高中数学教学中反例教学论文

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反例在数学教学中的作用

反例在数学教学中的作用摘要：数学是所有科目中对思维要求最缜密的学科之一,它有自己独特的思维方式和逻辑推理体系，那么，对于数学这门课程，教师如何来教，学生如何来学，方法固然是最重要的。

本篇论文就将浅谈一下反例在数学教学中的作用。

本篇论文是经过在网上查阅大量的相关期刊和在图书馆查阅大量的相关书目,结合自己的学习以及工作阅历最终完成的。

本文的创新点在于通过引用一些非常典型的例题做分析说明，而且例题都涉及到了中学数学的重要章节和必考内容。

本篇论文的目的在于改变现有的教学状态，能够激发学生的学习热情，培养学生的创造能力，鼓励学生要有敢于质疑和敢于探究的科学精神，培养学生良好的思维品质和学习习惯。

【关键词】教学作用构造逆向思维一、反例的含义在数学中，要证明一个命题是正确的，就必须经过严格的推理论证[[1]]。

而要证明一个命题是错误的，非常简单的做法就是举出反例。

反例,顾名思义就是指反面的例子,通常是指能够满足命题条件却不满足命题结论的例子。

在数学教学中，反例的作用不容小觑。

反例在判断对错时很有说服力，因此，在数学教学中重视运用反例，能让学生牢记所学内容，激发学生的学习热情，增加学生的见识，使其灵活多变,也学会换角度思考问题。

二、反例的来源与构造证明一个猜想是合理的、正确的,就必须经过严格的、缜密的推理论证;而证明一个猜想是不正确的,只需找到猜想命题的反例就可以了。

在教学过程中往往会有这样的情形,要说明一个命题是假命题, 教师就会直接给出一个反例, 说明反例虽然符合命题的各种条件, 却不能使命题的结论成立, 教师很少给学生分析甚至不做分析说明反例是如何得到的。

学生非常佩服老师学识渊博,能信手拈来一个又一个非常具有说服力的反例,却只能对老师的才华望其项背。

仿佛舞台上的魔术师,能从口袋里变出很多观众意想不到的东西,观众觉得特别神奇，但却永远也学不会。

所以,在教学过程中,教师应该尽可能地给学生讲解如何来构造反例,让学生知其然,更知其所以然。

浅析构造反例在中学数学教学中的作用与实践

浅析构造反例在中学数学教学中的作用与实践摘要：在高中数学教学过程中，引导学生构造反例、应用反例，其学习便会有拨云见日之感，对数学问题的认知感将迈向全新的境界。

只有全面了解构造反例的办法，才可以更好地培养高中生分析事物与解决问题的水平。

本文结合教学实践，浅谈反例在高中数学教学中的作用，进一步分析如何在教学中构造反例，以及反例应用需要注意的重点。

关键词：高中数学反例构造应用教师在进行数学教学的过程中，相较于正面论证而言，反例则更加拥有特殊的功能。

其原因则是反例更加简洁有效且具有说服力。

但是也因如此，数学反例的论证更加需要具备精深的功底，同时也需要丰富的想象力作为基础。

在高中数学教学过程中，引导学生找出反例，其学习便会有拨云见日之感，对数学问题的认知感将迈向全新的境界。

然而，举反例也并非轻而易举的事，大多时候比论证命题为真命题更加具有难度。

所以理解与研究出构造反例的方法是十分必要的，只有全面了解构造反例的办法，才可以更好地培养高中生分析事物与解决问题的水平。

一、反例在高中数学教学中的作用举反例是中学数学教学中一项非常重要的能够激发学生思维方式的教学，一道数学真命题的证明通常需要具备十分缜密的确定。

但对数学假命题的证明，倘若利用反例进行解释，便会更加易于了解。

在中学数学教学的过程中常常会运用到一些基础性的概念，比如区间、集合等。

然而，如果对上述两种的概念仅仅依靠教材中所提供的进行理解，则并非是一件轻易的事情。

在教学过程，教师不仅仅需要应用到一些正面的例子来阐释言明概念中的内涵属性，还需要技巧性地通过反例加强学生对概念中关键词的了解，因此，我们非常有必要通过反例来进行对这些概念的教学。

比如教师在展开函数的教学使用中，部分学生通常会单纯地片面地以为：“某一变量伴随着另一变量的转换而转换，两者的关系便属于函数关系。

”对此，教师在教学时，为了纠正此错误的理解，则可进行反例证明：“非负数x的平方根y属于函数吗？”然后让学生自主讨论，最后可以得知尽管y和x存在一定关联，但是一旦自变量出现变化后，y并未有唯一确定的值和自变量x对应，因此，可以判定其不符合函数的定义标准。

反例在中学数学中的应用

反例在中学数学中的应用反例在中学数学教学中的运用十分的广泛。

本文阐述了反例在中学数学教学中的主要的功能，研究并分析了反例教学在教学过程中应该需要引起注意的事项以及反例的应用方面的具体内容。

一、前言数学中的反例一般是指为了推翻一个数学命题，必须建立在已经被证明是正确的理论和逻辑的基础之上。

对于数学命题的真假的判断是中学数学的教学中的重要内容。

对于一些数学的命题的真假的判断，需要经过严格的数学证明。

数学的证明题在数学的教学中运用十分的广泛。

数学的证明就是根据以前的已经被证明是正确的定义、公式、公理等，经历过严格的数学的推理过程，从而得出假设的命题的正确与否。

但是，在中学数学的教学应用中，有许多的证明必须通过反例来证明。

比如在数学中为了证明数学命题“若A则B”这样的一个命题是假命题，需要找出一个对象符合条件A但是却不具有性质B，这样的一种数学的解题方法就是一种反例的运用。

中学数学的教育教学需要不断的培养和提高学生使用反例以及构建反例的技能。

但是，现如今，许多的学生在反例的构建和应用上水平仍然很差，本文重点分析反例在中学数学中的功能以及其的具体运用。

二、反例在中学数学教学中的作用功能（一）通过反例能促进学生对于数学的概念的认识在数学的理论和方法中，概念是基础性的内容。

因此，中学数学教师在数学的概念的教学中应该善加运用正面的例子来促进学生对于数学概念的本质属性的认知，另外还必须十分的巧妙灵活的使用反例在强化学生对于概念的认识。

比如，在对中学的函数进行概念的讲授的时候，学生中有的会以偏概全的认为。

为了处理这样一种片面的认识，教师在教学的过程中可以通过反例来纠正这个错误：非负数x与它的平方根y是函数关系？这个一个反例的举出可以引起学生的讨论。

通过讨论可以认识到虽然y与非负数x具有关联性，但是在x自变量发生了变化的时候，y并不是只有唯一的值与x相对，因此，并不符合函数的相关的定义。

这就是反例在函数中的具体的运用。

实践数学教学反例(3篇)

第1篇摘要：本文通过分析实践数学教学中的反例，探讨当前数学教学中存在的问题，并提出相应的改进措施，旨在提高数学教学质量，促进学生全面发展。

一、引言数学作为一门基础学科，在培养学生逻辑思维、空间想象、问题解决等方面具有重要意义。

然而，在实际的数学教学中，我们常常会遇到一些反例，这些问题不仅影响了学生的学习效果，也制约了数学教学的深入发展。

本文将从以下几个方面对实践数学教学中的反例进行分析。

二、反例一：重理论轻实践在数学教学中，有些教师过于注重理论知识的传授，忽视了学生的实践操作能力培养。

这种教学方式导致学生在面对实际问题时，往往束手无策。

以下是一个典型的反例：案例：在讲解“三角形面积计算”时，教师只讲解了公式推导过程，而没有让学生动手操作验证。

当学生遇到实际问题时，如计算不规则图形的面积，他们无法运用所学知识解决问题。

改进措施：教师在讲解理论知识的同时，应注重实践操作环节，让学生通过动手操作、实验探究等方式，加深对知识的理解。

三、反例二：忽视学生个体差异在数学教学中，每个学生都有自己的学习特点和需求。

然而，有些教师忽视了学生的个体差异，采用“一刀切”的教学方式，导致部分学生跟不上教学进度，产生厌学情绪。

以下是一个典型的反例：案例：在讲解“分数乘法”时，教师按照统一进度进行讲解，对于基础薄弱的学生来说，他们很难跟上教师的节奏，导致学习效果不佳。

改进措施：教师应关注学生的个体差异，根据学生的实际情况调整教学进度，采用分层教学、个性化辅导等方式，满足不同学生的学习需求。

四、反例三：过度依赖教材，忽视创新教育在数学教学中，有些教师过度依赖教材，按照教材内容进行讲解，忽视了创新教育的重要性。

以下是一个典型的反例：案例：在讲解“圆的周长和面积”时，教师只讲解了公式推导过程，而没有引导学生进行创新思维训练。

改进措施：教师应关注创新教育，鼓励学生在学习过程中发挥想象力，提出自己的观点和想法，培养学生的创新思维。

五、反例四：忽视数学与其他学科的融合数学与其他学科之间存在着紧密的联系。

在高中数学教学中反例作用[论文]

在高中数学教学中反例的作用摘要：教育心理学家认为：概念或规则的正例传递了最有利于概括的信息，反例则传递了最有利于辨别的信息，因此运用反例是我们辨析错误的重要工具。

关键词：辨析错误；数学教学中图分类号：g632 文献标识码：b 文章编号：1002-7661（2013）10-133-01教育心理学家认为：概念或规则的正例传递了最有利于概括的信息，反例则传递了最有利于辨别的信息，因此运用反例是我们辨析错误的重要工具。

