抽象函数定义域问题
抽象函数定义域三种题型及解法
抽象函数定义域三种题型及解法抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数,其有关问题对同学们来说有一定难度,特别是其定义域,大多数学生解答起来总感棘手.下面结合实例具体介绍一下抽象函数定义域问题的四种题型及求法.一、已知f (x )的定义域,求f [g (x )]的定义域其解法是:若f (x )的定义域为a ≤x ≤b ,则f [g (x )]中a ≤g (x )≤b ,从中解得x 的取值范围即为f [g (x )]的定义域.例1 已知函数f (x )的定义域为[-1,5],求f (x 2-3x -5)的定义域.分析:这个函数是由u =x 2-3x -5和f (u )构成的复合函数,其中x 是自变量,u (或x 2-3x -5)是中间变量,由于f (x ),f (u )是同一个函数,因此这里是已知-1≤u ≤5,即-1≤x 2-3x -5≤5,要求x 的取值范围.解:由-1≤x 2-3x -5≤5,得223100340x x x x ⎧--≤⎪⎨--≥⎪⎩,即254 1x x x -≤≤⎧⎨≥≤-⎩或 ∴-2≤x ≤-1或4≤x ≤5.∴函数f (x 2-3x -5)的定义域是[-2,-1]∪[4,5].二、已知f [g (x )]的定义域,求f (x )的定义域其解法是:若f [g (x )]的定义域为m ≤x ≤n ,则由m ≤x ≤n 确定g (x )的范围即为f (x )的定义域.例2 已知函数f (x 2-2x +2)的定义域是[0,3],求函数f (x )的定义域.分析:设u =x 2-2x +2,则f (x 2-2x +2)=f (u ),由于f (u ),f (x )是同一函数,因此这里是已知0≤x ≤3,求x 2-2x +2的取值范围.解:由0≤x ≤3,得-1≤x -1≤2,即0≤(x -1)2≤4,1≤(x -1)2+1≤5即1≤x 2-2x +2≤5.设u =x 2-2x +2,则f (x 2-2x +2)=f (u ),又f (u )与f (x )是同一个函数,1≤u ≤5,即是1≤x ≤5.∴f (x ) 的定义域是[1,5].三、已知f [g (x )]的定义域,求f [h (x )]的定义域其解法是:可先由f [g (x )]定义域求得f (x )的定义域,再由f (x )的定义域求得f [h (x )]的定义域.例3 若函数f (x +1)的定义域为[-21,2],求f (x 2)的定义域. 分析:已知f (x +1)的定义域为[-21,2],x 满足-21≤x ≤2,于是21<x +1<3,得到f (x )的定义域,然后f (x 2)的定义域由f (x )的定义域可得.解:先求f (x )的定义域: 由题意知-21≤x ≤2,则21<x +1<3,即f (x )的定义域为[21,3], 再求f [h (x )] 的定义域:∴ 21<x 2<3,解得-3<x<-2或2<x <3. ∴f (x 2)的定义域是{x |-3<x<-2或2<x <3}. 四、运算型的抽象函数 求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域,其解法是:先求出各个函数的定义域,再求交集.例4 若f (x )的定义域为[-3,5],求ϕ(x )=f (-x )+f (x 2)的定义域.解:由f (x )的定义域为[-3,5],则ϕ(x )必有23535x x -≤-≤⎧⎨-≤≤⎩,即53x x -≤≤⎧⎪⎨≤⎪⎩x所以函数ϕ(x )的定义域为[.。
数学抽象函数定义域专项训练
高一数学函数抽象函数定义域专项训练(含解析)一、求定义域(共22题;共41分)1.(2020高一上·南京月考)已知函数的定义域为,则的定义域是()A. B. C. D.2.(2020高一上·重庆月考)如果函数的定义域为,那么函数的定义域为()A. B. C. D.3.(2020高一上·利辛期中)已知的定义域是,求函数的定义域()A. [−1,5]B. [2,5]C. [−7,5]D. [−2,10]4.(2020高一上·定远月考)已知的定义域为,函数的定义域为()A. B. C. D.5.(2020高一上·亳州月考)已知函数的定义域为,则的定义域为()A. B. C. D.6.(2020高一上·蛟河月考)已知的定义域为,则的定义域为()A. B. C. D.7.(2020高一上·福建月考)已知函数的定义域为,则的定义域为()A. B. C. D.8.(2020高三上·哈尔滨月考)已知函数的定义域为,则的定义域为()A. B. C. D.9.(2020高一上·上海月考)已知函数的定义域为,则函数的定义域是()A. B. C. D.10.(2020高一上·南阳月考)函数定义域是,则的定义域是()A. B. C. D.11.(2020高一上·洛阳月考)已知函数的定义域为,则函数的定义域为()A. B. C. D.12.(2020高一上·太原月考)若函数的定义域为,则函数的定义域为()A. B. C. D.13.(2020高一上·芜湖期中)已知函数的定义域是[0,2],则函数的定义域是()A. B. C. D. [0,2]14.(2020高一上·江西月考)已知函数的定义域为,,那么的定义域是()A. B. C. D.15.