浙江省9+1高中联盟2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题含答案

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浙江省浙东北联盟(ZDB)2020-2021学年高二上学期期中数学试题

浙江省浙东北联盟（ZDB ）2020-2021学年高二上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．椭圆22143x y +=的焦点坐标为（）A ．（﹣1，0），（1，0）B ．())C ．（0，﹣1），（0，1）D ．((00-，， 2．圆O ：（x ﹣1）2+y 2=1和直线l ：x ﹣y +1=0的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切C ．相离D ．不确定 3．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，直线D 1B 与平面BB 1C 1C 所成角的余弦值为（）A B ．2 C D 4．某几何体的三视图如图，则它的体积是（）A ．6B ．4+πC ．2+2πD ．2+π 5．对空间中两条不相交的直线a 和b ，必定存在平面α，使得（）A ．,a b αα⊂⊂B ．,a b αα⊥⊥C ．,//a b αα⊂D ．,a b αα⊂⊥ 6．正四面体ABCD 中，E ，F 分别为棱AD ，BC 的中点，则异面直线EF 与CD 所成的角为( )A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 7．如图，三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1，底面三角形A 1B 1C 1是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是( )．A ．AE 、B 1C 1为异面直线，且AE ⊥B 1C 1B ．AC ⊥平面A 1B 1BAC ．CC 1与B 1E 是异面直线D ．A 1C 1∥平面AB 1E8．如图，60°的二面角的棱上有A 、B 两点，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ，已知AB=4，AC=6，BD=8，则CD 的长为（）A ．B ．C ．D ．9．如图，已知椭圆()222210x y C a b a b+=：＞＞，斜率为﹣1的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，平行四边形OAMB （O 为坐标原点）的对角线OM 的斜率为13，则椭圆的离心率为（）A B C D ．2310．斜线段P A 与平面M 成α角，斜足为A ，动直线PB 与直线P A 成β（β＜α）角，交平面M 于点B ，动点B 的轨迹图形为（）A ．一条直线B ．一个圆C ．一个半圆D ．一个椭圆二、双空题 11．圆x 2+y 2﹣4x ﹣4y ﹣8＝0的圆心坐标为_____，半径为_____．12．已知椭圆22143x y +=的左、右焦点为F 1，F 2，则椭圆的离心率为_____，过F 2且垂直于长轴的直线与椭圆交于点A ，则|F 1A |＝_____．13．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的体积与球的体积之比为_____，圆柱的表面积与球的表面积之比为_____．14．已知三棱锥A ﹣BCD 的所有棱长均相等，E 为DC 的中点，若点P 为AC 中点，则直线PE 与平面BCD 所成角的正弦值为_____，若点Q 在棱AC 所在直线上运动，则直线QE 与平面BCD 所成角正弦值的最大值为_____．三、填空题15．已知圆（x +2）2+y 2＝5外点P （0，3），过P 点作直线l 与圆相切交于点Q ，则切线长|PQ |＝_____．16．已知F 1，F 2为椭圆()222210x y C a b a b+=：＞＞上的左、右焦点，点B 为上顶点，延长BF 2交椭圆于M 点，且△F 1BM 是腰长为3的等腰三角形，则a ＝_____．17．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 为DC 的中点，F 为线段EC （端点除外）上一动点，现将△AFD 沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ，则二面角D ﹣AF ﹣B 的平面角余弦值的取值范围是_____．四、解答题18．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，D ，E ，F 分别是棱BC ，CC 1，B 1C 1的中点．求证：（1）直线A 1F ∥平面ADE ；（2）平面ADE ⊥平面BCC 1B 1．19．已知关于x ，y 的方程x 2+y 2﹣4x +4y +m ＝0表示一个圆．（1）求实数m 的取值范围；（2）若m ＝4，过点P （0，2）的直线l 与圆相切，求出直线l 的方程．20．已知椭圆()222210x y C a b a b+=：＞＞的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为12，且点312P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在椭圆上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 过点M （0，﹣2）且与椭圆C 相交于A ，B 两点，且△OAB （O 为坐标原l 的方程．21．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，四边形ABCD 是直角梯形，且AD ∥BC ，AD ⊥CD ，∠ABC ＝60°，BC ＝2AD ＝2，PC ＝3，△P AB 是正三角形．（1）求证：AB ⊥PC ；（2）求二面角P ﹣CD ﹣B 的平面角的正切值．22．已知椭圆()22211x C y a a+=：＞．（1）若过点22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，的直线l 与椭圆C 恒有公共点，求实数a 的取值范围；（2）若存在以点B （0，2）为圆心的圆与椭圆C 有四个公共点，求实数a 的取值范围．参考答案1．A【解析】【分析】判断焦点在x 轴上，再求出c 即可．【详解】由椭圆方程知焦点在x轴，1c ==，焦点坐标为(1,0)，(1,0)-．故选：A ．【点睛】本题考查椭圆的几何性质，由椭圆标准方程确定焦点坐标，可由变量,x y 下面的分母的大小确定焦点所在的轴，然后计算c2．C【分析】由圆心O 到直线l 的距离与半径比较，即可得到结论．【详解】圆O ：（x ﹣1）2+y 2＝1，圆心坐标为O （1，0），半径为1r =． ∴圆心O 到直线x ﹣y +1＝0的距离为：1d r ===>=，∴直线与圆相离．故选：C ．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，也考查了点到直线距离公式的应用，属于基础题． 3．D【分析】先作出并证明直线与平面所成的角，然后计算【详解】∵11D C ⊥平面11BB C C ，∴11D BC ∠是直线D 1B 与平面BB 1C 1C 所成角，设正方体棱长为a ，在11Rt BD C ∆中，1BC =，1BD =，1111cos BC D BC BD ∠===故选：D ．【点睛】本题考查直线与平面所成的角，解题时需先作出直线与平面所成的角，为此要过直线上一点找（作）与平面垂直的直线，从而得直线在平面上的射影，得直线与平面所成的角，再在直角三角形中求解即得．4．D【分析】由三视图还原出原几何体，它是一个长方体半个圆柱的组合体，再计算体积．【详解】由三视图还原出原几何体，它是一个长方体半个圆柱的组合体，尺寸见三视图，体积为211121222V ππ=⨯⨯+⨯⨯⨯=+．故选：D ．【点睛】本题考查组合体的体积，考查三视图，解题关键是由三视图还原出原几何体，然后用体积公式计算各个部分的体积可得．5．C【分析】讨论两种情况，利用排除法可得结果.【详解】 a 和b 是异面直线时，选项A 、B 不成立，排除A 、B ；a 和b 平行时，选项D 不成立，排除D,故选C.【点睛】本题主要考查空间线面关系的判断，考查了空间想象能力以及排除法的应用，属于基础题. 6．B【分析】取BD 中点O ，连结,EO FO ，则//,//OF CD OE AB ，且2a OF OE ==，从而EFO ∠是异面直线EF 与CD 所成的角，由此能求出异面直线EF 与CD 所成的角.【详解】取BD 中点O ，连结,EO FO ，设正四面体的棱长为a ,则//,//OF CD OE AB ，且2a OF OE ==， EFO ∴∠是异面直线EF 与CD 所成的角，取CD 中点G ，连结,BG AG则,AG CD BG CD ⊥⊥，,BG AG G CD =∴⊥平面ABG ,AB ⊂平面ABG ,CD AB ∴⊥，OF OE ∴⊥，4EFO π∴∠=，∴异面直线EF 与CD 所成的角为4π,故选B . 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题.求异面直线所成的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.7．A【解析】试题分析：底面是正三角形，E 为中点AE BC ∴⊥，11BC B C 11AE B C ∴⊥,∴A 项正确考点：空间线面的位置关系点评：题目较简单学生易得分8．A【详解】 CA AB ⊥，BD AB ⊥0CA AB ∴→⋅→=，0BD AB→⋅→= CD BD AB CA→=→+→+→ 2222222CD CA AB BD CA AB CA BD AB BD →=→+→+→+→⋅→+→⋅→+→⋅→ 222648268cos12068=+++⨯⨯︒=CD ∴=故选A9．B【分析】设出直线AB 方程为y x n =-+，求出它与椭圆的交点,A B 的坐标（设而不求），由OM OA OB =+得M 点坐标，再由13OM k =得出,a b 的关系，然后求得离心率．【详解】设直线AB 方程为y x n =-+，设1122(,),(,)A x y B x y ，由22221x y a b y x n ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得： 22222222()20a b x a nx a n a b +-+-=，∴212222a n x x a b +=+，12122()y y n x x +=-+，设(,)M x y ，∵OAMB 是平行四边形，∴OM OA OB =+，∴1212,x x x y y y =+=+，∴12121212122()21OMy y n x x y n k x x x x x x x +-+====-+++22222113a b b a a +=-==， ∴2222223c a b a a -==，∴3c e a ==．故选：B ．【点睛】本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的一个等量关系．本题中已知两直线AB 和OM 的斜率，因此设出直线AB 方程，代入椭圆方程，消元后求出它们横坐标的和，由向量加法的平行四边形法则，M x A B x x =+，这样利用OM k 就可建立,a b 的等式，变形后可求得离心率e ．本题还考查学生的运算求解能力． 10．D 【分析】由圆锥曲线与圆锥面的关系可得．【详解】由于BPA β∠=，因此PB 运动后可形成以PA 为对称轴的圆锥侧面，而平面α与轴PA 不垂直不平行，又与母线不平行，因此平面α与此圆锥侧面的交线是椭圆．故选：D ．【点睛】本题考查圆锥曲线与圆锥侧面的关系，属于基础题． 11．（2，2） 4 【分析】配方后可得圆心坐标和半径．【详解】圆x 2+y 2﹣4x ﹣4y ﹣8＝0，即（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝16，故它的圆心坐标为（2，2）=4，故答案为（2,2）；4．【点睛】本题考查圆的一般方程，配方后化为标准方程可得圆心坐标与半径．12．12 52【分析】由椭圆标准方程得出2,a b ==，计算出c ，可得离心率，2F A 是通径的一半为2ba，再结合椭圆定义可得1F A ．【详解】椭圆22143x y +=，可得a ＝2，b =c ＝1，所以椭圆的离心率为：e 12c a ==．过F 2且垂直于长轴的直线与椭圆交于点A ，所以|AF 2|232b a ==，由椭圆的定义可知：|F 1A |＝2a ﹣|AF 2|＝43522-=．故答案为12；52．【点睛】本题考查椭圆的离心率和椭圆的定义，解题时由椭圆标准方程确定出,a b 再计算出c ，可求离心率，而求椭圆上的点到焦点的距离时，可以与椭圆定义联系起来． 13．32 32【分析】设球半径为R ，根据圆柱和球的体积公式、表面积公式直接计算．【详解】由题意，圆柱底面半径r ＝球的半径R ，圆柱的高h ＝2R ，则 V 球43=πR 3， V 柱＝πr 2h ＝π•R 2•2R ＝2πR 3．∴3323423V R V R ππ==柱球． S 球＝4πR 2，S 柱＝2πr 2+2πrh ＝2πR 2+2πR •2R ＝6πR 2．∴226342S R S R ππ==柱球．故答案为32，32【点睛】本题考查圆柱和球的体积公式、表面积公式，属于基础题．14．3 3【分析】//PE AD ，则直线PE 与平面BCD 所成角等于直线AD 与平面BCD 所成角，过A 作AO ⊥底面BCD ，垂足为O ，连结OD ，则∠ADO 是直线PE 与平面BCD 所成角，在ADO ∆中求解即得，ABCD 是一个正四面体，当Q 与A 重合时，直线QE 与平面BCD 所成角正弦值取最大值，在AEO ∆中计算可得最大值．【详解】连结BE ，AE ，过A 作AO ⊥底面BCD ，垂足为O ，连结OD ，则∠ADO 是直线PE 与平面BCD 所成角，设三棱锥A ﹣BCD 的所有棱长均相等，设棱长为2，则DO ＝BO 23=BE 3==，AO ==，∴sin ∠ADO 32AO AD ===∴直线PE 与平面BCD 所成角的正弦值为3．当Q 与A 重合时，直线QE 与平面BCD 所成角正弦值取最大值，此时直线QE 与平面BCD 所成角为∠AEO ，AE ==∴直线QE 与平面BCD 所成角正弦值的最大值为：sin ∠AEO3AOAE ===．【点睛】本题考查直线与平面所成的角，解题关键是作出直线与平面所成的角，为此需作一直线与平面垂直．找到直线在平面内的射影，从而得直线与平面所成角，然后在直角三角形中求解即得．15．【分析】求出P 点到圆心C 的距离PC【详解】圆（x +2）2+y 2＝5的圆心为C （﹣2，0），半径为r =且|PC |2＝（﹣2﹣0）2+（0﹣3）2＝13，所以切线长|PQ |===．故答案为：【点睛】本题考查直线与圆相切问题，考查求切线长，解题时由切线与过切点的半径垂直，用勾股定理计算切线长． 16．2 【分析】根据椭圆的定义，△F 1BM 的周长为4a ，再用另一方法求出周长即可求得a ．【详解】根据椭圆的定义，△F 1BM 的周长为4a ，所以4a ＝6=6+a ，所以3a ＝6，a ＝2，故答案为：2. 【点睛】本题考查椭圆的定义，考查椭圆的基本运算．属于基础题． 17．（14，1）．【分析】由于平面ABD ⊥平面ABC ，因此作DK ⊥AB ，则DK ⊥平面ABCF ，作DO ⊥AF ，则OK ⊥AF ，则∠DOK 为所求二面角的平面角，而cos ∠DOK OKOD=，设DF x =，(1,2)x ∈，然后计算,OK DO （可在矩形ABCD 中计算,OK DO ），把cos DOK ∠表示为x 的函数，求得其取值范围．【详解】作DK ⊥AB ，则DK ⊥平面ABCF ，作DO ⊥AF ，则OK ⊥AF ，则∠DOK 为所求二面角的平面角，cos ∠DOK OKOD=，设DF ＝x ，AF =AD 2＝AO •AF ，则AO=，OD =，由平面图形ABCD 知，∠DAF ＝90°﹣∠F AB ，故tan ∠F AB OK OA ==cot ∠DAF 1x=，所以OK 1x=OA ，所以cos ∠DOK 21OK OD x ==，x ∈（1，2），故答案为：（14，1）．【点睛】本题考查求二面角，解题时首先要作出二面角的平面角并证明，这可利用题设中的面面垂直的性质，然后引入变形DF x =，把所求二面角的余弦值表示为x 的函数，从而可得取值范围．18．(1)证明见解析；(2)证明见解析【分析】（1）证明1//A F AD 后可得线面平行；（2）证明AD ⊥平面BCC 1B 1后可证得面面垂直．【详解】证明：（1）连结DF ，∵D ，F 为中点，∴11DF BB AA ， ∴四边形ADF A 1为平行四边形，∴A 1F ∥AD ，∵AD ⊂平面ADE ，A 1F ⊄平面ADE ，∴A 1F ∥平面ADE ．（2）∵BB 1⊥平面ABC ，∴BB 1⊥AD ，∵BC ⊥AD （三线合一）， ∴AD ⊥平面BCC 1B 1，∵AD ⊂平面ADE ， ∴平面ADE ⊥平面BCC 1B 1．【点睛】本题考查线面平行和面面垂直的证明，掌握其判定定理是解题基础，证明时注意定理的条件要一一满足，缺一不可．19．(1) m ＜8．(2)324y x =-+和x ＝0．【分析】（1）可配方，方程左边是平方和形式，右边为正即可；（2）斜率不存在时，直线0x =是圆的切线，斜率存在时，设方程为2y kx =+，由圆心到切线距离等于半径可求得k ，得切线方程．【详解】（1）方程x 2+y 2﹣4x +4y +m ＝0可化为（x ﹣2）2+（y +2）2＝8﹣m ，令8﹣m ＞0，解得m ＜8；所以方程表示圆时m 的取值范围是m ＜8．（2）m ＝4时，圆的方程为（x ﹣2）2+（y +2）2＝4，则圆心为C （2，﹣2），半径为r ＝2，当直线l 的斜率k 存在时，设l 的方程为：y ＝kx +2，化为kx ﹣y +2＝0，则圆心C 到直线l 的距离为d ==2，解得k 34=-，所以直线l 的方程为y 34=-x +2；当直线l 的斜率k 不存在时，直线x ＝0也为圆C 的切线；综上，直线l 的方程为324y x =-+和x ＝0．【点睛】本题考查圆的方程，考查求圆的切线方程，在过某一点P 的切线方程时，如果P 点在圆外，可分类讨论，斜率不存在的直线（验证是否为切线）和斜率存在的直线（设斜率为k ，写出切线方程，由圆心到切线的距离等于半径求得k ）．20．(1)22 143x y +=．(2) 2y x =-【分析】（1）已知条件为22191412a b c a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩再结合222a c b -=可求得,a b ，得椭圆方程；（2）设直线l ：y ＝kx ﹣2，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线方程代入椭圆方程整理后可得1212,x x x x +，表示出12x x -，而1212OAB S OM x x ∆=-k ，得直线方程．【详解】（1）椭圆()222210x y C a b a b+=：＞＞的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为12，且点312P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在椭圆上，可得2222219142121a b a c b a c a b c⎧+=⎪=⎧⎪⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩=+⎪⎪⎩ ∴椭圆的标准方程为22143x y +=．（2）设直线l ：y ＝kx ﹣2，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），2222341234(2)122x y x kx y kx ⎧+=⇒+-=⎨=-⎩， ∴（4k 2+3）x 2﹣16kx +4＝0，1212221644343k x x x x k k +==++，，12243x x k -===+，1212OABSOM x x =⋅-==解得k =，直线l 的方程为2y x =-．【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题．求椭圆的标准方程，关键是找到关于,,a b c 的两个等式，即把题中两个条件用,,a b c 表示出来就可求解，而直线与椭圆相交问题，常常采用“设而不求”思想，即设直线方程为y kx b =+，设交点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，然后由直线方程和椭圆方程联立并消元后由韦达定理得1212,x x x x +，再把题中其他条件用交点坐标表示，同时代入1212,x x x x +，可求得参数,k b 的关系或值． 21．(1)证明见解析；(2)23．【分析】（1）要证线线垂直，先证线面垂直，由于PAB ∆是正三角形，取AB 中点E ，则有PE AB ⊥，从而只要再证CE AB ⊥即可证；（2）关键是作二面角的平面角，由（1）知平面PEC ⊥平面ABCD ，因此只要作作PO ⊥CE ，PH ⊥CD ，连结OH ，就可得∠PHO 为二面角P ﹣CD ﹣B 的平面角，接着就是计算出这个角即可．【详解】（1）证明：取AB 中点E ，连结PE ，CE ，易证△ABC 为正三角形，E 为AB 中点，∴CE ⊥AB ， ∵△ABP 为正三角形，E 为AB 中点，∴PE ⊥AB ， ∴AB ⊥平面PCE ， ∴AB ⊥PC ．（2）解：过P 点作PO ⊥CE ，PH ⊥CD ，连结OH ， ∵AB ⊥平面PCE ，∴平面ABCD ⊥平面PCE ， ∵PO ⊥CE ，∴PO ⊥平面ABCD ， ∵PH ⊥CD ，∴OH ⊥CD ，∴∠PHO 为二面角P ﹣CD ﹣B 的平面角，四边形ABCD 是直角梯形，且AD ∥BC ，AD ⊥CD ， ∠ABC ＝60°，BC ＝2AD ＝2，PC ＝3，△P AB 是正三角形．AB ＝2，P A ＝PB ＝2，PE ＝CE =PCE ＝30°，所以PO 32=，OC 2=，∠ECD ＝60°，OH 94==，三角形POH 是直角三角形，∠POH ＝90°， ∴23PO tan PHO OH ∠==． ∴二面角P ﹣CD ﹣B 的平面角的正切值：23．【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查求二面角．要证线线垂直，一般可先证线面垂直即用线面垂直的性质定理．而证线面垂直又要寻找线线垂直，这可从图形中发现并证明．求二面角关键是作二面角的平面角，一般要先找一个面的垂线，然后利用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角，再在三角形中求得这个角．22．(1) a ≥(2) a 【分析】（1）点P 在椭圆上或椭圆内，解不等式2222(12a +≤即得；（2）要使得圆和椭圆有四个公共点，利用对称性，考虑到B 在y 轴上，只要在椭圆的左半边（或右半边）存在不同两点到B 点的距离相等，设动点Q （x 0，y 0）在椭圆上，BQ ===令()()222000144f y a yy a =--++，只要f （y 0）在y 0∈（﹣1，1）上不单调即可．【详解】（1）要使得直线l 与椭圆C 恒有公共点，则点22P ⎛ ⎝⎭，要在椭圆上或者椭圆内，∴2222(12a +≤，∴a ≥ （2）法一：要使得圆和椭圆有四个公共点，利用对称性，所以在椭圆的左半边（或右半边）存在不同两点到B 点的距离相等，设动点Q （x 0，y 0）在椭圆上，BQ ===令()()222000144f y a yy a =--++，使得f （y 0）在y 0∈（﹣1，1）上不单调，∴22111a--＜＜，∴a法二：设圆B ：x 2+（y ﹣2）2＝r 2，222222222222(2)(2)x y r a a y y r x a y a ⎧+-=⇒-+-=⎨+=⎩，整理得：（1﹣a 2）y 2﹣4y +a 2+4﹣r 2＝0，所以存在r ，使得方程（1﹣a 2）y 2﹣4y +a 2+4﹣r 2＝0在（﹣1，1）上有两解，令函数f （y ）＝（1﹣a 2）y 2﹣4y +a 2+4﹣r 2，对称轴221y a =-，只需22111a--＜＜即可，∴a【点睛】本题考查点与椭圆的位置关系．圆与椭圆的公共点问题．点00(,)P x y ，椭圆方程22221x y a b+=，点在椭圆内2200221x y a b ⇔+<，点在椭圆上2200221x y a b ⇔+=，点在椭圆外2200221x y a b⇔+>．圆与椭圆都是轴对称图形，当圆心在椭圆的轴上时，它们的交点个数要利用其对称性进行变换说法，如本题圆与椭圆有4个公共点，则圆与椭圆在椭圆的左半边（或右半边）有两个公共点，即椭圆左半边（或右半边）有两点到圆心的距离相等．如果用方程的思想，则化为关于y 的方程在椭圆的范围内有两不等实解．。

