垂线及垂线段
垂线--垂线段、垂线段最短、点到直线的距离
5.1.2(2)垂线--垂线段、垂线段最短、点到直线的距离一．【知识要点】1.两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。
其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
直线AB，CD互相垂直，记作"AB⊥CD"（或"CD⊥AB")，读作"AB垂直于CD"（或"CD垂直于AB"）。
垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
简称：垂线段最短。
二．【经典例题】1.如图，能表示点到直线的距离的线段共有（）A．2条B．3条 C．4条 D．5条2.如图，PA＝5 cm，PB＝4 cm，PC＝3 cm，则点P到直线l的距离( )．A．等于3 cm B．大于3 cm，小于4 cmC．不大于3 cm D．小于3 cm3.如图所示,一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶,C，D分别是位于公路AB两侧的村庄.(1)该汽车行驶到公路AB上的某一位置C′时距离村庄C最近,行驶到D′位置时,距离村庄D最近,请在公路AB上作出C′，D′的位置(保留作图痕迹)；(2)当汽车从A出发向B行驶时,在哪一段路上距离村庄C越来越远,而离村庄D越来越近？(只叙述结论,不必说明理由)三．【题库】【A】1.如图1,AC⊥BC,CD⊥AB, 垂足为D,图中共有___个直角,它们是__________________,图中线段_______的长表示点C到AB的距离，线段________的长表示点A到BC的距离.2.如图，计划把河水引到水池A中，先作AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是．【B】1.直线m外的一点P,它到直线m上三点A,B,C的距离分别是6cm,3cm,5cm,则点P到直线m 的距离为( )A.3cmB. 5cmC. 6cmD. 不大于3cm【C】1.下列说法正确的有（）①相等的角的是对顶角；②两条直线相交所成的4个角中，若有一个角是90度，那么这两条直线互相垂直；③直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；④过一点有且只有一条直线垂直于已知直线．A.1个B.2个C.3个D.4个【D】。
垂线的判定定理
垂线的判定定理是几何学中的一个重要概念，它涉及到直线与平面之间的垂直关系。
在三维空间中，垂线是指直线与平面相交，并且与平面内的任意一条直线都垂直的直线。
以下是一些关于垂线的判定定理：
1. 定义判定定理：如果一条直线与平面内的任意两条相交直线都垂直，那么这条直线与该平面垂直。
2. 性质定理：
- 性质定理1：如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线垂直于平面内的所有直线。
- 性质定理2：经过空间内一点，有且只有一条直线垂直于已知平面。
- 性质定理3：如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。
- 性质定理4：垂直于同一平面的两条直线平行。
3. 三垂线定理：在平面几何中，如果一条直线与平面内的一条斜线的影子垂直，那么这条直线与斜线垂直。
4. 平行线公理：在欧几里得几何中，如果两条直线在同一平面内，且任意一条直线与平面内的另一条直线都垂直，则这两条直线平行。
5. 垂线段定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段是最短的。
这些定理是解决与垂线相关的问题的基础，并且在几何学的学习和应用中非常重要。
在实际应用中，这些定理可以帮助我们判断直线的垂直关系，解决诸如建筑设计、工程测量和立体几何分析等问题。
2.2 垂线
2.2 垂线【知识精华点击】课标要求1. 了解垂直概念,能说出垂线的性质“经过一点,能画出已知直线的一条垂线, 并且只能画出一条垂线”,会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线；2. 了解垂线段的概念,了解垂线段最短的性质,体会点到直线的距离的意义, 并会度量点到直线的距离.本节重点是两条直线互相垂直的概念、性质和画法，“垂线段最短”的性质,点到直线的距离的概念及其简单应用；难点是画给定直线的垂线以及对点到直线的距离的概念的理解. 教材详析1.垂线(1)定义：当两条直线相交成的4个角中，有一个角是直角时，就叫做这两条直线互相垂直。
其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。
理解垂直要注意以下三点：①掌握垂直的表示法垂直用符号“⊥”来表示，如图 2.2-1，“直线AB 垂直于直线CD ， 垂足为O”可记为AB ⊥CD,垂足为O ，并在图中任意一个角处作上直角记号,OD C B A图2.2-1②理解垂直与相交的关系垂直是相交的特殊情形，即相交成的角是直角时就是垂直。
所以两条直线互相垂直就一定相交，反过来，两条直线相交就不一定互相垂直。
③弄清“互相垂直”与“垂线”的联系和区别“互相垂直”是两条直线间的一种特殊位置关系，“垂线”则是两条直线互相垂直时其中的一条直线对另一条直线的称呼。
两条直线“互相垂直”时，其中的一条直线就是另一条直线的“垂线”。
反之，如果一条直线是另一条直线的“垂线”，那么这两条直线就一定互相垂直。
(2)几何推理：包括正用（判定）和反用（性质）的推理过程。
如图2.2-1， 判定：∵∠AOB=90°,∴AB ⊥CD ； 性质：∵AB ⊥CD ，∴∠AOB=90°。
(3)垂直的性质过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.(4) 垂线的画法①通过直线上的已知点画与这条直线垂直的直线（如图2.2-2（1））：第一步：把三角板的一条直角边与直线重合；第二步：沿着直线左右移动三角板，使直角顶点与直线上的已知点重合；第三步：沿另一条直角边画一条直角边画一条直线。
人教版数学七年级下册5.1.2垂线 课件
感悟新知
例 1 如图5.1-11，直线AB，CD 相交于点O，OE ⊥ AB 于 点O，且∠ COE=40°，求∠ BOD 的度数. 解题秘方：利用垂直的定 义及对顶角的性质，将要 求的角向已知角转化.