(2020高一上·定远月考)已知函数y=f(x+1)的定义域是{x|-2≤x≤3},则y=f(2x-1)的定义域是()A. {x|0≤x≤ }B. {x|-1≤x≤4}C. {x|-5≤x≤5}D. {x|-3≤x≤7}16.(2020高一上·项城月考)已知函数的定义域为,函数的定义域为()A. B. C. D.17.(2020高一上·贵溪月考)若函数的定义域是,则函数的定义域是()A. B. C. D.18.(2020高一上·杭州期中)已知函数的定义域为,则函数的定义域为()A. B. C. D.19.(2020高一上·蚌埠期末)已知函数的定义域是,则函数的定义域是()A. B. C. D.20.(2020高一上·百色期末)若函数的定义域为,则函数的定义域为________.21.(2020高一上·四川月考)设的定义域为,则函数的定义域是________.22.(2020高一上·辽宁期中)函数的定义域为,则的定义域为________.答案解析部分一、求定义域1.【答案】C【解析】【解答】对于函数,,可得,因此,函数的定义域是.故答案为:C.【分析】由,计算出,由此可计算出函数的定义域。
抽象函数定义域的类型及求法
抽象函数定义域的类型及求法 抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数,其有关问题对同学们来说有一定难度,特别是其定义域,大多数学生解答起来总感棘手.下面结合实例具体介绍一下抽象函数定义域问题的四种题型及求法.一、已知f (x )的定义域,求f [g (x )]的定义域其解法是:若f (x )的定义域为a ≤x ≤b ,则f [g (x )]中a ≤g (x )≤b ,从中解得x 的取值范围即为f [g (x )]的定义域.例1 已知函数f (x )的定义域为[-1,5],求f (x 2-3x -5)的定义域.分析:这个函数是由u =x 2-3x -5和f (u )构成的复合函数,其中x 是自变量,u (或x 2-3x -5)是中间变量,由于f (x ),f (u )是同一个函数,因此这里是已知-1≤u ≤5,即-1≤x 2-3x -5≤5,要求x 的取值范围.解:由-1≤x 2-3x -5≤5,得223100340x x x x ⎧--≤⎪⎨--≥⎪⎩,即254 1x x x -≤≤⎧⎨≥≤-⎩或 ∴-2≤x ≤-1或4≤x ≤5.∴函数f (x 2-3x -5)的定义域是[-2,-1]∪[4,5]. 二、已知f [g (x )]的定义域,求f (x )的定义域其解法是:若f [g (x )]的定义域为m ≤x ≤n ,则由m ≤x ≤n 确定g (x )的范围即为f (x )的定义域.例2 已知函数f (x 2-2x +2)的定义域是[0,3],求函数f (x )的定义域.分析:设u =x 2-2x +2,则f (x 2-2x +2)=f (u ),由于f (u ),f (x )是同一函数,因此这里是已知0≤x ≤3,求x 2-2x +2的取值范围.解:由0≤x ≤3,得-1≤x -1≤2,即0≤(x -1)2≤4,1≤(x -1)2+1≤5即1≤x 2-2x +2≤5.设u =x 2-2x +2,则f (x 2-2x +2)=f (u ),又f (u )与f (x )是同一个函数,1≤u ≤5,即是1≤x ≤5.∴f (x ) 的定义域是[1,5].三、已知f [g (x )]的定义域,求f [h (x )]的定义域其解法是:可先由f [g (x )]定义域求得f (x )的定义域,再由f (x )的定义域求得f [h (x )]的定义域.例3 若函数f (x +1)的定义域为[-21,2],求f (x 2)的定义域. 分析:已知f (x +1)的定义域为[-21,2],x 满足-21≤x ≤2,于是21≤x +1≤3,得到f (x )的定义域,然后f (x 2)的定义域由f (x )的定义域可得.解:先求f (x )的定义域: 由题意知-21≤x ≤2,则21≤x +1≤3,即f (x )的定义域为[21,3], 再求f [h (x )] 的定义域:∴ 21≤x 2≤3,解得-3≤x≤-2或2≤x ≤3. ∴f (x 2)的定义域是{x |-3≤x≤-2或2≤x ≤3}. 四、运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域,其解法是:先求出各个函数的定义域,再求交集.例4 若f (x )的定义域为[-3,5],求ϕ(x )=f (-x )+f (x 2)的定义域.解:由f (x )的定义域为[-3,5],则ϕ(x )必有 23535x x -≤-≤⎧⎨-≤≤⎩,即53x x -≤≤⎧⎪⎨≤⎪⎩x所以函数ϕ(x )的定义域为[].。
抽象函数定义域的四种类型
抽象函数定义域的四种类型
抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数,其有关问题对同学们来说有一定难度,特别是其定义域,大多数学生解答起来总感棘手。
下面结合具体实例介绍一下抽象函数定义域问题的四种类型及求法。
一、已知的定义域,求的定义域,
其解法是:若的定义域为,则中
,从中解得的取值范围即为的定义域。
例1. 设函数的定义域为,则
