2019-2020学年高中数学复习 排列组合基础篇.doc
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高中数学排列组合公式大全_高中数学排列组合重点知识高中数学排列组合公式大全_高中数学排列组合重点知识高中数学排列组合公式大全1.排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n 个不同元素中取出m(m n)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2) (n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2.组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m);3.其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列(Pnm(n为下标，m为上标))Pnm=n (n-1)....(n-m+1);Pnm=n!/(n-m)!(注：!是阶乘符号);Pnn(两个n分别为上标和下标) =n!;0!=1;Pn1(n为下标1为上标)=n组合(Cnm(n为下标，m为上标))Cnm=Pnm/Pmm ;Cnm=n!/m!(n-m)!;Cnn(两个n分别为上标和下标) =1 ;Cn1(n为下标1为上标)=n;Cnm=Cnn-m高中数学排列组合公式记忆口诀加法乘法两原理，贯穿始终的法则。
与序无关是组合，要求有序是排列。
两个公式两性质，两种思想和方法。
归纳出排列组合，应用问题须转化。
(完整版)基础排列组合部分知识总结
计数原理1.摆列组合知识导学 ：1. 分类计数原理：达成一件事，有ｎ类方法，在第1 类方法中，有 m 1 种不一样的方法，在第 2类方法中，有 m 2 种不一样的方法， 在第ｎ类方法中，有 m n 种不一样的方法，那么达成这件事共有 ＝m 1 ＋ m 2 ＋ ＋ m n 种不一样的方法 .N2. 分步计数原理：达成一件事，需要分红ｎ个步骤，做第 1 步，有 m 1 种不一样的方法，做第2 步，有m 2 种不一样的方法， 做第ｎ步，有 m n 种不一样的方法，那么达成这件事共有 ＝m 1 ×Nm 2 × × m n 种不一样的方法 .摆列数公式 ：A n mn ( n 1)( n 2)( n 3)( n m 1)A n mn! （这里ｍ、ｎ∈ N * ，且ｍ≤ｎ）(n m)!组合数公式：mA n m n(n 1)(n 2)( n 3) ( nm 1)C nA m mnC n mn! （这里ｍ、ｎ∈ N *，且ｍ≤ｎ）m! (n m)!组合数的两个性质C n m C n n m 规定： C n 0 1C n m 1 C n mC n m 1例 l、分类加法计数原理的应用在全部的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？剖析：该问题与计数相关，可考虑采纳两个基来源理来计算，达成这件事，只需两位数的个位、十位确立了，这件事就算达成了，所以可考虑安排十位上的数字状况进行分类．解法一：按十位数上的数字分别是1， 2， 3， 4，5， 6， 7，8 的状况分红8 类，在每一类中知足题目条件的两位数分别是8 个， 7 个， 6 个， 5 个， 4 个， 3 个， 2 个， l 个．由分类加法计数原理知，切合题意的两位数的个数共有8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + l＝36 个．解法二：按个位数字是2， 3， 4， 5， 6，7， 8， 9 分红 8 类，在每一类中知足条件的两位数分别是 l 个、 2 个、 3 个、 4 个、 5 个、 6 个、 7 个、 8 个，所以按分类加法计数原理共有l + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36个．评论：分类加法计数原理是对波及达成某一件事的不一样方法种数的计数方法，每一类的各样方法都是互相独立的，每一类中的每一种方法都能够独立达成这件事。
2019-2020版高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.2 第2课时 组合的
第2课时组合的综合应用学习目标 1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题.2.能解决有限制条件的组合问题．知识点组合的特点(1)组合的特点是只取不排组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m 次不放回地取出．(2)组合的特性元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，没有位置的要求．(3)相同的组合根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同(不管顺序如何)，就是相同的组合．类型一有限制条件的组合问题例1 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？(1)至少有一名队长当选；(2)至多有两名女生当选；(3)既要有队长，又要有女生当选．考点组合的应用题点有限制条件的组合问题解(1)C513－C511＝825(种)(2)至多有2名女生当选含有三类：有2名女生；只有1名女生；没有女生，所以共有C25C38＋C15C48＋C58＝966(种)选法．(3)分两类：第一类女队长当选，有C412＝495(种)选法，第二类女队长没当选，有C14C37＋C24C27＋C34C17＋C44＝295(种)选法，所以共有495＋295＝790(种)选法．反思与感悟有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类：一是“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数；二是“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．跟踪训练1 某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；(2)任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭．则每天不同午餐的搭配方法共有( )A．210种 B．420种 C．56种 D．22种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 A解析由分类加法计数原理知，两类配餐的搭配方法之和即为所求，所以每天不同午餐的搭配方法共有C24C27＋C14C27＝210(种)．类型二与几何有关的组合应用题例2 如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，…，C6，线段AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4.(1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含C1点的有多少个？(2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？考点组合的应用题点与几何有关的组合问题解(1)方法一可作出三角形C36＋C16·C24＋C26·C14＝116(个)．方法二可作三角形C310－C34＝116(个)，其中以C1为顶点的三角形有C25＋C15·C14＋C24＝36(个)．(2)可作出四边形C46＋C36·C16＋C26·C26＝360(个)．反思与感悟(1)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用间接法．(2)在处理几何问题中的组合问题时，应将几何问题抽象成组合问题来解决．跟踪训练2 空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点共线，无四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为( )A．205 B．110 C．204 D．