感悟新知
解：因为OE ⊥ AB， 所以∠ AOE=90°. 又因为∠ AOE= ∠ AOC+ ∠ COE，∠ COE=40°， 所以∠ AOC=90°－40°=50°. 所以∠ BOD= ∠ AOC=50°
所以AC·BC=AB·CD，进而可得CD=2.4 cm.
感悟新知
(2)点P 为直线m 外一点，点A，B，C 为直线m 上的三点，
PA=4 cm，PB=5 cm，PC=2 cm，则点P 到直线m 的距
离( D )
A. 等于4 cm
B. 等于2 cm
C. 小于2 cm
D. 不大于2 cm
感悟新知
解题秘方：根据点到直线的距离的定义，找出垂线段. 解：点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的 长度，而垂线段是该点与直线上各点的连线中最短 的. 从条件看，PC是三条线段中最短的，但不一定 是所有连线中最短的，所以点P 到直线m 的距离应 该是不大于2 cm.
感悟新知
1-1. [中考·河南] 如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥ CD，垂足为O，若∠ 1=54°，则∠ 2 的度数为( B ) A. 26° B. 36° C. 44° D.54°
感悟新知
例2 将一张长方形纸片按如图5.1-12 所示方式折叠，EF， EG 为折痕，判断EF 与EG 的位置关系. 解题秘方：利用折叠的性 质求出两线的夹角，根据 夹角是90°判断两条直线 的位置关系.
1. 垂线段：
特别解读 垂线、垂直与垂线段之间的区别与联系： 1. 区别：垂线是一条与已知直线垂直的直线；垂
5.1.2垂线
课题：垂线课型：新授课时： 1 (共2课时)【学习目标】1．理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线。
2．掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离。
3．掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理。
【重点难点】1．教学重点：垂线的定义及性质。
2．教学难点：垂线的画法。
【复习提问】1、叙述邻补角及对顶角的定义。
2、对顶角有怎样的性质。
【学习过程】（一）垂线的定义问题1：如右图，（1）∠AOC的对顶角是哪个角？这两个角的关系怎样？（2）∠AOC的邻补角有几个？是哪几个角？问题2：如右图，当∠AOC＝90°时，∠BOD、∠AOD、∠BOC等于多少度？为什么？这种位置关系有几种？直线AB、CD的位置关系怎样？问题3：什么样的两条直线互相垂直？定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．想一想：在生产和日常生活中，两条直线互相垂直的情形是很常见的。
请举例说明：垂直的记法、读法直线AB、CD互相垂直，记作“AB⊥CD”或“CD⊥AB”，读作“AB垂直于CD”，如果垂足为O，记作“AB⊥CD，垂足为O”（如图）．垂直的定义的应用格式1.如果直线AB、CD相交于点O，∠AO C=90°（或三个角中的一个角等于90°），那么AB⊥CD.这个推理过程可以写成：∵∠AO C=90°（已知），∴AB⊥CD（垂直的定义）．2.如果AB⊥CD，那么所得的四个角中，必有一个是直角.这个推理过程可以写成:∵AB⊥CD（已知），∴∠AOC＝90°（垂直的定义）．【初步应用.】1、两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判定两条直线垂直的是（）（A）有两个角相等（B）有两对角相等（C）有三个角相等（D）有四对邻补角2、下面四种判定两条直线的垂直的方法，正确的有（）个（1）两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直（2）两条直线相交，只要有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直（3）两条直线相交，所成的四个角相等，这两条直线互相垂直（4）两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直（A）4 （B）3 （C）2 （D）1（二）画图实践,探究垂线的性质(1)已知直线L,画出直线L的垂线.能画几条?再问:怎样才能确定直线L的垂线位置?结论:经过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直.(2)经过直线L外一点B画直线L的垂线,这样的垂线能画出几条?从中你又得出什么结论?.结论:经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直.垂线性质1:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.【初步应用.】1.如图根据下列语句画图:(1)过点P画射线MN的垂线,Q为垂足;(2)过点P 画射线BN 的垂线,交射线BN 反向延长线于Q 点; (3)过点P 画线段AB 的垂线,交线AB 延长线于Q 点.P MANPBPBA【小结整理】1.垂直的定义的应用格式2.性质1 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
4.5.2垂线的基本事实及垂线段同步练习含答案
