柯布-道格拉斯(Cobb-Douglas)生产函数模型
柯布道格拉斯生产函数
柯布道格拉斯生产函数柯布道格拉斯生产函数是经济学家柯布道格拉斯提出的一种描述生产关系的数学模型。
它是一种生产函数，描述了生产过程中输入要素和产出之间的关系。
柯布道格拉斯生产函数被广泛应用于经济学研究中，可以帮助我们理解和分析不同要素对产出的影响。
柯布道格拉斯生产函数的基本形式为：Y = A * (K^α) * (L^β) * (M^γ)其中，Y表示产出，K表示资本输入，L表示劳动输入，M表示其他要素输入，A表示全要素生产率，α、β、γ表示要素的弹性系数。
柯布道格拉斯生产函数的核心思想是，通过将输入要素（如资本和劳动）与全要素生产率相结合，可以预测产出的变化。
这个模型假设生产过程中的技术水平是固定的，并且每个要素对产出的贡献程度是固定的。
柯布道格拉斯生产函数的形式化表述可能有些晦涩难懂，但是我们可以通过一个简单的例子来理解它的应用。
假设一个农场使用了一定数量的土地和劳动力来种植农作物。
我们可以将土地和劳动力作为输入要素，农作物的产量作为输出。
通过柯布道格拉斯生产函数，我们可以分析不同的土地和劳动力对农作物产量的影响，并找出最佳的要素组合方式。
在柯布道格拉斯生产函数中，弹性系数α、β和γ表示了不同要素对产出的敏感性。
当α大于1时，资本输入对产出的增长影响更大；当α小于1时，劳动输入对产出的增长影响更大；当α等于1时，资本和劳动的影响是等价的。
柯布道格拉斯生产函数还可以用来分析全要素生产率的增长。
通过对全要素生产率的改进，可以提高产出水平而不需要增加输入要素。
这对于发展中国家和企业来说具有重要意义，因为他们可以通过提高技术水平来实现经济增长，而不仅仅依靠增加资本和劳动力的投入。
然而，柯布道格拉斯生产函数也存在一些限制。
它假设了技术水平是固定的，这在现实生产过程中并不成立。
现代经济往往面临着科技进步和创新的快速变化，传统的柯布道格拉斯生产函数无法很好地解释这种变化。
此外，柯布道格拉斯生产函数忽略了其他可能影响产出的因素，如市场需求、政府政策等。
数据建立柯布道格拉斯生产函数分析美国某行业的投入产出情况
数据建立柯布—道格拉斯生产函数分析美国某行业的投入产出情况实验目的1.利用数据建立柯布—道格拉斯生产函数分析美国某行业的投入产出情况，并用多种统计方法检验规模报酬不变的假设。
2．利用CES生产函数检验是否使用柯布道格拉斯生产函数建模是较为合适的。
实验报告1、问题提出生产力水平决定了一个国家或者地区的生活水平，因此研究分析产出受那些因素的影响以及是如何被影响对于把握生产规律并进而提高生产效率有着极大的意义。
2、指标选择从经济学原理的课程学习中可以知道，产量Y主要是被这几个因素所决定：技术水平（T）,资本量（K）,劳动（L）,人力资本（H）自然资源（N）。
根据已有的数据资料，为达到实验目的，并且简化实验模型与分析，只分析劳动与资本量这两个因素的投入对产出的影响。
在本次实验中，我们分析美国某行业投入与产出情况。
选择样本容量为27的样本，分析劳动量，资本与产出的关系。
3、数据来源数据由老师提供，详细数据见表14.数据处理将表1中的实验数据化为其对数，方便建模时分析，如表2所示5.09565.367985.228105.50465.353756.537576.115426.571165.770005.534065.465694.946845.0372 15.481766.285497.355535.368866.987586.25715.71986.728255.648975.015755.560336.209795.6174 94.8978表25.数据分析而且没有发现明显产出越多。
投入越多，K与资本L可以明显的发现劳动量数据，1观察表．不符合实际的数据。
但是其中的幂函数关系需要通过进一步的分析发现。
6.建立模型通过数理经济学的学习我们还了解到，生产函数常以柯布-道格拉斯（Cobb-Douglas）幂函数的形式出现。
柯布-道格拉斯生产函数最初是美国数学家柯布（Cobb）和经济学家道格拉斯（Douglas）共同探讨投入生产关系时创立的生产函数，他们根据历史资料，研究了1899-1922年美国资本和劳动对生产的影响，认为在技术不变的情况下产出与投入的劳动力??LAKY?及资本的关系可以表示为：，其中Y表示产量，A表示技术水平，K表示投入的资本量，L表示投入的劳动量，α、β分别表示K和L的产出弹性。
