几何证明题辅助线的添加-平移、旋转、翻折的应用
初中数学做辅助线的方法总结
初中数学做辅助线的方法总结
在初中数学中，做辅助线是解题的重要方法之一。
以下总结了几
种常见的做辅助线的方法：
1. 对称性辅助线法：当一个图形或方程式具有对称性时，可以
画出一条对称轴或一些对称线，从而利用对称性来简化问题。
例如，
在求三角形的中线长度相等定理时，可以描绘出三角形的垂直平分线，并在中点处作垂线，得到两个相等的直角三角形。
2. 垂线辅助线法：当一个角、线段或线段的垂线很难直接操作时，可以画出一条垂线，将问题转化为一个直角三角形问题。
例如，
在求一条线段的垂线长度时，可以先画出一条垂线与该线段相交，并
组成一个直角三角形。
3. 平移辅助线法：当一个几何图形或方程式涉及到平移时，可
以通过向图形或方程式添加平移线或平移量来使问题变得简单。
例如，在证明平行四边形对角线平分的定理时，可以平移一个平行四边形，
使其成为一个重合的平行四边形，从而使问题变得简单。
4. 分割辅助线法：当一个图形或方程式很复杂时，可以通过将
其分解成几个简单的部分来解题。
例如，在求多边形面积时，可以将
多边形分割成几个三角形或梯形，并将它们的面积相加，从而得到多
边形的面积。
总之，做辅助线的方法不只有以上四种，还可以根据具体问题的
不同情况选用其他的方法。
需要注意的是，在使用辅助线时，要注意
画出清晰的图形，并理解各种辅助线的作用，才能有效地解决问题。
几何证明题辅助线的添加-平移、旋转、翻折的应用
几何证明题中的辅助线添加
——平移、旋转、翻折的应用
一、图形的平移
平移的特征是把线段、直线、三角形等等图形 从一个地方移动到另一个地方，通过平移可以 将图形中一些分散的条件汇集到一起，也可以 把不太明朗的关系明朗化。特别是对于有些条 件比较隐蔽的几何题，往往能起到“柳暗花明 又一村”的效果。由于线段或直线在平移过程 中保持着线段的长短和角的大小不变，这一结 论对于将题目中的有用条件集中到一起从而能 比较容易的添加出辅助线以达到解题的目的很 有好处。
例４、如图四，已知△ABC中，点M是
BC边上的中点，过M作∠BAC的平分线
AD的平行线交AB于F，交CA的延长线于
E点。
E
求证：BF=CE
A F
B
MD
C
N
例5、设P为等边三角形ABC内的一 点，且PA=5，PB=4，PC=3，
求此等边三角形的边长.
A
E
P
B
C
D 图五
例6、在等腰直角三角形ABC中E、D 分别是直角边BC、AC上的点，且 CE=CD。过C、D作AE的垂线交斜边 AB于L、K，求证：BL=LK.
F
C
E
D
B
L
K
A
图六
三、图形的翻折
翻折就是将图形中的一部分沿着一条直线 进行翻折。通过翻折可以构造出轴对称图 形并充分利用轴对称图形的性质进行解题。 例如等腰三角形、等腰梯形等等。它的基 本特点是各个对称点到对称轴的距离相等， 因此利用图中的已知相等线段并以其对称 轴为对称轴构造轴对称图形是一种常见的 辅助线添加方法。
A
B
E
FC
图九 D
A
D
几何证明题辅助线基本方法
几何证明题辅助线基本方法几何证明题是数学中的一种重要题型，需要通过逻辑推理和几何知识来证明给定的几何关系。
在解决几何证明题时，辅助线是一种常用的策略，可以帮助我们简化问题、构建更简洁的证明过程。
本文将介绍几何证明题中常用的辅助线基本方法。
1. 平行辅助线法当我们需要证明两条线段平行时，可以在图形中引入一条辅助线来构建平行关系。
具体步骤如下：1. 观察图形，找到可能存在平行关系的线段。
2. 在相应的位置引入一条辅助线。
3. 利用平行线的性质进行推理，证明所需的平行关系。
2. 相等辅助线法当我们需要证明两个线段相等时，可以通过引入一条相等的辅助线来简化证明过程。
具体步骤如下：1. 观察图形，找到可能具有相等关系的线段。
2. 在相应的位置引入一条相等的辅助线。
3. 利用等边、等角等性质进行推理，证明所需的相等关系。
3. 垂直辅助线法当我们需要证明两条线段垂直时，可以通过引入一条垂直的辅助线来简化证明过程。
具体步骤如下：1. 观察图形，找到可能具有垂直关系的线段。
2. 在相应的位置引入一条垂直的辅助线。
3. 利用垂直线的性质进行推理，证明所需的垂直关系。
4. 同位角辅助线法当我们需要证明两条直线的同位角相等时，可以通过引入同位角的辅助线来简化证明过程。
具体步骤如下：1. 观察图形，找到可能存在同位角的直线。
2. 在相应的位置引入同位角的辅助线。
3. 利用同位角的性质进行推理，证明所需的同位角相等关系。
5. 其他辅助线方法除了上述介绍的常用辅助线方法外，还可以根据具体的几何证明题目选择其他辅助线的方法。
例如，可以利用中位线、角平分线、内切圆、外接圆等辅助线，根据题目要求灵活运用。
综上所述，几何证明题辅助线基本方法包括平行辅助线法、相等辅助线法、垂直辅助线法、同位角辅助线法等。
通过合理引入辅助线，可以帮助我们简化问题、构建更简洁的证明过程，提高解题效率。
在实际解题中，我们需要综合运用不同的辅助线方法，根据题目要求灵活选择适合的策略。
几何中的证明技巧：中考数学辅助线的添加与应用
几何中的证明技巧：中考数学辅助线的添加与应用在几何学中，证明技巧是学习数学的重要组成部分之一。
在中考数学中，辅助线的添加与应用是解决几何问题的关键之一。
本文将探讨几何中的证明技巧，重点介绍中考数学中辅助线的添加与应用。
一、辅助线的作用辅助线在几何证明中起着辅助作用，能够帮助我们更容易地理解和证明一些几何性质。
通过添加适当的辅助线，我们可以将原来复杂的几何图形转化为更简单、更易于处理的形式，从而更好地解决问题。
二、辅助线的添加技巧1. **平行线与角平分线**当我们需要证明一些角相等或线段平行的性质时，可以通过添加平行线或角平分线来辅助证明。
例如，证明两条线段平行时，可以添加一条平行于这两条线段的辅助线，从而构造出一组对应角相等的情况，进而得到结论。
2. **垂线与垂足**在证明垂直关系或直角三角形性质时，可以通过添加垂线和垂足来辅助证明。
例如，证明两条线段垂直时，可以通过在它们的交点处添加垂线，并证明所得的相邻角为直角，从而得到结论。
3. **三角形中的辅助线**在证明三角形性质时，常常需要添加一些辅助线来简化问题。
例如，证明三角形的内心、外心、重心等特殊点时，可以通过添加角平分线、中线、高线等辅助线来辅助证明。
三、辅助线的应用案例1. **证明三角形相似**当我们需要证明两个三角形相似时，可以通过添加一些辅助线来简化证明过程。