从数学的发展史来看，反例和证明一样占有重要的地位，这是因为在数学问题的探索中，猜想结论是否正确，正确则要求严格证明，谬误则靠反例来否定。

而数学的发现也是朝着这两个目标——提出证明和构造反例发展。

一、数学反例的概念与类型数学中的反例，是指符合某个命题的条件而又不符合该命题结论的例子。

也就是说反例是一种指出某命题不成立的具体例子。

从某种意义上来说，所有的例子都可以称为反例，因为它总可以指出某命题不成立。

但是我们所说的数学反例，应该注意这样几点：一是相对于数学命题而言；二是具体的实例；三是反驳与纠正错误数学命题的一种方法；四是它建立在数学上已经证实了的理论与逻辑推理的基础上。

一般来说，一个假命题的反例有多个，我们在举反例时，只选其中一个有代表性的就可以了。

反例是相对于命题而言，它的产生与分类和数学命题的结构密切相关，因此在数学上的反例可以分为以下几种类型：1、基本形式的反例数学命题有以下四种基本形式：全称肯定判断，全称否定判断，特称肯定判断，特称否定判断。

全称肯定判断（所有都有）与特称否定判断（有不是）可以互为反例。

例如对任何自然数都有的值为1，这是全称肯定判断，但当，，这是特称否定判断，这就是反例。

2、充分条件假言判断与必要条件假言判断的反例充分条件的假言判断是断定某事物情况是另一事物情况充分条件的假言判断，可以表述为。

即“有前者，必有后者”。

但是“没有前者，不一定没有后者”。

可举反例“没有前者，确有后者”说明之。

反例在中学数学教学中应用[论文]

反例在中学数学教学中的应用摘要：本文对“反例教学法”在数学教学中的运用做了一些研究，利用分析论证的思想介绍了反例在数学教学中的作用，怎样利用反例教学，以及教育工作者在反例教学时应该注意的问题。

充分证明了反例在中学数学教学中不可或缺的重要地位。

关键词：数学反例；课堂教学；学生思维中图分类号：g632 文献标识码：b 文章编号：1002-7661（2013）12-120-02数学中的命题一般可归纳为下述形式，类a具有性质b。

我们要推翻这个命题，只须找到一个元素a∈a，而a不具有性质b，则给予了反驳，使得命题不成立。

也就是说要构造一个例子，这个例子是属于a类的，但不具有性质b，这样的例子，我们叫作反例。

[1]所谓反例，通常是指用来说明某个命题不成立的例子。

在数学中要证明一个命题成立，要严格地论证在符合题设的各种可能的情况下，结论都成立，也就是要求证明必须具有一般性，面面俱到，缺一不可，而要推翻一个命题，却只需之处在符合题设的某个特殊情况下，结论不成立，也就是只要举出一个反例就行。

一、数学反例在历史上的地位任何一个命题，他们要么得到证明，要么被反例推翻，只是时间的迟早而已。

逻辑是证明的工具，严谨的证明是数学的标志，但当逻辑思维在有些问题上无能为力时，反例却能一针见血地指出症结所在，令人耳目一新，拍案叫绝。

可见反例是用来驳斥错误命题的有力工具，通过反例对命题加以否定或完善，对形成正确的结论形成至关重要的作用。

二、反例在数学教学中的作用1、有利于数学概念的形成和加深概念的理解数学概念是整个数学宫殿的基石，因此，它的教学显得尤其重要。

在概念教学中，教师不仅要运用正面的例子来深刻阐明它的本质属性，而且要善于借助反例加深学生对定义中的关键词、句重要性的认识，以弥补正面教学的不足，从而进一步加深对概念的理解。

例如，在进行奇、偶函数概念的教学时，不少学生对概念的理解只是表面的，还没有深入到其本质，教师可提出问题是偶函数吗？可能有的学生会不假思索地回答：是。

浅谈高中数学教学中的反例教学

中，学生有时由于对知识结构掌握不够完善，或缺乏严谨的学习态度，往往会出现在处理题目时想当然，引起做题出错。所以，在教学过程中，要针对学生存在的这
条件，而又不符合该命题结论的例子。说得更简洁一点，反例就是一种指出某命题不成立的例子。当然，从某种意义上来说，所有的例子都可以称为反例，因为它总可以指出某命题（甚至是非常荒谬的命题）不成立。但这里，我们讨论的反例，是建立
学试题中选择、判断、填空、计算及证明的处理，将会出现一系列的错误或曲解。因此，我们要针对学生容易出现的这一错误，开展反例教学，帮助学生理解和掌握数学概念。
２、针对对题目处理想当然的错误开
出示，以免受 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 先人为主” 的影响，一般不
要先出示反例然后再出示正例，或者以反例为主组织教学，也不要每一堂课都出示反例。
人在几年的从教经验中，总结出反例教学的具
体操作步骤，和应用反例教学时应注意的问
础知识的基础，是判断推理的依据，是计算、解题、作图的前提，是发展学生思维能
力的首要条件。因此，理解和掌握数学概念是学生学好数学的基础，清晰的概念是正确思维的前提。如果概念模糊，对于数

“反例”在高中数学教学中的应用

“反例”在高中数学教学中的应用【摘要】众多反例集知识性与趣味性于一体，让学生在“惊奇”中发现不同，在“警醒”后学到知识。

在新课程改革大趋势下，我们一线教师必须担负起提高教学效率的重任，而反例的应用就是其中一种很好的方法。

【关键词】反例高中数学教学效率一，反例在数学中的重要意义在整个数学发展史中，发现一个正确的命题固然让我们欣喜，而发现一个命题的错误之处也同样重要。

要证明一个命题的正确必须严格地从所给条件出发，用逻辑推理的方法结合已知定理公理推导出结论。

而要证明一个命题是错误的或者片面的，最具有说服力而又简明的方法就是举出反例。

在数学发展的历史上，恰当的反例推动了数学的发展。

常常有这样的情况，一个重要的猜想，数学家用了很长的时间未能证明它，结果有人举出反例否定了这样的猜想，使问题得到了解决。

1640年，费马认为自己找到了能表示部分素数的公式+1(称为费马数).他验证了n=1,2,3,4的情况都是正确的,于是得到了形如+1的自然数是素数的猜想..一百多年后,欧拉指出+1=4294967297=6700417×641.从而推翻了费马的猜想.历史上,这样的例子数不胜数.二，反例在高中数学教学中的重要作用：1．反例是概念教学中不可或缺的组成部分概念教学是数学教学中的重要板块，几乎每一部分知识的构建都是从概念部分开始。

在概念教学中适当运用反例，有利于突出概念的关键特征，加深学生对概念本质属性的理解，提高概念学习的效率。

例如在双曲线的概念的教学中，课本的双曲线的定义是：我们把平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于常数（小于｜｜）的点的轨迹叫做双曲线。

在实际学习中，学生总是把注意力放在“差”和“绝对值”上，而忽略了括号中“常数小于｜｜”的要求，而“常数小于｜｜”的要求不仅是双曲线的定义的重要组成部分，也是考题最容易考察的知识点。

我们在教学中也可以先不用急着把“（常数）小于｜｜”的重要性先强加给他们，而是在概念给出后及时给出一个不考虑（常数）小于｜｜的反例：是平面内两个定点，ｐ点是平面内一个动点，并且满足｜｜＝６，那么ｐ点轨迹是什么？学生经过思考后发现，p点轨迹是两条射线，有了这个反例，学生就会发现，双曲线定义中“（常数）小于｜｜”和“差”“绝对值”同样重要，在以后对类似题目的处理就不会忘掉考虑“定值小于｜｜”的要求了。

浅谈反例在数学教学中的应用

时，有意识地运用反例，就有重要的意义。通过正面的
科，主要是要使学生掌握该学科的基本结构。所谓基本结构是指基本原理或基本概念。” 数学教学离不开概念教学，在概念教学中，而对某些重要的概念，课本仅从正面给出定义并举例说明，学生往往理解不够透彻，容易产生歧义，能举出一些不符合定义的例子，若就能加
个例子￣３０ｎ９。就是第一象限角，但不是锐角。另外，如关于充分必要条件的概念，也是数学中的一个重要的基本概念，在教学时，定要有足够多的正反例子，一特别是让学生自己去构造充分条件，必要条件，充分非必要，必要非充分等等各种情形的例子，而使学生彻从底弄清这一概念。
深学生对概念的理解。
定义指出某一概念是什么，在举出反例从反面强调这个概念的特性，通过正反两方面的比较，就可以加深学生对概念本质的理解和掌握。中学数学中处处都离不开定理，学生应用定理解题时，常常只注意到定理的结论，而对定理的前提条件，即该公式的使用范围，往给忽略掉，往因而经常出错。单靠老师提醒，还不足以引起学生的重视，有时举个反例就能取得良好的效果。例如，求抛物线Ｙ４过点（，）ｘ＝１１的切线，同学解有答如下：因为Ｙ２ｘ “ ｐ过点（０。＝），）的切线方程为ｙ＝（Ｙ０ｐｙ（十，此时ｐ２ｘｌｙ１ｘ）＝，＝，＝，代人即得切线方程：ｏ０
一
通过运用反例与原概念、定义比较，学生对有关概念就有较深的印象。从认知的角度分析，人们对比较复杂的事物的认识，不是一次完成的；识的发展往往而认也不是直线式的，而是要经过多次的反复，功的经有成验，也有失败的教训，才能真正的认识事物的本质。根据人的认识这一特点，在教学中讲授比较复杂的概念

