心 — 3F-=
— lny +x亡在点(0,1,1 )
的某邻域内连续，
又F:(o,1,1) = (y +ze工z)
Fra Baidu bibliotek
:c = 2 =I= O,F O,1,1) =-1 =I= O,
(0, 1, 1 l
据隐函数存在定理知，方秽•(x,y,z) = O,可以确定具有连续偏导数的隐函数x = x(y,z)
g(�)=f(�)+� — 1=0,
c II)根据拉格朗日中值定理 ， 存在r;E (0,�),1;E C�,1),使得
f'( 1/ )
= J(n
-f(O)
�
l—
=
�
e
'
�' J'烤）＝
J(l) 1
— /CO -�
＝1
-Cl -�) 1—�
＝ 1
�
—
从而
e f' J'(沪
1-� 烤）= �
•
� 1—
1
•1
X 3J =
X I3
Clxl>D.
I 因此，f(x)= 1,
J.r I�1,
ll.rl:i, J.rJ>L
由Y = f(x) 的表达式及它的函数图形可知，f(x) 在 x = 士 1 处不可导，其余点 f(x) 均可
导，因此选 C.
(8) A
解法一 任一原函数可表示为
= f: F(X)
f (t)dt+ C' 且 F'(x) = f(x).
P{Y=2} =P{X=l}P{Y = 2 IX = l} +P{X =2}P{Y = 2 IX = 2} +P{X =3}P{Y =
三 — 21 X = 3}+P{X=4}P{Y = 2 IX = 4} = 4
(o+』十上十一1) = 13 2 3 4 48
二、选择题
(7) C
解 先求 f(x) 的表达式．
和y = y(x,z). 因为F仅0,1,l)= O,所以未必能确定隐函数z = z(x,y). 故应选D.
(ll) B
解
令 k1a1 +从A(a1+a2) ==-0,则
入 丛 k1a1 +k 2 1a1+k 2 a 2 ==-0,
入） 入 Ck1 + k 2
a1+k 2 2a 2 ==-0.
由于 a1 ,az 线性无关，于是有
1
x2
X
2 'xE(—1,1)'
I。厂 r 从而
(17)解
X2 f(x)=2S(x)+
l+x
=2xarctanx
—
lnCl
+x
2
x2 )+
1 +x
2
'
+x)广(x)dx=(x 2 +x)广(x) 3 - (2x+1)广(x)心
�-f'.<zx + 1)广!:)dx"
xE(-1,1).
『+ 。 = — (2x+1)f'(x)
2xy 2x 2 + y4
,P,Q在单连通区域X
>O内具有一阶连续偏导数．
f +v ay 由(1)知，曲线积分
L
叭y)也十2xydy 2x
在该区域内与路径无关，故当
X
>O时，总有— aQ= ap . — 归
oQ 2y(2x 2 + y勹—4x• 2xy
归
(Zx2 + y4 )2
— 4x 2 y + 2y5 (Zx 2 + y4 )2 •
y =e�JP(.x) 中 [JQ(x)efPc:i) 心 dx+c],
再由初始条件确定任意常数即可．
即原方程等价为 y'+-2 y=lnx, X
于是通解为
[『 ] — y
=e-H
d
,
[Jinx•
ef和'dx+C]
= x- 1 2 •
x2 lnxdx +C
1 =—xlnx
3
—— 1 x+C 9
1 x2'
2f f'(x)dx
。 =-[7 X (-2) -2]+2f J'(x)dx
3
。 =16+21cx) I =16 +4=20.
(18)证c I)令g(x)=f(x) +x — 1,
则g(x)在[0,1]上连续 ， 且 g(O) = — 1 < O,g(l)=1 > O,
所以存在�EC0,1),使得
�- 即f(�)=1 —
即交换A的第1列与第2列得- B*.
03) D 解
由P{X= O,X+Y= l}=P{X= O}•P{X+Y= l}
或P{X+Y=l}=P{X+Y=l I X= O}
可知a： +b =a+o. l, 而a+b ==O. 5,故a= 0. 4,b = 0. l.
04) D
解 因为 Xi�X气1),� 欢�X2 (n — 1) 且两者独立，所以
当 x 2 > l 时，原级数发散，因此原级数的收敛半径为 1,收敛区间为 (-1,1).
00
(—l)"-1
记 S(x) =�
n=l
2n (2n
—
亡， 1)
xEC-1,1),
， co
则S'(x) =�
(—l)"-1 2n-l 义
n=l 2n — l
XE(— 1,1)'
S11 (x)
=;言（ 一 l)n-lx 2n-2
1 由y(l) =-— 9 得C=O,
一上 1
故所求解为y
=
— xlnx 3
9 x.
｀
(3) -
3
解
Ju ax (1,2,3)
-I 1
3，
ou
=-I ,
ay c1.2,3)
3
au 3 乏 (1,2,3)
l 3
．
1
1
1
由单位向量n知，cosa =-,cos/3 =-,cosY =—，所以
忑
怼
忒
= I + I + I — au
于是 :气r(x +y) +矿(x — y) +奴(x +y)-矿(x-y)
o2 u
＝矿(x +y) — cp"(x — y) +矿(x +y) +创(x — y)
归ay
言＝矿(x +y) +矿(x — y) +叭(x +y) — 矿(x-y)
可见有
a2 u 归2
a2 u ay2•
(10) D
解 令F(x,y,z) = xy — zlny+e立-1,显然F(0,1,1) = O.
当F(x) 为偶函数时，有 F(— x)=F(x),
于是 F'(- X) • (—1) = F'(x),
即— f(— X) = j(x), 也即八— x) = — f(x),
可见 f(x) 为奇函数；
I: f +-c 勹 反过来，若 f(x) 为奇函数，则 f (t)dt 为偶函数，从而 F(x) = Ct)dt
将 <p (y)代入＠得2y5 -- 1Cy:l = 2y勹
所以C = O,从而 cp(y) =-y勹
l-a
(20)解
。 C I J由于二次型J的秩为2, 对应的矩阵A�ll+a
+1 a 1a
I
0
01
0 占勺 秩 为 H I
2 -
2， 所 以 有
1 —a l+a
l+a =-4a= O,得a = 0.
2005 年 （数一） 真题答案解析
一、填空题
— (l)
y=-21 x-
1 4
解
y
x
由归厂归纭 +1
=
l
了
＇
及杻心
－
1
了X
)�归
-x 2(2x+1)
1
=-了
＇
可得斜渐近线方程为y=— 21 x
—— 1 4
.
1
1
(2) y =—xlnx ——x
3
9
解
直接用一阶线性微分方程y'+P(x)y =Q(x)的通解公式
= 1
: x
2
'
由于 S(O) =0,S'(O) =0,
『 =『 + 所以 s'(x)
S"Ct)dt
0
1 0 1 t 2 dt =arctanx,
=厂 =厂 S(x)
S'Ct)dt
arctantdt = xarctanx —上 lnCl+x 2).
0
2
xE(-1,1).
+ 00
又I;
n=l
(-
l) n-1芷=