例如，证明两个三角形的三个对应角相等时，可以添加一条平行于其中一条边的辅助线，从而构造出一组对应角相等的情况。
2. **证明三角形的重心性质**当我们需要证明三角形的重心性质时，可以通过添加一些辅助线来简化问题。
例如，证明三角形的重心到各顶点的距离相等时，可以添加中线并利用三角形的性质来证明。
3. **证明四边形的性质**在证明四边形的性质时，常常需要添加一些辅助线来简化问题。
例如，证明一个四边形是平行四边形时，可以添加一条对角线，并利用平行线性质来证明。
四、结语几何中的证明技巧是中考数学中的重要内容之一。
初二几何题辅助线技巧
初二几何题辅助线技巧
初二的几何学是一门比较重要的学科。
尤其是在解题的时候，通过辅助线技巧可以更快地理解和解决问题。
以下是几个辅助线技巧：
1.平移：在解决问题时，可以通过平移来使线段或者图形更加规整。
比如，如果要求证AB||CD，可以平移线段AB使其与CD重合，再比较得出结论。
2.延长线段：有些情况下，我们需要找到一个点或线段来完成问题。
这时可以通过延长线段的方式，使其与另外一条线段相交或平行。
比如，如果要求证三角形ABC中，AD是角A的平分线，可以延长线段BD使其与AC相交，再利用相似性证明得出结论。
3.画垂线：在解决问题时，我们需要找到某条线段的垂线。
这时可以通过画一条垂线来辅助。
比如，如果要求证在直角梯形中对角线相等，可以画出对角线的垂线相交于点E，再证明三角形AED与BEC相似。
通过以上辅助线技巧，可以使初二几何问题的解决更加高效和准确。
几何证明题辅助线基本方法
几何证明题辅助线基本方法几何证明题辅助线方法是解决几何问题的基本策略之一。
通过引入辅助线，可以简化问题，使证明过程更加清晰和易于理解。
本文将介绍几何证明题中常用的辅助线方法。
垂直、平行辅助线方法当给定几何图形中存在垂直或平行线段时，可以通过引入垂直或平行辅助线来简化证明过程。
这些辅助线可以将问题中的角度或长度关系转化为更易于理解和证明的形式。
例如，当一个问题中涉及到两条平行线段之间的关系时，可以通过引入一条垂直辅助线将问题转化为两个相似三角形的比较问题。
中位线辅助线方法中位线辅助线方法是在一个三角形中引入中位线来简化证明过程。
中位线是连接一个三角形的一个顶点和对位边中点的线段。
通过引入中位线，可以将原问题转化为两个相似三角形的比较问题。
中位线辅助线方法在证明三角形的性质和关系时特别有用。
例如，在证明三角形的垂心、重心等性质时，可以使用中位线辅助线方法来简化证明过程。
旁切辅助线方法旁切辅助线方法是在一个圆和一个与之相切的直线或线段之间引入一条辅助线来解决问题。
通过引入旁切辅助线，可以将问题转化为关于切点、切线以及圆的性质和关系的证明问题。
旁切辅助线方法在证明圆的性质和关系时特别有用。
例如，在证明切线与半径垂直、切线之间的夹角等性质时，可以使用旁切辅助线方法来简化证明过程。
相似三角形辅助线方法相似三角形辅助线方法是通过引入辅助线，将原问题转化为相似三角形的比较问题。
通过比较相似三角形的边长或角度，可以得出原问题的结论。
相似三角形辅助线方法在证明三角形的比较性质时特别有用。
例如，在证明一个三角形是等腰三角形、直角三角形或全等三角形时，可以使用相似三角形辅助线方法来简化证明过程。
结论几何证明题中的辅助线方法是解决问题的基本策略之一。
通过引入不同类型的辅助线，可以简化问题，使证明过程更加清晰和易于理解。
在解决几何证明题时，我们可以根据问题的性质选择适当的辅助线方法。
如何进行平移旋转翻转等几何变换
如何进行平移旋转翻转等几何变换如何进行平移、旋转、翻转等几何变换几何变换是几何学中重要的概念，广泛应用于计算机图形学、游戏开发、计算机辅助设计和工程制图等领域。
通过几何变换，我们可以改变图形的位置、方向和形状，从而达到我们想要的效果。
本文将介绍如何进行平移、旋转和翻转等几何变换，并提供示例说明。
一、平移变换平移变换是指在平面内将图形沿着某个方向移动一定的距离。
平移变换不改变图形的大小和形状，只改变其位置。
对于平面上的一个点(x, y)，平移变换的公式为：新的坐标点 = (x + dx, y + dy)其中，dx和dy分别代表在x轴和y轴上的平移距离。
例如，如果要将一个点(2, 3)沿x轴正方向平移3个单位，沿y轴正方向平移2个单位，则变换后的新坐标为(5, 5)。
平移变换也可以用矩阵进行表示。
平移变换矩阵如下所示：[1 0 dx][0 1 dy][0 0 1]二、旋转变换旋转变换是指将图形绕某个点旋转一定的角度。
通过旋转变换，我们可以改变图形的方向和位置。
对于平面上的一个点(x, y)，绕原点旋转θ度后的新坐标计算公式为：新的坐标点= (x * cosθ - y * sinθ, x * sinθ + y * cosθ)其中，θ为旋转角度。
例如，如果要将点(1, 1)绕原点逆时针旋转45度，则变换后的新坐标为(0, √2)。
旋转变换也可以用矩阵进行表示。
旋转变换矩阵如下所示：[cosθ -sinθ 0][sinθ cosθ 0][0 0 1]三、翻转变换翻转变换是指将图形关于某个轴或某个点进行对称翻转。
翻转变换有水平翻转和垂直翻转两种情况。
1. 水平翻转：对于平面上的一个点(x, y)，关于x轴进行水平翻转后的新坐标计算公式为：新的坐标点 = (x, -y)例如，将点(2, 3)关于x轴进行水平翻转，则变换后的新坐标为(2, -3)。
2. 垂直翻转：对于平面上的一个点(x, y)，关于y轴进行垂直翻转后的新坐标计算公式为：新的坐标点 = (-x, y)例如，将点(2, 3)关于y轴进行垂直翻转，则变换后的新坐标为(-2, 3)。
旋转平移翻折的几何变换与性质
旋转平移翻折的几何变换与性质旋转、平移和翻折是几何中常见的基本变换方式，它们在空间和平面几何中发挥着重要的作用。
本文将介绍旋转平移翻折的几何变换及其性质，推导其数学表达式，并通过具体的实例来说明其应用。
一、旋转变换旋转是指将平面或空间中的图形按照一定角度绕着旋转中心进行旋转的操作。
对于平面上的点(x, y)，其绕原点逆时针旋转θ度后的新坐标可以由以下公式计算得出：x' = x*cosθ - y*sinθy' = x*sinθ + y*cosθ其中，x'和y'分别表示旋转后点的坐标，θ为旋转角度。
二、平移变换平移是指将平面或空间中的图形沿着指定的方向和距离进行移动的操作。
平移变换可以用一个向量来表示。