浅谈反例在高等数学教学中的作用-毕业论文

【标题】浅谈反例在高等数学教学中的作用【作者】彭小平【关键词】反例高等数学教学作用【指导老师】刘萍【专业】数学与应用数学【正文】1引言高等数学是培养学生抽象概括能力、逻辑思维能力、运算能力和空间想象能力的重要课程，高等数学学习的好坏直接影响到其它学科的学习，在大学学习中占有极其重要的地位.但是，由于内容的高度抽象性与概括性、严密的逻辑性、独特的“公式语言”、简练的表达方式，高等数学常常成为我们学习的第一个难关.如何渡过这第一个难关，学好高等数学？1997年9月，张宏老师在他的《谈谈反例在高等数学教学中的作用》[1]一文中阐述了正确的应用反例，在高等数学的教学和学习中起到事半功倍的效果；内蒙古师范大学数学系旺吉乐先生在他的《谈反例在高等数学教学中的作用》[2]一文中讨论了反例在培养学生数学思维能力方面的功能并通过实例着重探讨了反例在高等数学教学中的作用, 指出“反例教学”是提高教学质量的重要一环, 又是培养学生数学思维能力的不可缺少的手段；南京邮电学院应用数理系丁秀梅老师在她的《反例在高等数学教学中的作用初探》[3]论述了重视和恰当地使用反例,不仅有助于学生全面正确地理解、掌握高等数学的基本概念和基本定理,还有助于激发学生的求知欲,提高数学思维能力。

我们知道，数学提出问题的主要类型为“若A则B”，如果要说明这一问题是正确的，则要建立严格的证明；但是如果要说明这一问题是不正确的，只要举出一个与结论不符合的例子就足够了.这种用来否定某个结论的例子，通常就称为反例.把使用反例这种数学推理方法应用在高等数学的教学中，有什么样的作用呢？前面这几位学者都作了深入的研究。

本文将更加广泛的来研究反例在高等数学教学中的作用，下面我们来简单谈一谈：2 反例能使学生正确、全面的理解数学基础知识2.1反例能使学生正确、全面的理解概念概念在高等数学中有着举足轻重的作用，学生的逻辑思维能力、空间想象能力、分析运算能力、解决问题的能力都是以清晰、正确的概念为基础的.从一定意义上说，数学水平的高低，取决于对数学概念的掌握程度.而数学概念本身是抽象的.引入概念之后，还必须有一个去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里的改造、制作、加工、深化过程，必须在感性认识的基础上对概念作辨证的分析，用不同的方式进一步揭示概念的本质属性.通过构造反例，往往能够从反面消除一些容易出现的模糊认识，帮助我们严格区分那些相近易混的概念，把握概念的要素和本质，从而学好高等数学.例1：在学习数列极限的—N时，我们可以提出这样的问题.若，当n>N时，数列中有无穷多项满足 .是否有？解：答案是否定的.我们可以设，对有，但是，该数列显然是无极限的.用这个小小的反例简洁的否定了这种错误的认识，因为虽有无穷多项满足，但是也可能有无穷多项不满足 .而数列极限的定义当中要求当n>N时，所有的都满足，即不满足的至多为有限项.经过这一反例的判断和分析，学生自然对—N定义的本质有了进一步的认识，对定义的要求也有了更明确的理解.又如：在学习导数概念的时候，对差商的极限，即(2─1)存在的话，就说函数在点可导，有的学生理解不深，认为定义中的是可以指定的，而忽略了是任意的.为了帮助学生对导数概念准确的理解，可以举如下反例加以说名：函数对于，因为同为有理数或同为无理数所以(2─2)故(2─3)根据导数的定义，要求学生回答：此函数在点x处的导数为零吗？肯定有学生回答存在且等于零.老师可以继续提问，函数在定义区间上连续吗？有学生回答函数在内处处间断.这样说明函数在任何点都没有导数.通过这个例子，老师可以向学生讲清楚导数定义中的自变量的增量必须是趋向于零的任意量，它不能只是按某些特定的方式趋向于零.2.2反例能使学生分清定理中条件的充分性和必要性弄清楚数学问题中的充分条件和必要条件,有利于对数学问题的研究, 也有利于对定理的理解.反例能帮助学生分清定理中条件的充分性和必要性.例2：在复合函数的求导法则中, 在点u可导,而又在点可导,这个条件是在处可导的充分条件, 还是必要条件, 还是充分必要条件,学生分不清, 难以回答.即使老师告诉答案,学生也理解不透.但是,如果用反例来说明,学生不但能分清楚,而且还能深刻理解,牢固掌握.如：，，在点不可导，，在x=0点也不可导，但是在x=0处是可导的.因为(2─4)所以│x=0=1(2─5)此例说明复合函数求导法则中的条件是充分的,但并非必要条件.又如在定积分中值定理中，对函数在［］上连续这个条件，大部分同学都认为是使(2─6)成立的充分必要条件.其实不然，在闭区间不连续的可积函数，却可以有积分中值定理的结论.如：在x=0不连续，且，若取，则显然有(2─7)此反例说明,闭区间上连续函数乃是积分中值定理存在的充分条件,并非必要条件.2.3 反例能使学生明确定理、法则、公式中条件的严密性数学本身就是严密性很强的一门科学.在教学过程中，尽管教师把定理、法则、公式讲得十分深刻、十分彻底.但是学生运用时仍然忽视定理、法则、公式的条件，造成错误.恰当的反例可以帮助学生认识定理中条件的严密性.例３：Roll中值定理要求函数同时满足三个条件：１）在闭区间［］上连续；２）在开区间（）内可导；３）在闭区间两端点处的函数值相等，即 .为了说明Ｒoll中值定理中这三个条件是必不可少的，可以用反例来说明.如：（a）令判断是否存在使得成立？该例子中的函数除了不满足罗尔定理中的第一个条件外(因在在处不连续) 满足其余两个条件,但是不存在一点使得成立这个例子说明罗尔定理中的第一个条件是必不可少的.（b）设，判断是否存在使得成立?该例子中的函数除了不满足罗尔定理中的第二个条件外(因在处不可导) 满足其余两个条件， ,显然不存在使得成立.这个例子说明罗尔定理中的第二个条件是必不可少的.（c）设 ,判断是否存在使得成立?该例子中的函数除了不满足罗尔定理中的第三个条件外(因为 ) 满足其余两个条件, 显然不存在使得成立.这个例子说明罗尔定理中的第三个条件是必不可少的. 2.4 反例可以发现和纠正学习中存在的错误学习过程是一个知识积累的过程, 同时也是不断发现错误、改正错误的过程, 反例在辨析错误的过程中具有直观、明显、说明力强等突出特点.通过反例教学, 不但可以发现学习中存在的错误和漏洞, 而且可以从反例中修补相关知识, 从而获得正确结论或解答. 例4：在我们学习了“函数和的定积分等于它们积分的和”这个性质后，大家就想当然的把它推广到无限和的情形，但是无限个函数和的定积分可以不等于各个函数积分的和.如：因为所以即在闭区间[0，1]上恒有 .所以(2─8)但是= ,于是 = (2─9)所以有(2─10)此例说明了“函数和的定积分等于它们定积分的和”这一性质不能够无条件地推广到无限项和的情形.又如：我们在学习二元函数的连续、偏导、可微的时候，不少同学想当然的将一元函数的这些概念迁移过来.如果是正确的，当然是好的，但是是正确的吗？我们来看一看：函数在处存在两个偏导数，即，，但是它在处不连续.此例可以说明“偏导一定连续”是错误的.3 反例可以培养学生的科学的数学思维方法学习数学的目的在于培养我们的思维能力，通过数学知识的传播和数学思想方法的熏陶，使我们形成良好的思维品质，科学的数学思想方法.这就要注意培养我们思维的灵活性、思维的批判性、思维的严谨性和思维的广阔性.而反例在培养我们科学的思维方法中起到了正面例题所起不到的作用.如反例可以使我们可以克服定势思维、培养我们的发散思维能力.3.1 反例是克服定势思维的有力手段在学习过程中，学生在教师习惯性程序影响下容易形成固定的思维模式，即定势，它是发散的基础，没有一定的定势储备，便没有灵活的发散.但是受定势和习惯的影响便会产生“墨守成规”、“机械记忆”、“被动模仿”等负面影响，容易形成思维的障碍，反例正是解决这一弊端的有效方法.学生学完洛必塔法则入获至宝，认为符合条件的都能求解，形成定势思维.为了消除这样的定势思维，我们可以举出反例例5：，我们有，，所以(3─1)但是(3─2)仍然是不定式，再用洛必塔法则又回来到原来的比式，无法得到最终结果.3.2 反例是培养发散思维的重要途径著名数学教育家波利亚强调要教会学生会猜想，而高等数学教学现状是偏重于形式论证、逻辑推理的严密性，这对培养学生的创新能力来说是不利的.而反例的运用恰恰能够培养学生思维的批判性，发展逆向思维和发散思维，有利于创新思维能力的提高.所以，在教学过程中要鼓励学生敢于提出问题、敢于猜想，将定理的条件改变一下，加强或减弱，看看对结论会有什么样的影响？能否将定理的结论推广延伸等等.也就是要求学生不仅仅局限于证明现成的定理和习题，而是着眼于发现创新，自己提出问题，猜想结果，这时反例常常会发挥出意想不到的威力.例6：对于正项级数（D’Alembert）判敛法陈述为：若则当时级数收敛；当（或）时级数发散.当时判别法失效，这意味着时级数可能收敛也有可能发散.教师可以即时的构造反例加以说明，事实上收敛和发散的反例分别为和 .当然（D’Alembert）判敛法还有可能由于的跟本不存在而失效，进而引发学生去发现创造比（D’Alembert）判敛法更有效的判别方法.此时反例又的作用又得到了充分的展示.如：判定级数的敛散性.若用（D’Alembert）判敛法，则(3─3)故不存在，（D’Alembert）判敛法失效，但不能得到这个级数是收敛的还是发散的结论.事实上此级数是收敛的.利用Cauchy判别法有(3─4)故此级数是收敛的.又如：发散级数此时，， .所以不存在.进而得到（D’Alembert）判敛法极限不存在的推广形式：(3─5)但是注意到推广形式仍然可能由于 1 而失效.由此可见，在高等数学教学过程中构造恰当的反例，利用帮助学生深刻理解基本概念和重要定理，清楚的看到猜想和反驳在数学学习过程中的重要性，对培养学生的发散思维能力是十分有益的.4 反例可以培养学生的创新思维能力反例和证明一样推动了数学学科的发展，数学的发现也是朝着提出证明和构造反例这两个主要目标前进的.与证明一样,反驳也是我们在数学学习中必须努力培养的十分重要的数学思维能力.构造反例(反驳的主要方式之一) 带有一定的技巧性,有时是费力的.它不仅与基础知识掌握的程度有关,还涉及到知识面的宽窄等等.所以在教学中除列举一些反例之外,在适当的时候,让学生自己构造反例,这对学生是很好的锻炼.事实上,反例的引出、构造、对命题的再分析??重视和体验这样的过程,不仅能增加知识、拓宽思路、活跃思维、提高自学能力,也能提高分析问题和解决问题的能力, 增加数学素养.在教学中重视和恰当地应用反例,不仅可以调动学生的学习积极性, 养成重视条件、严格推理的习惯,而且还可以提高学生的数学能力、学习能力和创新能力.巧妙的一个反例便可否定似乎经过严格“证明”的结论, 因此, 有人误认为构造反例比证明轻松, 但实际上, 构造反例并不像证明那样有清晰可循的逻辑途径, 而给人一种不可捉摸的感觉, 因而, 需要更高的数学素养和勇于创新的能力.一般说来, 许多反例的构造并不是惟一的, 这就从另一方面给学生提供了培养创造性能力的多种途径.因此在教学中, 除教师应用反例教学外, 指导学生构造反例对提高他们的创造能力有良好的作用, 使学生在构造反例的过程中学会创新, 养成勤于探索, 不断进取的良好习惯.例7：例如在学习了商的极限法则后, 为强化学生对分母的根限不为零这一条件的注意, 设计了题目：若则必有以下结论吗?(4─1)我们可以举如下反例:我们设 ,那么 ,即没有意义那么就有(4─2)又如在学习了级数后为区分正项级数与任意项级数的不同, 设计了题目: 若级数收敛, 则级收敛吗?构造反例和给出证明, 不论是从纯数学的角度还是从数学教学的角度来看, 都起着同等重要的作用.通过构造反例, 可深化对知识的理解, 辨析错误, 发现数学真理, 培养创新能力和良好的思维品质.在数学教学中, 恰当地使用反例, 引导学生去构造反例, 将有助于教学质量的提高和学生数学素质的培养.5 反例有助于激发学生的求知欲有些问题稍作变化,再交给学生,在新旧的比较和思索中,往往能引起学生的兴趣.而通过教师有效的引导和学生积极的讨论, 许多反例将被举出.例如对于绝对值函数,我们可以提出下面一系例8：列命题让学生判断:(1) 若在点连续,则在点也连续; (是)(2) 若在点连续,则在点也连续; (非)(3) 若在点可导,则在点也可导; (非)(4) 若在点可导,则在点也可导. (非)又如学习洛必达法则时,我们可以提出这样的问题:若符合洛必达法则的条件, 通过该法是否就一定能求得极限呢? 只需举一反例:(5─1)在接连使用该法则的过程中总是出现不定式且发生循环现象.学生一旦发现这一反例中的恶性循环,便感到惊奇,引起解题的兴趣.像这些学生易犯而又意识不到的错误, 一经提出, 就会使学生感到诧异.因为学生有强烈的了解“为什么”的愿望,所以接下来反例的构造或列举自然会引起我们格外的注意.6 结束语从以上论述我们可以看出，反例在高等数学教学中的运用，对于准确理解定义、定理，正确运用所学知识，培养学生的数学能力，激发学生的求知欲，确实起到了事半功倍的效果.在教学过程中，我们应充分发挥它的作用.。