(1)函数的定义域为________。
(2)函数的定义域为__________。
解:(1)由已知有,解得
故的定义域为
(2)由已知,得,解得故的定义域为
二、已知的定义域,求的定义域。
其解法是:若的定义域为,则由确定的范围即为的定义域。
例2. 已知函数的定义域为,则
的定义域为________。
解:由,得
所以,故填
三、已知的定义域,求的定义域。
其解法是:可先由定义域求得的定义域,再由的定义域求得的定义域。
例3. 函数定义域是,则的定义域是()
A. B. C. D.
解:先求的定义域
的定义域是
,即
的定义域是
再求的定义域
的定义域是,故应选A
四、运算型的抽象函数
求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域,其解法是:先求出各个函数的定义域,再求交集。
例4. 已知函数的定义域是,求
的定义域。
解:由已知,有
,即
函数的定义域由确定函数的定义域是。
重难点2-4-抽象函数及其性质8大题型(解析版) (1)
重难点2-4 抽象函数及其性质8大题型抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些体现函数特征的式子的一个函数,由抽象函数构成的数学问题叫做抽象函数问题。
抽象函数问题能综合考查学生对函数概念和各种性质的理解,但由于其表现形式的抽象性和多变性,学生往往无从下手,这类问题是高考的一个难点,也是近几年高考的热点之一。
一、抽象函数的赋值法赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法,复制规律一般有以下几种: 1、……-2,-1,0,1,2……等特殊值代入求解; 2、通过()()12-f x f x 的变换判定单调性;3、令式子中出现()f x 及()-f x 判定抽象函数的奇偶性;4、换x 为+x T 确定周期性. 二、判断抽象函数单调性的方法:(1)凑:凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;(2)赋值:给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.①若给出的是“和型”抽象函数() =+y x f ,判断符号时要变形为:()()()()111212)(x f x x x f x f x f -+-=-或()()()()221212)(x x x f x f x f x f +--=-;②若给出的是“积型”抽象函数() =xy f ,判断符号时要变形为:()()()112112x f x x x f x f x f -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-或()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=-212212x x x f x f x f x f . 三、常见的抽象函数模型1、()()()+=+f x y f x f y 可看做()=f x kx 的抽象表达式;2、()()()+=f x y f x f y 可看做()=x f x a 的抽象表达式(0>a 且1≠a );3、()()()=+f xy f x f y 可看做()log =a f x x 的抽象表达式(0>a 且1≠a );4、()()()=f xy f x f y 可看做()=a f x x 的抽象表达式. 四、抽象函数中的小技巧1、很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同特征而设计出来的,在解决问题时,可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数的性质;2、解答抽象函数问题要注意特殊赋值法的应用,通过特殊赋值法可以找到函数的不变性质,这个不变性质往往是解决问题的突破口;3、抽象函数性质的证明是一种代数推理,和几何推理一样,要注意推理的严谨性,每一步推理都要有充分的条件,不可漏掉一些条件,更不要臆造条件,推理过程要层次分明,书写规范。
抽象函数常见题型解法
抽象函数常见题型及解法抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。
由于这类问题可以全面考查学生对函数概念和性质的理解,同时抽象函数问题又将函数的定义域,值域,单调性,奇偶性,周期性和图象集于一身,所以在高考中不断出现;如2004年江苏高考卷22题,2004年浙江高考卷12题,2009年四川卷12题等。
学生在解决这类问题时,往往会感到无从下手,正确率低,本文就抽象函数常见题型及解法评析如下:一、定义域问题例1. 已知函数()12-x f 的定义域是[0,1],求()x f 的定义域。
解:()12-x f 的定义域是[0,1],是指10≤≤x ,所以()12-x f 中的12-x 满足1121≤-≤-x 从而函数()x f 的定义域是:[]11,-.评析:一般地,已知函数()()x g f 的定义域是A ,求()x f 的定义域问题,相当于已知()()x g f 中x 的取值范围为A ,据此求()x g 的值域问题。