对于平面上的点(x, y)，其平移(dx, dy)后的新坐标可以由以下公式计算得出：x' = x + dxy' = y + dy其中，(dx, dy)为平移向量，x'和y'分别表示平移后点的坐标。
三、翻折变换翻折是指将平面或空间中的图形沿着指定的轴进行对称的操作。
对于平面上的点(x, y)，其关于直线y=k翻折后的新坐标可以由以下公式计算得出：x' = xy' = 2k - y其中，(x', y')为翻折后点的坐标，k为翻折轴的位置。
以上是旋转、平移和翻折的几何变换的数学表达式。
下面将通过实例说明它们在几何问题中的应用。
实例一：旋转变换假设有一张平面上的三角形ABC，顶点分别为A(1, 2)，B(3, 4)和C(5, 6)。
现在需要将该三角形绕原点顺时针旋转60度，求旋转后各顶点的坐标。
根据旋转变换的公式，旋转角度θ=60°，原点为旋转中心，可以计算得出旋转后的各顶点坐标为：A'(1*cos60° - 2*sin60°, 1*sin60° + 2*cos60°) = (0.5, 2.598)B'(3*cos60° - 4*sin60°, 3*sin60° + 4*cos60°) = (-1.133, 4.330)C'(5*cos60° - 6*sin60°, 5*sin60° + 6*cos60°) = (1.333, 7.464)实例二：平移变换假设有一条直线L，其方程为y = 2x - 1。
平移旋转翻折补形找辅助线的位置
平移·旋转·翻折·补形·找辅助线的位置在证明几何题时，经常要添加辅助线，但如何添加辅助线，怎样找到辅助线的位置，对有些题目是一件比较困难的事情。
本文从全等变换和构造基本图形的角度，结合一道习题，谈一下采用平移、旋转、翻折、补形的办法，先找出辅助线的位置，再恰当地作出辅助线，最后使问题得到解决的技巧。
题目：如图1,△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，且BD=CE ，连接DE 交BC 于F 。
求证：DF=EF. 分析：欲证DF=EF ，图中没有全等三角形、等腰三角形等基本图形，我们用平移、旋转、翻折、补形等手段构造出基本图形，然后加以证明。
一、平移假设DF=EF 成立，将△BDF 平移到△FGE 的位置（如图2），我们就找到了第1种要添加的辅助线的位置。
可惜的是，现在我们还不知道DF 与EF 是否相等，所以不能按上述平移的办法添加辅助线。
但这样做的好处是，帮助我们找到了要添加的辅助线的位置，使我们看到了证明此题的前景。
怎样才能得到如图2的辅助线呢？我们应该这样处理：过F 点作FG ∥AB ，过E 点作EG ∥BC ，交FG 于G ，这样就加好了辅助线（以下二、三部分添加的辅助线的方法都是如此，不再重复叙述），然后证明△BDF ≌△GFE 即可。
证明：过F 点作FG ∥AB ，过E 点作EG ∥BC ，交FG 于G 。
则∠FGE=∠B ∠CEG=∠ACB 又∵AB=AC ∴∠B=∠ACB ∴∠FGE=∠CEG ， 于是四边形FGEC 是等腰梯形，∴FG=CE 又BD=CE ∴BD= FG △BDF 和△FGE 中，∵EG ∥BC ∴∠DFB=∠FEG 又根据以上所证知：∠FGE=∠B ，BD= FG 故△BDF ≌△GFE ∴DF=EF.当然，我们也可以把△CEF 平移到图3二、旋转图1FD CB A如图4，作△CEF 关于F 点的中心对称图形：把△CEF 绕点F 旋转1800到△DGF 的位置，于是我们就找到了第2种要添加的辅助线的位置。
几何证明题辅助线的添加-平移、旋转、翻折的应用
B
E
FC
图九 D
A
D
B
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FC
图十
扬州中学西 区校专题课
几何证明题中的辅助线添加
——平移、旋转、翻折的应用
一、图形的平移
平移的特征是把线段、直线、三角形等等图形 从一个地方移动到另一个地方，通过平移可以 将图形中一些分散的条件汇集到一起，也可以 把不太明朗的关系明朗化。特别是对于有些条 件比较隐蔽的几何题，往往能起到“柳暗花明 又一村”的效果。由于线段或直线在平移过程 中保持着线段的长短和角的大小不变，这一结 论对于将题目中的有用条件集中到一起从而能 比较容易的添加出辅助线以达到解题的目的很 有好处。
求证：AB＝AC
Ａ
Ｄ
Ｅ
Ｂ
Ｃ
Ｆ
图二
二、图形的旋转
图形的旋转是把图形的一部分或全部绕着 一个确定的点从一个位置移动到另一个位 置。通过旋转可以把题目中一些不明朗的 关系明朗化，它的最大特点是在旋转过程 中旋转部分两点之间的距离不变、两直线 间的夹角不变和对应直线的夹角等于旋转 角。它的使用范围一般是等腰三角形或中 心对称图形。有时再结合基本辅助线添加 更能体现其在添加辅助线中的优势。
F
C
E
D
B
L
K
A
图六
三、图形的翻折
翻折就是将图形中的一部分沿着一条直线 进行翻折。通过翻折可以构造出轴对称图 形并充分利用轴对称图形的性质进行解题。 例如等腰三角形、等腰梯形等等。它的基 本特点是各个对称点到对称轴的距离相等， 因此利用图中的已知相等线段并以其对称 轴为对称轴构造轴对称图形是一种常见的 辅助线添加方法。
例４、如图四，已知△ABC中，点M是
BC边上的中点，过M作∠BAC的平分线
初一数学几何题辅助线技巧详解
巧添辅助线 解证几何题在几何证明或计算问题中,经常需要添加必要的辅助线,它的目的可以归纳为以下三点：一是通过添加辅助线,使图形的性质由隐蔽得以显现,从而利用有关性质去解题；二是通过添加辅助线,使分散的条件得以集中,从而利用它们的相互关系解题；三是把新问题转化为已经解决过的旧问题加以解决;值得注意的是辅助线的添加目的与已知条件和所求结论有关;下面我们分别举例加以说明;例题解析一、倍角问题 例1：如图1,在△ABC 中,AB=AC,BD ⊥AC 于D;求证：∠DBC=12∠BAC.