(完整版)初中数学_巧添辅助线__解证几何题

巧添辅助线 解证几何题

[引出问题] 在几何证明或计算问题中，经常需要添加必要的辅助线，它的目的可以

归纳为以下三点：一是通过添加辅助线，使图形的性质由隐蔽得以显现，从而利用有关性质去解题；二是通过添加辅助线，使分散的条件得以集中，从而利用它们的相互关系解题；三是把新问题转化为已经解决过的旧问题加以解决。值得注意的是辅助线的添加目的与已知条件和所求结论有关。

一、倍角问题

研究∠α＝2∠β或∠β=1

2

∠α问题通称为倍角问题。倍角问题分两种情形：

1、∠α与∠β在两个三角形中，常作∠α的平分线，得∠1=1

2

∠α，然后证明∠1=∠β；或把

∠β翻折，得∠2=2∠β，然后证明∠2=∠α（如图一）

2、 ∠α与∠β在同一个三角形中，这样的三角形常称为倍角三角形。倍角三角形问题常用构

造等腰三角形的方法添加辅助线（如图二）

[例题解析]

例1：如图1，在△ABC 中，AB=AC,BD ⊥AC 于D 。

求证：∠DBC=

1

2

∠BAC. 分析：∠DBC 、∠BAC 所在的两个三角形有公共角∠C ，可利用

三角形内角和来沟通∠DBC 、∠BAC 和∠C 的关系。 证法一：∵在△ABC 中，AB=AC ，

∴∠ABC=∠C=12（180°-∠BAC ）=90°-12

∠BAC 。 ∵BD ⊥AC 于D ∴∠BDC=90

°

∴∠DBC=90°

-∠C=90°

-(90°

-

12∠BAC)= 1

2

∠BAC 即∠DBC= 1

2

∠BAC

分析二：∠DBC 、∠BAC 分别在直角三角形和等腰三角形中，由所证的结论“∠DBC= ½∠BAC ”中含有角的倍、半关系，因此，可以做∠A 的平分线，利用等腰三角形三线合一的性质，把½∠

A 放在直角三角形中求解；也可以把∠DBC 沿BD 翻折构造2∠DBC 求解。

证法二：如图2，作AE ⊥BC 于E ，则∠EAC+∠C=90°

∵AB=AC ∴∠EAG=

1

2

∠BAC ∵BD ⊥AC 于D

∴∠DBC+∠C=90

°

∴∠EAC=∠DBC （同角的余角相等）

即∠DBC=

1

2

∠BAC 。 证法三：如图3，在AD 上取一点E ，使DE=CD 连接BE ∵BD ⊥AC

∴BD 是线段CE 的垂直平分线 ∴BC=BE ∴∠BEC=∠C

∴∠EBC=2∠DBC=180°

-2∠C ∵AB=AC ∴∠ABC=∠C

∴∠BAC=180°

-2∠C ∴∠EBC=∠BAC ∴∠DBC=

1

2

∠BAC 说明：例1也可以取BC 中点为E ，连接DE ，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半和等腰三角形的性质求解。同学们不妨试一试。 例2、如图4，在△ABC 中，∠A=2∠B

求证：BC 2=AC 2+AC •AB 分析：由BC 2=AC 2

+AC •AB= AC （AC+AB ），启发我们构建两个相似

的三角形，且含有边BC 、AC 、AC+AB.又由已知∠A=2∠B 知，

构建以AB 为腰的等腰三角形。

证明：延长CA 到D,使AD=AB,则∠D=∠DBA ∵∠BAC 是△ABD 的一个外角 ∴∠BAC=∠DBA+∠D=2∠D ∵∠BAC=2∠ABC ∴∠D=∠ABC

又∵∠C=∠C ∴△ABC ∽△BDC ∴

AC BC

BC CD

∴BC 2

=AC •CD AD=AB

∴BC 2= AC （AC+AB ）=AC 2

+AC •AB

二、中点问题

已知条件中含有线段的中点信息称为中点问题。这类问题常用三种方法添加辅助线 （1） 延长中线至倍（或者倍长中线），如图一。若图形中没有明显的三角形的中线，也可

以构造中线后，再倍长中线，如图二。

（2） 构造中位线，如图三 （3） 构造直角三角形斜边上的中线，如图四。

E

C

A

B

D

A B C

图一 图二 图三 图四

[例题解析]

例3．已知：如图，△ABC 中，AB=AC,在AB 上取一点D ，在AC 的延长线上取一点E,连接DE 交

BC 于点F,若F 是DE 的中点。求证：BD=CE

分析：由于BD 、CE 的形成与D 、E 两点有关， 但它们所在的三角形之间因为不是同类三角形，所以 关系不明显，由于条件F 是DE 的中点，如何利用这个 中点条件，把不同类三角形转化为同类三角形式问题的关键。 由已知AB=AC,联系到当过D 点或E 点作平行线，就可以形成新 的图形关系——构成等腰三角形，也就是相当于先把BD 或CE 移动一下位置，从而使问题得解。

证明：证法一：过点D 作DG ∥AC,交BC 于点G （如上图） ∴∠DGB=∠ACB, ∠DGF=∠FCE ∵AB=AC ∴∠B=∠ACB ∴∠B=∠DGB ∴BD=DG ∵F 是DE 的中点 ∴DF=EF

在△DF G 和△DEFC 中，

DFG= EFC DGF= FCE DF=EF ∠∠⎧⎪

∠∠⎨⎪⎩

∴△DF G ≌EFC

∴DG=CE ∴BD=CE

证法二：如图，在AC 上取一点H,使CH=CE,连接DH ∵F 是DE 的中点

∴CF 是△EDH 的中位线 ∴DH ∥BC ∴∠ADH=∠B, ∠AHD=∠BCA ∵AB=AC ∴∠B=∠BCA ∴∠ADH=∠AHD ∴AD=AH ∴AB-AD=AC-AH ∴BD=HC ∴BD=CE

说明：本题信息特征是“线段中点”。也可以过E 作EM ∥BC,交AB 延长线于点G ，仿照证法二求解。

例4．如图，已知AB ∥CD ，AE 平分∠BAD ，且E 是BC 的中点