例2. 已知函数)(x f 的定义域是[]11,-,求函数()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-x log f 321的定义域。
解:)(x f 的定义域是[]11,-,意思是凡被f 作用的对象都在[]11,-中,由此可得()251213211311121≤≤⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒≤-≤--x x x log 所以函数()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-x log f 321的定义域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡251,. 评析:这类问题的一般形式是:已知函数)(x f 的定义域是A ,求函数()()x g f 的定义域。
正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。
这类问题实质上相当于已知()x g 的值域B ,且A B ⊆,据此求x 的取值范围。
例2和例1形式上正相反。
二、求值问题例3. 已知函数()x f 对于任意x,y 都有()()()y f x f xy f +=成立。
抽象函数定义域的推导例题
抽象函数定义域的推导例题
介绍
在数学中,抽象函数定义域的推导是一种常见的问题解决方法。
本文将通过一个例题来演示如何推导抽象函数的定义域。
例题背景
假设有一个抽象函数$f(x)$,其中$x$是实数。
给定$f(x)$的具
体表达式如下:
$$f(x) = \sqrt{4-x^2}$$
我们的目标是推导出$f(x)$的定义域。
推导过程
首先,我们需要确定根号下的表达式的取值范围。
观察到根号
下的表达式是$x$的二次方与4的差。
由于平方数不可能为负数,
所以$x$的二次方必须小于或等于4才能使根号下的表达式有实数解。
因此,我们可以得出以下不等式:
$$x^2 \leq 4$$
通过解这个不等式,我们可以确定$x$的取值范围。
两边同时
开根号,得到:
$$|x| \leq 2$$
由于平方根函数是单调递增的,所以我们可以将不等式改写为:$$-2 \leq x \leq 2$$
因此,我们可以得出$f(x)$的定义域为闭区间[-2, 2]。
结论
根据推导过程,我们可以得出抽象函数$f(x) = \sqrt{4-x^2}$的
定义域为闭区间[-2, 2]。
在解决类似的问题时,我们可以使用相似的步骤来推导抽象函数的定义域。
这个例题展示了如何根据根号下的表达式确定一个抽象函数的定义域。
请注意,本文所述的例题仅供参考,请根据具体情况进行灵活应用。
抽象函数定义域的求法例题
抽象函数定义域的求法例题(总1页)--本页仅作为文档封面,使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--抽象函数的定义域1、已知)(x f 的定义域,求复合函数()][x g f 的定义域由复合函数的定义我们可知,要构成复合函数,则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中,因此可得其方法为:若)(x f 的定义域为()b a x ,∈,求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围,即为)]([x g f 的定义域。
2、已知复合函数()][x g f 的定义域,求)(x f 的定义域方法是:若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈,则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。
3、已知复合函数[()]f g x 的定义域,求[()]f h x 的定义域结合以上一、二两类定义域的求法,我们可以得到此类解法为:可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域,再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。
4、已知()f x 的定义域,求四则运算型函数的定义域若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的,其定义域为各基本函数定义域的交集,即先求出各个函数的定义域,再求交集。
例1、已知函数()f x 的定义域为[]15-,,求(35)f x -的定义域.解:()f x 的定义域为[]15-,,1355x ∴--≤≤,41033x ∴≤≤. 故函数(35)f x -的定义域为41033⎡⎤⎢⎥⎣⎦,. 例2. 函数定义域是,则的定义域是( )A.B. C. D. 解:先求的定义域的定义域是, 即的定义域是,再求的定义域的定义域是,故应选A例3 若()f x 的定义域为[]35-,,求()()(25)x f x f x ϕ=-++的定义域.解:由()f x 的定义域为[]35-,,则()x ϕ必有353255x x --⎧⎨-+⎩,,≤≤≤≤解得40x -≤≤. 所以函数()x ϕ的定义域为[]40-,.。
