第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数.docx
3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
d y ψ ′( t ) ψ ′( t ) dx , 即 , = 所以 dy = ϕ ′( t ) d x ϕ ′( t ) dy dy dt 或者 = . 参数方程的求导公式. 参数方程的求导公式. dx dx dt
14
3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
相关变化率
π x = a ( t − sin t ) 在t = 处的切线方程 . 例 求摆线 2 y = a (1 − cos t ) dy dy dt a sin t = = 解 dx a − a cos t y dx a a dt sin t a a , = 2πa x πa O 1 − cos t π sin dy 2 = 1. 当 t = π 时, x = a ( π − 1), 所以 π = 2 dx t = 2 1 − cos π y = a. 2 2 π 所求切线方程为 y − a = x − a ( − 1) 2 π 即 y = x + a ( 2 − ). 2 15
隐函数 设函数y=f (x)由方程 xy + 2 ln x = y 4所确定, 设函数 由方程 所确定 则曲线y=f (x)在点 则曲线 在点(1,1)处的切线方程是 x − y = 0). 处的切线方程是( 在点 处的切线方程是 解 将方程两边求微分 得 将方程两边求微分, 2 ydx + xdy + dx = 4 y 3dy x dy =1 再将点(1,1)代入上方程 得 代入上方程, 再将点 代入上方程 d x ( 1 ,1 ) 切线方程为 即
隐函数求导法则
利用函数的微分法则 将方程两边求微分. 利用函数的微分法则, 将方程两边求微分 函数的微分法则
求由方程 xy − e x + e y = 0所确定的隐函数 y 例
第四节 隐函数及由参数方程所2-4
对x求导应按复合函数的求导方法做。 第二章 第四节
4
例题2
y 设arctg ln x 2 y 2 , 求y x
隐函数求导方法小结： 1) 两端同时对x求导，注意把y 当作复合函数 求导的中间变量来看待；
2） 从求导后的方程中解出y来；
3）隐函数求导允许结果中含有y, 但求一点的 导数时不但要把x的值代进去，还要将对应y 的值代进去。
解 设时刻 t水深为h( t ), 水库内水量为V ( t ), 则 V (t ) 4000 3h2 dV dh 上式两边对t求导得 dt 8000 3h dt dV 28800米3 / 小时, 当h 20米时, dt dh 水面上升之速率 0.104米 / 小时 dt 第二章 第四节
( tant ) d ( tan t ) d y d dy ( ) 2 dx x( t ) dx dx dx
se c t se c4 t . 2 3a cos t sint 3a sint
2
d y 问： 3 ? dx
第二章 第四节 20
3
四.相关变化率
设 x= x(t)及 y = y(t) 都是可导函数，而变量x与
第二章 第四节
2
形式
19
x a cos3 t 例6 求 表 示 的 y y( x ) 的 二 阶 导 数 . 3 y a sin t
解
2
2 3 a sin t cost dy y ( t ) tan t , 2 dx x( t ) 3a cos t ( sint )
1 u ln y v ln u (ln y v ln u ) y v ln u v y u
高等数学 第三章 第4节 隐函数及由参数方程确定的函数的导数(中央财经大学)
例
d y 设 x + x y + y = 4, 求 . 2 dx
2 2
2
解
对方程两边关于 x 求导:
2 x + y + x y′ + 2 y y ′ = 0
故 2x + y y′ = − x + 2y
想想如何求二阶导数？
解
(
)
1 2 1+ t 2 d y = 2 = = 2 2t 2 ′ 4t dx (ln(1 + t ) ) 1 + t 2
⎛ t ⎞′ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠
⎛ 1 + t 2 ⎞′ 2t 2 − 1 − t 2 ⎜ 3 ⎜ 4t ⎟ ⎟ 2 t 4 −1 d y 4t ⎝ ⎠ = = = 3 3 ′ 2t 8t dx (ln(1 + t 2 ) ) 1+ t 2
故
1 (1 − x)(1 − 2 x)(1 + x ) y′ = 3 3 (1 + 5 x)(1 + 8 x)(1 + x 4 )
⎧ −1 −2 2x 5 8 4 x3 ⎫ − − − ⎨1 − x + 1 − 2 x + 2 1 + 5x 1 + 8 x 4⎬ 1+ x 1+ x ⎭ ⎩
2
四、 隐函数及参数方程 确定的函数的高阶导数
F ( x, f (x) ) ≡ 0
对上式两边关于 x 求导：
d F ( x , y) = 0 dx
然后, 从这个式子中解出 y ′, 就得到隐函数的导数.
