小学数学 换元法.教师版
数学换元法
数学换元法
数学换元法，是指在一定条件下，将一种变量转化为另一种变量，从
而使求解或研究问题更加简便或更具可操作性的方法。
换元法普遍适用于微积分、方程论、概率论、统计学等数学领域，在
解决各种数学问题时都会用到。
在微积分中，经常需要进行变量替换以简化复杂性积分或求导的过程，比如将x换成sinx或tanx，这是常见的换元方法。
在方程论中，通过变量替换可以将复杂的方程转化为简单的形式，例
如通过对称的换元法可以将关于x、y、z的三次齐次方程变为只有二次齐
次项的方程。
在概率论和统计学中，经常需要用到概率积分变换（probability integral transformation）来解决概率分布函数的问题，这是一种常见
的换元方法。
例如，将一个服从高斯分布的随机变量通过正态概率积分变换，可以得到一个标准正态分布的随机变量。
总之，数学换元法是一个广泛应用于各个数学领域的方法，是解决各
类数学问题的重要工具。
小学思维数学：换元法-带答案解析
换元法对于六年级的同学来说，分数乘法算式的一些计算技巧必须开始掌握．这既与基础课程进度结合，更是小学奥数经典内容．裂项、换元与通项归纳这三项内容，通称“分数计算之三大绝招”．考察近年来的小升初计算部分，分数计算成为热点．可以这么说：“一道非常难的分数运算，要么是裂项，要么是换元，要么是通项归纳．如果都不是，那它一定是比较简单的分数小数混合运算．”三、换元思想解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．【例 1】 计算：1111111111(1)()(1)()2424624624++⨯++-+++⨯+ 【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算【解析】 令1111246a +++=，111246b ++=，则：原式11()()66a b a b =-⨯-⨯-1166ab b ab a =--+1()6a b =-11166=⨯= 【答案】16【巩固】 11111111111111(1)()(1)()23423452345234+++⨯+++-++++⨯++ 【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算【解析】 设111234a =++，则原式化简为：1111(1555a a a a +(+)(+)-+)=【答案】15【巩固】 计算：621739458739458378621739458378739458126358947358947207126358947207358947⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算【解析】 令621739458126358947a ++=；739458358947b +=，原式378378207207a b a b ⎛⎫⎛⎫=⨯+-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()3786213789207126207a b =-⨯=⨯= 【答案】9【巩固】 计算：(0.10.210.3210.4321+++)⨯(0.210.3210.43210.54321+++)-(0.10.210.3210.43210.54321++++)⨯(0.210.3210.4321++) 例题精讲教学目标【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 设0.210.3210.4321x =++，0.210.3210.43210.54321y =+++，原式=(0.1x +)y ⨯-(0.1y +)0.1x ⨯=⨯(y x -)0.054321=【答案】0.054321【巩固】 计算下面的算式(7.88 6.77 5.66++)⨯(9.3110.9810++)-(7.88 6.77 5.6610+++)⨯(9.3110.98+)【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】希望杯，2试 【解析】 换元的思想即“打包”，令7.88 6.77 5.66a =++，9.3110.98b =+，则原式a =⨯(10b +)-(10a +)b ⨯=(10ab a +)-(10ab b +)101010ab a ab b =+--=⨯(a b -) 10=⨯(7.88 6.77 5.669.3110.98++--)100.020.2=⨯=【答案】0.2【巩固】 (10.120.23)(0.120.230.34)(10.120.230.34)(0.120.23)++⨯++-+++⨯+=____ 。
小学奥数精讲 换元法
