(完整版)朝阳初三第一学期期末数学试题及答案

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2022朝阳初三数学期末试题及答案

2022朝阳初三数学期末试题及答案朝阳区2022～2022学年九年级第一学期期末统一考试一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）1.下列图形是中心对称图形的是A.B.C.D.2.已知⊙O1和⊙O2的半径分别为4cm和2cm，圆心距O1O2为6cm，则这两个圆的位置关系是A．外离B．外切C．相交D．内切A3.如图，已知△ABC中，AB=AC，∠ABC=70°，点I是△ABC的内心，则∠BIC的度数为A.40°B.70°C.110°D.140°4.抛物线y(某2)1是由抛物线y某平移得到的，下列对于抛物线y某的平移过程叙述正确的是A．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位B．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位C．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位D．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位222IBC5.如图，⊙O的半径OC垂直于弦AB，D是优弧AB上的一点（不与点A、B重合），若∠AOC=50°，则∠CDB等于A．25°B．30°C．40°D．50°ACBDOA40mm60mmy43AB12C34某CE2m21-4-3-2-1O-1-2BD-3-46.如图是一个照相机成像的示意图，如果底片AB宽40mm，焦距是60mm，所拍摄的2m外的景物的宽CD为34mD．m237.△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中A(1,2)，B(1,1)，C(3,1)，将△ABCA．12mB．3mC．绕原点O顺时针旋转90后得到△A'B'C'，则点A旋转到点A'所经过的路线长为A．52B．55C．D．5242B8.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P是斜边AB 上一动点（不与点A、B重合），PQ⊥AB交△ABC的直角边于点Q，设AP 为某，△APQ的面积为y，则下列图象中，能表示y关于某的函数关系的图象大致是yyyyOO某O某某OA.B.C.D.55PCQA55某二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）9.如图，△ABC为等边三角形，D是△ABC内一点，且AD＝3，将△ABD绕点A旋转到△ACE的位置，连接DE，则DE的长为.BDCAE（第9题图）（第10题图）（第11题图）10.如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若该圆的半径为1，扇形的圆心角等于60°，则这个扇形的半径R的值是.11.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AB=AD=4，BC=6，以点A为圆心在这个梯形内画出一个最大的扇形（图中阴影部分），则这个扇形的面积是．12.古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，这样的数称为“三角形数”（如图①），而把1，4，9，16，这样的数称为“正方形数”（如图②）．如果规定a11，a23，a36，a410，；b11，b24，b39，b416，；y12a1b1，y22a2b2，y32a3b3，y42a4b4，，那么，按此规定，y6，yn＝（用含n的式子表示，n为正整数）．13图①610149图②16三、解答题（共13个小题，共72分）13.（本小题满分5分）计算：tan60in2452co30.14.（本小题满分5分）如图，已知AC4，求AB和BC的长.15.（本小题满分5分）如图，□ABCD中，点E在BA的延长线上，连接CE，与AD相交于点F.（1）求证：△EBC∽△CD F；（2）若BC＝8，CD＝3，AE＝1，求AF的长．16.（本小题满分4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B（3，1），B′（6，2）.（1）若点A（52，3），则A′的坐标为；（2）若△ABC的面积为m，则△A′B′C′的面积＝.C105°30°ABEAFDBCyA'AC'CB'BO1某17.（本小题满分5分）二次函数ya某2b某c的部分图象如图所示，其中图象与某轴交于点A（－1,0），与y轴交于点C（0，－5），且经过点D（3，－8）.（1）求此二次函数的解析式；（2）将此二次函数的解析式写成ya(某h)2k的形式，并直接写出此二次函数图象的顶点坐标以及它与某轴的另一个交点B的坐标.18.（本小题满分5分）经过18个月的精心酝酿和290多万首都市民投票参与，2022年11月1日，“北京精神”表述语“爱国、创新、包容、厚德”正式向社会发布.为了更好地宣传“北京精神”，小明同学参加了由街道组织的百姓宣讲小分队，利用周末时间到周边社区发放宣传材料.第一周发放宣传材料300份，第三周发放宣传材料363份.求发放宣传材料份数的周平均增长率.19.（本小题满分5分）如图，CD与AB是⊙O内两条相交的弦，且AB为⊙O的直径，CE⊥AB 于点E，CE=5，连接AC、BD.CA5（1）若inD，则coA=；13（2）在（1）的条件下，求BE的长．OEBD20.（本小题满分5分）小红在学习了教科书上相关内容后自制了一个测角仪（图①），并尝试用它来测量校园内一座教学楼CD的高度（如图②）.她先在A处测得楼顶C的仰角30°，再向楼的方向直行10米到达B处，又测得楼顶C的仰角60°，若小红的目高（眼睛到地面的高度）AE为1.60米，请你帮助她计算出这座教学楼CD的高度（结果精确到0.1米，参考数据：21.41，31.73，52.24）.21.（本小题满分5分）已知抛物线y1某(m1)某m4与某轴交于A、B两点（点A在点B左侧），且对称轴为某=－1．（1）求m的值；（2）画出这条抛物线；（2）若直线y2k某b过点B且与抛物线交于点-4-3-2CEAαFBβGD 图①图②2y54321-1O1-1-2-3234某P（－2m，－3m），根据图象回答：当某取什么值时，y1≥y2.-4-522.（本小题满分6分）某超市销售一款进价为50元/个的书包，物价部门规定这款书包的售价不得高于70元/个，市场调查发现：以60元/个的价格销售，平均每周销售书包100个；若每个书包的销售价格每提高1元，则平均每周少销售书包2个.（1）求该超市这款书包平均每周的销售量y（个）与销售价某（元/个）之间的函数关系式；（2）求该超市这款书包平均每周的销售利润w（元）与销售价某（元/个）之间的函数关系式；（3）当每个书包的销售价为多少元时，该超市这款书包平均每周的销售利润最大？最大利润是多少元？23.（本小题满分6分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O为BC边上一点，以O为圆心，OB 为半径作半圆与AB边和BC边分别交于点D、点E，连接CD，且CD=CA，BD=65，tan∠ADC=2．（1）求证：CD是半圆O的切线；（2）求半圆O的直径；（3）求AD的长.ADCEOB24.（本小题满分8分）已知，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=22，点D、E在BC边上（均不与点B、C重合，点D始终在点E左侧），且∠DAE＝45°．（1）请在图①中找出两对相似但不全等的三角形，写在横线上，；（2）设BE＝m，CD＝n，求m与n的函数关系式，并写出自变量n的取值范围；（3）如图②，当BE＝CD时，求DE的长；（4）求证：无论BE与CD是否相等，都有DE2=BD2+CE2.AAABDECBDECBDEC图①图②备用图25.（本小题满分8分）已知抛物线y＝a某2＋b某＋6与某轴交于A、B两点（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，且OB=11OC，tan∠ACO=，顶点为D．26（1）求点A的坐标．（2）求直线CD与某轴的交点E的坐标.（3）在此抛物线上是否存在一点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．（4）若点M（2，y）是此抛物线上一点，点N是直线AM上方的抛物线上一动点，当点N运动到什么位置时，四边形ABMN的面积S最大请求出此时S的最大值和点N的坐标．（5）点P为此抛物线对称轴上一动点，若以点P为圆心的圆与（4）中的直线AM及某轴同时相切，则此时点P的坐标为.yy8877665544332211-5-4-3-2-1O12345某-1-5-4-3-2-1O12345某-1-2-2-3-4-5-6-3-4-5-618.朝阳区2022～2022学年九年级第一学期期末统一考试数学试卷参考答案及评分标准一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）题号答案二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）9.310.611.412.78，2nn（每空2分）三、解答题（共13个小题，共72分）13.（本小题满分5分）21D2B3C4A5A6D7A8C232解：原式3，3分221.5分214.（本小题满分5分）解：作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，∵∠A＝30°，∴∠ACD＝90°－∠A＝60°，CD30°2C1AC2，2ADBADACcoA23.3分在Rt△CDB中，∵∠DCB＝∠ACB－∠ACD＝45°，∴BDCD2，CD22.4分in45∴ABADBD223.5分BC15.（本小题满分5分）（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD.∴△EAF∽△EBC，△EAF∽△CDF.2分∴△EBC∽△CDF.3分（2）解：∵△EAF∽△EBC，∴EAAF1AF，即.解得AF2.5分EBBC13816.（本小题满分4分）（1）（5，6）；2分（2）4m.4分17.（本小题满分5分）解：（1）由题意，有a1,b4,c5.∴此二次函数的解析式为y某24某5.2分（2）y(某2)29，顶点坐标为（2，－9），B（5，0）.5分18.（本小题满分5分）解：设发放宣传材料份数的周平均增长率为某，由题意，有300(1某)2363.3分解得某10.1，某22.1.4分∵某2.1<0，不符合题意，舍去，∴某0.110%.5分答：这两次发放材料数的平均增长率为10%.19.（本小题满分5分）（1）abc0,解得c5,9a3bc8.12.2分13C（2）解：如图，连接BC.∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴由（1）知AC＝13，AE12，coA在Rt△ACB中，coA∴AB12.13AOEBAC，ABD169.4分1225∴BEABAE.5分1220.（本小题满分5分）解：∵30°，60°，∴∠ECF＝＝30°.∴CFEF10.在Rt△CFG中，CGCFco53.3分∴CDCGGD531.610.3.5分答：这座教学楼的高度约为10.3米.21.（本小题满分5分）解：（1）由题意，有m11，解得m＝1.2分2（2）如图1；3分图1图2（3）如图2，某≤－2或某≥1.5分22.（本小题满分6分）解：（1）由题意，有y1002(某60)，即y2某220；2分（2）由题意，有w(某50)(2某220)，即w2某320某11000；4分（3）∵抛物线w2某320某11000的开口向下，在对称轴某80的左侧，w随22ABP某的增大而增大.由题意可知60某70，5分∴当某70时，w最大为1600.6分因此，当每个书包的销售价为70元时，该超市可以获得每周销售的最大利润1600元.23.（本小题满分6分）（1）证明：如图，连接OD，∵OD＝OB，∴∠1＝∠2.∵CA＝CD，∴∠ADC＝∠A.在△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠1＝90°.∴∠ADC＋∠2＝90°.∴∠CDO＝90°.∵OD为半圆O的半径，∴CD为半圆O的切线.2分3AFD21CEOB（2）解：如图，连接DE.∵BE为半圆O的直径，∴∠EDB＝90°.∴∠1＋∠3＝90°.∴∠ADC ＝∠3.∴tan3∴EBBD2.∴ED35.EDBD2DE215.4分（3）解：作CF⊥AD于点F，∴AF＝DF.设DF某，∵tanADC2，∴CF＝2某.∵∠1＋∠FCB＝90°，∴FCBADC.∴tanFCB2.∴FB＝4某.∴BD＝3某＝65.解得某25.∴AD＝2DF＝2某＝45.6分24.（本小题满分8分）解：（1）△ADE∽△BAE，△ADE∽△CDA，△BAE∽△CDA；（写出任意两对即可）（2）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝22，由（1）知△BAE∽△CDA，∴BABE2m4.∴.∴m（2n22）.4分CDCAn2n（3）由（2）只BE·CD＝4，∴BE＝CD＝2.∴BD＝BC－CD＝222.∴DE＝BE－BD＝422.5分（4）如图，依题意，可以将△AEC绕点A顺时针旋转90°至△AFB的位置，则FB＝CE，AF＝AE，∠1＝∠2，∴∠FBD＝90°.∴DFBDFBBDCE.6分∵∠3＋∠1＝∠3＋∠2＝45°，∴∠FAD＝∠DAE.又∵AD＝AD，AF＝AE，∴△AFD≌△AED.22222222AF4132BDEC∴DE＝DF.7分∴DEBDCE.8分25.（本小题满分8分）解：（1）根据题意，得C（0,6）.在Rt△AOC中，tanACO1，OC＝6，6∴OA＝1.∴A（－1,0）.1分（2）∵OB1OC，∴OB＝3.∴B（3,0）.2ab60,由题意，得解得9a3b60.a2,b4.∴y2某24某6.∴D（1,8）.2分可求得直线CD的解析式为y2某6.∴E（－3,0）.3分（3）假设存在以点A、C、F、E为顶点的平行四边形，则F1（2,6），F2（－2,6），F3（－4,－6）.经验证，只有点（2,6）在抛物线y2某24某6上，∴F（2,6）.4分（4）如图，作NQ∥y轴交AM于点Q，设N（m,2m4m6）.当某＝2时，y＝6，∴M（2,6）.可求得直线AM的解析式为y2某2.∴Q（m，2m＋2）.∴NQ＝2m24m6(2m2)2m22m4.∵SSABMSAMN，其中SABM∴当SAMN最大时，S值最大.∵SAMNSANQSMNQ214612，213(2m22m4),23m23m6,1273(m)2.24127∴当m时，SAMN的最大值为.24∴S的最大值为当m∴N（75.6分41152时，2m4m6.22115，）.7分22（5）P1（1，51），P2（1，51）.8分说明：写成P1（1，44），P2（1，）不扣分.5151。