200考点 组合的应用题点 与几何有关的组合问题 答案 A解析 方法一 可以按从共面的5个点中取0个、1个、2个、3个进行分类，则得到所有的取法总数为C 05C 45＋C 15C 35＋C 25C 25＋C 35C 15＝205.方法二 从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点的情况，得到所有构成四面体的个数为C 410－C 45＝205. 类型三 分组、分配问题命题角度1 不同元素分组、分配问题例3 6本不同的书，分为3组，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1)每组2本(平均分组)；(2)一组1本，一组2本，一组3本(不平均分组)； (3)一组4本，另外两组各1本(局部平均分组)． 考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题解 (1)每组2本，均分为3组的方法数为C 26C 24C 22A 33＝15×6×16＝15.(2)一组1本，一组2本，一组3本的分组种数为C 36C 23C 11＝20×3＝60. (3)一组4本，另外两组各1本的分组种数为C 46C 12C 11A 22＝15×22＝15.反思与感悟 一般地，n 个不同的元素分成p 组，各组内元素数目分别为m 1，m 2，…，m p ，其中k 组元素数目相等，那么分组方法数是C m 1n C m 2n －m 1C m 3n －m 1－m 2…C m p m pA kk. 跟踪训练3 6本不同的书，分给甲、乙、丙3人，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1)甲2本，乙2本，丙2本； (2)甲1本，乙2本，丙3本； (3)甲4本，乙、丙每人1本； (4)每人2本；(5)一人1本，一人2本，一人3本； (6)一人4本，其余两人每人1本． 考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题解 (1)(2)(3)中，由于每人分的本数固定，属于定向分配问题，由分步乘法计数原理得： (1)共有C 26C 24C 22＝90(种)不同的分配方法；(2)共有C16C25C33＝60(种)不同的分配方法；(3)共有C46C12C11＝30(种)不同的分配方法．(4)(5)(6)属于不定向分配问题，是该类题中比较困难的问题．分配给3人，同一本书给不同的人是不同的分法，属于排列问题．实际上可看作两个步骤：先分为3组，再把这3组分给甲、乙、丙3人的全排列数A33即可．因此，(4)共有C26C24C22÷A33×A33＝90(种)不同的分配方法；(5)共有C16C25C33×A33＝360(种)不同的分配方法；(6)共有C46C12C11÷A22×A33＝90(种)不同的分配方法．命题角度2 相同元素分配问题例4 将6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子，求下列方法的种数．(1)每个盒子都不空；(2)恰有一个空盒子；(3)恰有两个空盒子．考点排列组合综合问题题点分组分配问题解(1)先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，有C35＝10(种)．(2)恰有一个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如|0|000|00|，有C25种插法，然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如|0|000||00|，有C14种插法，故共有C25·C14＝40(种)．(3)恰有两个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙各插一块隔板，有C15种插法，如|00|0000|，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒．①这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，如||00||0000|，有C23种插法．②将两块板与前面三块板之一并放，如|00|||0000|，有C13种插法．故共有C15·(C23＋C13)＝30(种)．反思与感悟相同元素分配问题的处理策略(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作在排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”．每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法．隔板法专门解决相同元素的分配问题．(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有C m－1n－1种方法．可描述为n－1个空中插入m－1块板．跟踪训练4 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( )A．4种B．10种C．18种D．20种考点排列组合综合问题题点分组分配问题答案 B解析由于只剩一本书，且这些画册、集邮册分别相同，可以从剩余的书的类别进行分析．又由于排列、组合针对的是不同的元素，应从4位朋友中进行选取．第一类：当剩余的一本是画册时，相当于把3本相同的集邮册和1本画册分给4位朋友，只有1位朋友得到画册．即把4位朋友分成人数为1,3的两队，有1个元素的那队分给画册，另一队分给集邮册，有C14种分法．第二类：当剩余的一本是集邮册时，相当于把2本相同的画册和2本相同的集邮册分给4位朋友，有2位朋友得到画册，即把4位朋友分成人数为2,2的两队，一队分给画册，另一队分给集邮册，有C24种分法．因此，满足题意的赠送方法共有C14＋C24＝4＋6＝10(种)．1．某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名选手参加比赛，种子选手必须在内，那么不同选法共有( )A．26种 B．84种 C．35种 D．21种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 C解析从7名队员中选出3人有C37＝7×6×53×2×1＝35(种)选法．2．身高各不相同的7名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，左右两边分别顺次一个比一个低，这样的排法种数是( )A．5 040 B．36 C．18 D．20考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 D解析最高的同学站中间，从余下6人中选3人在一侧只有一种站法，另3人在另一侧也只有一种站法，所以排法有C36＝20(种)．3．直角坐标平面xOy上，平行直线x＝n(n＝0,1,2，…，5)与平行直线y＝n(n＝0,1,2，…，5)组成的图形中，矩形共有( )A．25个 B．36个 C．100个 D．225个考点组合的应用题点与几何有关的组合问题答案 D解析从垂直于x轴的6条直线中任取2条，从垂直于y轴的6条直线中任取2条，四条直线相交得出一个矩形，所以矩形总数为C26×C26＝15×15＝225.4．从7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动，若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)考点排列组合综合问题题点分组分配问题答案140解析安排方案分为两步完成：从7名志愿者中选3人安排在周六参加社区公益活动，有C37种方法；再从剩下的4名志愿者中选3人安排在周日参加社区公益活动，有C34种方法．故不同的安排方案共有C37C34＝7×6×53×2×1×4＝140(种)．5．正六边形顶点和中心共7个点，可组成________个三角形．考点组合的应用题点与几何有关的组合问题答案32解析不共线的三个点可组成一个三角形，7个点中共线的是：正六边形过中心的3条对角线，即共有3种情况，故组成三角形的个数为C37－3＝32.1．无限制条件的组合应用题．其解题步骤为：(1)判断；(2)转化；(3)求值；(4)作答．2．有限制条件的组合应用题：(1)“含”与“不含”问题：这类问题的解题思路是将限制条件视为特殊元素和特殊位置，一般来讲，特殊要先满足，其余则“一视同仁”．