流体力学 05 湍流

u
v
0
x y
u
t
u
u x
v u y
1
p x
2u x2
2u
y 2
v
t
u
v x
1
p y
2v x2
2v
y 2
无量纲化，取特征量速度——U，长度——2h， 时间——2h/U，从两式中消去p’，并令：
v u
x y
•及其满足的方程：
t
u
x
v
2u y2
1 2
Re
x2
2
7. 边界影响
8. 驰豫时间 9. 分布函数
分子运动论
湍流运动
分子 稳定，现成
涡
大小不一，不稳定，求解 后得到
常数
变数
平均自由程，只随温度压力的改 变而改变，与边界无关
只随温度变化，不是空间位置的 函数
混和长度，随边界形状改 变而改变
脉动速度随时间空间变化 很大
随机运动
有时规律，有时随机
不影响 短，无记忆
当β2<0，扰动随时间衰减，流动稳定。反 之则不稳定。 β2=0称为中性稳定。
上面的方程最后可得：
u
2
u i Re
2 2 4
该方程称为奥尔-萨默菲尔德方程，为四阶 微分方程，满足四个边界条件：
y h, 0
y
h,
0
相当于满足壁面无滑移条件。
该方程有四个线性无关解 i y,i 1,2,3,4
ui
uiu j
uiuj
p
ij
t
x j
xj xi xj
• 应用连续方程：
ui t
uj
ui x j
p xi
x j
ij uiuj
• 分量形式：
u t
u u x
v
u y
w u z
p x
x
xx uu
y
xy uv
z
xz uw
2h
2
• 在层流流动中，有：
u u y,v 0, p px
• 满足方程：
1
dp dx
d 2u dy 2
0
• 假定流动受到小扰动，即：
u x, y,t u y u x, y,t
v
x,
y,
t
v
x,
y,t
p
x,
y, t
p
x
p
x,
y, t
• 带“ ′”的物理量称为脉动量。
• 代入原始方程，并去掉平均量，得脉动方程：
y2
•其中Re=U(2h)/ν。
引入流函数Ψ，自动满足：
u பைடு நூலகம், v
y
x
于是：
2
x2
2
y 2
将Ψ进行傅里叶展开，将每一个分量代入方程，
典型的分量为：
x, y,t y eixt y e2t cos x 1t i sin x 1t
其中 2h , 1 i2,i 1,为扰动的波长
1到3。又如动能：
E v2 1 22
u2 v2 w2
1 2
uiui
规则：
(1) 在同一项中，以一对符号相同的指标出 现，表示遍历其取值范围求和。
(2) 每一对哑标的字母可以用相同取值范围 的另一对字母代替，其意义不变。如：
a aiei a je j
2. 自由指标
(1)一个指标在表达式的各项中都只出 现一次。表示该表达式在该自由指标的n维 取值范围内都成立，即代表了n个表达式。 例如： F Fi Fxi Fy j Fzk
例：截面积A，以速度U 射到平板上，求平板受力。 解：设dx段的动量在dt时间 内被改变，则：
AdxU Fdt
由于：
dx U F AU gU
dt
AU 2
其中ρAU即为动量。应力为单位面积上的 受力。
当D=0.1m，U=10m/s，得：F=800kg.