浙江省9+1高中联盟期中联考高二数学试卷参考答案

2024学年第一学期浙江省9+1高中联盟高二年级期中考试数学参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。

题号12345678答案B C A D C A B B二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分。

每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分。

题号91011答案BC ACD ABD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。

1213．9或7-=，解得18b-=，故9b=或者7-.14．251π25【解析】以D为坐标原点，DAuuu r，DCuuu r，1DDuuuu r为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系D xyz-，设四面体1AB EF的外接球的球心为(,,)O x y z，半径为R.因为(2,0,0)A，(1,2,0)E，(0,1,2)F，1(2,2,2)B，所以2222222222222222(2),(1)(2),(2)(2)(2),(1)(2),x y z Rx y z Rx y z Rx y z Rì-++=ïï-+-+=ïíï-+-+-=ïï+-+-=î解得13911(,,)101010O，2251100R=，故四面体1AB EF的外接球的表面积为251π25.四、解答题：本题共5小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．解：（1）由题意可知，2223cos22ac bBac+-==，…………………………2分故π6B=，…………………………3分故cos C B==…………………………4分所以π4C =，7π12A =.…………………………6分（2）法一：如图，2AD =，由（1）可知π6B =，π4C =，则4c =，b =，…………………………8分故1()2AE AB AC =+uuu r uuu r uuu r ，…………………………10分所以，22215π126(2cos (168841244AE b c bc -=++=++=-uuu r ，所以328-=AE .…………………………13分法二：如图，2AD =，由（1）可知π6B =，π4C =，则BD =，2CD =，…………………………8分故2a BD CD =+=，1212BCDE DC =-=+-=，………………10分所以，AE ===.…………………………13分解：（1）设点(0,4)M 关于直线l 的对称点为(,)N a b ，则41,024032222b a b a -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪=⋅+⎪⎩解得2,3.a b =⎧⎨=⎩…………………………3分故圆222:(2)(3)(6)N x y r -+-=-，因为圆M 与圆N 交于A ,B 两点，所以max{62,26}6r r MN r r --<=<+-，…………………………5分解得656522r +<<．…………………………7分（2）法一：由圆的对称性可知，点A ，B 在以点M ，N 为焦点的椭圆上，其中椭圆的长轴长为6，焦距为MN =…………………………9分当3r =时，点A ，B 恰好为椭圆的短轴端点，…………………………11分故点A 到直线MN的距离为椭圆的短半轴长2.…………………………13分所以，MNA △的面积为1224=．…………………………15分法二：当3r =时，圆22:(4)9M x y +-=，22:(2)(3)9N x y -+-=，解得1035()1010A +或1035(1010A -，…………………………11分故有MA =uuu r ，(2,1)MN =-uuur ，…………………………13分所以5(1)2104MNA S -+=--=△，…………………………15分法三：当3r =时，圆22:(4)9M x y +-=，22:(2)(3)9N xy -+-=，故MNA △是以A 为顶点的等腰三角形，由（1）可知MN ，3AM AN ==，…………………………11分所以MN=，…………………………13分所以，MNA △的面积为12=．…………………………15分17．（15分）（1）因为PA ⊥面ABCD ，所以AD P A ⊥，AC P A ⊥，由32,3==PD AD ,得3=P A ；…………………………2分在Rt PAC △中，3AC =，所以△ACD 为正三角形,…………………………3分过C 作AD 的垂线，垂足为H ，有AB CH AB CH ==323,//，所以四边形ABCH 为矩形.…………………………5分故AD BC //，所以//BC 面PAD .…………………………7分（2）以A 为原点，AB ,AD ,AP 分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则),0,3,0(),0,23,233(),0,0,233(),3,0,0(),0,0,0(D C B P A …………………………9分设平面PBC ,PDC 的法向量分别为),,(),,,(c b a n z y x m ==.),0,23,233(),0,23,0(),3,23,233(-==-=DC BC PC ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00BC m PC m 得：)3,0,2(=m ；…………………………11分⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00DC n PC n 得：)3,3,1(=n ；…………………………13分设平面PBC 与平面PDC 的夹角大小为θ，则1311131392||||cos =⋅+==n m n m θ.…………………………14分故平面PBC 与平面PDC 的夹角的余弦值为1311.…………………………15分18．（1）由线段的垂直平分线的性质可知，QP QB =，故8QA QB QA QP AP AB +=+==>，…………………………2分所以点Q 在以点A ，B 为焦点的椭圆上，其中椭圆的长轴长为8，焦距为4AB =，短轴长，…………………………4分故点Q 的轨迹方程为22:11612x y C +=.…………………………5分(2)设(28cos ,8sin )P θθ-+，则有:(2cos 1)2sin 4cos 80MN l x y θθθ-++-=，…………………………6分将MN l 代入椭圆22:11612x y C +=消去y 整理得.222(cos 2)8(2cos 1)(cos 2)16(2cos 1)0x x θθθθ-+--+-=，…………………………8分故222264(2cos 1)(cos 2)416(cos 2)(2cos 1)0θθθθ∆=---⨯--=，【或者2[(cos 2)4(2cos 1)]0x θθ-+-=，】…………………………9分所以，直线MN 是点Q 轨迹的切线；…………………………10分（3）由（2）可知，点P 到直线MN 的距离为d =，………………………12分点A 到直线MN 的距离为1d =，故线段MN ===，…………………………15分所以PMN △的面积为1122S d MN =⨯=⨯=≤=当(10,0)P -时，PMN △的面积的最大值为…………………………17分19．解：（1）如图，过N 点作MA 的平行线2NA ，过点P 作MN 的平行线交2NA 于点2P ，则有2P PQ ∠是异面直线MN 与PQ 所成的角.…………………………2分因为MN MA ⊥，MN NB ⊥，所以22PP NA ⊥，2PP NB ⊥，所以MN ⊥面2NBA ，所以22PP P Q ⊥，因为22PP MN ==，4PQ =，所以21cos 2P PQ ∠=，所以，2π3P PQ ∠=，所以，异面直线MN 与PQ 所成的角为π3.…………………………5分（2）如图，过MN 的中点O 分别作MA ，NB 的平行线1OA ，1OB ，以O 为坐标原点，11A OB ∠的外角平分线、内角平分线分别为x 轴，y 轴，过点O 并且垂直于平面11OA B 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -.…………………………6分由题意可知，11π3A OB ∠=，设13(,1)22P a -，13(,1)22Q b -，从而3()(,0)44b a b a R -+，且22()3()4444b a b a PQ +-=++=.所以22()3()48b a b a ++-=.…………………………8分思路一：因为4R b a x -=，3()4R b a y +=，0R z =，所以4R b a x -=，43R b a +=，所以221648483y x +=，即2219y x +=.…………………………9分所以点C 的轨迹是椭圆（长轴长为6，短轴长为2），其轨迹方程为2219y x +=.点(0,0,1)M ，所以[2,10]MR ∈.…………………………10分思路二：由111122MR MO OP OQ =++uuu r uuu r uuu r uuur，可得222221111()1[()3()]10()4162MR a b ab a b a b b a +++=+-++=--，………………9分因为20()16b a ≤-≤，所以[2,10]MR ∈.…………………………10分（3）由题意可知，11π3sin 23236MNPQ V a b ab =⨯⨯⨯⨯⨯=四面体，…………………………12分思路一：不妨设43b a θ+=，4cos b a θ-=，则2cos b θθ=+，2cos a θθ=-，故22212sin 4cos 16sin 416412ab θθθ=-=-≤-=，…………………………15分从而，3126MNPQ V ≤⨯=四面体a b ==.…………………………17分思路二：因为2221[()()]12()124ab b a b a b a =+--=--≤，…………………………15分从而，126MNPQ V ≤⨯=四面体a b ==.…………………………17分。

浙江省9+1高中联盟2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题含答案

2020学年第一学期9+1高中联盟期中考试高二年级数学学科试题第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线33y x =-+的倾斜角为（）A ． 30°B ． 60°C ． 120°D ．150°2. 已知直线1:10l mx y +-=，()2:2310l m x my ++-=，m R ∈，则“2m =-”是“12l l ⊥”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3.椭圆2241x y +=的离心率为（）A ．34 B ．32 C ． 23D ． 224. 在空间直角坐标系中，已知()()1,0,2,3,2,4M N --，则MN 的中点Q 关于平面xOy 的对称点坐标是（）A ．()1,1,1-B ．()1,1,1--C . ()1,1,1--D ．()1,1,1 5. 已知m 为空间的一条直线，,αβ为两个不同的平面，则下列说法正确的是（） A ．若//,//m ααβ，则//m β B ．若,m αβα⊥⊥，则//m β C . 若//,m ααβ⊥，则m β⊥ D ．若,//m ααβ⊥，则m β⊥ 6. 方程2x y +=所表示的曲线大致形状为（）A ．B ．C .D ．7. 已知点F 为椭圆221:+184x y C =的右焦点，点P 为椭圆1C 与圆()222:218C x y ++=的一个交点，则PF =（）A ． 1B ．2C . 2D ．22 8. 设有一组圆()()()224*:1k C x y k k k N -+-=∈，给出下列四个命题：①存在k ，使圆与x 轴相切 ②存在一条直线与所有的圆均相交 ③存在一条直线与所有的圆均不相交 ④所有的圆均不经过原点其中正确的命题序号是（）A ．①②③B ．②③④C .①②④D ．①③④9. 若三棱锥P ABC -满足，,,PA BC PB AC PC AB ===，则该三棱锥可能是（） A ．2,3,4AB BC CA === B ．3,4,5AB BC CA === C . 4,5,6AB BC CA === D ．以上选项都不可能10. 如图，在棱长为1的正方体中1111ABCD A B C D -，若点,M N 分别为线段1BD ，1CB 上的动点，点P 为底面ABCD 上的动点，则MN MP +的最小值为（）A ．23B ．2C 31+D ．1第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.已知直线():10l mx y m m R ++-=∈过定点P ，则点P 的坐标是___________，点P 关于直线20x y +-=的对称点Q 的坐标是__________.12.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的圆弧为14圆周，则该几何体的体积为__________，表面积为___________.13.已知(),P m n 是椭圆2214x y +=上的动点，则23m n +的最大值是，点P 到直线:2320l x y -+=的最小距离是___________.14.如图，在三棱锥P ABC -中，点B 在以AC 为直径的圆上运动，PA ⊥平面ABC ，AD PB ⊥，垂足为D ，DE PC ⊥，垂足为E ，若23,2PA AC ==，则PEEC= ，三棱锥P ADE -体积的最大值是__________.15.经过点()2,1M -作圆22:5O x y +=的切线，则切线的方程为．16.已知正三棱柱111ABC A B C -的棱长均为2，则异面直线AB 与1A C 所成角的余弦值为．17.已知O 为坐标原点，12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点，A 为椭圆的右顶点，P为C 上一点，且2PF x ⊥轴，过点A 的直线l 与线段2PF 交于点M ，与y 轴交于点N ，若直线1F M 与y 轴交于点Q ，且3ON OQ =，则C 的离心率为___________.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18. 已知m R ∈，命题:p 方程22119x y m m+=+-表示焦点在y 轴上的椭圆；命题:q 函数()2f x x x m =-+在[]2,2-上有零点.（1）若命题p 是真命题，求实数的取值范围；（2）若命题,p q 中有且只有一个真命题，求实数m 的取值范围. 19. 如图，三棱柱111ABC A B C -的棱长均相等，113CC B π∠=，平面ABC ⊥平面11BCC B ，,E F 分别为棱11A B 、BC 的中点.（1）求证：//BE 平面11A FC ；（2）求二面角111F AC B --的大小.20. 如图，已知三棱锥A BCD -中，点M 在BD 上，2BAD BDC π∠=∠=，BM MD DC ==，且ACD∆为正三角形.（1）证明：CM AD ⊥；（2）求直线CM 与平面ACD 所成角的正弦值.21.如图，已知圆()()221:112C x y -++=，圆()()222:215C x y +++=，过原点O 的直线l 与圆1C ，2C 的交点依次是,,P O Q .（1）若2OQ OP =，求直线l 的方程；（2）若线段PQ 的中点为M ，求点M 的轨迹方程.22.如图，已知椭圆22:143x y Γ+=，斜率为k 的直线l 与椭圆Γ交于,A B 两点，过线段AB 的中点M 作AB 的垂线交y 轴于点C .（1）设直线,OA OB 的斜率分别为12,k k ，若1k =，直线l 经过椭圆Γ的左焦点，求1211k k +的值；（2）若23AB =，且23,14k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求OMC ∆面积的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:CABDD 6-10:DBCCA 二、填空题11. ()()1,1,1,3- 12. 26π+，()5144π++13. 5，105 14. 3，3415. 250x y -+= 16. 24 17. 13三、解答题18.解：（1）命题:91014p m m m ->+>⇒-<<，即实数m 的取值范围为()1,4-；（2）命题p 真：[]2,2x ∈-时，216,4m x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，p 真q 假时1,44m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，p 假q 真时[]6,1m ∈--，∴[]16,1,44m ⎛⎫∈--⋃ ⎪⎝⎭. 19.证明：（1）取11A C 的中点G ，连接,EG FG ，于是111//2EG B C ，又111//2BF B C ，所以//BF EG ，所以四边形BFGE 是平行四边形，所以//BE FG ，而BE ⊄面11A FC ，FG ⊆面11A FC ，所以直线//BE 平面11A FC ；（2）连接11,FB B G ，∵ 四边形11BCC B 为菱形，01160CC B ∠=，F 为BC 的中点，∴111FB B C ⊥，∵平面ABC ⊥平面11BCC B ，∴1FB ⊥平面111A B C ，又111B G AC ⊥，∴11FG A C ⊥， ∴1FGB ∠就是二面角11F A C B --的平面角，设棱长为2，则113FB BG ==，∴14FGB π∠=，∴二面角11F A C B --的大小为4π. 20.解：（1）取AD 中点P ，连结,MP CP ，由条件CP AD ⊥，又由,//2BAD MP AB π∠=得MP AD ⊥，∴AD ⊥面CMP ，又∵CM ⊂面MPC ，∴CM AD ⊥；（2）过M 作MH CP ⊥于点H ，由（1）可知，AD MH ⊥，∴MH ⊥面ACD ， ∴MCP ∠即为直线CM 与面ACD 所成的角，不妨设1CD =，则332,CM MP CP ===， ∴262cos 3MCP ∠==∴sin 3MCP ∠=所以直线CM 与平面ACD21.解：（1）设直线l 的方程为：y kx =，12,C C 到直线l 的距离为12,d d .由条件=221243d d -=，所以2243⨯-=，整理，得240k k -=，解得0k =或4k =，所以直线l 的方程为：0y =或4y x =；（2）设:l y kx =；则由()()22215y kx x y =⎧⎪⎨+++=⎪⎩消去y ，得()()221240k x k x +++=，解得122240,1k x x k+==-+.其中2k ≠-，所以()222424,11k k k Q k k +⎛⎫+-- ⎪++⎝⎭，由()()22112y kx x y =⎧⎪⎨-++=⎪⎩消去y ，得()()221220k x k x ++-=，解得342220,1kx x k -==+，其中1k ≠，所以()222222,11k k k P k k -⎛⎫- ⎪++⎝⎭，设(),M x y ，则()22211211k x k k k y k +⎧=-⎪+⎪⎨+⎪=-⎪+⎩消去k ，得：2220x y x y +++=，（挖去点33,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭和36,55⎛⎫- ⎪⎝⎭）. 22.解：（1）由已知可得直线l 的方程为：1y x =+，设()()1122,,,A x y B x y ，由221143y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：27880x x +-=，且121288,77x x x x +=-=-，所以12121212121212121221181113x x x x x x x x k k y y x x x x x x +++=+=+==+++++；（2）设直线l 的方程为：y kx m =+，()()1122,,,A x y B x y ，由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得：()2224384120k x kmx m +++-=，由韦达定理可知21212228412,4343km m x x x x k k -+=-=++，所以2443M kmx k =-+，线段AB 的中垂线方程为：221434343km m y x k k k ⎛⎫=-++ ⎪++⎝⎭，整理得2143my x k m =--+，所以243C my k =-+.又由()222221212228412414234343km m AB x x x x k k k -⎛⎫=+-=+--= ⎪++⎝⎭，整理可得：2224343k k +-=+，即()222224314341k m k k +=+-+①，所以()22222411222434343OMD M km m k S OC x m k k k ∆===+++将①代入整理可得：2211112231432124OMC kk S k k k k k k∆=-=-++++，因为23,14k⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2k ⎤∈⎥⎣⎦，而我们知道，1112,3124y y k k kk==-++都是关于k 在2⎤⎥⎣⎦上的单调递减函数，所以当1k =时，OMC S ∆有最小值128，当k =时，OMC S ∆所以1,2842OMC S ∆⎡∈⎢⎣⎦.。