对于六年级的同学来说，分数乘法算式的一些计算技巧必须开始掌握．这既与基础课程进度结合，更是小学奥数经典内容．裂项、换元与通项归纳这三项内容，通称“分数计算之三大绝招”．考察近年来的小升初计算部分，分数计算成为热点．可以这么说：“一道非常难的分数运算，要么是裂项，要么是换元，要么是通项归纳．如果都不是，那它一定是比较简单的分数小数混合运算．”三、换元思想解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．【例 1】计算：1111111111 (1)()(1)()2424624624 ++⨯++-+++⨯+【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】令1111246a+++=，111246b++=，则：原式11 ()()66a b a b=-⨯-⨯-1166ab b ab a=--+1()6a b=-11166=⨯=【答案】1 6【巩固】11111111111111 (1)()(1)()23423452345234 +++⨯+++-++++⨯++【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】设111234a=++，则原式化简为：1111(1555a a a a+(+)(+)-+)=【答案】1 5【巩固】计算：621739458739458378621739458378739458 126358947358947207126358947207358947⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】令621739458126358947a++=；739458358947b+=，原式378378207207a b a b⎛⎫⎛⎫=⨯+-+⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()3786213789207126207a b=-⨯=⨯=【答案】9例题精讲教学目标换元法【巩固】 计算：(0.10.210.3210.4321+++)⨯(0.210.3210.43210.54321+++)-(0.10.210.3210.43210.54321++++)⨯(0.210.3210.4321++)【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 设0.210.3210.4321x =++，0.210.3210.43210.54321y =+++，原式=(0.1x +)y ⨯-(0.1y +)0.1x ⨯=⨯(y x -)0.054321=【答案】0.054321【巩固】 计算下面的算式(7.88 6.77 5.66++)⨯(9.3110.9810++)-(7.88 6.77 5.6610+++)⨯(9.3110.98+)【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】希望杯，2试 【解析】 换元的思想即“打包”，令7.88 6.77 5.66a =++，9.3110.98b =+，则原式a =⨯(10b +)-(10a +)b ⨯=(10ab a +)-(10ab b +)101010ab a ab b =+--=⨯(a b -) 10=⨯(7.88 6.77 5.669.3110.98++--)100.020.2=⨯=【答案】0.2【巩固】 (10.120.23)(0.120.230.34)(10.120.230.34)(0.120.23)++⨯++-+++⨯+=____ 。
师大版数学四年级下册第五单元人民币兑换导学案
北师大版数学四年级下册第五单元《小数除法》人民币兑换导学案备课教师：陈淑红班级四年级学生：同学们：本节课需要你们快速、认真、准确地完成学习任务，汇报交流、互学讨论时积极大胆发表自己的意见，认真听取别人的汇报，并且认真填写学习内容。
（发言积极大胆、声音洪亮、准确无误地同学可以为本组得到积分卡1分，得分最多的小组奖励1面小旗）课题第一课时人民币兑换课型学案导学学习内容教材67、68页。
学习目标自学目标：通过人民币和外币的兑换，体会求积，商近似值的必要性，感受数学与日常生活的密切联系。
互学目标：能感受按照要求求出积，商的近似值。
综合目标：会根据汇率进行人民币和其他外币的兑换。
学案课堂探究自学内容1、估值（需要一位小数）20.37 43.304 2.305 78.4562、老师遇到了一个问题，你们能帮我解决吗？一位美国小朋友寄来一本价值6.7美元的画册，我应该付多少人民币？小组互学1美国小朋友玛丽的一本故事书折合人民币大约多少元？①读题，理解题意。
②思考怎样求这本故事书是人民币多少元③要求学生先试着做一做，列出算式。