分析：∠DBC 、∠BAC 所在的两个三角形有公共角∠C,可利用三角形内角和来沟通∠DBC 、∠BAC 和∠C 的关系; 证法一：∵在△ABC 中,AB=AC, ∴∠ABC=∠C=12180°-∠BAC=90°-12∠BAC; ∵BD ⊥AC 于D ∴∠BDC=90°∴∠DBC=90°-∠C=90°-90°-12∠BAC= 12∠BAC 即∠DBC=12∠BAC 分析二：∠DBC 、∠BAC 分别在直角三角形和等腰三角形中,由所证的结论“∠DBC= ½∠BAC ”中含有角的倍、半关系,因此,可以做∠A 的平分线,利用等腰三角形三线合一的性质,把½∠A 放在直角三角形中求解；也可以把∠DBC 沿BD 翻折构造2∠DBC 求解;证法二：如图2,作AE ⊥BC 于E,则∠EAC+∠C=90°∵AB=AC ∴∠EAG=12∠BAC ∵BD ⊥AC 于D∴∠DBC+∠C=90°∴∠EAC=∠DBC 同角的余角相等即∠DBC=12∠BAC;证法三：如图3,在AD 上取一点E,使DE=CD 连接BE ∵BD ⊥AC∴BD 是线段CE 的垂直平分线 ∴BC=BE ∴∠BEC=∠C∴∠EBC=2∠DBC=180°-2∠C ∵AB=AC ∴∠ABC=∠C∴∠BAC=180°-2∠C ∴∠EBC=∠BAC ∴∠DBC=12∠BAC 说明：例1也可以取BC 中点为E,连接DE,利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半和等腰三例2、如图4,在△ABC 中,∠A=2∠B求证：BC 2=AC 2+AC •AB分析：由BC 2=AC 2+AC •AB= ACAC+AB,启发我们构建两个相似的三角形,且含有边BC 、AC 、AC+AB.又由已知∠A=2∠B 知, 构建以AB 为腰的等腰三角形;证明：延长CA 到D,使AD=AB,则∠D=∠DBA ∵∠BAC 是△ABD 的一个外角 ∴∠BAC=∠DBA+∠D=2∠D ∵∠BAC=2∠ABC∴∠D=∠ABC又∵∠C=∠C ∴△ABC ∽△BDC ∴AC BCBC CD=∴BC 2=AC •CD AD=AB∴BC 2= ACAC+AB=AC 2+AC •AB二、 中点问题例3．已知：如图,△ABC 中,AB=AC,在AB 上取一点D,在AC的延长线上取一点E,连接DE 交BC 于点F,若F 是DE 的中点;求证：BD=CE分析：由于BD 、CE 的形成与D 、E 两点有关,但它们所在的三角形之间因为不是同类三角形,所以 关系不明显,由于条件F 是DE 的中点,如何利用这个中点条件,把不同类三角形转化为同类三角形式问题的关键; 由已知AB=AC,联系到当过D 点或E 点作平行线,就可以形成新 的图形关系——构成等腰三角形,也就是相当于先把BD 或CE 移动一下位置,从而使问题得解;证明：证法一：过点D 作DG ∥AC,交BC 于点G 如上图 ∴∠DGB=∠ACB, ∠DGF=∠FCE ∵AB=AC ∴∠B=∠ACB ∴∠B=∠DGB ∴BD=DG ∵F 是DE 的中点 ∴DF=EF在△DF G 和△DEFC 中,DFG= EFC DGF= FCE DF=EF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△DF G ≌EFC∴DG=CE ∴BD=CEABCEGDFCAB证法二：如图,在AC 上取一点H,使CH=CE,连接DH ∵F 是DE 的中点∴CF 是△EDH 的中位线 ∴DH ∥BC∴∠ADH=∠B, ∠AHD=∠BCA ∵AB=AC ∴∠B=∠BCA∴∠ADH=∠AHD ∴AD=AH ∴AB-AD=AC-AH ∴BD=HC∴BD=CE说明：本题信息特征是“线段中点”;也可以过E 作EM ∥BC,交AB 延长线于点G,仿照证法二求解;例4．如图,已知AB ∥CD,AE 平分∠BAD,且E 是BC 的中点 求证：AD=AB+CD证法一：延长AE 交DC 延长线于F ∵AB ∥CD ∴∠BAE=∠F, ∠B=∠ECF ∵E 是BC 的中点 ∴BE=CE 在△ABE 和△CEF 中BAE= F B= ECF BE=CE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ABE ≌△CEF ∴AB=CF∵AE 平分∠ABD ∴∠BAE=∠DAE ∴∠DAE=∠F ∴AD=DF ∵DF=DC+CF CF=AB ∴AD=AB+DC证法二：取AD 中点F,连接EF ∵AB ∥CD,E 是BC 的中点 ∴EF 是梯形ABCD 的中位线∴EF ∥AB , EF=12AB+CD∴∠BAE=∠AEF ∵AE 平分∠BAD ∴∠BAE=∠FAE ∴∠AEF=∠FAE ∴AF=EF ∵AF=DF∴EF=AF=FD=12AD ∴12 AB+CD= 12ADAB CD HEF A B CEFDA BCEF三．角平分线问题例5．如图1,OP 是∠MON 的平分线,请你利用图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形;请你参考这个全等三角形的方法,解答下列问题;（1） 如图2,在△ABC 中,∠ACB 是直角,∠B=60°,AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线,AD 、CE相交于点F,请你判断并写出EF 与FD 之间的数量关系;（2） 如图3,在△ABC 中,如果∠ACB 不是直角,而1中的其他条件不变,请问,你在1中所得的结论是否仍然成立 若成立,请证明；若不成立,请说明理由;（3）分析：本题属于学习性题型;这类题型的特点是描述一种方法,要求学生按照指定的方法解题;指定方法是角平分问题的“翻折法”得全等形;解：1EF=FD2答：1结论EF=FD 仍然成立理由：如图3,在AC 上截取AG=AE,连接FG 在△AEF 和△AGF 中,AE=AG EAF= FAG AF=AF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△AEF ≌△AGF由∠B=60°,AD 、CE 分别是∠BAC ∠BCA 的平分线 可得∠FAG+∠FCA=60° ∴∠EFA=∠GFA=∠DFC=60° ∴∠GFC=60°在△CFG 和△CFD 中GFC= DFC CF=CF DCE= ACE ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩∴△CFG ≌△CFD ∴FG=FD 又因为EF=GF ∴EF=FD说明：学习性问题是新课程下的新型题,意在考查学生现场学习能力和自学能力;抛开本题要求从角平分线的角度想,本题也可以利用角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”达到求解的目的;解法二：2答1中的结论EF=FD 仍然成立;理由：作FG ⊥AB 于G,FH ⊥AC 于H,FM ⊥BC 于M ∵∠EAD=∠DAC ∴FG=FH∵∠ACE=∠BCE ∴FH=FG∵∠B=60° ∴∠DAC+∠ACE=60° ∴∠EFD=∠AFC=180°- 60°=120°在四边形BEFD 中 ∠BEF+∠BDF=180°∵∠BDF+∠FDC=180° ∴∠FDC =∠BEF 在△EFG 和△DFM 中FDC = BEF EGF= DMF=90FG=FM ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴EFG ≌△DFM ∴EF=DF四、线段的和差问题例6 如图,在△ABC 中,AB=AC,点P 是边BC 上一点,PD ⊥AB 于D,PE ⊥AC 于E,CM ⊥AB 于M,试探究线段PD 、PE 、CM 的数量关系,并说明理由;分析：判断三条线断的关系,一般是指两较短线段的和与较长线段的大小关系,通过测量猜想PD+PE=CM.