浙江省9+1高中联盟2023-2024学年高三上学期期中数学试题含解析

2023学年第一学期浙江省9＋1高中联盟高三年级期中考试数学（答案在最后）考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷；4.参加联批学校的学生可关注“启望教育”公众号查询个人成绩分析.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}ln 0A x x =≤，{}0B x x =≤，A B = （）A.(],0-∞ B.(],1-∞ C.[)1,+∞ D.∅【答案】D 【解析】【分析】先根据函数ln y x =的定义域及函数的单调性得{}{}ln 001A x x x x =≤=<≤；再根据集合的交集运算即可得出答案.【详解】因为函数ln y x =的定义域为()0,∞+，且在()0,∞+上单调递增，ln10=所以{}{}ln 001A x x x x =≤=<≤.又因为{}0B x x =≤所以A B ⋂=∅.故选：D.2.已知复数12i =-z ，则1z的虚部是（）A .2i 3-B.23-C.2i 5D.25【答案】D 【解析】【分析】直接使用复数的运算法则计算即可.【详解】12i =- z ，1112i 12i 12i (12i)(12i)55+∴===+--+z 故1z 的虚部是25故选：D3.白居易的《别毡帐火炉》写道：“赖有青毡帐，风前自张设.”古代北方游牧民族以毡帐为居室，如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与圆柱的组合体，圆锥的高为4m ，圆柱的高为3m ，底面圆的直径为6m ，则该毛帐的侧面积（单位2m ）是（）A.39πB.32πC.33πD.45π【答案】C 【解析】【分析】分别求解出圆锥和圆柱的侧面积，然后相加即为结果.【详解】圆锥的侧面积：6152π⨯=π2m ，圆柱的侧面积：623182⨯π⨯⨯=π2m ，所以毛帐的侧面积为151833π+π=π2m ，故选：C.4.已知n S 是公差为d （0d ≠）的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，设甲：数列{}n S 是递增数列，乙：对任意*N n ∈，均有0n S >，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用定义法直接判断【详解】充分性：因为数列{}n S 是递增数列，取数列为：1-，1，3，5 符合数列{}n a 为无穷等差数列，且{}n S 是递增数列，但110S =-<，故充分性不满足；必要性：因为对于任意的*N n ∈，均有0n S >，所以得110S a =>，又因为数列{}n a 为无穷等差数列，所以公差大于零，所以可得数列{}n S 为递增数列，故必要性满足.综上所述：甲是乙的必要不充分条件，故B 项正确.故选：B.5.已知抛物线C ：24y x =（0y >）的焦点为F ，点A 为抛物线上一点，5AF =，若2FB BA =，则点B 的纵坐标是（）A.43 B.83C.163D.323【答案】A 【解析】【分析】根据题意，由抛物线的焦半径公式可得A 的坐标，再由2FB BA =，列出方程，即可得到结果.【详解】因为5AF =，由抛物线的焦半径公式可得2A pAF x =+，即4A x =，且0y >所以()4,4A ，设()00,B x y ，则()()00001,,4,4FB x y FA x y =-=--，又2FB BA = ，则()000021424x x y y ⎧-=-⎨=-⎩，解得00243x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以点B 的纵坐标是43.故选：A6.今年8月份贵州村篮球总决赛期间，在某场比赛的三个地点需要志愿者服务，现有甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需1名志愿者，每人至多在一个地点服务，若甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有（）A.18B.24C.32D.64【答案】A 【解析】【分析】根据安排的人中有没有甲进行分类讨论，由此求得正确答案.【详解】若安排的人中没有甲，安排方法有33A 6=种，若安排的人中有甲，则先安排甲，然后再选两人来安排，则安排的方法有1223A A 12⨯=种，所以总的方法数有61218+=种.故选：A7.函数()πsin 3f x A x b ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（0A >，0ω>，b ∈R ）的图象向左平移π3个单位长度后得到函数()g x 的图象，()g x 与()f x 的图象关于y 轴对称，则ω可能的取值为（）A.3 B.4C.5D.6【答案】C 【解析】【分析】先根据图象平移得到函数()g x 的解析式；再根据两函数图象关于y 轴对称及诱导公式得到关于ω的等式即可得出答案.【详解】由题意可得函数()ππππsin sin 3333g x A x b A x b ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.因为()g x 与()f x 的图象关于y 轴对称，所以()()g x f x =-，即πππsin sin 333A x b A x b ωωω⎛⎫⎛⎫+-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即πππsin sin 333x x ωωω⎛⎫⎛⎫+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由诱导公式可得：()πππsin sin sin 21πZ 333x x x k k ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-+=+++∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()πππsin sin 21πZ 333x x k k ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=+++∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即()11πππ21π,Z 333x x k k ωωω+-=+++∈，或22πππ2π,Z 333x x k k ωωω⎛⎫⎛⎫+-++=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为x ∈R所以解得：()112321π,Z k k ω=++∈故当10k =时，5ω=.故选：C.8.已知函数()f x 的定义域为R +，对于任意的x ，R y +∈，都有()()()1f x f y f xy +=+，当1x >时，都有()1f x >，且()22f =，当[]1,16x ∈时，则()f x 的最大值是（）A.5B.6C.8D.12【答案】A 【解析】【分析】找到函数值特殊的点，得到部分特殊函数值，利用给定的抽象函数定义求出端点值后，判断函数单调性即可求出最大值即可.【详解】令1x y ==，则()11=f ，且()()()2241+=+f f f 故()34=f ，()()()14164+=+f f f ，故()516=f 且令1x x =，21=y x x ，可得()()21211⎛⎫⎪⎝+=+⎭x f x f f x x 设21x x >，则211>x x ，()()212110⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭x f x f x f x 则()()12f x f x <，故()f x 在R +上单调递增()f x \的最大值是()516=f 故选：A【点睛】本题需要考生先求出特殊值，后判断抽象函数的单调性，再求出端点值即可.判断抽象函数的单调性时需要记忆或推理常见的抽象函数模型.二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的或不选的得0分）9.已知平面向量()1,0a = ，()2,2b =，下列叙述正确的是（）A.a 与b的夹角为45︒B.a 与b的夹角为135︒C.a b -=D.b 在a 上的投影向量为2a【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意，由平面向量的坐标运算，代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】因为()1,0a = ，()2,2b =，则cos ,2a b a b a b ⋅===⋅，且0,180a b ︒︒≤≤，所以,45a b =︒ ，故A 正确，B 错误；()1,2a b -=-- ，则a b -== C 正确；b 在a上的投影向量为cos ,22a b a b a a⋅== ，故D 正确；故选：ACD10.已知函数()323f x x x =-，满足()f x t =有三个不同的实数根1x ，2x ，3x ，则（）A.实数t 的取值范围是40t -<<B.()f x 关于点()1,2-中心对称C.()()()13012822f f f f f ⎛⎫⎛⎫++++=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.123x x x ++的值与t 有关【答案】AB 【解析】【分析】作数函数()f x 的图像即可判断A ；判断()()114f x f x -++=-是否成立可判断B ；根据函数()f x 关于点()1,2-中心对称计算可判断C ；根据题意建立等式()()()()123f x t x x x x x x -=---化简即可判断D .【详解】对于A ，因为()236f x x x '=-，所以当()0f x ¢>时，即0x <或2x >，()f x 单调递增，当()0f x '<时，即02x <<，()f x 单调递减，且()00f =，()24f =-，故函数()f x 如图所示，所以满足()f x t =有三个不同的实数根实数t 的取值范围是40t -<<，故A 正确；对于B，因为()()()()33221113(1)13(1)4f x f x x x x x -++=---++-+=-，所以函数()f x 关于点()1,2-中心对称，故B 正确对于C，因为函数()f x 关于点()1,2-中心对称，所以()()024f f +=-，13422f f ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()()130121022f f f f f ⎛⎫⎛⎫++++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；因为1x ，2x ，3x 是()f x t =有三个不同的实数根，所以()()()()123f x t x x x x x x -=---，化简的：()()3232123121323123300x x t x x x x x x x x x x x x x x x --=-+++++-所以1233x x x ++=，故D 错误.故选：AB .【点睛】求一元n 次函数解析式，可以根据一元n 次方程的根建立等式求解.11.四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，且PA PD AD ===，4AB =，Q 为线段PB 上一动点（不包含端点），则（）A.存在点Q 使得//CQ 平面PADB.存在点Q 使得CQ BD⊥C.四棱锥P ABCD -外接球的表面积为32πD.Q 为PB 中点时，过点C ，D ，Q 作截面交PA 于点E ，则四棱锥B CDEQ -的体积为【答案】BCD 【解析】【分析】由面面垂直的性质可证得OP ⊥平面ABCD ，建立空间直角坐标系，设出点Q 坐标，运用空间向量坐标法计算0CQ n ⋅= 求出λ可判断A 项，运用空间向量坐标法计算0CQ BD ⋅=求出λ可判断B 项，画出外接球的球心，进而可求得其半径，结合球的表面积公式计算即可判断C 项，由点、线、面关系证得平面CDQ平面PAB EQ =，由线面平行判定定理可证得//AB 平面CDEQ ，运用等体积法3333324B CDEQ B DEQ A DEQ Q ADE B ADE B PAD V V V V V V ------=====求解即可判断D 项.【详解】取AD 中点O ，连接OP ，因为PA PD =，所以OP AD ⊥，又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，OP ⊂面PAD ，所以OP ⊥平面ABCD ，过O 作//Oy AB ，所以以O 为坐标原点，分别以OA 、Oy 、OP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，因为PA PD AD ===，4AB =，则A ，4,0)B ，(4,0)C ，(D ，(0,0,3)P ，所以(4,0)BD =-- ，4,3)PB =-，设PQ PB λ=（01λ<<），则,4,33)Q λλ-（01λ<<），所以44,33)CQ λλ=+--，对于A 项，又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，AB AD ⊥，AB ⊂面ABCD ，所以AB ⊥平面PAD ，所以平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)n =，假设//CQ 平面PAD ，则440CQ n λ⋅=-=，解得1λ=，又因为01λ<<，所以不存在点Q 使得//CQ 平面PAD ，故A 项错误；对于B 项，假设因为CQ BD ⊥，则(4)(44)0CQ BD λ⋅=-++-⨯-=，解得511λ=，所以存在点Q 使得CQ BD ⊥，故B 项正确；对于C 项，连接AC 、BD 相交于点1O ，取等边三角形PAD 的外心2O ，过1O 作1//O M PO ，过2O 作21//O M OO ，连接1OO ，如图所示，则1O M ⊥平面ABCD ，2O M ⊥平面PAD ，所以M 为四棱锥P ABCD -的外接球的球心，又12113O M OO PO ===，112O A AC ====所以r MA ===所以四棱锥P ABCD -外接球的表面积为224π4π32πr =⨯=，故C 项正确；对于D 项，连接EQ 、ED 、EB ，如图所示，因为平面CDQPA E =，PA ⊂平面PAB ，所以点E 在平面CDQ 与平面PAB 的交线处，又Q ∈平面CDQ 且Q ∈平面PAB ，所以点Q 在平面CDQ 与平面PAB 的交线处，所以平面CDQ平面PAB EQ =，因为//CD AB ，CD ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以//CD 平面PAB ，又因为CD ⊂平面CDQ ，平面CDQ 平面PAB EQ =，所以//CD EQ ，又//CD AB ，所以//AB EQ ，又因为Q 为PB 中点，所以E 为PA 的中点，12EQ CD =，又因为//AB EQ ，AB ⊄平面CDEQ ，EQ ⊂平面CDEQ ，所以//AB 平面CDEQ ，所以点B 到平面CDEQ 距离等于点A 到平面CDEQ 距离，所以33313332443B CDEQ B DEQ A DEQ Q ADE B ADE B PAD PAD V V V V V V S AB ------======⨯⨯△311π311sin 443234322PA AD AB =⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=D 项正确.故选：BCD.12.人教A 版选择性必修第一册在椭圆章节的最后《用信息技术探究点的轨迹：椭圆》中探究得出椭圆22221x y a b +=（0a b >>）上动点P 到左焦点(),0F c -的距离和动点P 到直线2a x c =-的距离之比是常数c a .已知椭圆C ：22143x y +=，F 为左焦点，直线l ：4x =-与x 轴相交于点M ，过F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点（点A 在x 轴上方），分别过点A ，B 向l 作垂线，垂足为1A ，1B ，则（）A.12AA AF= B.MA BF MB AF ⋅=⋅C.直线MA 与椭圆相切时，AB 4= D.sin 2tan AFM AMF∠=∠【答案】ABD 【解析】【分析】对A ：由1AF cAA a=判断；对D ：作AN x ⊥轴于N ，表示出sin ,tan AFM AMF ∠∠，根据A 结论判断；对B ：利用D 结论可判断AMF BMF ∠=∠，由角平分线性质得结论；对C ：根据D 结论可判断当且仅当AB x ⊥时MA 与椭圆相切即可.【详解】对A ：由条件知：112AF c AA a ==，故12AA AF =，故A 正确；对D ：作AN x ⊥轴于N ，则sin sin A y AFM AFN AF ∠=∠=，1tan 2A A ANy y AMF MN AA AF∠===，所以sin 2tan AFM AMF ∠=∠，故D 正确；对B ：同D 知：sin 2tan BFM BMF ∠=∠，因为sin sin BFM AFM ∠=∠，所以tan tan AMF BMF ∠=∠，所以AMF BMF ∠=∠，即MF 平分AMB ∠，由角平分线性质知MA AFMB BF =即MA BF MB AF ⋅=⋅，故B 正确；对C ：下面证明当且仅当AB x ⊥时MA 与椭圆相切，因为sin 2tan AFM AMF ∠=∠，所以1tan 2AMF ∠=时当且仅当90AFM ∠=o ，此时点A 是唯一的，故MA 与椭圆相切当1tan 2AMF ∠≠时，sin 1AFM ∠≠，满足条件的AFM ∠有两个，即点A 有两个，此时MA 与椭圆相交，故当且仅当AB x ⊥时MA 与椭圆相切，此时3AB =，故C 错误.故选：ABD【点睛】关键点点睛：此题关键是证明sin 2tan AFM AMF ∠=∠成立，从而再证出其它选项，在椭圆中一般结论是sin tan e AFM AMF ⋅∠=∠，其中e 是离心率.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上）13.413x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中常数项为______.（用数字作答）【答案】54【解析】【分析】根据4132x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式可求出结果.【详解】4132x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()()4k 4k 421441C 3=C 13k k k k k k T x x x ---+⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，令420k -=，得2k =，所以4132x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开始得常数项为()2224C 1354-=.故答案为：54.14.已知圆M ：()()22324x y -+-=，过点()5,0P 的直线l 与圆M 相交于A ，B 两点，当ABM 面积最大时，直线l 的斜率为______.（写出一个即可）【答案】2-+2-（答案不唯一）【解析】【分析】根据面积最大时求出圆心到直线距离，设出直线方程，求出斜率即可.【详解】已知圆的半径2r =，如图，直线l 与圆M 相交于,A B 两点，ABM 面积1sin 2sin 2ABM S MA MB AMB AMB =⋅∠=∠ ，当ABM 面积最大时sin 1AMB ∠=即πsin 2AMB ∠=，此时圆心M 到直线l的距离2d r ==，设直线l 的斜率为k ，则直线方程为()5y k x =-，则2410d k k ==⇒++=，解得：2k =--2k =-+.故答案为：2-2-（答案不唯一）15.已知2e e 0ax x -≥在0x >时恒成立，则实数a 的最小值为______.（注：e 为自然对数的底数）【答案】e【解析】【分析】转化问题为2ln x a x +≥在0x >时恒成立，只需max 2ln x a x +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，设()2ln x f x x+=，0x >，结合导数分析其单调性，进而求解即可.【详解】由2e e 0ax x -≥在0x >时恒成立，即2ln e e ax x +≥在0x >时恒成立，即2ln x a x+≥在0x >时恒成立，设()2ln x f x x+=，0x >，则()()2212ln 1ln x x x x f x x x ⋅-+--'==，令()0f x ¢>，即10e x <<；令()0f x '<，即1ex >，所以函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以当1e x =时，()max 12ln e e 1e f x +==，所以e a ≥，即实数a 的最小值为e .故答案为：e .16.已知数列{}n a 的首项为1，且21πcos 2n n n a a n ++=⋅（*N n ∈），则40a 的值是______.【答案】759【解析】【分析】根据递推公式首先令n 为偶数，即可求出12339a a a a ++++ ，再令n 为奇数，即可求出1233940a a a a a +++++ ，从而得解.【详解】因为21πcos2n n n a a n ++=⋅，11a =，所以当2n =时22322cosπ2a a +=⨯=-，当4n =时24254cos2π4a a +=⨯=，当6n =时26726cos3π6a a +=⨯=-，，当36n =时23623736cos18π36a a +=⨯=，当38n =时23823938cos19π38a a +=⨯=-，所以12339a a a a ++++ ()222222222124681012343638=+-+-+-++-+- ()21224681012343638=+++++++++- ()22361812387592+⨯=+⨯-=-，又21πcos 2n n n a a n ++=⋅，所以当1n =时122π1cos02a a +=⨯=，当3n =时3423π3cos 02a a +=⨯=，当5n =时5625π5cos 02a a +=⨯=，，当37n =时2373837π37cos 02a a +=⨯=，当39n =时2394039π39cos 02a a +=⨯=，所以12339400a a a a a +++++= ，所以40759a =.故答案为：759四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2cos 2c B a b ⋅=+.（1）求角C 的大小；（2）若1b =，c =，ACB ∠的角平分线交AB 于D ，求CD 的值.【答案】（1）2π3C =（2）23CD =【解析】【分析】（1）根据正弦定理及两角和的正弦公式化简可得1cos 2C =-，进而求解即可；（2）先由余弦定理可得2a =，进而结合等面积法ABC ADC BDC S S S =+ 进行求解即可.【小问1详解】∵2cos 2c B a b ⋅=+，由正弦定理得，2sin cos 2sin sin C B A B =+，∴()2sin cos 2sin sin C B B C B =++，∴2sin cos 2sin cos 2cos sin sin C B B C B C B =++，∴2cos sin sin C B B =-，即1cos 2C =-，∵()0,πC ∈，∴2π3C =.【小问2详解】由余弦定理得，2222cos c a b ab C =+-，∴2271a a =++，解得2a =或3a =-（舍去），由ABC ADC BDC S S S =+ ，∴1111212222222CD CD ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯，∴23CD =.18.某商场举办为期一周的店庆购物优惠活动，不仅购物有优惠，还有抽奖活动.（1）已知该商场前5天店庆活动当天成交额如表所示：天12345成交额（万元）912172127求成交额y （万元）与时间变量x 的线性回归方程，并预测活动第6天的成交额（万元）；（2）小明分别获得A 、B 两店的抽奖机会各一次，且抽奖成功的概率分别为p 、q ，两次抽奖结果互不影响.记小明中奖的次数为ξ.求ξ的分布列及()E ξ；附：对于一组具有线性相关关系的数据()()()1122,,,,,n n x y x y x y ⋯，其回归直线ˆˆˆy a bx=+的斜率和茷距的最小二乘估计分别为()()()121ˆn ii i ni i x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-.【答案】（1）ˆ 4.5 3.7yx =+，30.7万元（2）分布列见解析，()E p qξ=+【解析】【分析】（1）计算出样本中心，求出回归系数，即可得到回归直线方程，将6x =代入回归方程求解即可；（2）先求出随机变量的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可．【小问1详解】由已知可得1234535x ++++==，91217212717.25y ++++==5119212317421527303i i i x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，522222211234555i i x ==++++=∑.所以515122ˆ553035317.245 4.5553105i i ii i x y x y b x x ==--⨯⨯====-⨯-∑∑，所以17.2 4.53 3.7ˆˆa y bx=-=-⨯=，所以ˆ 4.5 3.7y x =+.当6x =时，ˆ 4.56 3.730.7y =⨯+=（万元），所以预测活动第6天的成交额为30.7万元；【小问2详解】由题意知，ξ的所有可能取值为0，1，2.()()()011P p q ξ==--，()()()111P p q q p ξ==-+-，()2P pqξ==所以X 的分布列为ξ012P ()()11p q --()()11p q q p -+-pq ∴()0(1)(1)1[(1)(1)]2E p q p q q p pq p q ξ=⨯--+⨯-+-+⨯=+.19.如图，四边形ABCD 为菱形，//EF 平面ABCD ，过EF 的平面交平面ABCD 于AC ，2EF AC EC ===.（1）求证：//DE 平面ABF ；（2）若平面ABCD ⊥平面ACEF ，60ACE ∠=︒，且四棱锥E ABCD -的体积是，求直线ED 与平面BCE 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）根据题意，由面面平行的判定定理可得平面//CDE 平面ABF ，再由其性质定理即可得到//DE 平面ABF ；（2）方法一：根据题意，由线面角的定义，代入计算，即可得到结果；方法二：建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可得到结果.【小问1详解】证明：∵//EF 平面ABCD ，过EF 的平面交平面ABCD 于AC ，∴//EF AC ，又∵EF AC EC ==，∴四边形ACEF 为菱形∴//AF CE ，∵AF ⊂平面ABF ，CE ⊄平面ABF ，∴//CE 平面ABF .又∵四边形ABCD 为菱形，∴同理//CD 平面ABF ，∵CD CE C = ，,CE CD ⊂平面CDE ，∴平面//CDE 平面ABF ，又DE ⊂平面CDE ，∴//DE 平面ABF ；【小问2详解】设ED 与平面BCE 所成角为θ连接BD 交AC 于点O ，连接EO ，∵AC EC =，且60ACE ∠=︒，则ACE △为等边三角形，又四边形ABCD 为菱形，则O 为AC 中点，∴OEAC ⊥又∵平面ABCD ⊥平面ACEF ，且交线为AC∴OE ⊥平面ABCD∵2EF AC EC ===，∴OE =∴111326E ABCD V BD AC BD -=⋅⋅⋅⋅⋅∴6BD =.法一：常规法：作OG BC ⊥于G ，连接EG ，作OH EG ⊥于H ，因为OE ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以OE BC ⊥，且OG OE O ⋂=，,OG OE ⊂平面OEG ，所以BC ⊥平面OEG ，且OH ⊂平面OEG ，所以BC OH ⊥，EG BC G ⋂=，,EG BC ⊂平面BEC ，∴OH ⊥平面BCE ，因为OC OB ^，111,322OC AC OB BD ====则BC ==OBC 中，由等面积法可知，1122OB OC BC OG ⋅=⋅，则OB OC OG BC ⋅==则EG==，在三角形OEG中，由等面积法可得，1123EG OH OE OG⋅=⋅，则OE OGOHEG⋅==，∵D到平面BCE的距离是O到平面BCE距离OH的两倍，∵Dh=，由OE⊥平面ABCD，OD⊂平面ABCD，所以OE OD⊥，则222DE EO DO=+，∴DE=sin13DhDEθ==.法二：建系：以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，建立直角坐标系，∴()0,0,0O，(E，()3,0,0B，()3,0,0D-，()0,1,0C，∴(DE=，(BE=-，(0,CE=-，令平面BCE的法向量为(),,n x y z=，则BE nCE n⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，30xy⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，∴(n=∴39sin cos,13DE nDE nDE nθ⋅===.20.已知数列{}n a是公差为d（0d≠）的等差数列，n S是{}n a的前n项和，*Nn∈.（1）若314a=，且639S S S>>，求公差d的取值范围；（2）若12a d=，数列{}n b a的首项为1a，满足12n nb ba a+=，求数列{}n b的前n项和n T.【答案】（1）74d-<<-（2）122nnT n+=--【解析】【分析】（1）根据已知可推得639300S S S S ->⎧⎨-<⎩，根据等差数列的性质结合已知化简得出3321420272870a d d a d d +=+>⎧⎨+=+<⎩，求解即可得出答案；（2）根据已知可推得()1121n n b b ++=+，{}1n b +是以2为首项，公比为2的等比数列，求出21n n b =-.分组求和结合等比数列的前n 项和公式，即可得出答案.【小问1详解】由题意得639300S S S S ->⎧⎨-<⎩，即()4565456789673030a a a a a a a a a a a a ++=>⎧⎨+++++=+<⎩，所以，56700a a a >⎧⎨+<⎩，化简得3321420272870a d d a d d +=+>⎧⎨+=+<⎩，解得74d -<<-，所以，公差d 的取值范围为74d -<<-.【小问2详解】由题意得11b =，因为{}n a 为等差数列，满足12n n b b a a +=，所以()()111121n n a b d a b d ++-=+-⎡⎤⎣⎦.又12a d =，所以()()121221n n d b d d b d ++-=+-⎡⎤⎣⎦，化简得()1121n n b b ++=+，所以，{}1n b +是以2为首项，公比为2的等比数列，所以，12n n b +=，即21n n b =-，所以，12n n T b b b =+++ 2212121n =-+-++-()12122212nn n n +-=-=---.21.已知双曲线E ：22221y x a b-=（0a >，0b >）过点()3,2Q ，且离心率为2，2F ，1F 为双曲线E 的上、下焦点，双曲线E 在点Q 处的切线l 与圆2F ：()2210x y c +-=（c =）交于A ，B 两点.（1）求1F AB 的面积；（2）点P 为圆2F 上一动点，过P 能作双曲线E 的两条切线，设切点分别为M ，N ，记直线1MF 和1NF 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k 为定值.【答案】（1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先求切线方程，再结合直线与圆的位置关系可求得1F AB 的面积；（2）先求切线方程，找出M ，N 两点坐标的关系式，再利用韦达定理化简可得.【小问1详解】∵222224912a b c a c a b ⎧-=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，∴22132a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴2213x y -=设过曲线上一点的切线的方程为：y kx t =+，由2213x y y kx t ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩可得()222316330k x ktx t -++-=，则()()()222Δ6431330kt k t =---=，即22310k t +-=.又因为切点为Q ，所以23k t =+，所以解得12k t ==，则过点Q 的切线l 的方程为：21y x -=.设()11,A x y ，()22,B x y ，∴l 交y 轴于点10,2H ⎛⎫ ⎪⎝⎭，联立直线l 与圆2F 的方程()2221210y x x y -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩消y 得256310x x --=，∴1265x x +=，12315x x =-.∴125x x -==，∴111211144122225F AB S F H x x ⎛⎫=⋅-=+⋅= ⎪⎝⎭△.【小问2详解】设()00,P x y ，()33,M x y ，()44,N x y ，则()2200210x y +-=设过点()33,M x y 的双曲线的切线方程为：y kx t =+，由（1）可知22310k t +-=，又因为33y kx t =+，则()2233310k y kx +--=，即()22233333210x k x y k y +-+-=（*）而223313x y -=，所以223333x y +=，223313x y -=，则（*）式可化为2223333960y k x y k x -+=，即()23330y k x -=可得333x k y =，3331t y kx y =-=，则切线方程为33313x y x y y =+，整理可得过点M 的双曲线的切线方程为3313x x y y -=.同理可得过点N 的双曲线的切线方程为4413x x y y -=.又两切线均过点()00,P x y ，则303040401313x x y y x x y y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，因此，直线MN 的方程为0013x x y y -=联立直线MN 与双曲线E 的方程00221313x x y y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消y 可得()()2222000036990x y x x x y -++-=，故03422002034220063993x x x x y y x x x y -⎧+=⎪-⎪⎨-⎪⋅=⎪-⎩所以()()003434000011222233x x y y x x y y y y ⎛⎫⎛⎫++=++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()22220000000343422200000034411212933x y y x x y y x x x x y y y y x y ---⎛⎫++=+⋅++= ⎪-⎝⎭因为()2200210x y +-=，则()2200102x y =--，则222000044155x y y y ---=-所以()()22203004122223400035523253391y y x y y k k x x x y y -+-+=⋅=⋅=--.【点睛】关键点睛：（1）本问考查直线与圆相关的面积问题，关键点是先求出过双曲线上一点的切线方程，再联立直线与圆的方程，通过切割三角形来求1F AB 的面积.（2）本问考查双曲线的定值问题，解题关键是先求出过双曲线上点M 、N 的切线方程，再通过两条切线交点为P ，得出直线MN 的方程，再联立直线MN 与双曲线E 的方程，通过韦达定理来化简计算出12k k 为定值.22.已知函数()ln f x a x x =+，a R ∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若存在2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，使()1ln 2f x ax x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭成立，求实数a 的取值范围.注：e 为自然对数的底数.【答案】（1）答案见解析（2）12a ≥【解析】【分析】（1）求出函数的导数，对a 讨论，分为0a ≥和a<0两种情形，通过导数与0的关系可判断单调区间；（2）依题转化为1ln 2x ax a x -+≤，设()ln x g x ax a x=-+，即min 1()2g x ≤，，应用导数求最值，对对a 讨论，分为0a ≤和10a 4<<，1a 4≥三种情形讨论即可求解.【小问1详解】∵()ln f x a x x =+，定义域为(0,)+∞，∴()1a x a f x x x+'=+=，当0a ≥时，∴()0f x '≥，∴()f x 的递增区间是()0,∞+；当a<0时，由()0x a f x x+'=>，得x a >-，∴()f x 的递增区间是(),a -+∞，()0x a f x x+'=<，得x a <-，递减区间是()0,a -；【小问2详解】∵()1ln 2f x ax x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，∴1ln ln 2a x x ax x ⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭，∴1ln 2x ax a x -+≤，设()ln x g x ax a x=-+，∴()22ln 1111ln ln 24x g x a a x x '-⎛⎫=-=--+- ⎪⎝⎭，当0a ≤，()0g x '≥，()g x 在2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦上单调递增，∴()()min 2e e e 1g x g a a ==-+≤，121e e a -≥-，不符合题意，当10a 4<<，则存在唯一的20,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使得()00g x '=.当[]0,e x x ∈，使得()00g x '<，当20e ,x x ⎡⎤∈⎣⎦，使得()00g x '>.当[]0,e x x ∈，()g x 单调递减，当20e ,x x ⎡⎤∈⎣⎦，()g x 单调递增，∴()()000min 01ln 2x g x g x ax a x ==-+≤，∴00000200ln e 211111111ln 212212x x x a x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥->-=-= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，这与10a 4<<矛盾.当1a 4≥，()0g x '≤，()g x 在2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦上单调递减，∴()()222122e e e g x g a a ==-+≤，∴12a ≥，综上，12a ≥【点睛】本题主要考查导数的运用：求单调区间和最值，考查能成立问题，构造函数是关键，也是常用的一种手段．通过求构造函数的最值即可，属于中档题．。