若正面入手不易，则从反面入手，寻找问题的突破口，即采用排除法．解题时要注意分清“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的确切含义，准确把握分类标准．(2)几何中的计算问题：在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决．(3)分组、分配问题：分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同，是不可区分的，而后者即使两组元素个数相同，但因元素不同，仍然是可区分的．一、选择题1．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取3个不同的数，使其和为奇数，则不同的取法共有( )A．30种 B．33种 C．37种 D．40种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 D解析从1,2,3，…，9这9个数中取出3个不同的数，使其和为奇数的情况包括：(1)取出的3个数都是奇数，取法有C35＝10(种)；(2)取出的3个数中有2个偶数、1个奇数，取法有C24C15＝30(种)，根据分类加法计数原理，满足题意的取法共有10＋30＝40(种)．2．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为( )A．24种 B．14种 C．28种 D．48种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 B解析方法一分两类完成：第1类，选派1名女生、3名男生，有C12·C34种选派方案；第2类，选派2名女生、2名男生，有C22·C24种选派方案．故共有C12·C34＋C22·C24＝14(种)不同的选派方案．方法二6人中选派4人的组合数为C46，其中都选男生的组合数为C44，所以至少有1名女生的选派方案有C46－C44＝14(种)．3．直线a∥b，a上有5个点，b上有4个点，以这九个点为顶点的三角形个数为( ) A．C25C14＋C15C24B．(C25＋C14)(C15＋C24)C．C39－9 D．C39－C35考点组合的应用题点 与几何有关的组合问题 答案 A解析 可以分为两类：a 上取两点，b 上取一点，则可构成三角形个数为C 25C 14；a 上取一点，b 上取两点，则可构成三角形个数为C 15C 24，利用分类加法计数原理可得以这九个点为顶点的三角形个数为C 25C 14＋C 15C 24，故选A.4．从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法有( ) A ．C 25C 26种 B ．C 25A 26种 C ．C 25A 22C 26A 22种D ．A 25A 26种考点 排列组合综合问题 题点 排列与组合的综合应用 答案 B解析 先从5名男选手中任意选取2名，有C 25种选法，再从6名女选手中任意选择两名与选出的男选手打比赛，有C 26A 22，即A 26种．所以共有C 25A 26种．5．将标号为A ，B ，C ，D ，E ，F 的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张卡片，其中标号为A ，B 的卡片放入同1个信封，则不同的放法共有( ) A ．12种 B ．18种 C ．36种 D ．54种 考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题 答案 B解析 由题意知，不同的放法共有C 13C 24＝3×4×32＝18(种)．6．某地招募了20名志愿者，他们编号分别为1号，2号，…，19号，20号，如果要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个编号较大的人在另一组，那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取种数是( )A ．16B ．21C ．24D ．90 考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题 答案 B 解析 分2类：第1类，5号与14号为编号较大的一组，则另一组编号较小的有C 24＝6(种)选取方法． 第2类，5号与14号为编号较小的一组，则编号较大的一组有C 26＝15(种)选取方法． 由分类加法计数原理得，共有C 24＋C 26＝6＋15＝21(种)选取方法．7．北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为( ) A ．C 1214C 412C 48 B ．C 1214A 412A 48 C.C 1214C 412C 48A 33D ．C 1214C 412C 48A 38考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题 答案 A解析 首先从14人中选出12人共C 1214种，然后将12人平均分为3组共C 412·C 48·C 44A 33种，然后这两步相乘，得C 1214·C 412·C 48A 33.将三组分配下去共C 1214·C 412·C 48种．故选A. 8．假如北京大学给中山市某三所重点中学7个自主招生的推荐名额，则每所中学至少分到一个名额的方法数为( ) A ．30 B ．21 C ．10 D ．15 考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题 答案 D解析 用“隔板法”．在7个名额中间的6个空位上选2个位置加2个隔板，有C 26＝15(种)分配方法． 二、填空题9．在2017年的上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中选择3门学科参加等级考试．小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门，那么小明同学的选择方案有________种． 考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题 答案 10解析 ①在生物、政治、历史三门中选择1门，则在物理、化学、地理中选2门，有C 13C 23＝9(种)选法；②在生物、政治、历史三门中选择0门，则物理、化学、地理全选，有C 33＝1(种)选法． 共有选法9＋1＝10(种)．10.如图所示的几何体是由一个正三棱锥P －ABC 与正三棱柱ABC －A 1B 1C 1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面A 1B 1C 1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有______种．考点涂色问题题点涂色问题答案12解析先涂三棱锥P－ABC的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，共有C13×C12×C11×C12＝3×2×1×2＝12(种)不同的涂法．11．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种．(用数字作答)考点排列组合综合问题题点排列与组合的综合应用答案60解析一、二、三等奖，三个人获得，有A34＝24(种)．一、二、三等奖，有一个人获得2张，一个人获得1张，共有C23A24＝36(种)，共有24＋36＝60(种)不同的获奖情况．三、解答题12．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，求不同取法的种数．考点组合的应用题点有限制条件的组合问题解若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色，则有C14×C14×C14＝64(种)，若2张同色，则有C23×C12×C24×C14＝144(种)，若红色卡片有1张，剩余2张不同色，则有C14×C23×C14×C14＝192(种)，剩余2张同色，则有C14×C13×C24＝72(种)，所以共有64＋144＋192＋72＝472(种)不同的取法．13．现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任)．