浅谈高中数学反例教学法

浅谈高中数学反例教学法随着我国基础教育课程的逐步深入,课程理论研究正面临极好的机遇和极大的挑战,改革实践呼唤科学的课程理论给以指导,因此教学方法的改革将会是这个时代教育中最突出的特征,学生在课程教学中的主体地位,学生的主动学习无疑将日益突出,广大教育工作者必须全身心投入到教材教法的研究,勇敢地实践摸索出一些成功的教学方法,以适应时代的需要。

现在数学教学内容变了,有的教学方法落后,引起学生反感,致使许多学生对学习数学兴趣不大,学后没有印象,这种状况极大的影响了数学教学的质量。

在数学教学中运用“反例教学法”非常有利于改变上述状况,本文结合自己的教学实践,对“反例教学法”在数学教学中的运用做了一些研究。

一、反例教学法概述反例教学法是指在教师指导下,根据教学目标和内容的需要,采用典型例题的典型错误解法或错误认识组织学生进行学习、寻找、探讨错误的地方与原因,达到真正完全掌握数学基本概念、性质,并最大限度地避免解题出错的一种教学方法。

简言之,反例教学法实质上是指教师呈现少数例题,引导学生进行批判的一种教学方法。

反例教学法中的反例有特定的内涵,这里的反例是指教师在教育实践中收集的典型例题的典型误解、重要知识点的典型错误认识,所谓典型是指它有丰富的教学价值,通过分析例题的错解、知识点的错误认识能够揭示出解题的规律和方法,掌握重要的知识点,巩固学生所学知识的薄弱环节。

反例教学比较耗费时间和精力,如果反例庞杂,则教师和学生会为反例的数量和细节所拖累,造成事倍功半,倘若是教师信手拈来的几个反例,那么其教学意义就十分有限,因此,反例必须典型、精制、简炼。

二、反例教学法实施过程1、选编反例。

这是实施反例教学法的基础和前提,要动员教师集体编写反例,每个教师至少要准备20～30个反例,这些反例具有一定的教学价值,编好之后,存入反例库中,随时供教学使用,选择和编排反例具体要求有以下几点:第一,反例必须从教学实践中来,真实、生动。

反例在数学教学中的运用

反例在数学教学中的运用数学是一门基础学科，它的学习和教学需要一定的逻辑性和严谨性。

在数学教学中，反例的运用是一个非常重要的教学策略。

通过引入反例，可以帮助学生更好地理解数学概念和定理。

接下来，我将从何谓反例、反例在数学教学中的意义以及如何运用反例进行教学等方面进行详细阐述。

何谓反例反例指的是与一些命题相矛盾的例子或者与一些理论相矛盾的例子。

在数学中，一个命题通常是一个由一个或多个假设得出的结论，而反例则是指通过举出一个合乎假设但不满足结论的特例，从而推翻了该命题的真实性。

反例在数学教学中具有重要的意义。

首先，反例有助于发现并纠正学生的错误观点。

学生在学习数学过程中常常会形成一些错误的概念和观点，这些错误观点可能导致他们在解题时出现一系列的问题。

通过引入反例，可以帮助学生发现并认识到他们错误的观点，并测试和调整他们的理解。

其次，反例有助于增强学生对概念和理论的理解。

数学中的概念和理论往往比较抽象，学生难以形成准确的认识。

通过举出一些反例，可以让学生更加直观地理解概念和理论的含义。

反例能够使学生认识到概念和理论的局限，从而更好地掌握和运用它们。

另外，反例还有助于培养学生的逻辑思维能力。

数学是一门逻辑严密的学科，逻辑思维是数学学习和研究的重要一环。

通过运用反例，学生需要分析、比较和评判不同观点的合理性，从而提高他们的逻辑思维能力。

如何运用反例进行数学教学在数学教学中，教师可以采用多种方式来运用反例。

1.在引入新概念时使用反例。

当教师要引入一个新概念或定理时，可以先通过举例子来说明其具体含义，然后用反例展示其局限性。

这可以帮助学生更好地理解新概念和定理，并避免形成错误的观点。

2.在解答典型题目后使用反例。

当学生解答完一道典型题目后，教师可以用一个反例来让学生再次思考答案的准确性。

通过此方法，学生可以更深入地理解问题的本质，并发现和纠正可能的错误。

3.在讲解数学思维中使用反例。

数学思维是数学学习的核心，教师可以通过讲解数学思维的过程来使用反例。

巧用反例提高教学质量论文

巧用反例提高教学质量中图分类号：g4 文献标识码:a 文章编号：1007-0745（2011）10-0010-01摘要：数学是一门严密的科学，它有着十分严格的逻辑推理体系。

在教学中，适当的运用反例，可以起到事半功倍的作用，并且更有助于培养学生思所谓反例，就是指满足命题的条件，却不满足命题的结论的例子。

我们知道，要证明一个命题是正确的，必须经过严密的推论，但是要否定一个命题，却只需要能够举出一个不符合结论的例子就可以了。

在数学的发展历史上，反例和证明都是十分重要的。

正如美国数学家盖尔鲍姆所讲述的:“冒着过于简单化的风险，我们可以说数学由两大类—证明和反例组成，而数学发展也是朝着这两个主要目标—提出证明和构造反例。

”在数学学习中，除了注重培养学生的严密的逻辑推理能力的同时，应当鼓励学生多去举反例。

这才能更深刻掌握数学基础知识，多层面、多角度观察思考问题，提高其数学修养与培养科学研究能力。

一、反例有助于更好的理解概念数学概念是整个数学大厦的基石，也是解决数学问题的依据，所以，对于概念的教学就显得十分重要。

某些重要的概念．如果只从正面给出定义并举例说明并不能加深对这一概念所具有的本质属性的理解，有时还需要举出不符合定义的反例。

因此，在教学中，教师不仅要运用正面的例子来深刻阐明它的本质属性，而且还要巧妙地借助反例帮助学生加深对定义中的关键词、句重要性的认识，以弥补正面教学的不足，从而进一步加深对概念的理解。