4.5.2 垂线的基本事实及垂线段核心笔记: 1.垂线的基本事实:在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.2.垂线段的性质:直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短,简单地说成垂线段最短.3.从直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.基础训练1.如图,三角形ABC是锐角三角形,过点C作CD⊥AB,垂足为D,则点C 到直线AB的距离是( )A.线段CA的长B.线段CD的长C.线段AD的长D.线段AB的长2.下列说法中,正确的有( )①同一平面内,互相垂直的两条直线形成的四个角一定是直角;②过平面内任意一点有且仅有一条直线与已知直线垂直;③两条直线相交,所成的角中有两个角相等,则这两条直线互相垂直;④垂线段就是点到直线的距离.A.1个B.2个C.3个D.4个3.同一平面内,过点P作直线AB的垂线可以作( )A.1条B.2条C.无数条D.不能确定4.A为直线l外一点,B为直线l上一点,点A到l的距离为5 cm,则AB___________5 cm,其根据是___________.5.如图,一小孩想牵牛到河边饮水,那么小孩应该如何走才能保证走的路程最短?请你在图中画出他走的路线.6.如图,在三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为点D,BE⊥AC,垂足为点E,若AC=4,BC=6,BE=5.求:(1)点B到直线AC的距离;(2)点A到直线BC的距离.7.如图,AOB为一条在O处拐弯的河道,要修一条从村庄P通向这条河的道路,现在有两种设计方案:一是沿PM修路,二是沿PO修路,哪种方案更经济?它是不是最佳方案?如果不是,请你帮助设计出最佳方案,并简要说明理由.培优提升1.下列说法正确的有( )①两条直线相交构成的四个角中,如果有两个角相等,那么这两条直线互相垂直;②两条直线相交构成的四个角中,如果有一个角是直角,那么这两条直线互相垂直;③一条直线的垂线可以画无数条;④在同一平面内,经过一个已知点能画一条且只能画一条直线和已知直线垂直.A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图,在同一平面内,OA⊥l,OB⊥l,垂足为O,则OA与OB重合的理由是( )A.两点确定一条直线B.垂线段最短C.已知直线的垂线只有一条D.同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直3.直线l外一点P与直线l上三点所连线段的长度分别为4 cm,5 cm,6 cm,则点P到直线l的距离( )A.是4 cmB.是5 cmC.不超过4 cmD.大于6 cm4.如图,AB⊥AC,AD⊥BC,垂足分别为A,D,则图中能表示点到直线距离的线段共有( )A.2条B.3条C.4条D.5条5.我们知道,“两点之间线段最短”,“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短”.在此基础上,人们定义了两点间的距离、点到直线的距离等,类似地,若点P是圆O外一点(如图所示),则点P 与圆O的距离应定义为( )A.线段PO的长度B.线段PA的长度C.线段PB的长度D.线段PC的长度6.如图,在三角形ABC中,AC⊥BC,CD⊥AB,则AB CD.(填“>”“<”或“=”)7.说出日常生活现象中的数学原理:日常生活现象相应数学原理有人和你打招呼,你两点之间线段最短笔直向他走过去人去河边打水总是垂直于河边方向走8.按题目要求画图,并回答相关问题.如图,点P是∠AOB内一点,过点P作PM⊥OA,垂足为点M,作PN⊥OB,垂足为点N,通过测量∠MPN和∠O的度数,你能得出什么结论?9.如图所示,一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶,M,N为位于公路两侧的村庄.(1)设汽车行驶到公路AB上点P的位置时,距离村庄M最近,行驶到点Q的位置时,距离村庄N最近,请在图中分别画出点P和点Q的位置;(2)当汽车由A向B行驶时,在公路的哪一段上距离M,N两村庄都越来越近?在哪一段上距离村庄N越来越近,而距离村庄M越来越远?(分别用文字表述你的结论)参考答案【基础训练】1.【答案】B2.【答案】B解：正确的是①②,共2个.3.【答案】A4.【答案】≥;垂线段最短5.解:如图所示,从小孩所在的点向河边作垂线段即可.6.解:(1)因为BE⊥AC,垂足为点E,所以线段BE即为点B到直线AC的垂线段,因为BE=5,所以点B到直线AC的距离为5.(2)因为AD⊥BC,垂足为点D,所以线段AD的长度即为点A到直线BC 的距离,因为BC·AD=AC·BE,所以AD===,所以点A到直线BC的距离为.7.解:沿PO修路比沿PM修路更经济些,因为P到AO上各点连接的所有线段中,PO是垂线段,垂线段最短.它不是最佳方案,过P作PN⊥OB于N,PN是P到OB的最短路线.因为OP>PN,所以PN是P到河道AOB的最短路线,所以沿PN修路是最佳方案.【培优提升】1.【答案】C2.【答案】D3.【答案】C4.【答案】D解：能表示点到直线的距离的线段有:线段AD,BA,CA,BD,CD,共5条.5.【答案】B6.【答案】>7.日常生活现象相应数学原理有人和你打招呼,你笔直向他走过去两点之间线段最短人去河边打水总是垂直于河边方向走垂线段最短8.解:画图如图所示.结论:∠MPN+∠O=180°.9.解:(1)过点M作MP⊥AB,垂足为点P,过点N作NQ⊥AB,垂足为点Q,则点P,Q就是所要求作的两个点,如图所示.(2)当汽车由A向B行驶时,在AP这段公路上距离两村庄都越来越近,在PQ这段公路上距离村庄N越来越近,距离村庄M越来越远.解：要求距离最近,可视村庄为一定点,笔直的公路为一条直线,当汽车行驶到“垂足”的位置时,根据垂线段最短知,此时,距离最近.。
细说垂线、垂线段、点到直线的距离
细说垂线、垂线段、点到直线的距离作者：钱振洪来源：《初中生世界·七年级》2014年第02期关于垂线，同学们在小学里已接触过，但那仅仅停留在感性认识上，没有对垂线进行概念描述. 七年级上册教科书通过图片及“议一议”活动，带大家一起回忆了小学里学过的相关知识，并遵循从感性到理性的认知规律归纳了垂线的定义，进而引出垂线段、点到直线的距离等概念. 由于同学们的认识水平有限，往往会对这三个概念认识模糊，混淆不清，下面我们来一探究竟.一、垂线、垂线段、点到直线的距离的定义1. 垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线就互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.2. 垂线段的定义：垂线上一点到垂足之间的一条线段.3. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度.