抽象函数定义域的类型及求法
抽象函数定义域的类型及求法抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数,其有关问题对同学们来说具有一定难度,特别是求其定义域时,许多同学解答起来总感棘手.下面结合实例具体介绍一下抽象函数定义域问题的几种题型及求法.一、已知()f x 的定义域,求[]()f g x 的定义域其解法是:若()f x 的定义域为a x b ≤≤,则在[]()f g x 中,()a g x b ≤≤,从中解得x 的取值范围即为[]()f g x 的定义域.例1 已知函数()f x 的定义域为[]15-,,求(35)f x -的定义域.分析:该函数是由35u x =-和()f u 构成的复合函数,其中x 是自变量,u 是中间变量,由于()f x 与()f u 是同一个函数,因此这里是已知15u -≤≤,即1355x --≤≤,求x 的取值范围.解:()f x 的定义域为[]15-,,1355x ∴--≤≤,41033x ∴≤≤. 故函数(35)f x -的定义域为41033⎡⎤⎢⎥⎣⎦,. 二、已知[]()f g x 的定义域,求()f x 的定义域其解法是:若[]()f g x 的定义域为m x n ≤≤,则由m x n ≤≤确定的()g x 的范围即为()f x 的定义域.例2 已知函数2(22)f x x -+的定义域为[]03,,求函数()f x 的定义域. 分析:令222u x x =-+,则2(22)()f x x f u -+=,由于()f u 与()f x 是同一函数,因此u 的取值范围即为()f x 的定义域. 解:由03x ≤≤,得21225x x -+≤≤.令222u x x =-+,则2(22)()f x x f u -+=,15u ≤≤.故()f x 的定义域为[]15,.三、运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域,其解法是:先求出各个函数的定义域,然后再求交集.例3 若()f x 的定义域为[]35-,,求()()(25)x f x f x ϕ=-++的定义域.解:由()f x 的定义域为[]35-,,则()x ϕ必有353255x x --⎧⎨-+⎩,,≤≤≤≤解得40x -≤≤. 所以函数()x ϕ的定义域为[]40-,.。
抽象函数定义域的四种类型
抽象函数定义域的四种类型抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数,其有关问题对同学们来说有一定难度,特别是其定义域,大多数学生解答起来总感棘手。
下面结合具体实例介绍一下抽象函数定义域问题的四种类型及求法。
一、已知的定义域,求’I I的定义域,其解法是:若的定义域为段二匕丄?,则"」I中从中解得•的取值范围即为■-1的定义域。
例1.设函数"■的定义域为,则(1)函数的定义域为_____________ 。
(2)函数八的定义域为_________________ 。
解:(1)由已知有L -■■-■,解得故的定义域为一:’「(2)由已知,得2 2 '--■■,解得1 ' ■- ■'故'I 亠的定义域为二、已知I ■ ■■的定义域,求的定义域。
其解法是:若_|- ■- 1的定义域为V八-\ ,则由--匚、确定:的范围即为的定义域。
例2.已知函数' -的定义域为—I,则一:' 1的定义域为________ 。
解:由H S,得:■ I < . 'I所以二…:二1,故填-■:三、已知. 山勺定义域,求’'烏的定义域。
其解法是:可先由- 1定义域求得的定义域,再由:…的定义域求得「〔叭》的定义域。
例3.函数''■ + '定义域是一二 :则的定义域是()A. ■B. ' - 1C. ' :;-D. '「解:先求•二的定义域Tg + D的定义域是[-乙3]..-2 < x< 3:.1<X+1 <4 , 即卩:的定义域是一乙1再求一…::丨的定义域v-1 < 2x - 1 <40<x<-2/(2x - 1)的定义域是W" 21,故应选A四、运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域,其解法是: 先求出各个函数的定义域,再求交集。
抽象函数专题讲解与训练
4)若 ,求x的取值范围。
四、抽象函数的奇偶性
对于抽象函数的奇偶性,通常是利用赋值法得到 与 的关系,然后来判断。
例题4、定义在R上的函数 ,对任意x,y ,都满足 ,且 ,试判断 的奇偶性。
练习4、已知函数 在R上有意义,且对任意实数x,y都有 ,试判断函数 的奇偶性。
例题1.1、若函数 的定义域为[-1,2],则 的定义域为。
例题1.2、若函数 的定义域为[1,3],则 的定义域为。
例题1.3、若函数 的定义域为[1,3],则 的定义域为。
例题1.4、若函数 的定义域为[3,8],则函数 的定义域为。
练习1.1、已知函数 的定义域为(0,1),求函数 的定义域;
练习2.6、已知函数 ,求 的值;若 ,求a的值。
三、抽象函数的单调性
抽象函数单调性的判断通常用定义法。
例题3、已知函数 对任意x,y ,满足 ,当x 时, ,求证函数 在R上为增函数。
练习3、定义在R上的函数 , ,当x 时, ,,且对任意的a,b ,都有 .