分析：在CM 上截取MQ=PD,得□PQMD,再证明CQ=PE 答：PD+PE=CM证法一：在CM 上截取MQ=PD,连接PQ. ∵CM ⊥AB 于M, PD ⊥AB 于D∴∠CMB=∠PDB=90°∴CM ∥DP∴PQ ∥AB∴∠CQP=∠CMB=90°∠QPC=∠B ∵AB=AC ∴∠B=∠ECP ∴∠QPC=∠ECP ∵PE ⊥AC 于E ∴∠PEC=90°在△PQC 和△PEC 中PQC= PEC QPC= ECP PC=PC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△PQC ≌△PEC ∴QC=PE ∵MQ=PD ∴MQ+QC=PD+PE ∴PD+PE=CM分析2：延长DF 到N 使DN=CM,连接CN,得平行四边形DNCM, 再证明PN=PE证法2：延长DF 到N,使DN=CM,连接CN同证法一得平行四边形DNCM,及△PNC ≌△PEC ∴PN=PE ∴PD+PE=CM分析3：本题中含有AB=AC 及三条垂线段PD 、DE 、CM, 且PABPACABCSSS+=,所以可以用面积法求解;证法三：连接AP,∵PD ⊥AB 于D,PE ⊥AC 于E,CM ⊥AB 于M ∠PQC=∠PEC ∠QPC=∠ECP PC=PC ∴121212ABPACPABCS AB PD S AC PE SAB CM =•=•=• ∵AB=AC 且PABPACABCSSS+=∴1112220AB PD AB PE AB CM AB PD PE CM•+•=•≠∴+= 说明：当题目中含有两条以上垂线段时,可以考虑面积法求解;FEDCBA五、垂线段问题例7 在平行四边形ABCD 中,P 是对角线BD 上一点,且,,PE AB PF BC ⊥⊥垂足分别是E 、F求证：AB PF BC PE=分析：将比例式AB PF BC PE=转化为等积式AB PE BC PF •=•,联想到AB PE BC PF•=•1122, 即△PAB 与△PBC 的面积相等,从而用面积法达到证明的目的;证明：连接AC 与BD 交于点O,连接PA 、PC 在平行四边形ABCD 中,AO=COAOBBOCSS∴=同理,AOPCOP AOBAOPBOCCOPPAB PBCS S SS SSSS=∴-=-=∵,,PE AB PF BC ⊥⊥,11221122PAB PBC SAB PE S BC PF AB PE BC PF AB PE BC PF AB PFBC PE∴=•=•∴•=•∴•=•∴=例8求证：三角形三条边上的中线相交于一点;分析：这是一个文字叙述的命题;要证明文字命题,需要根据题意画出图形,再根据题意、结合图形写出已知、求证;已知：△ABC 中,AF 、BD 、CE 是其中线; 求证：AF 、BD 、CG 相交于一点;分析：要证三线交于一点,只要证明第三条线经过另两条线的交点即可;FED CBAP,ABDCBDAGDCGD AGBCGBCGBAGCAGBAGCAD DC SSSSS S SSSS=∴==∴==∴=同理，作BM ⊥AF ,于M,CN ⊥AF ,于N则,11221122AGB AGC SAG BM S AG CN AG BM AG CN BM CN=•=•∴•=•∴= 在△BMF ,和△CNF ,中 BF MCF N BMF CNF BM CN ''∠=∠⎧⎪''∠=∠⎨⎪=⎩∴△BMF ≌△CNF ∴''BF CF =∴AF ,是BC 边上的中线 又∵AF 时BC 边上的中线∴AF 与AF ,重合 即AF 经过点D∴AF 、BD 、CE 三线相交于点G因此三角形三边上的中线相交于一点;六、梯形问题例9．以线段a=16,b=13为梯形的两底,以c=10为一腰,则另一腰长d 的取值范围是＿ 分析：如图,梯形ABCD 中,上底b=13,下底a=16,腰AD= c=10,过B 作BE ∥AD,得到平行四边形ABED,从而得AD=BE=10,AB=DE=13 所以EC=DC-DE=16-13=3. 所以另一腰d 的取值范围是 10-3＜d ＜10+3 答案：7＜d ＜13例10．如图,已知梯形ABCD 中,AB ∥DC,高AE=12,BD=15,AC=20,求梯形ABCD 的面积;分析：已知条件中给出两条对角线的长,但对角线位置交错,条件一时用不上;另外,求梯形面积只要求出上、下底的和即可,不一定求出上、下底的长,所以考虑平移腰;解：解法一：如图,过A 作AF ∥BD,交CD 延长线于FD CE B A//,AB FCFD AB AF BD FC AB DCAE FC AEF AEC ∴∴===∴=+⊥∴∠=∠=ABDF 1590。
几何证明辅助线添加技巧
初中数学几何证明辅助线添加技巧一、添辅助线有二种情况：1.按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们相交后证交角为90°;证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线（还可以利用等腰三角形顶角的外角是底角的两倍添加辅助线）。
2.按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。
举例如下：(1)平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的第三条直线。
(2)等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。
出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形（这个图形很重要！）。