2、根据汇报，讲清算理①学生汇报。
问：谁来说一说你是怎样解答的？能说清楚你的理由吗？问：你对他的回答满意吗？还有谁有不同的意见或者需要补充？②小结，讲清算理。
（方法是用外币×比率=人民币，记得保留两位小数哟！）生活中处处有数学了解外币与人民币之间的兑换比率应用外币与人民币之间的兑换比率解决生活问题2、你还可以提出其他问题吗？小组交换解决问题，集体汇报分小组汇报第一小组1题，第二小组2题，第三小组3题，第四小组4题，第五小组5题，第六小组可以对其他小组回答的题目进行补充。
集体讨论1、试一试，可以让学生用计算器算出得数，然后根据得数按要求用四舍五入法求出近似值。
2、练一练：P68/1，2，3，4第1题：这是人民币和港币的兑换，12.5÷1。
07，超过了11元港币；也可以用兵1×1.07，不到本世纪末2元，因此11元港币不够。
北师大版小学数学五年级上册《人民币兑换》导学案教学案设计
北师大版小学数学五年级上册《人民币兑换》导学案教学案设计第一单元小数除法4人民币兑换导学案设计课题人民币兑换课型新授课设计说明本节课的教学任务是通过让学生进行人民币兑换的计算，掌握并熟悉用“四舍五入”法保留积、商的近似值。
为了提高教学效率，本节课的教学设计突出了以下两点：1.复习导入，沟通新旧知识之间的联系。
上课伊始，复习小数乘除法及用“四舍五入”法取近似值的方法，一方面孕伏新知，寻找新知的生长点，为下面的教学作铺垫；另一方面也加强了知识间的联系。
2.自主探究，体验学习经历。
在学生自学、质疑，并与同学讨论、交流、探究的过程中，学会了人民币和外币的兑换，同时总结了如何求积、商的近似值的方法。
然后经过巩固练习，进一步熟悉了人民币的兑换方法，能熟练地求出积、商的近似值。
最后拓展近似值在生活中的应用，不再采用“四舍五入”法，而是要根据实际情况灵活掌握。
这样的安排既渗透了估算和算法多样化的意识，又提高了学生具体问题具体分析的能力。
课前准备教师准备 PPT课件教学过程第1课时人民币兑换(一)教学环节教师指导学生活动效果检测一、创境质疑。
(4分钟)1.引导学生回忆用“四舍五入”法取近似值的方法。
2.创境质疑：我们的生活中离不开钱币，你们都知道哪些国家的钱币呢？(引导学生观察教材12页情境图和汇率表，获取有用的数学信息，并提出数学问题)3.导入新课：今天我们要解决的就是有关人民币兑换的问题。
1.汇报用“四舍五入”法取近似值的方法。
2.观察情境图和汇率表，汇报获取的信息，提出主要问题：6.70美元可以兑换多少人民币？600元人民币可以兑换多少美元？3.明确本节课的学习内容。
1.填空。
(1)8.995保留两位小数约是( )，精确到十分位约是( )。
(2)6.□≈6，□里可以填( )。
(3)9.□6≈10.0，□里可以填( )。
二、互动解疑。
(17分钟)1.引导学生明确数量关系，解决6.70美元可以兑换多少人民币的问题。
小学数学 换元法.教师版
【题型】计算
【解析】令1 1 1 1 a ， 1 1 1 b ，则：
246
246
原式 (a 1) b a (b 1)
6
6
ab 1 b ab 1 a
6
6
1 (a b) 1 1 1
6
66
【答案】 1 6
【巩固】 (1 1 1 1) (1 1 1 1) (1 1 1 1 1) (1 1 1)
21 31 41
原式
a
b
1 51
a
1 51
b
ab 1 a ab 1 b
51
51
1 (a b) 1 1 1
51
51 11 561
【答案】 1 561
【巩固】计算（1 1 1 1 ） (1 1 1 1 ) （1 1 1 1 1 ) (1 1 1 ) 5 7 9 11 7 9 11 13 5 7 9 11 13 7 9 11
【巩固】计算下面的算式
( 7.88 6.77 5.66 ) ( 9.31 10.98 10 ) ( 7.88 6.77 5.66 10 ) ( 9.31 10.98 )
【考点】换元法
【难度】2 星
【题型】计算
【关键词】希望杯，2 试
【解析】换 元 的 思 想 即 “ 打 包 ” ， 令 a 7.88 6.77 5.66 ， b 9.31 10.98
378 207
621 126
378 207
9
【答案】 9
1
【巩固】计算：( 0.1 0.21 0.321 0.4321 ) ( 0.21 0.321 0.4321 0.54321 )
( 0.1 0.21 0.321 0.4321 0.54321 ) ( 0.21 0.321 0.4321 )
换元法
5.换元法 换元法
学习目标： 学习目标：学会在解数学题时，把某个式子看成一个整体去代替它，从而使非标准问题标 准化，复杂问题简单化。 学习难点： 学习难点：构造元和设元。 教学过程： 教学过程： 例 1.分解因式: (m + n) − 2(1 + m + n) − 1 .