1)求证 ;
2)求证:都任意实数x,恒有 ;
练习1.2、已知函数 的定义域为(2,4),求函数 的定义域;
练习1.3、已知函数 的定义域为(1,2),求函数 的定义域。
二、抽象函数表达式与函数值
例题2.1、已知 ,求函数 ;
例题2.2、已知函数 满足 ,则 的表达式为;
例题2.3、已知二次函数 满足 ,求 的表达式;
例题2.4、已知函数 满足 ,求函数 的表达式;
五、线性函数型抽象函数
抽象函数满足 ,或 ,则说明该函数是一次函数 。
例题5、已知函数 对任意实数x,y,均有 ,且当 时, , ,求 在区间[-2,1]上的值域。
抽象函数定义域问题
函数
定义域
括号里的范围
F(2x-1)
0≦x≦3
-1≦2x-1≦5
F(3+x)
-4≦x≦2
-1≦3+x≦5
v
易知易知F(x)的定义域为{x|-4≦x≦2}
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【题型一】抽象函数y=f(x)的定义域[m,n],如何求复合抽象函数y=f(g(x))的定义域?
思路分析:根据张教师总结的三个问题,列表格解决
【例题1】函数y=f(x)的定义域[0,3],求函数y=f(3+2x)的定义域.源自函数定义域括号里的范围
F(x)
0≦x≦3
0≦x≦3
F(3+2x)
3/2≦x≦0
抽象函数定义域问题
这类题往往困扰着高一同学,大家总弄不明白一会x是这个范围,怎么一会又是另一个范围了,在讲解这类题目之前请大家明确3个问题:
1)但凡函数的定义域,永远是指自变量x的取值范围。
2)f( )表示的是同一对应法那么,同一对应法那么括号里的范围一致
3)f( )与g( )表示不同的对应法那么括号里范围不一致
0≦3+2x≦3
易知F(3+2x)的定义域为{x|3/2≦x≦0}
【题型二】复合抽象函数y=f(g(x))定义域[m,n],如何求抽象函数y=f(x)的的
定义域?
思路分析:根据张教师总结的三个问题,列表格解决
【例题2】函数y=f(2x-1)的定义域[0,3],求函数y=f(x)的定义域.
解:
函数
定义域
括号里的范围
F(2x-1)
高一数学抽象函数常见题型解法综述
抽象函数常见题型解法综述抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些表达函数特征的式子的一类函数。
由于抽象函数表现形式的抽象性,使得这类问题成为函数内容的难点之一。
本文就抽象函数常见题型及解法评析如下:一、定义域问题例1.函数f(x2)的定义域是[1,2],求f〔x〕的定义域。
22解:f()的定义域是[1,2],是指1x2,所以() xfx中的22x满足1x4从而函数f〔x〕的定义域是[1,4]评析:一般地,函数f((x))的定义域是A,求f〔x〕的定义域问题,相当于f((x))中x的取值范围为A,据此求(x)的值域问题。
例2.函数f(x)的定义域是[1,2],求函数[log1(3x)]f的定义域。
2解:f(x)的定义域是[1,2],意思是凡被f作用的对象都在[1,2]中,由此可得1log11211(3x)2()3x()1x2221111所以函数f[log1(3x)]的定义域是][1,42评析:这类问题的一般形式是:函数f〔x〕的定义域是A,求函数f((x))的定义域。
正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。
这类问题实质上相当于(x)的值域B,且BA,据此求x的取值范围。
例2和例1形式上正相反。
二、求值问题例3.定义域为R的函数f〔x〕,同时满足以下条件:①1f(2)1,f(6);②f(x y)f(x)f(y),5求f〔3〕,f〔9〕的值。
解:取x2,y3,得f(6)f(2)f(3)因为1f(2)1,f(6),所以54f(3)又取xy3,得5f(9)f(3)f(3)评析:通过观察与未知的联系,巧妙地赋值,取x2,y3,这样便把条件1f(2)1,f(6)与5欲求的f〔3〕沟通了起来。
赋值法是解此类问题的常用技巧。
三、值域问题例4.设函数f〔x〕定义于实数集上,对于任意实数x、y,f(x y)f(x)f(y)总成立,且存在x1x,使2得()()fx1fx,求函数f(x)的值域。
2解:令xy0,得f(0)[f(0)]2,即有f(0)0或f(0)1。
抽象函数常见题型和解法