道格拉斯函数
固定投入比例生产函数：
柯布-道格拉斯生产函数 - 应用
柯布—道格拉斯生产函数模型是广泛应用的一种 生产函数。美国科学家道格拉斯和数学家柯布合作， 研究了劳动投入与资本投入和产出之间的关系，得 出如下柯布—道格拉斯生产函数模型： Y=ax1b1x2b2 柯布—道格拉斯生产函数模型广泛应用于经济数量 分析，对于农业技术经济数量分析具有特殊意义。 柯布—道格拉斯生产函数模型具有以下的特点： 1、柯布—道格拉斯生产函数模型中，a，b1，b2是 固定参数。 2、可线性化。
பைடு நூலகம் 应用
3、参数估计和其它代数方程相比，计算比较
方便。 4、运用柯布—道格拉斯生产函数模型进行技 术经济分析，由于数据特性，计算分析结论 更准确。 正是由于这些特点，该模型在农业生产的技 术经济分析中得到了广泛的应用。
谢谢！
根据柯布-道格拉斯生产函数可以得到下列经济参 数（设μ＝1）： ①劳动力边际生产力 表示在资产不变时 增加单位劳动力所增加的产值。 ②资产边际生产力 表示在劳动力不变时 增加单位资产所增加的产值。 ③劳力对资产的边际代换率 表示 产值不变时增加单位劳动力所能减少的资产值。 ④劳动力产出弹性系数 ，表示劳动力投入的 变化引起产值的变化的速率。 ⑤资产产出弹性系数 ,表示资产投入的变化 引起产值变化的速率。 国际上一般取α＝0.2～0.4,β=0.8～0.6。中国根据 国家计委测算一般可取α＝0.2～0.3,β＝0.8～0.7。 "
三种类型
从这个模型看出，决定工业系统发展水平的主 要因素是投入的劳动力数、固定资产和综合技术水 平（包括经营管理水平、劳动力素质、引进先进技 术等），根据α 和β的组合情况,它有三种类型： ①α＋β>1, 称为递增报酬型，表明按现有技术用扩 大生产规模来增加产出是有利的。 ②α＋β<1, 称为递减报酬型,表明按现有技术用扩大 生产规模来增加产出是得不偿失的。 ③α＋β＝1, 称为不变报酬型，表明生产效率并不会 随着生产规模的扩大而提高，只有提高技术水平， 才会提高经济效益。
柯布-道格拉斯生产函数
柯布-道格拉斯生产函数柯布—道格拉斯生产函数最初是美国数学家柯布(C.W.Cobb)和经济学家保罗·道格拉斯(PaulH.Douglas)共同探讨投入和产出的关系时创造的生产函数，是以美国数学家C．W．柯布和经济学家保罗．H．道格拉斯的名字命名的，是在生产函数的一般形式上作出的改进，引入了技术资源这一因素。
用来预测国家和地区的工业系统或大企业的生产和分析发展生产的途径的一种经济数学模型，简称生产函数。
是经济学中使用最广泛的一种生产函数形式，它在数理经济学与经济计量学的研究与应用中都具有重要的地位。
柯布-道格拉斯生产函数-简介保罗·道格拉斯柯布和道格拉斯研究的是1899年至1922年美国制造业的生产函数。
他们指出，制造业的投资分为，以机器和建筑物为主要形式的固定资本投资和以原料、半成品和仓库里的成品为主要形式的流动资本投资，同时还包括对土地的投资。
在他们看来，在商品生产中起作用的资本，是不包括流动资本的。
这是因为，他们认为，流动资本属于制造过程的结果，而非原因。
同时，他们还排除了对土地的投资。
这是因为，他们认为，这部分投资受土地价值的异常增值的影响较大。
因此，在他们的生产函数中，资本这一要素只包括对机器、工具、设备和工厂建筑的投资。
而对劳动这一要素的度量，他们选用的是制造业的雇佣工人数。
但是，不幸地是，由于当时对这些生产要素的统计工作既不是每年连续的，也不是恰好按他们的分析需要来分类统计的。
因而，他们不得不尽可能地利用有的一些其它数据，来估计出他们打算使用的数据的数值。
比如，用生铁、钢、钢材、木材、焦炭、水泥、砖和铜等用于生产机器和建筑物的原料的数量变化来估计机器和建筑物的数量的变化；用美国一两个州的雇佣工人数的变化来代表整个美国的雇佣工人数的变化等等。
经过一番处理，他们得到关于1899年至1922年间，产出量P、资本C和劳动L的相对变化的数据（以1899年为基准）。
令人佩服的是，在没有计算机的年代里，他们从这些数据中，得到了如下的生产函数公式：P=1.01L3/4C1/4柯布（C.W.Cobb）这一结果虽然与现代计算机统计软件的计算结果不同，但两者无本质上的差别。