2
江苏省扬州市邗江区实验学校
【课后作业】 课后作业】 班级 姓名
4 2
学号 (2)（2y+1） +（2y+1）+2=0
2
1.解方程：(1) x − 5 x + 6 = 0
(3) ( − x) − 3( x − ) − 4 x − 1) 2 + 3( 2 x − 1) + 2 = 0
1 江苏省扬州市邗江区实验学校
例 4.解方程: ( x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4) = 3 .
例 5.计算:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( + +L+ )(1 + + + L + ) − (1 + + + L + )( + + L ) 2 3 2006 2 3 2005 2 3 2006 2 3 2005
2
例 2.解方程： （1）已知（x+y） （x+y+2）-8=0，则 x+y 的值是多少？
（2）已知（x +y ） +y -1）-12=0，则 x +y 的值是多少？ （x
2
小学奥数之换元法(教师版)
【考点】换元法【难度】2星【题型】计算
【关键词】迎春杯
【解析】⑴该题相对简单，尽量凑相同的部分，即能简化运算.设 ， ，
有原式 ( ) ( )
⑵设 ，
原式
【答案】⑴ ⑵
【巩固】计算： =。
【考点】换元法【难度】2星【题型】计算
【关键词】2007年，第五届，走美杯，初赛，六年级
【解析】设 、 ，则有
10) 爱老婆要做到两个不要：不要问老婆能够为额做些什么，而要问额可以为老婆做些什么;不要问老婆喜欢些什么，老婆喜欢些什么对额而言应该是常识!
对老婆煽情的话
1) 有你相伴，天空是蓝的，空气是甜的;有你相随，日子是乐的，生活是美的;有你相守，家庭是暖的，心里幸福的;老婆我爱你，最美的祝福送给你，愿幸福绕你身旁，快乐把你笼罩!
1) 有一种情，相濡以沫温馨处处在，有一种意，海枯石烂温暖处处开，有一颗心，沧海桑田温情永不变，有一句话，相知相守爱你一万年，老婆我爱你永不变!
2) 你好象生气了，我心里也不好受，如果是我酿成了此错，希望你能原谅，如果不能原谅，我自己也无法原谅自己了。
3) 你负责貌美如花，我负责赚钱养家，你负责轻松悠闲，我负责工作挣钱，你负责开心幸福，我负责操持家务，你负责快乐天天，我负责爱你永远!
7) 就数老婆好，美女都不要;打骂不还手，见面就告饶;化妆你称道，购物掏腰包;逛街不斜视，乖乖跟好了。
8) 孔雀最美，你是我的孔雀，我为你开屏;百灵最俏，你是我的百灵，我为你鸣叫。我的妻，爱你是我唯一的语言，疼你是我仅有的表现。愿我们幸福百年。
9) 浪漫在起舞，甜蜜在微笑;温馨在荡漾，喜悦在心头;内心在狂喜，心情在澎湃;真情在涌动，真爱在表白：老婆，爱你没商量，爱你永不变!
三、换元思想
(小学奥数)换元法
對於六年級的同學來說，分數乘法算式的一些計算技巧必須開始掌握．這既與基礎課程進度結合，更是小學奧數經典內容．裂項、換元與通項歸納這三項內容，通稱“分數計算之三大絕招”．考察近年來的小升初計算部分，分數計算成為熱點．可以這麼說：“一道非常難的分數運算，要麼是裂項，要麼是換元，要麼是通項歸納．如果都不是，那它一定是比較簡單的分數小數混合運算．”三、換元思想解數學題時，把某個式子看成一個整體，用另一個量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法．換元的實質是轉化，將複雜的式子化繁為簡．【例 1】計算：1111111111(1)()(1)()2424624624++⨯++-+++⨯+【巩固】11111111111111 (1)()(1)()23423452345234 +++⨯+++-++++⨯++例題精講教學目標換元法【巩固】 計算：621739458739458378621739458378739458126358947358947207126358947207358947⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【巩固】 計算：(0.10.210.3210.4321+++)⨯(0.210.3210.43210.54321+++)-(0.10.210.3210.43210.54321++++)⨯(0.210.3210.4321++)【巩固】 計算下麵的算式(7.88 6.77 5.66++)⨯(9.3110.9810++)-(7.88 6.77 5.6610+++)⨯(9.3110.98+)【巩固】 (10.120.23)(0.120.230.34)(10.120.230.34)(0.120.23)++⨯++-+++⨯+=____ 。
【巩固】 計算：⑴ (10.450.56++)⨯(0.450.560.67++)-(10.450.560.67+++)⨯(0.450.56+) ⑵621739458739458378621739458378126358947358947207126358947207⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭739458358947⎛⎫+ ⎪⎝⎭【巩固】 計算： 573734573473()123217321713123217133217⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭= 。
五年级上册数学教案-1.4 人民币兑换练习-北师大版(2012)
五年级上册数学教案-1.4 人民币兑换练习-北师大版（2012）
一、教学目标
1.知道一些基本货币单位的写法和说法，如元、角、分等。
2.能够进行一定的人民币兑换计算。
3.培养学生的数学应用能力和计算能力。
二、教学重点
1.学生能够正确区分货币单位。
2.学生能够进行人民币兑换计算。
三、教具准备
1.北师大版（2012）五年级上册数学教材。
2.班级黑板、白板等。
3.教学PPT。
四、教学内容及步骤
第一步：导入新课
1.教师通过播放视频、展示图片等方式，引导学生回顾人民币发行和货币单位。
2.学生配合展示图片等方式回顾人民币发行和货币单位。
第二步：学习新知识
1.教师通过授课方式，详细介绍人民币的发行和货币单位。
