小学数学 换元法.教师版

对于六年级的同学来说，分数乘法算式的一些计算技巧必须开始掌握．这既与基础课程进度结合，更是小学奥数经典内容．裂项、换元与通项归纳这三项内容，通称“分数计算之三大绝招”．考察近年来的小升初计算部分，分数计算成为热点．可以这么说：“一道非常难的分数运算，要么是裂项，要么是换元，要么是通项归纳．如果都不是，那它一定是比较简单的分数小数混合运算．”

三、换元思想

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．

【例 1】计算：

1111111111 (1)()(1)()

2424624624 ++⨯++-+++⨯+

【考点】换元法【难度】2星【题型】计算

【解析】令

111

1

246

a

+++=，

111

246

b

++=，则：

原式

11 ()()

66

a b a b

=-⨯-⨯-

11

66

ab b ab a

=--+

1

()

6

a b

=-

11

1

66

=⨯=

【答案】1 6

【巩固】

11111111111111 (1)()(1)()

23423452345234 +++⨯+++-++++⨯++

【考点】换元法【难度】2星【题型】计算

【解析】设

111

234

a=++，则原式化简为：

111

1(1

555

a a a a

+

(+)(+)-+)=

【答案】1 5

【巩固】计算：

621739458739458378621739458378739458 126358947358947207126358947207358947⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

【考点】换元法【难度】2星【题型】计算

【解析】令621739458

126358947

a

++=；

739458

358947

b

+=，

原式

378378

207207

a b a b

⎛⎫⎛⎫

=⨯+-+⨯

⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

()3786213789

207126207

a b

=-⨯=⨯=

【答案】9例题精讲

教学目标

换元法

【巩固】 计算：(0.10.210.3210.4321+++)⨯(0.210.3210.43210.54321+++)-

(0.10.210.3210.43210.54321++++)⨯(0.210.3210.4321++)

【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算

【解析】 设0.210.3210.4321x =++，0.210.3210.43210.54321y =+++，

原式=(0.1x +)y ⨯-(0.1y +)0.1x ⨯=⨯(y x -)0.054321=

【答案】0.054321

【巩固】 计算下面的算式

(7.88 6.77 5.66++)⨯(9.3110.9810++)-(7.88 6.77 5.6610+++)⨯(9.3110.98+)

【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算

【关键词】希望杯，2试

【解析】 换元的思想即“打包”，令7.88 6.77 5.66a =++，9.3110.98b =+，则原式

a =⨯(10

b +)-(10a +)b ⨯=(10ab a +)-(10ab b +)101010ab a ab b =+--=⨯(a b -)

10=⨯(7.88 6.77 5.669.3110.98++--)100.020.2=⨯=

【答案】0.2

【巩固】 (10.120.23)(0.120.230.34)(10.120.230.34)(0.120.23)++⨯++-+++⨯+=____ 。

【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算

【关键词】希望杯，六年级，二试

【解析】 设0.120.23a +=，0.120.230.34b ++=

原式()()110.34a b b a b a =+⨯-+⨯=-=

【答案】0.34

【巩固】 计算：⑴ (10.450.56++)⨯(0.450.560.67++)-(10.450.560.67+++)⨯(0.450.56+) ⑵621739458739458378621739458378126358947358947207126358947207⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭739458358947⎛⎫+ ⎪⎝⎭

【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算

【关键词】迎春杯

【解析】 ⑴ 该题相对简单，尽量凑相同的部分，即能简化运算.设0.450.56a =+，0.450.560.67b =++，

有原式=(1a +)b ⨯-(1b +)0.67a b ab a ab b a ⨯=+--=-=

⑵ 设621739458126358947a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，739458358947b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭

原式378378378621378()9207207207126207a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=⨯+-+⨯=-⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

【答案】⑴0.67 ⑵9

【巩固】 计算： 573734573473()123217321713123217133217⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

= 。 【解析】 设573123217a =++、733217

b =+，则有 441313444()131313

455131239

a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=⨯+-+⨯ ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭=-=-=⨯=原式 【答案】

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