2020-2021学年辽宁省朝阳市朝阳县九年级(上)期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年辽宁省朝阳市朝阳县九年级第一学期期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．在下列汽车标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A．2x2﹣x﹣y2＝0B．x（x﹣2）＝0C．ax2+bx+c＝0D．x﹣＝83．方程x2﹣8x+2＝0，经过配方后，结果正确的是（）A．（x+4）2＝8B．（x+4）2＝21C．（x﹣4）2＝14D．（x﹣4）2＝5 4．某小组有若干人，新年大家互相发一条微信祝福，已知全组共发微信72条，则这个小组的人数为（）A．7人B．8人C．9人D．10人5．下列事件是随机事件的是（）A．菱形的对角线互相垂直B．投一枚正方体骰子，朝上一面点数小于7C．在只装了红球的不透明袋子里，摸出白球D．射击运动员射击一次，命中靶心6．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，＝，OD∥AC，下列结论错误的是（）A．∠C＝∠D B．∠BOD＝∠COD C．∠BAD＝∠CAD D．∠BOD＝∠BAC 7．如图，△ABC绕点A按逆时针方向转动一个角度后成为△A′B′C′，在下列等式中：①BC＝B′C′；②∠BAB′＝∠CAC′；（3）∠ABC＝∠A′B′C′；④．其中正确的个数是（）A．3个B．2个C．1个D．0个8．如图，由六段相等的圆弧组成的三叶花，每段圆弧都是四分之一圆周，OA＝OB＝OC＝2，则这朵三叶花的面积为（）A．3π﹣3B．3π﹣6C．6π﹣3D．6π﹣69．如图，在平面直角坐标系中，过点A且与x轴平行的直线交抛物线y＝（x+1）2于B，C两点，若线段BC的长为6，则点A的坐标为（）A．（0，1）B．（0，4.5）C．（0，3）D．（0，6）10．直线y＝bx+c与抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）在同一坐标系中大致图象可能是（）A．B．C．D．二、填空题：（每小题3分，共30分）11．已知关于x的一元二次方程mx2+x+1＝0有实数根，则m的取值范围是．12．关于x的方程x2+nx﹣6＝0有一个根为2，则方程的另一个根为．13．如图，已知l1∥l2，把一块含30°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，边BC在直线l2上，将△ABC绕点C顺时针旋转50°，则∠1的度数为．14．如图，⊙O的直径CD＝10，弦AB＝8，AB⊥CD，垂足为M，则CM的长为．15．如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900m（篱笆的厚度忽略不计），当AB＝m时，矩形土地ABCD 的面积最大．16．已知A（0，y1），B（1，y2），C（4，y3）是抛物线y＝x2﹣3x上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为．（用“＜”符号连接）17．如图，小明从纸上剪下一个圆形和一个扇形纸片，用它们恰好能围成一个圆锥模型．若圆的半径为1，扇形的圆心角为120°，则此扇形的半径为．18．如图，点O为正方形的中心，点E、F分别在正方形的边上，且∠EOF＝90°，随机地往图中投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率是．19．如图，长方形ABCD的两边BC，CD分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点A（﹣1，2），将长方形ABCD沿x轴无滑动向右翻滚，经过一次翻滚，点A对应点记为A1；经过第二次翻滚，点A对应点记为A2；…；依此类推，经过第2020次翻滚，点A对应点A2020坐标为．20．如图抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②a﹣b+c＜0；③b+2a＝0；④当y＜0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大；⑥方程ax2+bx+c ＝2有两个不等的实数根，其中结论正确的结论的序号是．三、解答题（60分）21．（10分）△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示，点A（﹣2，3），点B（﹣4，0），点C（﹣1，1）为△ABC的顶点．（1）作△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1．（2）将△A1B1C1向上平移5个单位，作出平移后的A2B2C2．（3）在x轴上求作一点P，使PA+PA2的值最小，并求出点P的坐标．22．（12分）如图，AB为⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，P是⊙O外一点，AC⊥PD 于点E，AD平分∠BAC．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若DE＝2，∠BAC＝60°，求⊙O的半径．23．（12分）2020年疫情期间，某校为学生提供四种在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答疑、在线讨论，为了解学生的需求，对学生进行了“你最喜欢哪种在线学习方式的调查，调查结果制成两幅不完整统计图如图，根据图中信息回答问题：（1）本次调查人数有人，在线答疑所在扇形的圆心角度数是；（2）补全条形统计图；（3）甲、乙两位同学都参加了在线学习，请用画树状图或列表的方法求出两名同学喜欢同一种在线学习方式的概率．24．（12分）某工厂生产一批小家电，2018年的出厂价是144元，2019年，2020年连续两年改进技术，降低成本，2020年出厂价调整为100元．（1）这两年出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．（2）某商场今年销售这批小家电的售价为140元时，平均每天可销售20台，为了减少库存，商场决定降价销售，经调查发现小家电单价每降低5元，每天可多售出10台，如果每天盈利1250元，单价应降低多少元？25．（14分）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴的两个交点为A（4，0）与点C，与y轴交于点B．（1）求此二次函数关系式和点C的坐标；（2）请你直接写出△ABC的面积；（3）在x轴上是否存在点P，使得△PAB是等腰三角形？若存在，请你直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（共10小题）.1．在下列汽车标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：A．2．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A．2x2﹣x﹣y2＝0B．x（x﹣2）＝0C．ax2+bx+c＝0D．x﹣＝8解：A、方程2x2﹣x﹣y2＝0含有2个未知数，所以A选项不符合题意；B、方程整理为x2﹣2x＝0，它为一元二次方程，所以B选项符合题意；C、当a＝0时，方程ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，所以C选项不符合题意；D、方程x﹣＝8含有分式，它不是一元二次方程，所以D选项不符合题意．故选：B．3．方程x2﹣8x+2＝0，经过配方后，结果正确的是（）A．（x+4）2＝8B．（x+4）2＝21C．（x﹣4）2＝14D．（x﹣4）2＝5解：x2﹣8x+2＝0，x2﹣8x＝﹣2，x2﹣8x+16＝﹣2+16，（x﹣4）2＝14，故选：C．4．某小组有若干人，新年大家互相发一条微信祝福，已知全组共发微信72条，则这个小组的人数为（）A．7人B．8人C．9人D．10人解：设这个小组的人数为x人，则每人需发送（x﹣1）条微信，依题意得：x（x﹣1）＝72，整理得：x2﹣x﹣72＝0，解得：x1＝﹣8（不合题意，舍去），x2＝9．故选：C．5．下列事件是随机事件的是（）A．菱形的对角线互相垂直B．投一枚正方体骰子，朝上一面点数小于7C．在只装了红球的不透明袋子里，摸出白球D．射击运动员射击一次，命中靶心解：A、菱形的对角线互相垂直，是必然事件，故此选项不合题意；B、投一枚正方体骰子，朝上一面点数小于7，是必然事件，故此选项不合题意；C、在只装了红球的不透明袋子里，摸出白球，是不可能事件，故此选项不合题意；D、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，符合题意．故选：D．6．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，＝，OD∥AC，下列结论错误的是（）A．∠C＝∠D B．∠BOD＝∠COD C．∠BAD＝∠CAD D．∠BOD＝∠BAC 解：∵AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，OD∥AC，＝，∴∠BOD＝∠COD，∠BAD＝∠CAD，故B、C正确；∵∠BAC＝∠BOC，∠BOD＝∠COD，∴∠BOD＝∠BAC，故D正确．故选：A．7．如图，△ABC绕点A按逆时针方向转动一个角度后成为△A′B′C′，在下列等式中：①BC＝B′C′；②∠BAB′＝∠CAC′；（3）∠ABC＝∠A′B′C′；④．其中正确的个数是（）A．3个B．2个C．1个D．0个解：∵△ABC绕点A按逆时针方向转动一个角度后成为△A′B′C′，∴BC＝B′C′；∠BAC＝∠B′AC′，∠ABC＝∠A′B′C′，∴∠BAB′＝∠CAC′；∵弧BB′与弧CC′所对的圆心角相等，而所在圆的半径不相等，∴弧BB′与弧CC′不相等．∴正确的有①②③．故选：A．8．如图，由六段相等的圆弧组成的三叶花，每段圆弧都是四分之一圆周，OA＝OB＝OC＝2，则这朵三叶花的面积为（）A．3π﹣3B．3π﹣6C．6π﹣3D．6π﹣6解：如图所示：弧OA是⊙M上满足条件的一段弧，连接AM、MO，由题意知：∠AMO＝90°，AM＝OM∵AO＝2，∴AM＝．∵S扇形AMO＝×π×MA2＝．S△AMO＝AM•MO＝1，∴S弓形AO＝﹣1，∴S三叶花＝6×（﹣1）＝3π﹣6．故选：B．9．如图，在平面直角坐标系中，过点A且与x轴平行的直线交抛物线y＝（x+1）2于B，C两点，若线段BC的长为6，则点A的坐标为（）A．（0，1）B．（0，4.5）C．（0，3）D．（0，6）解：由抛物线y＝（x+1）2可知抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，设A（0，b），∵BC＝6，∴B（﹣4，b），把B（﹣4，b）代入y＝（x+1）2得，b＝（﹣4+1）2，解得b＝3，∴A（0，3）故选：C．10．直线y＝bx+c与抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）在同一坐标系中大致图象可能是（）A．B．C．D．解：选项A中，由一次函数的图象可知b＜0，c＞0，由二次函数的图象可知a＜0，b＞0，c＞0，故选项A不符合题意；选项B中，由一次函数的图象可知b＜0，c＞0，由二次函数的图象可知a＞0，b＜0，c ＞0，故选项B符合题意；选项C中，由一次函数的图象可知b＜0，c＞0，由二次函数的图象可知a＞0，b＜0，c ＜0，故选项D不符合题意；选项D中，由一次函数的图象可知b＞0，c＞0，由二次函数的图象可知a＞0，b＜0，c ＞0，故选项C不符合题意；故选：B．二、填空题：（每小题3分，共30分）11．已知关于x的一元二次方程mx2+x+1＝0有实数根，则m的取值范围是m≤且m≠0．解：∵关于x的一元二次方程mx2+x+1＝0有实数根，则△＝1﹣4m≥0，且m≠0．解得m≤且m≠0．故答案为：m≤且m≠0．12．关于x的方程x2+nx﹣6＝0有一个根为2，则方程的另一个根为x＝﹣3．解：设方程的另一个根为m，则2m＝﹣6，解得m＝﹣3，所以方程的另一根为x＝﹣3，故答案为：x＝﹣3．13．如图，已知l1∥l2，把一块含30°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，边BC在直线l2上，将△ABC绕点C顺时针旋转50°，则∠1的度数为80°．解：∵△ABC绕点C顺时针旋转50°，∴∠ACA′＝50°，∴∠A′CB＝80°，∵l1∥l2，∴∠1＝∠A′CB＝80°．故答案为：80°．14．如图，⊙O的直径CD＝10，弦AB＝8，AB⊥CD，垂足为M，则CM的长为2．解：连接OA，∵直径CD⊥AB，AB＝8，∴AM＝BM＝AB＝4，在Rt△AOM中，OA＝5，AM＝4，根据勾股定理得：OM＝＝3，则CM＝OC﹣OM＝5﹣3＝2，故答案为：215．如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900m（篱笆的厚度忽略不计），当AB＝150m时，矩形土地ABCD 的面积最大．解：设AB＝xm，则BC＝（900﹣3x），由题意可得，S＝AB×BC＝x×（900﹣3x）＝﹣（x2﹣300x）＝﹣（x﹣150）2+33750∴当x＝150时，S取得最大值，此时，S＝33750，∴AB＝150m，故答案为：150．16．已知A（0，y1），B（1，y2），C（4，y3）是抛物线y＝x2﹣3x上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为y2＜y1＜y3．（用“＜”符号连接）解：∵y＝x2﹣3x，∴图象的开口向上，对称轴是直线x＝，∵A（0，y1），B（1，y2），C（4，y3）是抛物线y＝x2﹣3x上的三点，且0＜1＜＜4，∴y2＜y1＜y3，故答案为y2＜y1＜y3．17．如图，小明从纸上剪下一个圆形和一个扇形纸片，用它们恰好能围成一个圆锥模型．若圆的半径为1，扇形的圆心角为120°，则此扇形的半径为3．解：扇形的弧长等于底面圆的周长得出2π．设圆的半径是r，则＝2π，解得：r＝3．故答案为：3．18．如图，点O为正方形的中心，点E、F分别在正方形的边上，且∠EOF＝90°，随机地往图中投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率是．解：设正方形为ABCD，故点O作OH⊥BC于点H，作OG⊥AB于点G，∵∠EOG+∠GOF＝90°，∠GOF+∠FOH＝90°，∴∠EOG＝∠HOF，∵∠OGE＝∠OHF＝90°，OH＝OG，∴△OGE≌△OHF（AAS），∴S△OGE＝S△OHF，∴S阴影＝S正方形OGBH＝S正方形ABCD，在正方形中，满足点E、F分别在正方形的边上（此处采用极限思想），且∠EOF＝90°的图形如图所示：因此EOF的面积是正方形总面积的，因此米粒落在图中阴影部分的概率是．19．如图，长方形ABCD的两边BC，CD分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点A（﹣1，2），将长方形ABCD沿x轴无滑动向右翻滚，经过一次翻滚，点A对应点记为A1；经过第二次翻滚，点A对应点记为A2；…；依此类推，经过第2020次翻滚，点A对应点A2020坐标为（3029，2）．解：如图所示：观察图形可得经过4次翻滚后点A对应点一循环，2020÷4＝505，∵点A（﹣1，2），长方形的周长为：2（1+2）＝6，∴经过505次翻滚后点A对应点A2020的坐标为（6×505﹣1，2），即（3029，2）．故答案为：（3029，2）．20．如图抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②a﹣b+c＜0；③b+2a＝0；④当y＜0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大；⑥方程ax2+bx+c ＝2有两个不等的实数根，其中结论正确的结论的序号是①③⑤⑥．解：抛物线与x轴有两个不同的交点，因此b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，因此①符合题意；抛物线过（﹣1，0），当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，因此②不符合题意；对称轴为x＝1＝﹣，即2a+b＝0，因此③符合题意；由于对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为（﹣1，0），因此与x轴的另一个交点为（3，0），由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是x＜﹣1或x＞3，所以④不符合题意；由于对称轴为x＝1，开口向下，因此当x＜1时，y随x的增大而增大，故⑤符合题意；由图象可知，直线y＝2与抛物线有两个不同交点，所以方程ax2+bx+c＝2有两个不等的实数根，因此⑥符合题意；综上所述，正确的结论有：①③⑤⑥，故答案为：①③⑤⑥．三、解答题（60分）21．（10分）△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示，点A（﹣2，3），点B（﹣4，0），点C（﹣1，1）为△ABC的顶点．（1）作△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1．（2）将△A1B1C1向上平移5个单位，作出平移后的A2B2C2．（3）在x轴上求作一点P，使PA+PA2的值最小，并求出点P的坐标．解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）如图，△A2B2C2为所作；（3）如图，作A点关于x轴的对称点A′，连接A′A2交x轴于点P，则P点为所作；设直线A′A2的解析式为y＝kx+b，把A′（﹣2，﹣3），A2（2，2）代入得，解得，∴直线A′A2的解析式为y＝x﹣，当y＝0时，x﹣＝0，解得x＝，∴P点坐标为（，0）．22．（12分）如图，AB为⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，P是⊙O外一点，AC⊥PD 于点E，AD平分∠BAC．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若DE＝2，∠BAC＝60°，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAE，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠ODA＝∠DAE，∴OD∥AE，∵AC⊥PD，∴OD⊥PE，∵OD是⊙O的半径，∴PD是⊙O的切线；（2）解：连接BD，∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60，∴∠BAD＝∠DAE＝30°，∵AC⊥PE，DE＝2，∴AD＝2DE＝4，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AB＝2BD，设BD＝x，则AB＝2x，∵BD2+AD2＝AB2，∴x2+42＝（2x）2，∴，∴BD＝，AB＝，∴AO＝，即⊙O的半径为．23．（12分）2020年疫情期间，某校为学生提供四种在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答疑、在线讨论，为了解学生的需求，对学生进行了“你最喜欢哪种在线学习方式的调查，调查结果制成两幅不完整统计图如图，根据图中信息回答问题：（1）本次调查人数有100人，在线答疑所在扇形的圆心角度数是72°；（2）补全条形统计图；（3）甲、乙两位同学都参加了在线学习，请用画树状图或列表的方法求出两名同学喜欢同一种在线学习方式的概率．解：（1）25÷25%＝100（人），即本次调查人数有100人，“在线答疑”的人数为100﹣40﹣25﹣15＝20（人），在扇形图中的圆心角度数为360°×＝72°；故答案为：100，72°；（2）补全条形统计图如图所示：（3）四类在线学习方式在线阅读、在线听课、在线答疑、在线讨论分别用A、B、C、D 表示，画树状图如图：共有16个等可能的结果，其中甲、乙两名同学喜欢同一种在线学习方式的结果有4个，∴甲、乙两名同学喜欢同一种在线学习方式的概率为＝．24．（12分）某工厂生产一批小家电，2018年的出厂价是144元，2019年，2020年连续两年改进技术，降低成本，2020年出厂价调整为100元．（1）这两年出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．（2）某商场今年销售这批小家电的售价为140元时，平均每天可销售20台，为了减少库存，商场决定降价销售，经调查发现小家电单价每降低5元，每天可多售出10台，如果每天盈利1250元，单价应降低多少元？解：（1）设这两年平均下降率为x，根据题意得：144（1﹣x）2＝100，等号两边同除以144得：（1﹣x）2＝两边开方得：1﹣x＝±＝±，所以x1＝＞1（不合题意，舍去），x2＝≈16.67%．答：这两年平均下降率约为16.67%；（2）设单价降价y元，则每天的销售量是（20+2y）台，根据题意得：（140﹣100﹣y）（20+×10）＝1250，整理得：y2﹣30y+225＝0，解得：y1＝y2＝15．答：单价应降15元．25．（14分）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴的两个交点为A（4，0）与点C，与y轴交于点B．（1）求此二次函数关系式和点C的坐标；（2）请你直接写出△ABC的面积；（3）在x轴上是否存在点P，使得△PAB是等腰三角形？若存在，请你直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣16+4b+3，解得b＝，故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+3，令x＝0，则y＝3，故点B的坐标为（0，3）；令y＝﹣x2+x+3＝0，解得x＝4或﹣，故点C的坐标为（﹣，0）；（2）连接AB，则△ABC的面积＝×AC•OB＝×（4+）×3＝；（3）设点P的坐标为（x，0），由题意得：AB2＝42+32＝25，AP2＝（x﹣4）2，BP2＝x2+9，当AB＝AP时，则25＝（x﹣4）2，解得x＝9或﹣1，当AB＝BP时，同理可得x＝4（舍去）或﹣4，当AP＝BP时，同理可得x＝，故点P的坐标为（9，0）或（﹣1，0）或（﹣4，0）或（，0）．。