二、垂线、垂线段、点到直线的距离的区别1. 垂线是一条直线，可以向两端无限延伸，没有长度，垂线表示的是一个图形.2. 垂线段是垂线上的一条特殊的线段，是有限的一段，有长度，表示的是一个图形.3. 点到直线的距离是垂线上一条特殊的线段的长度，表示的是一个数量，而不是图形.下面我们通过图形来分析这三个概念，如图1所示：直线b叫做直线a的垂线，也可以说直线a叫做直线b的垂线；线段CO叫做垂线段，同样，线段AO、BO、DO都叫做垂线段；线段CO的长度叫做点C到直线a的距离，同样线段AO的长度叫做点A到直线b的距离.三、概念辨析1. 下列判断错误的是（）.A. 一条线段有无数条垂线B. 过线段AB中点有且只有一条直线与线段AB垂直C. 两直线相交所成的四个角中，若有一个角为90°，则这两条直线互相垂直D. 若两条直线相交，则它们互相垂直【解析】本题应在正确理解垂直的有关概念下解题，知道垂直是两直线相交时有一角为90°的特殊情况，反之，若两直线相交则不一定垂直.【正确解答】D.2. 下列判断正确的是（）.A. 从直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到已知直线的距离B. 过直线外一点画已知直线的垂线，垂线的长度就是这点到已知直线的距离C. 画出已知直线外一点到已知直线的距离D. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短【解析】本题错误原因是没有正确理解垂线段的概念及点到直线的距离的意义.说法A是错误的，从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离. 仅仅有垂线段，没有指明这条垂线段的长度是错误的.说法B是错误的，因为垂线是直线，直线没有长短，它可以无限延伸，所以说“垂线的长度”就是错误的.说法C是错误的，“画”是画图形，画图不能得到数量，只有“量”才能得到数量，这句话应该说成：画出已知直线外一点到已知直线的垂线段，量出垂线段的长度.【正确解答】D.四、生活中的应用通常，我们把直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做该点到直线的距离. 经过探究，我们得到一个事实：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短. 在日常生活中，解决一些实际问题时我们经常遇到它. 这样可使有些复杂问题变得比较简单，因此其应用较为广泛. 接下来我给同学们举几个例子：1. 如图2，甲、乙两名同学在测量刘佳同学的一次跳远成绩时，分别测量出DA=4.56米，DB=4.15米，AC=4.70米，则刘佳的跳远成绩应该为______米.解：刘佳的跳远成绩应为4.15米.因为实际生活中，测量跳远成绩都是量离踏板最近的落地点到踏板的距离，所以测量AC、DA都是错误的，线段DB的长度才是刘佳跳远的正确成绩. 跳远成绩的测量就是求点到直线的距离.2. 如图3，一辆汽车在直线形公路AB上由A地开往B地，M、N分别是位于公路两侧的村庄.①设汽车行驶到公路AB上点P位置时，距离村庄M最近；行驶到点Q时，距离村庄N 最近. 请在图中的公路AB 上分别画出点P和点Q的位置.②当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段距离M、N两村庄都越来越近？在哪一段路上距离村庄N越来越近，而离M越来越远？解：①过点M、N分别作直线AB的垂线，垂足分别为P、Q.②当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的AP段距离M、N两村庄都越来越近，在PQ段距离村庄N越来越近，而离M越来越远.。
平面的垂线、平面的垂线段
5、求斜线与平面所成角的步骤： （1）过斜线上不同于斜足的点作平面 的垂线（选择可作垂线的点）； （2）连接垂足与斜足，找到斜线 在该 平面上的射影； （3）构造以垂线段、斜线段、斜线段 的射影为边的直角三角形，在此直角 三角形中以斜足为顶点的锐角是斜线 与平面所成的角，解此直角三角形。
O
P
O A
(4)PC⊥AB,PA⊥BC, PB⊥AC
(5)PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA
O
从平面外同一点向该平面能作多少条垂线段和斜线段？
有且只有一条 有无数条
从平面外同一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：
（1）垂线段唯一存在且最短； （2）射影相等的两条斜线段相等， 射影较长的斜线段也较长； （3）相等的斜线段的射影相等， 较长的斜线段的射影也较长。
.P
1、过点P引直线m的垂线，垂足为O， m 则垂足O叫做点P在直线 m上的射影
O
2、过点P引平面的垂线，垂足为O， 则垂足O叫做点P在平面上的射影
· P
O
3、平面的斜线在该平面内的射影： 从斜线上斜足O1以外的点P引平面的垂线， 过垂足O2和斜足O1的直线叫做斜线在该平面内的射影， 垂足和斜足间的线段叫做 斜线段在该平面内的射影。
如果直线m与平面相交且垂直，交点 为O，则直线m叫做平面的垂线，交点O 叫做垂足，
垂线m上的任意一点P与垂足O 间的线段PO叫做平面的垂线段 过空间一点的面的垂线及垂线段有且只有一条
如果直线n与平面相交且不垂直，交 点为M，则直线n叫做平面的斜线，交点 M叫做斜足，
斜线n上任意一点N与斜足之间的线段叫做平面的斜线段。 过空间一点的面的斜线和斜线段有无数条
P
A
ห้องสมุดไป่ตู้
垂线段最短的说理
垂线段最短的说理
垂线段最短，是说当从直线外一点到这条直线所画的线段中，垂线段是最短的。
这是因为垂线段是连接直线外一点与直线上各点的所有线段中最短的一条。
根据垂线段的性质，当两条线段都与同一条直线垂直时，较短的线段长度一定小于较长的线段长度。
因此，垂线段是最短的。
为了证明这个性质，我们可以考虑以下步骤：
第一步，设点A是直线L外一点，点B是直线L上的一点，从点A到直线L可以作无数条线段，其中垂线段AB是最短的。
第二步，假设存在另一条线段AC（AC>AB），且AC垂直于直线L于点C。