cobb-douglas生产函数
cobb-douglas生产函数
，
近年来，经济学家们成功地将Cobb-Douglas生产函数应用于互联网行业，用以阐明它们在生产中优势的特点及影响因素，相比之下，标准生产函数受到许多限制，无法实现经济效率的极高的效用。
Cobb-Douglas生产函数即Cobb-Douglas产函数，是由Cobb和Douglas于1928年提出的，是经济学中乘积型生产函数中的一种。
它假设商品的生产、消耗及交换活动的参与者都是理性的，个体的行为是完全由其自身的利益考虑呈现的。
这个函数基于参与者的理性行为对产出的预测模型，因此它能够有效衡量出个体理性考虑决定生产者在受到资源限制和相同科技水平下的最优产出结果。
应用于互联网行业的Cobb-Douglas生产函数，能够通过识别人的需求和技术环境的变化，充分结合市场和技术条件，优化商品生产分配。
其对产品电商领域的客户行为分析也是极为重要的，例如客户总体满意度以及服务价格比例等，所有这些都可以通过Cobb-Douglas生产函数深入地分析出来，用以为公司更加精准地制定出更具有商业价值的策略。
Cobb-Douglas生产函数在互联网行业的应用举足轻重，有效地提高了互联网行业对生产资源的利用效率，提高了产品的技术水平，并且有利于企业优化市场分配与营销策略，让企业可以有效挖掘出更多的商业价值。
米道格拉斯生产函数
米道格拉斯生产函数（一）米道格拉斯生产函数产生的背景米道格拉斯生产函数最初由美国数学家柯布(C.W.Cobb)和经济学家保罗·道格拉斯(Paul H. Douglas)于20世纪30年代共同创建。
他们在探讨投入与产出的关系时，基于劳动投入、资本投入与产出之间的联系，建立了这一被命名为柯布-道格拉斯生产函数的理论模型。
此生产函数一经提出便得到了广泛的应用，原因就在于它具有明确的经济意义，并能够解释要素的边际产量、边际替代率、产出弹性、替代弹性以及技术进步等诸多方面。
（二）米道格拉斯生产函数的概念米道格拉斯生产函数是由美国科学家道格拉斯和数学家柯布基于劳动投入、资本米道格拉斯生产函数是由美国科学家道格拉斯和数学家柯布基于劳动投入、资本投入与产出之间的关系进行研究而建立的，被广泛应用在经济学领域。
它的基本形式为：Y = A(t)LαKβμ，其中Y代表工业总产值，At表示综合技术水平，L是投入的劳动力数，K代表投入的资本（一般指固定资产净值），α和β分别是劳动力产出与资本产出的弹性系数，而μ则表示随机干扰的影响。
从这个模型中我们可以明显看到，影响工业系统发展的主要因素包括投入的劳动力数、固定资产以及综合技术水平等。
此外，根据α和β的组合情况，这个生产函数可以被划分为三种类型：①α＋β>1, 这种情况被称为递增报酬型，表明按现有技术通过扩大规模来增加产出将是有利的；②α＋β=1, 这是规模报酬不变的类型；③α＋β<1, 这被称作递减报酬型，意味着如果增加生产要素的投入，其产量的增加幅度会逐渐减小。
（三）米道格拉斯生产函数的应用米道格拉斯生产函数是一种广泛应用的经济数学模型，主要用于预测国家和地区的工业系统或大企业的生产和分析发展生产的途径。
具体来说，它可以分析要素投入对产出的贡献率、规模收益等一系列问题，从而了解各种生产要素（例如劳动力和资本）的分配和使用效率，进而优化生产资源配置。
数据建立柯布—道格拉斯生产函数分析美国某行业的投入产出情况
数据建立柯布—道格拉斯生产函数分析美国某行业的投入产出情况实验目的1.利用数据建立柯布—道格拉斯生产函数分析美国某行业的投入产出情况，并用多种统计方法检验规模报酬不变的假设。
2．利用CES生产函数检验是否使用柯布道格拉斯生产函数建模是较为合适的。
实验报告1、问题提出生产力水平决定了一个国家或者地区的生活水平，因此研究分析产出受那些因素的影响以及是如何被影响对于把握生产规律并进而提高生产效率有着极大的意义。
2、指标选择从经济学原理的课程学习中可以知道，产量Y主要是被这几个因素所决定：技术水平（T）,资本量（K）,劳动（L）,人力资本（H）自然资源（N）。
根据已有的数据资料，为达到实验目的，并且简化实验模型与分析，只分析劳动与资本量这两个因素的投入对产出的影响。
在本次实验中，我们分析美国某行业投入与产出情况。
选择样本容量为27的样本，分析劳动量，资本与产出的关系。