2022-2023学年北京朝阳区初三第一学期数学期末试卷及答案

2022-2023学年北京朝阳区初三第一学期数学期末试卷及答案一、选择题（共16分，每题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸中，为中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据在平面内，把一个图形绕着某点旋转180度，如果旋转后得到的图形能够与原图形重合，那么这个图形就叫中心对称图形，据此即可解答．【详解】A．不是中心对称图形，故不符合题意；B．不是中心对称图形，故不符合题意；C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；D．不是中心对称图形，故不符合题意，故选：C．【点睛】本题考查中心对称图形的识别，解题的关键是熟练掌握中心对称图形的概念．2. 下列事件中，为必然事件的是（）A. 任意画一个三角形，其内角和是180°B. 明天会下雪C. 郑一枚骰子，向上一面的点数是7D. 足球运动员射门一次，未射进【答案】A【解析】【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念对各个选项进行判断即可【详解】解：A、任意画一个三角形，其内角和是180°是必然事件，故选项符合题意；B、明天会下雪是随机事件，故选项不符合题意；C、郑一枚骰子，向上一面的点数是7是不可能事件，故选项不符合题意；D、足球运动员射门一次，未射进是随机事件，故选项不符合题意．故选：A．【点睛】此题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，解题关键是熟记其有关概念．3. 二次函数的顶点坐标为（）()212y x =-+A. B. C. D. ()1,2-()1,2-()1,2()1,2--【答案】C【解析】【分析】根据二次函数顶点式的图像与性质，直接写出二次函数的顶点坐标()212y x =-+为，即可得到答案．()1,2【详解】解：二次函数为顶点式， ()212y x =-+二次函数的顶点坐标为， ∴()212y x =-+()1,2故选：C ．【点睛】本题考查二次函数顶点式的图像与性质，熟记二次函数顶点式得到顶点坐标的方法是解决问题的关键．4. 若关于x 的方程有两个相等的实数根，则c 的值是（）260x x c ++=A. 36B. C. 9 D.36-9-【答案】C【解析】【分析】根据判别式的意义得到，然后解关于c 的一次方程即可．2640c ∆=-=【详解】解：∵方程有两个相等的实数根260x x c ++=∴26410c ∆=-⨯⨯=解得9c =故选：C ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的跟与20(0)ax bx c a ++=≠24b ac ∆=-的关系，关键是分清楚以下三种情况：当时，方程有两个不相等的实数根；当0∆>Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．Δ0<5. 如图，在中，弦，相交于点P ，，，则O AB CD 40CAB ∠=︒30ABD ∠=︒APD ∠的度数为（）A.B. C. D.30︒35︒40︒70︒【答案】D【解析】【分析】由圆周角定理可得，，然后由三角形外角的性30C ABD ∠=∠=︒40CAB ∠=︒质，求得的度数．APD ∠【详解】解：∵，，30C ABD ∠=∠=︒40CAB ∠=︒∴；70APD CAB C ∠=∠+∠=︒故选：D ．【点睛】此题考查了圆周角定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．6. 不透明袋子中装有无差别的两个小球，分别写有“问天”和“梦天”．随机取出一个小球后，放回并摇匀，再随机取出一个小球，则两次都取到写有“问天”的小球的概率为（） A. B. C. D. 34121314【答案】D【解析】【分析】画树状图，共有4种等可能的结果，两次都取到写有“问天”的小球的结果有1种，再由概率公式求解即可．【详解】解：设“问天”为1，“梦天”为2，画树状图如图：共有4种等可能的结果，两次都取到写有“问天”的小球的结果有1种，∴两次都取到写有“问天”的小球的概率为， 14故选：D ．【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．7. 如图，正方形的边长为4，分别以为圆心，2为半径作圆，则图中ABCD A B C D ，，，阴影部分的面积为（）A.B. C. D.164π-162π-4π2π【答案】A【解析】【分析】根据题意可知阴影部分的面积为正方形的面积减去四个四分之一圆的面积求解即可．【详解】解：∵正方形的边长为4，ABCD ∴正方形的面积为16，ABCD 又四个四分之一圆的面积等于一个半径为2的圆的面积为，4π∴阴影部分的面积．164π-故选：A ．【点睛】此题主要考查了圆的面积，正方形面积，解题关键是准确识图，构造等面积转化．8. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，xOy ()23y m x k =-+x (),0a (),0b 其中．将此抛物线向上平移，与轴交于，两点，其中，下面结论a b <x (),0c (),0d c d <正确的是（）A. 当时，，0m >a b c d +=+b a d c ->-B. 当时，，0m >a b c d +>+b a d c -=-C. 当时，，0m <a b c d +=+b a d c ->-D. 当时，，0m <a b c d +>+b a d c -<-【答案】A【解析】【分析】由二次函数的图象和性质，对分情况讨论，根据向上平移后对称轴不变，平移m 后的交点变化，进行判断即可【详解】解：当时，抛物线开口向上，如图所示，0m >对称轴为，平移后的抛物线对称轴，3x =3x =∴，6a b +=6c d +=∴，a b c d +=+∵，，a b <c d <∴，，0a c -<0b d ->∴b d ac ->-∴b a dc ->-故A 正确，B 错误，当时，抛物线开口向下，如图所示，0m <对称轴为，平移后的抛物线对称轴，3x =3x =∴，6a b +=6c d +=∴，a b c d +=+∵，，c a <bd <∴，0a c ->0b d -<∴，a cb d ->-∴，即，d c b a ->-b a d c -<-故C 、D 错误，综上，故选：A ．【点睛】此题主要考查了二次函数的图象及性质，解题关键是利用二次函数的对称性．二、填空题（共16分，每题2分）9. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______．()5,1【答案】()5,1--【解析】【分析】根据平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，然后直x y （，）x y --（，）接作答即可．【详解】解：根据中心对称的性质，可知：点关于原点O 中心对称的点的坐标为． ()5,1()5,1--故答案为：．()5,1--【点睛】本题考查关于原点对称的点坐标的关系，是需要熟记的基本问题，记忆方法可以结合平面直角坐标系的图形．10. 方程的根是______．240x -=【答案】，12x =-22x =【解析】【分析】根据直接开平方法求解即可．【详解】解：，240x -=，24x =∴，2x =±即，．12x =-22x =【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握用直接开平方法解一元二次方程是解题的关键．11. 写出一个与抛物线开口方向相同的抛物线的表达式：______．2321y x x =-+【答案】（答案不唯一）23y x =【解析】【分析】根据二次函数性质可得抛物线的开口方向是由二次项系数符号确定的，故只要二次项系数即可．0a >【详解】解：∵抛物线开口方向向上，2321y x x =-+∴与抛物线开口方向相同的抛物线只要二次项系数，2321y x x =-+0a >∴与抛物线开口方向相同的抛物线为：，不唯一．2321y x x =-+23y x =故答案为：（答案不唯一）．23y x =【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，解题关键是熟记二次函数的性质．12. 如图，矩形绿地的长和宽分别为和．若将该绿地的长、宽各增加，扩充30m 20m m x 后的绿地的面积为，则y 与x 之间的函数关系是______．（填“正比例函数关系”、“一2m y 次函数关系”或“二次函数关系”）【答案】二次函数关系【解析】【分析】根据矩形面积公式求出y 与x 之间的函数关系式即可得到答案．【详解】解：由题意得， ()()2302050600y x x x x =++=++∴y 与x 之间的函数关系是二次函数关系，故答案为；二次函数关系．【点睛】本题主要考查了列函数关系式和二次函数的定义，正确列出y 与x 之间的函数关系式是解题的关键．13. 如图，，是的两条切线，切点分别为连接，，若PA PB O 圆A B ，，OA AB ，则______°．35OAB ∠=︒ABP ∠=【答案】55【解析】【分析】根据切线的性质得到，，根据为等腰三角形，即OA PA ⊥OB PB ⊥AOB ，进而可得．35OAB OBA ∠=∠=︒903555ABP OBP OBA ∠=∠-∠=︒-︒=︒【详解】解：∵，是的两条切线，切点分别为PA PB O A B ，，∴，，即，OA PA ⊥OB PB ⊥90OAP OBP ∠=∠=︒∵为等腰三角形，AOB ∴，35OAB OBA ∠=∠=︒∴．903555ABP OBP OBA ∠=∠-∠=︒-︒=︒故答案为：55．【点睛】此题主要考查了切线的性质，等腰三角形性质，解题关键是掌握切线的性质．14. 如图是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成12个相同的小扇形．若把某些小扇形涂上红色，使转动的转盘停止时，指针指向红色的概率是，则涂上红色的小扇形有13______个．【答案】4【解析】【分析】由于转盘被分成12个大小相同的扇形，结合指针指向红色的概率为，让总份数13乘以相应概率即为红色区域的份数．【详解】解：要使转盘停止转动时，指针落在红色区域的概率为， 13只需使红色区域占总面积的即可，而已知整个圆面被分成12等份， 13故只需使红色占到等份． 11243⨯=故涂上红色的小扇形有4个，故答案为：4．【点睛】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．15. 某农科所在相同条件下做某种作物种子发芽率的试验，结果如下：种子个数100 200 300 400 500 800 1100 1400 1700 2000 发芽种子个数94 187 282 337 436 718 994 1254 1531 1797 发芽种子频率 0.940 0.935 0.940 0.843 0.872 0.898 0.904 0.896 0.901 0.899 根据试验数据，估计该种作物种子能发芽的有______．1000kg kg 【答案】900【解析】【分析】大量重复试验下种子能发芽的频率可以估计种子能发芽的概率，据此求解．【详解】解：观察表格发现随着实验次数的增多频率逐渐稳定在0.9附近，故种子能发芽的概率估计值为0.9．∴估计该种作物种子能发芽的有，1000kg ()10000.9=900kg ⨯故答案为：900(答案不唯一)．【点睛】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中某个事件发生的频率能估计概率．16. 某跨学科综合实践小组准备购买一些盒子存放实验材料．现有A ，B ，C 三种型号的盒子，盒子容量和单价如下表所示：盒子型号 A B C盒子容量/升 2 3 4盒子单价/元 5 6 9其中A 型号盒子做促销活动：购买三个及三个以上可一次性返现金4元，现有28升材料需要存放且每个盒子要装满材料．（1）若购买A ，B ，C 三种型号的盒子的个数分别为2，3，4，则购买费用为______元；（2）若一次性购买所需盒子且使购买费用不超过58元，则购买A ，B ，C 三种型号的盒子的个数分别为______．（写出一种即可）【答案】 ①. 64 ②. 答案不唯一，如3，6，1 【解析】【分析】（1）根据题意列整式，代入数据即可求解；（2）先假设购买A 型号的盒子3个，花费15元，能存放6升材料，设购买B ，C 两种型号的盒子的个数为，，购买B ，C 两种型号的盒子的费用为，根据题意可得：x 2234x -y ，求得x 得取值范围，分情况讨论找出符合条件的数值即可求1.7549.547y x =-+≤解．【详解】（1）购买费用为：（元），25364910183664⨯+⨯+⨯=++=故答案为：64；（2）∵购买三个及三个以上A 型号盒子可一次性返现金4元，假设购买A 型号的盒子3个，花费15元，能存放6升材料，实际花费为11元，设购买B ，C 两种型号的盒子的个数为，，购买B ，C 两种型号的盒子的费用为x 2234x -，根据题意可得：y 223694x y x -=+⨯整理得：1.7549.5y x =-+又，1.7549.547y x =-+≤解得：， 107x ≥∵和需要同时满足正整数， x 2234x -∴当，时，购买B ，C 两种型号的盒子的费用，2x =22344x -=26494847y =⨯+⨯=≥不符合题意，当，时，购买B ，C 两种型号的盒子的费用，符6x =22314x -=66194547y =⨯+⨯=≤合题意，∴购买A ，B ，C 三种型号的盒子的个数分别为3，6，1（答案不唯一）．【点睛】本题考查一次函数的应用—方案选择问题、一元一次不等式，解题的关键是正确解读题意，找出符合条件的取值范围，注意盒子的个数需要是正整数．三、解答题（共68分，第17－22题，每题5分，第23－26题，每题6分，第27－28题，每题7分）．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 解方程：.2430x x ++=【答案】，11x =-23x =-【解析】【分析】直接因式分解即可求解．【详解】 2430x x ++=(3)(1)0x x ++=，．11x =-23x =-【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握方程解法是解题关键．18. 已知二次函数几组x 与y 的对应值如下表： x … 3- 2- 1- 13 4 ... y (12)5 0 4-0 5 …（1）求此二次函数的表达式；（2）直接写出当x 取何值时，．0y ≤【答案】（1） ()214y x =--（2）13x -≤≤【解析】【分析】（1）根据表格数据特点可得出，二次函数图像经过点和点，顶点为()10-，()30，，设该二次函数的表达式为，将代入即可； ()1,4-()214y a x =--()30，（2）根据抛物线开口向上，经过点和点，根据二次函数的性质解答即可． ()10-，()30，【小问1详解】解：根据表格，二次函数图像经过点和点 ()10-，()30，对称轴为， ∴1312x -+==即顶点为，()1,4-设该二次函数的表达式为，()214y a x =--把代入，得()3,0044a =-解得：， 1a =二次函数的表达式为．∴()214y x =--【小问2详解】在中，()214y x =--函数图像经过点和点， ()10-，()30，且抛物线开口向上，当时，．∴13x -≤≤0y ≤【点睛】本题考查的是二次函数解析式，抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质，掌握抛物线的对称性、灵活运用数形结合思想是解题的关键．19. 已知是关于x 的方程的一个根，求代数式的1x =2223x ax a ++=()215a a a a -++值．【答案】4【解析】【分析】先将代入方程得到，再由1x =2223x ax a ++=222a a +=，用整体代入法进行计算即可得到答案．()()222152422a a a a a a a a -++=+=+【详解】解： ()215a a a a -++225a a a a =-++．224a a =+∵是关于x 的方程的一个根，1x =2223x ax a ++=∴．2123a a ++=∴．222a a +=∴原式．()2224a a =+=【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是掌握整体代入法进行求解．20. 下面是小立设计的“过圆上一点作这个圆的切线”的尺规作图过程．已知：及圆上一点A ．O 求作：直线，使得为的切线，A 为切点． AB AB O作法：如图，①连接并延长到点C ；OA ②分别以点A ，C 为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点D （点D 在直线上方）； 12AC OA ③以点D 为圆心，长为半径作；DA O ④连接并延长，交于点B ，作直线．CD O AB 直线就是所求作的直线．AB 根据小立设计的尺规作图过程，完成下面的证明．（说明：括号里填推理的依据）证明：连接．AD ∵ ①AD =∴点C 在上，O ∴是的直径．CB O ∴ ② ．（ ③ ）90=︒∴ ④ ．AB ⊥∵是的直径，OA O ∴是的切线．（ ⑤ ）AB O 【答案】① ，② ，③ 直径所对的圆周角是直角，④ ，⑤ 经过半径的外CD CAB ∠OA 端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【解析】【分析】根据画法得，则点C 在上，即是的直径即可得，CD AD =O CB O 90CAB ∠=︒即可得，根据是的直径得是的切线．AB OA ⊥OA O AB O 【详解】解：连接． AD∵，CD AD =∴点C 在上，O ∴是的直径．CB O ∴．（直径所对的圆周角是直角）90CAB ∠=︒∴．AB OA ⊥∵是的直径，OA O ∴是的切线．（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．AB O 【点睛】本题考查了圆的性质，解题的关键是掌握圆周角的推论，切线的判定．21. 如图，在中，，，，将绕点C 逆时针旋Rt ABC △90ACB ∠=︒3AC =4BC =ABC 转得到，使点A 的对应点D 落在边上，点B 的对应点为E ，求线段，的DEC BC BD DE 长．【答案】；1BD =5DE =【解析】【分析】根据旋转的性质可得，继而即可求解．ABC DEC ≅ 【详解】解：由旋转可得，，ABC DEC ≅ ∴，，AB DE =AC DC =∵，3AC =∴，3DC =∵，4BC =∴，1BD =在中，根据勾股定理，得，Rt ABC △5AB ==∴．5DE =【点睛】本题考查旋转的性质和全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握并运用旋转的性质．22. 圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，而且构造简单、施工方便．某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为的圆，如图所示，若水面1m 宽，求水的最大深度． 0.8m AB =【答案】0.8m【解析】【分析】过点作于点，连接，根据垂径定理得到，再在O OC AB ⊥C OA 0.4AC =Rt ACO 中，根据勾股定理可求出，进而即可求解．OC 【详解】解：如图，作于点，连接，OC AB ⊥C OA∵，， 90ACO ∠=︒12AC AB =∵，0.8AB =∴， 0.4AC =在中，根据勾股定理，得，Rt ACO 0.3OC ==∴，0.30.50.8+=∴水的最大深度为0.8m ．【点睛】此题主要考查了垂径定理的应用，以及勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键．23. 已知关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+2m﹣1=0有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若m 为正整数，且该方程的根都是整数，求m 的值．【答案】（1）m ＜；（2）m=2． 52【解析】【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0，列出关于m 的不等式，求出不等式的解集即可得到m 的取值范围；（2）找出m 取值范围中的正整数，然后分别代入原方程，求出方程的根，经检验即可得到满足题意的m 的值．【详解】（1）∵依题意，得△=（-4）2﹣4（2m﹣1）＞0，∴m＜， 52即m 的取值范围是m ＜； 52（2）∵m 为正整数，∴m=1或2，当m=1时，方程为x 2﹣4x+1=0的根不是整数；x 2=当m=2时，方程为x 2﹣4x+3=0的根x 1=1，x 2=3，都是整数，综上所述，m=2．【点睛】本题主要考查了根的判别式，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2﹣4ac 有如下关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．24. 如图，的半径与弦互相垂直，垂足为D ，连接，．O OC AB AC OB（1）求证：；290A B ∠+∠=︒（2）延长交于点，过点作的切线交的延长线于点．若BO O E E O BA F ，，求的度数及的长．AC BE ∥4EF =B ∠AC【答案】（1）见解析（2）；30B ∠=︒AC =【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得出，由，即可得证；2O A ∠=∠90ODB ∠=︒（2）根据平行线的性质得出，根据（1）的结论得出，即可求得CAB B ∠=∠390B =︒∠，根据是的切线，在中，勾股定理求得的长，继而求得30B ∠=︒EF O Rt BEF △BEOC OB ==【小问1详解】证明：∵，OC AB ⊥∴，90ODB ∠=︒∴90O B ∠+∠=︒∵，2O A ∠=∠∴．290A B ∠+∠=︒【小问2详解】解：∵，AC BE ∥∴．CAB B ∠=∠∵，290CAB B ∠+∠=︒∴．390B =︒∠∴．30B ∠=︒∴30CAB ∠=︒∵是的切线，EF O ∴．90FEB ∠=︒∵，4EF =∴8BF =在中，由勾股定理，得． Rt BEF △BE ==∴．OC OB ==∴OD =∴， CD ==∴AC =【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．25. 一位运动员在距篮圈中心（点）水平距离处竖直跳起投篮（为出手点），球运C 5m A 行的路线是抛物线的一部分，当球运行的水平距离为时，达到最高点（点），此时高3m B 度为，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心（点）到地面的距离为，该运动3.85m C 3.05m 员身高，在这次跳投中，球在头顶上方处出手，球出手时，他跳离地面的高1.75m 0.15m 度是多少？【答案】0.15m【解析】【分析】设抛物线的表达式为，根据题意可知图象经过的坐标，由此可得2 3.85y ax =+a 的值，然后将代入抛物线解析式，得，再由即可3x =- 2.05y = 2.05 1.750.150.15--=求解．【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，xOy则，，()0,3.85B ()2,3.05C 设抛物线的表达式为，2 3.85y ax =+∵抛物线经过，()2,3.05C ∴代入得，0.2a =-∴抛物线的表达式为，20.2 3.85y x =-+当时，，3x =- 2.05y =，2.05 1.750.150.15--=∴球出手时，他跳离地面的高度是．0.15m 【点睛】此题主要考查了二次函数的相关知识，利用二次函数解决抛物线形的实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上是解题关键．26. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线上．xOy ()2,m ()4,n ()220y ax x a =->（1）当时，求的值；1a =m n ，（2）点在此抛物线上，若存在，使得，求的取值范围．()0,x t 001x ≤≤m t n <<a 【答案】（1）；0m =8n =（2） 215a <<【解析】【分析】（1）将代入抛物线得到，再将点，代入抛物线即可1a =22y x x =-()2,m ()4,n 求的值；m n ，（2）由，，得，解得，再根据二次函44m a =-168n a =-m n <44168a a -<-13a >数的性质以及对称轴进行分类讨论，即可求出的取值范围．a 【小问1详解】解：当时，函数表达式为，1a =22y x x =-当时，，2x =0m =当时，，4x =8n =∴，；0m =8n =【小问2详解】（2）由，，得44m a =-168n a =-m n <44168a a -<-解得 13a >根据题意，抛物线的对称轴为， 1x a =∵，0a >∴， 103a <<当时， 113a<<当时，；当时，，0x =0y =1x =2y a =-∵，y 随的增大而减小，001x ≤≤x ∴，20a -<∵，m t n <<∴且，440a -<1682a a ->-∴， 215a <<当时，总有，不符合题意， 101a<≤t m n ≤<综上，的取值范围是． a 215a <<【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，解题关键是根据数形结合求解，注意分类讨论．27. 如图，在中，，将边绕点逆时针旋转ABC ()090A αα∠=︒<≤︒BC C ()180α︒-得到线段．CD（1）判断与的数量关系并证明；B ∠ACD ∠（2）将边绕点C 顺时针旋转得到线段，连接与边交于点M （不与点AC αCE DE AC 重合）．A C ，①用等式表示线段，之间的数量关系，并证明；DM EM ②若，，直接写出的长．（用含的式子表示）AB a =AC b =AM a b ，【答案】（1），见解析B ACD ∠=∠（2）①，见解析；② =DM EM 12AM b a =-【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理得出，根据已知得出180B BCA α∠+∠=︒-，等量代换及即可得证；180ACD BCA α∠+∠=︒-（2）①延长至点，使，证明，进而证明CA N CN BA =ABC NCD △≌△，即可得出；CME NMD △≌△=DM EM ②根据得出，根据，得出ABC NCD △≌△AB NC a ==CME NMD △≌△，根据即可求解． 1122CM NM NC a ===12AM AC MC b a =-=-【小问1详解】.B ACD ∠=∠证明：根据题意，.180BCD α∠=︒-∴180ACD BCA α∠+∠=︒-∵A α∠=∴180B BCA α∠+∠=︒-∴.B ACD ∠=∠【小问2详解】①.=DM EM 证明：延长至点，使.CA N CN BA =∵，，CB CD =B ACD ∠=∠∴.ABC NCD △≌△∴，AC ND =N BAC ∠=∠∵， AC CE =∴CE ND =∵，ACE BAC α∠=∠=∴.ACE N ∠=∠∵，CME NMD ∠=∠∴.CME NMD △≌△∴.=DM EM②∵，ABC NCD △≌△∴，AB NC a ==∵，CME NMD △≌△∴ 1122CM NM NC a ===∴ 12AM AC MC b a =-=-∴． 12AM b a =-【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，旋转的性质，掌握以上知识是解题的关键．28. 在平面直角坐标系中，已知点．对于点P 的变换线段给出如下定义：点P xOy (),P x y 关于原点O 的对称点为M ，将点M 向上、向右各平移一个单位长度得到点N ，称线段为MN 点P 的变换线段．已知线段是点P 的变换线段． MN（1）若点，则点M 的坐标为______，点N 的坐标为______；()2,1P （2）若点P 到点的距离为1()2,2①的最大值为______；PM PN -②当点O 到直线的距离最大时，点P 的坐标为______．MN 【答案】（1），()2,1--()1,0-（2）；②或22⎛+-⎝22⎛-+ ⎝【解析】【分析】（1）根据中心对称及点的平移即可得出结果；（2）①根据题意作出相应图象，然后得出当点P ，M ，N 三点共线时，取得最大PM PN -值为，结合平移即可得出结果；MN ②令点，连接，点P 在以点E 为圆心，1为半径的圆上，作直线使得()2,2E OE MN 且直线与圆E 相切，连接，，过点E 作，根据等腰直MN OE ∥MN P C 'PC EB ⊥CP '角三角形的性质结合图形求解即可．【小问1详解】解：∵P 关于原点O 的对称点为M ，，()2,1P ∴点M 的坐标为，()2,1--将点M 向上、向右各平移一个单位长度得到点N ，∴点N 的坐标为，()1,0-故答案为：，；()2,1--()1,0-【小问2详解】①∵点P到点的距离为1，()2,2∴点P 在如图所示的圆上，∵，点P 关于原点O 的对称点为M ，将点M 向上、向右各平移一个单位长度得到点(),P x y N ，∴当点P ，M ，N 三点共线时，取得最大值为，PM PN -MN 由图得：，MN ==②令点，连接，点P 在以点E 为圆心，1为半径的圆上，作直线使得()2,2E OE MN 且直线与圆E 相切，连接，，过点E 作，MN OE ∥MN PC 'PC EB ⊥CP '∴点O 到直线的最大距离即为，MN 1EP '=EP AP ''⊥∴，90CEP '∠=︒∴，P C '=EB =∴ BPCB '==∴；(22P '+同理可得：，(22P -综上可得：点P 的坐标为或．22⎛+- ⎝22⎛-+ ⎝【点睛】题目主要考查中心对称及平移求点的坐标，点到直线的距离，勾股定理解三角形等，理解题意，利用树形结合思想求解是解题关键．。

2022-2023学年北京市朝阳区九年级(上)期末数学试卷-含答案详解

2022-2023学年北京市朝阳区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸中，为中心对称图形的是( )A. B.C. D.2. 下列事件中，为必然事件的是( )A. 任意画一个三角形，其内角和是180°B. 明天会下雪C. 掷一枚骰子，向上一面的点数是7D. 足球运动员射门一次，未射进3. 抛物线y=(x−1)2+2的顶点坐标是( )A. (1,2)B. (1,−2)C. (−1,2)D. (−1,−2)4. 若关于x的方程x2+6x+c=0有两个相等的实数根，则c的值是( )A. 36B. −36C. 9D. −95. 如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠CAB=40°，∠ABD=30°，则∠APD的度数为( )A. 30°B. 35°C. 40°D. 70°6. 不透明袋子中装有无差别的两个小球，分别写有“问天”和“梦天”.随机取出一个小球后，放回并摇匀，再随机取出一个小球，则两次都取到写有“问天”的小球的概率为( ) A. 34B. 12C. 13D. 147. 如图，正方形ABCD的边长为4，分别以A，B，C，D为圆心，2为半径作圆，则图中阴影部分的面积为( )A. 16−4πB. 16−2πC. 4πD. 2π8. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=m(x−3)2+k与x轴交于(a,0)，(b,0)两点，其中a<b.将此抛物线向上平移，与x轴交于(c,0)，(d,0)两点，其中c<d，下面结论正确的是( )A. 当m>0时，a+b=c+d，b−a>d−cB. 当m>0时，a+b>c+d，b−a=d−cC. 当m<0时，a+b=c+d，b−a>d−cD. 当m<0时，a+b>c+d，b−a<d−c二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9. 在平面直角坐标系中，点(5,−1)关于原点对称的点的坐标是______．10. 方程x2−4=0的根是______．11. 写出一个与抛物线y=3x2−2x+1开口方向相同的抛物线的表达式：______．12. 如图，矩形绿地的长和宽分别为30m和20m.若将该绿地的长、宽各增加xm，扩充后的绿地的面积为ym2，则y与x之间的函数关系是______.(填“正比例函数关系”、“一次函数关系”或“二次函数关系”)13. 如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，连接OA，AB，若∠OAB=35°，则∠ABP=______°.14. 如图是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成12个相同的小扇形．若把某些小扇形涂上红色，使转动的转盘停止时，指针指向红色的概率是1，则涂上红色的小扇形有______3个．15. 某农科所在相同条件下做某种作物种子发芽率的试验，结果如下：种子个数1002003004005008001100140017002000发芽种子个94187282337436718994125415311797数发芽种子频0.9400.9350.9400.8430.8720.8980.9040.8960.9010.899率根据试验数据，估计1000kg该种作物种子能发芽的有______kg．16. 某跨学科综合实践小组准备购买一些盒子存放实验材料．现有A，B，C三种型号的盒子，盒子容量和单价如表所示：盒子型号A B C盒子容量/升234盒子单价/元569其中A型号盒子做促销活动：购买三个及三个以上可一次性返现金4元，现有28升材料需要存放且每个盒子要装满材料．(1)若购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为2，3，4，则购买费用为______元；(2)若一次性购买所需盒子且使购买费用不超过58元，则购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为______.(写出一种即可)三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）17. 解方程：x2+4x+3=0．四、解答题（本大题共11小题，共63.0分。