现在我们需要证明线段AB的长度小于或等于线段AC 的长度。
第三步，根据勾股定理，在直角三角形ABC中，有AB² = BC² + AC²。
如果AC>AB，那么AC² > AB²，进而BC² < AC² - AB²。
第四步，由于点C位于直线L上，所以BC的长度至少为d（d 为点B到直线L的最短距离），因此有BC² ≥ d²。
结合第三步的结论，我们得到d² < AC² - AB²，这意味着d < AC - AB。
第五步，由于d是点B到直线L的最短距离，所以d是所有点到直线L距离中最短的。
因此，我们有AB + d < AC。
第六步，由于AB是垂线段的长度，而AB + d < AC证明了垂线段的长度是最短的，所以我们可以得出结论：垂线段是最短的。
七年级数学垂线的概念、画法、性质与角度计算
相交线之垂线在相交线的模型中，固定木条a，转动木条b。
当b的位置变化时，a、b所成的∠α也会发生变化。
当∠α＝90°时（如图1），你能得到什么结论？我们说a与b互相垂直，记作a⊥b。
（图1）【知识梳理1】垂线的相关概念及推理1.当∠α＝90°时（如图1）此时，我们说a与b互相垂直，记作a⊥b。
（图2）2.垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足。
如图2，AB⊥CD，垂足为O。
注：（1）∠α可以是四个角中的任意一个角，不是限定不变的某一个角。
（2）在画图时，要标记直角符号“┐”，垂线是一条直线而不是线段或射线。
3.推理格式∵∠AOC＝90°（已知）∴AB⊥CD（垂直的定义）反过来也成立：∵AB⊥CD于点O（已知）∴∠AOC＝∠BOC＝∠BOD＝∠AOD＝90°（垂直的定义）注：垂直的定义既是垂直的性质，也是垂直的判定方法。
【重点剖析】遇到线段、射线的垂直问题，指的是它们所在的直线互相垂直，画线段或射线的垂线是指画它们所在直线的垂线，垂足可能在线上，也可能在其延长线上。
【知识梳理2】垂线的画法经过一点作（已知直线上或直线外），画已知直线的垂线，步骤如下：①靠线：让直角三角板的一条直角边（或某条刻度线）与已知直线重合；②靠点：沿直线移动，使直角三角板的另一条直角边经过已知点；③画线：沿直角边画线，则这条直线就是经过这个点的已知直线的垂线。
例：1.在下列各图中，过点P 画出射线AB 或线段AB 的垂线 2.过点P 作∠AOB 两边的垂线【例题精讲】例1.下列说法正确的有（ ）①两条直线相交，交点叫垂足；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③在同一平面内，一条直线有且只有一条垂线；④在同一平面内，一条线段有无数条垂线；⑤过任意一点不可能向一条射线或线段所在的直线作垂线；⑥若直线1l ⊥2l ，则1l 是2l 的垂线，2l 不是1l 的垂线。
垂线段性质及应用
垂线段性质及应用垂线段是指与另一直线段垂直相交的直线段。
垂线段具有许多重要的性质和应用，下面将详细介绍。
首先，垂线段的性质之一是垂直性质。
如果一条直线段与另一直线段垂直相交，那么它们的斜率乘积为-1。
这是因为两条垂直线段所代表的直线的斜率互为相反数。
利用这一性质，我们可以判断两个线段是否垂直。
其次，垂线段的性质之二是长度比性质。
设两条线段AB和CD是垂线段，如果他们相交于垂足O，那么AO与OC的比等于BO与OD的比，即AO/OC = BO/OD。
这一性质可以用来解决一些与线段长度比有关的几何问题。
另外，垂线段的性质之三是分解性质。
任意一条线段的垂线段可以将其分解为两个互相垂直的线段。
例如，一条线段AB的垂线段AC可以将线段AB分解为AB = AC + BC，其中AB和BC是互相垂直的线段。
垂线段的应用非常广泛。
首先，垂线段在勾股定理中起到重要的作用。
根据勾股定理，如果一个三角形的两条边互相垂直，那么它们的平方和等于斜边的平方，即a^2 + b^2 = c^2，其中a和b是两条垂直边的长度，c是斜边的长度。
这一定理在解决与三角形有关的问题时经常用到。
其次，垂线段在求解两条直线的交点时也非常有用。
如果两条直线互相垂直，那么它们的交点是它们斜率乘积为-1的点。
通过求解垂线段和直线的交点，我们可以确定两条直线的交点位置。
此外，垂线段还可以在平面几何中用来构造垂直平分线。
垂直平分线是指将一条线段垂直平分为两个等长度的线段的直线。
通过取一条垂至于线段中点的线段，我们可以得到该线段的垂直平分线。
垂直平分线在绘制正方形、长方形等图形时非常有用。
最后，垂线段还可以用于解决与圆有关的问题。
当一条线段的两个端点分别位于圆上时，可以通过画垂至于线段中点的线段，确定线段与圆的切点。
而切线与半径的垂线段的斜率乘积为-1，可以用于判定一条线段是否为圆的切线。
综上所述，垂线段具有垂直性、长度比、分解等性质，可以应用于勾股定理、求解交点、构造垂直平分线、解决与圆有关的问题等几何应用中。
垂直线与垂直线性质的判定
垂直线与垂直线性质的判定一、垂直线的定义与性质1.垂直线的定义：在同一平面内，两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。
其中一条直线称为另一条直线的垂线。
2.垂直线的性质：（1）垂直线相交成直角；（2）垂线段的性质：垂线段是从一点到直线的最短距离；（3）垂线与直线的交点称为垂足；（4）在同一平面内，通过一点可以作一条且只能作一条垂线与已知直线垂直。
二、垂直线性质的判定1.如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直；2.如果一条直线与另一直线垂直，那么这条直线上的任意一点到另一条直线的距离相等；3.在同一平面内，如果通过一点作已知直线的垂线，那么这条垂线是唯一的；4.在同一平面内，如果两条直线互相垂直，那么它们的斜率的乘积为-1。
三、垂直线的相关定理与公式1.定理：在同一平面内，如果一条直线与另外两条直线分别垂直，那么这两条直线互相平行；2.定理：在同一平面内，如果一条直线与另外两条直线分别平行，那么这两条直线互相垂直；3.公式：直线的斜率k与垂线的斜率k1满足k × k1 = -1。
四、垂直线在实际应用中的例子1.在建筑设计中，垂直线用于确定建筑物立面的垂直度；2.在机械制造中，垂直线用于保证零件的相互垂直度；3.在地理测绘中，垂直线用于确定地球表面上某一点的经度；4.在医学影像学中，垂直线用于诊断和分析患者的器官结构。