2019-2020学年浙江省9+1高中联盟高二(上)期中数学试卷1(含答案解析)

2019-2020学年浙江省9+1高中联盟高二（上）期中数学试卷1一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.直线x+√3y=1的倾斜角为()A. π3B. 5π6C. π6D. 2π32.已知命题p：若x>10，则x>1，那么p的逆否命题为()A. 若x>1，则x>10B. 若x>10，则x≤1C. 若x≤10，则x≤1D. 若x≤1，则x≤103.若平面α⊥平面β，直线n⊂α，直线m⊂β，且m⊥n，则()A. n⊥βB. n⊥β且m⊥αC. m⊥αD. n⊥β和m⊥α中至少有一个成立4.“k=√33”是“直线l：y=k(x+2)与圆x2+y2=1相切”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知圆锥的底面半径为R，高为2R，在它的所有内接圆柱中，侧面积的最大值是()A. 14πR2 B. 12πR2 C. πR2 D. 2πR26.过球面上一点P作球的互相垂直的三条弦PA，PB，PC，已知PA=PB=2√2，PC=3，则球的半径为()A. 1B. 32C. 2 D. 527.点A，F分别是椭圆C：x216+y212=1的左顶点和右焦点，点P在椭圆C上，且PF⊥AF，则△AFP的面积为()A. 6B. 9C. 12D. 188.在正四面体ABCD的面上，到棱AB以及C、D两点的距离都相等的点共有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9.如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD=√6，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点．若PD//平面EAC，则三棱锥P−EAD的体积为()A. √22B. √63C. √24D. √6510.设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，A是椭圆上的一点，AF2⊥AF1，原点O到直线AF1的距离为12|OF1|，则椭圆的离心率为()A. 13B. √3−1 C. √22D. √2−1二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.已知A(3,1,3),B(1,5,0)，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ =_____．12.若椭圆x24+y2t2=1与直线y=2x+5相切，则该椭圆的焦点坐标为_________．13.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=3，AD=4，AA1=5，则直线AC1与平面ABCD所成角的大小为______．14.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，该几何体的体积是______ ；若该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的表面积是______ ．15.点P(m,1)到直线3x+4y=0的距离大于1，则实数m的取值范围是______ ．16.如图所示，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F为AA1，AB的中点，M点是正方形ABB1A1内的动点，若C1M//平面CD1E，则M点的轨迹长度为______．17.已知椭圆C：9x2+y2=1，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.则直线OM的斜率与l的斜率的乘积为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知直线l1:ax+y+2a−1=0，l2:4x+y=0和l3:x−2y+9=0．(1)若三条直线相交于同一点，求a的值；(2)若直线l1在两轴上的截距相等，求a的值．19.如图，ABCD是平行四边形，S是平面ABCD外一点，M为SC的中点．求证：SA//平面MDB．20.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60∘，PA=AB=BC，E是PC的中点．(1)求PB和平面PAD所成的角的大小．(2)求二面角A−PD−C的正弦值．21.已知圆的半径为2√3，圆心在y=2x上，且圆被直线x−y=0截得的弦长为4，求圆的方程．22.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，的一个顶点为C(2,0)，离心率为√22．(Ⅰ)求椭圆E的方程，并求其焦点坐标；(Ⅱ)设直线l：x=my+1(m∈R)交椭圆E于A、B两点，试探究：点M(3,0)与以线段AB为直径的圆的位置关系，并证明你的结论．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：设直线的倾斜角为α，由题意直线的斜率为−√33，即tanα=−√33， ∴α=5π6．故选：B ．设出直线的倾斜角，求出斜率，就是倾斜角的正切值，然后求出倾斜角．本题考查直线的倾斜角、直线的斜率，考查计算能力，是基础题．2.答案：D解析：解：∵命题p ：若x >10，则x >1，∴命题p 的逆否命题是：若x ≤1，则x ≤10．故选：D ．命题：若p ，则q 的逆否命题为：若￢q ，则￢p ，直接写出即可．本题考查了命题与它的逆否命题的关系的应用问题，是基础题．3.答案：D解析：【分析】本题主要考查面面垂直的性质定理，考查线面垂直的判定，属于基础题．根据题目中所给的已知条件结合面面垂直的性质定理进行分析，即可求得答案．【解答】解：(1)若直线m 垂直两个平面的交线，那么m ⊥α，n 、β的关系不确定；(2)若直线n 垂直两个平面的交线，那么n ⊥β，m 、α的关系不确定；(3)若直线m ，n 都不垂直于两个平面的交线，过直线m 上不在交线上一点O ，做交线的垂线l ，则l ⊥α， ∵ l ∩m =O,l ⊂β,n ⊂α,∴n ⊥β，所以直线n 垂直两平面的交线，这与直线m ，n 都不垂直于两个平面的交线相矛盾，故假设不成立，因此直线m ，n 至少有一个垂直两平面的交线，所以，n ⊥β和 m ⊥α至少有一个成立，故选D ．4.答案：A解析：解：当k =√33时，直线l 转换为y =√33(x −2)，即：√3x −3y −2√3=0所以：圆心(0,0)到直线的距离d =√3|√32+(√3)2=1=r ，所以直线与园相切．直线与园相切．则：圆心(0,0)到直线kx−y+2k=0的距离d=√1+k2=r=1，解得：k=±√33，故：“k=√33”是“直线l：y=k(x+2)与圆x2+y2=1相切”的充分不必要条件．故选：A．直接利用点到直线的距离公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．5.答案：C解析：解：(如图)由题意可知：OS=2R，OC=R，内接圆柱的底面半径为OA=r，AB=ℎ．∵△SOC∽△ABC∴OSOC =ABACAC=R−r．则有：2RR =ℎR−r∴ℎ=2R−2r那么：圆柱侧面积S=2πr⋅ℎ=π⋅2r⋅(2R−2r)≤π(2r+2R−2r2)2=πR2故选C设内接圆柱的底面半径为r，高为h，侧面积S=2πr⋅ℎ；利用相似三角形，求出圆柱半径r与高h 的关系，利用基本不等式即可求最大值．本题考查了圆锥内接圆柱的问题，找到圆柱与圆锥的尺寸关系是解决本题的关键．同时考查了基本不等式的运用．属于中档题．6.答案：D解析：解：过球面上一点P作球的互相垂直的三条弦PA，PB，PC，PA=PB=2√2，PC=3，以PA、PB、PC为棱构造长方体，则这个球是长方体的外接球，∴球的半径R=√PA2+PB2+PC22=√8+8+92=52．故选：D．以PA、PB、PC为棱构造长方体，则这个球是长方体的外接球，由此能求出球的半径R．本题考查球半径的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．7.答案：B解析：解：如图，由椭圆C：x216+y212=1，得a2=16，b2=12，∴c=√a2−b2=√16−12=2，|PF|=b2a =124=3，|AF|=a+c=6，∴△AFP的面积为12×6×3=9．故选：B．由题意画出图形，由椭圆方程求出a，c的值，再求出|PF|，代入三角形面积公式得答案．本题考查椭圆的简单性质，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．8.答案：B解析：【分析】本题考查点线面之间的关系，利用“交轨法”即可求出满足条件的点是解题的关键，属于中档题．先找出到C、D两点的距离都相等的点满足的条件，再找出到棱AB、CD的距离相等的点满足的条件，则其交线上的任意一点满足到棱AB以及C、D两点的距离都相等．【解答】解：如图所示：取CD的中点K，连接AK、BK，∵AK⊥CD，BK⊥CD，∴C、D两点关于平面ABK对称，则平面ABK上的任意一点到C、D两点的距离都相等．分别取棱AD、AC、BC、BD的中点E、H、G、F，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH是矩形，此矩形满足到棱AB、CD的距离相等．设EH∩AK=N，FG∩BK=M.由于AN=NK，BM=MK，则点M、N满足到棱AB以及C、D两点的距离都相等．只有M、N两点满足条件，故答案为B．故选B．9.答案：A解析：【分析】本题主要考查了棱柱、棱锥、棱台的侧面积、表面积和体积，属于一般题．取AD中点H，连接BH，由三棱锥P−EAD的体积与三棱锥P−BAD体积存在关联可求解三棱锥P−EAD的体积．【解答】解：连接OE，取AD中点H，连接BH，∵PD//平面EAC，平面EAC∩平面PBD=OE，∴PD//OE，∵O是BD中点∴E是PB中点，∵四边形ABCD是菱形，∴BH⊥AD，∵PD⊥平面ABCD，BH在平面ABCD内，∴BH⊥PD,∵AD∩PD=D，∴BH⊥平面PAD，且BH=√32AB=√3，∴V P−EAD=12V B−PAD=12×13×S△PAD×BH=12×13×12×2×√6×√3=√22．故选A．10.答案：B解析：【分析】本题主要考查了椭圆的定义、椭圆的标准方程、椭圆的几何性质，椭圆离心率的求法，属基础题．先利用三角形中位线定理，计算F2A=2OB=c，再利用勾股定理计算F1A=√3c，最后利用椭圆定义，计算长轴长2a，进而求得椭圆离心率．【解答】解：如图，设|F1F2|=2c，依题意，OB⊥F1A，OB=c2，∵O为F1F2的中点，AF2⊥AF1，∴OB//F2A，且F2A=2OB=c，∴F1A=√4c2−c2=√3c，∴2a=c+√3c，∴椭圆的离心率为e=ca =1+√3=√3−1，故选B．11.答案：(−2,4，−3)解析：【分析】本题考查空间向量的坐标表示，属于基础题目．由两点坐标得出AB⃗⃗⃗⃗⃗ 即可．【解答】解：由题意可得AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,4，−3)．故答案为(−2,4，−3)．12.答案：(0 , ±√5)解析：【分析】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，以及椭圆的几何意义，为基础题．利用判别式求出t，即可得．【解答】解：根据题意得{y =2x +5x 24+y 2t 2=1, 整理得(t 2+16)x 2+80x +100−4t 2=0所以判别式，解得t 2=9，且该椭圆焦点在y 轴上，则c 2=9−4=5，即c =√5，所以焦点坐标为( 0 , ±√5 )．故答案为( 0 , ±√5 )．13.答案：45°解析：【分析】本题考查线面角的求法，考查运算求解能力，是基础题．连接AC ，则∠C 1AC 为直线AC 1与平面ABCD 所成角，计算∠C 1AC 的大小即可．【解答】解：连接AC ，则∠C 1AC 为直线AC 1与平面ABCD 所成角∵AB =3，AD =4，∴AC =5，∵CC 1=AA 1=5，∴∠C 1AC =45°故答案为：45°14.答案：13；3π解析：解：该几何体的直观图如图1所示，它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥．其中底面ABCD 是边长为1的正方形，高为CC 1=1，故所求体积是V =13×1×1×1=13；该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的直径为√3∴球的表面积是4π×(√32)2=3π 故答案为：13，3π．该几何体的直观图如图1所示，它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥．其中底面ABCD是边长为1的正方形，高为CC1=1，故可求结论．本题考查三视图与直观图的关系，考查空间想象能力，考查学生的计算能力．15.答案：(−∞,−3)∪(13,+∞)解析：解：∵点P(m,1)到直线3x+4y=0的距离大于1，∴√32+42>1，化为|3m+4|>5．∴3m+4>5或3m+4<−5，解得m>13或m<−3．故答案为：(−∞,−3)∪(13,+∞)利用点到直线的距离公式、不等式的解法即可得出．本题考查了点到直线的距离公式、不等式的解法，属于基础题．16.答案：√2解析：【分析】本题考查了面面平行的判定定理与性质定理、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．如图所示，取A1B1的中点H，B1B的中点G，可得：四边形EGC1D1是平行四边形，可得C1G//D1E.同理可得：C1H//CF.可得面面平行，进而得出M点轨迹．【解答】解：如图所示，取A1B1的中点H，B1B的中点G，连接GH，C1H，C1G，EG，HF．可得：四边形EGC1D1是平行四边形，∴C1G//D1E.同理可得：C1H//CF．∵C1H∩C1G=C1．∴平面C1GH//平面CD1E，∵M点是正方形ABB1A1内的动点，若C1M//平面CD1E.∴点M在线段GH上．∴M点的轨迹长度=GH=√12+12=√2．故答案为：√2．17.答案：−9解析：解：设A(x1,y1)，B(x1,y2)，M(x1+x22,y1+y22)，直线OM的斜率k OM=y1+y2x1+x2，l的斜率k=y1−y2x1−x2，{9x12+y12=19x22+y22=1，两式相减可得：9(x1+x2)(x1−x2)+(y1+y2)(y1+y2)=0，即y1+y2x1+x2⋅y1−y2x1−x2=−9，∴k OM ⋅k =−9，故答案为：−9．由题意可知A ，B 在椭圆上，{9x 12+y 12=19x 22+y 22=1，两式相减可知：y 1+y 2x 1+x 2⋅y 1−y 2x 1−x 2=−9，由直线OM 的斜率k OM =y 1+y 2x 1+x 2，l 的斜率k =y 1−y2x 1−x 2，即可求得直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积．本题考查直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式及点差法的应用，考查计算能力，属于中档题．18.答案：解：(1)由{x −2y +9=04x +y =0，解得x =−1,y =4，所以−a +4+2a −1=0，a =−3； (2)在方程ax +y +2a −1=0中，a =0显然不符合，令x =0,得y =1−2a ，令y =0，得x =1−2aa 由1−2a =1−2aa 解得a =12或a =1．解析：本题考查了两直线相交的问题，截距相等问题(1)由于三条直线相交于同一点，故该点坐标适合三个方程(函数解析式)，求出{x −2y +9=04x +y =0的交点坐标，将该坐标代入ax +y +2a −1=0即可求出a 的值．(2)令x =0和y =0，分别求得直线l 1在两轴上的截距，可得方程，解出a 即可．19.答案：证明：连接AC 交BD 于N ，因为ABCD 是平行四边形，所以N 是AC 的中点，又因为M 是SC 的中点，所以MN//SA ，因为MN ⊂平面MDB ，SA ⊄平面MDB ，所以SA//平面MDB ．解析：要说明SA//平面MDB ，就要在平面MDB 内找一条直线与SA 平行，注意到M 是SC 的中点，于是可找AC 的中点，构造与SA 平行的中位线，再说明此中位线在平面MDB 内，即可得证． 20.答案：解：(1)在四棱锥P −ABCD 中，∵PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥AB.又AB ⊥AD ，PA ∩AD =A ，PA 、AD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥平面PAD ．故PB 在平面PAD 内的射影为PA ，从而∠APB 为PB 和平面PAD 所成的角．在Rt △PAB 中，AB =PA ，故∠APB =45°．所以PB 和平面PAD 所成的角的大小为45°．(2)在四棱锥P−ABCD中，∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD．由条件AC⊥CD，PA∩AC=A，PA、AC⊂平面PAC．∴CD⊥平面PAC．又∵AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得AC=PA．∵E是PC的中点，∴PC⊥AE．又∵CD∩PC=C，CD、PC⊂平面PCD．∴AE⊥平面PCD．过点E作EM⊥PD，垂足为M，连接AM，如图所示．∵AE⊥平面PCD，PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD，EM∩AE=E，EM、AE⊂平面AEM，PD⊥平面AEM，AM⊂平面AEM，∴AM⊥PD．∴∠AME是二面角A−PD−C的平面角．∵∠CAD=∠BAD−∠BAC=30°，∴设CD=1，则PA=AC=√3，AD=2,PC=√6,PD=√7．Rt△PAC中，AE=12PC=√62．在Rt△ADP中，∵AM⊥PD，∴AM⋅PD=AP⋅AD，得AM=2√217．在Rt△AEM中，sin∠AME=AEAM =√144．所以二面角A−PD−C的正弦值为√144．解析：本题考查线面角的求法，二面角的正弦值的求法，考查运算求解能力，空间思维能力，是中档题．(1)先证AB⊥平面PAD，∠APB为PB和平面PAD所成的角，由此能求出PB和平面PAD所成的角的大小．(2)得PA ⊥CD ，再证CD ⊥平面PAC ，得AE ⊥平面PCD.过点E 作EM ⊥PD ，垂足为M ，连接AM ，则∠AME 是二面角A −PD −C 的平面角．由此能求出二面角A −PD −C 的正弦值．21.答案：解：设圆心为(a,b)，则圆心到直线x −y =0的距离为√2， ∵圆的半径为2√3，圆心在y =2x 上，且圆被直线x −y =0截得的弦长为4，∴{b =2a 4+(2)2=12，∴解得a =4，b =8或a =−4，b =−8，∴圆的标准方程是(x −4)2+(y −8)2=12或(x +4)2+(y +8)2=12．解析：设圆心为(a,b)，得{b =2a 4+(2)2=12，由此能求出圆的标准方程．本题考查圆的方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．22.答案：22.(Ⅰ)解：由题意可得：a =2，c a =√22，a 2=b 2+c 2，联立解得a =2，c =b =√2．∴椭圆C 的标准方程为：x 24+y 22=1，其焦点坐标为：(±√2,0)．(Ⅱ)设点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，AB 的中点为H(x 0,y 0)，由{x =my +1x 2+2y 2=4⇒(m 2+2)y 2+2my −3=0， ∴y 1+y 2=−2m m 2+2，y 1y 2=−3m 2+2， ∴y 0=−m m 2+2，∴|MH|2=(x 0−3)2+y 02=(my 0−2)2+y 02=(m 2+1)y 02−4my 0+4，|AB|24=(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)24=(1+m 2)(y 1−y 2)24=(1+m 2)[(y 1+y 2)2−4y 1y 2]4=(1+m 2)(y 02−y 1y 2)， ∴|MH|2−|AB|24=−4my 0+4+(1+m 2)y 1y 2=5m 2+5m 2+2>0 ∴|MH|>|AB|2，因此，点M(3,0)在以线段AB 为直径的圆外．解法二：(Ⅱ)设点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{x =my +1x 2+2y 2=4⇒(m 2+2)y 2+2my −3=0， ∴y 1+y 2=−2m m 2+2，y 1y 2=−3m 2+2，∵MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−3,y 1)，MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−3,y 2)，∴MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−3,y 1)⋅(x 2−3,y 2)=(m 2+1)y 1y 2−2m(y 1+y 2)+4=5m 2+5m 2+2>0 ∴cos <MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )>0，又MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线，∴∠AMB 为锐角，因此，点M(3,0)在以AB为直径的圆外．解析：(Ⅰ)由已知a=2，ca =√22，a2=b2+c2，联立解出即可得出．(Ⅱ)解法一设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，AB的中点为H(x0,y0)，把直线方程与椭圆方程联立可得根与系数的关系，利用弦长公式可得|AB|，比较|AB|2与|MH|即可得出．解法二：(II)利用数量积运算性质、向量夹角公式可得∠AMB为锐角，即可得出位置关系．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、三角形面积计算公式、向量数量积运算性质、向量夹角公式、点与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

2020-2021学年浙江省浙东北联盟高二上学期期中数学试卷(含解析)