2024年北京朝阳区初三九年级上学期期末数学试题和答案

张卡片，除所标注文字不同外无其他差别．其中，写有“珍稀濒危植．随机摸出一张卡片写有“珍的扇形作圆锥的侧面，记扇形的半径为R，所在一定范围内变化时，l与S都随R的变第12题图第14题图试题13．某科技公司开展技术研发，在相同条件下，对运用新技术生产的一批产品的合格率进行检测，下表是检测过程中的一组统计数据：估计这批产品合格的产品的概率为．14．如图，AB 是半圆O 的直径，将半圆O 绕点A 逆时针旋转30°，点B 的对应点为B '，连接A B '，若AB ＝8，则图中阴影部分的面积是_______.15．对于向上抛的物体，在没有空气阻力的条件下，上升高度h ，初速度v ，抛出后所经历的时间t ，这三个量之间有如下关系：221gt vt h -=（其中 g 是重力加速度，g 取10m/s 2）．将一物体以v=21m/s 的初速度v 向上抛，当物体处在离抛出点18m 高的地方时，t 的值为．16．已知函数y 1＝kx ＋4k －2（k 是常数，k ≠0），y 2＝ax 2＋4ax －5a （a 是常数，a ≠0），在同一平面直角坐标系中，若无论k 为何值，函数y 1和y 2的图象总有公共点，则a 的取值范围是_______.三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．解方程x 2-1 =6x ．18．关于x 的一元二次方程x 2-(m +4)x +3(m +1)=0 ．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程有一根小于0，求m 的取值范围．抽取的产品数n 5001000150020002500300035004000合格的产品数m 476967143119262395288333673836合格的产品频率nm0.9520.9670.9540.9630.9580.9610.9620.959图2图3图1图1 图2试题北京市朝阳区2023～2024学年度第一学期期末检测九年级数学试卷参考答案及评分标准(选用)2024.1一、选择题（共16分，每题2分）题号12345678答案DABCACAC二、填空题（共16分，每题2分）三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，27-28题，每题7分）17．解：方程化为x 2 -6x =1．x 2 -6x+9 =10．1032=-）（x ．103±=-x ．1031+=x ，1032-=x ．18．（1）证明:依题意，得=[-(m +4)]2-4×3(m +1) =(m -2)2．∵(m -2)2≥0，∴0≥∆∴该方程总有两个实数根．（2）解：解方程，得x =．∴x 1= m +1，x 2=3．依题意，得m +1<0．∴m <-1．19．解：（1）根据题意，设该二次函数的解析式为 y 2=a (x -1)2+4．当x =0时，y 2 =3∴a =-1．∴y 2=-x 2+2x +3．题号9101112答案x 1=3，x 2=-3相切（1，3）140题号13141516答案答案不唯一，如0.9593438+π1.2或3a ＜0或a ≥52线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.由题意可知，抛物线顶点C ），（9254．设抛物线对应的函数解析式)4(2+-=x a y试题26. 解：（1）由题意知，a +b +c = 9a +3b +c .∴b = -4a .∴22=-=a b t . （2）∵a >0，∴当x ≥t 时，y 随x 的增大而增大；当x ≤t 时，y 随x 的增大而减小.设抛物线上的四个点的坐标为A (t -1，m A ) ，B （t ，m B ），C （2，n C ），D （3，n D ）.点A 关于对称轴x =t 的对称点为A'（t +1，m A ）∵抛物线开口向上，点B 是抛物线顶点，∴m A ＞m B .ⅰ 当t ≤1时，n C < n D∴t +1≤2.∴m A ≤n C ，∴不存在m ＞n ，不符合题意.ⅱ 当1<t ≤2时，n C < n D∴2<t ＋1≤3.∴m A ＞n C .∴存在m ＞n ，符合题意.ⅲ当2<t ≤3时，∴n 的最小值为m B .∵m A ＞m B .. ∴存在m ＞n ，符合题意.ⅳ 当3<t <4时，n D <n C .∴2<t －1＜3.∴m A ＞n D .∴存在m ＞n ，符合题意.ⅴ 当t ≥4时，n D <n C .∴t -1≥3.∴m A ≤n D ，∴不存在m ＞n ，不符合题意.综上所述，t 的取值范围是1<t <4.）解：补全图1，如图.证明：延长AF到点G，使得GF=AF，连接，连接GE并延长，与AB的延长。

2019-2020学年北京市朝阳区九年级上学期期末数学试卷 (解析版)

2019-2020学年北京市朝阳区九年级（上）期末数学试卷一、选择题1．下列事件中，随机事件是（）A．通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰B．随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数C．明天太阳从东方升起D．三角形的内角和是360°2．抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标为（）A．（2，1）B．（2，﹣1）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，1）3．只有1和它本身两个因数且大于1的自然数叫做素数，我国数学家陈景润在有关素数的“哥德巴赫猜想”的研究中取得了世界领先的成果．从5，7，11这3个素数中随机抽取一个，则抽到的数是7的概率是（）A．B．C．D．14．把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦值（）A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍D．扩大为原来的9倍5．如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC．若AD＝1，BD＝2，则△ADE 与△ABC的面积之比为（）A．1：2B．1：3C．1：4D．1：96．如图，在正方形网格中，△MPN绕某一点旋转某一角度得到△M′P′N′，则旋转中心可能是（）A．点A B．点B C．点C D．点D7．已知⊙O1，⊙O2，⊙O3是等圆，△ABP内接于⊙O1，点C，E分别在⊙O2，⊙O3上．如图，①以C为圆心，AP长为半径作弧交⊙O2于点D，连接CD；②以E为圆心，BP长为半径作弧交⊙O3于点F，连接EF；下面有四个结论：①CD+EF＝AB②③∠CO2D+∠EO3F＝∠AO1B④∠CDO2+∠EFO3＝∠P所有正确结论的序号是（）A．①②③④B．①②③C．②④D．②③④8．如图，抛物线y＝﹣1与x轴交于A，B两点，D是以点C（0，4）为圆心，1为半径的圆上的动点，E是线段AD的中点，连接OE，BD，则线段OE的最小值是（）A．2B．C．D．3二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．点（﹣1，﹣3）关于原点的对称点的坐标为．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，射线l的端点为（0，1），l∥x轴，请写出一个图象与射线l有公共点的反比例函数的表达式：．11．如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数（约为0.618），就称这个矩形为黄金矩形．如图，矩形ABCD为黄金矩形，宽AD＝，则长AB为．12．如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．若AC＝BD＝1，∠A＝45°，则的长度为．13．如图，在正方形网格中，点A，B，C在⊙O上，并且都是小正方形的顶点，P 是上任意一点，则∠P 的正切值为．14．抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（m，0），（n，0），则m+n的值为．15．为了打赢脱贫攻坚战，某村计划将该村的特产柑橘运到A地进行销售．由于受道路条件的限制，需要先将柑橘由公路运到火车站，再由铁路运到A地．村里负责销售的人员从该村运到火车站的所有柑橘中随机抽取若干柑橘，进行了“柑橘完好率”统计，获得的数据记录如下表：柑橘总质量n/kg100150200250300350400450500完好柑橘质量92.40138.45183.80229.50276.30322.70367.20414.45459.50m/kg柑橘完好的频0.9240.9230.9190.9180.9210.9220.9180.9210.919率①估计从该村运到火车站柑橘完好的概率为（结果保留小数点后三位）；②若从该村运到A地柑橘完好的概率为0.880，估计从火车站运到A地柑橘完好的概率为．16．如图，分别过第二象限内的点P作x，y轴的平行线，与y，x轴分别交于点A，B，与双曲线分别交于点C，D．下面三个结论，①存在无数个点P使S△AOC＝S△BOD；②存在无数个点P使S△POA＝S△POB；③存在无数个点P使S四边形OAPB＝S△ACD．所有正确结论的序号是．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）17．计算：sin60°﹣cos30°+tan45°．18．如图，在△ABC中，∠B＝30°，tan C＝，AD⊥BC于点D．若AB＝8，求BC的长．19．如图，△ABC为等边三角形，将BC边绕点B顺时针旋转30°，得到线段BD，连接AD，CD，求∠ADC的度数．20．已知一次函数y1＝kx+m（k≠0）和二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）部分自变量和对应的函数值如下表：x…﹣2﹣1012…y1…01234…y2…0﹣1038…（1）求y2的表达式；（2）关于x的不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是．21．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．22．在平面内，O为线段AB的中点，所有到点O的距离等于OA的点组成图形W．取OA 的中点C，过点C作CD⊥AB交图形W于的点D，D在直线AB的上方，连接AD，BD．（1）求∠ABD的度数；（2）若点E在线段CA的延长线上，且∠ADE＝∠ABD，求直线DE与图形W的公共点个数．23．阅读下面材料：小军遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内一点，∠PAC＝∠PCB＝∠PBA．若∠ACB＝45°，AP＝1，求BP的长．小军的思路是：根据已知条件可以证明△ACP∽△CBP，进一步推理可得BP的长．请回答：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵∠PCB＝∠PBA，∴∠PCA＝．∵∠PAC＝∠PCB，∴△ACP∽△CBP．∴．∵∠ACB＝45°，∴∠BAC＝90°．∴＝．∵AP＝1，∴PC＝．∴PB＝．参考小军的思路，解决问题：如图2，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内一点，∠PAC＝∠PCB＝∠PBA．若∠ACB＝30°，求的值；24．点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象l1上一点，直线AB∥x轴，交反比例函数y ＝（x＞0）的图象l2于点B，直线AC∥y轴，交l2于点C，直线CD∥x轴，交l1于点D．（1）若点A（1，1），求线段AB和CD的长度；（2）对于任意的点A（a，b），判断线段AB和CD的大小关系，并证明．25．如图，在矩形ABCD中，E是BA延长线上的定点，M为BC边上的一个动点，连接ME，将射线ME绕点M顺时针旋转76°，交射线CD于点F，连接MD．小东根据学习函数的经验，对线段BM，DF，DM的长度之间的关系进行了探究．下面是小东探究的过程，请补充完整：（1）对于点M在BC上的不同位置，画图、测量，得到了线段BM，DF，DM的长度的几组值，如下表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8位置9 BM/cm0.000.53 1.00 1.69 2.17 2.96 3.46 3.79 4.00 DF/cm0.00 1.00 1.74 2.49 2.69 2.21 1.140.00 1.00 DM/cm 4.12 3.61 3.16 2.52 2.09 1.44 1.14 1.02 1.00在BM，DF，DM的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当DF＝2cm时，DM的长度约为cm．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx经过点（3，3）．（1）用含a的式子表示b；（2）直线y＝x+4a+4与直线y＝4交于点B，求点B的坐标（用含a的式子表示）；（3）在（2）的条件下，已知点A（1，4），若抛物线与线段AB恰有一个公共点，直接写出a（a＜0）的取值范围．27．已知∠MON＝120°，点A，B分别在ON，OM边上，且OA＝OB，点C在线段OB上（不与点O，B重合），连接CA．将射线CA绕点C逆时针旋转120°得到射线CA′，将射线BO绕点B逆时针旋转150°与射线CA′交于点D．（1）根据题意补全图1；（2）求证：①∠OAC＝∠DCB；②CD＝CA（提示：可以在OA上截取OE＝OC，连接CE）；（3）点H在线段AO的延长线上，当线段OH，OC，OA满足什么等量关系时，对于任意的点C都有∠DCH＝2∠DAH，写出你的猜想并证明．28．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），点B在x轴上，以AB为直径作⊙C，点P在y轴上，且在点A上方，过点P作⊙C的切线PQ，Q为切点，如果点Q在第一象限，则称Q为点P的离点．例如，图1中的Q为点P的一个离点．（1）已知点P（0，3），Q为P的离点．①如图2，若B（0，0），则圆心C的坐标为，线段PQ的长为；②若B（2，0），求线段PQ的长；（2）已知1≤PA≤2，直线l：y＝kx+k+3（k≠0）．①当k＝1时，若直线l上存在P的离点Q，则点Q纵坐标t的最大值为；②记直线l：y＝kx+k+3（k≠0）在﹣1≤x≤1的部分为图形G，如果图形G上存在P的离点，直接写出k的取值范围．参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．下列事件中，随机事件是（）A．通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰B．随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数C．明天太阳从东方升起D．三角形的内角和是360°【分析】根据随机事件的意义，这个选项进行判断即可．解：“通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰”是必然事件；“随意翻到一本书的某页，这页的页码可能是偶数，也可能是奇数”因此选项B符合题意；“明天太阳从东方升起”是必然事件，不符合题意；“三角形的内角和是180°”因此“三角形的内角和是360°”是确定事件中的不可能事件，不符合题意；故选：B．2．抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标为（）A．（2，1）B．（2，﹣1）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，1）【分析】抛物线的顶点式为：y＝a（x﹣h）2+k，其顶点坐标是（h，k），可以确定抛物线的顶点坐标．解：抛物线y＝（x﹣2）2+1是以抛物线的顶点式给出的，其顶点坐标为：（2，1）．故选：A．3．只有1和它本身两个因数且大于1的自然数叫做素数，我国数学家陈景润在有关素数的“哥德巴赫猜想”的研究中取得了世界领先的成果．从5，7，11这3个素数中随机抽取一个，则抽到的数是7的概率是（）A．B．C．D．1【分析】根据概率＝所求情况数与总情况数之比解答即可．解：∵共3个素数，分别是5，7，11，∴抽到的数是7的概率是；故选：C．4．把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦值（）A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍D．扩大为原来的9倍【分析】根据相似三角形的性质解答．解：三边的长度都扩大为原来的3倍，则所得的三角形与原三角形相似，∴锐角A的大小不变，∴锐角A的余弦值不变，故选：A．5．如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC．若AD＝1，BD＝2，则△ADE 与△ABC的面积之比为（）A．1：2B．1：3C．1：4D．1：9【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求出△ADE与△ABC的面积之比．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝．故选：D．6．如图，在正方形网格中，△MPN绕某一点旋转某一角度得到△M′P′N′，则旋转中心可能是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【分析】连接PP'、NN'、MM'，作PP'的垂直平分线，作NN'的垂直平分线，作MM'的垂直平分线，交点为旋转中心．解：如图，∵△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M'N'P'，∴连接PP'、NN'、MM'，作PP'的垂直平分线，作NN'的垂直平分线，作MM'的垂直平分线，∴三条线段的垂直平分线正好都过B，即旋转中心是B．故选：B．7．已知⊙O1，⊙O2，⊙O3是等圆，△ABP内接于⊙O1，点C，E分别在⊙O2，⊙O3上．如图，①以C为圆心，AP长为半径作弧交⊙O2于点D，连接CD；②以E为圆心，BP长为半径作弧交⊙O3于点F，连接EF；下面有四个结论：①CD+EF＝AB②③∠CO2D+∠EO3F＝∠AO1B④∠CDO2+∠EFO3＝∠P所有正确结论的序号是（）A．①②③④B．①②③C．②④D．②③④【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理即可得到结论．解：由题意得，AP＝CD，BP＝EF，∵AP+BP＞AB，∴CD+EF＞AB；∵⊙O1，⊙O2，⊙O3是等圆，∴＝，＝，∵+＝，∴+＝；∴∠CO2D＝∠AO1P，∠EO3F＝∠BO1P，∵∠AO1P+∠BO1P＝∠AO1P，∴∠CO2D+∠EO3F＝∠AO1B；∵∠CDO2＝∠APO1，∠BPO1＝∠EFO3，∵∠P＝∠APO1+∠BPO1，∴∠CDO2+∠EFO3＝∠P，∴正确结论的序号是②③④，故选：D．8．如图，抛物线y＝﹣1与x轴交于A，B两点，D是以点C（0，4）为圆心，1为半径的圆上的动点，E是线段AD的中点，连接OE，BD，则线段OE的最小值是（）A．2B．C．D．3【分析】根据抛物线y＝﹣1与x轴交于A，B两点，可得A、B两点坐标，D是以点C（0，4）为圆心，根据勾股定理可求BC的长为5，E是线段AD的中点，再根据三角形中位线，BD最小，OE就最小．解：∵抛物线y＝﹣1与x轴交于A，B两点，∴A、B两点坐标为（﹣3，0）、（3，0），∵D是以点C（0，4）为圆心，根据勾股定理，得BC＝5，∵E是线段AD的中点，O是AB中点，∴OE是三角形ABD的中位线，∴OE＝BD，即点B、D、C共线时，BD最小，OE就最小．如图，连接BC交圆于点D′，∴BD′＝BC﹣CD′＝5﹣1＝4，∴OE′＝2．所以线段OE的最小值为2．故选：A．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．点（﹣1，﹣3）关于原点的对称点的坐标为（1，3）．【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案．解：点（﹣1，﹣3）关于原点的对称点的坐标为：（1，3）．故答案为：（1，3）．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，射线l的端点为（0，1），l∥x轴，请写出一个图象与射线l有公共点的反比例函数的表达式：答案不唯一，如y＝．【分析】直接利用射线的特点得出符合题意的反比例函数解析式．解：∵射线l的端点为（0，1），l∥x轴，∴写出一个图象与射线l有公共点的反比例函数的表达式：答案不唯一，如y＝．故答案为：答案不唯一，如y＝．11．如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数（约为0.618），就称这个矩形为黄金矩形．