2019-2020学年高中数学复习 排列组合基础篇.doc

2019-2020学年高中数学复习 排列组合基础篇

排列、组合与二项式定理是高中数学中相对独立的内容，不论是思考方法还是解题技巧，与其它章节都有很大的是同.本章内容比较抽象，解题方法比较灵活，重在抽象思维能力与逻辑思维能力的培养与提升.因此在学习过程中，要重视教材的基础作用，重视过程的学习.二项式定理的学习要从基础出发，对二项式的展开式、通项公式、二项式系数的性质等，要弄懂原理，牢固掌握，并会灵活运用.要在练习中领悟原理公式与概念的实质，注意计算的准确性和解题的规范性，从而形成解题方法和能力.

排列、组合、二项式定理之一――基础篇

一、要点导读

1、分类计数原理： ； 分步计数原理： .

2、 叫做从n 个不同元

素中取出m 个元素的一个排列，排列数m n A ＝_____________________________=_________.

3、 叫做从n 个不同元

素中取出m 元素的一个组合，组合数m n C ＝_____________ _________=_______________.

4、组合数的性质：（1）m n C ＝ ；（2）m n C ＋1-m n C ＝ .

5、二项式定理的内容是 .其通项为1+r T ＝ ；二项式系数的性质是① ；② ；③ .

二、思维点拔

1、两个计数原理的区别在于一个和“分类”有关，一个和“分步”有关.在使用两个基本原理时，要认真审题，特别要理解题中所讲的“事情”是什么？明确完成这件事情需要“分类”还是“分步”，还是既要“分类”又要“分步”，并注意“分类”或“分步”的标准.在分析过程中，如能借助图形、表格帮助分析，则可使问题更加直观、清楚，而且可防止“分类”或“分步”中的重复和遗漏现象.

2、排列中最具典型的两类问题是“排数”和“排队”.无论是哪类问题，无外乎“元素”与“位置”的关系，即“某个元素排在什么位置”或“某个位置上排什么元素”.如按元素与位置的多少分类，排列组合大体上可分为三类：元素个数多于位置个数、元素个数等于位置个数、元素个数少于位置个数.常见的有限制条件的排列问题有“在”与“不在”、“相邻”与“不相邻”、有序与无序等问题，解决方法主要有直接法与间接法两种.解决“在”与“相邻”问题时常用直接法（如捆绑法），解决“不在”与“不相邻”问题常用间接法（如插空法），对于元素有顺序的排列问题，可先不考虑顺序排列后，再利用规定顺序求出结果.

3、解有关组合问题时，首先应判断此问题是不是组合问题.组合与排列的根本区别在于取出的元素是否与顺序有关.组合问题常见的类型有“含”与“不含”、 “至多”与“至少”等.“含”与“不含”问题的处理方法常用直接法，“至多”与“至少”问题常用间接法（排除法）.对几何中的组合问题，常抽象出一个数学模型加以解决.

4、二项式定理问题常与二项式系数、某一项系数、通项公式、性质、最大最小项等有关，要在理解的基础上掌握方法与技巧，灵活运用.

三、典例精析

例1、同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人拿一张别人写的贺年卡，则四张贺年卡的不同分配方法有多少种？

分析：此为元素个数与位置个数相等的情形，归纳起来可有下列三种解法.

法一：设四人为A 、B 、C 、D ，四张贺年卡对应是a 、b 、c 、d ，若A 拿的是b ，则余下的三人取剩下三张卡，共有三种不同的取法；同理A 拿c 、d 时，剩下的人也各有三种不同的选法.故共有N=3+3+3=9种不同的分配方法.

法二、A 先拿，可从b 、c 、d 拿一张，有3种选法.若拿的是b ，则B 从剩下的3张卡中任选一张，也有3种选法，剩下的二人都只有一种选法.故共有N=3×3×3=9种不同的选法.

法三：如图，

共有9种不同的选法.

例2、在由数字0、1、2、3、4、5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有( )个．

分析：此为元素个数多于位置个数的情形.由于0既不能在首位也不能在个位且5不能在个位，故可从元素（或位置）优先考虑.

法一：（元素优先）由于0不能放在首位．又所求四位数不能被5整除，因而可以根据

是否含有0和5两个元素将所求四位数分成四类：第一类：含0不含5的四位数，共有1324

C A =48(个)；第二类：含5不含0的四位数，共有1334C A =72(个)；第三类：含0也含5的四

位数，共有112224C C A ＝48(个)；第四类：不合0也不含5的四位数，共有44

A ＝24(个)．所以，符合条件的四位数共有48+72+48+24=192(个).

法二：（位置优先）根据所求四位数对首末两位置的特殊要求可分步解答：第一步：排

个位——个位上的数字从1、2、3、4这四个数字中任选一个，共有14C 种选法；第二步；排

首位——首位上的数字从1、2、3、4这四个数字被个位选掉后剩余的三个数字及数字5中

任选一个，共有14C 种选法；第三步：排中间两位，中间两位可从个位和首位排好后剩余的

四个数字中任选两个，共有24A 种排法．所以符合条件的四位数共有14C 14C 24

A =192(个)． 例3、3男3女排成一排，下列情形下各有多少种站法.⑴甲不站排头或排尾；⑵甲不站排头乙不站排尾；⑶甲乙二人相邻；⑷甲乙不相邻；⑸甲乙顺序一定；⑹男女相间；⑺甲乙之间恰隔二人；⑻若3名男生身高不相等，则按从高到低的一种顺序站.

分析：此例涉及“相邻”、“不相邻”、“相间”、“顺序”等问题，都属常规问题.

解：⑴有二种解法：从特殊位置入手，即将排头和排尾先排好有A 25种，再排余下位置有44A 种，故共有A 25·44A =480种；若从特殊元素入手，先将甲排在中间4个位置有A 14种，其余5人的排法有A 55种，共有A 14·A 5

5=480种.

⑵有两种解法：（直接法）对甲进行分类：①甲在排尾时有A 55种排法；②甲不在排头也