(3)等腰三角形中的重要线段（即三线合一线，往往是加高用中点）是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形（这个图形很重要！）中的重要线段的基本图形。
(4)直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。
出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
(5)三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
(6)全等三角形（好好琢磨下这段文字，还是很有道理的）：全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。
几何证明题辅助线常见应用
几何证明题辅助线常见应用在几何证明题中，辅助线是一种常见的解题策略。
通过添加辅助线，可以使证明过程更加简化和清晰。
以下是几何证明题中常见的辅助线应用。
垂直辅助线当需要证明两条线段垂直时，可以通过添加垂直辅助线来简化证明过程。
具体的应用步骤如下：1. 根据已知条件找到需要证明的垂直关系。
2. 在需要证明垂直关系的两条线段上选择一个点，将其连接起来。
3. 根据垂直关系，找到一个与连接线段垂直的辅助线。
4. 利用垂直的性质进行推导和证明。
平行辅助线当需要证明两条线段平行时，可以通过添加平行辅助线来简化证明过程。
具体的应用步骤如下：1. 根据已知条件找到需要证明的平行关系。
2. 在需要证明平行关系的两条线段上选择一个点，将其连接起来。
3. 根据平行关系，找到一个与连接线段平行的辅助线。
4. 利用平行的性质进行推导和证明。
三角形辅助线在证明三角形相关性质时，辅助线也是一个常见的应用策略。
辅助线可以帮助我们发现和证明三角形的性质。
以下是一些常见的三角形辅助线应用：1. 中线：通过连接三角形的一个顶点和对边中点，可以构造出三个中线。
利用中线可以证明三角形的中线定理等性质。
2. 高线：通过连接三角形的一个顶点和对边垂足，可以构造出三个高线。
利用高线可以证明三角形的高线定理等性质。
3. 角平分线：通过连接三角形的顶点和对边的角平分线，可以构造出三条角平分线。
利用角平分线可以证明三角形的角平分线定理等性质。
通过合理选择和应用辅助线，我们可以简化几何证明题的过程，并更加清晰地展示证明过程。
同时，我们还可以利用辅助线的几何性质来推导和证明更多的相关性质。
请注意，以上只是几何证明题辅助线常见应用的一些例子，实际应用要根据具体题目的情况进行分析和选择辅助线的方法。
在解题过程中，我们应该灵活运用辅助线策略，以简化证明过程并达到更好的解题效果。
几何辅助线技巧之旋转、翻折：一巧解千愁
几何辅助线技巧之旋转、翻折：一巧解千愁在前面文章写的平面几何和立体几何的问题中，我已经讲过一些辅助线的思路，比如逆向思维，比如必然之路和必不然之路，作辅助线的方式无非：①连接，②延长，③平移，④垂直，⑤旋转，⑥翻折，⑦画圆等。
在一些已知条件看起来非常简单的几何问题中，如果不用辅助线你千愁万愁也无济于事，有时候你不懂技巧也会是同样的茫然不知所措，在冤枉路上千愁万愁的徘徊，看起来简单无比的题就成了“疑难杂症”，而只要掌握了作辅助线的基本方式和基本技巧，解决问题的思路瞬间明朗，一巧解千愁。
看看下面这道初中几何题你就能体会到技巧真的是巧妙。
已知条件给出的特殊角45°和特殊关系垂直是无法直接利用的，那么只能通过辅助线再构造特殊关系，将特殊转化为更特殊。
在三角形本体图形内作辅助线显然是于事无补的，那么必然在三角形之外作辅助线，怎么做呢？旋转？不好使。
翻折？分别沿AB、AC翻折△ABD、△ACD，45°转化成90°，一下有了3个直角，邻边还相等，于是补形为正方形。
设未知数，用未知数和已知条件的数值表达其余长度，于是Rt△BGC勾股定理构建方程，解方程问题就得解了。
这里用了辅助线翻折的技巧，下面来看看辅助线的另一技巧：旋转。
因为此题跟上面一题非常有关联，所以一并拿来讨论一下辅助线的相应技巧。
作△AMN的高如果能构造两对全等倒是非常容易，可是这里无法达成这个愿望。
无法达成愿望那就只能采取别的方式，构造全等的思路始终是对的，我们看到M、N实际上是BC、CD上的动点，相当于定角MAN在旋转，这就给了解题的灵感了，延长CB至G，使BG=DN，连接AG（实质就是把△ADN绕点A顺时针旋转90°）。
经过一次旋转，轻松构造出全等Rt△ABG≌Rt△ADN，进而证出另一对全等△AMG≌△AMN，都是“边角边”的定理，长度完成转化或者转移，问题即圆满解决了。
接着看第二小问，长度关系探究性问题不可能直接就明显地把长度关系摆得那么明显，所以不能无的放矢、盲目瞎猜，依然要完成长度的转化或者转移，完成后长度关系自然就水落石出了。
几何证明题辅助线的技巧和方法
几何证明题辅助线的技巧和方法
在解决几何证明题时，辅助线是一种常用且有效的工具。
它可以帮助我们发现
隐藏的几何关系，简化证明过程，并提供新的角度来解决问题。
以下是几种常见的辅助线技巧和方法，可用于解决几何证明题。
1. 平行线辅助线法：当题目涉及到平行线时，我们可以通过引入一条平行线作
为辅助线，从而构建出平行线之间的相似三角形或平行四边形。
这样，我们可以得出相应的角度和边的关系，进而证明几何问题。
2. 三角形中线辅助线法：三角形的中线是连接一个顶点与对应中点的线段。
通
过引入三角形中线作为辅助线，我们可以将原问题转化为直角三角形的性质或平行线的性质。
这种方法常常用于证明三角形的等边、等腰等性质。
3. 垂直线辅助线法：当题目涉及到垂直线时，我们可以通过引入一条垂直线作
为辅助线，从而构建出垂直角、直角三角形或平行四边形。
通过利用垂直线的性质，我们可以得到角度、边长等关系，进而解决问题。
4. 内切圆辅助线法：对于一个给定的三角形，可以通过引入其内切圆作为辅助线，来简化证明过程。
内切圆与三角形的的边相切于三个点，这些点可以提供有用的几何关系，如正方形的性质、垂直线的性质等。
5. 类似三角形辅助线法：当计算角度或证明形状相似时，引入类似三角形作为
辅助线可以大大简化证明过程。
通过找到两个或多个类似的三角形，我们可以得到两个三角形的边长比例，并据此解决问题。
总之，辅助线是几何证明中的有效工具，它们可以帮助我们发现关键的几何关系，简化证明过程，并提供新的角度来解决问题。