五、垂直线的相关练习题1.判断题：在同一平面内，如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。
（对）2.判断题：在同一平面内，如果一条直线与另一直线垂直，那么这条直线上的任意一点到另一条直线的距离相等。
（对）3.选择题：在同一平面内，通过一点作已知直线的垂线，那么这条垂线是（唯一的一条）。
4.计算题：已知直线L的斜率为2，求与直线L垂直的直线的斜率。
（-1/2）5.应用题：建筑设计中，需要确定一座建筑物立面的垂直度，请问如何利用垂直线来实现？（答案：通过测量和绘制垂直线来确定建筑物的垂直度）习题及方法：1.习题：判断题。
垂线教案
A BC D OP O A B C5.1.2 垂线[教学目标]1． 理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线。
2． 掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离。
3． 掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理。
[教学重点与难点] 1．教学重点：垂线的定义及性质。
2．教学难点：垂线的画法。
[教学过程设计] 一. 复习提问：1.叙述邻补角及对顶角的定义。
2.对顶角有怎样的性质。
二．新课：引言： 前面我们复习了两条相交直线所成的角，如果两条直线相交成特殊角直角时，这两条直线有怎样特殊的位置关系呢？日常生活中有没有这方面的实例呢？下面我们就来研究这个问题。
（一）垂线的定义: 当两条直线相交的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线是互相垂直的，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
如图，直线AB 、CD 互相垂直，记作CD AB ⊥，垂足为O 。
请同学举出日常生活中，两条直线互相垂直的实例。
注意：1.如遇到线段与线段、线段与射线、射线与射线、线段或射线与直线垂直，特指它们所在的直线互相垂直。
2、掌握如下的推理过程：（如上图）.(90(垂直定义）已知），︒=∠=∠=∠=∠∴⊥AOD BOD COB AOC CD AB Θ反之，（二）垂线的画法 探究：1、用三角尺或量角器画已知直线l 的垂线，这样的垂线能画出几条？2、经过直线l 上一点A 画l 的垂线，这样的垂线能画出几条？3、经过直线l 外一点B 画l 的垂线，这样的垂线能画出几条？画法：让三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使其另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线。
注意：如过一点画射线或线段的垂线，是指画它们所在直线的垂线，垂足有时在延长线上。
（三）垂线的性质经过一点（已知直线上或直线外），能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线，即： 性质1 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
垂线和垂直线段有什么区别
垂线和垂直线段有什么区别
从概念上来讲，线与线段是有区别的。
线表示是无限长，线段只是有限的长度。
垂线和垂直线段的区别
1、垂直线是垂直与直线、线段、平面的直线，没有长度和距离。
垂线段是垂直与直线、线段、平面的线段，有长度和距离。
即垂直线不可度量，而垂线段可度量。
2、垂线段是连接直线外一点与垂足形成的线段；垂直线是两条互相垂直的直线互为对方的垂直线。
3、垂线段侧重突出的是某条具有垂直关系的线段；垂直线则着重强调的是某条线段与另外的线有垂直关系。
垂线
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一直线的垂线，交点叫垂足。
垂线段是一个图形，点到直线的距离是一个数量。
垂直线
在一条直线或平面上，另一条直线和已知直线或平面夹角为90度，就是垂直线。
在一条直线上画一个点离它最近的线，垂直线是最短的。
人教版数学七年级下册5.1《垂线》名师教案
活动一画图实践
1．作直线EF的垂线.
(1)直线EF，画出直线EF的垂线，能画几条?EF
小组内交流,明确直线EF的垂线有多少条？即存在,但位置有不______性.〔无数条〕〔不确定〕
(2)怎样才能确定直线EF的垂线位置呢?
在直线EF上取一点A,过点A画EF的垂线, 能画几条?再经过直线EF外一点B画直线EF的垂线,这样的垂线能画出几条?
垂线性质：
答案：1条，如图：
2条，如图：
垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与直线垂直.
〔4〕如图AB与直线BC垂直。
点A与直线BC上各点的距离长短不一，我们可以
发现其中最短的应该是线段AB。线段AB的长度就
是点A到直线BC的距离。请量一量线段AB的长度.
结论：.
简记为：.
(5)直线外一点到这条直线的，叫做点到直线的距离.
(4)点到直线的距离是从直线外一点向这条直线所作的垂线段的长度，它是一个数量概念，只能量出或求出，而不能画出，画出的是垂线段，不是点到直线的距离;点到直线的距离问题通常伴随着过一点作直线的垂线，作图的准确性直接影响到计算与区分，务必仔细、标准.
4、随堂检测
一、选择题
1.如下图,以下说法不正确的选项是( )
4、学习难点
掌握垂线的性质，并会利用所学知识进展简单的推理.
二、教学设计
〔一〕课前设计
1、预习任务
任务1
阅读教材P3-4，思考：垂线的定义是什么？我们用符号语言怎么表示？
任务2
阅读教材P4-5垂线有哪些性质？过一点如何作直线的垂线？
任务3
阅读教材P5，什么是点到直线的距离？
2、预习自测
〔1〕、两条直线相交所成的四个角中，有一个角是时，这两条直线就互相垂直.其中一条直线叫做另一条直线的，它们的交点叫做.假设“直线AB垂直于直线CD，垂足为O〞，那么记为__________________，并在图中任意一个角处作上直角记号.