2020-2021学年浙江省浙东北联盟高二上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.若曲线C:x2+y2+2ax−4ay+5a2−4=0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为()A. (−∞,−2)B. (−∞,−1)C. (1,+∞)D. (2,+∞)2.已知正三棱锥P−ABC的高PO为h，点D为侧棱PC的中点，PO与BD所成角的余弦值为√23，则正三棱锥P−ABC的体积为()A. 3√38ℎ3 B. 2√38ℎ3 C. √38ℎ3 D. 3√34ℎ33.如图水平放置的一个平面图形的直观图是边长为1cm的正方形，则原图形的周长是()A. 8cmB. 6cmC. 2(1+√3)cmD. 2(1+√2)cm4.某几何体的三视图及部分数据如图所示，则此几何体的表面积是()A. 32B. √3C. 3+4√3D. 3+3√35.如图所示，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，若AB=BC=1，A1A=2，E，F分别是AB1，BC1的中点，则下列结论中错误的是()A. EF⊥BB1B. EF⊥平面BDD1B1C. EF与C1D所成的角为60°D. EF//平面A1B1C1D16. 已知m ，n 是不重合的直线，α，β是不重合的平面，有下列命题：①若m ⊂α，n//α，则m//n ；②若m//α，m//β，则α//β；③若α∩β=n ，m//n ，则 m//α，m//β；其中正确的命题的个数是( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个7.方程x 2+y 2+2ax −by +c =0表示圆心为C(2,2)，半径为2的圆，则a 、b 、c 的值依次为( )A. 2、4、4B. −2、4、4C. 2、−4、4D. 2、−4、−48.已知直线l ：ax +by +1=0(a 2+b 2≠0)与⊙O ：x 2+y 2=100有公共点，并且公共点的横、纵坐标均为整数，则这样的直线共有( )条．A. 60B. 66C. 72D. 789.若正方体的棱长为，则平面与平面的距离为( )A.B.C.D.10. 已知x ，y 满足约束条件{x −2≤0y +2≥0x −y +4≥0，设(x,y)表示的平面区域为M ，在区域M 内任取一点，则此点到直线y =x −2的距离大于√2的概率为( )A. 14B. 34C. 12D. 19二、单空题（本大题共4小题，共18.0分）11. 若一个正三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为______ ．12. 在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AA 1=4，AB =AC =2，∠BAC =90°，点E ，F 分别是棱AB ，CC 1的中点，一只蚂蚁从E 点出发，绕过三棱柱ABC −A 1B 1C 1的一条侧棱爬到点F 处，则该蚂蚁爬行的最短路程是______．13. 正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点M 和N 分别是B 1D 1和B 1C 1的中点，则异面直线AM 和CN 所成角的余弦值为．14. 从圆x 2−2x +y 2−2y +1=0外一点P(3,2)向这个圆作两条切线，则这两条切线夹角的余弦值为______．三、多空题（本大题共3小题，共18.0分）15.已知⊙C1：x2+y2−2x−4y+1=0与⊙C2：x2+y2+2x−3=0相交于A，B两点，则直线AB的方程为，以线段AB为直径的圆的方程为．16.由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示，其体积是；表面积是．17.过圆O：x2+y2=r外一点P(x0,y0)作圆O的切线，切点分别为A，B，我们可以把线段AB叫做圆O的切点弦，其所在直线方程为x0x+y0y=r2.现过点P(1,3)作圆O：x2+y2=4的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线的方程为；若点Q是直线l：x−y−4=0上的动点，过点Q作圆O：x2+y2=4的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线恒过定点____ _.四、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为边长为4的正方形，M是BC的中点，EF//平面ABCD，且EF=2，AE=DE=BF=CF=2√2．(1)求证：ME⊥平面ADE；(2)求二面角B−AE−D的余弦值．19.(本题满分10分)已知直线过点与圆相切，(1)求该圆的圆心坐标及半径长(2)求直线的方程20.如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面α，C是圆周上不同于A、B的点．(Ⅰ)求证：平面PAC⊥平面PBC；(Ⅱ)过A作AD⊥PC(D为垂足)，过D作DE⊥PB(E为垂足)，求证：PB⊥平面ADE．21.(1)已知三角形的顶点为A(2,4)，B(0,−2)，C(−2,3)，线段AB的中点为M，求：AB边上的中线CM所在直线的方程；(2)已知圆心为E的圆经过点P(0,−6)，Q(1,−5)，且圆心E在直线l：x−y+1=0上，求圆心为E的圆的标准方程．22.如图，在三棱锥P−ABC中，AB=BC=2√2，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且二面角M−PA−C为30°，求PC与平面PAM所成角的余弦值．【答案与解析】1.答案：D解析：曲线C的方程可化为(x+a)2+(y−2a)2=4，则该方程表示圆心为(−a,2a)，半径等于2的圆.因为圆上的点均在第二象限内，所以a>2．2.答案：C解析：本题考查了异面直线所成的角，三棱锥的体积，充分利用线面的位置关系，考查空间想象能力，计算能力，为中档题．利用异面直线所成的角，得到底面边长与高h的关系，易求a2=32ℎ2，V P−ABC=13×12×a×√32a×ℎ=√312a2ℎ=√38ℎ3．解：设底面边长为a，连接CO交AB于F，过点D作DE//PO交CF于E，连接BE，则∠BDE即PO与BD所成角，∴cos∠BDE=√23，∵PO⊥面ABC，∴DE⊥面ABC，∴△BDE是直角三角形，∵点D为侧棱PC的中点，∴DE=12ℎ，∴BE=√144ℎ，在正三角形ABC中，BF=12a，EF=23CF=√33a，在Rt△BEF中，BE2=EF2+BF2，。

浙江省浙东北联盟2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题含答案

D1
C1
（Ⅱ）求证： AC1 // 平面EB1C ． 18． (Ⅰ)证明：连结 D1A, A1D ，则 A1D // B1C ， ∵ ADD1A1 是正方形，∴ D1A A1D ．
A1
D
A
E
B1 O C
B
∵ AE 平面ADD1A1 ，∴ AE A1D ．又 D1A EA A ，∴ A1D 平面AED1 ．
14． 3 ； 6+ 3+ 6 ．15．
0 ； 7, 2
．
16．
37
．17．
45
；4
．
14
5
3
三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
18．（本题满分 14 分）已知正方体 ABCD A1B1C1D1 ，E 为棱 AB 的中点．
（Ⅰ）求证： D1E B1C ；
19．已知⊙ C : x2 y2 16 ．
（Ⅰ）设点 Qx, y 为⊙ C 上的一个动点，求 4x 3y 的范围；（Ⅱ）直线 l 过点 P3,4 ，且与⊙C 交于 A、B 两点，若 AB 2 7 ，求直线 l 的方程．
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20．在斜三棱柱 ABC A1B1C1 中，AB AC ，B1C 平面 ABC ，且 AB AC 2 ，AA1 2 3 ．
3
数为
A．1
B．2
C．3
D．4
8．设直线 l : 2a 1 x a 1 y 3a 3 0 a R 与圆 C : x 12 y2 r2 r 0 交于 A, B 两
点，当实数 a 变化时， ABC 的最大面积为 9，则此时 a 的值为
A．4
B．1 或 4
C． 1
D．1 或 1 10

2020-2021学年浙江省9+1高中联盟高三(上)期中数学试卷

2020-2021学年浙江省9+1高中联盟高三（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知P={1,2，3}，Q={2,3，4}，则P∩Q=()A. {2}B. {3}C. {2,3}D. {1,2，3，4}2.复数z=i1+i(i是虚数单位)的虚部为()A. 12B. −12C. 12i D. −12i3.若实数x，y满足约束条件{x+y−3≤02x−y+3≥0x+2y+1>0，则z=x−2y的最小值为()A. 15B. −95C. −1D. −64.“0<x<π2”是“0<xsinx<π2”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.函数f(x)=ln|ex|e x+e−x的图象大致为()A. B.C. D.6.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的外接球的体积(单位：cm3)是()A. 72√2πB. 288πC. 9π2D. 36π7. 袋中有5个球，其中3个白球，2个黑球，从袋中随机取球，每次取1个，取后放回，取3次，在这3次取球中，设取到黑球的次数为X ，则E(X)=( )A. 1B. 2C. 65D. 958. 已知m >0，函数f(x)=x 2+x −m ，实数x 1，x 2满足x 1>0，x 2>0，若f(x 1)=0,f(√x 2)=0，则( )A. x 1+x 2<mB. x 1+x 2=mC. x 1+x 2>mD. x 1+x 2与m 的大小关系不能确定9. 已知a ，b ，c ∈[0,1]，则a 2b +2b 2c −3c 2a 的最大值为( )A. 43B. 2C. 3D. 8310. 在正四棱锥P −ABCD 中，PA =PB =PC =PD =AB =1，点Q ，R 分别在棱AB ，PC 上运动，当|QR|达到最小值时，|PQ||CQ|的值为( )A. √7010B. √355C. √3510D. √705二、单空题（本大题共7小题，共36.0分）11. (2+x)5的展开式中，常数项是______ ，x 2的系数为______ ．12. 已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和记为S n ，若S 3=9，a 2+a 4=8，则d =______ ，a 1= ______ ．13. △ABC 中，cos(A −B)+cosC =32，c 2=ab ，则角C = ______ ，cosAcosB = ______ ． 14. 已知a >0，b >0，r >0，圆C ：(x −a)2+(y −b)2=r 2与y 轴交于A(0,1)，B(0,5)两点，且圆C 与x 轴相切，则a = ______ ，r = ______ ． 15. 若椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)与双曲线x 2a 12−y 2b 12=1(a 1>0,b 1>0)有相同的焦点F 1，F 2，点P 是两条曲线的一个交点，∠F 1PF 2=π2，椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，e 1e 2=2，则e 12+e 22= ______ ．16. 已知函数f(x)={x 2+2x +2,x ≤0x +4x,x >0，若关于x 的不等式f(x)≥|ax +1|在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是______ ．17. 平面向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ ，满足|a ⃗ |=|b ⃗ |≠0，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，|c⃗ |=2√2，|c ⃗ −a ⃗ |=1，则|a ⃗ +b ⃗ −c ⃗ |的最大值是______ ．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18. 已知函数f(x)=√34sin2x +14cos2x ．(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间[0,5π12]上的值域．19.如图，四棱台ABCD−A1B1C1D1，中，底面ABCD为矩形，A1A⊥平面ABCD，A1A=A1D1=1，AB=AD=2．(1)证明：B1B//面ACD1；(2)求直线C1C与平面ACD1所成角的正弦值．20.已知数列{a n}，{b n}满足a2+a3=12，b1=1，a n+1a n=2,b n+1−b n=a n,n∈N+．(1)求数列{b n}的通项公式；(2)求证：1b1+1b2+⋯+1b n<116,n∈N+．21. 设抛物线E ：y 2=2px 上一点P(5,y 0)到焦点的距离等于6，过M(0,−1)作两条互相垂直的直线l 1和l 2，其中l 1的斜率为k(k >0)，且l 1与抛物线交于不同的两点A ，B ，l 2与抛物线的准线交于点C ，若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λMB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，点N 满足NA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λNB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． (1)求抛物线E 的方程； (2)求△CMN 的面积的取值范围．22. 已知函数f(x)=e x−1+λlnx(λ∈R)．(1)若λ=1，对于给定的点P(0,t)，过点P 恰有两条直线与曲线y =f(x)相切，求实数t 的取值范围；(2)①若函数F(x)=f(x)+λ有两个零点x 1，x 2(0<x 1<x 2)，求实数λ的取值范围； ②求证：1e <x 1<1<x 2．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵P ={1,2，3}，Q ={2,3，4}，则P ∩Q ={2,3}，故选：C ．根据集合的交集的定义计算即可．本题考查了集合的交集的运算，是一道基础题．2.【答案】A【解析】解：∵z =i1+i =i(1−i)(1+i)(1−i)=12+12i ， ∴z 的虚部为12．故选：A ．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】D【解析】解：由约束条件{x +y −3≤02x −y +3≥0x +2y +1>0作出可行域如图，A(0,3)，化目标函数z =x −2y 为y =12x −z2，由图可知，当直线y =12x −z2过A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值为−6．故选：D．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想，是中档题．4.【答案】A【解析】解：0<x<π2时，y=xsinx在(0,π2)递增，故0<xsinx<π2，是充分条件，若“0<xsinx<π2”，推不出0<x<π2，比如：x∈(−π2,0)时，也满足“0<xsinx<π2”，故“0<x<π2”是“0<xsinx<π2”的充分不必要条件，故选：A．根据充分必要条件的定义以及三角函数的性质判断即可．本题考查了充分必要条件，考查三角函数的性质，是一道基础题．5.【答案】B【解析】解：函数的定义为{x|x≠0}，f(−x)=ln|ex|e−x+e x=f(x)，则函数f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除ACD，故选：B．根据定义可判断函数为偶函数，问题得以解决．本题考查了函数图象的识别，关键掌握函数的奇偶性，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：由几何体的三视图知，该几何体是三棱锥P−ABC，底面为等腰△ABC，且侧面PAB⊥底面ABC，如图所示；D为AB的中点，又DA=DB=DC=DP=3，且PD⊥平面ABC，∴三棱锥P−ABC的外接球的球心O在PD上，设OP=R，则OA=R，OD=3−R，∴R2=(3−R)2+32，解得R=3，∴该几何体外接球的表面积是43πR3=36πcm3．故选：D．由三视图知该几何体是底面为等腰直角三角形，且侧面垂直于底面的三棱锥，由题意画出图形，结合图形求出外接球的半径，再计算外接球的表面积．本题考查了利用三视图求几何体外接球的表面积应用问题，是中档题．7.【答案】C【解析】解：袋中有5个球，其中3个白球，2个黑球，从袋中随机取球，每次取1个，取后放回，每次取到黑球的概率都是P=25，取3次，在这3次取球中，设取到黑球的次数为X，则X～B(3,25)，∴E(X)=3×25=65．故选：C．每次取到黑球的概率都是P=25，取3次，在这3次取球中，设取到黑球的次数为X，则X～B(3,25)，由此能求出E(X)．本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】B【解析】解：∵m>0，函数f(x)=x2+x−m，故函数在(0,+∞)上单调递增，∵实数x1，x2满足x1>0，x2>0，且f(x1)=0,f(√x2)=0，∴x12+x1−m=0，∴x1=√x2⇒x12=x2，∴x1+x2=x12+x1，∴x1+x2=m成立，故选：B．根据已知条件求得x12+x1−m=0以及x12=x2，进而求得结论．本题考查了方程的根与函数的零点之间的关系，考查转化思想，属于中档题．9.【答案】B【解析】解：要想a2b+2b2c−3c2a取最大值，则只需a2b+2b2c取最大值，3c2a取最小值为0，已知a，b，c∈[0,1]，所以a和c中有几个为0，由于a2b+2b2c最大，最大值为1，所以b，c，a中有的为1，且仅b为1，①假设b=c=1，a=0时，则0+1+1=2；②假设b=1，a=c=0时，则0+1+0=1；③假设a=b=1，c=0时，则1+0−0=1；故最大值为2．故选：B．直接利用不等式的性质和假设法的应用求出结果．本题考查的知识要点：不等式的性质，假设法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：以P在底面的射影为坐标原点O，作平行于AB，平行于BC的直线为x轴和y轴，以OP为z轴建立空间直角坐标系，因为PA=PB=PC=PD=AB=1，设Q(a,12,0),R(m,n,q)，因为C(12,−12,0),P(0,0,√22)，所以PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,−12,−√22)，又R 在PC 上，所以PR ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC⃗⃗⃗⃗⃗ ，即(m,n,q −√22)=(12λ,−12λ,−√22λ)，所以R(12λ,−12λ,−√22λ)，即QR 2=(a −12λ)2+(12+12λ)2+(−√22λ+√22)2=a 2+λ2−aλ−12λ+34，因为a ∈[−12,12],λ∈[0,1]，则(QR 2)′a =2a −λ=0,(QR 2)′λ=2λ−a −12=0，所以λ=13,a =16时取得最小值，所以Q(16,12,0)，则PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(16,12,−√22),CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−13,1,0)，所以PQCQ =(16)+(12)+(−√22)√(−13)2+12=√7010．故选：A ．建立合适的空间直角坐标系，设Q(a,12,0),R(m,n,q)，利用PR ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求得点R 的坐标，再表示出QR 2的表达式，求出最小值时对应的λ和a 的值，从而得到Q 的坐标，求出PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，求出对应的模的比值即可得到答案．本题考查了多面体和旋转体表面上的最短距离问题，解决此类问题的方法是：折线或曲线的最值问题，通常沿着多面体的棱或旋转体的母线展开成平面图形或曲面，结合平面图形求解．11.【答案】32 80【解析】解：易知(2+x)5的通项为T k+1=25−k ⋅C 5k⋅x k ．令k =0，得常数项为T 1=25=32，令k =2，得x 2的系数为23C 52=80．故答案为：32，80．求出展开式的通项，然后分别令x 的指数为0，2，即可求出k 的值，进而求出结果．本题考查二项式定理，通项法研究展开式中的特定项的方法．属于基础题．12.【答案】1 2【解析】解：等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和记为S n ，S 3=9，a 2+a 4=8， ∴{3a 1+3×22d =9a 1+d +a 1+3d =8，解得a 1=2，d =1．故答案为：1，2．利用等比数列的前n 项和公式和通项公式列出方程组，能求出结果．本题考查等比数列的公差和首项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13.【答案】π3 14【解析】解：因为cos(A −B)+cosC =cos(A −B)−cos(A +B)=32，所以cosAcosB +sinAsinB −cosAcosB +sinAsinB =32，所以2sinAsinB =32，即sinAsinB =34，因为c 2=ab ，所以sin 2C =sinAsinB =34，可得sinC =√32，因为C ∈(0,π)，且c 不是三角形最大边，所以C =π3，因为cosC =−cos(A +B)=−cosAcosB +sinAsinB =−cosAcosB +34=12，所以解得cosAcosB =14．故答案为：π3，14．利用诱导公式，两角和的余弦公式化简已知等式可得sinAsinB =34，利用正弦定理化简c 2=ab ，可得sinC =√32，结合C ∈(0,π)，且c 不是三角形最大边，可求C 的值，进而根据两角和的余弦公式即可求解cos A cos B 的值．本题主要考查了诱导公式，两角和的余弦公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．14.【答案】√5 3【解析】解：圆C：(x−a)2+(y−b)2=r2与的圆心C(a,b)，半径为r，由题意可得a2+(1−b)2=r2，a2+(5−b)2=r2，b=r，解得a=√5，b=3，r=3，故答案为：√5，3．求得圆的圆心和半径，分别代入A，B的坐标，以及圆心到x轴的距离为半径，可得a，b，r的方程，解方程可得圆的方程．本题考查圆的方程的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．15.【答案】8【解析】解：设焦点为(−c,0)，(c,0)，可得a2−b2=a12+b12=c2，设P为第一象限的点，|PF1|=m，|PF2|=n，由椭圆的定义可得m+n=2a，由双曲线的定义可得m−n=2a1，解得m=a+a1，n=a−a1，由∠F1PF2=π2，可得m2+n2=4c2，即(a+a1)2+(a−a1)2=4c2，化为a2+a12=2c2，可得a2c2+a12c2=2，即有1e12+1e22=2，又e1e2=2，可得则e12+e22=2(e1e2)2=8，故答案为：8．设焦点为(−c,0)，(c,0)，P为第一象限的点，|PF1|=m，|PF2|=n，运用椭圆和双曲线的定义，解得m，n，再由勾股定理，可得e1，e2的关系，结合条件e1e2=2，可得所求和．本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，以及勾股定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．16.【答案】[0,1516]【解析】解：当x>0时，f(x)≥|ax+1|在R上恒成立，即为|ax+1|≤x+4x，也即−x−4x ≤ax+1≤x+4x，可得−1−1x −4x2≤a≤1−1x+4x2，由y=1−1x +4x2=4(1x−18)2+1516≥1516，可得a≤1516，由y=−1−1x −4x2=−4(1x+18)2−1516<−1516，可得a≥−1516，则−1516≤a≤1516；当x=0时，f(0)=2>|a⋅0+1|恒成立；当x<0时，−(x2+2x+2)≤ax+1≤x2+2x+2，即x+1x +2≤a≤−x−3x−2恒成立，由y=−x−3x −2≥2√−x⋅3−x−2=2√3−2，当且仅当x=−√3时，取得等号，可得a≤2√3−2；由y=x+1x+2≤−2+2=0，当且仅当x=−1取得等号，可得a≥0，则0≤a≤2√3−2，综上可得，a的取值范围是[0,1516].故答案为：[0,1516].运用参数分离和二次函数的性质和不等式的性质，讨论x=0，x>0，x<0时，不等式恒成立时，a的取值范围，求并集可得所求范围．本题考查不等式恒成立问题解法，以及分段函数的运用，考查分类讨论思想和运算能力、推理能力，属于中档题．17.【答案】√7+1【解析】解：a⃗+b⃗ −c⃗=b⃗ −(c⃗−a⃗ )，设n⃗=b⃗ −(c⃗−a⃗ )，当|n⃗|最大时，b⃗ 与(c⃗−a⃗ )反向，∵a⃗⊥b⃗ ，∴a⃗⊥(c⃗−a⃗ )，∴|a⃗|=√(2√2)2−1=√7，故|n⃗|的最大值是：√7+1，即|a⃗+b⃗ −c⃗|的最大值是：√7+1，故答案为：√7+1．根据向量的运算性质求出模的最值即可．本题考查了向量的运算性质，考查了转化思想，是一道中档题．18.【答案】解：(1)因为f(x)=√34sin2x+14cos2x=12(√32sin2x+12cos2x)=12sin(2x+π6)，所以f(x)的最小正周期T=2π2=π．(2)因为0≤x≤5π12，所以0≤2x≤5π6，所以π6≤2x+π6≤π，所以f(x)在区间[0,5π12]上的值域为[0,12]．【解析】(1)利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f(x)=12sin(2x+π6)，利用正弦函数的周期公式即可求解．(2)由已知可求范围π6≤2x+π6≤π，利用正弦函数的性质即可求解．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质的应用，考查了转化思想和函数思想的应用，属于基础题．19.【答案】(1)证明：由题意，延长AA1，BB1，CC1，DD1可交于一点，记为P，连接BD与AC交于O，连接OD1，∵A1D1=1，AD=2，∴D1是PD中点，又O是BD中点，∴PB//D1O，∵PB⊄平面ACD1，D1O⊂平面ACD1，∴PB//平面ACD1，∴B1B//平面ACD1．(2)解：如图建立空间直角坐标系，P(0,0，2)，C(2,2，0)，∴C 1(1,1，1)，∴C 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,−1)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0)，D(0,2，0)， ∴D 1(0,1，1)，∴AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1)，设n⃗ =(x,y,z)为平面ACD 1的一个法向量，则{n ⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴{2x +2y =0y +z =0，可取n⃗ =(1,−1,1)，又C 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,−1)，设直线C 1C 与ACD 1平面所成角为θ，则sinθ=|cos〈C 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ 〉|=√3√3=13． ∴直线C 1C 与平面ACD 1所成角的正弦值为13．【解析】(1)延长AA 1，BB 1，CC 1，DD 1可交于一点，记为P ，连接BD 与AC 交于O ，连接OD 1，推导出PB//D 1O ，从而PB//平面ACD 1，由此能证明B 1B//平面ACD 1． (2)建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线C 1C 与平面ACD 1所成角的正弦值．本题考查线面平行的证明，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(1)∵a n+1a n=2，所以数列{a n }为等比数列，公比q =2,a 1q +a 1q 2=12，所以a 1=2，∴a n =2n ，所以b n −b n−1=2n−1， …，b 2−b 1=21，利用叠加法：b n −b 1=2+22+⃯+2n−1=2n −2 ∴b n =2n −1(2)证明：由(1)得：1b 1+1b 2+⋯+1b n=1+122−1+⋯+12n −1<1+13+122+⋯+12n−1=43+12(1−(12)n−2)=116−(12)n−1<116．【解析】(1)直接利用已知条件和等比数列的应用和叠加法的应用求出结果． (2)利用(1)的结论和放缩法的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，放缩法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．21.【答案】解：(1)根据题意可得5−(−p2)=6，解得p =2，所以抛物线的方程为y 2=4x ． (2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，N(x 0,y 0) 根据题意可得直线l 1方程为：y =kx −1，直线l 2方程为：y =−1k x −1，联立直线l 1与抛物线的方程得{y =kx −1y 2=4x ，消掉y 得k 2x 2−(2k +4)x +1=0，所以x 1+x 2=2k+4k 2，x 1x 2=1k 2，因为{AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λMB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ NA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λNB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以{−x 1=λx 2x 1−x 0=λ(x 2−x 0)，即λ=−x 1x 2=x 1−x 0x 2−x 0，所以x 0=2x 1x 2x1+x 2=1k+2，所以|MN|=√(x 0−0)2+(y 0+1)2=√x 02+(kx 0−1+1)2=√(1+k 2)|x 0|=√1+k 2k+2，因为直线l 2方程为：y =−1k x −1，所以C(−1,1k −1)，所以|MC|=√(−1−0)2+(1k −1+1)2=√1+1k 2，所以S △CMN =12|MN||MC|=12√1+k 2k+2√1+1k 2=1+k 22k(k+2)(k >0)，f(k)=1+k 2k(k+2)(k >0)．则f′(k)=2k 2−2k−2(k 2+2k)2(k >0)，令f′(k)=0，解得k =1±√52，所以f(k)在(0,1+√52)单调递减，在(1+√52,+∞)上单调递增．所以f(k)min =f(1+√52)=√5−12，所以S △CMN ∈[√5−12,+∞)．【解析】(1)由抛物线的定义可得5−(−p2)=6，解得p ，进而可得抛物线的方程． (2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，N(x 0,y 0)分别写出直线l 1，l 2方程，联立直线l 1与抛物线的方程消掉y 得关于x 的一元二次方程，结合韦达定理可得x 1+x 2，x 1x 2，由{AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λMB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗NA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λNB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，推出λ=−x 1x 2=x 1−x 0x 2−x 0，即x 0=2x 1x 2x 1+x 2=1k+2，由两点之间的距离公式可得|MN|=√1+k 2k+2，|MC|=√1+1k 2，推出S △CMN =1+k 22k(k+2)(k >0)，f(k)=1+k 2k(k+2)(k >0)，求导，分析单调性，进而得出取值范围．本题考查直线与抛物线相交问题，解题需要一定运算能力，属于中档题．22.【答案】解(1)当λ=1时，f(x)=e x−1+lnx(x >0),f′(x)=e x−1+1x设切点坐标为Q(x 0,f(x 0))，则曲线过Q 的切线方程为：y =f′(x 0)(x −x 0)+f(x 0)=(e x 0−1+1x 0)(x −x 0)+e x 0−1+lnx 0，由切线经过点P 可得t =(1−x 0)e x 0−1+lnx 0−1，令g(x)=(1−x)e x−1+lnx −1，则g′(x)=−xe x−1+1x g″(x)=−(1+x)e x−1−1x 2<0，注意到g′(1)=0，且g′(x)在x >0上单调递减，所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，故g(x)≤g(1)=−1，而当x →0+，g(x)→−∞，当x →+∞，g(x)→−∞，故若t =g(x)有两个实根，则t 的取值范围是t <−1； (2)①F(x)=f(x)+λ=e x−1+λlnx +λ,F′(x)=e x−1+λx ，当λ≥0时，F′(x)>0，故F (x)在x >0上单调递增，不可能有两个零点，当λ<0时，令F′(x 0)=0，则e x 0−1+λx 0=0，即λ=−x 0e x 0−1，此时F′(x)=e x−1−x 0xe x 0−1=xe x−1−x 0e x 0−1x所以当0<x <x 0时，F′(x)<0，F(x)单调递减，当x >x 0时，F′(x)>0，F(x)单调递增，又当x →0+，F(x)→+∞，当x →+∞，F(x)→+∞，所以要使F(x)在x >0上有两个零点，则F(x 0)<0，即0>F(x 0)=e x 0−1+λlnx 0+λ=−λx 0+λlnx 0+λ=λ(lnx 0−1x 0+1)，所以lnx 0−1x 0+1>0，令ℎ(x)=lnx −1x +1，注意到ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，且ℎ(1)=0，所以x 0>1，所以λ=−x 0e x 0−1<−1．②证明：考虑使用零点存在定理，即F(1e )=e 1e −1>0,F(1)=1+λ<0，当x →+∞，F(x)→+∞，所以1e <x 1<1<x 2，另解：由e x−1+λlnx +λ=0得−λ=e x−1lnx+1(x ≠1e )，记g(x)=e x−1lnx+1，g′(x)=e x−1(lnx−1x+1)(lnx+1)2，当x ∈(0,1)且x ≠1e 时g′(x)<0，当x >1时g′(x)>0，画出g(x)的大致图象，如图示，有两个零点的条件是： −λ>1⇒λ<−1，1e<x 1<1<x 2．【解析】(1)由导数的几何意义可得切线的斜率f′(x 0)，进而可得过点Q 的切线方程，再代入点P 可t =(1−x 0)e x 0−1+lnx 0−1，根据题意可得该方程有两个根，令g(x)=(1−x)e x−1+lnx −1，求导分析g(x)的单调性，值域，进而可得t 的取值范围；(2)①根据题意可得F(x)=e x−1+λlnx +λ，求导得F′(x)=e x−1+λx ，分两种情况当λ≥0时，当λ<0时，F′(x)的正负，F(x)的增减性，及值域，使得F(x)有两个零点，进而可得λ的取值范围．②由零点存在定理，得F(1e )>0，F(1)<0，当x →+∞，F(x)→+∞，进而可得1e <x 1<1<x 2．另解：由e x−1+λlnx +λ=0得−λ=e x−1lnx+1(x ≠1e )，记g(x)=e x−1lnx+1，求导，分析g(x)的单调性，作出g(x)的草图，若有两个零点的条件是：λ<−1，即可得出结论1e <x 1<1<x 2．本题考查导数的几何意义，函数的零点，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题．。