2.学生按照教师的提示，认真听讲新知识。
第三步：练习
1.教师通过PPT展示人民币兑换计算的例题，引导学生进行兑换计算的练习。
2.学生跟随PPT，进行相应的练习。
第四步：巩固练习
1.分组进行“实际兑换”活动，在小组内模拟实际兑换。
2.各小组代表上台进行练习演示。
五、教学延伸
1.学生可借助手机等手段，了解汇率等实用信息。
2.学生在课外也可运用所学知识，进行人民币兑换计算。
六、教学反思
在本节课中，教师通过各种方式，详细展示人民币的发行和货币单位。
学生经过听讲、练习和模拟兑换等多种方式，对人民币兑换计算有了更加深入的认识。
未来教学中，教师还需更多地加入实践和生活情境，让学生掌握更多的实用技能能够更具有应用价值。
康康老师的换元法小学五年级
康康老师的换元法小学五年级换元法：某个式子看成一个整体，用另一个量或一个字母去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。
换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简。
例如：（1+0.4567+0.5678）×(0.4567+0.5678+0.6789)-（1+0.4567+0.5678+0.6789)×（0.4567+0.5678）把0.4567+0.5678设为a，0.6789设为b，代入原式，原式=（1+a）×（a+b）-(1+a+b)×a=b，b=0.6789。
初学换元法应先学会找到重复出现的项，观察这些项出现的位置。
某些计算求值问题，有这样的特点相同的部分重复出现两次或多次，整个算式不适合用裂项去处理。
这时候我们应该考虑用换元法。
什么是换元法呢?就是用字母或者符号替代算式中重复出现的部分，将算式改写成更简洁的形式，然后再计算。
例如：(7.88+6.77+5.66)×(9.31+10.98+10)-(7.88+6.77+5.66+10)×(9.31+10.98)这个算式中有5个不同的小数，各出现两次，非常适合用换元法来解。
设a=7.88+6.77+5.66b=9.31+10.98这样就完成了换元。
例如：(1+2+3+4+...+2010)×(2+3+4+...+2011)(1+2+3+4+ (2011)×(2+3+4+ (2010)分析与解：设a-2+3+4+…+2010,则原式可变形为：原式-(1+a)×(a+2011)-(1+a+2011)×a=a+2011+a2+201la–a–a2-201la=2011。
数学思想方法专题讲解第一讲---换元法
考点一：换元法换元法：解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法，又称整体换元。
（一）直接换元（但请注意检验）：1．用换元法解方程：（1）256011x x x x ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭（2）22211122124x x x x x x +=--+-+2．解方程：()()4233340x x +-+-=3．用换元法分解因式： ()()22323416a a a a +-++-（二）间接换元1．解方程（先配方，后换元）：.2．解方程（倒数换元）： .3．解方程（变形换元）：（1）（2）()()()()1234150a a a a +++++=1)1(3)1(222=+-+x x x x 031)1(21122=-+++++x x x x 12222422=+-+-x x x x3．用换元法解方程组（双换元）：（1）36101610x y x yxy x y +-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪-=-⎪⎩（2）⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+.323,18y x y x（三）用换元法求值：（1）)2005131211)(200613121(+++++++ )200513121)(2006131211( ++++++-（2）2222009200820092007+200920092-=____________________（四）内部换元：利用题目中的某个字母或某个整体进行换元，从而简化题目。
1．已知113x y -=，求代数式2322y xy xy xy x --+-的值。
2．当1x =时，代数式37ax bx ++的值为4，求当1x =-时代数式37ax bx ++的值。
3．已知3208a x =-，3188b x =-，3168c x =-，求：代数式222a b c ab ac bc ++---的值。
4．已知2310x x -+=，求代数式的值：（1）221x x +；（2）2421x x x ++。
小学数学培优之换元法
1-3-5.换元法.题库 学生版 page 1 of 对于六年级的同学来说，分数乘法算式的一些计算技巧必须开始掌握．这既与基础课程进度结合，更是小学奥数经典内容．裂项、换元与通项归纳这三项内容，通称“分数计算之三大绝招”．考察近年来的小升初计算部分，分数计算成为热点．可以这么说：“一道非常难的分数运算，要么是裂项，要么是换元，要么是通项归纳．如果都不是，那它一定是比较简单的分数小数混合运算．” 三、换元思想 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．【例 1】 计算：1111111111(1)()(1)()2424624624++⨯++-+++⨯+【巩固】 11111111111111(1)()(1)()23423452345234+++⨯+++-++++⨯++【巩固】 计算：621739458739458378621739458378739458126358947358947207126358947207358947⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【巩固】 计算：(0.10.210.3210.4321+++)⨯(0.210.3210.43210.54321+++)-例题精讲教学目标换元法(0.10.210.3210.43210.54321++++)⨯(0.210.3210.4321++)【巩固】 计算下面的算式(7.88 6.77 5.66++)⨯(9.3110.9810++)-(7.88 6.77 5.6610+++)⨯(9.3110.98+)【巩固】 (10.120.23)(0.120.230.34)(10.120.230.34)(0.120.23)++⨯++-+++⨯+=____ 。