现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？考点排列组合综合问题题点分组分配问题解可以分三类．第一类，让两项工作都能胜任的青年从事英语翻译工作，有C24C23种选法；第二类，让两项工作都能胜任的青年从事德语翻译工作，有C34C13种选法；第三类，让两项工作都能胜任的青年不从事任何工作，有C34C23种选法．根据分类加法计数原理，一共有C24C23＋C34C13＋C34C23＝42(种)不同的选法．四、探究与拓展14．20个不加区别的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数为________．考点排列组合综合问题题点分组分配问题答案120解析先在编号为2,3的盒内分别放入1,2个球，还剩17个小球，三个盒内分别至少再放入1个球，将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒中即可，共C216＝120(种)方法．15．已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止．(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第10次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？考点排列组合综合问题题点排列与组合的综合应用解(1)先排前4次测试，只能取正品，有A46种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有C24A22＝A24(种)测法，再排余下4件的测试位置，有A44种测法．所以共有不同测试方法A46·A24·A44＝103 680(种)．(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，所以共有不同测试方法C16C34A44＝576(种)．。
排列组合基础知识
排列组合基础知识排列组合基础知识一、两大原理1.加法原理（1）定义：做一件事，完成它有n 类方法，在第一类方法中有1m 中不同的方法，第二类方法中有2m 种不同的方法......第n 类方法中n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N +++= (21)种不同的方法。
（2）本质：每一类方法均能独立完成该任务。
（3）特点：分成几类，就有几项相加。
2.乘法原理（1）定义做一件事，完成它需要n 个步骤，做第一个步骤有1m 中不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同的方法......做第n 个步骤有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N ...21=种不同的方法。
（2）本质：缺少任何一步均无法完成任务，每一步是不可缺少的环节。
（3）特点：分成几步，就有几项相乘。
二、排列组合1.排列（1）定义：从n 个不同的元素中，任取m 个（n m ≤）元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同的元素中，选取m 个元素的一个排列，排列数记为m n P ，或记为m n A 。
（2）使用排列的三条件①n 个不同元素；②任取m 个；③讲究顺序。
（3）计算公式)!(!)1)....(2)(1(m n n m n n n n A m n -=+---= 尤其：!,,110n P n P P n n n n ===2.组合（1）定义：从n 个不同的元素中，任取m 个（n m ≤）元素并为一组，叫做从n 个不同的元素中，选取m 个元素的一个组合，组合数记为m n C 。
（2）使用三条件①n 个不同元素；②任取m 个；③并为一组，不讲顺序。
（3）计算公式12)...1()1)...(1()!(-+--=-==m m m n n n m n m n P P C m m m n mn尤其：m n n m n n n n n C C C n C C -====,1,,110例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的五位奇数？A.226B.246C.264D.288解析：由于首位和末位有特殊要求，应优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置，末位有13C 种选择，然后排首位，有14C 种选择，左后排剩下的三个位置，有34A 种选择，由分步计数原理得：13C 14C 34A =288例2.旅行社有豪华游5种和普通游4种，某单位欲从中选择4种，其中至少有豪华游和普通游各一种的选择有（）种。
(完整word版)高中数学复习排列组合基础篇
排列、组合、二项式定理学习指导排列、组合与二项式定理是高中数学中相对独立的内容，不论是思考方法还是解题技巧，与其它章节都有很大的是同。
本章内容比较抽象,解题方法比较灵活，重在抽象思维能力与逻辑思维能力的培养与提升.因此在学习过程中,要重视教材的基础作用，重视过程的学习。
二项式定理的学习要从基础出发，对二项式的展开式、通项公式、二项式系数的性质等，要弄懂原理,牢固掌握，并会灵活运用。
要在练习中领悟原理公式与概念的实质，注意计算的准确性和解题的规范性，从而形成解题方法和能力.排列、组合、二项式定理之一――基础篇一、要点导读1、分类计数原理： ； 分步计数原理： .2、 叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列,排列数mn A ＝_____________________________=_________。
3、 叫做从n 个不同元素中取出m 元素的一个组合，组合数m n C ＝_____________ _________=_______________.4、组合数的性质：（1）m n C ＝ ；（2）m n C ＋1-m n C ＝ .5、二项式定理的内容是 .其通项为1+r T ＝ ；二项式系数的性质是① ；② ;③ .二、思维点拔1、两个计数原理的区别在于一个和“分类"有关，一个和“分步”有关。
在使用两个基本原理时，要认真审题，特别要理解题中所讲的“事情”是什么？明确完成这件事情需要“分类”还是“分步”,还是既要“分类”又要“分步",并注意“分类”或“分步”的标准.在分析过程中，如能借助图形、表格帮助分析,则可使问题更加直观、清楚，而且可防止“分类"或“分步”中的重复和遗漏现象。
2、排列中最具典型的两类问题是“排数"和“排队”。
无论是哪类问题，无外乎“元素”与“位置”的关系，即“某个元素排在什么位置"或“某个位置上排什么元素”。
如按元素与位置的多少分类，排列组合大体上可分为三类：元素个数多于位置个数、元素个数等于位置个数、元素个数少于位置个数。
排列组合基础知识讲解
排列组合基础知识讲解
排列组合是数学中的一个重要概念，用于计算从给定元素中选择若干个元素的不同方式。
以下是排列组合的基础知识讲解：
排列（Permutation）：从给定的元素中选择若干个元素进行排列，且这些元素的顺序是重要的。
例如，从3 个元素a，b，c 中选择2 个元素进行排列，可以得到6 种不同的排列方式：ab，ac，ba，bc，ca，cb。
组合（Combination）：从给定的元素中选择若干个元素进行组合，且这些元素的顺序是不重要的。
例如，从 3 个元素a，b，c 中选择2 个元素进行组合，可以得到3 种不同的组合方式：ab，ac，bc。
排列组合的计算公式如下：
排列的计算公式：$A_{n}^{k}=\frac{n!}{(n-k)!}$
组合的计算公式：$C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!\times(n-k)!}$
其中，$n$ 表示元素的总数，$k$ 表示选择的元素个数。
排列组合在实际生活中有广泛的应用，例如在概率统计、组合数学、
计算机科学等领域。
掌握排列组合的基础知识对于理解和解决这些领域中的问题非常重要。
高中数学排列组合
高中数学排列组合一、基本概念排列组合是数学中比较重要的一个分支，它是研究对象按照一定的规则，从有限个数中选出若干个数进行排列和组合的方法和样式。
1、排列排列是由一些元素按照一定顺序排列而成的整体。
排列是从n个不同元素中取出m个元素按一定顺序排列的方法数，用符号$A^m_n$表示。