【高二上数学】浙江省9+1高中联盟2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题(解析版)

2023学年第一学期浙江省9+1高中联盟高二年级期中考试数学考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷； 4．参加联批学校的学生可关注“启望教育”公众号查询个人成绩分析.一．单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 直线310x +−=的倾斜角是（） A.π3B.2π3C.π6D.5π6【答案】D 【解析】【分析】将直线方程化为斜截式，从而得到直线的斜率与倾斜角. 【详解】直线310x −=，即3333y x =−+，则直线的斜率33k =−，所以倾斜角为5π6. 故选：D2. 若复数z 满足：()12i 8i z +=+，则复数z 的虚部为（） A. 3− B. 2C. 3D. 3i −【答案】A 【解析】【分析】先根据复数的除法运算求解出z ，然后判断出z 的虚部即可. 【详解】因为()12i 8i z +=+，所以()()()()8i 12i 8i 816i i 223i 12i 12i 12i 5z +−+−++====−++−，所以z 的虚部为3−，故选：A.3. “1x <”是“ln 0x <”成立的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【详解】由ln 0x < ，解得01x << ，所以“1x <”是“ln 0x <”成立的必要不充分条件.故选B. 4. 若函数()()cos 2f x x φ=+的图象关于直线56πx =−对称，则ϕ的最小值是（） A.4π3B.2π3C. π3 D. π6【答案】C 【解析】【分析】利用余弦函数的对称轴列式，计算即可得解.【详解】由题意555cos π1ππ,Z ππ,Z 333k k k k ϕϕϕ⎛⎫−+=±⇒−+=∈⇒=+∈ ⎪⎝⎭ϕ⇒=⋅⋅⋅，4π3−，π3−，2π3，5π3，…，则ϕ的最小值是π3，故选：C.5. 在直三棱柱111ABCA B C 中，1,,,AB BC AB BC AA D E ⊥==分别为,AC BC 的中点，则异面直线1C D 与1B E 所成角的余弦值为（）A.33B.5 C.1010D.3010【答案】D 【解析】【分析】设2AB =，取11A B 的中点F ，连接1,,C F DF DE ，则可得1C DF ∠为异面直线1C D 与1B E 所成的角或补角，然后在1C DF 中求解即可.【详解】设2AB =，取11A B 的中点F ，连接1,,C F DF DE ，则11112B F A B = 因为,D E 分别为,AC BC 的中点，所以DE ∥AB ，12DE AB =，因为11A B ∥AB ，11A B AB =，所以DE ∥1B F ，1B F DE =，所以四边形1DEB F 为平行四边形，所以DF ∥1B E ，所以1C DF ∠为异面直线1C D 与1B E 所成的角或补角.因为1,,2,AB BC AB BC AA D E =⊥==分别为,AC BC 的中点，所以()222222111125,125,226DF B E C F C D ==+==+==+=，所以11163022cos 5C DC DF DF ∠===. 故选：D6. 若关于x 的不等式()2190x m x −++≤在[]1,4上有解，则实数m 的最小值为（）A. 9B. 5C. 6D.214【答案】B 【解析】【分析】先通过分离参数得到91m x x +≥+，然后利用基本不等式求解出9x x+的最小值，则m 的最小值可求.【详解】因为()2190x m x −++≤在[]1,4上有解，所以91m x x+≥+在[]1,4上有解，所以[]()min 911,4m x x x ⎛⎫+≥+∈⎪⎝⎭，又因为9926x x x x+≥⋅=，当且仅当9x x =即3x =时取等号，所以16m +≥，所以5m ≥，即m 的最小值为5，故选：B.7. 设椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>与双曲线2C ：22221x ya b−=的离心率分别为1e ，2e ，且双曲线2C 的渐近线的斜率小于155，则21e e 的取值范围是（）A. ()1,4B. ()4,+∞C. ()1,2D. ()2,+∞【答案】C 【解析】【分析】由双曲线的渐近线的斜率小于155，即可得出22305b a <<，由此即可求出21e e 的取值范围，从而求解【详解】由题意得，221c a b =−222c a b =+所以22221112221c c a b b e a a a a −====−22222222221c c a b b e a a a a+====+又因为双曲线的渐近线的斜率小于155，得222305b k a <=<，所以222212101b e a e b a+=>−，即()2222211211,411e k e k k ⎛⎫+==−+∈ ⎪−−⎝⎭，得()211,2e e ∈，故C 正确. 故选：C.8. 如图，四棱锥P ABCD −中，//AB CD ，22AB CD ==，ACD 是正三角形，PA AC ⊥，平面PAC ⊥平面PBC ，若点F 是PAD 所在平面内的动点，且满足2FA FD +=，点E 是棱PC （包含端点）上的动点，则当直线AE 与CD 所成角取最小值时，线段EF 的长度不可能为（）A.5 B.62C.264D.72【答案】A 【解析】【分析】由三余弦定理确定直线AE 与CD 所成角取最小值时点E 的位置，根据椭圆定义确定F 点的轨迹，在平面PAD 内，以O 为坐标原点，DA 为x 轴建立平面直角坐标系，求椭圆方程，求OF 范围；因为EO ⊥平面PAD ，所以EO OF ⊥，根据勾股定理求67,22EF. 【详解】三余弦定理：如图直线AB 与平面BOC 相交于点B ，过A 作AO ⊥平面BOC ,垂足为O ，BC 为平面BOC 内一直线, 过O 向BC 引垂线且垂足为C ，连结BO ，因为AO ⊥平面BOC ，AO BO ⊥,AO BC ⊥ 又因为BC OC ⊥,且AO OC O =,所以BC⊥平面AOC ，所以BC AC ⊥所以AOB 90∠=,90OCB ∠=,90ACB ∠=, 设ABO α∠=,ABC β∠=,CBO,cosBCAB ,cos BOAB ,cos BCBO, 所以cos cos cos βαγ=⋅；因为ACD 是正三角形，所以1DC AC ==,60ACD ∠=, 又因为//AB CD ，所以60CAB ∠=,在ABC 中，1AC =,2AB =,60CAB ∠=，由余弦定理有：2222cos 60BC AC AB AC AB ，解得3BC =,满足222AB AC BC =+,所以BC AC ⊥, 过A 作AH PC ⊥于点H ,因为平面PAC ⊥平面PBC ，平面PAC 平面PBC PC =,由面面垂直的性质可知AH BC ⊥, 又AHAC A =,所以BC ⊥平面PAC ；因为AE 与CD 所成的角等于AE 与AB 所成的角设为θ，即EAB θ=∠，由三余弦定理得：11cos cos cos cos 22EAC CAB EAC θ=∠⋅∠=∠≤，此时E 与C 重合，设AD 的中点为O ，因为ACD 是正三角形，⊥EO AD , 则222213122EOEAAO，根据已知条件，点F 的轨迹满足椭圆定义，设椭圆方程()2222100x y a b a b +=>>，，因22FAFDa ，所以1a =，因为12AD c ，所以12c =，因为a c >，所以点F 的轨迹是椭圆，222a b c =+，所以32b =, 在平面PAD 内，以O 为坐标原点，DA 为x 轴建立平面直角坐标系，为为椭圆方程为22413y x +=，设()00,F x y ，则2200413y x ，又因为PA AE ⊥,PA BE ⊥,AE BE E =,所以PA ⊥平面ABCD ,PA EO ⊥,PA AD A ⋂=, 所以EO ⊥平面PAD ，因为EO ⊥平面PAD ，所以EO OF ⊥, 所以222222000371443EFOE OF x y y ，又因为20304y ，所以267174434y ，所以67,22EF， 2426626727284424244故选：A【点睛】三余弦定理的应用，利用椭圆方程求OF 的范围，利用垂直关系转化边长求EF 范围.二．多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错或不选的得0分）9. 下列命题正确的是（） A. 集合{},,A a b c =的子集共有8个B. 若直线1l ：10x ay +−=与2l ：210a x y −+=垂直，则1a =C. 若221x y +=（x ，R y ∈），则34x y −的最大值为5D. 长、宽、高分别为1、2、3的长方体的外接球的表面积是14π【答案】ACD 【解析】【分析】根据子集的概念求出子集判断A ，利用两直线垂直的公式列式计算判断B ，换元法利用余弦函数的最值判断C ，根据长方体的外接球的直径为体对角线求解半径，代入球的表面积公式计算判断D . 【详解】集合{},,A a b c =的子集有∅，{}a ，{}b ，{}c ，{},a b ，{},a c ，{},b c ，{},,a b c 共8个，故A 正确；因为直线1l ：10x ay +−=与2l ：210a x y −+=垂直，则20a a −=，即()2110a a ⨯+⨯−=，解得0a =或1，故B 错误；由221x y +=设cos x θ=，sin y θ=，则()343cos 4sin 5cos 5x y θθθϕ−=−=+≤，故C 正确；由长方体的体对角线为其外接球的直径知：222212314R =++=，所以142R =，所以长方体的外接球的表面积是24π14πS R ==，故D 正确；故选：ACD10. 已知向量()2,cos a θ=−，()sin ,1b θ=，则下列命题正确的是（） A. 不存在R θ∈，使得//a b B. 当2tan 2θ=时，a b ⊥ C. 对任意R θ∈，都有a b ≠D. 当3a b ⋅=时，a 在b 方向上的投影向量的模为355【答案】ABD 【解析】【分析】根据向量间运算与三角恒等变换逐项判断即可. 详解】对于A ，若//a b ，则有sin cos 2sin 2221θθθθ=−⇒=−<−⇒不存在，故A 正确；对于B ，若ab ⊥，则【202cos 0tan 2a b θθθ⋅=⇒−+=⇒=，故B 正确；若22222cos sin 1cos 21a b θθθ=⇒+=+⇒=−，存在θ，故C 不正确；()22sin cos 333,33a b θθθθθϕ⎫⋅=−+=+=+=⎪⎪⎭其中3cos ,sin ,363ϕϕ== 所以()()cos 12π,k Z k θϕθϕ+=⇒+=∈222sin sin 3θϕ⇒==， 2333cos 35551sin a b a bθθ⋅====+，故D 正确；故选：ABD11. 已知直线l ：()()1120x y λλλ++−+=，C ：2240x y y +−=，则下列结论正确的是（）A. 直线l 恒过定点()2,4−B. 直线l 与C 必定相交C.C 与1C ：2240x y x +−=公共弦所在直线方程y x =D. 当0λ=时，直线l 与C 的相交弦长是2【答案】BC 【解析】【分析】求出直线l 过的定点判断A ；由点与圆的位置关系判断B ；求出公共弦所在直线方程判断C ；利用圆的弦长公式计算判断D.【详解】依题意，直线l ：()()20x y x y λ−+++=，由200x y x y −+=⎧⎨+=⎩，解得11x y =−⎧⎨=⎩，直线l 恒过定点()1,1−，A 错误；显然点()1,1−在C 内，则直线l 与C 必定相交，B 正确；C 的圆心(0,2)C ，半径2r =，1C 的圆心1(2,0)C ，半径12r =，111||22(,)CC r r r r =−+，即C 与1C 相交，把两个圆的方程相减得公共弦所在直线方程440y x −+=，即y x =，C 正确；为当0λ=时，直线l ：0x y +=，点()0,2C 到直线l 的距离，0222d +==，因此直线l 与C 的相交弦长为22222r d −=，D 错误.故选：BC12. 设椭圆C ：2214x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，椭圆C 的右顶点为A ，点P 、Q 都在椭圆C 上且P 、Q 关于原点对称，直线x m =与椭圆C 相交于点M 、N ，则下列说法正确的是（） A. 四边形12PFQF 不可能是矩形 B.2PQF 周长的最小值为6C. 直线P A ，QA 的斜率之积为定值14−D. 当2F MN 的周长最大时，2F MN 3 【答案】BCD 【解析】【分析】A ：先判断出四边形12PFQF 是平行四边形，然后根据对角线长度的关系判断即可； B ：利用椭圆的定义以及PQ 的范围求解出2PQF 周长的最小值；C ：利用坐标表示出斜率关系，然后根据点在椭圆上化简运算，从而求得结果；D ：将点M 设为(),2πcos ,in 2s πθθθ⎛⎫⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后表示出2F MN 的周长，结合三角形函数确定出周长最小时θ的值，从而可求面积.【详解】对于A ：因为点O 平分12,PQ F F ，所以四边形12PFQF 是平行四边形，又因为2a =，1b =且[]2,2PQ b a ∈，所以[]221,2,4c a b PQ =−=∈，所以123F F =12PQ F F =有可能成立，故A 不正确；对于B ：因为四边形12PFQF 是平行四边形，所以21QF PF=，所以2PQF 周长为2221246PF QF PQ PF PF PQ a PQ PQ ++=+=+=+≥+，故B 正确；对于C ：因为()2,0A ，设()11,P x y ，所以()11,Q x y −−，所以21211122111141422444AP AQx y y y k k x x x x −−−⋅=⋅===−−−−−−，故C 正确；对于D ：由题意可知()2,0m ∈−，设()π2cos ,πsin ,2M θθθ⎛⎫⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，)23,0F ，所以()()()222222cos 3sin 03cos 43cos 43cos 223MF θθθθθθ=−+−=−+=−=，所以2F MN 的周长为π4232sin 44sin 83θθθ⎛⎫−+=+−≤ ⎪⎝⎭，当且仅当πsin 13θ⎛⎫−= ⎪⎝⎭，即ππ5π326θθ−=⇒=时取等号，所以2112sin 2cos 3123322F MN S θθ=⨯⨯=⨯⨯=△，故D 正确；故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆性质的综合运用，其中涉及到焦点三角形、定值等问题，着重考查学生的转化与计算能力，难度较大.C 项的解答关键在于表示完斜率乘积后利用点所满足的椭圆方程进行化简计算，D 项的解答关键在于将点的坐标设为三角函数形式，利用三角形函数的取值范围进行分析求解.三．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应的横线上）13. 若双曲线221691440x y −−=上一点M 与它的一个焦点的距离为9，则点M 与另一个焦点的距离为________．【答案】15或3 【解析】【分析】化双曲线方程为标准方程，利用双曲线定义求解.【详解】因为221916x y −=，所以3a =，4b =，5c =，设点M 与另一个焦点的距离为x ，则由双曲线的定义得，926x a −==，解得15x =或3x =. 故答案为：15或314. 已知一个圆锥的侧面积为6π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为___________. 【答案】3π 【解析】【分析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，分析得出2l r =，由圆锥的侧面积计算出l 、r 的值，可求得圆锥的高，再利用圆锥的体积公式可求得结果.【详解】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则圆锥的底面圆周长为r l 2π=π，可得2l r =，圆锥的侧面积为226rl r πππ==，解得3r =，23l =，所以，圆锥的高为223h l r =−=，因此，该圆锥的体积为21133333V r h πππ==⨯⨯=. 故答案为：3π.15. 若直线l ：0x y m ++=与曲线C ：29y x =−只有一个公共点，则实数m 的取值范围是________．【答案】(]{}3,332−−【解析】【分析】先对曲线C 进行变形，可知其表示圆的上半部分，画出曲线C 及直线l ，采用数形结合即可求得结果．【详解】因为曲线2:9C y x =−，可化为()2290x y y +=≥，所以曲线C 是以(0,0)为圆心，3为半径的圆的上半部分，直线:l y x m =−−的斜率为1−，在y 轴上的截距为m −，画图如下：由于直线与曲线只有一个公共点，由图得：[)(]3,33,3m m −∈−⇒∈−，当直线l 与圆相切时，则3322m d m ==⇒=±，由图可知32m =−综上：(]3,3m ∈−或32m =−．故答案为：(]{}3,332−−．16. 已知扇形OPQ 中，半径2r =，圆心角为π02θθ⎛⎫<<⎪⎝⎭，若要在扇形上截取一个面积为1的矩形ABCD ，且一条边在扇形的一条半径上，如图所示，则tan θ的最小值为________．【答案】43【解析】【分析】连接CO ，设COP α∠=，分别用含α的三角函数表示,AB BC ，表示出矩形ABCD 的面积，由矩形面积为1求得tan θ的最小值.【详解】连接CO ，设COP α∠=，则2sin AD BC α==，2cos OB α=，2sin tan tan AD OA αθθ==，2sin 2cos tan AB OB OA ααθ=−=−，则2sin 2cos 2sin 1tan ABCD S AB BC αααθ⎛⎫=⋅=−⋅= ⎪⎝⎭，则24sin 4sin cos 1tan αααθ−=，即24sin 4sin cos 1tan αααθ=−，即24sin tan 4sin cos 1αθαα=−24cos cos 41sin sin αααα=⎛⎫−− ⎪⎝⎭， ∴当cos 12tan sin 2ααα=⇒=时，()min 4tan 3θ=，故答案为：43四．解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin 3cos 0b A a B +=．（1）求角B 的大小；（2）若2a =，AC 边上的中线3BD =，求ABC 的面积S ．【答案】（1）2π3（2）23【解析】【分析】（1）由正弦定理统一为角的三角函数，化简即可得解；（2）利用中线的向量性质()12BD BA BC =+，结合余弦定理求出4c =，用面积公式求ABC 的面积【小问1详解】sin sin 3cos 0sin 3tan 3B A A B B B B =⇒=−⇒=−，因为()0,πB ∈，所以2π3B = 【小问2详解】()2211134222804242BD BA BC c c c c c ⎡⎤⎛⎫=+⇒=++⋅−⇒−−=⇒= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦113sin 2423222S ac B ⇒==⨯⨯⨯= 18. 亚洲运动会简称亚运会，是亚洲规模最大的综合性运动会，由亚洲奥林匹克理事会的成员国轮流主办，每四年举办一届．1951年第1届亚运会在印度首都新德里举行，七十多年来亚洲运动员已成为世界体坛上一支不可忽视的力量，而中国更是世界的体育大国和亚洲的体育霸主．第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举办，为普及体育知识，增强群众体育锻炼意识，衢州举办了亚运知识竞赛活动．活动分为男子组和女子组进行，最终决赛男女各有40名选手参加，下图是其中男子组成绩的频率分布直方图（成绩介于85到145之间），（1）求图中缺失部分的直方图的高度，并估算男子组成绩排名第8的选手分数：（2）若计划从男子组中105分以下的选手中随机抽样调查2个同学的答题状况，则抽到的选手中至多有1位是95分以下选手的概率是多少？（3）若女子组40位选手的平均分为117，标准差为11，试求所有选手的平均分和方差．【答案】（1）0.025；131 （2）1415（3）118；146 【解析】【分析】（1）先求出所有矩形的面积和为1，从而可求缺失部分的面积，根据矩形面积可求得第8名的成绩位于区间125分至135分之间，从而求解；（2）求得105以下合计6个人，对这6人编号后，利用列举法求解；（3）利用平均数和方差的定义求解即可. 【小问1详解】根据题意得：0.050.20.20.3101h ++++=，得：0.025h =，所以：图中缺失部分的直方图的高度0.025h =；因为分数位于135分至145分人数为：0.1404⨯=人，分数位于125分至135分人数：0.254010⨯=，设第8名选手的分数为x ，则：13541010x −=，得：131x =，所以可估算排名第8名选手的分数为131. 【小问2详解】分数105以下人数有：85分至95分人数：0.05402⨯=人，95分至105分人数：0.1404⨯=人，总共：6人，将6人依次编号为1，2，3，4，5，6（95分以下人编号为1，2），任选2个人的方法如下：列举出所有样本点：12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56共计15种，至多有1位是95分以下的选手有14种，所以概率为：1415P =. 【小问3详解】男子组40位选手的平均分:0.05900.11000.21100.31200.251300.1140119y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所有选手的平均分：1171191182z +==，女子组的方差：2121xS =，男子组的方差：()2222222901190.05190.190.210.3110.25210.1169y S =−⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=()()222222214014011171214012111740x S x x x x =+⋅⋅⋅+−=⇒+⋅⋅⋅+=+， ()()222222214014011191694016911940y S y y y y =+⋅⋅⋅+−=⇒+⋅⋅⋅+=+，所有选手的方差：()222222222140140112111716911921182901191181171181181468022zS x x y y +++−⨯++−−=+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+−===综述：所有选手的平均分118z =，所有选手的方差2146z S =.19. 已知双曲线C 的渐近线方程是3y x =±，点()2,3M 在双曲线C 上. （1）求双曲线C 的离心率e 的值；（2）若动直线l ：1y kx =+与双曲线C 交于A ，B 两点，问直线MA ，MB 的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1）2 （2）是，3 【解析】【分析】（1）根据双曲线的渐近线设出方程，将点的坐标代入求解方程，利用离心率公式直接求解即可；（2）联立方程，韦达定理，代入两斜率之和表达式化简即可求解. 【小问1详解】的由双曲线C 的渐近线方程是3y x =±，故设C ：223x y λ−=，因为()2,3M 在双曲线C 上，所以1293λ=−=，所以C ：2213y x −=，所以1a =，3b =222c a b =+=，所以2ce a==；【小问2详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，联立22331x y y kx ⎧−=⎨=+⎩得()223240k x kx −−−=，则248120k ∆=−>得24k <且23k ≠，12223kx x k +=−，12243x x k −=−，又111113132222222MA y kx k k k k k x x x −+−−+−===+−−−， 222223132222222MB y kx k k k k k x x x −+−−+−===+−−−，所以()121122222MA MBk k k k x x ⎛⎫+=+−+ ⎪−−⎝⎭()()()212121222244322122142424233kx x k k k k k k x x x x k k −+−−=+−=+−−+−++−−−()()()()()()()22222232124262212121341244221k k k k k k k k k k k k k k k k k k +−−++−=+−=−−=−−=−+−−+−+−.即直线MA ，MB 的斜率之和是3.20. 如图，四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 为矩形，4BC =，2PC PD CD ===，M 为AD 的中点．（1）若BM PC ⊥，求证：BM PM ⊥；（2）若二面角P CD A −−的余弦值为33，求直线PB 与平面PAD 所成角θ的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】【分析】（1）证明出BM ⊥平面PCM ，利用线面垂直的性质可证得结论成立；（2）设CD 的中点为N ，AB 的中点为E ，连接PN 、PE 、NE ，过点P 在平面PNE 内作PO NE ⊥，垂足为点O ，分析可知，二面角P CD A −−的平面角为PNE ∠，根据已知条件求出ON 、PN 的长，推导出PO ⊥平面ABCD ，以点O 为坐标原点，DC 、ON 、OP 的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得sin θ的值. 【小问1详解】证明：因为四边形ABCD 为矩形，则4AD BC ==，因为M 为AD 的中点，则122AM AD ==，又因为2AB =，AB AM ⊥，则ABM 为等腰直角三角形，所以，45AMB ∠=，同理可证45CMD ∠=，所以，18090BMC AMB CMD ∠=−∠−∠=，即BM CM ⊥，因为BM PC ⊥，PC CM C ⋂=，PC 、CM ⊂平面PCM ，所以，BM ⊥平面PCM ，因为PM ⊂平面PCM ，所以，BM PM ⊥. 【小问2详解】证明：设CD 的中点为N ，AB 的中点为E ，连接PN 、PE 、NE ，过点P 在平面PNE 内作PO NE ⊥，垂足为点O ，因为2PC PD CD ===，且N 为CD 的中点，则PCD 为等边三角形，且PN CD ⊥，2222213PN PD DN =−=−=因为四边形ABCD 为矩形，则//AB CD 且AB CD =，因为N 、E 分别为CD 、AB 的中点，所以，//AE DN 且AE DN =，且AD DN ⊥，所以，四边形ADNE 为矩形，所以，CD NE ⊥，所以，二面角P CD A −−的平面角为PNE ∠，则3cos 3PNE ∠=，因为PO NE ⊥，则3cos 313ON PN PNE =∠==，则22312PO PN ON =−=−=因为CD NE ⊥，PN CD ⊥，PN NE N =，PN 、NE ⊂平面PNE ，所以，CD ⊥平面PNE ，因为PO ⊂平面PNE ，则PO CD ⊥，因为PO NE ⊥，CDNE N =，CD 、NE ⊂平面ABCD ，所以，PO ⊥平面ABCD ，以点O 为坐标原点，DC 、ON 、OP 的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则()1,3,0A −−、()1,1,0D −、()1,3,0B −、(2P ，则()0,4,0AD =，(2AP =，(2BP =−，设平面PAD 的法向量为(),,n x y z =，则40320n AD y n AP x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取2x =，则()2,0,1n =−，所以，222sin cos ,3323n BP n BP n BPθ⋅====⨯⋅，因此，直线PB 与平面PAD 所成角θ的正弦值为23. 21. 已知函数()()232f x x x a x a =−−−．（1）当0a =时，求函数()f x 的值域；（2）若不等式()33f x ≥对x ∈R 恒成立，求实数a 的最小值．【答案】（1）[)0,∞+ （2）215a ≥ 【解析】【分析】（1）根据分段函数分别求各段()f x 的取值范围，然后取其并集即得. （2）首先去绝对值，分别求出0a ≤和0a >时，()f x 的最小值，结合恒成立条件解不等式即得. 【小问1详解】（1）()222,00325,0x x a f x x x x x x ⎧≥=⇒=−=⎨<⎩，①()[)200,x f x x ≥⇒=∈+∞；②()()2050,x f x x <⇒=∈+∞；综上：函数()f x 的值域是[)0,∞+；【小问2详解】（2）去绝对值得()22223,53,x ax a x af x x ax a x a⎧+−≥=⎨−+<⎩，当x a ≥时，方程2230x ax a +−=的21130a ∆=≥，()2222313324f x x ax a x a a ⎛⎫=+−=+− ⎪⎝⎭，当x a <时，方程22530x ax a −+=的22110a ∆=−≤，()222235553510100f x x ax a x a a ⎛⎫=−+=−+ ⎪⎝⎭，①2313430022a a a f a a ⎪−⎛⎫≤⇒≤−⇒−=< ⎝⎭，不符题意，∴0a ≤舍去； ②302a a a >⇒>−，()2min 3355331010100a a a f x f a ⎛⎫>⇒==≥ ⎪⎝⎭， 260215a a ⇒≥⇒≥；综上：215a ≥22. 已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点为()1,0F 2倍．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设过焦点F 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，1F 是椭圆的另一个焦点，若1ABF 内切圆的半径23r =，求直线l 的方程．【答案】（1）2212x y += （2）1x y =±+【解析】【分析】（1）由题意可求得1c =，2a b =，并且222a b c =+，求得a ，b ，c ，代入椭圆标准方程可得解；（2）设出直线l 方程与椭圆方程联立，根据韦达定理可得12y y +，12y y ，可求得112212112ABF S F F y y y y =⋅⋅−=−△，再根据内切圆半径可表示出1142ABF S a r =⋅⋅△，由此求得答案. 【小问1详解】由题可得1c =，焦点在x 轴上，222a b=2a b =， )2221b b ∴=+，解得21b =，22a =，所以椭圆C ：2212x y +=. 【小问2详解】设()11,,A x y ，()22,B x y ，设直线l 的方程为1x ty =+，()22222222101x y t y ty x ty ⎧+=⇒++−=⎨=+⎩的根为1y ，2y ， 12222t y y t +=−+，12212y y t −=+，且2880t ∆=+>，又∵()12221211212212212422ABF t S c y y y y y y y y t +=⋅⋅−=−=+−=+△，111244422233ABF S a r =⋅⋅=⨯=△， 2221413t t ⋅+=⇒=±，所以直线l 的方程为：1x y =±+.【点睛】思路点睛：本题第二小问属于直线与圆锥曲线综合性问题，设出过点F 的直线l 与椭圆联立，由韦达定理可得12y y +，12y y ，可求出1122112ABF S F F y y =⋅⋅−△，另根据三角形内切圆半径和面积的关系可求得1142ABF S a r =⋅⋅△，由此可求得直线l 的方程.。