通过灵活运用各种辅助线技巧和方法，我们可以更加轻松地解决各种几何证明题。
辅助线技巧在初中几何中的应用
辅助线技巧在初中几何中的应用
初中几何是数学中的重要分支之一，其中辅助线是解决几何问题的关键。
在初中几何中，我们需要掌握一些作辅助线的技巧，这些技巧可以帮助我们更好地解决几何问题。
下面是一些常见的作辅助线的技巧:
1. 利用平行线的性质作辅助线：在解决几何问题时，我们可以利用平行线的性质，即两条平行线之间的距离永远相等，而且它们所对应的角也永远相等。
利用这个性质，我们可以作出许多重要的辅助线，比如作出两条平行线之间的距离，或者作出两个角相等的辅助线。
2. 利用三角形的性质作辅助线：在解决几何问题时，我们可以利用三角形的性质，即三角形的内角和总是 180 度。
利用这个性质，我们可以作出许多重要的辅助线，比如作出三角形的三个内角，或者作出三角形的一个外角。
3. 利用对称性质作辅助线：在解决几何问题时，我们可以利用对称的性质，即对称轴、对称点、对称中心等。
利用这些性质，我们可以作出许多重要的辅助线，比如作出对称轴，或者作出对称点、对称中心等。
4. 利用向量知识作辅助线：在解决几何问题时，我们可以利用向量的知识，即向量的加法、减法、数乘等。
利用向量的知识，我们可以作出许多重要的辅助线，比如作出向量加法的终点，或者作出向量减法的终点。
除了以上几种技巧外，还有许多其他的作辅助线的技巧，比如利用相似三角形的性质作辅助线，利用圆的性质作辅助线等。
在初中几何中，我们需要掌握这些作辅助线的技巧，以便更好地解决几何问题。
全等三角形几何证明常用辅助线
全等三角形几何证明常用辅助线
辅助线证明三角形全等
一、辅助线定义
辅助线，又称辅助规则，是专门用来证明几何结论的辅助线，它可以
指向几何结论的前提或结果，以更清晰地证明几何结论。
二、辅助线用法
1.在证明三角形全等的情况下，用辅助线来证明角的相等性：用一条
辅助线平分角A，然后将辅助线平移到角B上，如果辅助线可以在角B上
的两点重合，则说明角A和角B是相等的。
2.在证明三角形全等的情况下，用辅助线来证明边的相等性：用一条
辅助线平分边AB，然后将辅助线平移到边CD上，如果辅助线可以在边CD
上的两点重合，则说明边AB和边CD是相等的。
3.在证明三角形全等的情况下，用辅助线来证明两个三角形的相等性：在三角形ABC中画出一条辅助线，然后将该辅助线平移到三角形CDE中，
如果辅助线可以在三角形CDE中的三个点重合，则说明两个三角形ABC和CDE是相等的。
三、辅助线证明三角形全等的步骤
1.识别出待证明的相关图形，并将其准确地表示在平面上。
2.根据定义，确定三角形全等的前提条件，并假设三角形全等。
3.画出两个三角形之间的辅助线，如果相交点都在两个三角形相交的
边上，证明该辅助线可以同时在两个三角形中存在。
平面几何基本辅助线思路：平移、对称、旋转
平面几何基本辅助线思路：平移、对称、旋转
今天我们讲初中课本上的三大几何变换，大家不要小看课本上的基础问题，其实很多难题都是由几个基础问题构成的。
我们见过的所谓的难题，就是把几个条件各自分散开，让你摸不着头脑。
而我们解题，实际就是通过各种途径，把分散的条件集中到一起，那么问题自然就迎刃而解了。
而这所谓的途径，无非就是构造各类辅助线，利用全等、相似等我们学过的定理性质，去转化成我们所熟悉的问题。
如何思考，怎么做辅助线，就是很多学生头痛的问题了，也是我们今天的主要类容，辅助线的三个基本方向：平移、对称、旋转.
下面我们就直接从题目中去感受下这三个基本方法的妙处。
一、平移
分析：一样有夹角定，所以可平移BD，使得A、B重合，但是这里我们做辅助线时就要注意这个说法了，如果直接说构造平四ABDG，后面的证明就会很麻烦，同样的图形构造可以有不同的说法。
比如：构造A然后推出B，也可以构造B然后推出A，其实得到的是一个图形。
但是证明的过程各有千秋，所以当我们构造辅助线时，一定要注意选择合适的说明。
像这题有2个直角所以我们用构造三垂直得全等，再证明平四就简单多了.
总结：平移法做辅助线的思路，先分析题目给的条件和要求的结论有什么联系，这几个题，条件都比较分散，联系就是都有一个夹角固定，夹边相等或者成比例，所以我们就平移夹边使得他们的一对顶点重合。
构造出平四，然后利用平四的性质去解题，虽然都是平移，但是根据其特点我做的辅助线说明不同。
这点需要大家自己多去练习。
当然每个题都有多种解法但其本质差不多。
平移只是其中一个思路，不是说一定要这样做，找到合适自己的方法就行。
辅助线在初中几何解题中的应用与技巧
辅助线在初中几何解题中的应用与技巧初中几何是学生学习数学中的重要一部分，几何知识广泛应用于生活和科学技术中，因此掌握几何知识对学生来说非常重要。
在几何学习中，辅助线是一个非常有用的解题工具，能够帮助学生更好地理解和解决问题。
本文将讨论辅助线在初中几何解题中的应用与技巧。
一、什么是辅助线辅助线是在几何图形中，为了方便解题而临时添加的直线。
添加辅助线的目的是为了简化问题，使原先复杂的几何图形变得更易解。
通过添加辅助线，可以更清晰地看清关键关系，从而更容易得到问题的解答。
1. 求证问题在求证问题中，经常会遇到需要使用辅助线来简化问题。
证明两个三角形全等，或证明两个角相等等问题，添加合适的辅助线可以使问题更加直观、清晰，更容易得到证明过程。
2. 求解长度或面积问题在求解长度或面积问题中，添加辅助线可以帮助学生更好地理清问题结构，从而更容易得到问题的解答。
求三角形面积时，可以通过添加高作为辅助线，从而简化问题，使问题更容易解决。
在求解角度问题中，经常需要使用辅助线来辅助推导出关键角度的大小。
一般情况下，添加辅助线可以使问题简化，更容易得到解答。
通过以上例子，可以看出辅助线在初中几何解题中具有非常重要的作用。
添加适当的辅助线，可以使问题更加清晰、直观，更容易得到解答。
三、辅助线的添加技巧1. 尽量选择简单的线在添加辅助线时，应尽量选择简单的线。
过于复杂或难以理解的辅助线可能会使问题变得更加复杂，得不偿失。
2. 考虑几何关系在添加辅助线时，需要考虑几何图形的关系，选择能够帮助理清关键关系的辅助线。
这样可以使问题更加直观和清晰。
3. 熟练掌握基本几何知识熟练掌握基本几何知识对于正确添加辅助线非常重要。
只有对基本几何知识掌握得很好，才能根据几何图形的特点和规律选择正确的辅助线。
四、辅助线解题技巧与方法1. 观察几何图形的特点和规律在解决几何问题时，首先要观察几何图形的特点和规律。