【巩固】 计算：⑴ (10.450.56++)⨯(0.450.560.67++)-(10.450.560.67+++)⨯(0.450.56+)⑵621739458739458378621739458378126358947358947207126358947207⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭739458358947⎛⎫+ ⎪⎝⎭【巩固】 计算： 573734573473()123217321713123217133217⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭= 。
换元法
小学数学换元法知识点讲解【例】有26块砖，兄弟2人争着去挑，弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥赶来了。
哥哥看弟弟挑得太多，就拿来一半给自己。
弟弟觉得自己能行，又挑2块。
问最初弟弟准备挑多少块?【分析】我们得先算出最后哥哥、弟弟各挑多少块。
只要解一个“和差问题”(26+2) - 2=14 ”块，弟弟挑1“=12 ”2块。
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题 得到简化，这叫换元法。
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等 量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非 标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。
通过引进新的变量，可以把分散的条 件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。
或者变为熟悉的 形式，把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数 式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。
局部换元又称整体换元，是 在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当 然有时候要通过变形才能发现。
例如解不等式：4 + 2 - 2> 0，先变形为设=t(t>0 )，而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。
三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式 中与三角知识中有某点联系进行换元。
如求函数y = V1-X^2的值域时，若x资料来源于网络，学而思轻课小编打包整理从哥哥那里拿来一半。
哥哥不让，弟弟只好给哥哥5块，这样哥哥比弟弟多知道：哥哥挑“€[-1，1]，设x = sin a，sin a€[-1，1]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。
为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。
如变量x、y适合条件x + y = r （r>0 ）时，则可作三角代换x = rcos B、y= rsin 0化为三角问题。
西南师大版数学一年级下册《元、角、分互换》教案
西南师大版数学一年级下册《元、角、分互换》教案一、教学背景本节课是数学一年级下册的第三单元：认识周围的事物。
在本单元学习了身边的物体和自然界中的现象，通过观察和探究认识它们的特征和规律。
这一节课将进一步巩固和应用一年级上册所学的知识，对一些基本的元素、角度、分数进行互相转换的训练。
二、教学目标1.掌握整数和分数在图形和实际情境中的应用；2.掌握角度的定义及测量方法；3.能灵活地进行元素、角度、分数之间的互相转换；4.能将所学知识应用于解决日常生活中出现的数学问题。
三、教学内容与方法1. 教学内容本节课的教学内容主要包括以下三个方面：1.元素的互相转换；2.角度的测量与互换；3.分数的互相转换。
2. 教学方法本节课采用“讲授-演示-练习”相结合的教学方法，即：1.首先通过讲述理论知识来介绍元素、角度、分数的测量和互换方法；2.然后通过老师的演示来进行实际操作，并对学生们的操作过程进行指导和纠正；3.最后通过课堂练习和小组合作来进行知识的巩固和运用。
四、教学设计1. 教学活动一：元素的互相转换（1）教学目标通过本节课的学习，学生能够掌握元素的互相转换方法，能够将长度、质量、时间元素之间互相转化。
（2）教学步骤•根据习题，通过图示的方式进行讲解。
•利用黑板练习题，讲解倍数和分数变换的方法。
•小组合作：在小组内进行习题解答。
2. 教学活动二：角度的测量与互换（1）教学目标通过本节课的学习，学生能够掌握角度的测量方法，理解角度的概念，能够进行角度的互相转换。
（2）教学步骤•通过对一些常用角度进行测量和分类，来认识角度的度量方法。
•利用黑板和图示，讲解角度的变换算法。
•集体讨论：根据不同的角度变换题目，讨论解决方法。
3. 教学活动三：分数的互相转换（1）教学目标通过本节课的学习，学生能够掌握分数的互相转换方法，能够进行分数之间的变换及其应用。
（2）教学步骤•利用黑板和图示，讲解分数的基本概念和分数之间的转换算法。