如图，矩形ABCD为黄金矩形，宽AD＝，则长AB为2．【分析】判断黄金矩形的依据是：宽与长之比为0.618，根据已知条件即可得出答案．解：∵矩形ABCD是黄金矩形，且AD＝，∴，，∴AB＝2，故答案为2．12．如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．若AC＝BD＝1，∠A＝45°，则的长度为．【分析】连接OC、OD，根据切线性质和∠A＝45°，易证得△AOC和△BOD是等腰直角三角形，进而求得OC＝OD＝1，∠COD＝90°，根据弧长公式求得即可．解：连接OC、OD，∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．∴OC⊥AC，OD⊥BD，∵∠A＝45°，∴∠AOC＝45°，∴AC＝OC＝1，∵AC＝BD＝1，OC＝OD＝1，∴OD＝BD，∴∠BOD＝45°，∴∠COD＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴的长度为：＝π，故答案为：．13．如图，在正方形网格中，点A，B，C在⊙O上，并且都是小正方形的顶点，P是上任意一点，则∠P的正切值为．【分析】：连接OA、OB，作OD⊥AB于D，如图，利用等腰三角形的性质和圆周角定理得到∠AOD＝∠APB，再利用正切的性质得到tan∠AOD＝，从而得到tan∠P的值．解：连接OA、OB，作OD⊥AB于D，如图，∵OA＝OB，OD⊥AB，∴∠AOD＝∠AOB，∵∠APB＝∠AOB，∴∠AOD＝∠APB，在Rt△AOD中，tan∠AOD＝＝，∴tan∠P＝．故答案为．14．抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（m，0），（n，0），则m+n的值为2．【分析】根据根与系数的关系解答即可．解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（m，0），（n，0），∴m+n＝﹣＝2．故答案是：2．15．为了打赢脱贫攻坚战，某村计划将该村的特产柑橘运到A地进行销售．由于受道路条件的限制，需要先将柑橘由公路运到火车站，再由铁路运到A地．村里负责销售的人员从该村运到火车站的所有柑橘中随机抽取若干柑橘，进行了“柑橘完好率”统计，获得的数据记录如下表：柑橘总质量n/kg100150200250300350400450500完好柑橘质量92.40138.45183.80229.50276.30322.70367.20414.45459.50m/kg柑橘完好的频0.9240.9230.9190.9180.9210.9220.9180.9210.919率①估计从该村运到火车站柑橘完好的概率为0.920（结果保留小数点后三位）；②若从该村运到A地柑橘完好的概率为0.880，估计从火车站运到A地柑橘完好的概率为．【分析】（1）根据表格中频率的变化情况，估计概率即可；（2）根据完好的概率进行列方程求解即可．解：（1）根据抽查的柑橘完好的频率，大约集中在0.920上下波动，因此估计柑橘的完好的概率为0.920，故答案为：0.920；（2）设总质量为m千克，从火车站运到A地柑橘完好的概率为x，由题意得，m×0.920×x＝m×0.880，解得，x＝，故答案为：．16．如图，分别过第二象限内的点P作x，y轴的平行线，与y，x轴分别交于点A，B，与双曲线分别交于点C，D．下面三个结论，①存在无数个点P使S△AOC＝S△BOD；②存在无数个点P使S△POA＝S△POB；③存在无数个点P使S四边形OAPB＝S△ACD．所有正确结论的序号是①②③．【分析】如图，设C（m，），D（n，），则P（n，），利用反比例函数k的几何意义得到S△AOC＝3，S△BOD＝3，则可对①进行判断；根据三角形面积公式可对②进行判断；通过计算S四边形OAPB和S△ACD得到m与n的关系可对对③进行判断．解：如图，设C（m，），D（n，），则P（n，），∵S△AOC＝3，S△BOD＝3，∴S△AOC＝S△BOD；所以①正确；∵S△POA＝﹣n×＝﹣，S△POB＝﹣n×＝﹣，∴S△POA＝S△POB；所以②正确；∵S四边形OAPB＝﹣n×＝﹣，S△ACD＝×m×（﹣）＝3﹣，∴当﹣＝3﹣，即m2﹣mn﹣2n2＝0，所以m＝2n（舍去）或m＝﹣n，此时P点为无数个，所以③正确．故答案为①②③．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）17．计算：sin60°﹣cos30°+tan45°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入得出答案．解：原式＝＝1．18．如图，在△ABC中，∠B＝30°，tan C＝，AD⊥BC于点D．若AB＝8，求BC的长．【分析】根据直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半可以求得AD的长，然后即可求得BD的长，再根据AD的长和tan C＝，可以求得CD的长，从而可以求得BC 的长，本题得以解决．解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∵在Rt△ADB中，∠B＝30°，AB＝8，∴AD＝4，BD＝，∵在Rt△ADC中，tan C＝，AD＝4，∴，∴CD＝3．∴BC＝BD+CD＝．19．如图，△ABC为等边三角形，将BC边绕点B顺时针旋转30°，得到线段BD，连接AD，CD，求∠ADC的度数．【分析】首先证明∠ABD＝90°，求出∠BDC，∠ADB即可解决问题．解：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝60°．根据题意可知BD＝BC，∠DBC＝30°．∴AB＝BD．∴∠ABD＝90°，∠BDC＝75°．∴∠BDA＝45°．∴∠ADC＝30°．20．已知一次函数y1＝kx+m（k≠0）和二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）部分自变量和对应的函数值如下表：x…﹣2﹣1012…y1…01234…y2…0﹣1038…（1）求y2的表达式；（2）关于x的不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是x＜﹣2或x＞1．【分析】（1）根据题意设出y2的表达式，再把（0，0）代入，求出a的值，即可得出y2的表达式；（2）利用表中数据得到直线与抛物线的交点为（﹣2，0）和（1，3），x＜﹣2或x＞1时，y2＞y1，从而得出不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集．解：（1）根据题意设y2的表达式为：y2＝a（x+1）2﹣1，把（0，0）代入得a＝1，∴y2＝x2+2x；（2）当x＝﹣2时，y1＝y2＝0；当x＝1时，y1＝y2＝3；∴直线与抛物线的交点为（﹣2，0）和（1，3），而x＜﹣2或x＞1时，y2＞y1，∴不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是x＜﹣2或x＞1．故答案为：x＜﹣2或x＞1．21．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．【分析】过O点作半径OD⊥AB于E，如图，利用垂径定理得到AE＝BE＝4，再利用勾股定理计算出OE，然后计算出DE的长即可．解：过O点作半径OD⊥AB于E，如图，∴AE＝BE＝AB＝×8＝4，在Rt△AEO中，OE＝＝＝3，∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2，答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m．22．在平面内，O为线段AB的中点，所有到点O的距离等于OA的点组成图形W．取OA 的中点C，过点C作CD⊥AB交图形W于的点D，D在直线AB的上方，连接AD，BD．（1）求∠ABD的度数；（2）若点E在线段CA的延长线上，且∠ADE＝∠ABD，求直线DE与图形W的公共点个数．【分析】（1）根据题意，图形W为以O为圆心，OA为直径的圆．如图1，连接OD，根据等边三角形的判定与性质即可求解；（2）根据切线的判定即可求解．解：（1）根据题意，图形W为以O为圆心，OA为直径的圆．如图1，连接OD，∴OA＝OD．∵点C为OA的中点，CD⊥AB，∴AD＝OD．∴OA＝OD＝AD．∴△OAD是等边三角形．∴∠AOD＝60°．∴∠ABD＝30°．（2）如图2，∵∠ADE＝∠ABD，∴∠ADE＝30°．∵∠ADO＝60°．∴∠ODE＝90°．∴OD⊥DE．∴DE是⊙O的切线．∴直线DE与图形W的公共点个数为1．23．阅读下面材料：小军遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内一点，∠PAC＝∠PCB＝∠PBA．若∠ACB＝45°，AP＝1，求BP的长．小军的思路是：根据已知条件可以证明△ACP∽△CBP，进一步推理可得BP的长．请回答：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵∠PCB＝∠PBA，∴∠PCA＝∠PBC．∵∠PAC＝∠PCB，∴△ACP∽△CBP．∴．∵∠ACB＝45°，∴∠BAC＝90°．∴＝．∵AP＝1，∴PC＝．∴PB＝2．参考小军的思路，解决问题：如图2，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内一点，∠PAC＝∠PCB＝∠PBA．若∠ACB＝30°，求的值；【分析】阅读材料：证明△ACP∽△CBP．得出．由等腰直角三角形的性质得出CB＝AC得出＝．PC＝AP＝．得出PB＝PC＝2．解决问题：证明△ACP∽△CBP．得出＝，设AP＝a，则PC＝，得出PB＝3a．即可得出．【解答】阅读材料：解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵∠PCB＝∠PBA，∴∠PCA＝∠PBC．∵∠PAC＝∠PCB，∴△ACP∽△CBP．∴．∵∠ACB＝45°，∴∠BAC＝90°．∴CB＝AC，∴＝．∵AP＝1，∴PC＝AP＝．∴PB＝PC＝2．故答案为：∠PBC；；2；解决问题：解：作AD⊥BC于D，如图2所示：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝30°．BD＝CD＝BC，∴AD＝AC，CD＝AD，∴AC＝2AD，BC＝2CD＝2AD，∵∠PCB＝∠PBA，∴∠PCA＝∠PBC．∵∠PAC＝∠PCB，∴△ACP∽△CBP．∴＝＝，设AP＝a，则PC＝，∴PB＝3a．∴．24．点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象l1上一点，直线AB∥x轴，交反比例函数y ＝（x＞0）的图象l2于点B，直线AC∥y轴，交l2于点C，直线CD∥x轴，交l1于点D．（1）若点A（1，1），求线段AB和CD的长度；（2）对于任意的点A（a，b），判断线段AB和CD的大小关系，并证明．【分析】（1）根据题意求得B（3，1），C（1，3），D（，3），即可求得AB和CD 的长度；（2）根据题意得到A（a，），B（3a，）．C（a，），D（，），进一步求得AB＝2a，CD＝．即可求得AB＞CD．解：（1）∵AB∥x轴，A（1，1），B在反比例函数的图象上，∴B（3，1）．同理可求：C（1，3），D（，3）．∴AB＝2，CD＝．（2）AB＞CD．证明：∵A（a，b），A在反比例函数的图象上，∴A（a，）．∵AB∥x轴，B在反比例函数的图象上，∴B（3a，）．同理可求：C（a，），D（，）．∴AB＝2a，CD＝．∵a＞0，∴2a＞．∴AB＞CD．25．如图，在矩形ABCD中，E是BA延长线上的定点，M为BC边上的一个动点，连接ME，将射线ME绕点M顺时针旋转76°，交射线CD于点F，连接MD．小东根据学习函数的经验，对线段BM，DF，DM的长度之间的关系进行了探究．下面是小东探究的过程，请补充完整：（1）对于点M在BC上的不同位置，画图、测量，得到了线段BM，DF，DM的长度的几组值，如下表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8位置9 BM/cm0.000.53 1.00 1.69 2.17 2.96 3.46 3.79 4.00 DF/cm0.00 1.00 1.74 2.49 2.69 2.21 1.140.00 1.00 DM/cm 4.12 3.61 3.16 2.52 2.09 1.44 1.14 1.02 1.00在BM，DF，DM的长度这三个量中，确定BM的长度是自变量，DF的长度和DM的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当DF＝2cm时，DM的长度约为 2.98和1.35 cm．【分析】（1）由函数的定义可得；（2）描点即可；（3）结合图象，即可求解．解：（1）由函数的定义可得：BM的长度是自变量，DF的长度和DM的长度都是这个自变量的函数，故答案为：BM，DF，DM；（2）如图所示．（3）由图象得到：当DF＝2cm时，DM的长度约为2.98cm和1.35cm．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx经过点（3，3）．（1）用含a的式子表示b；（2）直线y＝x+4a+4与直线y＝4交于点B，求点B的坐标（用含a的式子表示）；（3）在（2）的条件下，已知点A（1，4），若抛物线与线段AB恰有一个公共点，直接写出a（a＜0）的取值范围．【分析】（1）将点（3，3）代入解析式即可求得；（2）把y＝4代入y＝x+4a+4得到关于x的方程，解方程即可求得；（3）根据抛物线与线段AB恰有一个公共点，分两种情况讨论，即可得结论．解：（1）将点（3，3）代入y＝ax2+bx，得9a+3b＝3．∴b＝﹣3a+1．（2）令x+4a+4＝4，得x＝﹣4a．∴B（﹣4a，4）．（3）∵a＜0，∴抛物线开口向下，抛物线与线段AB恰有一个公共点，∵A（1，4），B（﹣4a，4）∴点A、B所在的直线为y＝4，由（1）得b＝1﹣3a，则抛物线可化为：y＝ax2+（1﹣3a）x，分两种情况讨论：①当抛物线y＝ax2+（1﹣3a）x与直线y＝4只有一个公共点时，且抛物线的顶点在点A、B之间，则1≤≤﹣4a或﹣4a≤≤1，方程ax2+（1﹣3a）x＝4的根的判别式：△＝0，即（1﹣3a）2+16a＝0，解得a1＝﹣，a2＝﹣1，当a1＝﹣时，＝6（不符合题意），当a2＝﹣1时，＝2，则1≤≤﹣4a成立．②当抛物线经过点A时，即当x＝1，y＝4时，a+1﹣3a＝4，解得a＝﹣；∴a＜﹣时，抛物线与线段AB恰有一个公共点，综上：a的取值为：a＝﹣1或a＜﹣时，抛物线与线段AB恰有一个公共点．27．已知∠MON＝120°，点A，B分别在ON，OM边上，且OA＝OB，点C在线段OB 上（不与点O，B重合），连接CA．将射线CA绕点C逆时针旋转120°得到射线CA′，将射线BO绕点B逆时针旋转150°与射线CA′交于点D．（1）根据题意补全图1；（2）求证：①∠OAC＝∠DCB；②CD＝CA（提示：可以在OA上截取OE＝OC，连接CE）；（3）点H在线段AO的延长线上，当线段OH，OC，OA满足什么等量关系时，对于任意的点C都有∠DCH＝2∠DAH，写出你的猜想并证明．【分析】（1）根据题意即可补全图形；（2）①由旋转得∠ACD＝120°，由三角形内角和得出∠DCB+∠ACO＝60°，∠OAC+∠ACO＝60°，即可得出结论；②在OA上截取OE＝OC，连接CE，则∠OEC＝∠OCE＝（180°﹣∠MON）＝30°，∠AEC＝150°，得出∠AEC＝∠CBD，易证AE＝BC，由ASA证得△AEC≌△CBD，即可得出结论；（3）猜想OH﹣OC＝OA时，对于任意的点C都有∠DCH＝2∠DAH，在OH上截取OF＝OC，连接CF、CH，则FH＝OA，∠COF＝180°﹣∠MON＝60°，得出△OFC是等边三角形，则CF＝OC，∠CFH＝∠COA＝120°，由SAS证得△CFH≌△COA，得出∠H＝∠OAC，由三角形外角性质得出∠BCH＝∠COF+∠H＝60°+∠H＝60°+∠OAC，则∠DCH＝60°+∠H+∠DCB＝60°+2∠OAC，由CA＝CD，∠ACD＝120°，得出∠CAD＝30°，即可得出∠DCH＝2∠DAH．【解答】（1）解：根据题意补全图形，如图1所示：（2）证明：①由旋转得：∠ACD＝120°，∴∠DCB+∠ACO＝180°﹣120°＝60°，∵∠MON＝120°，∴∠OAC+∠ACO＝180°﹣120°＝60°，∴∠OAC＝∠DCB；②在OA上截取OE＝OC，连接CE，如图2所示：则∠OEC＝∠OCE＝（180°﹣∠MON）＝（180°﹣120°）＝30°，∴∠AEC＝180°﹣∠OEC＝180°﹣30°＝150°，由旋转得：∠CBD＝150°，∴∠AEC＝∠CBD，∵OA＝OB，OE＝OC，∴AE＝BC，在△AEC和△CBD中，，∴△AEC≌△CBD（ASA），∴CD＝CA；（3）解：猜想OH﹣OC＝OA时，对于任意的点C都有∠DCH＝2∠DAH；理由如下：在OH上截取OF＝OC，连接CF、CH，如图3所示：则FH＝OA，∠COF＝180°﹣∠MON＝180°﹣120°＝60°，∴△OFC是等边三角形，∴CF＝OC，∠CFH＝∠COA＝120°，在△CFH和△COA中，，∴△CFH≌△COA（SAS），∴∠H＝∠OAC，∴∠BCH＝∠COF+∠H＝60°+∠H＝60°+∠OAC，∴∠DCH＝60°+∠H+∠DCB＝60°+2∠OAC，∵CA＝CD，∠ACD＝120°，∴∠CAD＝30°，∴∠DCH＝2（∠CAD+∠OAC）＝2∠DAH．28．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），点B在x轴上，以AB为直径作⊙C，点P在y轴上，且在点A上方，过点P作⊙C的切线PQ，Q为切点，如果点Q在第一象限，则称Q为点P的离点．例如，图1中的Q为点P的一个离点．（1）已知点P（0，3），Q为P的离点．①如图2，若B（0，0），则圆心C的坐标为（0，1），线段PQ的长为；②若B（2，0），求线段PQ的长；（2）已知1≤PA≤2，直线l：y＝kx+k+3（k≠0）．①当k＝1时，若直线l上存在P的离点Q，则点Q纵坐标t的最大值为6；②记直线l：y＝kx+k+3（k≠0）在﹣1≤x≤1的部分为图形G，如果图形G上存在P的离点，直接写出k的取值范围．【分析】（1）①如图可知：C（0，1），在Rt△PQC中，CQ＝1，PC＝2；②如图，过C作CM⊥y轴于点M，连接CP，CQ，M（0，1）．在Rt△ACM中，由勾股定理可得CA＝，CQ＝．在Rt△PCM中，由勾股定理可得PC＝．在Rt△PCQ中，由勾股定理可得PQ＝＝．（2）①当k＝1时，y＝x+4，Q（t﹣4，t），P的纵坐标为4时，PQ与圆C相切，设B （m，0），则圆心为C（，1），由CQ⊥PQ，可求CQ的解析式为y＝﹣x++1，Q 点横坐标为﹣＝t﹣4，则C（2t﹣5，1），再由CQ＝AC，得到t＝6或t＝2；②y ＝kx+k+3经过定点（﹣1，3），PQ是圆的切线，AO是圆的弦，则有PQ2＝PA•PO，当k＜0时，Q点的在端点（﹣1，3）和（1，2k+3）之间运动，当P（0，4）时，PQ＝2，以P为圆心，PQ长为半径的圆与y轴交于点（0，4﹣2），此时k＝1﹣2，当P（0，3）时，PQ＝，Q（1，2k+3），1+4k2＝3，所以1﹣2＜k≤﹣；当k ＞0时，当P（0，4）时，PQ＝2，以P为圆心，PQ长为半径的圆与y轴交于点（0，4+2），此时k＝1+2，当P（0，3）时，PQ＝，Q（1，2k+3），1+4k2＝3，所以≤k＜1+2．解：（1）①如图可知：C（0，1），在Rt△PQC中，CQ＝1，PC＝2，∴PQ＝，故答案为（0，1）；；②如图，过C作CM⊥y轴于点M，连接CP，CQ．∵A（0，2），B（2，0），∴C（1，1）．∴M（0，1）．在Rt△ACM中，由勾股定理可得CA＝．∴CQ＝．∵P（0，3），M（0，1），∴PM＝2．在Rt△PCM中，由勾股定理可得PC＝．在Rt△PCQ中，由勾股定理可得PQ＝＝．（2）①如图1：当k＝1时，y＝x+4，∴Q（t﹣4，t），∵1≤PA≤2，∴P的纵坐标为4时，PQ与圆C相切，设B（m，0），∴C（，1），∵CQ⊥PQ，∴CQ的解析式为y＝﹣x++1，∴Q点横坐标为﹣，∴﹣＝t﹣4，∴m＝4t﹣10，∴C（2t﹣5，1），∵CQ＝AC，∴（2t﹣5）2+1＝2（t﹣1）2，∴t＝6或t＝2，∴t的最大值为6；故答案为6．②∵﹣1≤x≤1，∵y＝kx+k+3经过定点（﹣1，3），∵PQ是圆的切线，AO是圆的弦，∴PQ2＝PA•PO，当k＜0时，Q点的在端点（﹣1，3）和（1，2k+3）之间运动，当P（0，4）时，PQ＝2，以P为圆心，PQ长为半径的圆与y轴交于点（0，4﹣2），此时k＝1﹣2，当P（0，3）时，PQ＝，Q（1，2k+3），∴1+4k2＝3，∴k＝，∴k＝﹣，∴1﹣2＜k≤﹣；当k＞0时，当P（0，4）时，PQ＝2，以P为圆心，PQ长为半径的圆与y轴交于点（0，4+2），此时k＝1+2，当P（0，3）时，PQ＝，Q（1，2k+3），∴1+4k2＝3，∴k＝，∴k＝，∴≤k＜1+2．。

