常用的求导和定积分公式(完美)

创作编号：

GB8878185555334563BT9125XW

创作者： 凤呜大王*

一．基本初等函数求导公式

(1) 0)(='C (2) 1

)(-='μμμx x

(3) x x cos )(sin ='

(4) x x sin )(cos -='

(5)

x x 2sec )(tan =' (6)

x x 2csc )(cot -='

(7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -='

(9)

a a a x

x ln )(=' (10) (e )e x

x '=

(11)

a x x a ln 1

)(log =

'

(12)

x x 1)(ln =

'，

(13)

211

)(arcsin x x -=

' (14)

211)(arccos x x --

='

(15)

21(arctan )1x x '=

+ (16) 21

(arccot )1x x '=-

+

函数的和、差、积、商的求导法则

设)(x u u =，

)(x v v =都可导，则

（1） v u v u '±'='±)(

（2） u C Cu '=')(（C 是常数）

（3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛

反函数求导法则

若函数)(y x ϕ=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ϕ，则它的

反函数)(x f y =在对应区间x I

内也可导，且

)(1)(y x f ϕ'=

' 或 dy dx dx dy 1=

复合函数求导法则

设)(u f y =，而)(x u ϕ=且)(u f 及)(x ϕ都可导，则复合函数

)]([x f y ϕ=的导数为

dy dy du dx du dx =

或()()y f u x ϕ'''=

二、基本积分表

（1）kdx kx C =+⎰ （k 是常数）

（2）1

,1

x x dx C μμ

μ+=

++⎰ (1)u ≠- （3）1

ln ||dx x C x =+⎰

（4）2tan 1dx

arl x C x =++⎰

（5）

arcsin x C =+

（6）cos sin xdx x C =+⎰ （7）sin cos xdx x C =-+⎰

（8）21

tan cos dx x C x =+⎰

（9）21

cot sin dx x C x =-+⎰

（10）sec tan sec x xdx x C =+⎰ （11）csc cot csc x xdx x C =-+⎰ （12）x x e dx e C =+⎰

（13）ln x

x

a a dx C a

=+⎰，(0,1)a a >≠且 （14）shxdx chx C =+⎰ （15）chxdx shx C =+⎰

（16）22

11tan x

dx arc C a x a a =++⎰

（17）2

211ln ||2x a

dx C x a a x a -=+-+⎰

（18）

sin

x

arc C a

=+

（19）

ln(x C =++

（20）

ln |x C =++

（21）tan ln |cos |xdx x C =-+⎰ （22）cot ln |sin |xdx x C =+⎰ （23）sec ln |sec tan |xdx x x C =++⎰ （24）csc ln |csc cot |xdx x x C =-+⎰

注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。

2、以上公式把x 换成u 仍成立，u 是以x 为自变量的函数。

3、复习三角函数公式：

2222sin cos 1,tan 1sec ,sin 22sin cos ,

x x x x x x x +=+==21cos 2cos 2

x

x +=

， 21cos 2sin 2

x

x -=

。 注：由[()]'()[()]()f x x dx f x d x ϕϕϕϕ=⎰⎰，此步为凑微分过程，所以第一类换元法也叫凑微分法。此方法是非常重要的一种积分法，要运用自如，务必熟记基本积分表，并掌握常见的凑微分形式及“凑”的技巧。

小结：

1常用凑微分公式

x

u x

u x u x u x u x u a u e u x u x u b ax u x d x f dx x

x f x d x f dx x

x f x

d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f da

a f a dx a a f de

e f dx e e f x d x f dx x

x f x d x f dx x x f a b ax d b ax f a

dx b ax f x x x

x

x

x

x

x

x

x

arcsin arctan cot tan cos sin ln )(arcsin )(arcsin 11)

(arcsin .11)

(arctan )(arctan 11

)(arctan .10cot )(cot csc )(cot .9tan )(tan sec )(tan .8cos )(cos sin )(cos .7sin )(sin cos )(sin .6)(ln 1

)(.5)()(..4)

(ln )(ln 1

)(ln .3)

0()()(1

)(.2)

0()

()(1)(.12

2

2

21

==========+=-=-=+-==-=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅

≠=≠++=+⎰

⎰

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰

⎰⎰⎰⎰

⎰⎰⎰

⎰⎰

-μμ

μ

μμμμ法

分积元换一第换元公式

积分类型

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