3、数据来源数据由老师提供，详细数据见表14.数据处理将表1中的实验数据化为其对数，方便建模时分析，如表2所示表25.数据分析观察表1数据，可以明显的发现劳动量L与资本K投入越多，产出越多。
而且没有发现明显不符合实际的数据。
但是其中的幂函数关系需要通过进一步的分析发现。
6.建立模型通过数理经济学的学习我们还了解到，生产函数常以柯布-道格拉斯（Cobb-Douglas ）幂函数的形式出现。
柯布-道格拉斯生产函数最初是美国数学家柯布（Cobb ）和经济学家道格拉斯（Douglas ）共同探讨投入生产关系时创立的生产函数，他们根据历史资料，研究了1899-1922年美国资本和劳动对生产的影响，认为在技术不变的情况下产出与投入的劳动力及资本的关系可以表示为：Y AK L βα=，其中Y 表示产量，A 表示技术水平，K 表示投入的资本量，L 表示投入的劳动量，α、β分别表示K 和L 的产出弹性。
由于柯布-道格拉斯（Cobb-Douglas ）生产函数是一个非线性模型，对生产函数取对数，可得：ln ln lnL Y A K αβ=++建立线性模型：11220X +X i i Y βββμ=++ 利用样本数据用Eviews 做lnY 对lnK 和lnL 的回归Dependent Variable: LNY Method: Least Squares Date: 10/27/16 Time: 12:46 Sample: 1 27Included observations: 27Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. LNK 0.373400 0.087246 4.279838 0.0003 LNL 0.606563 0.129114 4.697887 0.0001 C1.1663130.330983 3.5237830.0017R-squared 0.942420 Mean dependent var 7.443631 Adjusted R-squared 0.937622 S.D. dependent var 0.761153 S.E. of regression 0.190103 Akaike info criterion -0.378063 Sum squared resid 0.867339 Schwarz criterion -0.234081 Log likelihood 8.103847 Hannan-Quinn criter. -0.335249 F-statistic 196.4056 Durbin-Watson stat 1.854054Prob(F-statistic)0.000000得出回归方程：Y=0.373400lnK+0.606563lnL+1.166313 7.模型检验Y 对lnK 与lnL 的回归模型的检验经济检验：α为0.373400，说明产出与资本投入成正相关，且在其他条件保持不变的情况下，资本投入增加1%，产出增加约0.37%β为0.606563，说明产出与劳动量成正相关，且在其他条件保持不变的情况下，资本投入增加1%，产出增加约0.61%，对α与β的估计符合经济理论，故通过经济检验。
柯布-道格拉斯生产函数的
柯布-道格拉斯生产函数的
答：柯布-道格拉斯生产函数的基本形式为：
Y=A(t)LαKβμ
式中Y是工业总产值，At是综合技术水平，L是投入的劳动力数（单位是万人或人）,K是投入的资本，一般指固定资产净值（单位是亿元或万元，但必须与劳动力数的单位相对应，如劳动力用万人作单位，固定资产净值就用亿元作单位）,α是劳动力产出的弹性系数,β是资本产出的弹性系数,μ表示随机干扰的影响，
μ≤1。
从这个模型看出，决定工业系统发展水平的主要因素是投入的劳动力数、固定资产和综合技术水平（包括经营管理水平、劳动力素质、引进先进技术等）。
根据α和β的组合情况,它有三种类型：
1、α＋β>1,称为递增报酬型，表明按现有技术用扩大生产规模来增加产出是有利的。
2、α＋β<1,称为递减报酬型,表明按现有技术用扩大生产规模来增加产出是得不偿失的。
3、α＋β＝1,称为不变报酬型，表明生产效率并不会随着生产规模的扩大而提高，只有提高技术水平，才会提高经济效益。
专题拓展5.1：柯布——道格拉斯生产函数
专题拓展5.1:柯布——道格拉斯生产函数社会财富的生产过程是多种多样的。