比如，在讲授函数奇偶性的时候，学生往往只关注f(-x),而忽略对定义域的限制。

教师就可以构造反例f(x)=x2(0<x<1),判断该函数的奇偶性。

很多学生可能会不假思索的得出错误的结论是偶函数。

因此，通过这个反例，可以提醒学生，只有函数的定义域关于原点对称，才能谈及函数的奇偶性。

再例如，平行线的定义是“在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线”。

学习这个概念的时候，学生往往对“不相交”印象深刻，而容易忽略“在同一平面内”的这个条件。

例谈高中数学课堂中反例教学的作用

中教研究2016.9~10众所周知，要判断一个命题的正确与否必须经过严密的推证，而要否定一个命题，只要举出一个与结论相矛盾的例子即可，这种与命题相矛盾的例子称为反例。

举反例和证明都是重要的数学思维方式，它们是一个问题的两个侧面。

美国数学家B.R.盖尔鲍姆和J.M.H.奥姆斯特德指出：“冒着过于简单化的风险，可以说数学由两大类———证明与反例组成，而数学的发现也是朝着两个主要的目标———提出证明与构造反例。

”所以可以认为数学中的反例，既是简明有力的否定，又是极有说服力的肯定，反例的作用不仅用于否定命题，也是发现数学真理的一种重要手段，它有助于学生发现问题、活跃思维，避免常犯、易犯的错误，在数学学习与研究中起着不可估量的作用。

一、利用反例，加深对数学概念的理解学习数学概念，不仅要重视正面的例子，加以阐明，还要会运用合适的反例来领会概念的含义。

学生在学习某些数学概念时，常常不能抓住数学概念的本质特性，不能全面理解数学概念的内涵和外延，结果造成理解上的混淆，而反例简明并且具有说服力的否定，往往能起到正面例子起不到的作用。

如一个函数y=f （x ）是奇（偶）函数，必须具备两个条件：（1）定义域关于原点对称；（2）f （-x ）=-f （x ）（或f （-x ）=f （x ）），而学生在做题时，往往会忽略第一个条件。

例1.判断函数f （x ）=（1-x ）1+x1-x姨的奇偶性.误解：f （-x ）=（1-x ）1+x1-x姨=1-x 2姨，而f （x ）=（1-x ）1+x1-x姨=1-x 2姨，∴函数y=f （x ）是偶函数.剖析：错误在于没有注意到f （x ）的定义域为［-1，1），不关于原点对称.正确解法：因为f （x ）定义域为［-1，1），不关于原点对称.∴f （x ）是非奇非偶函数.在高中数学的学习中，通常会碰到判断函数奇偶性的问题，久而久之，学生的头脑中会忽略“定义域关于原点对称”这一条件，反例纠正了学生对这一概念的错误理解，扩大了知识面。

反例在数学中的应用毕业论文[管理资料]

KeyWords:counterexample,HigherAlgebra,MathematicalAnalysis．
前言
“全等的三角形是相似的”这一命题是正确的，我们需要加以严格的证明；然而对于不正确的命题“相似的三角形一定是全等的”，那么我们就要找到两个相似但并不是全等的三角形，即举出一个反例．由此看来，对于命题来说，给出证明和构造反例是同等重要的．
反例在数学中的应用第一章高等代数中的反例11矩阵中的反例12多项式中的反例13线性空间中的反例1114线性变换中的反例12第二章数学分析中的反例1421数列中的反例1422函数中的反例1623微商与微分中的反例1924微积分中的反例2125级数中的反例2226偏导数与全微分中的反例28参考文献29反例在数学中的应用全等的三角形是相似的这一命题是正确的我们需要加以严格的证明
构造反例，可以深化理解基本概念，可以充分掌握定理的本质，可以有效纠正错误的命题或定理；通过构造反例，从反面消除一些易出错的条件，严格区分那些相近易混的概念，把握概念的要素和本质．定理证明中，反例具有同等重要的作用，通过严密的证明才可以肯定一个命题的正确性，而反例即可否定一个命题的正确性．
这篇论文的主要内容是举出关于数学中的反例，包括高等代数和数学分析两部分．在举反例的过程中，所涉及到的定理和命题均参照高等代数第三版和数学分析第二版的教材，为了加强对问题的理解，我们举出了一些具有说明性的反例．
例，，
明显的是不能由线性表出，然而线性相关．
2.若线性无关，则其中任意两个不同的向量必定线性无关，反
之如何？即两两线性无关，是否全部线性无关？
例，，，
这里任意两向量线性无关．可是，，即线性相关．
所以，两两线性无关，不一定全部线性无关．

谈“反例教学”在高等数学教学中的应用

谈“反例教学”在高等数学教学中的应用摘要：反例教学可以说在高等数学教学过程中，发挥着非常重要的作用和效果，随着新课标的不断改革和完善，其重点就是要培养学生的整体水平和综合能力，因此，在高等数学教学过程中，采用反例教学的教学方式，一方面可以帮助学生对高等数学理念和基础知识的掌握和了解，另一方面，还可以在不同程度上帮助学生改正在高等数学教学中学习的误区，通过反例教学的方式，可以锻炼和培养的学生的感知、认知以及创新能力，为此，在高等数学教学中，恰当的采用反例教学法进行引导教学，是非常有利于培养学生数学能力和高等数学教学质量的，下文我们主要针对“反例教学”在高等数学教学中的应用进行简单的阐述和分析，希望能够起到一定的借鉴之处。

关键词：反例教学；高等数学教学；应用；分析中图分类号：g64 文献标识码：a文章编号：1009-0118（2012）05-0142-02高等数学，在高等院校中可以说是一门要求逻辑和思维能力非常强的学科，在高等数学教学中，学生可以培养和锻炼自身的抽象和思维能力，可以充分调动自身的空间思维能力和空间想象能力，学生如果掌握其高等数学学习的能力，那么对于提高自身能力来说，是百利而无一害，因此，为了能让学生掌握和了解高等数学学习方法，我们在高等数学中可采用反例教学，来引导和启发学生学习高等数学，进而，培养学生的思维能力和创新的能力，让学生能够具备解决问题的能力，然后将这样的学习能力，应用到学习工作和生活中，不断的提高和完善自身素质和技能。

一、采用反例教学方法，提高学生对于知识的理解在高等数学教学过程中，可以说高等数学中存在很多的概念以及相应的定理和规则，这样就给学生在学习高等数学过程中带来了很大程上的困难，因为在高等数学中的定理以及规则，如果片面的理解起来是非常的困难的，很多学生在学习高等数学过程中，也都只是了解其文字的含义，而对其所要表达的内容一无所知，因此，为了能够加深学生对高等数学的概念、定理以及规则的理解，我们可以在高等数学教学过程中，采用反例教学的方式，从侧面了解和概括高等数学的概念、定理以及公式所要表达的本质意思，从而使学生能够对知识进行一定的理解和分析。

“反例教学”在数学课堂教学中的运用

“反例教学”在数学课堂教学中的运用摘要:数学教学中，反例和证明同样重要。

因为反例在辨析错误中具有直观、说服力强等突出特点，所以教学中注重反例的运用，适时地引进一些反例或引导学生构建反例，往往能使学生在认识上产生质的飞跃，帮助他们理解数学概念、巩固和掌握定理、公式和法则，纠正一些习惯性错误，培养思维的创新性。

关键字：数学教学反例证明数学概念要说明一个命题的正确性，必须经过严密的逻辑推理论证，而要否定一个命题，则只需举出一个符合题设而与结论相矛盾的例子就行了。

这种与结论相矛盾的例子叫做反例。

在数学教学中，反例和证明同样重要。

因为反例在辨析错误中具有直观、说服力强等突出特点，所以教学中注重反例的运用，不但能使学生发现错误和漏洞，而且还可以修补相关知识，学会多角度考虑问题，从而提高思维的灵活性。

一、恰当运用反例，帮助学生理解和掌握数学概念概念是数学教学中最为基础的知识。

教学概念时，不但要让学生弄清“是什么”，还要搞懂“不是什么”。

一般来讲，教材叙述概念总是采用正面阐述的形式，而学生常常对一些概念的关键词缺乏深刻的认识，对概念所要求的条件理解不全面，巧用典型、生动、直观的反例，对易于模糊的概念进行比较、辨析，才能形成清晰的认识。

教育心理学家认为：概念或规则的正例传递了最有利于概括的信息，反例则传递了辨别的信息。

循环小数概念中的“依次不断，重复出现”这两个关键的词语缺一不可。

帮助学生正确理解这两个关键词语，可以举出类似下面的反例子：200820082008,3.14159265358979……。

经过辨析学生认识到，第一个小数虽然“2008”重复出现，但并没有“依次不断”；第二个小数位虽然“依次不断”，但并没有“重复出现”一个或几个数字，因此都不是循环小数。

通过这样的反例，往往可以加深学生对循环小数概念内涵的理解，使学生清晰知道“依次不断，重复出现”这两个条件必须同时满足。

二、巧用反例，深化理解反例能从另一个角度去理解问题，使你对所学的知识分析得更加清晰，理解得更加深刻，掌握得更加牢固。

浅析“反例教学”在高等数学教学中的应用(全文)

浅析“反例教学”在高等数学教学中的应用1 反例教学的内涵数学是由两个大类构成的，证明和反例。

证明是我们在教学中经常使用的方法，而我们所说的反例指的是，在具体的数学教学过程中，为了加深学生的记忆，将比较难以理解的问题简单化，教师针对这些学生较容易出现学习困难或理解错误的知识点上有意设计答案，用表面上看起来似乎是正确的，但其实是完全错误的答案来设置“陷阱”，待学生按照预期跳入陷阱后，教师再根据学生所犯的错误给出正确的解答，引导学生得出的正确的答案，这就是反例的教学方法。