应力和应变率张量
Du Dt
Fb
v t
u
v x
v
v y
w
v z
p y
x
yx vu
y
yy vv
z
yz vw
w t
u
w v x
w y
w
w z
p z
x
zx wu
y
zy wv
z
zz ww
与层流流动的方程相比，应力项多出一部 分，即：
τ
xx yx
xy yy
要点：1. 不规则性。 时间上：欧拉坐标 空间上：拉格朗日坐标
2. 统计平均值的存在。
• 湍流的特征：
1. 不规则性。 2. 湍流扩散性。 3. 高雷诺数。 4. 混合性。各种时间尺度和空间尺度的存在。 5. 耗散性。
三、湍流的发生 雷诺实验。
雷诺数：
Re VL
其中：
L——特征长度， V ——平均速度，
t
wu
x
wv
y
ww
z
p z
zx
x
zy
y
zz
z
• 逐项平均，并注意到：
uiuj
uiu j
uiu j
uiuj
x j
x j
x j
x j
• 例如：
uv uv uv uv
y
y
y
y
• 对连续方程平均：
u v w 0 或 u j 0
x y z
x j
• 平均后的动量方程：
第五章 湍流与管流
§5-1 雷诺实验
一、层流和湍流（流体在管道中运动时的两种流 动状态）
层流 —— 流体质点无横向运动，互不混杂，层 次分明地沿管轴流动。
湍流 —— 流体质点具有无规则的横向脉动。引 起流层间流体质点的紊乱，相互混杂 的流动。
二、雷诺数（流态的判定）
Re vd
—— 雷诺数 (无量纲）
x
v y
w z
0
(1)
u t
u
u x
v
u y
w
u z
p x
xx
x
xy
y
xz
z
(2)
v t
u
v x
v
v y
w v z
p y
yx
x
yy
y
yz
z
(3)
w t
u
w x
v
w y
w
w z
p z
zx
x
zy
y
zz
z
(4)
用张量符号表示：
u j
x
j
0
(5)
ui t
uj
——运动粘度。
当Re≥2320时，开始发生湍流，称为临界雷 诺数。但当雷诺数从小到大变化时，通常要大于 临界雷诺数才会产生湍流，若管子足够光滑，扰 动足够小，可以到40000以上才开始湍流。
雷诺数的含义在于惯性力比粘性力。当雷
诺数较低时，粘性能够阻尼掉扰动，从而使层流 状态得以保持。但当Re很大时，惯性力的影响超 过粘性力的影响，使扰动放大，得以发展，最终 出现湍流。如同F1赛车，低速行驶时，轻微的碰 撞不影响赛车的行进。但高速行驶时，轻微的扰 动，哪怕是一粒石子，也会产生严重后果。因此 国际汽联对F1赛道一直有着相当严格的规定。
对于公式5的证明：
fg f f g g fg fg f g f g
fg f g f g f g fg f g
不可压流体湍流运动的时均方程组。
原始方程：
连续方程： gu 0
动量方程：
Du p gτ
Dt
令速度 u ui vj wk ，可将方程展开：
u
F
ma
Fi
mai
FFxy
max may
Fz
maz
(2) 一个表达式的某个自由指标可以 全体的换用相同取值范围的其他字母。
3. 缩并——将自由指标变成哑指标，如：
1
2 t
uiu j
缩并
t
uiui 2
t
uxux 2
uyuy 2
uzuz 2
t
v2 2
t
动能
4. 克罗内克尔(Kronecker)记号：
临界雷诺数： Rec = 13800 层湍 （上）
（金属圆管） Rec = 2320 湍层 （下）
对于非圆截面管道： Re v dH
式中：
4A dH S
—— 水力直径
式中：S —— 湿周，即过流断面的周界长度。
用下临界雷诺数判别流态（对于光滑金属管）：
当 Re < Rec = 2320 层流
当 Re > 2320
gP
其中Fb为质量力，P为内力张量。
P
τ
p
gu
I
2S
p
2 3
gu
I
p为压力，各向同性，λ为体膨胀粘性系数 ，根据Stokes假设， λ=-2μ/3。
对不可压流体，有： gu 0
xz yz
uu vu
uv vv
uw
vw
zx zy zz wu wv ww
后一部分称为雷诺应力：
uu
R vu wu
uv vv wv
uw
vw ww
雷诺应力的含义（以 uv 为例）：
u 相当于脉动动量，uv则是动量 在y方向上的脉动变化率，即施给外界的力 ，自身受到反作用力 uv。
f x, y, z,t 1 T
T
2 T
f
x, y, z,t dt
2
