理学回归分析预测法

三、回归预测法的种类
1.根据回归预测中自变量的多少
一元回归预测 多元回归预测
一元回归预测：是根据某一因变量与一个自变量之 间的相关关系建立的预测模型进行预测的。
多元回归模型：是根据某一因变量与两个或两个以 上自变量之间相关关系建立的模型进行回归预测的。
2.根据回归预测模型是否线性
线性回归预测 非线性回归预测
第三步，判别。 若︱r︱≥ra（n-2)，表明两变量之间线性相关关系显 著，检验通过，这时回归模型可以用来预测； 若︱r︱＜ra （n-2），表明两变量之间线性相关关系 不显著，检验未通过，这时的回归模型就不能用来预 测，应分析其原因，对回归模型重新加以处理。
（二）F检验法
在相关回归分析中，已知总变差分解为回归变差 和剩余变差两部分。F 检验中，是将回归变差与 剩余变差分别除以各自的自由度后之比。即
整理得
y = na + b x xy = a x + b x2
b 解得：
=
nxy - xy n x2 -ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ x)2
a
=
n
y
-
b
n
x
三、回归模型显著性检验
（一）相关系数检验法
第一步，计算相关系数r；
第二步，查出临界值ra 根据回归模型的自由度（n-2）和给定的显著性水平 a值，从相关系数临界值表中查出临界值ra（n-2）；
线性回归预测：指根据因变量与自变量的关系是呈 直线型的模型进行预测。
非线性回归预测：指根据因变量与自变量的关系是 呈曲线型的模型进行预测的。
3.根据回归模型是 否带虚拟变量
普通回归模型预测 带虚拟变量回归模型预测
普通回归模型预测中的自变量都是数量标志。
虚拟变量回归模型预测中的自变量既有数量标志又 有品质标志。
s]
2 y
=
[1
+
1 n
+
(x0-x)2 Σ(xi-x)2
]s
2 y
s2 y
为估计标准误差的平方。 sy =
Σ(y-yˆ )2
n-2
在小样本下，常用近似的置信区间公式进行预测：
yˆ
t s ± 0
α 2
y
（2）当n≥30时，预测值y0在显著水平为a时，预 测区间为：
yˆ 0 z 2s y
因为当n≥30时，
1
1 n
( x0x ) 2 ( xi x )
2
近似等于1，
样本指标的分布趋近于正态分布，因此预测区间 简化为：
yˆ 0 z 2s y
五、应用举例
例如：某工厂机床使用年限和年维修费资料如 下表，试配合适当的回归模型并进行显著性检 验；若机床使用年限为12年，显著性水平α为 0.05时，估计年维修费用的置信区间。
第一节 回归分析预测法概述
一、回归一词的涵义
一般说来，回归是研究自变量与因变量之间的关系 形式的分析方法。其目的在于根据已知自变量来估 计和预测因变量的平均值。
二.回归分析与相关分析
相关分析：是研究两个或两个以上随机变量之间相 互依存关系的种类、紧密程度的分析方法。 回归分析：是研究某一因变量与一个或几个自变量 之间的数量变动关系的分析方法。
合计
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 合计
机床使用年限 （x） 2 2 3 4 4 5 5 6 6 6 8 9 60
年维修费 （元）y
若F＜Fα 则认为两变量之间线性相关关系不显著。
（三）t检验（回归系数b的显著性检验）
回归系数b是决定变量x与y依存关系形式的重要参数。 若b=0，说明x与y之间不存在线性相关关系。
t= b
sb
式中，sb为回归系数b的标准差，计算公式为：
n
sb =
n
Σ(x
-2
- x)2
s
y
计算出t值后，可以查显著性水平为α的t分布表，得
指在一定显著性水平上，依据数理统计方法计算 出的包含预测目标未来真实值的某一区间范围.
yˆ t s （1）当n＜30时，预测值y0在显著水平为a时，预测
区间为：
m 0
α 2
0
式中
s0 =sy
1
+
1 n
+
(x0-x)2 Σ(xi-x)2
为预测标准误差的估计值
对于自变量x的一个给定值x0，对应的回归预
一、一元线性回归模型及其拟合条件
1.一元线性回归模型 yˆ = a + bx
其中，a是直线在Y轴上的截距，它是x=0时y的 估计值；b是直线的斜率，表明自变量增加（或 减少）一个单位，因变量平均增加（或减少） 的值。当b>0时，x与Y为正相关，当b<0时,x与 Y为负相关。
2.配合最佳回归直线的条件
测值y0为：yˆ 0 = aˆ + bˆx0
注:
E(yˆ 0)= a + bx0
D(yˆ
)
0
=
[
1 n
(x0-x)2 Σ(xi- x)2
]s
2 y
设预测误差为：e0
=
y 0
-
yˆ 0
D(e0)=
D(y
0
-
yˆ 0)=
D(y )+ 0
D(yˆ 0)
=
s
2 y
+[
1 n
(x0-x)2 Σ(xi-x)2
F
=
Σ(yˆ -y)2 Σ(y-yˆ)2 n -
m m
-
1
=
Σ(yˆ -y)2 Σ(y-yˆ)2 n
1 -
2
Σ(yˆ -y)2 Σ(y-yˆ)2 n -
2
m为自变量的个数，n为观察值项数。对于给定的
显著性水平α，查F分布表可得临界值 F（α 1，n-2）
若F≥
F 则认为两变量之间线性相关关系显著；
临变界量值x与t因α2 变。量若y线t性关tα系2 ，显回著归；系若数t b显tα著，，说说明明自自变
量x与因变量y线性相关关系。
2
四、预测
1.点预测
在一元线性回归模型中，对于自变量x的一个给定 值x0，代人回归模型，就可以求得对应的回归预
测值y0，这称为点估计。yˆ 0 = aˆ + bˆx0
2.预测区间
4.根据回归模型是否用滞后 自回归预测 的因变量作自变量可分为 无自回归现象的回归预测
四、回归预测法的步骤 1、分析变量间的因果关系，确定自变量与因变量 2、确定并配合回归模型 3、回归模型检验 4、进行预测
第二节 一元线性回归预测法
一元线性回归预测法：是指对具有线性关系的两 个变量，配合线性回归模型，根据自变量的变动 来预测因变量平均变动程度的方法。
（1）要有一定数量的自变量与因变量的对应资料 （2） 现象之间确实存在显著性的相关关系 （3）其相关关系是直线相关关系。
二、估计一元线性回归模型参数（最小二乘法OLS）
理论依据： Σ(y-yˆ)2 = min
即
θ=Σ(y-a-bx)2 = min
则
θ= -2Σ(y - a - bx)x = 0 b
θ= -2Σ(y - a - bx)= 0 a