导数与函数的极值 最值问题 解析版

【高考地位】

导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试题难度考查较大. 【方法点评】

类型一利用导数研究函数的极值

使用情景：一般函数类型

解题模板：第一步计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ；

第二步求方程'()0f x =的根；

第三步判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号； 第四步利用结论写出极值.

例1已知函数x x

x f ln 1

)(+=

，求函数()f x 的极值. 【答案】极小值为1，无极大值.

【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令'()0f x =，可解出其极值点，然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数()f x 的增减性，进而求出函数()f x 的极大值和极小值． 【变式演练1】已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则(2)f 等于（） A ．11或18B ．11C ．18D ．17或18 【答案】C 【解析】

试题分析：b ax x x f ++='23)(2

,⎩⎨⎧=+++=++∴1010232

a b a b a ⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=----=⇒114012232b a a a a b 或⎩

⎨⎧=-=33b a ．?

当⎩⎨⎧=-=33b a 时,∴≥-=',0)1(3)(2x x f 在1=x 处不存在极值．?当⎩⎨⎧-==11

4b a 时，

)1)(113(1183)(2-+=-+='x x x x x f ，0)(),1,3

11

(<'-

∈∴x f x ；0)(),,1(>'+∞∈x f x ,符合题意．

所以⎩⎨⎧-==114b a ．181622168)2(=+-+=∴f ．故选C ．

考点：函数的单调性与极值．

【变式演练2】设函数()21

ln 2

f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 的取值范围为

（）

A ．()1,0-

B ．()1,-+∞

C ．()0,+∞

D ．()(),10,-∞-+∞U 【答案】B 【解析】

考点：函数的极值． 【变式演练3】函数x m x m x x f )1(2)1(2

1

31)(23-++-=在)4,0(上无极值，则=m _____. 【答案】3 【解析】

试题分析：因为x m x m x x f )1(2)1(2

1

31)(23-++-=

， 所以()()2'()(1)2(1)21f x x m x m x x m =-++-=--+，由()'0f x =得2x =或1x m =-，又因为函数x m x m x x f )1(2)1(2

1

31)(23-++-=

在)4,0(上无极值，

而()20,4∈，所以只有12m -=，3m =

时，()f x 在R 上单调，才合题意，故答案为3.

考点：1、利用导数研究函数的极值；2、利用导数研究函数的单调性.

【变式演练4】已知等比数列{}n a 的前n 项和为12n n S k -=+，则32()21f x x kx x =--+的极大值为（）

A ．2

B ．5

2C ．3D ．7

2

【答案】B 【解析】

考点：1、等比数列的性质；2、利用导数研究函数的单调性及极值．

【变式演练5】设函数32()(1)f x x a x ax =+++有两个不同的极值点1x ，2x ，且对不等式

12()()0f x f x +≤恒成立，则实数a 的取值范围是．

【答案】1(,1],22⎡⎤

-∞-⎢⎥⎣⎦

U

【解析】

试题分析：因为12()()0f x f x +≤,故得不等式()()()3322

12121210x x a x x a x x ++++++≤,即

()()()()()2

2

1212121212123120x x x x x x a x x x x a x x ⎡⎤⎡⎤++-+++-++≤⎣⎦⎣⎦

,

由于

()()2'321f x x a x a =+++,令

()'0f x =得方程()23210x a x a +++=,因

()2410a a ∆=-+>,故()1212213

3x x a a x x ⎧+=-+⎪⎪⎨

⎪=⎪⎩，代入前面不等式,并化简得()1a +()22520a a -+≥,解不等式得1a ≤-或

122a ≤≤，因此,当1a ≤-或1

22

a ≤≤时,不等式()()120f x f x +≤成立,故

答案为1(,1],22⎡⎤

-∞-⎢⎥⎣⎦

U .

考点：1、利用导数研究函数的极值点；2、韦达定理及高次不等式的解法.

【变式演练6】已知函数()()3220f x x ax x a =+++>的极大值点和极小值点都在区间()1,1-内,则实数a 的取值范围是．

2a << 【解析】

考点：导数与极值．

类型二求函数在闭区间上的最值

使用情景：一般函数类型

解题模板：第一步求出函数()f x 在开区间(,)a b 内所有极值点；

第二步计算函数()f x 在极值点和端点的函数值；

第三步比较其大小关系，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

例2若函数()2x f x e x mx =+-，在点()()1,1f 处的斜率为1e +． （1）求实数m 的值；

（2）求函数()f x 在区间[]1,1-上的最大值． 【答案】（1）1m =；（2）()max f x e =. 【解析】

试题分析：（1）由(1)1f e '=-解之即可；

（2）()21x f x e x '=+-为递增函数且()()1110,130f e f e -''=+>-=-<,所以在区间(1,1)-上存在0x 使0()0f x '=，所以函数在区间0[1,]x -上单调递减，在区间0[,1]x 上单调递增，所以

()()(){}max max 1,1f x f f =-，求之即可.

试题解析：（1）()2x f x e x m '=+-，∴()12f e m '=+-，即21e m e +-=+，解得1m =； 实数m 的值为1；

（2）()21x f x e x '=+-为递增函数，∴()()1110,130f e f e -''=+>-=-<，