2021-2022学年辽宁省朝阳市朝阳县九年级(上)期末数学试卷(附答案详解)

2021-2022学年辽宁省朝阳市朝阳县九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.如图图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2.下列方程中，是一元二次方程的是()A. ax2−x+2=0B. 3x−2=yC. 2x−x2=0D. 1x2−x+3=03.一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2−7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是()A. 12B. 9C. 13D. 12或94.在直角坐标系中，将点(−2,3)关于原点的对称点向左平移2个单位长度得到的点的坐标是()A. (4,−3)B. (−4,3)C. (0,−3)D. (0,3)5.下列事件中，是随机事件的是()A. 1标准大气压下水加热到100℃时就会沸腾B. 任意画一个三角形，都有一个内切圆C. 任意画一个三角形，其内角和是360°D. 任意写一个一元二次方程，都有两个解6.有三张正面分别写有数字−2，1，3的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为a的值，然后把这张放回去，再从三张卡片中随机抽一张，以其正面的数字作为b的值，则点(a,b)在第一象限的概率为()A. 16B. 13C. 12D. 497.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠BOD=∠BCD.则∠A的大小是()A. 120°B. 80°C. 100°D. 60°8.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，将△ABC绕点A逆时针方向旋转得△AEF，其中，E，F是点B，C旋转后的对应点，BE，CF相交于点D.若四边形ABDF为菱形，则∠CAE的大小是()A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°9.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，M为EF的中点，连接DM，若⊙O的半径为2，则MD的长度为()A. √7B. √5C. 2D. 110.一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx在同一坐标系中的图象大致为()A. B.C. D.二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）11.已知x=1是方程x2−nx+6=0的一个根，则√n2−1=______．12.若关于x的一元二次方程(m−1)x2−4x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为______．13.将抛物线y=2(x−3)2+m向右平移3个单位，再向上平移1个单位后恰好经过点(2,3)，则m值是______．14.为增强学生身体素质，某校开展篮球比赛，赛制为单循环形式(每两队之间赛一场).现计划安排36场比赛，应安排多少个球队参赛？设安排x个球队参赛，根据题意，可列方程为______．15.如图，从一块矩形铁片中间截去一个小矩形，使剩下部分四周的宽度都等于x，且小矩形的面积是原来矩形面积的一半，则x的值为______．16.若点A(−4,y1)、B(−3,y2)、C(1,y3)为二次函数y=−x2−4x+5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是______．17.如图，如果从半径为3cm的圆形纸片上剪下圆心角为120°的一个扇形，将其围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为______．18.如图，在矩形ABCD中，AB=10cm，AD=8cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P到达终点后，P、Q两点同时停止运动，则______秒时，△BPQ的面积是6cm2．19.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(20,0)，点B的坐标是(16,0)，点C、D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标为______．20.二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，下列说法：①abc>0；②x<0时，y随x的增大而增大；③ax2+bx+c=0的解为x1=−1，x₂=3；④a+b+c=0；⑤x<−1或x>3时，ax2+bx+c<0，其中正确的序号是______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）21.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(3,3)，B(4,0)，C(0,−1)．(1)以点C为旋转中心，把△ABC逆时针旋转90°，画出旋转后的△A′B′C；(2)在(1)的条件下，①点A经过的路径AA′的长度为______(结果保留π)；②点B′的坐标为______．22.如图，点A、B、C在半径为8的⊙O上，过点B作BD//AC，交OA延长线于点D.连接BC，且∠BCA=∠OAC=30°．(1)求证：BD是⊙O的切线；(2)求图中阴影部分的面积．23.将正面分别标有数字1，2，3，4，6，背面花色相同的五张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上，从中随机抽取两张．(1)写出所有机会均等的结果，并求抽出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率；(2)记抽得的两张卡片的数字为(a,b)，求点P(a,b)在直线y=x−2上的概率．24.今年某村农产品喜获丰收，该村村委会在网上直播销售优质农产品礼包，今年1月份销售该农产品礼包256包，2、3月该礼包十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到400包．(1)若设2、3两个月销售量的月平均增长率为x，求x的值；(2)若农产品礼包每包进价25元，原售价为每包40元，该村在今年4月进行降价促销，经调查发现，若该农产品礼包每包每降价1元，月销售量可增加5袋，当农产品礼包每包降价多少元时，这种农产品在4月份可获利4250元？25.如图，二次函数y=−x2+(k−1)x+3的图象与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，且OA=OB．(1)求该二次函数的解析式；(2)点C是二次函数图象上的一个动点，且位于第二象限．①若CA=CB，求点C的坐标；②试求△ABC面积的最大值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：左起第1个图形既是轴对称图形又是中心对称图形；第2个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；第3个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；第4个图形不是轴对称图形，是中心对称图形；第5个图形既是轴对称图形又是中心对称图形，所以既是轴对称图形又是中心对称图形的个数为2个．故选：B．根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2.【答案】C【解析】解：A.当a=0时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B.是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；C.是一元二次方程，故本选项符合题意；D.是分式方程，故本选项不符合题意；故选：C．根据一元二次方程的定义逐个判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．此题主要考查了一元二次方程定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查了等腰三角形性质、解一元二次方程、三角形三边关系定理的应用等知识，关键是求出三角形的三边长．求出方程的解，即可得出三角形的边长，再求出即可．【解答】解：x2−7x+10=0，(x−2)(x−5)=0，x−2=0，x−5=0，x1=2，x2=5，①等腰三角形的三边是2，2，5∵2+2<5，∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；②等腰三角形的三边是2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是2+5+ 5=12；即等腰三角形的周长是12．故选A．4.【答案】C【解析】解：在直角坐标系中，将点(−2,3)关于原点的对称点是(2,−3)，再向左平移2个单位长度得到的点的坐标是(0,−3)，故选：C．根据关于原点的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得关于原点的对称点，根据点的坐标向左平移减，可得答案．本题考查了点的坐标，关于原点的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数；点的坐标向左平移减，向右平移加，向上平移加，向下平移减．5.【答案】D【解析】解：A.1标准大气压下水加热到100℃时就会沸腾，是必然事件，因此选项A不符合题意；B.任意画一个三角形，都有一个内切圆，是必然事件，因此选项B不符合题意；C.任意画一个三角形，其内角和是360°，是不可能事件，因此选项C不符合题意；D.任意写一个一元二次方程，可能都有两个解，也可能没有无实数解，是随机事件，因此选项D符合题意；故选：D．根据随机事件，不可能事件、必然事件的意义，结合具体的问题情境进行判断即可．本题考查随机事件，理解随机事件、必然事件，不可能事件的意义是正确判断的前提．6.【答案】D【解析】解：用列表法表示(a,b)所有可能出现的结果如下：由树状图知，共有9种等可能结果，其中点(a,b)在第一象限的有4种结果，所以点(a,b)在第一象限的概率为4，9故选：D．根据题意列出图表，即可表示(a,b)所有可能出现的结果，从中找到点落在第一象限的结果数，继而根据概率公式求解可得．此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意画树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．7.【答案】D【解析】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BCD=180°，由圆周角定理得：∠BOD=2∠A，又∵∠BOD=∠BCD，∴∠BCD=2∠A，∴∠A+2∠A=180°，∴∠A=60°；故选：D．由圆内接四边形的性质得出∠A+∠BCD=180°，由圆周角定理得∠BOD=2∠A，由已知得∠BCD=2∠A，则∠A+2∠A=180°，即可得出∠A的度数．本题考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理；熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理是解题的关键．8.【答案】A【解析】解：∵ABDF是菱形∴AB//CF，AB=AF∴∠BAC=∠ACF=45°，AF=AC∴∠ACF=∠AFC=45°∴∠CAF=90°∵将△ABC绕点A逆时针方向旋转得△AEF∴∠EAF=∠BAC=45°∴∠EAC=∠CAF−∠EAF=45°故选：A．由题意可得AB//CF，可得∠ACF=45°，根据AB=AC=AF，可得∠AFC=45°即∠CAF=90°且∠EAF=45°则可求∠CAE的大小．本题考查了旋转的性质，菱形的性质，等腰三角形的性质，关键是灵活运用这些性质解决问题．9.【答案】A【解析】解：连接OM、OD、OF，如图所示：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，M为EF的中点，∴OM⊥OD，OM⊥EF，∠MFO=60°，∴∠MOD=∠OMF=90°，=√3，∴OM=OF⋅sin∠MFO=2×√32∴MD=√OM2+OD2=√(√3)2+22=√7；故选：A．连接OM、OD、OF，由正六边形的性质和已知条件得出OM⊥OD，OM⊥EF，∠MFO=60°，由三角函数求出OM，再由勾股定理求出MD即可．本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、三角函数、勾股定理；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出OM是解决问题的关键．10.【答案】A【解析】解：A、由二次函数y=ax2+bx的图象得a>0，b<0，则一次函数y=ax+b 经过第一、三、四象限，且它们的交点为(1,0)，所以A选项正确；B、由二次函数y=ax2+bx的图象得a>0，b>0，则一次函数y=ax+b经过第一、二、三象限，所以B选项错误；C、由二次函数y=ax2+bx的图象得a<0，b>0，则一次函数y=ax+b经过第一、二、四象限，所以C选项错误；D、由二次函数y=ax2+bx的图象得a<0，b<0，则一次函数y=ax+b经过第二、三、四象限，所以D选项错误．故选：A．对于每个选项，先根据二次函数的图象确定a和b的符号，然后根据一次函数的性质看一次函数图象的位置是否正确，若正确，说明它们可在同一坐标系内存在．本题考查了二次函数的图象：二次函数的图象为抛物线，可能利用列表、描点、连线画二次函数的图象．也考查了二次函数图象与系数的关系．11.【答案】4√3【解析】解：把x=1代入方程得：1−n+6=0，解得：n=7，当n=7时，原式=√72−1=√48=4√3．故答案为：4√3．把x=1代入方程计算求出n，进而求出原式的值即可．此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．12.【答案】m<5且m≠1【解析】【分析】本题主要考查根的判别式，掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．由一元二次方程根的情况，根据根的判别式可得到关于m的不等式，则可求得m的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程(m−1)x2−4x+1=0有两个不相等的实数根，∴△>0且m−1≠0，即(−4)2−4(m−1)>0且m≠1，解得m<5且m≠1，故答案为：m<5且m≠1．13.【答案】−30【解析】解：抛物线y=2(x−3)2+m向右平移3个单位，再向上平移1个单位后解析式为y=2(x−3−3)2+m+1=2(x−6)2+m+1，把(2,3)代入y=2(x−6)2+m+1得：2×(2−6)2+m+1=3，∴m=−30，故答案为：−30．根据“左加右减，上加下减”的平移规律，可得抛物线y=2(x−3)2+m平移后解析式为y=2(x−6)2+m+1，再用待定系数法可得答案．本题考查二次函数图象的平移，涉及待定系数法，解题的关键是掌握抛物线平移的规律：“左加右减，上加下减”．x(x−1)=3614.【答案】12x(x−1)=36．【解析】解：依题意得：12x(x−1)=36．故答案为：12利用比赛的总场次数=参赛队伍数×(参赛队伍数−1)÷2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．15.【答案】10【解析】解：因为小长方形的长为(80−2x)cm，宽为(60−2x)cm，则其面积为(80−2x)(60−2x)cm2×80×60根据题意得：(80−2x)(60−2x)=12整理得：x2−70x+600=0解之得：x1=10，x2=60因x=60不合题意，应舍去所以x=10．故答案是：10．本题中小长方形的长为(80−2x)cm，宽为(60−2x)cm，根据“小长方形的面积是原来×80×60，解方程从而求解．长方形面积的一半”可列出方程(80−2x)(60−2x)=12考查了一元二次方程的应用，此题解答时应结合草图，分析出小长方形的长与宽，利用一元二次方程求解，另外应判断解出的解是否符合题意，进而确定取舍．16.【答案】y2>y1>y3【解析】解：把A(−4,y1)代入y=−x2−4x+5得y1=−16+16+5=5，把B(−3,y2)代入y=−x2−4x+5得y2=−9+12+5=8，把C(1,y3)代入y=−x2−4x+5得y3=−1−4+5=0，∴y2>y1>y3．故答案为：y2>y1>y3；分别将A(−4,y1)、B(−3,y2)、C(1,y3)代入解析式求解．本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．17.【答案】2√2cm【解析】解：如图，AB=3cm，=2π，圆心角为120°的扇形的弧长=120π×3180所以2π⋅OB=2π，解得OB=1，所以OA=√AB2−OB2=2√2(cm)．故答案为：2√2cm．先根据弧长公式计算出扇形的弧长，即得到圆锥的底面圆的周长，再根据圆的周长公式计算出底面圆的半径，然后根据勾股定理计算圆锥的高．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．18.【答案】2或3【解析】解：设运动时间为t秒，则PB=(10−2t)cm，BQ=t cm，(10−2t)t=6，依题意得：12整理得：t2−5t+6=0，解得：t1=2，t2=3．∴2或3秒时，△BPQ的面积是6cm2．故答案为：2或3．设运动时间为t秒，则PB=(10−2t)cm，BQ=tcm，利用三角形的面积计算公式，结合△BPQ的面积是6cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．19.【答案】(2,6)【解析】【分析】本题考查了勾股定理以及平行四边形的性质，．CD=8，过点C作CE⊥OA于点E，从而得出OE的过点M作MF⊥CD于点F，则CF=12长，由勾股定理可求得MF的长，然后写出点C的坐标．【解答】解：∵四边形OCDB是平行四边形，B(16,0)，∴CD//OA，CD=OB=16，过点M作MF⊥CD于点F，CD=8，则CF=12过点C作CE⊥OA于点E，∵A(20,0)，∴OE=OM−ME=OM−CF=10−8=2．OA=10，连接MC，则MC=12∴在Rt△CMF中，由勾股定理得MF=√MC2−CF2=6，∴点C的坐标为(2,6)故答案为：(2,6)．20.【答案】②③⑤【解析】解：∵抛物线开口向下，∴a<0，=1，∵抛物线对称轴为直线x=−b2a∴b=−2a>0，∵抛物线与y轴交点坐标为(0,3)，∴c=3，∴abc<0，①错误．由图象可得当x<1时，y随x增大而增大，∴当x<0时，y随x增大而增大，∴②正确．∵抛物线经过点(−1,0)，抛物线对称轴为直线x=1，∴抛物线经过点(3,0)，∴ax2+bx+c=0的解为x1=−1，x₂=3，③正确．由图象可得当x=1时，y=a+b+c>0，∴④错误．∵抛物线与x轴交点坐标为(−1,0)，(3,0)，抛物线开口向下，∴当x<−1或x>3时，y<0，∴⑤正确．故答案为：②③⑤．由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点可判断①，由图象开口方向及对称轴可判断②，由抛物线经过(−1,0)，抛物线对称轴为直线x=1可得抛物线与x轴另一交点坐标，从而判断③，由x=1时y>0可判断④，根据抛物线与x轴交点及抛物线开口方向可判断⑤．本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．21.【答案】(1)如图所示，△A′B′C即为所求；(2)①52π②(−1,3)【解析】解：(1)见答案；(2)①∵AC=√32+42=5，∠ACA′=90°，∴点A经过的路径的长为90×π×5180=52π，故答案为：52π；②由图知点B′的坐标为(−1,3)，故答案为：(−1,3)．【分析】(1)根据旋转的定义作出点A、B绕点C逆时针旋转90°得到的对应点，再顺次连接可得；(2)①根据弧长公式列式计算即可；②根据(1)中所作图形可得点B′的坐标．本题主要考查作图−旋转变换，解题的关键是根据旋转角度、旋转方向、旋转中心作出对应点．22.【答案】(1)证明：连接OB，交CA于E，∵∠BCA=30°，∠BCA=12∠BOA，∴∠BOA=60°，∵∠BCA=∠OAC=30°，∴∠AEO=90°，即OB⊥AC，∵BD//AC，∴∠DBO=∠AEO=90°，∴BD是⊙O的切线；(2)解：∵AC//BD，∠AEO=90°，∴∠D=∠CAO=30°，∠AOE=60°，∵∠OBD=90°，OB=8，∴BD=√3OB=8√3，∴S阴影=S△BDO−S扇形AOB=12×8×8√3−60°⋅π×82360°=32√3−32π3．【解析】本题考查了平行线的性质，圆周角定理，扇形的面积，三角形的面积，解直角三角形等知识点的综合运用，题目比较好，难度适中．(1)连接OB，根据圆周角定理求出∠BOA，根据三角形内角和定理求出∠AEO，根据平行的性质与切线的判定推出即可；(2)根据平行线的性质得到∠D=30°，解直角三角形求出BD，分别求出△BOD的面积和扇形AOB的面积，即可得出答案．23.【答案】解：(1)列表得：∵共有20种等可能的结果，抽出的两张卡片上的数字之和为偶数的有8种情况．故所求概率为P1=820=25；(2)抽得的两个数字分别作为点P横、纵坐标共有20种机会均等的结果，在直线y=x−2上的只有(3,1)，(4,2)，(6,4)三种情况，故所求概率P1=320．【解析】用列表法列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可．此题为一次函数与概率的综合，考查的是用列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．在一次函数上的点的横纵坐标适合函数解析式．24.【答案】解：(1)依题意得：256(1+x)2=400，解得：x1=0.25=25%，x2=−2.25(不合题意，舍去)．答：x的值为25%．(2)设农产品礼包每包降价m元，则每包的销售利润为(40−m−25)元，月销售量为(400+5m)包，依题意得：(40−m−25)(400+5m)=4250，整理得：m2+65m−350=0，解得：m1=5，m2=−70(不合题意，舍去)．答：当农产品礼包每包降价5元时，这种农产品在4月份可获利4250元．【解析】(1)利用3月份的销售量=1月份的销售量×(1+月平均增长率)2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出x的值；(2)设农产品礼包每包降价m元，则每包的销售利润为(40−m−25)元，月销售量为(400+5m)包，利用总利润=每包的销售利润×月销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．25.【答案】解：(1)令x =0，则y =3，∴B(0,3)，∵OA =OB ，∴A(−3,0)，将A 点代入y =−x 2+(k −1)x +3，∴−9−3(k −1)+3=0，∴k =3，∴y =−x 2−2x +3；(2)①设点C 坐标(x,−x 2−2x +3)，∵OA =OB ，CA =CB ，∴直线CO 是线段AB 的垂直平分线，可求CO 的表达式为：y =−x ，令−x =−x 2−2x +3，解得：x =−1±√132， ∵点C 在第二象限， ∴x =−1+√132，∴点C 坐标为(−1+√132,1+√132)； ②过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，交AB 于点E ，过点B 作BF ⊥CD 于点F ，设直线AB 的表达式为y =k 1x +b ，把点A(−3,0)、B(0,3)代入y =k 1x +b ，得， {−3k 1+b =0b =3，解得{k 1=1b =3， ∴直线AB 的表达式为y =x +3，设点E 的坐标为 (x,x +3)，点C 坐标为(x,−x 2−2x +3)，∴S =S △ACE +S △BCE =12CE(AD +BF)=12(−x 2−2x +3−x −3)×3=−32(x +32)2+278，∴当x =−32时，S 最大=278．【解析】(1)求出A点坐标，再将A点坐标代入函数解析式即可求解；(2)①设点C坐标(x,−x2−2x+3)，先求CO的表达式为y=−x，令−x=−x2−2x+3，解出x即可求C点坐标；②过点C作CD⊥x轴于点D，交AB于点E，过点B作BF⊥CD于点F，先求直线AB的表达式为y=x+3，设点E的坐标为(x,x+3)，点C坐标为(x,−x2−2x+3)，则S=S△ACE+S△BCE=−32(x+32)2+278，所以当x=−32时，S最大=278．本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用铅锤法求三角形面积是解题的关键．。

2020-2021学年北京市朝阳区九年级(上)期末数学试卷(含答案解析)