例如：n个不同的元素依次排成m列，第一列有n种取法，第二列有(n-1)种取法，第三列有(n-2)种取法，依此类推，第m列有(n-m+1)种取法，则这n个元素排成m列有式子：$$ A_n^m=n(n-1)(n-2)...(n-m+1) $$2、组合组合是由一些元素按照任意排列组成的新整体。
组合是从n个不同元素中取出m个元素的不同组合数，用符号$C^m_n$表示。
例如：从4个球员中选出3人组成篮球队，有如下四种选法：$$ ABC,ABD,ACD,BCD $$将三个球员组成的篮球队作为一个整体，不考虑其顺序，则这4种选法仅算一种，所以这四种球员的组合方式有：$$ C_4^3=4 $$二、排列按顺序选择元素的方式叫做排列。
排列的计算方法是：从n个元素中取m个元素进行排列的方法有：$$ A_n^m=n(n-1)(n-2)...(n-m+1) $$特别地，当m=n时，有：$$ A_n^n=n! $$其中，n!表示n的阶乘，$n!=n(n-1)(n-2)...1$。
例1：从一组大小为6的数字中，任取4个数进行排列，求排列个数。
设全集为{1,2,3,4,5,6}，任取其中4个元素进行排列。
$$ A_6^4=6\times 5\times 4\times 3=360 $$例2：一共有5位弟子，要从其中选出3位去参加武术比赛，求有多少种不同的组合方式。
设全集为{A,B,C,D,E}，要从其中任选3个弟子参加武术比赛。
$$ C_5^3=10 $$三、组合组合是指从一组元素中任选m个元素，并将其看作一个整体。
组合的计算方法是：从n个元素中取m个元素进行组合的方法有：$$ C_n^m=\frac{A_n^m}{A_m^m}=\frac{n(n-1)(n-2)...(n-m+1)}{m!} $$特别地，当m=n时，有：$$ C_n^n=\frac{n!}{n!}=1 $$如果m>n，则组合数为0。
排列组合基础知识点
排列组合基础知识点排列组合是组合数学的重要组成部分，它研究的是如何根据特定的规则从一个集合中选择或排列对象。
它不仅在数学中有广泛的应用，在计算机科学、统计学、金融学等领域也扮演着重要角色。
本篇文章将详细介绍排列组合的基础知识，包括其定义、性质，以及相关的公式和应用示例。
一、排列的概念排列是指从n个不同元素中，按照一定的顺序取出r个元素，所形成的不同序列。
排列强调顺序，因此a和b的排列与b和a是不同的。
排列的公式为：[ A(n, r) = ]其中，n!（n的阶乘）表示从1到n所有整数的乘积。
1. 阶乘的定义阶乘是一个自然数n的连续乘积，记作n!，其定义为：n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 2 × 1，当n ≥ 1;0! = 1。
2. 排列示例设有5种不同颜色的球（红、蓝、绿、黄、白），要从中选取3种颜色并进行排列。
根据排列公式，计算方法如下：[ A(5, 3) = = = = 60 ]此时，我们可以得出60种不同的颜色排列方式，例如（红、蓝、绿）、（蓝、绿、黄）等。
二、组合的概念组合是从n个不同元素中，选择r个元素而不考虑顺序的方法。
组合只关注所选元素，不关心它们的排列顺序。
例如，从a、b、c三种元素中选出两种元素，组合为(ab, ac, bc)。
组合的公式为：[ C(n, r) = ]1. 组合示例继续使用上面的例子，即有5种颜色的球，从中选择3种颜色组合。
根据组合公式进行计算：[ C(5, 3) = = = = 10 ]此时，可以得出10种颜色组合方式，如（红、蓝、绿）、（红、蓝、黄）等。
三、排列与组合之间的联系与区别虽然排列和组合都是从一个集合中选择元素，但它们有本质上的区别。
顺序：排列关注顺序，选择a和b以及b和a，被视为两种不同情况。
组合不关注顺序，选择a和b以及b和a，被视为相同情况。
计算方法：排列使用的是A(n, r)公式。
排列组合基础知识
关于排列组合的一些基础知识1. 排列：从n个元素中取出m个（m≦n），并按照一定的顺序排成一列，称为从n个元素中取出m个元素的排列。
2. 组合：从n个元素中取出m个（m≦n），并按照一定的方式进行组合，称为从n个元素中取出m个元素的组合。
3. 排列的公式：A(n,m)=n×（n-1）×（n-2）×...×（n-m+1）。
4. 组合的公式：C(n,m)=n×（n-1）×（n-2）×...×（n-m+1）÷m×（m-1）×（m-2）×...×2×1。
5. 重复排列：在排列时允许相同的元素重复出现，每个元素出现的次数与排列的顺序有关，这种排列称为重复排列。
6. 重复组合：在组合时允许相同的元素重复出现，每个元素出现的次数与组合的方式无关，这种组合称为重复组合。
7. 排列数的性质：若A(n,m)=0，则m<0或m>n；若0≦m≦n，则A(n,m)=A(n,n-m)；若n=m则A(n,m)=1。
8. 组合数的性质：若C(n,m)=0，则m<0或m>n；若0≦m≦n，则C(n,m)=C(n,n-m)；若n=m则C(n,m)=1。
9. 插空法：在解决有关问题时，将元素分成两部分，一部分暂时不取，然后对剩下的元素进行排列或组合，这种方法称为插空法。
10. 捆绑法：在排列或组合时，先将几个元素捆绑在一起，作为一个元素处理，然后再对其他元素进行排列或组合的方法称为捆绑法。
11. 插板法：在解决有关问题时，将元素分成两部分，一部分暂时不取，然后对剩下的元素进行排列或组合，这种方法称为插板法。
12. 隔板法：在解决有关问题时，将元素分成两部分，中间插入隔板，使得每部分元素的个数等于规定的个数，这种方法称为隔板法。
高中数学复习排列与组合
高中数学复习排列与组合在高中数学学习中，排列与组合是不可或缺的基础知识点。
它们是数学中与选择、安排、计数相关的概念，广泛应用于概率、统计、组合数学等领域。
本文将从排列与组合的基本概念入手，逐步深入探讨相关内容，并通过例题进行巩固和练习。
一、排列与组合的概念1.1 排列的概念排列是指从给定的元素集合中按照一定的顺序取出若干元素进行排列。
对于含有 n 个元素的集合，从中取出 r 个元素进行排列的方式数称为排列数，用符号 P(n,r) 表示。
1.2 组合的概念组合是指从给定的元素集合中任意取出若干元素进行组合。
对于含有 n 个元素的集合，从中取出 r 个元素进行组合的方式数称为组合数，用符号 C(n,r) 表示。
二、排列的计算方法2.1 全排列当从 n 个不同元素中取出 n 个元素进行排列时，所有可能的排列方式数为 n! (n 的阶乘)。
2.2 有限排列当从 n 个不同元素中取出r (r≤n) 个元素进行排列时，所有可能的排列方式数为 P(n,r) = n!/(n-r)!。
2.3 循环排列当从 n 个同类元素中取出 r 个元素进行排列时，所有可能的循环排列方式数为 P(n,r)/r，其中 P(n,r) 表示全排列方式数，r 表示每个循环中的元素个数。
三、组合的计算方法3.1 组合数的计算公式组合数通过以下公式进行计算：C(n,r) = n!/[r!(n-r)!]，其中 n 为总元素个数，r 为取出的元素个数。
3.2 组合数的性质组合数具有以下性质：- 互补性质：C(n,r) = C(n,n-r)- 加法原理：C(n,r) + C(n,r+1) = C(n+1,r+1)- 递推关系：C(n,r) = C(n-1,r-1) + C(n-1,r)四、排列与组合的应用4.1 概率问题在概率问题中，排列与组合常被用于计算事件发生的可能性。
通过计算排列与组合数，可以得出不同事件的发生概率，并进行概率的运算与推导。
2019-2020年高三数学专题复习排列、组合与概率人教版
一、基本知识点回顾：（一）排列、组合1、 知识结构表：2、 两个基本原理：（1） 分类计数原理（2） 分步计数原理3、 排列（1） 排列、排列数定义（2） 排列数公式：)1()1()!(!+-⋅⋅⋅-=-=m n n n m n n A m n （3） 全排列公式：4、 组合（1） 组合、组合数定义（2） 组合数公式：12)1()1()1()!(!!⨯⨯⋅⋅⋅⨯-⨯+-⋅⋅⋅-=-=m m m n n n m n m n C m n （3） 组合数性质：① ② ③④n n n n n n C C C C 2210=+⋅⋅⋅+++⑤0)1(210=-+⋅⋅⋅++-n n n n n n C C C C 即：1314202-=⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅++n n n n n n C C C C C 5、 思想方法（1） 解排列组合应用题的基本思路：① 将具体问题抽象为排列组合问题，是解排列组合应用题的关键一步② 对“组合数”恰当的分类计算是解组合题的常用方法；③ 是用“直接法”还是用“间接法”解组合题，其前提是“正难则反”；（2） 解排列组合题的基本方法：① 优限法：元素分析法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；② 排异法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。