人教版数学七年级下册第五章垂线段课件
导引：根据点到直线的距离的定义可知，点A到直线BC
的距离是线段AC的长，点B到直线AC的距离是线
段BC的长，点C到直线AB的距离是线段CD的长．
因为三角形ABC的面积S＝ 1AC·BC＝1AB· CD，
2
2
所以AC·BC＝AB·CD，进而可得CD＝2.4 cm.
新知小结
正确理解点到直线的距离及两点间的距离是解决 此类问题的关键．解决此类问题应注意：(1)点到直线 的距离是点到直线的垂线段的长度，而不是垂线，也 不是垂线段；(2)距离表示线段的长度，是一个数量， 与线段不能等同；(3)用垂线段的长度表示点到直线的 距离，其实质是点与垂足两点间的距离，体现了数形 结合思想．
巩固新知
1 如图，三角形ABC中，∠C=90°. (1)分别指出点A到直线BC，点B到直线AC的距离 是哪些线段的长； (3)三条边AB，AC，BC中哪条边最长？为什么？
A
解：(1)点A到直线BC的距离是线段AC的长．点B到直 线AC的距离是线段BC的长．
(2)AB边最长．因为连接点B与AC上各点的所有线 段中，垂线段最短，已知BC⊥AC，所以 BC<AB. 连接点A与BC上各点的所有线段中， 垂线段最短，已知AC⊥BC，所以AC<AB. 综上所述，三条边AB，AC，BC中，AB边最长．
距离的概念作出正确的判断即可．所以记忆与理解相
到达，则下列判断正确的是( A ) ③两点之间，垂线最短；
PD不是垂线段，所以CE＜PC，DF＜PD，所以 简单说成：垂线段最短．
A．小亮骑车的速度快 如图，AD⊥BD，BC⊥CD，AB＝6 cm，BC＝4 cm，
③点C到AB的垂线段是线段AB； 直，点O为垂足，我们把线段PO叫做点P到直线l的
垂线段最短的性质
垂线段最短的性质垂线段是一种特殊的线段，它是在一个垂直于特定直线的另一直线上所产生的。
根据几何原理，垂线段可以是最短线段。
在日常生活中，我们经常使用垂线段来节约路程，并且可以节省时间和金钱。
因此，研究垂线段的最短性质是非常重要的。
首先，让我们来了解一下垂线段的特点。
首先，要知道的是，垂线段所产生的直线成90度直角，同时也是垂直的。
这意味着，垂线段可以垂直穿过另一条线段，而不改变穿越的线段的长度。
其次，要知道的是，垂线段的方向仅仅取决于特定直线在空间中的方向，而不取决于穿越线段的指向。
因此，无论特定直线的指向如何，垂线段的指向总是垂直该直线的。
现在，让我们来看看为什么垂线段是最短线段。
从几何角度看，垂线段在垂直线段上所产生的直线是最短的，因为它们的长度是由斜率决定的，而斜率的值是0，所以垂线段的长度是最短的。
此外，垂线段的性质在应用中也得到了体现，比如在建筑物设计时，垂线段可以实现最快速度，最短距离和最低成本的移动。
另外，垂线段还可以被用来求解复杂的几何问题。
例如，在图形中，给定三点A、B、C，要求求得A与C的最短距离，可以根据垂线段的性质，利用B点来构造垂线段，从而可以求解出A与C的最短距离。
最后，垂线段的性质还可以用来求解微积分中的问题。
例如，关于极坐标下的曲线，可以利用垂线段的性质来求解曲线段的长度。
这里，可以利用特定点X处垂线段的性质，通过求取X点处曲线弧长的分割确定X点处曲线的方向，从而求出曲线段的长度。
综上所述，垂线段的最短性质在日常生活中具有重要的意义，也可以用于几何计算，以及解决微积分问题。
这就是垂线段最短的特性。
七年级数学上册6.5垂直什么叫垂线段？素材苏科版解析
什么叫垂线段？
难易度：★★★
关键词：相交线
答案：
从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段
【举一反三】
典例：下列说法中，正确的是（）
A、垂线最短
B、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C、同角的补角（余角）相等
D、两点之间直线最短
思路引导：根据垂线段最短、垂线的性质、余角的性质和两点之间线段最短，分析、判断各选项的正确与否，再作选择． A、垂线段最短，故错误；B、平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故错误；C、正确；D、两点之间线段最短，故错误．故选C．
标准答案：C
1。
垂线段最短的依据
垂线段最短的依据
垂线段最短的依据是勾股定理。
勾股定理指出，在一个直角三角形中，斜边的平方等于另外两条直角边平方和。
如果一个垂线段垂直于一条直线段，并且连接直线段上的一个点和这条直线段的中点，那么这个垂线段就是直线段上离该点最近的点到该点的距离，即垂线段最短。
这是因为垂线段和直线段构成了一个直角三角形，垂线段就是直角边，直线段上的点到垂足的距离就是另外一个直角边，而直线段的长度就是斜边的长度。
根据勾股定理，斜边的长度肯定大于或等于另外两条直角边的长度，因此连接直线段上的一个点和这条直线段的中点的垂线段是直线段上离该点最近的点到该点的距离。
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O
n
O
A
B
C 5x
x
∠AOC＝90°×
4 5
O
A
＝72°，
1 5
∠BOC＝90°×
＝18°,
∠BOC的补角＝180°－18°＝162 °
折一折
• 在一张半透明的纸上画一条直线l，在l上任 取一点P，在l外任取一点Q，折出过点P且 与l垂直的直线。这样的直线能折出几条？ 过点Q呢？
画一画
• 做一条直线的垂线能画多少条？ • 过直线上一点做已知直线的垂线能画多 少条？ • 过直线外一点做已知直线的垂线能画多 少条？
过一点画已知直线的垂线
作法：
1、靠(边靠线、边靠边) 2、过 3、画
垂线的性质
有且只有一条 • 过一点有且只有一条直线与已知直线垂 直。
线段、射线的垂线应怎么画呢？
P
1. 跳水比赛中，入水时水花的 大小直接影响跳水的成绩。那么，水 花的大小是什么原因造成的？
2. 如果用一条直线代表水面， 用另一条直线表示身体，试画出无 水花、水花小 、水花大的示意图。
水花大
A C B O D
水花小
无水花
A O C D
B
直线AB、CD相交于 点O.