例
求由方程 F ( x , y ) = xy − e x + e y = 0 ( x ≥ 0 ) 所确定的隐函数的导数 y′, 并求 y′
第四部分隐函数与参数方程的求导法教学课件
则称此函数为由参数方程所确定的函数.
例如
x 2t,
y
t
2
,
t x 2
消去参数 t
y t2 ( x)2 x2 24
y 1 x 2
问题: 若消参困难或无法消参，如何求导?
一 般 地, 给 了 参 数 方 程
x (t)
y
(t
)
设函数x (t)单调，可导，且'(t) 0
则由反函数求导法则知 ：
() dt dx
dx
dt
dt
dt
例7
求摆线
x y
a(t a(1
sin t) cos t)
在t
2
处的切线
方程 .
dy
解 dy
dx
dt dx
a sin t sin t a a cos t 1 cos t
dt
dy dx
t 2
sin
1
2 cos
1.
2
当 t 时, x a( 1), y a.
例10 一汽球从离开观察员500米处离地面铅直
上升,其速率为140米 / 秒.当气球高度为500米时,
观察员视线的仰角增加率是多少?
解 设气球上升t秒后, 其高度为h米, 观察员视线
的仰角为 , 则
tan h
500
上式两边对t求导,得 sec2 d 1 dh
dt 500 dt dh 140(米 / 秒), 当 h 500时, sec2 2
1 y cos x ln x sin x 1
y
x
y y(cos x ln x sin x 1 ) x
x sin x (cos x ln x sin x ) x
2-4-隐函数的导数和由参数方程确定的函数的导数-初等函数的导数
x y
(t), (t),
(t T ) 所 确
定，如果函数 x (t) 具有单调连续反函数t 1(x) ，那
么由参数方程所确定的函数可以看成是由函数y (x) ，
t 1(x) 复 合 而 成 的 函 数 y ( 1(x)) . 因 此 ， 当
x (t), y (t) 都可导且(t) 0 时，利用复合函数求导
内容小结
1. 隐函数的导数
直接对方程两边求导 对数求导法
*2. 参数方程求导法 3. 初等函数的导数
作业
P94 2(2), (4), 3(2), (3), 4(4), (6), 5
1 t2
例8
求星形线
x y
acos3t, asin3t,
(a 0,0 t 2π) 在t π 4
处的切线方程.
解 dx 3acos2tsint, dy 3asin2tcost,所以
dt
dt
dy dx
3asin 2tcost 3acos2tsint
tant
于是，在t
π 处的切线斜率为k 4
例 5 设 y xsin x (x 0), 求 y.
解 这是所谓的幂指函数，等式两边同时取对数，得 ln y sin x ln x,
上式两边同时对 x 求导，得
y cos x ln x sin x ,
y
x
于是
y xsin x (cos x ln x sin x ).
x
有时幂指函数也可写成 y esin xln x ，于是有
则
dy dx
2 y2 6xy 3x2 4xy 12 y2
,
dy dx
x1 y1
3
2 12 6 11 12 4 1112
隐函数及由参数方程所确定的函数
院 数 理 系
y x x ln y x ln x 1 y ln x 1 y x x (ln x 1) y
2021/4/22
用性质 用对数
11
高
等 数
y u(x)x y u(x)x ln（u x） x（u x）x1u（ x）
学 电 子
u(x)x[ln u(x) x u(x)] u(x)
武
汉 科
对于幂指函数或连乘除形式函数的求导,先取对数再取
技
学 院
导数,比用通常方法计算简单.