③ 分类处理：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类计数原理得出结论；注意：分类不重复不遗漏。
④ 分步处理：对某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决；在解题过程中，常常要既要分类，以要分步，其原则是先分类，再分步。
⑤插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间。
⑥捆绑法：把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列。
高中数学排列组合
高中数学排列组合什么是排列组合排列组合是高中数学中一个重要的概念，用于解决计数问题。
排列指的是从给定的一组对象中选出特定数量的对象，并按照设定的顺序进行排列的方式。
而组合则是从给定的一组对象中选出特定数量的对象，但不考虑其排列顺序。
在排列组合的问题中，我们会遇到很多不同的情况，例如从一组元素中选取部分元素进行排列、组合，或者在限定条件下求排列组合的数量等等。
以下将介绍排列组合的基本概念以及应用。
排列排列是指从给定的一组对象中选出特定数量的对象，并按照设定的顺序进行排列的方式。
数学上常用A n m表示从n个不同的元素中选取m个元素进行排列的数量。
例如，有 5 个不同的球分别标有数字 1、2、3、4、5，现从中选取 3 个球进行排列，那么排列的数量为A53。
根据排列的性质，可以使用n(n−1)(n−2)...(n−m+1)的方式求解排列的数量。
在某些情况下，我们也可能遇到部分元素重复的排列问题。
此时，我们需要考虑元素的重复性。
以n个元素中包含a个元素相同，b个元素相同，c个元素相同…为例，此时排列的数量可以使用 $\\frac{n!}{a! \\cdot b! \\cdot c!\\cdot ...}$ 进行计算。
组合组合是指从给定的一组对象中选出特定数量的对象，但不考虑其排列顺序。
数学上常用C n m表示从n个不同的元素中选取m个元素进行组合的数量。
与排列不同，组合不考虑元素的排列顺序，因此对于同一组元素而言，组合的数量要小于排列的数量。
组合的数量可以使用 $\\binom{n}{m}$ 或 $\\frac{n!}{m! \\cdot (n-m)!}$ 进行计算。
与排列类似，当遇到部分元素重复的组合问题时，我们也需要考虑元素的重复性。
此时，组合的数量可以使用 $\\binom{n+m-1}{m}$ 进行计算。
排列组合的应用排列组合在实际问题中有着广泛的应用。
以下列举几个常见的例子：1.考虑某种密码锁的解锁方式，该密码锁由 4 个数字组成，每个数字的取值范围为0-9。
(word完整版)高中数学排列组合知识点,推荐文档
排列组合复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同3. 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,先排末位共有13C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 种 四.定序问题倍缩空位插入策略例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7373/A A(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有47A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有47A 种方法。
高中排列组合基础知识讲解
高中排列组合基础知识讲解嘿，同学！咱们来聊聊高中排列组合这个让人又爱又恨的家伙。
啥是排列组合？简单说，就是数数的学问。
比如说，从一堆苹果里选出几个，有多少种选法；或者给一群人排排队，有多少种排法。
先来说说排列。
想象一下，你要从五个不同的玩具里挑出三个，然后按照顺序摆在架子上，这就是排列。
那怎么算有多少种排法呢？咱就拿字母 A、B、C、D、E 来举例。
从五个里选三个，第一个位置有 5 种选择，第二个位置就剩下 4 种，第三个位置就只有 3 种啦。
所以总的排列数就是 5×4×3 = 60 种。
这就好像是五个小伙伴排队，第一个位置谁都能站，第二个位置就少了一个人能选，以此类推。
再讲讲组合。
还是从那五个玩具里选三个，但这次不考虑顺序，这就是组合。
比如说你选了玩具 A、B、C，和选了玩具 B、A、C 是一样的。
那组合咋算呢？还是用上面的例子，先算出排列数 60 种，但是这里面每种组合都被重复算了，比如 A、B、C 这一组，在排列里算 6次呢。
所以组合数就是 60÷6 = 10 种。
这就好比你挑了三个小伙伴一起玩，不管谁站前面谁站后面，都是这一伙人。
做排列组合的题，可别迷糊。
比如说，从 7 个人里选 3 个人参加比赛，这就是组合。
可要是选出来这3 个人还要分别担任队长、副队长、队员，这可就是排列啦。
再给你说个好玩的例子。
假如你有 3 件上衣，4 条裤子，那你能搭配出多少种不同的穿着？这就是个典型的排列组合问题呀。
上衣选一件有 3 种选法，裤子选一条有 4 种选法，所以一共能搭配出 3×4 = 12 种。
是不是很有趣？排列组合在生活中用处可大啦！比如抽奖，彩票号码的组合；安排座位，同学怎么坐；还有分组做活动，怎么分法等等。
总之，高中的排列组合虽然有点复杂，但只要你多琢磨，多做题，找到其中的规律，就会发现它也没那么可怕。
就像爬山，一开始觉得累，等爬到山顶，那风景可美啦！加油，同学，相信你能搞定排列组合这道“小菜”！。
高考数学复习排列组合(可编辑修改word版)
n nn n P x +3 = 排列、组合及其应用一、知识要点：1、排列的概念：从 n 个不同元素中，任取 m （ m ≤ n ）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。
所有排列的个数叫做从 n 个元素中取出 m 个元素的排列数，用符号P m 表示。
2、排列数公式： P m = n (n - 1)(n - 2) (n - m + 1) =n ! (n - m )!（ m , n ∈ N * , m ≤ n ）；规定： 0! = 1。
3、组合的概念：从 n 个不同元素中取出 m (m ≤ n ) 个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合。
所有组合的个数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数．用符号C m表示。
4、组合数公式： C mmn =mmn ! m !(n - m )! (n , m ∈ N * ,且m ≤ n )5、组合数的性质（1） C m = C n -m ；规定： C 0 = 1 ；（2） C m = C m + C m -1 。
nnnn +1nn二、典型范例：例 1：解方程： C x -2 + C x -3 =1P 3 。
x +2x +210 x +3分析：此题由于 x + 2 一定大于 x - 2 和 x - 3 ，所以只需要 x + 3 大于 3，而方程的左边可以通过组合数的性质（2）进行计算，另外此题适合用阶乘表示。
解：由C x -2 = 1103 x +35 1 x +3 103 x +3 (x + 3)! = 1 ⋅(x + 3)!5!⋅(x - 2)! 10 x !5! = 10 ⋅ x (x - 1)解得 x = 4 或-3 ∵ x + 3 ≥ 3 ∴ x = 4点评：涉及排列数或者组合数的不等式，首先要注意使式子有意义，其次是根据情况，将 A m 或C m 写成nn展开形式或者阶乘形式。
高中数学排列组合专题复习.docx
高考数学松搞定排列合二十一种方法排列合系生有趣，但型多，思路灵活，因此解决排列合，首先要真，弄清楚是排列、合是排列与合合；其次要抓住的本特征，采用合理恰当的方法来理。