反例教学法实际的教学中是十分重要的。

学生在这一反向思维的过程中，不但能够准确地掌握所要学习的数学知识，又能锻炼自己的逻辑思维能力。

本文就从高等数学的知识入手，具体探讨反例教学在高等教学中的运用。

现代信息技术的不断进展以及各种现代化的手段工具在学校教学中的广泛运用，既给学校教育带来了难得的机遇，也使学校教育面临着比之前更多的挑战。

同时，随着我国课程改革的不断深入，传统的教育方式面临着比之前更多更严峻的挑战，因此，新的教学方法在教学过程中的运用就成为这个时代的新要求。

在数学的教学中，很多教师注重对例题的讲授，教师将例题的过程完整的呈现给学生，将答案和思路一并灌输给学生，学生虽然获得了例题的正确答案，很多时候并不理解解题的思路和过程，在面对相同类型的试题时，往往依旧摸不着头脑，长时间处在这样的教学环境中，只会使学生越来越厌恶数学的学习。

因此，在数学的教学中要勇于革新，积极运用新方法，本文我们就以此为出发点，寻求数学教学中的反例法。

2 反例教学在高等数学教学中的重要性（1）反例教学的运用可以使学生更加准确地理解数学基本概念。

在数学中，概念纷繁复杂，有很多概念还是十分抽象的。

教师在讲授这些概念时就面临一个问题，如何能够使这些抽象的概念变得生动、具体、易于理解？笔者认为，反例教学就可以在数学概念讲授时，得到很好的运用，从而使学生对这些抽象概念的理解不断加深。