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对于六年级的同学来说，分数乘法算式的一些计算技巧必须开始掌握．这既与基础课程进度结合，更是小学奥数经典内容．裂项、换元与通项归纳这三项内容，通称“分数计算之三大绝招”．考察近年来的小升初计算部分，分数计算成为热点．可以这么说：“一道非常难的分数运算，要么是裂项，要么是换元，要么是通项归纳．如果都不是，那它一定是比较简单的分数小数混合运算．”三、换元思想解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．【例 1】计算：1111111111 (1)()(1)()2424624624 ++⨯++-+++⨯+【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】令1111246a+++=，111246b++=，则：原式11 ()()66a b a b=-⨯-⨯-1166ab b ab a=--+1()6a b=-11166=⨯=【答案】1 6【巩固】11111111111111 (1)()(1)()23423452345234 +++⨯+++-++++⨯++【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】设111234a=++，则原式化简为：1111(1555a a a a+(+)(+)-+)=【答案】1 5【巩固】计算：621739458739458378621739458378739458 126358947358947207126358947207358947⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】令621739458126358947a++=；739458358947b+=，原式378378207207a b a b⎛⎫⎛⎫=⨯+-+⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()3786213789207126207a b=-⨯=⨯=【答案】9例题精讲教学目标换元法【巩固】 计算：(0.10.210.3210.4321+++)⨯(0.210.3210.43210.54321+++)-(0.10.210.3210.43210.54321++++)⨯(0.210.3210.4321++)【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算【解析】 设0.210.3210.4321x =++，0.210.3210.43210.54321y =+++，原式=(0.1x +)y ⨯-(0.1y +)0.1x ⨯=⨯(y x -)0.054321=【答案】0.054321【巩固】 计算下面的算式(7.88 6.77 5.66++)⨯(9.3110.9810++)-(7.88 6.77 5.6610+++)⨯(9.3110.98+)【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算【关键词】希望杯，2试【解析】 换元的思想即“打包”，令7.88 6.77 5.66a =++，9.3110.98b =+，则原式a =⨯(10b +)-(10a +)b ⨯=(10ab a +)-(10ab b +)101010ab a ab b =+--=⨯(a b -)10=⨯(7.88 6.77 5.669.3110.98++--)100.020.2=⨯=【答案】0.2【巩固】 (10.120.23)(0.120.230.34)(10.120.230.34)(0.120.23)++⨯++-+++⨯+=____ 。
【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算【关键词】希望杯，六年级，二试【解析】 设0.120.23a +=，0.120.230.34b ++=原式()()110.34a b b a b a =+⨯-+⨯=-=【答案】0.34【巩固】 计算：⑴ (10.450.56++)⨯(0.450.560.67++)-(10.450.560.67+++)⨯(0.450.56+) ⑵621739458739458378621739458378126358947358947207126358947207⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭739458358947⎛⎫+ ⎪⎝⎭【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算【关键词】迎春杯【解析】 ⑴ 该题相对简单，尽量凑相同的部分，即能简化运算.设0.450.56a =+，0.450.560.67b =++，有原式=(1a +)b ⨯-(1b +)0.67a b ab a ab b a ⨯=+--=-=⑵ 设621739458126358947a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，739458358947b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭原式378378378621378()9207207207126207a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=⨯+-+⨯=-⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】⑴0.67 ⑵9【巩固】 计算： 573734573473()123217321713123217133217⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭= 。