数
理
系
2021/4/22
3
高
等 例3 求幂指数函数 y = uv(u>0) 的导数，其中u, v是x的函
数 学
数,且都在点x处可导.
电 分析: 先取对数
子 教
ln y v ln u (ln y v ln u) 1 y vln u v u
y (x) (x)[(x) (x) (x) (x) ln (x)]
1
2 (x) (x)
6
高 等 例6 试用比较简单的方法求下列函数的导数
数
学
1,y x(x 1)(x 2); 2, y 3(1 2x)3; 3, y 5x2 3x x ;
电
x
子 教 案
4, y ln a bx ; a bx
子 教
设函数的参数式为x=φ(t), y=ψ(t),
dy (t ) dx (t )
案
则它们的二阶导数
d 2 y d [ (t) ] d [ (t) ] dt dx 2 dx (t) dt (t) dx
武
汉 科
(t) (t) (t) (t) 1
技
[ (t)]2
3.4 隐函数及参数方程所确定函数的导数
dy y dy x y x 0 e e dx dx dy e x y 由原方程知 x 0 时 , y 0 , 解得 , dx x e y
dy dx
x 0
e y y xe
x
x 0 y 0
1.
x2 y 2 3 例3 求椭圆 1在点(2, 3 )处的切线方程. 16 9 2
sec2
dt
作业 P88 T1(3) T2(3) T4(3) T5(1)
于是
即
4x 4x 2x y ' y( 2 4 2 ), x 2 x 1 x 1
( x 2) 4x 4x 2x y' 4 ( 2 4 2 ) 2 ( x 1)( x 1) x 2 x 1 x 1
2 2 3
3
二、参数方程所确定的函数的导数 若方程 x ( t )和 y ( t ) 确定y与x间的函数 关系，则称此函数关系所表达的函数为由参数方程
直接对方程 F(x, y)=0 两边求导，应用复合函数的求
导法可得一个含有 y 的方程，解出 y 即得隐函数 的导数.
例1
设y y ( x)是由方程 sin xy ln( x y ) 0所确定
dy 的隐函数，求 . dx 解 方程两边对x求导，注意到y是x的函数，有
1 y cos( xy)( y xy) 0 x y
x ( t ), y ( t ), t ( , )
所确定的函数． 例如，不计空气阻力时，抛射体的运动轨迹 可表示为 x v t
1 1 2 y v2 t gt 2
若消去参数t, 有
v2 g 2 y x x 2 v1 2v1
隐函数及参数方程所确定的函数的导数
1 y
y
=
lnarc tan x
x 1 arctan
x
1
1 x
2
y
=
ylnarctan x
(1
x
x
2
)
arctan
x
y
=
(arctan x)x
lnarctan x
(1
x
x
2
)
arctan
x
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9
练习 1. 设函数 y = x x ( x 0) , 求 y 解 等式两边取自然对数得
x = a(t sin t )
y
=
a(1
cos t )
在t
p =
2
处的切线方程
解 由参数方程的求导方法 , 得
dy dx
=
a(1 a(t
cos t ) sin t)
= sin t 1 cos t
= cot t 2
当 t = p 时 , x = a(p 1) y = a 摆线上点
2
2
a(p
y |x=0
=
ex y x ey
x=0
=
e0 0 0 e0
=1
y=0
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5
例 3 求由方程 x2 xy y2 = 4确定的曲线上点(2, 2)
处的切线方程和法线方程，
解 方程两边对x求导 , 得 2x y xy 2 y y = 0 于是 y = 2x y 故曲线上在点 (2, 2) 处切线的
2
1),a
处切线斜率为
k
=
dy dx
=
t =p 2
cot
t 2
第四节隐函数的导数、由参数方程确定的函数的导数
但并不是所有的隐函数都能被显化，如 y x ln y
由隐函数的显化我们可以看到，所谓方程F(x, y)=0 确定一个函数 y=f (x) 就是将此函数代入方程，则方
程F (x, y)= F (x, f(x))≡0成为恒等式。
例如，将函数 y 1 x2 代入方程 x2 y2 1 0
第四节 隐函数的导数、 由参数方程确定的函数的导数
一、隐函数的导数 二、对数求导法 三、由参数方程确定的函数的导数
一、隐函数的导数
若由方程
可确定y是x的函数, 则称此
函数为隐函数.