反例在数学分析学习中的优秀论文

优秀论文题目: 反例在数学分析学习中的应用姓名: 安菊玲学校: 定西师范高等专科学校专业: 数学教育班级: 2011级 4班学号: 110202194 指导教师: 李连丽职称: 讲师2014年5月4日安徽科技学院学士学位论文摘要本文通过数学分析中的很多定理命题，运用恰当的反例从另一个侧面抓住概念或规则的本质，进而更容易加深对知识的理解.反例思想是数学分析中的重要思想，在概念、性质的理解，问题的研究与论证中都具有不可替代的独特作用.恰当地运用反例，对于正确理解概念、巩固和掌握定理、公式、法则等，培养学生的逻辑思维能力，预防和纠正错误，将起着十分重要的作用.本文针对这个问题，深入细致研究了数学分析中的很多问题的反例.系统的对数学分析中的反例进行总结研究，共分为数列、函数、一元函数导数及其积分、级数、多元函数五个部分，各部分之间并非完全独立.针对多数定理及命题，用逆向思维方法从问题的反面出发，如果有问题，举出反例证实.本文所选的问题和反例比较典型，难度适中，解法精巧，富有启发性.本文对理解数学分析的基本概念，掌握数学分析的基本理论和技巧很有好处.关键词：数学分析；反例；函数反例在数学分析学习中的应用AbstractThere are many theorems and propositions of Mathematical analysis, using appropriate counterexamples from another side can recognize the essence of concept or rules, and it’s easier to deepen the understanding of knowledge. The counterexample of thought is an important thought in Mathematical thought, and it plays an irreplaceable role in the understanding of the concept, nature and the research, reasoning of problems. To understand concepts correctly, consolidate and master theorem, formula and rule, etc, train the logical thinking ability of students and prevent and correct errors, which it’s necessary to use counterexamples felicitously. To the question, this text researches a lot of problems with counterexamples in Mathematical Analysis deeply. The counterexamples are summarized in Mathematical Analysis systematically and there are five sections: sequence of number, function, a circular function derivative and its integral, series, and function of several variables. And every section isn’t independent. We can learn most theorems and proposi tions with the reverse thinking method. If there’s some problem, you can give the examples to verify from the opposite. The selected problems and counterexamples in this thesis are typical, appropriate difficult, and enlightening. Based on understanding the basic concept of Mathematical Analysis, grasping the basic theory and technique of Mathematical Analysis technique, the thesis is very good.Key words: Mathematical Analysis; Counterexample; Function安徽科技学院学士学位论文目录第一章绪论 (1)1.1引言 (1)1.2课题的背景及目的 (1)1.3国内外研究状况 (2)1.4课题研究方法 (2)1.5论文构成及研究内容 (2)第二章数列中的反例 (2)第三章函数中的反例 (4)第四章一元函数导数及其积分中的反例 (5)第五章级数中的反例 (8)第六章多元函数中的反例 (10)第七章总结和展望 (12)参考文献 (13)致谢 (14)安徽科技学院学士学位论文第一章绪论1.1 引言在社会实践和学习过程中，人们都有这样一个经验，当你对某一问题苦思冥想而不得解时，从反面去想一想，常能茅塞顿开，获得意外的成功.用逆向思维方法从问题的反面出发，可以解决用直接方法很难或无法解决的问题.它不仅是解决问题的有力手段，而且推动了数学的发展，开辟了数学领域的新天地.数学是在归纳、发现、推广中发展的.反例在数学的发展中功不可没.反例不但在数学的发展和证明中有同等重要的作用，而且，在学习、领会和深入钻研数学的时候，也离不开反例.因为条件的强弱，使用范围的宽窄，都需要用反例作对比，才能加深理解，如果命题有错误，证明有漏洞，也只有靠反例去证实，并从反例中得到修补的启示.举反例是一种重要的反证手段.重要的反例往往会成为数学殿堂的基石.学会构造反例是一种重要的数学技能，应该成为数学教学的基本训练内容而渗透于教学过程之中.反例的重要性要想充分的发挥出来，关键还在于具体的作出所需的反例.至于反例的作法，也如证明一样，因题而异，方式多变.1.2 课题的背景及目的数学分析是一门很重要的课程，在自然课程中占有绝对基础地位.数学分析中存在大量的反例.当用命题形式给出一个数学问题，并判断它不成立时，我们就利用只满足命题的条件而结论不成立的例证，就足以否定这个命题.反例不仅可以帮助人们深入地理解有关数学对象的性质，而且对于推动数学科学发展，促进人的辩证思维方式的形成，具有的深刻意义.反例有助于培养科学概括、深入钻研、自觉纠错的良好的思维品质，而且是我们在数学学习中必须努力培养的十分重要的数学思维能力.构造反例带有一定的技巧性，有时是十分费力的，它不仅与基础知识掌握的程度有关，还涉及到知识面的完善等.反例的引入、构造、对命题的再分析等，不仅能增加知识、拓宽思路、活跃思维、提高自学能力，也能提高分析问题和解决问题的能力，增加数学素养，通过反例的构造可以培养发散性思维和创造性思维.举出大量实例来说明反例法确实是发现数学真理的一种有效手段.比如，数学家奥姆斯特德[1]指出:“数学由两大类——证明和反例组成.而数学发现也是朝着两个主要目标——提出证明和构造反例.从科学性来讲，反例就是推翻错误命题的有效手段.从教学上而言，反例能够加深对正确结论的全面理解.”在数学分析的学习中，我们不仅要运用正确的例子深刻理解知识点，而且要运用恰当的反例从另一个侧面抓住概念或规则的本质，进而加深对知识的理解.反例思想是数学分析中的重要思想，在概念、性质的理解，问题的研究与论证中都具有不可替代的独特作用.反例在数学分析学习中的应用1.3 国内外研究状况数学分析是一门久远的学科.纵观数学发展的历史，许多新思想的诞生都是由于人们发现现存的会导致与事实相悖的结果.因此，从数学中的反例可以窥探到数学思想的一步步进化.通过研究国内外关于数学反例的相关文献发现：大部分都是研究数学反例的作用和构造，而这些反例比较繁复零乱，很少有非常系统的总结.所以，想对数学分析中一些常见的问题进行总结，总结它们的反例，并尝试构造反例.对于以后的学习具有很大的帮助.1.4 课题研究方法数学分析中有许多重要的典型反例,这些反例是数学分析理论不可缺少的重要组成部分.所以论文主要研究方法就是对数学分析中的一些重要问题寻找、总结反例，加深对概念等的理解，以及学习构造反例的方法.针对数学分析中的一些概念，运用恰当的反例从另一侧面抓住概念的本质，从而加深对知识的理解；同时，对定理、公式和法则的条件、实际意义和应用范围，举出反例来帮助同学们更好理解掌握.我们在数学分析中往往会遇到很多错误的命题，这些命题有时候可能会被忽略思考而误用，因此我们可以举出反例来强有力的说明、否定这些错误的命题，从而正确掌握题解方法.1.5 论文构成及研究内容本文主要包括以下几个部分：绪论、数列中的反例、函数中的反例、一元函数导数及其积分中的反例、级数中的反例和多元函数中的反例.针对大学期间数学分析学习中的问题，每部分都深入浅出的举出各种反例来说明验证.并且在一些常见的问题上，会尝试构造反例来说明这些问题.第二章数列中的反例定义2.1 设{}n a 为数列,a 为定数，若对任何的正数ε ，总存在正整数N ，使得当N n >时有ε<-a a n则称数列{}n a 收敛于a ,定数a 称为数列{a n }的极限.若数列{}n a 没有极限，则称{}n a 不收敛，或称{}n a 为发散数列[3].例2.1 判断以下两个论断是否与极限 a a n n =∞→lim 的定义等价[2]. ①有无穷多个ε > 0，对每一个ε，存在N (ε)当n >N 时，有ε<-a a n .②对任意正数ε,无限多个n a ，使ε<-a a n .安徽科技学院学士学位论文事实上，①和②两个论断都与数列极限的定义不等价.论断① 忽视了ε 的最本质属性“ 任意小正数”.例如数列{}n a ：n n a )1(1-+=尽管有无穷多个ε >0(如ε =3，4，5，…)，可以使a a a n n --+=-)1(1(这里a 可以是0 或1)小于每一个ε(ε =3，4，5，…)，但却不能使a a a n n ---=-)1(1比任意小的正数ε 还要小.论断② 对任意ε > 0，虽然有无限多个a n ，使ε<-a a n 成立，但它忽视了对每一个 ε > 0，都必须存在某个自然数N ，即数列数列{}n a 的某一项N a ，从N a 以后的所有项都必须满足ε<-a a n ，例如数列{a n }={1，21，1，31，1，41，…，1，n1，…}.对任意正数ε，有无限多个n a n 1= (只要n >n1)，在0的ε邻域(0 −ε ,0 +ε)内；但在{}n a 中无论从哪一项开始，其后总有不含在(0−ε ,0 +ε)内的项.例2.2 收敛数列的四则运算是有限定条件的，否则可能并不成立.例如，数列{}n x 与{}n y ，通项分别为11+=n x n ，)2sin(πn n y n = (n=1,2,…)则数列{}n x 收敛,{}n y 发散，1)2sin(+=n n n y x n n π (n=1,2,…)故其积{}n n y x 发散. 然而并不是只有收敛数列的运算结果才是收敛的，某些发散数列经过四则运算，结果也是收敛的.数列有界性仅是数列收敛的必要条件，不是充分条件，即数列有界但不一定收敛.反例：数列{(−1)n }有界，但它发散[3].例2.3 数列{}n x 与{}n y 均为发散数列，通项分别为2])1(1[n n x -+=，2])1(1[n n y --= (n =1,2,…) 但0=n n y x (n=1，2，…)，因而数列{}n n y x 收敛于零.例2.4 两个非负的发散数列，其和却是一个收敛数列.取数列1，0，1，0，1，0 ，…及数列0，21，0，32，0，34 ，… 显然，这两个数列都发散，但其对应项相加所组成的数列是1，21，1，32，1，34，… 它是一个收敛数列[3].反例在数学分析学习中的应用第三章函数中的反例定义3.1 设)(x f 为定义在D 上的函数，若对任何正数M ，都存在D x ∈0，使00)(M x f >，则称)(x f 为D 上的无界函数[3]. 无界函数的定义与函数趋于无穷大的定义有些相似.然而，这两个概念有本质上的差别.若0x x →时，)(x f →∞，则)(x f 在 0x 的每个邻域内必定无界.反之，函数)(x f 在0x 的任何邻域内都是无界的，但当0x x →时,)(x f 并不趋于无穷大. 设xx x f 1cos )(=，则对无论多大的正数M ，总有充分接近于x =0的点，使 M xx >1cos 例如，取πn x 1=，则πn x x =1cos ，故当 πM n > 时，就有M x x >1cos . 因此，函数)(x f 在x =0的任何邻域内都是无界的. 然而，若取π)21(1+=n x n ，则当n →∞时,0→n x ，此时01cos →n n x x ，即)(x f 并不趋于无穷大.在研究函数性质时，函数的定义域及值域有时用区间表示，有时又用集合表示，此时我们易产生这样一种误解，即数集的区间与集合表示是等同的，其实不然，此时可用如下反例加以澄清.例3.1 设⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<=Z k k x k A ，222πππ )22,2(πππ+=k k B k ， Z k ∈ 我们知道：x y sin =，当k B x ∈时是严格单调函数，但若A x ∈，则x y sin =就不是严格单调函数了.事实上：当A x ∈=4π，则A x ∈=613π，而613sin 4sin ππ>，究其原因是由于集合A 表示k 取遍所有整数的符合条件的x 的全体，而区间k B 则表示k 每取一个确定的值时的一个确定的区间.因而数集的区间表示与集合表示并不完全等同.例3.2 在学习无穷大量和无界量概念时，我们对∞=→)(lim 0x f x x ：任意的M >0，存在δ>0，0<|x -x 0|< δ时M x f >)(和)(x f 在x 0的某领域无界：对任意的M >0，存在)(0'δ，x U x ∈,使得f (x ')>M ,这两个概念理解不清，容易混为一谈.对于定义的理解，我们可以得出：无穷大量是无界量，但无界量不一定是无穷大量，下面举例说明. 如xx x f 1c o s)(=在x 0=0的任何领域都是无穷的，但当x →x 0=0时，)(x f 却不是无穷大量[4]. 例3.3 )(x f y =在x =x 0处连续，是否存在x 0的某领域，使得)(x f 在该领域内连续[5].答案是否定的，我们举反例说明：我们知道Dirichlet 函数⎪⎩⎪⎨⎧=为无理数，为有理数，x x x D 01)(处处不连续.利用这个例子，我们可以构建⎪⎩⎪⎨⎧-=-=为无理数，为有理数，x x x x x D x x y 0)()(00易知函数)(0x x y -=D (x )只有在0x x =处连续，在其他任何地方都不连续.数学分析中的很多定理是充分而非必要条件.在说明其逆命题是否成立时，如果考虑一般情况很难说明，如果能举一些反例，则既简单又明了，这样我们很容易掌握.例3.4 定理若函数)(x f 在a 点处连续，则)(x f 在a 点处也连续[4]. 要说明其逆定理是否成立，可以设函数⎩⎨⎧≥<-=0101)(x x x f ，，为例.因为)(x f =1在x =0处连续，而)(x f =1在x =0处不连续.第四章一元函数导数及其积分中的反例定理1 若函数f 在点x 0 可导，则f 在点x 0 连续[3].