浙江省9+1高中联盟2019-2020学年高二上学期期中考试数学参考答案

NE/ /AM , 四边形 AMNE 是平行四边形，MN / / AE
又 MN 平面SAB, AE 平面SAB , MN ∥平面 SAB .
(2)由题可知： SM AD 平面 SAD 平面 ABCD 且平面 SAD 平面 ABCD AD SM 平面ABCD SM BC
MN 平面SBC , MN 平面MNB
………………14 分
平面 MNB 平面 SBC
………………15 分
20.（1）证明：在梯形 A B C S 中，易得四边形 ABCD 为正方形,
BD 2 2 , SD 2 CD SD
折后 CD PD ,且 PD=2 , PB 2 3
当H1MH 2 60 时，
d12

d
2 2
d1d2

6

d1d2
d1d2 6
又 AC BD =4 25 d12 25 d22 d12d22 25(d12 d22 ) 252
…………12 分
所以 SABCD
3 AC BD = 4
3
d12d22 25d1d2 2519 19
………………7 分
（2）解法 1： SABCD

1 2
AC
BD sin 60
3 4
AC
BD
如图作 MH1 AC, MH2 BD ,令 MH1=d1, MH2 =d2 ， H1MH2 =120或60 当 H1MH2 =120 时，
H1H2 = d12 d22 2d1d2 cos120 d12 d22 d1d2
2 y1 y2 2 2
2 ty1y2

浙江省浙东北联盟(ZDB)2020-2021学年高二上学期期中考试数学答案

浙东北联盟（ZDB ）2020-2021学年第一学期期中考试高二数学答题卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号12345678910答案DACABCBDBC二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11．16π．12．33．13．01=-+y x ；2)1(22=-+y x ．1415．；[)7,2-．16．14．17．554；34．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18．（本题满分14分）已知正方体1111D C B A ABCD -，E 为棱AB 的中点．（Ⅰ）求证：C B E D 11⊥；（Ⅱ）求证：C EB AC 11//平面．18．(Ⅰ)证明：连结D A A D 11,，则C B D A 11//，∵11A ADD 是正方形，∴D A A D 11⊥．∵11A ADD AE 平面⊥，∴D A AE 1⊥．又A EA A D =⋂1，∴11AED D A 平面⊥．∵AE D E D 11平面⊂，∴D A E D 11⊥，∴C B E D 11⊥．—————————————7分（Ⅱ）证明：连结1BC ，与C B 1相交于点O ．∵O E ,分别是1,BC AB 的中点，∴EO AC //1，1D 1C 1B 1A DCBA EO又EC B AC 11平面⊄ ，EC B OE 1平面⊂，∴CEB AC 11//平面————————————————14分19．（本题满分15分）已知⊙16:22=+y x C ．（Ⅰ）设点()y x Q ,为⊙C 上的一个动点，求y x 34+的范围；（Ⅱ）直线l 过点()4,3P ，且与⊙C 交于A 、B 两点，若72=AB ，求直线l 的方程．解析（Ⅰ）设t y x =+34，则直线t y x =+34与⊙C 有公共点，所以圆心到直线的距离4≤d ，即43422≤+t ，解得2020≤≤-t ．——————7分（Ⅱ）当直线l 垂直于x 轴时，此时直线方程为3=x ，l 与圆的两个交点坐标为7,3(7,3(-，这两点的距离为72，满足题意；—————————————9分当直线l 不垂直于x 轴时，设其方程为)3(4-=-x k y ，即043=+--k y kx ，设圆心到此直线的距离为d (d ＞0)，则216272d -=，得3=d ，从而31432=++-k k ，得247=k ，此时直线方程为075247=+-y x ，综上所述，所求直线方程为075247=+-y x 或3=x ．———————————15分20．（本题满分15分）在斜三棱柱111ABC A B C -中，AC AB ⊥，⊥C B 1平面ABC ，且2==AC AB ，321=AA ．（Ⅰ）求证：平面⊥C AB 1平面11A ABB ；（Ⅱ）求直线1BC 与平面11A ABB 所成角的正弦值．（Ⅰ）证明： ⊥C B 1平面ABC ，AB C B ⊥∴1又AC AB ⊥，所以⊥AB 平面C AB 1，所以平面⊥C AB 1平面11A ABB ；——————7分ABC1A 1B 1C O E（Ⅱ）设O C B BC =11 ，作1AB OE ⊥于E ，连结BE ，平面⊥C AB 1平面11A ABB 于1AB ，⊥∴OE 平面11A ABB ，∴EBO ∠为1BC 与平面11A ABB 所成角；—————————————11分由已知32,21===BB AC AB ，得22211==A B C B ，，322=+=∴OC BC BO ，在等腰直角C AB 1∆中，22=OE ，所以62sin ==∠OB OE EBO ，即1BC 与平面11A ABB 所成角的正弦值为62．————15分21．（本题满分15分）在平面直角坐标系xOy 中，点)0,3(-A ，直线4:+=x y l ，设⊙C 的半径为2，圆心在直线l 上．（Ⅰ）若⊙C 与直线28y x =--相交于,E F 两点，且AE AF =，求⊙C 的方程；（Ⅱ）若⊙C 上存在点M ，使MO MA 2=，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．解:（Ⅰ）设EF 的中点为G ，连结,,,,AE AF CE CF AG CG ，，由已知得AG EF ⊥，又CE CF =，所以CG EF ⊥，则可得AC EF ⊥，则直线AC 的方程为()132y x =+，圆心C 满足()4132y x y x =+⎧⎪⇒⎨=+⎪⎩()5,1C --，则圆C 的方程为()()22514x y +++=.—————————————7分（Ⅱ）∵⊙C 的圆心在在直线4:+=x y l 上，所以，设圆心C 为)4,(+a a 则⊙C 的方程为[]4)4()(22=+-+-a y a x 又∵MO MA 2=，设),(y x M 22222)3(y x y x +=++整理得:4)1(22=+-y x设此为⊙D∴点M 应该既在⊙C 上又在⊙D 上即:⊙C 和⊙D 有交点，∴22)4()1(2222+≤++-≤-a a 由017622≥++a a 得R a ∈由01622≤++a a 得273273+-≤≤--a 终上所述，a 的取值范围为:⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+---273,273．————————————15分22．(本题满分15分）如图，在平行四边形ABCD 中， 60,4=∠=DAB AB ．点H G ,分别在边CB CD ,上，点G 与点D C ,不重合，GH AC GH ,⊥与AC 相交于点O ，沿GH 将CGH ∆翻折到EGH ∆的位置，使二面角B GH E --为 90，F 是AE 的中点．（Ⅰ）请在下面两个条件：①AD AB =，②BD AB ⊥中选择一个填在横线处，使命题P ：若，则EOA BD 平面⊥成立，并证明．（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，当EB 取最小值时，求直线BF 与平面EBD 所成角的正弦值．解：（Ⅰ）命题:P 若AD AB =，则EOA BD 平面⊥． AC GH ⊥，∴,AO GH EO GH ⊥⊥，又二面角B GH E --的大小为 90，∴90AOG ∠= ，即EO AO ⊥，∴EO ⊥平面ABCD ，∴EO BD ⊥，又BC AB =，∴AO BD ⊥，AO EO O = ，∴BD ⊥平面EOA .—————————————6分（Ⅱ）设AC 与BD 交于点M ， 60,4=∠=DAB AB，则AC =，设,CO x OM x ==，222216OB OM MB x =+=-+，2222216EB EO OB x =+=-+，ABC DEG HO F M当x =min EB ，连结EM ，作QF EM ⊥于F ，连结BF ，由（Ⅰ）知BD ⊥平面EOA ，∴BD QF ⊥，∴QF ⊥平面EBD ，∴QBF ∠即为QB 与平面EBD 所成角，在Rt EMB ∆中，2,EB BM EM AE ====由()()2222222QB AE AB BE QB +=+⇒=,QF =∴sin 11QF QBF QB ∠==，即QB 与平面EBD .—————15分。

2021-2022学年浙江省9+1联盟高二上学期期中考试数学试题 PDF版

2
5 5
y 4 y 4
x y 4 y 0

5
高二数学参考答案第 3页（共 4 页）
22．解（1）设曲线 C 上任一点 M（x, y ) ，则
( x 6) 2 y 2
x
4 6
3

3
2 ，
x2 y 2

1 .………4 分
8
2
（2）当 AB x 轴时，P 位于 x 轴上，且 OP AB ，
因为 6 人中任选 2 人的选法有 15 种，.∴ P
42 8

.………12 分
15
15
高二数学参考答案第 1页（共 4 页）
1
19. （12 分）解：(1) 由题意� � = �� ⋅
=
1
4
1
− ��2� +
4
（2）由�
�
2
3
4
2
�� +
3
2
1
1
�
��2� − = ��(2� − )，……4 分
1 2
3