由
表示的函数，称为显函数。
例如,
可确定y是x的函数 ,
可确定显函数
（隐函数的显化）
对于不能显化或不易显化隐函数如何求导？
再设函数 x (t), y (t)都可导, 且(t) 0,
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dx
dy dt
dt dx
dy dt
1 dx
(t) (t)
dt
dy
即
dy dx
dt dx
t t
dt
例1 设
求
解：
例2 已知摆线方程
求在
但有时会遇到因变量与自变量的对应规则是用一
个方程 F (x, y)=0 表示的函数，这种函数称为隐函数。
如，
x2 y2 1 0
x2 xy y2 4
一般的，如果变量 x 和 y 满足方程 F (x, y)=0， 在一定条件下，当 x 在某区间内任取一值时，相应 的总有满足该方程的唯一的 y 值存在，那么就说方 程 F (x, y)=0 在该区间内确定了一个隐函数。
第四节隐函数的导数、由参数方程确定的函数的导数-文档资料
对数求导法适用于多个函数相乘或幂指函数 求导。
例6 y = x x (x > 0), 求 y . 解 两边取对数, 得 lny = xlnx. 上式两边同时对
x 求导, 把 y 看成 x 的函数, 得,
1 y ln x 1, y
于是 y = y (1 + lnx) = x x (1 + lnx).
个方程 F (x, y)=0 表示的函数，这种函数称为隐函数。
如，
x2 y2 1 0
x2 xy y2 4
一般的，如果变量 x 和 y 满足方程 F (x, y)=0， 在一定条件下，当 x 在某区间内任取一值时，相应 的总有满足该方程的唯一的 y 值存在，那么就说方 程 F (x, y)=0 在该区间内确定了一个隐函数。
例3 设 xy ex ey 0 确定了函数 y = y (x), 求 dy .
dx x0
解 方程两边同时对 x 求导, 把 y 看成 x 的函数有
y xy ex ey y 0,
解得
dy ey y dx x ey ,
再由原方程知 x 0 时，y 0. 代入上式，得
dy dx
x0
ey y x ey
上式两边同时对 x 求导, 把 y 看成 x 的函数, 得
1 y cos x ln ln x sin x 1 1 ,
y
ln x x
y
ln
x sin x
cosxlFra bibliotek lnx
sin x x ln x
.
例8 设 x > 1, x 2, 3, 4, y (x 1)(x 2) , 求 y.
(x 3)(x 4)
2sin y y (2 cos y)2
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数课件(主要内容)
又 d ln f ( x) 1 d f ( x)
dx
f ( x) dx
f ( x) f ( x) d ln f ( x) dx
f ( x) u( x)v( x)[v( x) ln u( x) v( x)u( x)] u( x)
青苗辅导1
9
三、由参数方程所确定的函数的导数
若参数方程
x0
ex xe
y
y
x0 y0
1.
青苗辅导1
3
例2 设曲线C的方程为 x3 y3 3xy,求过C上
点(3 , 3)的切线方程, 并证明曲线C在该点的法 22
线通过原点.
解 方程两边对x求导, 3x2 3 y2 y 3 y 3xy
y 3 3 (,) 22
y x2 y2 x
3 3 1.
d3y 三阶导数 dx 3 .
六、设 f ( x) 满足 f ( x)
2
f (1) x
3 x
，求f
( x)
.