只有明确了几何图形的特点和规律，才能更好地选择添加适当的辅助线。
辅助线在初中几何解题中的应用与技巧
辅助线在初中几何解题中的应用与技巧初中几何是数学中很重要的一部分，学习初中几何需要具备扎实的空间想象力和几何直觉，更需要掌握一定的解题技巧。
辅助线作为解决几何问题的常用技巧之一，能够帮助学生找到规律，提高解题速度和准确率。
本文将介绍辅助线在初中几何解题中的应用与技巧。
1. 用对称性辅助线对称性辅助线是指通过对称性将原图形分成若干对称部分，然后使用这些对称部分之间的关系，引出问题中的条件并得到结论。
对称性辅助线的优点在于能够把原问题简化，通过成对角形、成等角形和成比例等几何关系，得到原问题难以发现的一些性质。
例如，在如下图所示的正三角形ABC中，辅助线AD将三角形分成两个等边三角形ACE 和ABD，由于三角形ACE和ABD共顶点A，且AE=AD=DB=BC，因此它们都是等腰三角形，所以∠CAD=∠CBA，从而可以得出角度∠A=60°。
这个问题如果没有辅助线可以利用对称性，很难得到正确答案。
因此在初中几何中，对称性辅助线是一种非常有用的技巧。
平移、旋转和对称辅助线是通过模仿某种变换（平移、旋转或对称）来引出问题的一些条件和结论。
平移、旋转和对称辅助线能够在不失一般性的情况下（因为它们是对称、相似或全等变换），使得问题变得更加简单。
因此，在初中几何中，这种辅助线是一种非常重要的技巧。
3. 用垂线、平行和中垂线辅助线垂线、平行和中垂线辅助线主要是解决关于直线和平面上的点和线的位置关系的问题，结合垂直角和平行线的性质寻找几何规律。
这些辅助线的方法很常见，可以经常用到。
垂线、平行和中垂线辅助线是初中几何中最常用的技巧之一，几乎可以用来解决所有求点的位置关系问题。
总结辅助线在初中几何解题中的应用与技巧就是上述三种方法（对称性、平移、垂线和中垂线），因为它们不仅提高了解题速度和准确率，而且不失一般性，特别适合用来寻找几何规律。
但是在使用辅助线之前需要先建立基本的几何概念和几何定理。
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几何证明题中的辅助线添加
——平移、旋转、翻折的应用
一、图形的平移
平移的特征是把线段、直线、 平移的特征是把线段、直线、三角形等等图形 从一个地方移动到另一个地方， 从一个地方移动到另一个地方，通过平移可以 将图形中一些分散的条件汇集到一起， 将图形中一些分散的条件汇集到一起，也可以 把不太明朗的关系明朗化。 把不太明朗的关系明朗化。特别是对于有些条 件比较隐蔽的几何题，往往能起到“ 件比较隐蔽的几何题，往往能起到“柳暗花明 又一村”的效果。 又一村”的效果。由于线段或直线在平移过程 中保持着线段的长短和角的大小不变， 中保持着线段的长短和角的大小不变，这一结 论对于将题目中的有用条件集中到一起从而能 比较容易的添加出辅助线以达到解题的目的很 有好处。 有好处。
例７、如图七，已知：△ABC中，AD 如图七，已知： 中 的平分线， 为 的垂直 为∠BAC的平分线，EF为AD的垂直 的平分线 交于F， 平分线 ，EF、BC交于 ， 、 交于 求证： 求证：DF2=FC×FB。 × 。
A
E
B
D
C 图七
F
例8、如图八，已知△ABC中，AB＞ 、如图八，已知△ 中 ＞ AC，AD平分∠BAC，P是AD上任一 平分∠ ， 平分 ， 是 上任一 点， 求证： －ＡＣ＞ＰＢ－ＰＣ －ＡＣ＞ＰＢ－ＰＣ. 求证：AB－ＡＣ是将图形中的一部分沿着一条直线 进行翻折。 进行翻折。通过翻折可以构造出轴对称图 形并充分利用轴对称图形的性质进行解题。 形并充分利用轴对称图形的性质进行解题。 例如等腰三角形、等腰梯形等等。 例如等腰三角形、等腰梯形等等。它的基 本特点是各个对称点到对称轴的距离相等， 本特点是各个对称点到对称轴的距离相等， 因此利用图中的已知相等线段并以其对称 轴为对称轴构造轴对称图形是一种常见的 辅助线添加方法。 辅助线添加方法。
A E P B D 图五 C
例6、在等腰直角三角形 、在等腰直角三角形ABC中E、D 中 、 分别是直角边BC、 上的点 上的点， 分别是直角边 、AC上的点，且 CE=CD。过C、D作AE的垂线交斜边 。 、 作 的垂线交斜边 AB于L、K，求证：BL=LK. 于 、 ，求证：
F C E D
B
L 图六
例４、如图四，已知△ABC中，点M是 如图四，已知△ 中 是 BC边上的中点，过M作∠BAC的平分线 边上的中点， 边上的中点 作 的平分线 AD的平行线交 于F，交CA的延长线于 的平行线交AB于 ， 的平行线交 的延长线于 E点。 点 求证： 求证：BF=CE
E A F B M D C
N
为等边三角形ABC内的一 例5、设P为等边三角形 、 为等边三角形 内的一 点，且PA=5，PB=4，PC=3， ， ， ， 求此等边三角形的边长. 求此等边三角形的边长
Ｄ Ｅ
Ｂ
Ｃ 图二
Ｆ
二、图形的旋转
图形的旋转是把图形的一部分或全部绕着 一个确定的点从一个位置移动到另一个位 置。通过旋转可以把题目中一些不明朗的 关系明朗化， 关系明朗化，它的最大特点是在旋转过程 中旋转部分两点之间的距离不变、 中旋转部分两点之间的距离不变、两直线 间的夹角不变和对应直线的夹角等于旋转 角。它的使用范围一般是等腰三角形或中 心对称图形。 心对称图形。有时再结合基本辅助线添加 更能体现其在添加辅助线中的优势。 更能体现其在添加辅助线中的优势。
例１、如图一，在梯形ABCD 中， 如图一，在梯形 ∠A+∠B=90°，AB∥CD，M、N分 ∠ ° ∥ ， 、 分 别是AB、CD 的中点，求证：MN= 别是 、 的中点，求证： （AB－CD）。 － ）。
D N C
A
G M 图一
P
B
例2、求证：两中线相等的三角形是 、求证： 等腰三角形。 等腰三角形。 已知：如图二， 已知：如图二，△ABC中，Ｄ、Ｅ分 中，Ｄ、Ｅ分 别是AB、 的中点 的中点， ＝ 别是 、AC的中点，BE＝CD. Ａ 求证： ＝ 求证：AB＝AC
C
A
D B E 图十 F C
A
P
B
D 图八
C E
例9、如图九，在等腰直角三角形 、如图九，在等腰直角三角形ABC 分别是底边BC上的两点 中，E、F分别是底边 上的两点，且 、 分别是底边 上的两点， ∠EAF=45°. ° 求证： 求证：以BE、EF、FC 为边的三角形为 、 、 直角三角形. 直角三角形
A
B
E 图九 D
F