2020-2021学年北京市朝阳区九年级(上)期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.下列图形中：①线段，②角，③等腰三角形，④有一个角是30°的直角三角形，其中一定是轴对称图形的个数()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2.若|a+b−5|+(a−2b+4)2=0，则(a−b)2017的值等于()A. −1B. 1C. −22017D. 220173.某油箱容量为50L的汽车，加满汽油后开了200km时，油箱中的汽油大约消耗了四分之一，如果加满汽油后汽车行驶的路程为x km，油箱中的剩油量为y L，则y与x之间的函数解析式和自变量取值范围分别是()A. y=0.0625x，x>0B. y=50−0.0625x，x>0C. y=0.0625x，0≤x≤800D. y=50−0.0625x，0≤x≤8004.刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积.如图，若用圆的内接正十二边形的面积S1来近似估计⊙O的面积S，设⊙O的半径为1，则S−S1的值为()(π≈3.14)A. 0B. 0.14C. 0.5D. 15.一元二次方程x2−(3a+1)x−a=0有两个相等实根，则a为()A. −1B. 19C. a=−1，a=−19D. a=1，a=196.A、B、C、D、E、F、G、H为⊙O上的八个等分点，任取三点能组成直角三角形的概率是()A. 34B. 47C. 37D. 277.若一个直角三角形的两边长为12、13，则第三边长为()A. 5B. 17C. 5或17D. 5或√313x−1上，则y1，y2的大小关系是()8.已知点A(−3,y1)和B(−2,y2)都在直线y=−12A. y1>y2B. y1<y2C. y1=y2D. 大小不确定二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9.如图，PB是半径为5的圆O的一条割线，PA，PB的长是方程x2−10x+16=0的两个根(PA<PB)，PC是圆O的一条切线，C是切点．则四边形PAOC的面积是______ ．10.如图，一个边长为3、4、5厘米的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点B重合，另两个顶点分别在正方形的两条边AD、DC上，那么这个正方形的面积是______厘米 2．11.方程x2−4=|2x+1|的解是______ ．12.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=40°，点D在边AB上，将△BCD沿CD折叠，点B落在点B′处．若B′D//AC，则∠BDC=______13.将抛物线y=(x+m)2−1向右平移2个单位长度后，对称轴是y轴，那么m的值是______．14.如，在一块长为22米、宽为17米的矩形地上，修建同宽的两互相垂直的道(两条各矩形的一边平行)，剩余部分种草坪使草面积30方米．若设道宽为x，则根据意可列方程为______ ．15.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC+BC=16，点O是斜边AB上一点，以O为圆心的⊙O分别与AC，BC相切于点D，E．(1)当AC=2时，求⊙O的半径；(2)设AC=x，⊙O的半径为y，求y与x的函数关系式是______ ．16.已知一次函数y=kx+b，k从2，−3中随机取一个值，b从1，−1，−2中随机取一个值，则该一次函数的图象经过二、三、四象限的概率为．三、解答题（本大题共9小题，共52.0分）17.解方程：2x(x+1)=x+118.图①、图②均是6×6的正方形网格每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A在格点上试在网格中画出顶点在格点上，面积为6，且符合相应条件的图形(1)在图①中，画出一个以点A为顶点的非特殊的平行四边形；(2)在图②中，画出一个以点A为对角线交点的非特殊的平行四边形．19.如图1，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC//弦AD(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)如图2，连AC交BD于E.若AE=CE，求tan∠ACB的值．20.某次模拟考试后，抽取m名学生的数学成绩进行整理分组，形成如下表格(x代表成绩)，并绘制出扇形统计图和频数分布直方图(横坐标表示成绩，单位：分)．A组140<x≤150B组130<x≤140C组120<x≤130D组110<x≤120E组100<x≤110(1)m的值为______，扇形统计图中D组对应的圆心角是______°.(2)请补全频数分布直方图，并标注出相应的人数．(3)若此次考试数学成绩130分以上的为优秀，参加此次模拟考的学生总数为2000，请估算此次考试数学成绩优秀的学生人数．21. 如图，AB为圆O的直径，C是圆O上一点，D是圆外一点，OD交圆O于点E，交AC于点F，F是AC的中点，BE交AC于点G，连接CE，且∠CAD=2∠C．(1)求证：AD为圆O的切线；(2)若EG=6，tanC=1，求直径AB的长．222. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(−1,0)，B(3,0)，C(0,3)两点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)设该二次函数与y轴交于点C，连接AC，BC，求△ABC的面积．23. 已知如图：在等边△ABC中，AB=6cm，AD⊥BC于点D动点F从点B出发，沿BC方向以1cm/s的速度向点D运动，同时，动点P也从点B出发，沿BA方向以3cm/s的速度向点A运动，过点P作PE//BC与边AC交于点E与AD交于点G连结EDPF，设运动时间为t(s)(0<t<2)．(1)当t为何值时，四边形PEDF为平行四边形？(2)设四边形PEDF面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；(3)连结PD、E，当t为何值时，PD⊥EF？24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一条抛物线经过A，O，B三点，点B在x轴的正半轴上，且OA=OB=4，∠AOB=120°.求这条抛物线的解析式．25. 已知：AB、CD为⊙O的直径，弦BE交CD于点F，连接DE交AB于点G，GO=GD．(1)如图1，求证：DE=DF；(2)如图2，作弦AK//DC，AK交BE于点N，连接CK，求证：四边形KNFC为平行四边形；(3)如图3，作弦CH，连接DH、AE，∠CDH=3∠EDH，CH=2√11，AE=3，求BE的长．参考答案及解析1.答案：C解析：解：①线段，是轴对称图形；②角，是轴对称图形；③等腰三角形，是轴对称图形；④有一个角是30°的直角三角形，不是轴对称图形．故选：C ．利用轴对称图形的定义，分别分析得出答案．此题主要考查了轴对称图形，正确理解轴对称图形的定义是解题关键．2.答案：A解析：解：∵|a +b −5|+(a −2b +4)2=0，∴{a +b −5=0 ①a −2b +4=0 ②， ①−②，可得：3b =9，解得b =3，把b =3代入①，解得a =2，∴原方程组的解是{a =2b =3， ∴(a −b)2017=(2−3)2017=−1．故选：A ．根据|a +b −5|+(a −2b +4)2=0，可得：{a +b −5=0 ①a −2b +4=0 ②，据此求出a 、b 的值各是多少，即可求出(a −b)2017的值等于多少．此题主要考查了解二元一次方程组的方法，以及绝对值、偶次方的非负性质的应用，要熟练掌握，注意代入法和加减法的应用．3.答案：D解析：解：由题意可得，y =50−50×14200x =50−0.0625x ，当y =0时，0=50−0.0625x ，解得x =800，即y 与x 之间的函数解析式是y =50−0.0625x(0≤x ≤800)，故选：D ．根据加满汽油后开了200km时，油箱中的汽油大约消耗了四分之一，可以计算出每千米的耗油量，然后即可写出y与x之间的函数解析式，再令y=0求出相应的x的值，即可得到x的取值范围．本题考查函数关系式，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式和自变量的取值范围．4.答案：B解析：解：∵⊙O的半径为1，∴⊙O的面积S=π，∴圆的内接正十二边形的中心角为360°12=30°，∴过A作AC⊥OB，如图所示：∴AC=：12OA=12，∴圆的内接正十二边形的面积S1=12×12×1×12=3，∴S−S1=π−3≈0.14，故选：B．根据圆的面积公式得到⊙O的面积S=π，求得圆的内接正十二边形的面积S1=3，即可得到结论．本题考查了正多边形与圆，正确的求出正十二边形的面积是解题的关键．5.答案：C解析：解：∵一元二次方程x2−(3a+1)x−a=0有两个相等实根，∴△=[−(3a+1)]2−4×1×(−a)=0，解得：a=−1或−19，故选：C．根据根的判别式得出△=[−(3a+1)]2−4×1×(−a)=0，求出方程的解即可．本题考查了根的判别式和解一元二次方程，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．6.答案：C解析：解：根据圆上的八个点如图，那么只要有两点过圆心，则一定有直角存在，∴任取三点能构成直角三角形的概率是2456=37．故选：C．首先确定构成的直角三角形在所有三角形中占的比例，根据这个比例即可求出能构成直角三角形的概率．本题考查了本题主要考查了随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn，难度适中．7.答案：D解析：解：当12，13为两条直角边时，第三边=√122+132=√313，当13，12分别是斜边和一直角边时，第三边=√132−122=5．故选：D．本题考查了勾股定理的知识，题目中渗透着分类讨论的数学思想．根据告诉的两边长，利用勾股定理求出第三边即可．注意13，12可能是两条直角边也可能是一斜边和一直角边，所以得分两种情况讨论．8.答案：A解析：先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据−3<−2即可得出结论．解：∵一次函数y=−12x−1中，k=−12<0，∴y随x的增大而减小，∵−3<−2，∴y1>y2．故选A．9.答案：14解析：解：连接PO，过点O作OD⊥AB于点D，∵x2−10x+16=(x−2)(x−8)=0，∴x=2或8，∵PA，PB的长是方程x2−10x+16=0的两个根(PA<PB)，∴PA=2，PB=8，∵PB是半径为5的圆O的一条割线，PC是圆O的一条切线，∴PC2=PA⋅PB，∴PC=4，∴S△PCO=12PC⋅OC=10，∵AB=6，∴AD=3，∴OD=4，∴S△PAO=12PA⋅OD=4，∴四边形PAOC的面积=4+10=14，故答案为：14．连接PO，过点O作OD⊥AB于点D，分别求出△PCO和△AOP的面积，即可得到则四边形PAOC的面积．本题考查了切线的性质、用因式分解法解一元二次方程、切割线定理的运用、勾股定理的运用以及三角形面积公式的运用，正确的添加辅助线把四边形的面积分割为两个三角形的面积是解题关键．10.答案：25617解析：解：设BC=a，则CE=√16−a2，∵∠BEC+∠EBC=90°，∠BEC+∠DEF=90°，∴∠DEF=∠CBE，又∵∠BCE=∠EDF=90°，∴△BCE∽△EDF，得DE=34a，又DE+EC=DC，即34a+√16−a2=a，解得a2=25617．故答案为：25617．设BC=a，根据勾股定理可以求得CE的长，易证△BCE∽△EDF得DE=34a，再根据DE+EC=DC 即可求得a的值，即可求得正方形的面积，即可解题．本题考查了相似三角形的证明和相似三角形对应边比值相等的性质，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据DE+EC=DC求a的值是解题的关键．11.答案：x=1+√6或x=−3解析：解：分两种情况：①x>−12时，原方程可变形为：x2−2x−5=0，∴x1=1+√6，x2=1−√6(舍去)；②x≤−12时，原方程变形为：x2+2x−3=0，即(x+3)(x−1)=0，∴x1=−3，x2=1(舍去)．因此本题的解为x=1+√6或x=−3．故答案为x=1+√6或x=−3．分两种情况：①x>−12；②x≤−12.先化为一般形式，再根据方程的特点选用合适的方法求解即可．本题考查了一元二次方程的解法和绝对值的性质．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是公式法与因式分解法．12.答案：115°解析：解：由折叠可得∠B′=∠B=40°，∵B′D//AC，∴∠ACB′=∠B′=40°，又∵∠ACB=90°，∴∠BCB′=50°，由折叠可得，∠BCD=12∠BCB′=25°，∴△BCD中，∠BDC=180°−40°−25°=115°．故答案为：115°．依据折叠的性质以及平行线的性质，即可得到∠BCD的度数，再根据三角形内角和定理，即可得出结论．本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．13.答案：2解析：解：将抛物线y=(x+m)2−1向右平移2个单位长度后，得到抛物线解析式为y=(x+m−2)2−1，其对称轴为：x=2−m=0，解得m=2．故答案是：2．根据平移规律“左加右减，上加下减”填空．主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．14.答案：(22−x)(17−x)=300解析：此题要考查了由实实问题抽象出一元二次程，中间建的两条道别移到矩地面的最上边和最左边是做本题的关键．把修的两条道路分别平移到矩的最上边和，则剩草坪是个长方形，据长方形的面积公式列方．解：设道的宽应为x 米，由题意得：(22−x)(17−x)=300，故答案为(22−x)(17−x)=300．15.答案：y =−116x 2+x(0<x <16) 解析：解：(1)连接OE ，OD ，在△ABC 中，∠C =90°，AC +BC =16，∵AC =2，∴BC =14，∵以O 为圆心的⊙O 分别与AC ，BC 相切于点D ，E ，∴∠ODC =∠OEC =90°，∵∠C =90°，OD =OE ，∴四边形OECD 是正方形，∴DC =OD ，∵OD//BC ，∴△ADO∽△ACB ，∴AD AC =OD BC ，即2−OD 2=OD14，解得，OD =74，即⊙O 的半径为74；(2)∵AC +BC =16，AC =x ，∴BC =16−x ，由(1)可知，AD AC =OD BC ，即x−yx =y16−x ，整理得，y =−116x 2+x(0<x <16)，故答案为：y =−116x 2+x(0<x <16)．(1)连接OE，OD，根据切线的性质、正方形的判定定理得到四边形OECD是正方形，进而得到DC=OD，证明△ADO∽△ACB，根据相似三角形的性质列式计算即可；(2)根据相似三角形的性质列出比例式，把含x、y的式子代入，化简即可．本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质、函数关系式的确定，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．16.答案：解析：本题主要考查一次函数的性质以及树状图法求概率.熟练地应用一次函数知识得出k，b的符号是解决问题的关键.根据已知画出树状图，再利用一次函数的性质该一次函数的图象经过二、三、四象限时，k<0，b<0，即可得出答案．解：∵k从2，−3中随机取一个值，b从1，−1，−2中随机取一个值，∴可以画出树状图：∴该一次函数的图象经过二、三、四象限时，k<0，b<0，∴当k=−3，b=−1时符合要求，∴当k=−3，b=−2时符合要求，∴该一次函数的图象经过二、三、四象限的概率为：．故答案为．17.答案：解：2x(x+1)−(x+1)=0，(x+1)(2x−1)=0，x+1=0或2x−1=0，所以x1=−1，x2=1．2解析：先移项得到2x(x+1)−(x+1)=0，然后利用因式分解法解方程．本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．18.答案：解：(1)如图，平行四边形ABCD即为所求．(2)如图，平行四边形EFGH即为所求．解析：(1)画出底为3，高为2的平行四边形ABCD即可．(2)利用数形结合的思想解决问题即可．本题考查作图−应用与设计，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会题数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．19.答案：(1)证明：如图1中，连接BD、OD，BD与OC交于点E．∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BD，∵AD//OC，∴OC⊥BD，ED=BE，∵OD=OB，∴∠DOC=∠BOC，∵BC是⊙O切线，∴OB⊥BC，∴∠OBC=90°，在△OCD和△OCB中，{OD=OB∠DOC=∠BOC OC=OC，∴△OCD≌△OCB，∴∠ODC=∠OBC=90°，∴OD⊥CD，∴CD是⊙O切线．(2)如图2中，连接OC交BD于点M，连接OE，∵AO=OB，AE=EC，∴OE//BC，∴OE=12BC，∠AEO=∠ACB，∴OEBC =EMBM=12，设EM=a，BM=2a，∠AOE=∠ABC=90°，∵∠OEM=∠OEB，∠OME=∠EOB=90°，∴△EOM∽△EBO，∴EO2=EM⋅EB=a⋅3a，∴EO=√3a，同理BO2=BM⋅BE=6a2，∴BO=AO=√6a，∵∠AEO=∠ACB，∴tan∠ACB=tan∠AEO=AOOE =√6a√3a=√2．解析：本题考查切线的性质和判定、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，学会添加常用辅助线．(1)欲证明CD是⊙O的切线，只要证明∠ODC=90°，只要证明△OCD≌△OCB即可．(2)如图2中，连接OC交BD于点M，连接OE，设EM=a，BM=2a，利用△EOM∽△EBO，得EO2= EM⋅EB，求出EO、OB即可解决问题．20.答案：解：(1)50，72；(2)C组人数为50×30%=15人，E组人数为50−(10+15+16+4)=5(人)，补全图形如下：=800(人).(3)估算此次考试数学成绩优秀的学生人数为2000×16+450解析：本题考查的是频数分布直方图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．频数分布直方图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．(1)由A组人数及其所占百分比可得总人数m的值，用360°乘以D组人数占总人数的比例即可得；(2)总人数乘以C组的百分比求得其人数，再由各组人数之和等于总人数求得E组的人数即可补全图形；(3)用样本估计总体的思想解决问题；=72°，解：(1)m=4÷8%=50(人)，扇形统计图中D组对应的圆心角是360°×1050故答案为：50，72；(2)见答案；(3)见答案．21.答案：(1)证明：∵F是AC的中点，∴OF⊥AC，∴AE⏜=CE⏜，∴∠C=∠B，∵OB=OE，∴∠B=∠OEB，∴∠AOE=∠OEB+∠B=2∠B，∵∠CAD=2∠C．∴∠CAD=∠AOE，∵∠OAF+∠AOF=90°，∴∠CAD+∠OAF=90°，即∠OAD=90°，∴OA⊥AD，∴AD为圆O的切线；(2)解：连接AE，如图，∵AE⏜=CE⏜，∴∠C=∠CAE=∠B，∵AB为直径，∴∠AEB=90°，在Rt△AEG中，tan∠GAE=EGAE =tanC=12，∴EG=2EG=2×6=12，在Rt△ABE中，tan∠B=AEBE =12，∴BE=2AE=24，∴AB=√122+242=12√5，解析：(1)利用垂径定理得到OF⊥AC，AE⏜=CE⏜，根据圆周角定理得到∠C=∠B，再证明∠CAD=∠AOE，从而得到∠CAD+∠OAF=90°，则OA⊥AD，则根据切线的判定得到结论；(2)连接AE，如图，利用圆周角得到∠C=∠CAE=∠B，∠AEB=90°，先在Rt△AEG中利用正切的定义求出EG=12，再在Rt△ABE中求出BE，然后利用勾股定理计算AB的长．本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了切线的判定、圆周角定理和垂径定理．22.答案：解：(1)∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(−1,0)，B(3,0)，C(0,3)三点，∴{a−b+c=09a+3b+c=0 c=3，解得{a=−1 b=2c=3，∴这个二次函数的解析式为y=−x2+2x+3；(2)∵A(−1,0)，B(3,0)，∴AB=4，∵C(0,3)，∴△ABC的面积=12×4×3=6．解析：此题考查了待定系数法求二次函数解析式，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．(1)将A(−1,0)，B(3,0)，C(0,3)三点的坐标分别代入y=ax2+bx+c，然后解方程组即可解决；(2)根据三角形的面积公式即可求解．23.答案：解：(1)由题意得：PB=3t，BF=t，则AP=6−3t，∵四边形PEDF是平行四边形，∴PE//DF，PE=DF，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，∴∠APE=∠AEP=60°，∴△APE是等边三角形，∴PE=AP=6−3t，∵AD⊥BC，∴BD=12×6=3，∴DF=3−t，∴3−t=6−3t，2t=3，t =32； (2)如图1，过P 作PH ⊥BC 于H ， ∵AB =6，BD =3， ∴AD =3√3， ∵∠B =60°， ∴sin60°=PH PB ， ∴PH =√32×3t =3√3t2，∴S =S △ABC −S △APE −S △PBF −S △EDC ，=12×6×3√3−12(6−3t)√32(6−3t)−12t ⋅3√3t2−12×3×3√3t2，=9√3−√34(6−3t)2−3√3t 24−9√3t4，=−3√3t 2+27√34t ；S =−3√3t 2+27√34t =−3√3(t −98)2+243√364；∵−3√3<0，∴当t =98时，S 有最大值243√364；(3)如图2，由(1)得：EH =3√32t ，∵PD ⊥EF ，∴∠FOD =90°，∴∠OFD +∠ODF =90°，∵∠ODF +∠PDG =90°，∴∠PDG =∠OFD ，∴tan∠PDG =tan∠OFD =EH FH =PGDG ，∴3√3t 26−t−32t =6−3t23√3t 2，∴2t 2+11t −12=0，解得：t 1=−11+√2174，t 2=−11−√2174(舍)．则当t =−11+√2174时，PD ⊥EF ．解析：(1)根据四边形PEDF为平行四边形得：PE=DF，列式可得结论；(2)根据面积差可得y与t之间的函数关系式；根据二次函数的关系式，配方后可得结论；(3)证明∠PDG=∠OFC，利用等角的三角函数列式：tan∠PDG=tan∠OFD=EHFH =PGDG，得一元二次方程，解出可得结论．本题是三角形和四边形的综合题，主要考查了等边三角形、直角三角形的性质，四边形的面积，三角函数，二次函数的最值问题，一元二次方程等知识点，有难度，熟练掌握各知识点是关键，并注意利用三角函数列比等式可得方程来解决问题．24.答案：解：过点A作AC⊥x轴于点C，如图，B(4,0)，∵∠AOB=120°，∴∠AOC=60°，∴∠OAC=30°，∵OA=OB=4，∴OC=2，AC=2√3，∴A(−2,2√3)，而B(4,0)，设抛物线解析式为y=ax(x−4)，把A(−2,2√3)代入得−2a·(−2−4)=2√3，解得a=√36，∴抛物线解析式为y=√36x(x−4)，即y=√36x2−2√33x.解析：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．过点A作AC⊥x轴于点C，如图，B(4,0)，易得∠OAC=30°，则可计算出OC=2，AC=2√3，从而得到A(−2,2√3)，再设交点式设抛物线解析式为y=ax(x−4)，然后把A点坐标代入求出a即可．25.答案：解：(1)如图1，设∠D=α，∠GOD=α则∠COB=α∵CO=OB∴∠OBC=∠OCB=90°−1 2α∵∠EDC=∠EBC=α∴在△BFC中∠CFB=90°−1 2α∴∠E=∠FCB=∠EFD=∠CFB∴DE=DF(2)如图2，连接KD、KB设∠E=α∵DE=DF∴∠EFD=α，∠D=180°−2α∵GD=GO∴∠AOD=180°−2α∴∠DOB=2α∴∠AKD=90°−α，∠BKC=90°−α，∠DKB=α∴∠NKC=180°−α∵∠KNF=∠ENA=α∴KC//NF∵NK//CF ∴四边形NKCF是平行四边形(3)如图3，作CM⊥HO，垂足为M设半径为r，∠EDH=α则∠HDC=3α∴∠HOC=6α，∠EOH=2α，∠COB=∠GOD=4α∴∠EOB=12α∴∠EAB=6α∴△AEB∽△MOC∴AEAB=MOOC∴MO=3 2在Rt△HMC和Rt△MOC中HC2−HM2=OC2−OM2∴(2√11)2−(r−32)2=r2−(32)2解得r1=−4，r2=112在Rt△AEB中BE2=AB2−AE2∴BE=4√7解析：(1)设角度为参数，用参数标识角，利用圆周角和圆心角的关系，推导∠E=∠EFD；(2)通过两组对边平行来证明平行四边形，已知NK//CF，只需证明KC//NF，通过设置参数标识角度，利用圆心角和圆周角的关系，标识∠AKC和∠KNF，获得互补关系，从而证明四边形KNFC为平行四边形．(3)同(2)问相同，设置角参数，从而得到∠HOC=∠EAB，证明两角所在三角形的相似关系，在△HOC 中，用两次勾股定理建立方程，求出BE长．本题考查了圆的基本性质，重点考查了圆心角和圆周角的关系，难点在于需要设置角度参数，标识各个圆周角和圆心角，从而发现隐藏的角关系，获得平行结论和相似结论，求出线段长，本题计算难度不大，关键在于分析和探究图形内部的边角关系，需要学生有一个较好的分析问题的习惯，是一道很好的证明问题．。

北京市朝阳区九年级上期末考试数学试题含答案解析

北京市朝阳区九年级上学期期末考试数学试题（含解析）满分:班级：_________ 姓名：_________ 考号：_________一、单选题（共10小题）1．下列交通标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．考点：中心对称与中心对称图形轴对称与轴对称图形答案：A试题解析：A，是轴对称图形，也是中心对称图形B，是轴对称图形，不是中心对称图形C，是轴对称图形，不是中心对称图形D，不是轴对称图形，也不是中心对称图形选A2．下列事件为必然事件的是（）A．任意掷一枚均匀的硬币，正面朝上B．篮球运动员投篮，投进篮筐C．一个星期有七天D．打开电视机，正在播放新闻考点：事件的分类答案：C试题解析：必然事件的意思是肯定发生的事情，那么下列事件中是必然事件的是一个星期有七天，选C3．在平面直角坐标系中，点B的坐标为（3，1），则点B关于原点的对称点的坐标为（）A．（3，－1）B．（－3，1）C．（－1，－3）D．（－3，－1）考点：轴对称与轴对称图形答案：D试题解析：关于原点对称的点，横坐标和纵坐标都是互为相反数，所有选D4．如图，AC与BD相交于点E，AD∥BC．若AE=2，CE=3，AD=3，则BC的长度是（）A．2B．3C．4.5D．6考点：相似三角形的应用答案：C试题解析：∵AD//BC∴AD//BC∴△ADE～△BCE∴AE:CE=AD:BC∴BC=4.55．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，则sinA的值是（）B．C．D．A．考点：锐角三角函数答案：C试题解析：sinA=BC:AB=6．如图，反比例函数的图象上有一点A，过点A作AB⊥x轴于B，则是（）B．1C．2D．4A．考点：反比例函数与几何综合答案：B试题解析：=×BO×AB=17．如图，在⊙O中，∠BOC=100°，则∠A等于（）B．50°C．40°D．25°A．100°考点：弦、弧、圆心角的关系答案：B试题解析：∵∠BOC=100°∴∠BAC=50°选B8．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A’OB’，若∠AOB=15°，则∠AOB’的度数是（）B．30°C．35°D．40°A．25°考点：图形的旋转答案：B试题解析：∵∠AOB=15°∴∠A’OB’=15°又∵AOA’=45°∴∠AOB’=30°选B9．如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①∠AED=∠B，②∠ADE=∠C，③，④，⑤，使△ADE与△ACB一定相似的有（）B．②④⑤A．①②④C．①②③④D．①②③⑤考点：相似三角形判定及性质答案：A试题解析：根据AAS，两个角相等，一组对应边成比例，所以当有条件①②④时，△ADE 与△ACB一定相似.10．小阳在如图①所示的扇形舞台上沿O-M-N匀速行走，他从点O出发，沿箭头所示的方向经过点M再走到点N，共用时70秒．有一台摄像机选择了一个固定的位置记录了小阳的走路过程，设小阳走路的时间为t（单位：秒），他与摄像机的距离为y（单位：米），表示y与t的函数关系的图象大致如图②，则这个固定位置可能是图①中的（）B．点P C．点M D．点NA．点Q考点：函数的表示方法及其图像答案：B试题解析：根据图像，y与t的关系是先变小，然后又变大，并且在中间一段时间到达一个抛物线的最低点，所以这个点是P点，选B第II卷（非选择题）本试卷第二部分共有19道试题。