几千年来，随着生产力水平的不断提高，人类生产活动的形式，已从刀耕火种的落后状态发展到电子计算机控制的大规模自动化生产。
然而，从经济学的角度来看，无论何种生产过程，都可以看成是在一定社会、经济、技术和自然条件下，一组技术要素转化为产出的过程。
生产函数就是在某些前提假设下，描述这一过程的经济数学模型。
它表示的是在一定的技术水平下各种生产要素投入量的某一组合同它所能产出的最大可能产出量之间的关系。
西方经济学家对生产函数的定义，以诺贝尔经济学奖获得者萨缪尔森教授为生产函数所下的定义为代表。
他认为生产函数是一种技术关系，被用来表明每一种具体数量的投入物（即生产要素）的配合所可能生产的最大产量。
一定历史时期的生产函数是反映当时的社会生产力水平的。
只有明确一定历史阶段的社会生产力特征才能构造出最能反映当时生产力发展水平的生产函数。
柯布——道格拉斯生产函数正是在工业经济时代所构造出的反映工业经济时代生产力特征的函数模型。
柯布——道格拉斯生产函数最初是美国数学家柯布(C.W.Cobb)和经济学家道格拉斯(P.H.Douglas)共同探讨投入和产出的关系时创造的生产函数，是在生产函数的一般形式上作了改进，引入了技术资源这一因素。
他们根据有关历史资料，研究了从1899－1922年美国的资本和劳动对生产的影响，认为在技术经济条件不变的情况下，产出与投入的劳动力及资本的关系可以表示为：其中：Y——产量；A ——技术水平；K ——投入的资本量；L ——投入的劳动量；——K和L的产出弹性。
指数表示资本弹性，说明当生产资本增加1%时，产出平均增长%；是劳动力的弹性，说明当投入生产的劳动力增加1%时，产出平均增长%；A是常数，也称效率系数。
函数中把 A技术水平作为固定常数，难以反映出因技术进步而给产出带来的影响，为了克服这一不足之处，应该对柯布——道格拉斯生产函数作以改进。
计量经济学柯布道格拉斯
经济含义：
柯布-道格拉斯生产函数通常被人们称为性状良好的生产函数，因为 利用它可以较好地研究生产过程中的投入和产出问题。 当α+β=1时，α和β分别表示劳动和资本在生产过程中的相对重要性， 或者说是表示劳动所得和资本所得在总产量中所占的份额；A通常用来 表示技术进步因素（包括经营管理水平、劳动力素质、引进先进技术 等）。根据α和β的组合情况，往往可以用柯布-道格拉斯生产函数来判断 企业的规模报酬状况： ①α+β>1， 称为递增报酬型，表明按现有技术用扩大生产规模来增加产 出是有利的。规模报酬递增是指产量增加的比例大于各种生产要素增加 的比例。造成规模报酬递增的原因在于由于规模扩大带来生产效率的提 高。
根据柯布和道格拉斯对美国1899年到1922年期间有关经济资料的分 析和估算，A值为1.01，α值为0.75，β值为0.25 Q=1.01 L0.75·K0.25 这说明，在技术水平不变的情况下，每增加1%的劳动所引起的产量增加 将3倍于每增加1%的资本所引起的产量增加。这一结论与美国工资收入 与资本收益之比（3：1）大体相符。
②α+β<1，称为递减报酬型，表明按现有技术用扩大生产规模来增加产 出是得不偿失的。如果产量增加的比例小于各种生产要素增加的比例， 则为规模报酬递减。造成规模报酬递减的原因在于，由于规模过大使得 生产的各个方面难以协调，从而降低生产效率。 ③α+β=1，称为不变报酬型，表明生产效率并不会随着生产规模的扩大 而提高，只有提高技术水平，才会提高经济效益。规模报酬不变是指产 量增加的比例等于各种生产要素增加的比例。造成规模报酬不变的原因 是，在规模报酬递增阶段的后期，大规模生产的优越性已得到充分发挥， 厂商逐渐用完了种种规模优势，从而导致厂商规模增加的幅度与报酬增 加幅度相等。
柯布_道格拉斯生产函数及其应用
柯布_道格拉斯生产函数及其应用柯布-道格拉斯生产函数及其应用［容提要］生产函数是指在一定时期，在技术水平不变的情况下，生产中所使用的各种生产要素的数量与所能生产的最大产量之间的关系。
柯布—道格拉斯生产函数是在生产函数的一般形式上作出的改进，引入了技术资源这一因素。
用来预测国家和地区的工业系统或大企业的生产和分析发展生产的途径的一种经济数学模型，它是经济学中使用最广泛的一种生产函数形式，采用的边际分析方法，可用于分析要素投入对产量（产出）的贡献率、规模收益和其他系列问题。