青苗辅导1
23
七、在中午十二点正甲船的 6 公里/小时的速率向东行 驶，乙船在甲船之北 16 公里，以 8 公里/小时的速 率向南行驶，问下午一点正两船相距的速率为多 少？
八、注入水深 8 米，上顶直径 8 米的正圆锥形容器中， 其速率为每分钟 4 立方米，当水深为 5 米时，其表 面上升的速率为多少？
2、-2 csc2 ( x y)c tan3 ( x y)；
3、 y(ln y 1)2 x(ln x 1)2 . xy(ln y 1)3
青苗辅导1
25
三、1、 x x2 1 (2 ln x 1)；
2、
x
2(3 ( x 1)5
x)4
高等数学(上)04-隐函数的导数与由参数方程确定的函数的导数 答案详解
解：方程两边同时对 x 求导有， cos(x y) (1 y) 2yycos x y2 sin x
y cos(x y) y2 sin x 2y cos x cos(x y)
3． ln(x2 y2 ) arctan y x
解：方程两边同时对
x
求导有，
2x 2 yy x2 y2
1
1 y x
2
yx x2
y
y 2x y x 2y
4． ey 6xy x2 1 0
解：方程两边同时对 x 求导有， ey y 6y 6xy 2x 0
y
6y ey
2x 6x
y x
dx
e yln x ln x exln y x
y
七、求下列参数方程所确定的函数 y y(x) 的导数 dy ： dx
1．
x y
t3 3t
3t 1 5 5t3
1
解： dx 3(t2 1) ， dy 15t2 (t2 1)
dt
dt
dy
dy dx
f (t) tf (t) f (t)
f (t)
t
d2 dx
y
2
1 f (t)
注：计算参数方程二阶导前先对一阶导化简
则该曲线在 (1, 1) 点的切线斜率为1 由两曲线在该点相切，有 2 a 1 a 1，从而 b 1
五、求下列函数的导数：
1． y x x
解：法一（对数求导法）： ln y x ln x
1 y l nx y 2x
2.4隐函数及由参数方程确定的函数的导数
x1
2 3
x2
2 3
切点为 2, 4 6 3 9
2, 4 6 3 9
所求切线方程为 y 4 6 和 y 4 6
9
9
练习题
一、 填空题：
1、 设 x 3 2 x 2 y 5 xy 2 5 y 1 0确 定 了 y 是 x 的 函
数 ， 则 dy =________， d 2 y ________.
22
y x2 y2 x
( 3,3 ) 1. 22
所求切线方程为
y 3 ( x 3) 即 x y 3 0.
2
2
法线方程为 y 3 x 3 即 y x, 显然通过原点.
2
2
例4
设
y 2 x ( x y) ln( x
y) ，
求
d2y dx 2
解
两边求导：
y'2 (1 y') ln( x y) ( x
dx 2
对数求导法
观察函数
y
(
x 1)3 x ( x 4)2 e x
1
,
y x sin x .
方法: 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导
方法求出导数. --------对数求导法
适用范围:
(1)幂指函数y u( x)v( x)的情形.
(2)多个函数相乘: y f1( x) f2 ( x) fn ( x)的情形.
dx
dx
解得
dy dx
ex y xey
,
由原方程知
x
0,
y
0,
dy dx
x0
ex y xey
x0 y0
1.
例2
设 arctan y ln
高等数学 第二章 第四节 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数
例4
设 x 4 − xy + y 4 = 1, 求y ′在点 (0,1)处的值 .
解 方程两边对 x求导得
4 x 3 − y − xy ′ + 4 y 3 y ′ = 0
代入 x = 0, y = 1得
0 − 1 − 0 + 4 y′ = 0
y′
x=0 y =1
1 = ; 4
二、对数求导法
( x + 1)3 x − 1 , 观察函数 y = 2 x ( x + 4) e
课堂练习
1. 设x − 2 x y + 5 xy − 5 y + 1 = 0确定 函数y = y( x )，求 y′ (1,1)
3 2 2
2. 设 y =
x + 2( 3 − x ) ，求 y ′ 5 ( x + 1)
4
x = e t cos t dy 3. 设 ，求 t dx y = e sin t
2
600
dV dh 上式两边对 t求导得 dt = 8000 3h ⋅ dt dV Q = 28800米 3 / 小时, ∴当h = 20米时, 米时 dt dh 水面上升之速率 ≈ 0.104米 / 小时 dt
五、小结
隐函数求导法则: 直接对方程两边求导; 隐函数求导法则: 直接对方程两边求导 对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求 对数求导法: 对方程两边取对数 按隐函数的求 导法则求导; 导法则求导 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则; 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则;
解 (1) 在 t 0时刻的运动方向即
y
v0
vy
v vx
轨迹在 t 0时刻的切线方向 , 可由切线的斜率来反映 .