抽象函数的常见题型及解法一、 抽象函数的定义域1. 已知f(x)的定义域,求f[g(x)]的定义域若已知f(x)的定义域x (a,b),求f[g(x)]的定义域,其方法是: 由a<g(x)<b,求得x 的范围,即为f[g(x)]的定义域。
即由内层函数的值域,求内层函数的定义域,即为f[g(x)]的定义域。
例1.已知f(x)的定义域为[1,4],求f()的定义域. 解: 由1≤≤4,得 -1≤≤2 即 -1≤<0 或 0<≤2 解得 X ≤-1 或x ≥∴函数的定义域为:2. 已知f[g(x)]的定义域,求f(x)的定义域若已知f[g(x)]的定义域x (a,b),求f(x)的定义域,其方法是: 由a<x<b,求得g(x)的范围,即为f(x)的定义域。
即由内层函数的定义域,求内层函数的值域,即为f(x)的定义域。
例2. 若已知f(x+2)的定义域为[-2,2],求函数f(x)的定义域. 解:∵f(x+2)的定义域为[-2,2], ∴-2≤x ≤2, ∴ 0≤x+2≤4 故f(x)的定义域为[0,4]3. 已知f[ (x)]的定义域,求f[g(x)]的定义域先由f[ (x)]的定义域,求f(x)的定义域,再由f(x)的定义域,求f[g(x)]的定义域。
即由第一个函数中内层函数的定义域,求得第一个函数内层函数的值域,第一个函数内层函数的值域就是第二个函数内层函数的值域,由第∈21+x21+x x1x 1x121()⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⋃-∞-,211,∈ϕϕ二个函数内层函数的值域,再求出第二个函数内层函数的定义域。
例3.若已知f(x+1)的定义域为,求函数f ()的定义域. 解:∵f(x+1)的定义域为, ∴-2≤x 3, ∴ -1≤x+1 4 即f(x)的定义域为.∴ -1≤<4,∴ -3≤<2 即 -3≤<0 或 0<<2 解得 X ≤-或 x> ∴函数的定义域为:3. 已知f(x)的定义域,求f[ (x)] + f[g(x)]的定义域若已知f(x)的定义域x (a,b),求f[g(x)]+f[g(x)]的定义域,其方法是:由,求得x 的范围,即为f[ (x)] + f[g(x)]的定义域。
对抽象函数的定义域求解问题的思考
对抽象函数的定义域求解问题的思考【摘要】抽象函数是中学数学的一个难点,学生解题时思维常常受阻,思路难以展开。
本文从函数的概念谈起利用具体函数来研究抽象函数的定义域问题。
并在本文中阐述了多个参考书出现的错解。
【关键词】抽象函数;定义域抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数,由于抽象函数的解析式隐含不露,表面高度抽象,其有关问题对同学们来说有一定难度,特别是其定义域,大多数学生解答起来总感觉迷惑不清.其实,抽象函数并不是我们想象的那样困难,它必定脱胎于中学数学中常见的具体初等函数。
我们只要根据题设给出的特征式,结合中学常见的初等函数,必然能发现熟悉的印记。
在教学了解到很多学生对抽象函数的定义域求法的困惑,主要是对函数定义理解的不深刻。
”概念”是基础更是本质,它看似平淡,实则蕴含无穷力量。
学生若能剥开概念本质,则对抽象函数的定义域求法问题的解决就“所向披靡,无往不胜”。
1 利用具体函数来研究抽象函数的定义域问题由此我们设f(x)的定义域为D,则f(g(x))的定义域=g(x)的定义域∩根据上面的具体函数模型,我们把它抽象成复合函数定义域的求解问题。
1、已知f(x)的定义域为(0,+ ),求f(x+1)的定义域。
2、已知f(x+1)的定义域为(-1,+ ),求f(x)的定义域。
3、已知f(x)的定义域为(- ,1),求f(lg(x-1))的定义域。
有了具体函数做背后支撑,学生理解就不那么困难了。
2 参考书出现的错解对于有些参考书出现了错解问题,我举这样的两个互相矛盾的例子来谈谈我的看法。
考,我认为④式存在问题。
咱们给④式找个具体函数例如f()= 定义域为(- ,0),f(x)= 定义域为(-1,1). f(x)的表达式也可以是f(x)= ,所以f(x)的定义域可以是(0,1)出现这样的错误,主要是教科书中没有复合函数的定义,为此对概念把握肤浅导致认识不深刻。
教科书应根据学生理解的需要添加复合函数的概念。
13用抽象函数的定义域和值域
1 x ) ⑧则函数f (( ) ) 的定义域为 [-1,+∞ ; 1 2 ⑨则函数f(log x)的定义域为 ;[ , 2]
2
2
⑩则函数
f (log 1
2
x)的定义域为
.
