2020高考数学分类汇编--立体几何

2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学

3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为

A ．

1

4

B ．

1

2

C ．

1

4

D ．

1

2

10．已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC △的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，

1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为

A ．64π

B ．48π

C ．36π

D ．32π

16．如图，在三棱锥P –ABC 的平面展开图中，AC =1，AB AD =AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，

∠CAE =30°，则cos ∠FCB = .

18．（12分）

如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE AD =．ABC △是

底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，PO ．

（1）证明：PA ⊥平面PBC ； （2）求二面角B PC E --的余弦值． 3．C 10．A

16．14

-

18．解：（1）设DO a =，由题设可得,,63

PO a AO a AB a =

==，

2

PA PB PC ===

. 因此222PA PB AB +=，从而PA PB ⊥. 又222PA PC AC +=，从而PA PC ⊥. 所以PA ⊥平面PBC .

（2）以O 为坐标原点，OE 的方向为y 轴正方向，||OE 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.

由题设可得1(0,1,0),(0,1,0),(,0),(0,0,)22

E A C P -.

所以31(,,0),(0,2EC EP =-

-=-.

设(,,)x y z =m 是平面PCE 的法向量，则00

EP EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，即2023102

y z x y

⎧-

+=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩，

可取3

(,1,2)=-

m . 由（1）知2

(0,1,

)2

AP =是平面PCB 的一个法向量，记AP =n ， 则25

cos ,|||5

⋅=

=

n m n m n m |. 所以二面角B PC E --的余弦值为

25

.

2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学

4．北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）

A ．3699块

B ．3474块

C ．3402块

D ．3339块

7．右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个断点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为

M

E F G

H

A ．E

B ．F

C ．G

D ．H

10. 已知ABC △是面积为

4

3

9的等边三角形，且其顶点都在球O 的表面上，若球O 的表面积为π16，则球O 到平面ABC 的距离为（ ） A ．3

B ．

2

3 C ．1 D ．

2

3 16．设有下列四个命题： 1P ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内． 2P ：过空间中任意三点有且仅有一个平面． 3P ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． 4P ：若直线⊂l 平面α，直线⊥m 平面α，则l m ⊥．

则下述命题中所有真命题的序号是________． ①41p p ∧

②21p p ∧

③3

2p p ∨⌝

④ 43p p ⌝∨⌝

20．（12分）

如图，已知三棱柱111C B A ABC -的底面是正三角形，侧面C C BB 11是矩形，M ，N 分别为BC ，11C B 的中点，P 为AM 上一点，过11C B 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．

（1）证明：MN AA ∥1，且平面F C EB AMN A 111平面⊥；

（2）设O 为△111C B A 的中心，若F C EB AO 11平面∥，且AB AO =，求直线E B 1与平面AMN A 1所成角的正弦值．

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8．下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是

A ．

B ．

C ．

D ．

15．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为__________．

19．（12分）

如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别在棱11,DD BB 上，且12DE ED =，

12BF FB =．

（1）证明：点1C 在平面AEF 内；

（2）若2AB =，1AD =，13AA =，求二面角1A EF A --的正弦值．

8．C

15 19．解：设AB a =，AD b =，1AA c =，如图，以1C 为坐标原点，11C D 的方向为x 轴正方

向，建立空间直角坐标系1C xyz -．