其中，可导仅是函数在该点连续的充分条件，而不是必要条件.如函数)(x f = x 在点x =0处连续，但不可导.而且，函数f 在某点可微，只能保证f 在该点连续，而不能保证f 在该点的某个邻域内连续. 例4.1 函数⎪⎩⎪⎨⎧=为有理数，为无理数，x x x x f 0)(2 在x ≠0的点都间断，而x = 0处有导数f '(0) = 0.这是因为当h 是有理数时，000)0()(=-=-hh f h f 而当 h 是无理数时，)0(00)0()(2→→=-=-h h hh h f h f 设)(x f = 0，当x 为有理数；x x x f +=2)(，当x 为无理数.则函数)(x f 也仅在x = 0处连续且可微，f '(0) =1.定理2 （积分中值定理）若f 在[a ,b ]上连续，g 在[a ,b ]上不变号且可积，则在(a ,b )中存在一点ξ ，使dx x g f dx x g x f baba⎰⎰=)()()()(ξ[3].定理中的条件改变，结论就不一定成立.假设f 在区间[a ,b ]上不连续时. 例4.2 定理3（罗尔(Rolle ））中值定理）若函数 f 满足如下条件： (i) f 在闭区间[a , b ]上连续； (ii) f 在开区间(a , b )内可导； (iii) f (a ) =f (b ) ，则在(a , b )内至少存在一点 ξ ，使得f '(ξ) =0[4] . 那么，我们在实轴上定义x i x e x f ix sin cos )(+==， -∞ < x < +∞此函数是处处连续和可微的，但是不存在区间(a ,b )，a < b ，使得在a 与b 之间能有某个 ζ ，满足等式f (b ) − f (a ) = f '(ζ)(b − a )，即))(cos sin ()sin (cos )sin (cos a b i a i a b i b -+-=+-+ζζ事实上，假定上述等式成立，则等式两边的模（绝对值）的平方亦应相等，即222)()sin (sin )cos (cos a b a b a b -=-+-于是，利用基本恒等式将得出2222sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-a b a b 但这是不可能的，因为没有一个正数h 能够使sin h = h .注上述反例说明，对于复值函数而言，中值定理不再有效.定义4.1 设f 是定义在[a ,b ]上的一个函数，J 是一个确定的实数.若对任何的正数ε，总存在某一个正数δ，使得对[a ,b ]的任何分割T ，以及在其上任意选取的点集{ξi }，只要T < δ ，就有εξ<∑=-∆ni J i x i f 1)(，则称函数 f 在区间[a ,b ]上可积或黎曼可积；数J 称为f 在[a ,b ]上的定积分或黎曼积分，记作dx x f J ba ⎰=)([8]我们在学习函数可积性时往往会习惯性认为黎曼可积函数一定具有原函数，但事实上，这个假设并不一定成立. 例4.3 如函数⎩⎨⎧-∈∈=]0,1[1]1,0[0)(x x x f ，，显然在[−1，1]上可积的，但是)(x f 在[−1，1]上没有原函数.因此，黎曼可积函数不一定具有原函数.反过来，有原函数的函数不一定黎曼可积. 例4.4 如函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠=0001sin )(34x x x x x F ，，由于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠-==-0001cos 1sin 34)()(3234'x x x x x x x F x f ，，可见)(x F 是)(x f 的一个原函数，但是)(x f 在[−1，1]上无界，所以)(x f 在[−1，1]上不可积[9].例4.5 证明：存在函数)(x f 和)(x g ，使得)(x f 在[a ，b ]上可积，)(x g 在[a ，b ]上不变号且可积，而在(a ，b )中不存在满足等式dx x g f dx x g x f baba⎰⎰=)()()()(ξ的ξ[10].证：设g (x ) =1，再设⎩⎨⎧<≤--≤<=011101)(x x x f ，，则0)()(11=⎰-dx x g x f ，1)(1=⎰dx x g .于是，由函数f 的定义可知，不存在ξ∈(−1,1)，使dx x g f dx x g x f baba⎰⎰=)()()()(ξ.第五章级数中的反例本章讨论由实数项组成的无穷级数.对于数项级数∑∞=1k k a ，令n s =∑∞=+++=121k n k a a a a称n s 为级数∑∞=1k k a 的n 项和.若s s n n =∞→lim 存在，则称级数∑∞=1k k a 为收敛的，并称s 为级数∑∞=1k k a 的和，记作∑∞==1k ks a在相反的情形，就称级数∑∞=1k k a 为发散的.级数∑∞=1k k a 收敛的必要条件是0lim 0=→n n a [3].例5.1 如果级数∑∞=1n n a 收敛，那么其部分和数列有界且0lim =∞→n n a .这个命题显然是成立的，而它的逆命题却不成立.一个发散数列∑∞=0n n a ，其部分和数列有界且0lim =∞→n n a .设{}n a 为1，21-,21-,31,31,31,41-,41-,41-,41-… 则0lim =∞→n n a ,且对每一个n ，都有0 ≤s n ≤1 ，其中n s =n a a a +++ 21然而，由于{}n s 中有无穷多个n s 取值为0，又有无穷多个n s 取值为1，因而n n s ∞→lim 并不存在，即级数∑∞=1n n a 发散[4].例5.2 如果0lim 1=+∞→n n a ，0)(lim 21=+++∞→n n n a a ,…,0)(lim 21=++++++∞→p n n n n a a a ,…试问级数∑∞=1n n a 是否一定收敛？不一定，例如级数∑∞=11n n，虽然对任意的p ∈N ，0<11+n + …+p n +1+01→+n p (∞→n )但∑∞=11n n发散[11]. 例5.3 举出一个收敛级数∑∞=1n n a ，使得级数∑∞=13n n a 发散[12].分析因为级数∑∞=1n n a 收敛，故a n →0（当∞→n 时）.因此n 充分大时，有n n a a ≤3 .可见级数∑∞=1n n a 不能绝对收敛，只能是条件收敛.这表明级数∑n a 其所以收敛，不仅是因为0→n a 的速度，而且是因为项级间的相互抵消.因此我们应构造这样一个变号收敛级数∑∞=1n n a ，它本身项级间能相互抵消，但变为级数∑∞=13n n a 时相级间抵消不了，以致∑∞=13n n a 发散.令∑∞=1n n a =1-1+321-3221-3221+331-3331-3331-3331+…+31k -31k k -…-31k k +… ( 其中31kk 有k 项 )因为31k -31k k -…-31k k =0 (k=1,2，…)，可见0lim ==∞→n n s s ，此级数收敛.但是∑∞=13n n a = +---++--+-∙∙∙∙k k k k k 33331112212212111( 其中k k ∙31有k 项 ) 发散 [ 因为部分和的子序列+∞→----+++=3312111211kk s n(k n = 2+3+…+（k +1）,2≥k ) ] 本例说明级数∑n a 收敛，一般来说，不能推出级数∑∞=13n n a 收敛.例5.4 证明：任意{}n x →0(当∞→n ),有∑∞=1n n n x a 收敛，则∑∞=1n n a 绝对收敛[3].分析问题等价于：若∑∞=1n n a 发散，则至少存在一个序列{}0→n x ( 当∞→n ),使得级数∑∞=1n n n x a 发散.如此，问题归结为从条件∑∞=1n n a =+∞出发，构造所需的序列{}n x 的问题.证明： (反证法)若∑∞=1n n a =+∞，则1≥∀n ,N k ∈∀,N m ∈∃()n m ≥,使得k mni i a ≥∑=.如此，对n =1，k =1，N m ∈∃，使得111≥∑=m i ia. 对n =m 1+1，k =2,112+≥∃m m ，使得221≥∑+=m m i ii a，……由此我们可以得到1=m 1<m 2<…<m n <…使得),2,1(11 =≥∑+=-n n nn m m i na.取na x ii sin =(当n n m i m ≤<-1时，m 0=0)，则不论N>0怎么大，只要n-1>N 时，恒有 N n m m n n >->>-11，“片段”11111≥=∑∑+=+=--nn nn m m i im m i i i nax a此即说明0→∃n x (当∞→n 时)，使得∑∞=1n n n x a 发散，与已知条件矛盾.第六章多元函数中的反例本章直接举例说明：例6.1 'x f 与'y f 的连续性只是 f 可微的充分条件，而不是必要条件[13]. 设⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==≠+++=0,00,1s i n )(),(222222y x y x y x y x y x f它的偏导数是,1sin21cos),(22222222'≠+++++-=y x y x x y x y x x y x f x0,1sin21cos),(22222222'≠+++++-=y x y x y y x y x y y x f y易见,),('y x f x 和),('y x f y 在点(0,0)处都是不连续的.另一方面，因为 2222221s i n)0,0(),(yx y x y x f y x f ++⋅+=-所以 f 在(0,0)处是可微的.注可以证明，若),('y x f x 及),('y x f y 在点),(00y x 及其某一邻域内存在，且在这一点它们都连续，则),(y x f 在点),(00y x 处必可微；若),(y x f 在),(00y x 处可微，则),(y x f 在点),(00y x 处必定连续、弱可微且偏导数存在.例6.2 [0,1]⨯[0,1]上的一个无处连续函数),(y x f ，使对每一个y 属于[0,1]，),(y x f 是x 的连续函数[14].设⎩⎨⎧=任意实数是无理数，，任意实数是有理数，，x y x y x f 0y 1),(则),(y x f 在[0,1]⨯[0,1]上无处连续，因对任意固定的y ，),(y x f 作为x 的函数为常值函数，故它是x 的连续函数.例6.3 偏导数均不连续的可微函数. 设⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==≠+++=0,00,1sin )(),(222222y x y x y x y x y x f它的偏导数是0,1sin21cos),(22222222'≠+++++-=y x y x x y x y x x y x f x0,1sin21cos),(22222222'≠+++++-=y x y x y y x y x y y x f y0)0,0()0,0(''==y x f f .易见，),('y x f x 和),('y x f y 在点(0，0)处都是不连续的.另一方面，因为2222221sin)0,0(),(yx y x y x f y x f ++⋅+=-，所以f 在(0，0)处是可微的[15].注可以证明，若),('y x f x 及),('y x f y 在点)(00y x ，,及其某一领域内存在，且在这一点他们都连续，则),(y x f 在(x 0,y 0)处必可微；若f (x , y )在)(00y x ，处必可微，则),(y x f 在(x 0,y 0)处必定连续、弱可微且偏导数存在.因此，可得蕴含关系如下：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⇒⇒连续，弱可微偏导数存在，可微偏导数连续.第七章总结与展望本文简要地总结了数学分析中一些重要典型的问题与反例，在数学分析的学习中出现的问题，往往是对数学分析中的基本概念和理论掌握的不准确、不彻底，没有准确掌握基本概念和基本理论的时候，盲目地去计算和证明.因此，我们学习数学分析或者更一般的说，学习任何一门学科，正确地掌握这门学科的基本概念、基本理论是学好这门学科的前提.反例就是强化概念的有力工具，可以深化学生对知识的理解.数学分析中有许多重要的典型反例,这些反例是数学分析理论不可缺少的重要组成部分.本文的意义就旨在介绍数学分析中的一个重要的反例思想，希望能够帮助学习数学分析的人们更好的掌握.参考文献[1] 冯素芬．试论数学反例及其构造[J]．北京工业职业技术学院学报,2003，2(3):2-3．[2] 李志林. 数学分析中反例的重要应用[J]. 北京电力高等专科学校报,2008,(12):1-2.[3] 陈传璋等. 数学分析（第二版）（上、下册）[M]. 北京: 高等教育出版社,1983.[4] 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法[M]. 北京: 高等教育出版社,2001.[5] 汪林. 数学分析中的问题与反例[M]. 云南：云南科技出版社,1990.[6] 明清河. 数学分析的思想与方法[M]. 济南: 山东大学出版社,2004.[7] 邓利斌. 积分计算中的常见错误解析[J]. 郧阳师范高等专科学校学报,2006,(3):15.[8] 邓乐斌. 黎曼积分中的问题和反例[D]. 武汉: 华中师范大学,2007.[9] 陈纪修,邱维元. 数学分析课程中的一个反例[J]. 高等数学研究，2006,(2):3-5.[10] 程炜. 例谈反例在数学分析教学中的应用[J]. 科技信息,2009,(4):30-33.[11] 孙清华. 数学分析内容、方法与技巧（上）[M]. 武汉: 华中科技大学出版社,2003.[12] 肖宏治. 反例在数学分析教学中的作用及构造分析[J]. 六盘水师范高等专科学校学报2005,17(3):1-5.[13] 严镇军. 从反面考虑问题[M]. 北京: 中国科学技术大学出版社,1986.[l4] 程亲庆,汪远征．实变函数论中的反例[M]．河南：河南大学出版社,1989．[15] 邹承祖、刘隆复等．数学分析习题课讲义[M]. 吉林：吉林大学出版社,1986．致谢时光匆匆，如白驹过隙.在毕业论文定稿之际，四年的大学本科生活也即将画上句号.遥想初入安徽科技学院之时，还历历在目，恍如隔日，不免感叹光阴易逝、韶华难追.然而，艰辛而快乐的求学之路，也给我留下了很多难以忘怀的欣慰和幸福.在此，向四年来陪伴我一起走过，给予我帮助和关心的良师益友以及亲人们，致以最为真挚的谢意！首先，我衷心的感谢我的导师杨建安老师，他在我毕设的题目选择上给与了非常大的帮助，并且在整个毕设过程中一直指导、鼓励着我，使我能够顺利完成毕业设计的工作.同时，也要感谢孙胜利老师，教我们数学分析这门课一年半的时间，他的教导使我受益匪浅.感谢我们204的全体室友孙大龙、王珏、汪斌、刘立定、王坤，大学四年以来的相互关怀与支持，让我难以忘怀、感动至深.祝我们的友谊能够万古长存，也祝各位一生幸福、前程似锦！感谢信息与计算科学071班，感谢理学院数学系的所有老师、感谢安徽科技学院.能够在这样的集体和环境中度过我的本科学习生涯，是我一生最宝贵的财富.最后，我要感谢的是我最亲爱的父母和其他家人.在我二十多年的成长过程中，你们无时不刻无私地关怀和奉献，是我独在异乡求学的最大精神支柱，也是我可以依偎的最温馨港湾.你们是我永远的牵挂和眷念！。