【解析】 设573123217a =++、733217b =+，则有 441313444()131313455131239a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=⨯+-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-=-=⨯=原式 【答案】539【例 2】 计算：1111111111112200723200822008232007⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⨯+++-+++⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L L L 【考点】换元法 【难度】3星 【题型】计算【解析】 令111232007a =+++L ，111232008b =+++L ，原式()()1112008a b b a b ab a ab b a =+⨯-+⨯=+--=-= 【答案】12008【巩固】 111111111111111111213141213141511121314151213141⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⨯+++-++++⨯++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算【解析】 设111111213141a +++=，111213141b ++=， 原式115151a b a b ⎛⎫⎛⎫=⨯+-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭115151ab a ab b =+-- 1()51a b =-1115111561=⨯= 【答案】1561【巩固】 计算1111111111111111())()5791179111357911137911+++⨯+++-++++⨯++（）（ 【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算【关键词】清华附中【解析】 设111157911A +++=，1117911B ++=， 原式111313A B A B ⎛⎫⎛⎫=⨯+-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111313A B A A B B =⨯+-⨯-()113A B =-11113565=⨯= 【答案】165【巩固】 计算11111111111111111111234523456234562345⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⨯++++-+++++⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算【解析】 设111112345A ++++=，11112345B +++= 原式=1166A B A B ⎛⎫⎛⎫⨯+-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1166A B A A B B ⨯+⨯-⨯-⨯=1166A B ⨯-⨯ 16=⨯(A B -)16= 【答案】16【例 3】 计算： 212391239112923912341023410223103410⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++⨯-++++⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L L L 【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算【关键词】迎春杯【解析】 设123923410t =++++L ，则有22211111(1)222222t t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫+⨯-+-=+-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【答案】【例 4】 计算11112111311143114120092009++++++++++L L【考点】换元法 【难度】4星 【题型】计算【解析】 设3N =+11412009++L . 原式=112N ++11111N ++=121N N ++111N N ++ =112121N N N N ++=++. 【答案】1【例 5】 计算：22222811811811111118118118811⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+÷++⨯-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦【考点】换元法 【难度】3星 【题型】计算【解析】 (法一)设811x =，则原式2211881111288x x x x x x x x +--==⎛⎫⎛⎫++⨯-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． (法二)设811118x =+，那么222228112118x =++，所以222228112118x +=-． 而2222211112811811111228118118118118888x x ⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=+-⨯=+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 这样原式转化为()()222228888121288x x x x x x x x ----=⨯=--+-⨯． 在这里需要老师对于()()()()a b c d a b c a b d ac bc ad bd +⨯+=+⨯++⨯=+++的计算进行简单的说明.【答案】88【例 6】 计算：22010200920111⨯+ 【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算【解析】 设a =2009, 原式2221)211+2121a a a a a a a +++===+++（（） 【答案】1【巩固】计算200820092007 200820091+⨯⨯-（4级）【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】设2008a=原式(1)(1)(1)1a a aa a++-=+-22111a aa a+-=+-=【答案】1。