教学目1.一步理解和用分步数原理和分数原理。
2.掌握解决排列合的常用策略;能运用解策略解决的合用。
提高学生解决分析的能力3.学会用数学思想和方法解决排列合.复巩固1.分数原理 (加法原理 )完成一件事，有n 法，在第 1 法中有m1种不同的方法，在第2法中有 m2种不同的方法，⋯，在第n 法中有 m n种不同的方法，那么完成件事共有：N m1m2L m n种不同的方法．2.分步数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成 n 个步，做第1步有 m1种不同的方法，做第2步有 m2种不同的方法，⋯，做第 n 步有 m n种不同的方法，那么完成件事共有：N m1m2L m n种不同的方法．3.分数原理分步数原理区分数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成件事。
分步数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个段，不能完成整个事件．解决排列合合性的一般程如下:1.真弄清要做什么事2.怎做才能完成所要做的事,即采取分步是分,或是分步与分同行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序 )还是组合 (无序 )问题 ,元素总数是多少及取出多少个元素 .4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例 1.由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排 ,以免不合要求的元素占了这两个位置 .先排末位共有 C31然后排首位共有 C41C41 A 43C31最后排其它位置共有 A43由分步计数原理得 C41C31 A43288位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法, 若以元素分析为主, 需先安排特殊元素 , 再处理其它元素 . 若以位置分析为主, 需先满足特殊位置的要求, 再处理其它位置。
高中数学排列组合的公式与理论基础解析
高中数学排列组合的公式与理论基础解析在高中数学中，排列组合是一个重要的概念和技巧，它在解决问题和计算概率中起着重要的作用。
本文将对排列组合的公式和理论基础进行解析，以帮助高中学生更好地理解和应用这一知识点。
一、排列的概念和公式排列是从一组元素中选取若干个元素按照一定的顺序排列的方式。
在排列中，元素的顺序是重要的，不同的顺序会得到不同的排列结果。
下面我们来看一道例题：例题：某班有10位学生，要从中选出3位学生作为班长、副班长和学习委员，问有多少种不同的选举结果？解析：根据排列的定义，我们需要从10位学生中选出3位学生，并按照一定的顺序进行排列。
根据排列的计算公式，我们可以得到：P(10,3) = 10! / (10-3)! = 10! / 7! = 10 × 9 × 8 = 720所以，共有720种不同的选举结果。
通过这道例题，我们可以看到，排列的计算公式为P(n,r) = n! / (n-r)!，其中n表示元素的总数，r表示选取的元素个数。
二、组合的概念和公式组合是从一组元素中选取若干个元素，不考虑元素的顺序，即元素的选取是无序的。
下面我们来看一道例题：例题：某班有10位学生，要从中选出3位学生组成一个小组，问有多少种不同的组合方式？解析：根据组合的定义，我们需要从10位学生中选出3位学生，并不考虑他们的顺序。
根据组合的计算公式，我们可以得到：C(10,3) = 10! / (3! × (10-3)!) = 10! / (3! × 7!) = 10 × 9 × 8 / (3 × 2 × 1) = 120所以，共有120种不同的组合方式。
通过这道例题，我们可以看到，组合的计算公式为C(n,r) = n! / (r! × (n-r)!)，其中n表示元素的总数，r表示选取的元素个数。
三、排列组合的应用排列组合不仅仅是一种计算方法，它还具有广泛的应用，特别是在概率计算中。
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2019-2020学年高中数学复习 排列组合基础篇排列、组合与二项式定理是高中数学中相对独立的内容，不论是思考方法还是解题技巧，与其它章节都有很大的是同.本章内容比较抽象，解题方法比较灵活，重在抽象思维能力与逻辑思维能力的培养与提升.因此在学习过程中，要重视教材的基础作用，重视过程的学习.二项式定理的学习要从基础出发，对二项式的展开式、通项公式、二项式系数的性质等，要弄懂原理，牢固掌握，并会灵活运用.要在练习中领悟原理公式与概念的实质，注意计算的准确性和解题的规范性，从而形成解题方法和能力.排列、组合、二项式定理之一――基础篇一、要点导读1、分类计数原理： ； 分步计数原理： .2、 叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，排列数m n A ＝_____________________________=_________.3、 叫做从n 个不同元素中取出m 元素的一个组合，组合数m n C ＝_____________ _________=_______________.4、组合数的性质：（1）m n C ＝ ；（2）m n C ＋1-m n C ＝ .5、二项式定理的内容是 .其通项为1+r T ＝ ；二项式系数的性质是① ；② ；③ .二、思维点拔1、两个计数原理的区别在于一个和“分类”有关，一个和“分步”有关.在使用两个基本原理时，要认真审题，特别要理解题中所讲的“事情”是什么？明确完成这件事情需要“分类”还是“分步”，还是既要“分类”又要“分步”，并注意“分类”或“分步”的标准.在分析过程中，如能借助图形、表格帮助分析，则可使问题更加直观、清楚，而且可防止“分类”或“分步”中的重复和遗漏现象.2、排列中最具典型的两类问题是“排数”和“排队”.无论是哪类问题，无外乎“元素”与“位置”的关系，即“某个元素排在什么位置”或“某个位置上排什么元素”.如按元素与位置的多少分类，排列组合大体上可分为三类：元素个数多于位置个数、元素个数等于位置个数、元素个数少于位置个数.常见的有限制条件的排列问题有“在”与“不在”、“相邻”与“不相邻”、有序与无序等问题，解决方法主要有直接法与间接法两种.解决“在”与“相邻”问题时常用直接法（如捆绑法），解决“不在”与“不相邻”问题常用间接法（如插空法），对于元素有顺序的排列问题，可先不考虑顺序排列后，再利用规定顺序求出结果.3、解有关组合问题时，首先应判断此问题是不是组合问题.组合与排列的根本区别在于取出的元素是否与顺序有关.组合问题常见的类型有“含”与“不含”、 “至多”与“至少”等.“含”与“不含”问题的处理方法常用直接法，“至多”与“至少”问题常用间接法（排除法）.对几何中的组合问题，常抽象出一个数学模型加以解决.4、二项式定理问题常与二项式系数、某一项系数、通项公式、性质、最大最小项等有关，要在理解的基础上掌握方法与技巧，灵活运用.三、典例精析例1、同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人拿一张别人写的贺年卡，则四张贺年卡的不同分配方法有多少种？分析：此为元素个数与位置个数相等的情形，归纳起来可有下列三种解法.法一：设四人为A 、B 、C 、D ，四张贺年卡对应是a 、b 、c 、d ，若A 拿的是b ，则余下的三人取剩下三张卡，共有三种不同的取法；同理A 拿c 、d 时，剩下的人也各有三种不同的选法.故共有N=3+3+3=9种不同的分配方法.法二、A 先拿，可从b 、c 、d 拿一张，有3种选法.若拿的是b ，则B 从剩下的3张卡中任选一张，也有3种选法，剩下的二人都只有一种选法.故共有N=3×3×3=9种不同的选法.法三：如图，共有9种不同的选法.例2、在由数字0、1、2、3、4、5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有( )个．分析：此为元素个数多于位置个数的情形.由于0既不能在首位也不能在个位且5不能在个位，故可从元素（或位置）优先考虑.法一：（元素优先）由于0不能放在首位．