课件：隐函数及由参数方程
两边对 x 求导
y ln a a b y bx x
又如,
y
(x 1)(x 2) (x 3)(x 4)
两边取对数
( ln u ) u u
ln y 1 ln x 1 ln x 2 ln x 3 ln x 4
2
对 x 求导
y 1 1
y 2 x 1
x
1
2
x
1
3
x
1
第四节 隐函数及由参数方程 所确定的函数的导数
一、隐函数的导数 二、由参数方程所确定的函数的导数 三、相关变化率 四、小结与思考题
一、隐函数的导数
由
表示的函数 , 称为显函数 .
若由方程
可确定 y 是 x 的函数 , 则称此
函数为隐函数 .
例如,
可确定显函数
可确定 y 是 x 的函数 ,
隐函数求导方法:
y
x
y xsin x(cos x ln x sin x )
x
说明:
1) 对幂指函数 y uv 可用对数求导法求导 :
ln y v ln u
1 y
y
vln u
uv u
y uv ( vln u uv ) u
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .
例如,
两边取对数
ln y x ln a a[ ln b ln x ] b[ ln x ln a ]
1 dy
(t) (t)
dt
(此时看成 x 是 y 的函数 )
例4
已知摆线的参数方程为
x y
a(t a(1
sin t), 求该 cos t ).
摆线在 t π 时的切线方程． 2
解：当 t π 时，摆线上相
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第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
教学目的：掌握隐函数和参数方程确定的函数的求导方法，会求其一二阶导数
教学重点：隐函数求导
教学难点：隐函数和参数方程确定的函数的二阶导数的求法，幕指函数的求导法
教学内容：
一、隐函数的导数
函数y二/（兀）表示两个变量y与兀之间的对应关系，这种对应关系可以用各种不同方式表达。
前面我们遇到的函数，例如y = sinx, y = lnx +J1-兀？等,这种函数表达方式的特点是：等号左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子，当自变量取定义域内任一值时，由这式子能确定对应的函数值。
用这种方式表达的函数叫做显函数。
有些函数的表达方式却不是这样，例如，方程兀+b_l = O表示一个函数，因为当变量％在（-oo, + oo）内取值时，变量y有确定的值与之对应。
例如，当兀=0时，y = l；当x = -l时，y =迈，等等。
这样的函数称为隐函数。
一般地，如果在方程F（x, y） = 0中，当兀取某区间内的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的y值存在，那么就说方程F（x, y） = 0在该区间内确定了一个隐函数。
把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化。
例如从方程x+/-l = 0解出歹=旳二匚，就把隐函数化成了显函数。
隐函数的显化有时是有困难的，甚至是不可能的。
但在实际问题中，有时需要计算隐函数的导数，因此，我们希望有一种方法，不管隐函数能否显化，都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来°下面通过具体例子来说明这种方法。
例1：求由方程e y+xy^-e = 0所确定的隐函数y的导数牛。
解：我们把方程两边分别对x求导数，注意y是x的函数。
方程左边对x求导得
dx V dx dx
方程右边对求导得（0）' = 0。
由于等式两边对x的导数相等，所以
4+y + Q = 0,
dx dx
从而—= ------ - （X + £ ' 工0）。
dx兀 + 0、
在这个结果中，分式中的y是由方程R ^xy-e = O所确定的隐函数。
隐函数求导方法小结：
(1)方程两端同时对兀求导数，注意把y当作复合函数求导的中间变量來看待，例如(ln)，)r =-y\
y
(2)从求导后的方程中解出来。
(3)隐函数求导允许其结果中含有y。
但求一点的导数时不但要把x值代进去，还要把对应的y值代进去。
例2：xy-\-e y = e，确定了y是兀的函数，求y'(0)。