2.1.2 垂线
当∠AOD=90°时, 直线AB、CD互相垂 直。 记作AB⊥CD, 交点O叫做垂足。 读作AB垂直于CD
· A
N B
E
生垂直
生活中的垂直
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套。仁玉打扮好了，我像充当起伴娘的角色，来到她的房间，和她讲起话来：“今天是你出嫁的日子，有何感想呢？”貌似我又问了一个欠扁 的问题。只是这样一问，谁料逗了仁玉笑了一笑。仁玉打趣的说：“莲，今天我当然不高兴啦！”“我也知道你不高兴，但是呢，留得青山在 不愁没柴烧啊！嫁了也没说就失去爱自己喜爱之人的权利的，是吧？”我一鼓作气地说了对她来说算是很新潮的话。果然，仁玉有点吃惊，但 是很快又回过神来，她貌似已经习惯了我这说的话。仁玉低着头一本正经地思考了一会，蓦地抬起头来冲我笑了一下。“莲，谢谢你，其实我 也知道我这一生是要这样过的了，但是你那晚告诉了我，就算是有许多艰难与不幸，我还是应该去追逐自己的梦想，你说是吗？”我听后，感 到无比欣慰，连忙点头称是。仁玉笑了，这是第一次真心地在笑吧！看到让人无比怜惜的仁玉，我暗中认定了这位朋友，一个拥有梦想的，并 学会乐观接收现实生活的女子；就好像在告诉我，其实我也可以克服我自身的软弱，活得像她一样，尽管世事不尽如意，但是还有我的梦想在 鼓舞着我。这时，仁老夫人和仁轩也穿着整齐光鲜的衣服走了进来。仁轩看见我也在这，就一蹦一蹦地跑过来拉起我的手，说要带我去看那大 红灯笼，还有去烧鞭炮。我看了看老夫人，知道她有话要跟仁玉说，我也是个识趣的人，于是向老夫人说声告辞，仁老夫人也示意地点了点头， 我便拉着仁轩走出了房门。屋里剩下新娘和老夫人了。老夫人缓缓地走向床边，坐下后又深深地叹了一口气，说道：“玉儿啊，今天你终于要 出嫁了。奶奶可是真舍不得你啊！自从你爹娘被害之后，我是一手把你们拉扯大的啊，如今你有了好的归宿，奶奶也替你高兴啊。”老夫人说 着说着，眼泪也随之留下来了。仁玉正坐在老夫人对面，不作声地听着奶奶的教导。仁老夫人继续讲道：“还有一件事就是，今天之后你就是 傅家四少爷的妾身了，也算是为**子了，应该注意一下自己的言行，尤其不要再继续粘着人家莲公子；奶奶知道在这些日子里你们一起生活， 关系很好，奶奶也知道莲公子帮了我们仁家不少的忙，但是，究竟莲公子是个男子，而且也是突如其来的不知身世的人，还是少见为好。”听 到这，仁玉亦是毫不做声，只是比起刚才，这气氛在无意间变得更加沉寂。“好了，奶奶的话就说到这了，你好好准备一下，待会儿就要上花 桥了。”仁老夫人说罢，拄着拐杖，慢慢地走出了仁玉的房门。此时的我，躲在房门外的隐蔽处，看着仁老夫人走远。其实，我一直没走开， 找些理由支开仁轩，就这么一直偷听着，因为我实在放心不下仁玉，也不知道这仁老夫人会说些什么话来为难她。一个失去爱的资格的人儿还 要接受失去自由交朋
生活中的垂直
垂线的定义有以下两层含义：
A
A C
1 D 1 C B
D
B
• 2、∵∠1=90°（已知） • 1、∵AB⊥CD（已知） ∴AB⊥CD（垂线的定 • ∴∠1=90°（垂线的定义）• 义）
看谁做得快
m
1.若直线m、n相交于点O， m⊥n 。 ∠1＝90°，则__________ 2.若直线AB、CD相交于点O， 且AB⊥CD，那么∠BOD＝____ 90。 ° 3.如图，BO⊥AO，∠BOC 与∠BOA的度数之比为1:5， 那么∠COA＝_____, 72° ∠BOC的补角为______ 162 度。
Q
A
B
O
A
思考
有人不慎掉入有鳄鱼的湖中。如图， 他在P点，应选择什么样的路线尽 快游到岸边m呢？
连接直线外一点与直线上各点的所有 垂线段最短 线段中，垂线段最短。
•垂直的定义；
•垂直的表示方法； •垂线的画法； •垂线的两条性质；
G D M· C
┏
F
问题1：长方体的顶点A处有一只 蚂蚁想爬到点C处，请你帮它画出爬 行的最佳路线。并说明理由。 问题2：若A处的蚂蚁想爬到棱BC 上，你认为它的最佳路线是什么？ 问题3：若蚂蚁在点M处，想爬到 棱BC上，请你设计一条最佳路线。