又所求四位数不能被5整除，因而可以根据是否含有0和5两个元素将所求四位数分成四类：第一类：含0不含5的四位数，共有1324C A =48(个)；第二类：含5不含0的四位数，共有1334C A =72(个)；第三类：含0也含5的四位数，共有112224C C A ＝48(个)；第四类：不合0也不含5的四位数，共有44A ＝24(个)．所以，符合条件的四位数共有48+72+48+24=192(个).法二：（位置优先）根据所求四位数对首末两位置的特殊要求可分步解答：第一步：排个位——个位上的数字从1、2、3、4这四个数字中任选一个，共有14C 种选法；第二步；排首位——首位上的数字从1、2、3、4这四个数字被个位选掉后剩余的三个数字及数字5中任选一个，共有14C 种选法；第三步：排中间两位，中间两位可从个位和首位排好后剩余的四个数字中任选两个，共有24A 种排法．所以符合条件的四位数共有14C 14C 24A =192(个)． 例3、3男3女排成一排，下列情形下各有多少种站法.⑴甲不站排头或排尾；⑵甲不站排头乙不站排尾；⑶甲乙二人相邻；⑷甲乙不相邻；⑸甲乙顺序一定；⑹男女相间；⑺甲乙之间恰隔二人；⑻若3名男生身高不相等，则按从高到低的一种顺序站.分析：此例涉及“相邻”、“不相邻”、“相间”、“顺序”等问题，都属常规问题.解：⑴有二种解法：从特殊位置入手，即将排头和排尾先排好有A 25种，再排余下位置有44A 种，故共有A 25·44A =480种；若从特殊元素入手，先将甲排在中间4个位置有A 14种，其余5人的排法有A 55种，共有A 14·A 55=480种.⑵有两种解法：（直接法）对甲进行分类：①甲在排尾时有A 55种排法；②甲不在排头也不在排尾时，甲有A 14种排法，乙不在排尾也有A 14种排法，其余4人有44A 种排法，故共有A 55+A 14·A 14·44A =504种. （排除法）6个人排成一排有A 66种，甲在排头有A 55种，乙在排尾有A 55种，而甲在排头且乙在排尾的排法有44A 种，故共有A 66-2A 55+44A =504种. ⑶将甲乙二人“捆”在一起按一个元素对待，则5个元素的排法有A 55种，甲乙二人的排法有A 22种，共有A 22·A 55=240种； ⑷因甲乙二人不相邻，先把其余4人排成一排有44A 种，此时出现5个空档，甲乙二人去“插空”，有A 25种，共有44A ·A 25=480种. ⑸6个人排成一排有A 66种，甲乙顺序不同的排法有A 22种，故甲乙二人顺序一定（只有一种排法）的排法共有A 66÷A 22=360种. ⑹男女相间的站法有两类：男女男女男女，女男女男女男，共有排法2A 33·A 33=72种. ⑺甲乙之间恰隔二人有三类：甲××乙××，×甲××乙×，××甲××乙，因甲乙可交换位置，故共有3×A 22×44A =144种. ⑻6人全排列中，3名男生不考虑身高的顺序的站法有A 33种，而由高到低又可从左到右，或从右到左（这是两种不同的站法），故共有不同站法2A 66÷A 33=240种. 例4、6本不同的书，按以下要求各有多少种分法？⑴平均分成三组；⑵分成1本，2本、3本三组；⑶平均分给甲、乙、丙三人；⑷分给甲、乙、丙三人，一人拿1本，一人拿2本、一人拿3本；⑸甲得一本，乙得二本，丙得三本. 解：⑴此为平均分组问题，共有153222426=！C C C 分法；⑵此为非平均分组问题，共有60332516=C C C 分法；⑶先分组，再排序，共有9033222426=∙！！C C C 种分法；⑷先分组，再排序，36033332516=A C C C 分法；⑸共有60332516=C C C 分法. 【注】此例中的每一个小题都提出了一种类型问题，搞清类型的归属对今后解题大有裨益，其中：⑴为均匀分组问题；⑵为非均匀分组问题；⑶为均匀不定向分配问题；⑷为非均匀不定向分配问题；⑸为非均匀定向分配问题.例5、某校要从6个班级中选出10人组成一个篮球队，要求每班至少选1人参加，则这10个名额的不同分配方法有多少种？分析：此为分配问题，通常有两种解法——直接法、隔板法.法一：（直接法）除每班1个名额外，其余4个名额也需要分配，其分配方案可分为五类：①4个名额都分给某一个班有C 16种分法；②4个名额分给二个班，每班2人，有C 26种分法；③4个名额分给二个班，一个班1人，一个班3人，有A 26种分法；④分给三个班，一个班2个，另两个班各1个，有C C 2516种分法；⑤分给四个班，每班1个，有C 46种分法。
故共有C 16＋C 26＋A 26＋C C 2516＋C 46=126种分法. 法二：（隔板法）因为名额之间无区别，所以可把它们视作排成一排的10相同的球，要把这10个球分开成6段（每段至少有一个球），这样，第一种分隔方法都对应一种名额的分配方法，这10个球之间（不含两端）共有9个空位，现要在这9个空位中放进5块隔板，共有C 59=126种放法，故共有126种分配方法. 例6、从正五棱柱的10个顶点中任取5个组成一个四棱锥，共可得到多少个四棱锥？ 分析：对几何中的组合问题，需建立组合模型求解，但须注意几何问题本身的限制条件.此例中，共面而不共线的四点可构成四棱锥的底面，再从此面外找一点就可构成四棱锥.于是从底面入手，按顶点的取法进行分类.解：按构成四棱锥的底成四点可分为四类：⑴四点取自棱柱的底面上有2C C 1545=50个；⑵四点取自棱柱的侧面上有5C 16=30个；⑶四点取自棱柱的对角面上有5C 16=30个；⑷四点取自以过一个底面中的一条对角线和另一个底面中与其平行的一条边所确定的平面上有2×5C 16=60个.故共可组成50＋30＋30＋60=170个四棱锥. 例7、一个地区分为五个行政区，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色.现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法有 种（以数字作答）.分析：此例为涂色问题.用4种颜色给5个区域着色，至少有两个区域同色，由于相邻两个区域不同色，故找出哪两个区域同色是解题的关键.解：依题意，同色的两个区域只可能是2、4或3、5，可对这两个区域是否同色进行分类：①若2、4同色，3、5不同色，则将2、4合并为一个区域，此时即用4种不同颜色为四个区域着色，有A 44=24种方法；②若2、4不同色，3、5同色，此时也有A 44=24种方法；③若2、4同色，3、5也同色，则将它们分别合并成两个区域，此时即用4种不同颜色为三个区域着色，有A 34=24种方法.故共有3×24=72种方法.例8、6个人参加4×100接力，甲不跑第一棒，乙不跑第二棒的安排方式有 种. 分析：此例为元素多于位置的情形，可按“含”或 “不含”某个元素进行分类. 解：①甲、乙都不参加的安排方法有A 44=24种；②甲参加而乙不参加时，可从余下4人中选 3 人有C 34种选法.由于甲不跑第一棒，故第一棒可从剩下的三人中选一人有C 13种选法，余下三棒有A 33种安排方法，共有C 34·C 13·A 33=72种方法（或甲不跑第一棒时，可安排甲跑第二、三、四棒中的任一棒，有C 13种方法，余下三棒有A 33种安排方法）；③乙参加而甲不参加，同理有72种方法；④甲乙都参加时，由题意有C 24（A 33+A 33-A 22）=60种方法（排除法）.故共有24+72+72+60=228种安排方法.【注】对排列组合的综合问题，常用方法是“先选之，再排之”.在分清分类与分步的标准与方式的基础上，遵循两个原则：一是按元素的性质进行分类，二是按事情发生的过程进行分步.在具体应用中，要注意“类”与“类”间的独立性与并列性和“步”与“步”间的连续性.这要求我们要有周密的逻辑思维能力和准确的计数能力，以及灵活、正确运用基础知识的能力.例如：三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生排成一排合影，则同校的任何两名学生都不能相邻的排法有 种.解：由题意可分两类：①先在6个位置上排第一个学校的三名学生，两两不相邻（如图），3名学生每两名隔一个空位有2种排法，剩下的三个空位中再选2个排第二个学校的2名同学，最后一名同学自动确定位子，此时有232323272C A A =种排法；②第一个学校的3名同学中有两名中间隔两个位子的有两种排法，剩下的3个位子中，挨着的两个不能同时选，所以从另外两个中选，最后一名同学自动确定位子，此时有132322248C A A =种排法.故满足题设条件的排法共有120种排法.例9、对于二项式31()n x x+（n N ∈），四位同学作出了四种判断：①存在n N ∈，展开式中有常数项：②对任意n N ∈，展开式中没有常数项；③对任意n N ∈，展开式中没有x 的一次项；④存在n N ∈，展开式中有x 的一次项。