柯布—道格拉斯生产函数模型广泛应用于经济数量分析，运用我国1990-2008年的相关数据，运用应用统计学的方法来验证我国经济增长方式是粗放式的，提出应该加大科技创新投入，进而加快促进技术进步，深化经济和政治体制改革来加快我国省经济增长方式的转变。
［关键词］生产函数柯布道格拉斯经济数量分析经济增长一、生产函数（一）简述生产函数是指在一定时期，在技术水平不变的情况下，生产中所使用的各种生产要素的数量与所能生产的最大产量之间的关系。
它可以用一个数理模型、图表或图形来表示。
换句话说，就是一定技术条件下投入与产出之间的关系，在处理实际的经济问题时，生产函数不仅是表示投入与产出之间关系的对应，更是一种生产技术的制约。
例如，在考虑成本最小化问题时，必须要考虑到技术制约，而这个制约正是由生产函数给出的。
另外，在宏观经济学的增长理论中，在讨论技术进步的时候，生产函数得到了很大的讨论。
（二）常见生产函数1、固定投入比例生产函数固定投入比例生产函数是指在每一个产量水平上任何一对要素投入量之间的比例都是固定的生产函数。
2、柯布-道格拉斯生产函数柯布-道格拉斯生产函数是由数学家柯布(C.W.Cobb)和经济学家道格拉斯(PaulH.Douglas)于20世纪30年代提出来的。
柯布—道格拉斯生产函数被认为是一种很有用的生产函数，因为该函数以其简单的形式具备了经济学家所关心一些性质，它在经济理论的分析和应用中都具有一定意义。
柯布-道格拉斯生产函数
柯布-道格拉斯生产函数柯布—道格拉斯生产函数最初是美国数学家柯布(C.W.Cobb)和经济学家保罗·道格拉斯(PaulH.Douglas)共同探讨投入和产出的关系时创造的生产函数，是以美国数学家C．W．柯布和经济学家保罗．H．道格拉斯的名字命名的，是在生产函数的一般形式上作出的改进，引入了技术资源这一因素。
用来预测国家和地区的工业系统或大企业的生产和分析发展生产的途径的一种经济数学模型，简称生产函数。
是经济学中使用最广泛的一种生产函数形式，它在数理经济学与经济计量学的研究与应用中都具有重要的地位。
柯布-道格拉斯生产函数-简介保罗·道格拉斯柯布和道格拉斯研究的是1899年至1922年美国制造业的生产函数。
他们指出，制造业的投资分为，以机器和建筑物为主要形式的固定资本投资和以原料、半成品和仓库里的成品为主要形式的流动资本投资，同时还包括对土地的投资。
在他们看来，在商品生产中起作用的资本，是不包括流动资本的。
这是因为，他们认为，流动资本属于制造过程的结果，而非原因。
同时，他们还排除了对土地的投资。
这是因为，他们认为，这部分投资受土地价值的异常增值的影响较大。
因此，在他们的生产函数中，资本这一要素只包括对机器、工具、设备和工厂建筑的投资。
而对劳动这一要素的度量，他们选用的是制造业的雇佣工人数。
但是，不幸地是，由于当时对这些生产要素的统计工作既不是每年连续的，也不是恰好按他们的分析需要来分类统计的。
因而，他们不得不尽可能地利用有的一些其它数据，来估计出他们打算使用的数据的数值。
比如，用生铁、钢、钢材、木材、焦炭、水泥、砖和铜等用于生产机器和建筑物的原料的数量变化来估计机器和建筑物的数量的变化；用美国一两个州的雇佣工人数的变化来代表整个美国的雇佣工人数的变化等等。
经过一番处理，他们得到关于1899年至1922年间，产出量P、资本C和劳动L的相对变化的数据（以1899年为基准）。
令人佩服的是，在没有计算机的年代里，他们从这些数据中，得到了如下的生产函数公式：P=1.01L3/4C1/4柯布（C.W.Cobb）这一结果虽然与现代计算机统计软件的计算结果不同，但两者无本质上的差别。
柯布-道格拉斯生产函数概述
柯布-道格拉斯生产函数概述（来源背景作用）柯布—道格拉斯生产函数最初是美国数学家柯布(C.W.Cobb)和经济学家保罗·道格拉斯(Paul H. Douglas)共同探讨投入和产出的关系时创造的生产函数，是以美国数学家C．W．柯布和经济学家保罗．H．道格拉斯的名字命名的。
是在生产函数的一般形式上作出的改进，引入了技术资源这一因素。
用来预测国家和地区的工业系统或大企业的生产和分析发展生产的途径的一种经济数学模型，简称生产函数。
是经济学中使用最广泛的一种生产函数形式，它在数理经济学与经济计量学的研究与应用中都具有重要的地位。
他们根据有关历史资料，研究了从1899－1922年美国的资本和劳动对生产的影响，在技术经济条件不变的情况下，得出了产出与投入的劳动力及资本的关系。
