电磁场课件6镜像法、电轴法、电容

d h1 h2
h1
d
2
a12 2d
a22
h2
d2
a12 2d
a22
镜像法（电轴法）小结
1.镜像法（电轴法）的理论基础是： 静电场惟一性定理；
(h (h
a)
a)
所以
2 ln
U0 b (h a)
ln
2 1
b (h a)
图1.7.19 电压为U0的传输线
例1.7.4 试决定图示不同半径平行长直导线的电轴位置。
图1.7.17 不同半径传输线的电轴位置
解：求得h1和h2 ，就可以确定等效电轴位置
b2
b
2
h12 h22
a12 a22
令： P
const,等位线方程
(x b)2 y2 (x b)2 y2
K2
整理后，等位线方程
(x
K K
2 2
1 1
b)2
y2
(
2bK K2
) 1
2
圆心坐标
h, 0
h
K K
2 2
1b 1
圆半径
a
2bK K 2 1
当K取不同值时，得到不同半径的偏心圆族。理想细导线的等位线
等位线圆族中，必能找到与实际圆柱导体表面重合的圆。
E
2
q cos 4π0r 2
qh
2π 0 (h2 x2 )3/ 2
p＝Dn
0E
qh 2π(h2 x2)3/2
图1.7.2 地面电荷分布
地面上感应电荷的总量为
S
pdS
qh 2πxdx 0 2π(h2 x2 )3/2
q
2. 球面导体的镜像 点电荷位于接地导体球外的边值问题
2 0（除q点外的空间) r 球面 0
镜像电荷放在当前求解的场域外。 镜像电荷等于负的感应电荷总量。
图1.7.5 球外的电场分布
思考：不接地金属球附近放置点电荷q的电场分布。
边值问题：
2 0（除q点外的空间)
const S
SD dS 0
思路：球面等位（ q'位于球心）
通量为零（ q', - q'大小相等）
不接地金属球的镜像
点电荷位于不接地导体 球附近的场图
1.7 镜像法与电轴法
1.7.1 镜像法
1.接地无限大导体平面上方点电荷的电场
2 0 0
s D dS q
（除 q 所在点外的区域） （导板及无穷远处）
（S 为包围 q 的闭合面）
2.正负点电荷在上半空间产生的电场
2 0
除 q 所在点外的区域
q q 0 4 0r 4 0r
中间对称面处
s D dS q
1 2
1.7.2 电轴法（Electric Axis Method）
用置于电轴上的等效线电荷,来代替圆柱导体面上分布电荷, 从而求得电场的方法,称为电轴法。
分析实际长直平行双传输线附近的电场 ？
边值问题 2 0 (导线以外的空间)
导体A const
S D dS , 电荷分布不均匀
导体B const
3. 不同介质分界面的镜像
根据惟一性定理可得电位边值问题，即边界条件：
E1t E2 t
q
4π1r 2
cos
q'
4π1r 2
cos
q''
4π 2r 2
cos
D1n D2n
q 4πr 2
sin
q' 4πr 2
sin
q'' 4πr 2
sin
解得 q' 1 2 q 和 q'' 2 2 q
1 2
✓ 尝试寻找（b、a、h）数值之间的关系：
a2
b 2
(
2bK
K
2
) 1
2
b 2
(
K K
2 2
1 b)2 1
h2
➢ 等效线电荷的位置为：
b h2 a2
实际圆柱导体传输线
根据 E ，得到 Ex 和 Ey 分量
E 线方程
dy E y dx Ex
x2 ( y K1 )2 b2 K12
2
1.4 静电场定解问题（边值问题）
微 环路定律 E 0
泊松方程
分
E
方
程 高斯定律 D
2
静 电
边
DE
外边界条件
（＋
)
n S
f3(s)
场 定 解
界 条
1＝ 2
问 题
件
内分界条件
1
1
n
2
2
n
➢所有静电场问题的求解都可归结为在一定条件下寻求泊松方程
或拉普拉斯方程的解的过程。(解二阶偏微分方程)
（S 为包围q 的闭合面）
➢ 可以用电荷-q作为+q的镜像，代替平面导体的感应电荷作用。
镜像法:用虚设的电荷分布等效替代媒质分界面上复杂电荷分布, 虚设电荷的个数、大小与位置使场的解答满足唯一性定理。
例1.7.1 试求空气中点电荷 q 在地面引起的感应电荷分布。
解：设点镜像电荷为 -q
E E E （方向指向地面）
电磁场问题求解
• 电磁场问题可以分为电磁场分析（正问题）、逆问题 （含优化设计问题）和电磁场工程三个部分。
➢求解电磁场问题的方法，归纳起来可分为三大类，分别 是解析法、数值法和半解析数值法。
解析法包括积分法、分量变量法、镜像法、电轴法等 ； 数值计算方法包括有限元法（FEM）、时域有限差分法 （FDTD）、矩量法（MOM）和边界元法等 ； 半解析数值法是解析法和数值法的综合。
设镜像电荷 q'如图，球面电位
p
q
4π 0r1
q'
4π 0r2
0
图1.7.3 点电荷对接地导体球的镜像
r12 d 2 R2 2Rd cos r22 b2 R2 2Rb cos
将 r1, r2 代入方程 qr2 q 'r1 0，得
[q 2 (b2 R 2 ) q'2 (d 2 R 2 )] 2R(q'2 d q 2b) cos 0
4
平行传输线附近的电位和电场
电位云势图 电场云势图
已知平行传输线端压为U0, 试求空间电位分布。
பைடு நூலகம்
解： 确定电轴的位置
b2 h2 a2 d 2h
b (d )2 a2 2
设电轴线电荷 ，任一点电位
ln 2 2π 0 1
U0
2π 0
ln
b b
(h (h
a) a)
ln
b b
联立求解
q2 (b2 R2 ) q'2 (d 2 R2 ) 0 q'2 d q2b 0
得到
b R2 d
镜像电荷位置
q' b q R q 镜像电荷大小 dd
图1.7.4 球外的电场计算
球外任一点 P 的电位与电场为
p
q
4π 0r1
q'
4π 0r2
q
qR
EP 4π 0r12 er1 4π 0dr22 er2
长直平行双传输线
S D dS , 电荷分布不均
1. 理想两根细导线产生的电位
1
Q 1
d 2π 0
2π 0
ln
1
C1
E0
2 0
2
2π 0
ln
2
C2
P
1
2
2π 0
ln
2 1
C
以 y 轴为参考电位， C=0， 则 理想两根带电细导线
P
ln 2 2π0 1
2π 0
ln
(x b)2 y2 (x b)2 y2