齐次线性方程组解

证明 对于齐次线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
a21x1
a22x2
a2n xn
0
(1)
as1x1 as2 x2 asn xn 0
设其系数矩阵的秩为r，不失一般性，设其 左上角的 r 级子式不等于零，即
a11 a12 a1r a21 a22 a2r 0, ar1 ar2 arr
定义 齐次线性方程组(1)的一组解
1,2,…,r ，若满足
1) 1,2,…,r 线性无关；
2) 齐次线性方程组(1)的任意一解都可由
1,2,…,r 线性表出， 则称1,2,…,r 为齐次线性方程组(1) 的一个基
础解系.
基础解系存在性
定理 在齐次线性方程组(1)有非零解的 情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解 向量的个数等于nr, 其中r 为方程组系数矩阵 的秩.
注 定理的证明过程实际上就是一个具体 找基础解系的方法.
nr (cnr,1, cnr,2 , , cnrຫໍສະໝຸດ Baidur , 0, 0, ,1）
下面就来证明，这n-r个解就是我们要找 的齐次线性方程组(1)的一个基础解系
(a) 证明 1,2 ,,nr 线性无关
(b) 任取(1)的一个解,可由 1,2 ,,nr
线性表出．
推论 任一线性无关的与(1)的某一基础解
系等价的向量组都是(1)的基础解系.
则方程组(1)与下面方程组(2)同解（为什么？）
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
a21x1
a22x2
a2n xn
0
(2)
ar1x1 ar2 x2 arn xn 0
(1)若r=n，则方程组只有零解，没有基础解系
(2)若r<n，则方程组(2)可以变化为
a11x1 a12 x2 a1r xr a1,r1xr1 a1n xn
齐次线性方程组解的结构
xx民族学院 数学系 xx
给定齐次线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
a21x1
a22x2
a2n xn
0
(1)
as1x1 as2 x2 asn xn 0
其解有下面两个重要性质：
(1) 两个解的和还是方程组的解， (2) 一个解的倍数还是方程组的解. 即：其解的线性组合还是方程组的解
给出方程组(3)右端中自由未知量的 n-r 组取法：
(1, 0, , 0), (0,1, , 0), , (0, 0, ,1)
得到方程组(3)的n-r个解：
1 (c11, c12, , c1r ,1, 0, , 0） 2 (c21, c22, , c2r , 0,1, , 0）
a21x1 a22 x2 a2r xr a2,r1xr1 a2n xn
...............................................
(3)
ar1x1 ar2 x2 arr xr ar,r1xr1 arn xn
一个事实：方程组(1)的任意两个解，只要自 由未知量的值一样，这两个解就完全一样