但是柯布－道格拉斯生产函数中把技术水平A作为固定常数，难以反映出因技术进步而给产出带来的影响。
柯布—道格拉斯生产函数中，如果有任何一种投入品为零，则产出也为零，因此对于生产来说，每种生产要素都是必需的，没有一种要素可以完全替代另一种要素。
柯布—道格拉斯生产函数是采用的边际分析方法，可用于分析要素投入对产量（产出）的贡献率、规模收益和其他系列问题。
是生产函数中应用广泛的一种！根据研究目的和需要，现在有很多在柯布——道格拉斯生产函数基础上变形应用的函数形式。
[编辑]柯布-道格拉斯生产函数的基本形式柯布-道格拉斯生产函数的基本形式为：Y = A(t)LαKβμ式中Y是工业总产值，At是综合技术水平，L是投入的劳动力数（单位是万人或人）,K是投入的资本，一般指固定资产净值（单位是亿元或万元，但必须与劳动力数的单位相对应，如劳动力用万人作单位，固定资产净值就用亿元作单位）,α 是劳动力产出的弹性系数,β是资本产出的弹性系数,μ表示随机干扰的影响，μ≤1。
从这个模型看出，决定工业系统发展水平的主要因素是投入的劳动力数、固定资产和综合技术水平（包括经营管理水平、劳动力素质、引进先进技术等）。
科布-道格拉斯生产函数
科布-道格拉斯生产函数柯布—道格拉斯生产函数最初是美国数学家柯布和经济学家保罗·道格拉斯共同探讨投入和产出的关系时创造的生产函数，是以美国数学家C．W．柯布和经济学家保罗．H．道格拉斯的名字命名的。
是在生产函数的一般形式上作出的改进，引入了技术资源这一因素。
柯布一道格拉斯生产函数主要用于测定生产过程中资本投入量和劳动投入量对产出量的影响；亦可测定科技进步、资本增长、劳动增长对产出增长的贡献率。
柯布一道格拉斯生产函数用来预测国家和地区的工业系统或大企业的生产和分析发展生产的途径的一种经济数学模型，简称生产函数。
是经济学中使用最广泛的一种生产函数形式，它在数理经济学与经济计量学的研究与应用中都具有重要的地位。
柯布-道格拉斯生产函数的基本形式为：Y=A(t)LαKβμ式中Y是工业总产值，At是综合技术水平，L是投入的劳动力数（单位是万人或人）,K是投入的资本，一般指固定资产净值（单位是亿元或万元，但必须与劳动力数的单位相对应，如劳动力用万人作单位，固定资产净值就用亿元作单位）,α是劳动力产出的弹性系数,β是资本产出的弹性系数,μ表示随机干扰的影响，μ≤1。
从这个模型看出，决定工业系统发展水平的主要因素是投入的劳动力数、固定资产和综合技术水平（包括经营管理水平、劳动力素质、引进先进技术等）。
根据α和β的组合情况,它有三种类型：①α＋β>1,称为递增报酬型，表明按现有技术用扩大生产规模来增加产出是有利的。
②α＋β<1,称为递减报酬型,表明按现有技术用扩大生产规模来增加产出是得不偿失的。
③α＋β＝1,称为不变报酬型，表明生产效率并不会随着生产规模的扩大而提高，只有提高技术水平，才会提高经济效益。
柯布—道格拉斯生产函数模型具有以下的特点：1、柯布—道格拉斯生产函数模型中，a，b1，b2是固定参数。
2、可线性化。
3、参数估计和其它代数方程相比，计算比较方便。
4、运用柯布—道格拉斯生产函数模型进行技术经济分析，由于数据特性，计算分析结论更准确。
柯布--道格拉斯生产函数
dQ d[cL(t) y (t)] cL(t)y 1 dy c dL(t) y 0
dt
d (t)
dt d (t)
整理得：
dQ dt
0
1
K0 K0
e(1 )t
1
1
因为 0 ，1所以上式右端恒大于1，因而当左端中 （0即
)e (1
) t
1 ]
知：
dy dt
0 1
K0 K0
e(1 ) t
0
显然，此式成立的条件为
K0 K0
1
K0 K0
此式含义为：劳动力相对增长率小于初始投资增长率
······数理学派在这时运用数学方法， 只对资本主义关系做数量上的说明，而抛开 对资本主义经济制度本质的研究，这样就更 有利于掩盖资本主义的剥削和矛盾。同时， 她运用数学方法，也企图用数学的精确性和 科学性，使资产阶级政治经济学具有一种高 度科学性的假象和外观。
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五、模型的改进与推广
1，探讨资金和劳动力的最佳分配（静态）
➢何为最佳分配？ ➢成本包括哪些？
