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第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数

教学目的：掌握隐函数和参数方程确定的函数的求导方法，会求其一二阶导数

教学重点：隐函数求导

教学难点：隐函数和参数方程确定的函数的二阶导数的求法，幕指函数的求导法

教学内容：

一、隐函数的导数

函数y二/（兀）表示两个变量y与兀之间的对应关系，这种对应关系可以用各种不同方式表达。前面我们遇到的函数，例如y = sinx, y = lnx +J1-兀？等,这种函数表达方式的特点是：等号左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子，当自变量取定义域内任一值时，由这式子能确定对应的函数值。用这种方式表达的函数叫做显函数。有些函数的表达方式却不是这样，例如，方程兀+b_l = O表示一个函数，因为当变量％在（-oo, + oo）内取值时，变量y有确定的值与之对应。例如，当兀=0时，y = l；当x = -l时，y =迈，等等。这样的函数称为隐函数。

一般地，如果在方程F（x, y） = 0中，当兀取某区间内的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的y值存在，那么就说方程F（x, y） = 0在该区间内确定了一个隐函数。

把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化。例如从方程x+/-l = 0解出歹=旳二匚，就把隐函数化成了显函数。隐函数的显化有时是有困难的，甚至是不可能的。但在实际问题中，有时需要计算隐函数的导数，因此，我们希望有一种方法，不管隐函数能否显化，都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来°下面通过具体例子来说明这种方法。

例1：求由方程e y+xy^-e = 0所确定的隐函数y的导数牛。

解：我们把方程两边分别对x求导数，注意y是x的函数。方程左边对x求导得

dx V dx dx

方程右边对求导得（0）' = 0。

由于等式两边对x的导数相等，所以

4+y + Q = 0,

dx dx

从而—= ------ - （X + £ ' 工0）。

dx兀 + 0、

在这个结果中，分式中的y是由方程R ^xy-e = O所确定的隐函数。

隐函数求导方法小结：

(1)方程两端同时对兀求导数，注意把y当作复合函数求导的中间变量來看待，例如(ln)，)r =-y\

y

(2)从求导后的方程中解出来。

(3)隐函数求导允许其结果中含有y。但求一点的导数时不但要把x值代进去，还要把对应的y值代进去。

例2：xy-\-e y = e，确定了y是兀的函数，求y'(0)。

解：y + xy + Ry' = O, y f =---------- -- , v x = 0 时y = l, /. y z(0)= -— o

x-\-e y e

例3：函数y = y(x)由方程sin(x2 + y2) 4-e x - xy2 = 0所确定，则© = ______

dx

解：方程两端求微分得

cos(x2 + y2 )(2xdx + 2ydy) + e x dx一y2dx一2xydy = 0

所以电=2xcosC? + y2)+『—y2

dx 2xy一2y cos(x2 + y2)

例4：已知产二严二求冬，与

dx dx「

解：两边取对数

1 2 2y

—ln(x +y ) = arctan —

2x

所以型=凹，与=空字

dx x-y dx~ (x-yY

二、取对数求导法

对于幕指函数y = u(xY{x}是没有求导公式的,我们可以通过方程两端取对数化幕指函数为隐函数，从而求出导数y。

例5：求j = x sin t (x>0)的导数。

解：这函数既不是幕函数也不是指数函数，通常称为幕指函数。为了求这甫数的导数，可以先在两边取对数，Winy = sinx-Inx；

上式两边对x求导，注意到y是x的函数，得

-y = cosx-lnx + sinx--, y

兀 由于对数具有化积商为和差的性质，因此我们可以把多因子乘积开方的求导运算，通过 取对数得到化简。

例6： 求y =沪-呼-牛的导数。

VU-3)(x-4) 解：先在两边取对数(假定兀＞4),得

In y = ^[ln(x-l) + ln(x-2)-ln(x-3)-ln(x-4)],

上式两边对x 求导，注意到y 是x 的函数，得

t =(p{x),且此反函数能与函数尸叭)复合成复合函数，那么由参数方程l x =(P y 所确 =妙(/)

定的函数可以看成是由函数y 二呎"、t = ^(x)复合而成的函数y = p[0(x)]。现在，要计 算这个复合函数的导数。为此，再假定函数x =(p(t). y = ^(r)都可导，而且0()"。于

于是 / • \ , sin x cosx- lnx + ------ =x sinv / • 、 ( 兀 I x 于是

\( 1 1

x-2

x-2

1

x-3 当xvl 时, I (1 _ x)(2 _ Q 〉

r (3-0(4-x)：

当2

用同样方法可得与上血相同的结果。

注：关于幕指函数求导，除了取对数的方法也可以采取化指数的办法。例如疋=『讥, 这样就可把幕指函数求导转化为复合函数求导；例如求〉，= %"+◎*的导数时，化指数方 法比取对数方法来得简单，且不容易111

错。

若由参数方程

兀二加) y =池) 确定了 y 是兀的函数，如果函数兀 0(门具有•单调连续反函数

/

y y