式中的时均周期T应比脉动周期大很多，以 包含大量的脉动，同时又比宏观流动的特征时间 小很多，以便充分描述时均值随时间变化。若时 均值不随时间变化，称为时均定常湍流，简称定 常湍流。
一般的，我们把物理量 f x, y, z,t分解为时均
ui x j
p xi
ij
x j
(6)
5 ui 6，有：
ui
uiu j
p
ij
t
xj xi xj
写成向量形式的方程：
u t
guu
p
gτ
展开：
u
t
uu
x
uv
y
uw
z
p x
xx
x
xy
y
xz
z
v
t
vu
x
vv
y
vw
z
p y
yx
x
yy
y
yz
z
w
例题同前： 不可压，定常。
该问题满足方程：
u x
v y
0
u
t
u
u x
v
u y
1
p x
2u x2
2u y 2
v
t
u
v x
v
v y
1
p y
2v x2
2v y 2
•
边界条件：
y y
h,u 0, v 0 h,u U ,v 0
• 层流解：u U y h P y2 h2
涡的形状和数目随涡的形 状和数目随边界形状改变
而急剧改变
长，有记忆
玻氏微积分方程
无
其中的致命伤：6,8,9 科学：1.确定性。2. 可重复性。
5-3 稳定性理论的基本思想
为了求解方程，需要对问题进行数学上 的描述。当某些物理量达到稳定的临界值时， 给方程加一个扰动，如果解变得不规则，则方 程处于不稳定状态。
湍流是一种不规则运动，当流体流过 固体表面，或者甚至当相邻的同类流体互 相流过或绕过时，一般会在流体中出现这 种不规则运动。
Key Word: 不规则性。
J. O. Hinze： 流体的湍流运动是一种不规则的流动状
态，它的各种量随时间和空间坐标表现出随 机变化，因而能辨别出不同的统计平均值。
Key Words: 不规则性，随机，统计平均值。
值 f x, y, z,t 与脉动值 f x, y, z,t之和，即：
f x, y, z,t f x, y, z,t f x, y, z,t
并有：
1. f 0 4. f g f g 6. f f
x x
2. f f
3. fg fg
5. fg fg f g
7. f f t t
湍流
雷诺判据
雷诺数的物理意义：流体运动时所受到的惯性 力与粘性力之比。
5-2 湍流的基本现象与定义
一、现象：
1. 洪水或湍急的河流。 2. 火箭发射时的尾气。 3. 风、旗子、烟囱等。风吹在脸上的 感觉。
火山爆发
湍流
达•芬奇的想象
圆球尾流
爆炸
木星大红斑
二、定义：
Taylor和von Carman ,1937年：
四、涡
普遍认为，湍流运动是由各种尺度的涡叠 加而成的，这些涡的大小具有明显的上下限。上 限主要由装置决定，下限则取决于粘性。同时， 涡还是湍流流动中能量的传递方式。
五、湍流运动与分子运动论比较
项目
1. 基元素 2. 基元素性质 3. 基元素数目 4. 特征长度 5. 基元素速率 6. 运动性质
不准确的原因：
1. 线性扰动不适合本问题。 2. 有限振幅扰动的非线性稳定性的理论发 展不够。 3. 实际扰动为三维扰动。
5-4 张量的主要记号
e1,e2,e3——x,y,z轴上的单位向量。 ︱ei ︱=1，通常用i, j, k来表示，即：
e1 i, e2 j,e3 k
对于任意向量a，有：
a a1i a2 j a3k a1e1 a2e2 a3e3 aiei
• 1. 爱因斯坦求和符号（哑标或哑指标）
a aiei a1e1 a2e2 a3e3, i 1, 2, 3
•
数学式中的任一项，如出现一对
符号相同的指标，如上式中的i，表示对
这个指标遍其取值范围求和，上式中为
ij
ei
ej
1, 0,
i i
j j
5-5 湍流运动的雷诺方程
尽管N-S方程既可用于层流，也可用于湍流。 但湍流的计算量太大，直接模拟非常困难，因此要 寻找其他途径。
尽管运动是随机的，但我们关心的物理量， 都是某一时间或某一体积上的平均效果。平均的方 法有很多，最常用的是对时间区平均的方法，叫做 时均法。任一物理量 f(x,y,z,t) 的时均值定义：
通解为：
4
y cii y，其中ci为待定常数。
i 1
从边界条件可以得到关于ci的四阶齐次线性方程 组，该方程组有非零解的条件是系数行列式为零
。于是得到Re，α，β= β1 +β2之间的关系：
1 1 ，Re
2
2
，Re
• 最后得到不稳定的最小雷诺数为1.06×104。 • 而实验结果为1900。