资金来自贷款，利率 r
劳动力付工资 w
资金和劳动力创造的效益 S Q rK wL
问题转化为K/L满足什么条件使得S最大
S K
0 QK
r
0
S L 0 QL W 0
QK QL
CK L 1 1 C(1)K L
r w
K w
L 1 r
由该式可知：当，w变大、r变小时，分配
地区全要素生产率计算公式
地区全要素生产率计算公式一、索洛余值法计算全要素生产率（TFP）1. 基本公式。
- 假设生产函数为柯布 - 道格拉斯生产函数（Cobb - Douglas production function）：Y = AK^αL^β，其中Y表示产出，A表示全要素生产率（TFP），K表示资本投入，L表示劳动投入，α和β分别是资本和劳动的产出弹性。
- 对生产函数两边取对数得到：ln Y=ln A + αln K+βln L。
- 全要素生产率A的计算公式（索洛余值法）为：A = (Y)/(K^α)L^{β}。
在实际计算中，首先要估计出α和β的值。
2. 估计α和β的值。
- 通常采用回归分析的方法。
例如，对ln Y=ln A + αln K+βln L进行线性回归，以时间序列数据或面板数据为基础。
- 在规模报酬不变的假设下（α+β = 1），可以简化计算。
如果假设规模报酬不变，生产函数可以改写为：Y = AK^αL^1 - α。
此时，通过回归ln((Y)/(L))=lnA+αln((K)/(L))，可以估计出α的值，进而得到β = 1-α。
3. 计算步骤示例。
- 假设我们有地区i在时间t的产出Y_it、资本存量K_it和劳动力L_it的数据。
- 根据上述回归方法估计出α的值（假设为0.3）。
- 然后，对于每个地区和时间点，计算全要素生产率A_it：A_it=frac{Y_it}{K_it^0.3L_it^0.7}二、基于数据包络分析（DEA）计算全要素生产率。
1. 基本原理。
- DEA是一种非参数方法，用于评估具有多个输入和多个输出的决策单元（Decision - Making Units，DMUs）的相对效率。
在地区全要素生产率计算中，将各个地区看作DMUs。
- 假设有n个地区（DMUs），每个地区使用m种投入x_ij（i = 1,2,·s,m；j = 1,2,·s,n）来生产s种产出y_rj（r = 1,2,·s,s；j = 1,2,·s,n）。
柯布-道格拉斯生产函数概述
柯布-道格拉斯生产函数概述柯布—道格拉斯生产函数最初是美国数学家柯布(C.W.Cobb)和经济学家保罗·道格拉斯(Paul H. Douglas)共同探讨投入和产出的关系时创造的生产函数，是以美国数学家C.W.柯布和经济学家保罗.H.道格拉斯的名字命名的。
是在生产函数的一般形式上作出的改进，引入了技术资源这一因素。
用来预测国家和地区的工业系统或大企业的生产和分析发展生产的途径的一种经济数学模型，简称生产函数。
是经济学中使用最广泛的一种生产函数形式，它在数理经济学与经济计量学的研究与应用中都具有重要的地位。
它是以美国数学家C.W.柯布和经济学家保罗.H.道格拉斯的名字命名的。
柯布—道格拉斯生产函数的一般形式可以表示为：他们根据有关历史资料，研究了从1899-1922年美国的资本和劳动对生产的影响，在技术经济条件不变的情况下，得出了产出与投入的劳动力及资本的关系。
但是柯布-道格拉斯生产函数中把技术水平A作为固定常数，难以反映出因技术进步而给产出带来的影响。
柯布—道格拉斯生产函数中，如果有任何一种投入品为零，则产出也为零，因此对于生产来说，每种生产要素都是必需的，没有一种要素可以完全替代另一种要素。
柯布—道格拉斯生产函数是采用的边际分析方法，可用于分析要素投入对产量(产出)的贡献率、规模收益和其他系列问题。
是生产函数中应用广泛的一种!根据研究目的和需要，现在有很多在柯布——道格拉斯生产函数基础上变形应用的函数形式。
[编辑]柯布-道格拉斯生产函数的基本形式柯布-道格拉斯生产函数的基本形式为：Y = A(t)LαKβμ式中Y是工业总产值，At是综合技术水平，L是投入的劳动力数(单位是万人或人),K是投入的资本，一般指固定资产净值(单位是亿元或万元，但必须与劳动力数的单位相对应，如劳动力用万人作单位，固定资产净值就用亿元作单位),α是劳动力产出的弹性系数,β是资本产出的弹性系数,μ表示随机干扰的影响，μ≤1。