解：y + xy + Ry' = O, y f =---------- -- , v x = 0 时y = l, /. y z(0)= -— o
x-\-e y e
例3：函数y = y(x)由方程sin(x2 + y2) 4-e x - xy2 = 0所确定，则© = ______
dx
解：方程两端求微分得
cos(x2 + y2 )(2xdx + 2ydy) + e x dx一y2dx一2xydy = 0
所以电=2xcosC? + y2)+『—y2
dx 2xy一2y cos(x2 + y2)
例4：已知产二严二求冬，与
dx dx「
解：两边取对数
1 2 2y
—ln(x +y ) = arctan —
2x
所以型=凹，与=空字
dx x-y dx~ (x-yY
二、取对数求导法
对于幕指函数y = u(xY{x}是没有求导公式的,我们可以通过方程两端取对数化幕指函数为隐函数，从而求出导数y。
例5：求j = x sin t (x>0)的导数。
解：这函数既不是幕函数也不是指数函数，通常称为幕指函数。
为了求这甫数的导数，可以先在两边取对数，Winy = sinx-Inx；
上式两边对x求导，注意到y是x的函数，得
-y = cosx-lnx + sinx--, y
兀 由于对数具有化积商为和差的性质，因此我们可以把多因子乘积开方的求导运算，通过 取对数得到化简。
例6： 求y =沪-呼-牛的导数。
VU-3)(x-4) 解：先在两边取对数(假定兀＞4),得
In y = ^[ln(x-l) + ln(x-2)-ln(x-3)-ln(x-4)],
上式两边对x 求导，注意到y 是x 的函数，得
t =(p{x),且此反函数能与函数尸叭)复合成复合函数，那么由参数方程l x =(P y 所确 =妙(/)
定的函数可以看成是由函数y 二呎"、t = ^(x)复合而成的函数y = p[0(x)]。
现在，要计 算这个复合函数的导数。
为此，再假定函数x =(p(t). y = ^(r)都可导，而且0()"。
于
于是 / • \ , sin x cosx- lnx + ------ =x sinv / • 、 ( 兀 I x 于是
\( 1 1
x-2
x-2
1
x-3 当xvl 时, I (1 _ x)(2 _ Q 〉
r (3-0(4-x)：
当2<x<3时, =((兀-1)(兀. V (3 - x\4 - x)
用同样方法可得与上血相同的结果。
注：关于幕指函数求导，除了取对数的方法也可以采取化指数的办法。
例如疋=『讥, 这样就可把幕指函数求导转化为复合函数求导；例如求〉，= %"+◎*的导数时，化指数方 法比取对数方法来得简单，且不容易111
错。
若由参数方程
兀二加) y =池) 确定了 y 是兀的函数，如果函数兀 0(门具有•单调连续反函数
/
y y
是根据复合函数的求导法则与反函数的导数公式，就有
dy _ dy dt _ dy 1 _
———•———.—— ----------------------------------------------
dx dt dx dt dx^ ~dt
dy =
dx 0(f)
dy
dy_=dt_
dx dx
dt
y = 还是二阶可导的，由◎二
dx 必)
0(/) 还可导出丿对兀的二阶导数公式:
d2y _ d (dy、dx2 dx\dx)dt/W(J-鸭⑺必)1
-- —• ;——dx --- (p2(t) -- (p[t)
Hn 心二/(力⑺-必)必)
dx2 _必)
[x = t — ln(l +1) d? y
例7：设函数y=y(x) rh参数方程彳.9所确定，则二二____________________ ・= F dx
解:
dy _[尸+/2]'力_3八 +
2》
dx [/-ln(l + /)]'dr | __ 1
~i+7
=(1 + /)(2 + 3
门
空/(1 +「)(2 + 3叽*」
dx2〃(r-ln(l + r)) J_ t
1+7
… \x = e l sinr t d2v
例8 ：设{ ，则9 = _________ o
[y = e~r cost dx「
dy = e~'(-cost-sin t)dt = _^_2/ clx”(cost+
sinf)df
比z d2y -de~2t2e~2{dt 2e'31
所以一T 二----- 二--------------- 二---------- dr dx e (cos t + sin t)dt cos r + sin/
上式也可写成。