，解得 x 2 ，……10 分
6
3
1
1 1
6
3
……12 分
S BDC h 3 6

3
3 2
3
3
（法二）向量法
以 DA,DC 为 x 轴，y 轴，过 D 且垂直平面 BCD 的直线为 z 轴建立空间直角坐标系，如图设

1
sin

ADB 0 ，则 AB = tan ，BD =
CD 平面 ACD ，所以 CD AB ，

浙江省9+1高中联盟2022-2023学年高二上学期期中数学试题含参考答案

2022年学年第一学期9+1高中联盟期中考试高二年级数学学科试题一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．设集合{}(5)0A x x x =-<，{}01B x x =<<，则()A B ⋂R等于（）A ．{}15x x <≤B ．{}1x x ≥C ．{}5x x <D ．{}15x x ≤<2．若a ，R b ∈，则“复数i z a b =+为纯虚数（㖷虚数单位）”是“0b ≠”的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．向量a ，b 分别是直线1l ，2l 的方向向量，且(1,3,5)a =，(,,2)b x y =，若12l l ∥，则a b ⋅=（）A ．12B ．14C ．16D ．184．已知定义域为R 的奇函数()f x ，满足(1)(1)f x f x +=-，且当[0,1]x ∈时，()21x f x =-，则(7)f 的值为（）A ．1-B ．0C ．1D ．25．若圆锥的表面积为3π，其侧面展开图为一个半圆，则下列结论正确的为（）A ．圆锥的母线长为1B ．圆锥的底面半径为2C D ．圆锥的侧面积为π 6．在三棱锥D ABC -中，AC BD =，且AC BD ⊥，E ，F 分别是棱CD ，AB 的中点，则EF 和AC 所成的角等于（） A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°7．已知lg 2a =， 1.52b -=，2023sin8c π=，则（） A ．c b a >> B ．b a c >> C ．a b c >>D ．c a b >>8．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足11111B P xB A yBC zB D =++，且1x y z ++=，直线1B P 与平面1ACD 所成角为3π，若二面角1P AD B --的大小为θ，则tan θ的最大值是（）A B CD ．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题列出的四个备选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的有（） A ．若m β∥，n β∥，m ，n α⊂，则αβ∥B ．若n α⊥，m α⊥，则m n ∥C ．若m n ∥，n α⊂，则m α∥D ．若m n ⊥，n α⊥，m α⊂/，则m α∥10．已知2,0,()1,0x x f x x ⎧<=⎨≥⎩，对于a ∀，R b ∈，下述结论正确的是（）A ．(2022)1f =B ．()()()f ab f a f b =+C ．()()()f a b f a f b +≥D ．()()()f ab f a f b =11．已知1F ，2F 双曲线22:13y C x -=的两个焦点，P 为双曲线C 上任意一点，则（）A ．12PF PF -=B ．122PF PF +≥C ．双曲线C 的离心率为3D ．双曲线C 的渐近线方程为y x =±12．在正三棱锥P ABC -中，2AB =，PA a =，E ，F ，分别为BC ，PC 的中点，若点Q 是此三棱锥表面上一动点，且QF PE ⊥，记动点Q 围成的平面区域的面积为S ，三棱锥P ABC -的体积为V ，则（）A ．当a =3V =B ．当2a =时，4V =C ．当a =2S =D ．当2a =时，4S =三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．将函数2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移(0)m m >个单位长度后的图象过原点，则m 的最小值______．14．若点(2,8)在幂函数()bf x ax c =+的图象上，则a b c ++的值为______． 15．已知四面体ABCD 中，112AB AD BC ===，AB ⊥平面ACD ，CD ⊥平面ABD ，则四面体ABCD 外接球的半径是______．16．已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左石焦点，P 是椭圆C 上一点，若线段1PF 上有且中点Q 满足12QF QO =（其中O 是坐标原点），则椭圆C 的离心率是______．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题满分10分）已知圆C 的圆心在x 轴上，且经过点(1,0)A -，(1,2)B ．（1）求圆C 的标准方程；（2）若过点1,12P ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，且MN =求直线l 的方程． 18．（本题满分12分）已知函数22()log log 24x xf x =⋅．（1）求函数()f x 的值域；（2）若对任意的[2,4]x ∈，不等式2(2)log 40f x a x -⋅+≥恒成立，求实数a 的取值范围． 19．（本题满分12分）某校对2022学年高二年级上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照[30,50)，[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图：（1）估计该校高二年级上学期期中数学考试成绩的第80百分位数；（2）为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在[50,70)和[70,90)的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至少有1人成绩在[50,70)内的概率． 20．（本题满分12分）已知四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，AB BC ⊥，4AB PA ==，2BC CD ==，PB =PD =．（1）求证：AD BP ⊥；（2）求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值． 21．（本题满分12分）在①()sin sin cos cos 0b B C C c C +++=，②sin(2)co sin s 21A B B A ++-=这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．已知ABC △的内角A ，B ，C 的所对的边分别为a ，b ，c ，______．（1）若6B π=，求A ；（2）求cos cos cos A B C ++的最大值． 22．（本题满分12分）已知点P 在圆22:6O x y +=上运动，过点P 作x 轴的垂线段PQ ，Q 为垂足，动点M 满足3PQ MQ =．（1）求动点M 的轨迹方程E ；（2）过点(0,1)的动直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，与圆O 交于C ，D 两点．（i ）求AB CD ⋅的最大值；（ii ）是否存在定点T ，使得TA TB ⋅的值是定值？若存在，求出点T 的坐标及该定值；若不存在，请说明理由．2022年学年第一学期9+1高中联盟期中考试高二数学参考答案一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）5分，共20分）13．3π14．4 15．1 16 四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．解：（1）设圆C 的标准方程为222()x a y r -+=，其中(,0)C a ，半径为(0)r r >，记线段AB 中点为D ，则(0,1)D ，又直线AB 的斜率为1，由条件得线段AB 中垂线CD 方程为1y x =-+，由圆的性质，圆心(,0)C a 在直线CD 上，化简得1a =，所以圆心(1,0)C ，2r CA ==，所以圆C 的标准方程为22(1)4x y -+=．（2）设F 为MN 中点，则CF l ⊥，得FM FN ==圆心C 到直线l 的距离1d CF ===，当直线l 的斜率不存在时，l 的方程12x =，此时12CF =，不符合题意，舍去．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程112y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即102k kx y -+-=，由题意得1d ==，解得0k =或43，故直线l 的方程为4133y x =+或1y =，即4310x y -+=或1y =，综上直线l 的方程为1y =或4310x y -+=．18．解：（1）因为()f x 定义域为(0,)x ∈+∞，则()()()22222()log 1log 2log 3log 2f x x x x x =--=-+，设2log x t =∈R ，2231132244y t t t ⎛⎫=-+=--≥- ⎪⎝⎭，所以()f x 值域为1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．（2）因为2(2)log 40f x a x -⋅+≥，所以()222log log 1log 40x x a x ⋅--+≥，设2log [1,2]x t =∈，则原问题化为对任意[1,2]t ∈，240t t at -+-≥，即41a t t≤+-，因为413t t+-≥，当且仅当2t =，4x =时，取到最小值，所以3a ≤． 19．解：（1）由0.005200.005200.0075200.0220200.0025201a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，可得0.01a =．样本数据中数学考试成绩在110分以下所占比例为0.10.10.150.40.75+++=，在130分以下所占比例为0.750.20.95+=，因此，第80百分位数一定位于[110,130)内，由0.80.75110201150.950.75-+⨯=-，所以样本数据的第80百分位数约为115．（2）由题意可知，[50,70)分数段的人数为1000.110⨯=（人）， [)70,90分数段的人数为1000.1515⨯=（人）．用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，则需在[50,70)内抽取2人，分别记为a ，b ，[70,90)内抽取3人，分別记为x ，y ，z ，设“从样本中抽取2人，至少有1人分数在[50,70)内”为事件A ，则样本空间为{,,,,,,,,,}ab ax ay az bx by bz xy xz yz 共包含10个样本点，而事件{,,,,,,}A ab ax ay az bx by bz =，包含7个样本点，所以7()10P A =，即抽取的这2名学生至少有1人成绩在[50,70)内的概率为710． 20．解：（1）在梯形ABCD 中，AB CD ∥，AB BC ⊥，4AB =，2BC CD ==，可算得AD BD ==AD BD ⊥，在PAD △中，4PA =，PD =，满足222PA AD PD =+，所以AD PD ⊥，所以AD ⊥面PBD ，所以AD BP ⊥．（2）由（1）证明可知，面PBD ⊥面ABCD ，取BD 中点O ，连OP ，OC ，因为BC CD =，所以OC BD ⊥，OC ⊥面PBD ，所以OPC ∠就是PC 与平面PBD 所成的角，在BCD △中，易得OC =在PBD △中，PB =BD PD ==OP =所以sin OC OPC PC ∠===，所以求直线PC 与平面PBD所成角的正弦值为4．解法2：由（1）证明可知，面PBD ⊥面ABCD ，通过计算可得23PDB π∠=，建立以DA ，DB 为x 轴，y 轴的正方向，以过D 与平面ABCD 垂直的向量为z 轴的正方向建立如图空间直角坐标系，则(0,0,0)D，(0,B，(0,P，(C ，所以(6)PC =--，(0,DP =，(0,DB =，设平面PBD 的法向量为(,,)n x y z =，则00n DP n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00⎧+=⎪⎨=⎪⎩，取(1,0,0)n =，设直线PC 与平面PBD 所成角为θ，则2sin 4PC n PC nθ⋅==⋅，所以求直线PC 与平面PBD ．21．解：（1）若选①，由正弦定理可得，sin (sin sin cos )sin cos 0B B C C C C +++=当6B π=时，代入得，11sin cos sin cos 022C C C C ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，整理可得11sin cos (sin cos )024C C C C +++=，11sin cos 022C C ⎛⎫⎛⎫++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，在ABC △中，sin 0C >，所以1sin 02C +≠，所以1cos 02C +=，所以23C π=，所以6A π=．若选②，当6B π=时，代入得，sin cos sin 133A A ππ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，11sin cos sin 1222A A A ++-=，11sin 22A A -+=，1sin 32A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 又因为0A π<<，2333A πππ-<-<，所以36A ππ-=，所以6A π=．（2）若选①，因为(sin sin cos )cos 0b B C C c C +++=，所以2sin sin sin sin cos sin cos 0B B C B C C C +++=，sin (sin sin )cos (sin sin )0B B C C B C +++=， (sin sin )(sin cos )0B C B C ++=，在ABC △中，sin 0B >，sin 0C >，所以sin cos 0B C +=．选②，因为sin(2)cos 2sin 1A B B A ++-=，所以sin cos2cos sin 2cos2sin 1A B A B B A ++-=，sin (cos 21)cos sin 21cos 2A B A B B -+=-，222sin sin 2cos sin cos 2sin A B A B B B -+=，在ABC △中，sin 0B ≠，所以sin sin cos cos sin A B A B B -+=，sin cos()cos B B A C =+=-，由cos sin cos 2C B B π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，及cos y x =在(0,)π上递减，可得2C B π=+，进一步得22A B π=-，所以cos cos 2sin 22sin cos 2A B B B B π⎛⎫=-==⎪⎝⎭，所以cos cos cos 2sin cos cos sin A B C B B B B ++=+-，设cos sin (0,1)B B t -=∈，则22sin cos 1B B t =-，2215cos cos cos 124A B C t t t ⎛⎫++=-+=--+ ⎪⎝⎭，当12t =时，cos cos cos A B C ++最大值为54． 22．解：（1）设点(,)M x y ，()00,P x y ，因为3PQ MQ =，所以00x x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以22)6x +=，即动点M 的轨迹E 的方程为22162x y += （2）（i ）①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为1y kx =+，联立方程组221162y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()2213630kxkx ++-=，则()()22612130k k ∆=++>恒成立，且122613k x x k +=-+，122313x x k=-+，AB =，CD ==所以AB CD ⋅= 设()()()2222616531k k t k++=+，则429(4)6(6)50t kt k t -+-+-=，则236(6)36(4)(5)0t t t ∆=----≥，得163t ≤，当且仅当216k =时取到，此时AB CD ⋅最大值是16． ②当直线l 的斜率不存在时，则直线l 为0x =，可得AB =，CD =此时AB CD ⋅=AB CD ⋅最大值是16．（ii ）当直线l 的斜率存在时，设(,)T m n ，()11,A x y ，()22,B x y ，可得，()()()()()()11221212,,TA TB x m y n x m y n x m x m y n y n ⋅=--⋅--=--+--()()()()121211x m x m kx n kx n =--++-+-()()22212121()21k x x k kn m x x m n n =++--+++-+2222(69)632113n k mk m n n k-+-=++-++ 要使得上式为定值，即与k 无关，则满足60m =且6933n -=-⨯，解得0m =，0n =，即点(0,0)T ，此时2TA TB ⋅=-，当直线l 的斜率不存在时，直线l 为0x =，解得A，(0,B ，所以2TA TB ⋅=-，综上可得，存在定点(0,0)T ，使得2TA TB ⋅=-．。

浙江省A9协作体2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含答案

2020学年A9协作体高二上期中试卷试题 1．直线210x y ++=在x 轴上的截距为（）A ．2B ．1C ．-1D ．12- 2．在空间坐标系中，点()1,2,3A 关于x 轴的对称点为（）A ．()1,2,3-B ．()1,2,3--C ．()1,2,3--D ．()1,2,3-3．体积为1的正方体的内切球的体积是（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．43π 4．一个图形的直观图是边长为2的正方形，则原图的面积为（）A ．22B ．42C ．8D ．825．a ，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，且满足m β⊄，则以下结论正确的是（）A ．若m a ∥，n a ∥，则m n ∥B ．若m a ∥，a β∥，则m β∥C ．若m a ∥，m β∥，则a β∥D ．若m n ∥，n a ∥，则m a ∥ 6．过点()2,1作圆224x y +=的切线，切线的方程为（）A ．34100x y +-=B ．3420x y --=C ．2x =或3420x y --=D ．2x =或34100x y +-= 7．一个几何体的正视图如右图所示，则该几何体的俯视图不可能是（）A ．B ．C ．D ．8．如右图，正方形ABCD 与正方形ADEF 互相垂直，G 是AF 的中点，则（）A ．BE 与CG 异面但不互相垂直B ．BE 与CG 异面且互相垂直C ．BE 与CG 相交但不互相垂直D ．BE 与CG 相交且互相垂直9．矩形ABCD 中，3AB =，2BC =，E 在CD 上，且1CE =，现沿BE ，AE 将BCE △，ADE 折起，使得点C 落在DE 上，设此时AD ，BC 与平面ABE 所成的角分别是为a ，β，则（）A ．2a β<B ．2a β>C ．sin 2sin a β<D ．sin 2sin a β> 10．已知三棱锥P ABC -的体积为3，且满足PA ，PB ，PC 两两垂直，二面角A BC P --为60°，则C AB △面积的最小值为（）A ．6B ．3C ．9D ．311．若一个圆锥的底面半径和高都是1，则它的母线等于____________；它的体积等于____________．12．已知直线1:0l x y m --=与直线2:30l mx y ++=平行，则m =__________，1l 和2l 之间的距离为________________．13．若正三棱台111ABC A B C -中上底的边长为1，下底的边长为2，侧棱长为1，则它的表面积为__________，1AA 与1BC 所成角的余弦值为________________．14．在某几何体的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，则该几何体最长的棱的长度等于________________，该几何体的外接球的表面积为_________________．15．若圆()221x y a +-=上存在两个点到点()2,2A 的距离都是2，则实数a 的取值范围是__________________．16．如图在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AB CD ∥ ，90BAD ∠=︒ ，6AB = ，3PA = ，3AD =E 是直线PB 上的一个动点，则AE 与平面PDC 所成角的最大值为_________________．17．如图，在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，p 是1B C 的中点，Q ，R 分别在BC ，BD 上，则PQR △周长的最小值为________________．18．已知点()2,1A -，()4,1B ，直线:21l y x =-，（1）求直线AB 和l 交点的坐标；（2）若点P 在直线l 上，求22PA PB +的最小值19．已知圆C 与y 轴相切，圆心C 在射线()20y x x =+≥上，且截直线220x y --=所得弦长为855，（1）求圆C 的方程；（2）已知点()1,4P -，直线()()14510m x m y -+-+=与圆C 交于A 、B 两点，是否存在m ，使得PA PB =，若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．20．如图，在正三棱柱111BCD B C D -与四棱锥11A BDD B -组成的组合体中，底面ABCD 恰好是边长为2的菱形，且12CC =．（1）求证：1AD ∥平面11BCC B ；（2）设E 是BD 的中点，求直线1B E 与直线1AD 所成角的余弦值．21．如图，在三棱锥A BCD -中，3BC CD BD AC ==== ，2AD = ，E 是CD 的中点，3AF FD = ，平面ACD ⊥平面BEF ．（1）求证：BE EF ⊥；（2）求直线CD 和平面ABD 所成角的正弦值．22．如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD △是等腰直角三角形，90DPA ∠=︒ ，底面ABCD 是直角梯形，其中AB AD ⊥，2AD = ，3AB = ，1BC = ，3PB =．（1）证明：PC ⊥平面PAD ；（2）求二面角D PB C --的正切值．2020学年A9协作体高二上期中试卷试题1．选C2．答案为：B3．答案选A4．答案选D5．答案选： B6．答案选：D7．选C8．选A9．选B10．选A11，3π12=1314．填283π15．填(216．最大值为30°17．最小值为1+18．（1）1AB k =，:3AB y x =-，联立得交点()2,5--（2）设(),21P t t -，()()()()222222222422102024PA PB t t t t t t +=-++-+-=-+，()21011414t -+≥19．（1）设圆心是(),2t t +，半径是()0t t ≥，d =，所以()2241655t t -=+，即2t =，所以圆C 的方程为()()22244x y -+-=．（2）由已知需要满足PC AB ⊥，8PC k =，18AB k =-，又11458AB m k m -==--，解得34m =，此时:840AB l x y +-=，点C 到直线AB 的距离2d =>，从而与圆不相交，即m 不存在．20．（1）连接1BC ，由题意得：11AB DC D C ==，11AB DC D C ∥∥，故四边形11ABC D 为平行四边形，所以11AD BC ∥，又1AD ⊂/平面11BCC B ，1BC ⊂平面11BCC B ，所以1AD ∥平面11BCC B ．（2）连接1C D ，取1C D 中点F ，CD 中点G ，连接EF ，1FB ，FG ，GB ，因为E 是BD 的中点，所以1EF BC ∥，故直线1B E 与直线1AD 所成角为1FEB ∠，易得1122EF BC ==，22115B E BE BB =+=，22112FB GF GB =+=，所以2221111310cos 220210EF EB FB FEB EF EB +-∠===⨯． 21．（1）取AD 中点G ，连接CG ，由于AC CD =，得CG AD ⊥， F ， E 分别是GD ， CD 中点，从而EF CG ∥，所以AD EF ⊥．因为平面ACD ⊥平面BEF ，平面ACD ⋂平面BEF EF =，AD ⊂平面ACD ，所以AD ⊥平面BEF ，所以AD BE ⊥，又因为BCD △为等边三角形，所以BE CD ⊥，又AD CD D ⋂=， F 所以BE ⊥平面ACD ．EF ⊂平面ACD ，所以BE EF ⊥．（2）作EH BF ⊥于H ，连接DH ，又因为AD ⊥平面BEF ，所以AD EH ⊥，且BF AD F ⋂=，所以EH ⊥平面ABD ，故EDH ∠是直线CD 和平面ABD 所成角，又12EF CG ==，2BE =，2BF =，所以BE EF EH BF ⋅==，于是sin EH EDH ED ∠==．故CD 与平面ABD 所成角的正弦值为35．（（2）中指出线面角不论对错都给2分，有计算求正弦过程，不论对错，再给2分）22．（1）取AD 中点O ，连结PO ， CO ，则PO AD ⊥， CO AD ⊥，则AD ⊥面PCO ，则BC ⊥面PCO ，则BC PC ⊥，PC ==又由几何关系易知1PO =， CO =PA =2AC =，则PC PO ⊥，PC PA ⊥，故PC ⊥平面PAD ．（2）PC PO ⊥， PO BC ⊥，则PO ⊥面PBC ，连结BD ，与CO 的交点设为E ，易知E 为CO 中点，取PC 中点F ，连结EF ，则EF PO ∥，则EF ⊥面PBC ，作FG PB ⊥于G ，连结EG ，则EGF ∠是二面角D PB C --的平面角，则1122EF PO ==，PF FG BC PB =⋅=，则tan EF EGF FG ∠==则二面角D PB C --。

浙江省9+1高中联盟2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题(含答案) (1)

2024学年第一学期浙江省9+1高中联盟高三年级期中考试数学考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷；4.参加联批学校的学生可关注“启望教育”公众号查询个人成绩分析。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，且，则a 等于（）A.1B. C. D.32.设复数，在复平面内对应的点关于实轴对称，，则（）A.B.C. D.3.若命题“，成立”是真命题，则实数a 的取值范围是（）A. B. C. D.4.在中，D 是BC 上一点，满足，M 是AD 的中点，若，则（）A.B.C.D.5.已知圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆，则该圆锥的高为（）D.6.函数的部分图象如图所示，直线与其交于A ，B 两点，若，则（）A.4B.3C.2D.17.已知函数，若，，，则有（）{}0,1A =-{}0,1,2B a =-A B ⊆1-3-1z 2z 12i z =-12z z =34i 55-34i 55+41i 5+41i 5-x ∃∈R 220x x a ++<1a ≤1a <1a ≥1a >ABC △2BD DC = BM BA BC λμ=+λμ+=54785658π12()()sin 20y x ωϕω=+>12y =3AB π=ω=()xxf x e e-=+3log 0.6a =0.013b =5log 3c =A. B.C. D.8.已知函数（a ，且）在区间上有零点，则的最小值为（）A.B. C.2 D.1二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的是（）A.数据1，2，2，3，4，5的极差与众数之和为7B.若随机变量X 服从二项分布，且，则C.X 和Y 是分类变量，若值越大，则判断“X 与Y 独立”的把握性越大D.若随机变量X 服从正态分布，且，则10.已知数列的前n 项和为，满足，且，则下列结论中正确的是（）A.为等比数列B.为等比数列C.D.11.已知曲线C 的方程为：，，，过M 的直线交曲线C 于A 、B 两点（A 在B 的上方），已知，，下列命题正确的是（）A.B.的最小值是2C.周长的最大值是D.若，将沿MN 翻折，使面面，则折后三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.()()()f a f b f c >>()()()f b f c f a >>()()()f b f a f c >>()()()f c f a f b >>()()221f x a x bx a =-+-+b ∈R 2a ≠[]1,222a b +3212()~20,X B p ()8E X =() 4.8D X =()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++()2~2,X N σ()50.2P X >=()150.6P X -<<={}n a n S 13a =()()*1310n n n a na n ++-=∈N {}n na n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭3n n a n =⋅()1213344n n n S +-=⋅+()()2222104340x y y x y y ⎧+=≥⎪⎨⎪+=<⎩()1,0M -()1,0N AMN α∠=ANM β∠=()sin sin 2sin αβαβ+=+tan3tan22αβ+ABN △4+3πα=AMN △AMN ⊥MNB AB =12.双曲线的渐近线方程为______.13.已知展开式的二项式系数之和为64，则展开式中项的系数为______.（用数字作答）14.一只盒子中装有4个形状大小相同的小球，小球上标有4个不同的数字。

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