1 [ , 2] 4
练习
2.①已知函数f(x+1)的定义域是[-1,3],则函数f(x)的定义域为[0,4] ;
1 2.若函数y=f(x+1)的定义域为[-2,3],求函数 y f ( x 2) 的定义域。 解析:∵y=f(x+1)的定义域为[-2,3], 1 2 x 2x 1 0 0 x x ∴-2≤x≤3, , , 1 3x 1 3x 0 0 ∴-1≤x+1≤4, x x
2
练习
3.已知 f(x)的定义域是[0,4],求: (1)f(x )的定义域; (2)f(x+1)+f(x-1)的定义域.
解 ∵f(x)的定义域为[0,4],
2
2
(1)有 0≤x ≤4,∴-2≤x≤2. 故 f(x2)的定义域为[-2,2]. 0≤x+1≤4, (2)有 ∴1≤x≤3. 0≤x-1≤4, 故 f(x+1)+f(x-1)的定义域为[1,3].
练习
1 1 设函数y=f(x)的定义域为[0,1],求 y f ( x ) f ( x ) 定义域。 3 3
1 2 , 3 3
典型例题 例2 若函数y=f(2x)的定义域为 [1, 2],则函数f(log2x)的定义域为 解:∵函数y=f(2x)的定义域为[1, 2], 。
(2)已知函数f(x2-2x+2)的定义域为[0,3],求函数f(x)的定义域.
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抽象函数定义域问题
这类题往往困扰着高一同学,大家总弄不明白一会x是这个范围,怎么一会又是另一个范围了,在讲解这类题目之前请大家明确3个问题:
1)凡是函数的定义域,永远是指自变量x的取值范围。
2)f( )表示的是同一对应法则,同一对应法则括号里的范围一致
3)f( )与g( )表示不同的对应法则括号里范围不一致
【题型一】已知抽象函数y=f(x)的定义域[m,n],如何求复合抽象函数y=f(g(x))的定义域?
思路分析:根据张老师总结的三个问题,列表格解决
【例题1】已知函数y=f(x)的定义域[0,3],求函数y=f(3+2x)的定义域.
函数定义域括号里的范围
F(x) 0≦x≦30≦x≦3
F(3+2x) 3/2≦x≦00≦3+2x≦3易知F(3+2x)的定义域为{x|3/2≦x≦0}括号里范围一致
根据括号里范围求x范围定义域是指自变量x的取值范围
【题型二】已知复合抽象函数y=f(g(x))定义域[m,n],如何求抽象函数y=f(x)的的 定义域?
思路分析:根据张老师总结的三个问题,列表格解决 【例题2】已知函数y=f(2x-1)的定义域[0,3],求函数y=f(x)的定义域. 解:
函数 定义域 括号里的范围 F(2x-1) 0≦x ≦3 -1≦2x-1≦5 F(x)
-1≦x ≦5
-1≦x ≦5
v
易知F(x)的定义域为{x|-1≦x ≦5}
【题型三】已知复合抽象函数y=f(g(x))定义域[m,n],如何求复合抽象函数y=f(h(x))的定义域?
思路分析:根据张老师总结的三个问题,列表格解决
【例题3】已知函数y=f(2x-1)的定义域[0,3],求函数y=f(3+x)的定义域. 解:思路分析:根据张老师总结的三个问题,列表格解决
函数 定义域 括号里的范围 F(2x-1) 0≦x ≦3 -1≦2x-1≦5 F(3+x)
-4≦x ≦2
-1≦3+x ≦5
v
易知易知F(x)的定义域为{x|-4≦x ≦2}
根据括号里范围求x 范围
括
号 里 范 围一致
定义域是指自变量x 的取值范围 根据x 范围求括号里范围
根据括号里范围求x 范围
括 号 里 范 围一致
定义域是指自变量x 的取值范围 根据x 范围求括号里范围。