降次—解一元二次方程
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问题2 要使一块矩形场地的长比宽多6cm，并且面积为 16m2，场地的长和宽应各是多少？
设场地宽xm，长（x+6）m，根据矩形面积为16m2列方程
x(x+6)=16,
即
x2+6x－16=0.
②
x2+6x－16=0
移项
x2+6x=16
思 考
两使边左加边9配（成即x2＋622b2）x＋b2 的形式
x2+6x＋9=16＋9
即 ( x + 4 )2=25,
学.科.网
开平方，得 x+4=±5,
即 x+4=5或 x+4=－5,
所以 x1=1 , x2=－9.
练习
1. 填上适当的数，使下列等式成立：
xzxx2kw+12x+_3_6__= ( x+6 )2； x2+4x+__4__= ( x+___2__ )2；
x2+8x+_1_6__= ( x+___4___ )2.
2.解下列方程
1 x2 10x 9 0； 2 x2 x 7 0.
4
解：（1）移项，得
x2 10x 9,
配方
x2 10x 52 9 52,
x 52 16,
由此得
x 52 4,
x 5 4 x 5 4,
x1 1,
x2 1.
2 x2 x 7 0
4
解：移项，得：
x2 x 7 , 4
配方：x2
x＋－
1 2
2
7 4
－
1 2
2
,
x
1 2
2
Fra Baidu bibliotek
7 4
,
由此得
x 1 2, 2
x1
1 2
2
x1
1 2
2.
作业 ：用配方法解下列方程
（1）x2－10x+25=7;
（2）x2 + 6x = 1.
加其它数不行．
配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法．
可以看出，配方是为了降次，把一个一元二次方程转化 成两个一元一次方程来解．
例1 解方程： x2+8x－9=0. 解：可以把常数项移到方程的右边，得 x2+8x=9,
两边都加上42（一次项系数8的一半的平方），得 x2+8x+42=9+42,
如 左边写成平方形式
何
( x + 3 )2=25
转
降次
化
x+3=±5
可以验证，2和－8是方程②的 两根，但是场地的宽不能是负
x＋3=5,x＋3=－5
值，所以场地的宽为2m，长为 8（即2＋6）m.
解一次方程
x1=2，x2=－8
以上解法中，为什么在方程x2+6x=16两边加9？加其他 数行吗？
根据完全平方公式：9是一次项系数6一半的平方，加9正 好于x2+6x能够配成一个完全平方式: x2 + 6x + 9= ( x + 3 )2
设场地宽xm，长（x+6）m，根据矩形面积为16m2列方程
x(x+6)=16,
即
x2+6x－16=0.
②
x2+6x－16=0
移项
x2+6x=16
思 考
两使边左加边9配（成即x2＋622b2）x＋b2 的形式
x2+6x＋9=16＋9
即 ( x + 4 )2=25,
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开平方，得 x+4=±5,
即 x+4=5或 x+4=－5,
所以 x1=1 , x2=－9.
练习
1. 填上适当的数，使下列等式成立：
xzxx2kw+12x+_3_6__= ( x+6 )2； x2+4x+__4__= ( x+___2__ )2；
x2+8x+_1_6__= ( x+___4___ )2.
2.解下列方程
1 x2 10x 9 0； 2 x2 x 7 0.
4
解：（1）移项，得
x2 10x 9,
配方
x2 10x 52 9 52,
x 52 16,
由此得
x 52 4,
x 5 4 x 5 4,
x1 1,
x2 1.
2 x2 x 7 0
4
解：移项，得：
x2 x 7 , 4
配方：x2
x＋－
1 2
2
7 4
－
1 2
2
,
x
1 2
2
Fra Baidu bibliotek
7 4
,
由此得
x 1 2, 2
x1
1 2
2
x1
1 2
2.
作业 ：用配方法解下列方程
（1）x2－10x+25=7;
（2）x2 + 6x = 1.
加其它数不行．
配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法．
可以看出，配方是为了降次，把一个一元二次方程转化 成两个一元一次方程来解．
例1 解方程： x2+8x－9=0. 解：可以把常数项移到方程的右边，得 x2+8x=9,
两边都加上42（一次项系数8的一半的平方），得 x2+8x+42=9+42,
如 左边写成平方形式
何
( x + 3 )2=25
转
降次
化
x+3=±5
可以验证，2和－8是方程②的 两根，但是场地的宽不能是负
x＋3=5,x＋3=－5
值，所以场地的宽为2m，长为 8（即2＋6）m.
解一次方程
x1=2，x2=－8
以上解法中，为什么在方程x2+6x=16两边加9？加其他 数行吗？
根据完全平方公式：9是一次项系数6一半的平方，加9正 好于x2+6x能够配成一个完全平方式: x2 + 6x + 9= ( x + 3 )2