2020-2021学年北京市朝阳区初三数学第一学期期末试卷及解析

2020-2021学年北京市朝阳区初三数学第一学期期末试卷一.选择题（本题共24分每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

1．（3分）下列自然能源图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．2．（3分）用配方法解方程23620x x -+=，将方程变为21()3x m -=的形式，则m 的值为( )A ．9B ．9-C ．1D ．1-3．（3分）正方体的棱长为x ，表面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式为( ) A ．16y x =B ．6y x =C ．26y x =D ．6y x=4．（3分）若O 的内接正n 边形的边长与O 的半径相等，则n 的值为( ) A ．4B ．5C ．6D ．75．（3分）下列方程中，无实数根的方程是( ) A ．230x x +=B ．2210x x +-=C ．2210x x ++=D ．230x x -+=6．（3分）如图，一个可以自由转动的转盘被分为8个大小相同的扇形，颜色标注为红，黄，绿，指针的位置固定，转动转盘停后，其中某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），则下列说法正确的是( )A ．指针指向黄色的概率为23B ．指针不指向红色的概率为34C ．指针指向红色或绿色的概率为12D ．指针指向绿色的概率大于指向黄色的概率 7．（3分）如图，在半径为1的扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，点P 是AB 上任意一点（不与点A ，B 重合），OC AP ⊥，OD BP ⊥，垂足分别为C ，D ，则CD 的长为( )A ．12B ．22C ．32D ．18．（3分）如图，平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与直线y kx =交于M ，N 两点，则二次函数2()y ax b k x c =+-+的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．（3分）如图，利用垂直于地面的墙面和刻度尺，可以度量出圆的半径为 cm ．10．（3分）如图所示的正方形网格中，A ，B ，C ，D ，P 是网格线交点．若APB α∠=，则BPC ∠的度数为（用含α的式子表示）．11．（3分）一元二次方程2310x x -+=的根为．12．（3分）下列事件：①通常加热到100C ︒，水沸腾；②人们外出旅游时，使用手机app 购买景点门票；③在平面上，任意画一个三角形，其内角和小于180︒．其中是随机事件的是（只填写序号即可）． 13．（3分）在同一个平面直角坐标系xOy 中，二次函数211y a x =，222y a x =，233y a x =的图象如图所示，则1a ，2a ，3a 的大小关系为．14．（3分）为响应国家号召打赢脱贫攻坚战，小明利用信息技术开了一家网络商店，将家乡的土特产销往全国，今年6月份盈利24000元，8月份盈利34560元，求6月份到8月份盈利的月平均增长率．设6月份到8月份盈利的月平均增长率为x ，根据题意，可列方程为．15．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，等边ABC ∆的顶点A 在y 轴的正半轴上，(5,0)B -，(5,0)C ，点(11,0)D ，将ACD ∆绕点A 顺时针旋转60︒得到ABE ∆，则BC 的长度为，线段AE 的长为，图中阴影部分面积为．16．（3分）不透明的盒子中装有红、黄色的小球共20个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，再随机摸出一个．如图显示了某数学小组开展上述摸球活动的某次实验的结果．下面有四个推断：①当摸球次数是300时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的概率是0.33；②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35；③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球7个；④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率一定是0.40．所有合理推断的序号是．三、解答题（本题共31分，第17-20题，每小题5分，第21题6分，第22题5分） 17．（5分）关于x 的一元二次方程22(21)20x m x m m +-++-=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若m 为正整数，写出一个符合条件的m 的值并求出此时方程的根．18．（5分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了ABC ∆和点(D A ，B ，C ，D 是网格线交点）．（1）画出一个DEF ∆，使它与ABC ∆全等，且点D 与点A 是对应点，点E 与点B 是对应点，点F 与点C 是对应点（要求：DEF ∆是由ABC ∆经历平移、旋转得到的，两种图形变化至少各一次）．（2）在（1）的条件下，在网格中建立平面直角坐标系，写出点C 和点F 的坐标．19．（5分）已知：如图，ABC ∆中，90C ∠=︒．求作：CPB A ∠=∠，使得顶点P 在AB 的垂直平分线上．作法：①作AB 的垂直平分线l ，交AB 于点O ；②以O 为圆心，OA 为半径画圆，O 与直线l 的一个交点为P （点P 与点C 在AB 的两侧）； ③连接BP ，CP ，CPB ∠就是所求作的角．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接OC ， l 为AB 的垂直平分线， OA ∴= ． 90ACB ∠=︒， OA OB OC ∴==．∴点A ，B ，C 都在O 上．又点P 在O 上，(CPB A ∴∠=∠ )（填推理依据）． 20．（5分）12月4日是全国法制宣传日．下面是某校九年级四个班的学生（各班人数相同）在一次“宪法知识竞答”活动中的成绩的频数分布表：成绩x 人数班级 7075x < 7580x < 8085x < 8590x < 9095x < 95100x一班 2 0 3 7 8 0 二班 0 1 5 7 7 0 三班 01 4 7 7 1 四班m3752（1）频数分布表中，m = ；（2）从7075x <中，随机抽取2名学生，那么所抽取的学生中，至少有1人是一班学生的概率是多少？ 21．（6分）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，D 是BC 的中点，过点D 作AC 的垂线，交AC 的延长线于点E ，连接AD ．（1）求证：DE 是O 的切线；（2）连接CD ，若30CDA ∠=︒，2AC =，求CE 的长．22．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =+-与直线1y x =--交于点(1,0)A -，(,3)B m -，点P 是线段AB 上的动点．（1）①m = ； ②求抛物线的解析式．（2）过点P 作直线l 垂直于x 轴，交抛物线23y ax bx =+-于点Q ，求线段PQ 的长最大时，点P 的坐标．四、解答题（本题共21分，每小题7分）23．（7分）在等腰直角ABC ∆中，AB AC =，90A ∠=︒，过点B 作BC 的垂线l ．点P 为直线AB 上的一个动点（不与点A ，B 重合），将射线PC 绕点P 顺时针旋转90︒交直线l 于点D ．（1）如图1，点P 在线段AB 上，依题意补全图形． ①求证：BDP PCB ∠=∠；②用等式表示线段BC ，BD ，BP 之间的数量关系，并证明．（2）点P 在线段AB 的延长线上，直接写出线段BC ，BD ，BP 之间的数量关系．24．（7分）已知抛物线22234y ax ax a =++-．（1）该抛物线的对称轴为；（2）若该抛物线的顶点在x 轴上，求抛物线的解析式；（3）设点1(,)M m y ，2(2,)N y 在该抛物线上，若12y y >，求m 的取值范围．25．（7分）在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为2，A ，B 为O 外两点，1AB =．给出如下定义：平移线段AB，使线段AB的一个端点落在O上，其他部分不在O外，点A，B的对应点分别为点A'，B'，线段AA'长度的最大值称为线段AB到O的“极大距离”，记为(,)d AB O．（1）若点(4,0)A-．①当点B为(3,0)-，如图所示，平移线段AB，在点1(2,0)P-，2(1,0)P-，3(1,0)P，4(2,0)P中，连接点A 与点的线段的长度就是(,)d AB O；②当点B为(4,1)-，求线段AB到O的“极大距离”所对应的点A'的坐标．（2）若点(4,4)A-，(,)d AB O的取值范围是．参考答案与试题解析一.选择题（本题共24分每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

2020-2021学年北京市朝阳区九上期末数学(含答案)

2020-2021学年北京市朝阳区九上期末数学试卷一、选择题1.下列自然能源图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A．B．C．D．2.用配方法解方程3x2−6x+2=0，将方程变为(x−m)2=13的形式，则m的值为( ) A．9B．−9C．1D．−13.正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x之间的函数关系式为( )A．y=16x B．y=6x C．y=6x2D．y=6x4.若⊙O的内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，则n的值为( )A．4B．5C．6D．75.下列方程中，无实数根的方程是( )A．x2+3x=0B．x2+2x−1=0C．x2+2x+1=0D．x2−x+3=06.如图，一个可以自由转动的转盘被分为8个大小相同的扇形，颜色标注为红，黄，绿，指针的位置固定，转动转盘停止后，其中某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），则下列说法正确的是( )A．指针指向黄色的概率为23B．指针不指向红色的概率为34C．指针指向红色或绿色的概率为12D．指针指向绿色的概率大于指向黄色的概率7.如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB=90∘，点P是AB⏜上任意一点（不与点A，B重合），OC⊥AP，OD⊥BP，垂足分别为C，D，则CD的长为( )A．12B．√22C．√32D．18.如图，平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx交于M，N两点，则二次函数y=ax2+(b−k)x+c的图象可能是( )A．B．C．D．二、填空题9.如图，利用垂直于地面的墙面和刻度尺，可以度量出圆的半径为cm．10.如图所示的正方形网格中，A，B，C，D，P是网格线交点．若∠APB=α，则∠BPC的度数为（用含α的式子表示）．11.一元二次方程x2−3x+1=0的根为．12.下列事件，①通常加热到100∘C，水沸腾；②人们外出旅游时，使用手机app购买景点门票；③在平面上，任意画一个三角形，其内角和小于180∘．其中是随机事件的是（只填写序号即可）．13.在同一个平面直角坐标系xOy中，二次函数y1=a1x2，y2=a2x2，y3=a3x2的图象如图所示，则a1，a2，a3的大小关系为．14.响应国家号召打赢脱贫攻坚战，小明利用信息技术开了一家网络商店，将家乡的土特产销往全国，今年6月份盈利24000元，8月份盈利34560元，求6月份到8月份盈利的月平均增长率．设6月份到8月份盈利的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为．15.如图，在平面直角坐标系xOy中，等边△ABC的顶点A在y轴的正半轴上，B(−5,0)，C(5,0)，点D(11,0)，⏜的长度为，线段AE的长为，图中阴影部将△ACD绕点A顺时针旋转60∘得到△ABE，则BC分面积为．16.不透明的盒子中装有红、黄色的小球共20个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，再随机摸出一个．下图显示了某数学小组开展上述摸球活动的某次实验的结果．下面有四个推断：①当摸球次数是300时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的概率是0.33；②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35；③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球7个；④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率一定是0.40．所有合理推断的序号是．三、解答题17.关于x的一元二次方程x2+(2m−1)x+m2+m−2=0有两个不相等的实数根．(1) 求m的取值范围；(2) 若m为正整数，写出一个符合条件的m的值并求出此时方程的根．18.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了△ABC和点D（A，B，C，D是网格线交点）．(1) 画出一个△DEF，使它与△ABC全等，且点D与点A是对应点，点E与点B是对应点，点F与点C是对应点（要求：△DEF是由△ABC经历平移、旋转得到的，两种图形变化至少各一次）．(2) 在（1）的条件下，在网格中建立平面直角坐标系，写出点C和点F的坐标．19.已知：如图，△ABC中，∠C=90∘．求作：∠CPB=∠A，使得顶点P在AB的垂直平分线上．作法：①作AB的垂直平分线l，交AB于点O；②以O为圆心，OA为半径画圆，⊙O与直线l的一个交点为P（点P与点C在AB的两侧）；③连接BP，CP．∠CPB就是所求作的角．(1) 使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）．(2) 完成下面的证明．证明：连接OC，∵l为AB的垂直平分线，∴OA=．∵∠ACB=90∘，∴OA=OB=OC．∴点A，B，C都在⊙O上．又∵点P在⊙O上，∴∠CPB=∠A（）（填推理依据）．20.12月4日是全国法制宣传日．下面是某校九年级四个班的学生（各班人数相同）在一次“宪法知识竞答”活动中的成绩的频数分布表：(1) 频数分布表中，m=．(2) 从70≤x<75中，随机抽取2名学生，那么所抽取的学生中，至少有1人是一班学生的概率是多少？⏜的中点，过点D作AC的垂线，交AC的延长21.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是BC线于点E，连接AD．(1) 求证：DE是⊙O的切线．(2) 连接CD，若∠CDA=30∘，AC=2，求CE的长．22.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx−3与直线y=−x−1交于点A(−1,0)，B(m,−3)．点P是线段AB上的动点．(1) ① m=．②求抛物线的解析式．(2) 过点P作直线l垂直于x轴，交抛物线y=ax2+bx−3于点Q，求线段PQ的长最大时，点P的坐标．23.在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠A=90∘，过点B作BC的垂线l，点P为直线AB上的一个动点（不与点A，B重合），将射线PC绕点P顺时针旋转90∘交直线l于点D．(1) 如图1，点P在线段AB上，依题意补全图形．①求证：∠BDP=∠PCB．②用等式表示线段BC，BD，BP之间的数量关系，并证明．(2) 点P在线段AB的延长线上，直接写出线段BC，BD，BP之间的数量关系．24.已知抛物线y=ax2+2ax+3a2−4．(1) 该抛物线的对称轴为．(2) 若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式．(3) 设点M(m,y1)，N(2,y2)在该抛物线上，若y1>y2，求m的取值范围．25.在平面直角坐标系xOy中⊙O的半径为2，A，B为⊙O外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB，使线段AB的一个端点落在⊙O上，其他部分不在⊙O外，点A，B的对应点分别为点Aʹ，Bʹ，线段AAʹ长度的最大值称为线段AB到⊙O的“极大距离”，记为d(AB,⊙O)．(1) 若点A(−4,0)．①当点B为(−3,0)，如图所示，平移线段AB，在点P1(−2,0)，P2(−1,0)，P3(1,0)，P4(2,0)中，连接点A与点的线段的长度就是d(AB,⊙O)．②当点B为(−4,1)，求线段AB到⊙O的“极大距离”所对应的点Aʹ的坐标．(2) 若点A(−4,4)，d(AB,⊙O)的取值范围是．答案一、选择题1. 【答案】A【解析】A选项：既是轴对称图形又是中心对称图形，故A正确；B选项：既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故B错误；C选项：是轴对称图形但不是中心对称图形，故C错误；D选项：既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故D错误．2. 【答案】C【解析】移项得：3x2−6x=−2，，二次系数化为1得：x2−2x=−23+1，方程两边加上1得：x2−2x+1=−23，所以(x−1)2=13则m的值为1．3. 【答案】C【解析】∵棱长为x，∴正方体的每个面的面积为x2，且正方体有6个面，则表面积y=6x2．4. 【答案】C【解析】∵⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，∴这个多边形的中心角=60∘，=60∘，∴360∘n∴n=6．5. 【答案】D【解析】A选项：x2+3x=0，x(x+3)=0，x1=0，x2=−3，∴该方程有实数根，故A错误；B选项：x2+2x−1=0，Δ=22−4×1×(−1)=8>0，∴该方程有实数根，故B错误；C选项：x2+2x+1=0，(x+1)2=0，x1=x2=−1，∴该方程有实数根，故C错误；D选项：x2−x+3=0，Δ=(−1)2−4×1×3=−11<0，∴该方程无实数根，故D正确．6. 【答案】B【解析】一个转盘被分成8个大小相同的扇形，上面分别标有红、黄、绿，且红色为2份，黄色为3份，绿色为3份，，故A错误；则指针指向黄色的概率为38指针不指向红色的概率为 68=34，故B 正确；指针指向红色或绿色的概率为2+38=58，故C 错误；指针指向绿色的概率为 38；指针指向黄色的概率为 38，故指针指向绿色和黄色的概率相同，故D 错误．7. 【答案】B【解析】连接 AB ，因为 ∠AOB =90∘，OA =OB =1，所以 AB =√OA 2+OB 2=√2，因为 OC ⊥AP ，OD ⊥BP所以 AC =PC ，PD =BD ，所以 CD =12AB =√22，故选B ．8. 【答案】A【解析】 ∵ 抛物线 y =ax 2+bx +c 与直线 y =kx 交于 M ，N 它两点，M ，N 都在第二象限， ∴ 二次函数 y =ax 2+(b −k )x +c 的图象与 x 轴有两个交点，且与 x 轴的两个交点都在 x 轴负半轴．二、填空题9. 【答案】 1.5【解析】由图可知，圆的半径为 1.5 cm ．10. 【答案】 90∘−α【解析】设小正方形的边长为 1，∴AP 2=32+33=18，PC 2=32+32=18，AC 2=62=36，∴AP 2+PC 2=AC 2，∴∠APC =90∘，∵∠APB =α，∴∠BPC =∠APC −∠APB =90∘−α．11. 【答案】 3±√52【解析】 ∵a =1，b =−3，c =1，∴Δ=b 2−4ac =9−4×1×1=5，x =−b±√b 2−4ac 2a =3±√52×1=3±√52，∴x 1=3+√52，x 2=3−√52．12. 【答案】②【解析】①通常加热到 100∘C ，水沸腾是必然事件；②人们外出旅游时，使用手机 app 购买景点门票是随机事件；③在平面上，任意画一个三角形，其内角和小于 180∘ 是不可能事件，∴ 其中是随机事件的是②．13. 【答案】 a 1<a 2<a 3【解析】二次函数图象中，当二次项系数的绝对值越大，开口越小，∴ 由函数图象可知，a 1<a 2<a 3．14. 【答案】 24000(1+x )2=34560【解析】根据题意，可列方程为：24000(1+x )2=34560．15. 【答案】 103π ； 14 ； 16π【解析】 ∵△ACD 绕点 A 顺时针旋转 60∘ 得到 △ABE ，∴△ACD ≌△ABE ，∠CAB =∠DAE =60∘，∴AB =AC ，AE =AD ，∵B (−5,0)，C (5,0)，D (11,0)，∴OB =OC =5，OD =11，∵OA ⊥BC ，∴AB =AC ，∴△ABC 是等边三角形，∴AB =AC =BC =10，∴OA =√3OC =5√3，∠BAC =60∘，∴BC ⏜=60π×10180=10π3，在 Rt △AOD 中，AD=√OA 2+OD 2=√(5√3)2+112=14.∴AE =AD =14，S 阴影部分=S 扇形ABD +S △ABE −S 扇形ABC −S △ACD =S 扇形ABD −S 扇形ABC=60π×142360−60π×102360=16π.16. 【答案】①②③【解析】①当摸球次数是 300 次时，摸到红球的次数是 99 次，则“摸到红球”的概率 99÷300=0.33，故①正确；②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在 0.35 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是 0.35，故②正确；③由多次的试验数据测数“摸到红球”的概率约为 0.35，而盒中有红球和黄球共 20 个，则盒子中红球的个数约为 20×0.35=7 个，故③正确；④由多次的试验数据测数“摸到红球”的概率约为0.35；若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率应为0.35左右，不一定是0.40，故④错误；∴合理推断的是①②③．三、解答题17.【答案】(1) ∵x的一元二次方程x2+(2m−1)x+m2+m−2=0有两个不相等的实数根，∴Δ=(2m−1)2−4×1×(m2+m−2)=4m2−4m+1−4m2−4m+8=−8m+9,∴−8m+9>0，．∴m<98(2) 根据题意，m为正整数，则m取1，把m=1代入方程x2+(2×1−1)x+12+1−2=0，整理得：x2+x=0，解得：x1=0，x2=−1．18.【答案】(1) 答案不唯一，如图所示．(2) C(0,0)，F(4,2)．19.【答案】(1) 所作图形如下：(2) OB；同弧所对的圆周角相等【解析】(2) 连接OC，∵l为AB的垂直平分线，∴OA=OB，∵∠ACB=90∘，∴OA=OB=OC．∴点A，B，C都在⊙O上．又∵点P在⊙O上，∴∠CPB=∠A（同弧所对的圆周角相等）．20.【答案】(1) 3(2) 一班有2人，分别记为A，B；四班有3人，分别记为C，D，E．随机抽取2人的情况有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE．至少有 1 人是一班学生的情况有 AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ．所以至少有 1 人是一班学生的概率 710．【解析】(1) ∵ 各班人数相同，∴ 一个班一共有 2+0+3+7+8+0=20 人，∴m =20−(0+3+7+5+2)=3．21.【答案】(1) 如图 1，连接 OD ，∵D 是 BC⏜ 的中点， ∴∠BAD =∠CAD ，∵OA =OD ，∴∠BAD =∠ODA ，∴∠CAD =∠ODA ，∴OD ∥AE ，∵DE ⊥AC ，∴DE ⊥OD ，∴DE 是 ⊙O 的切线．(2) 如图 2，连接 OC ，∵∠CDA =30∘，∴∠AOC =2∠CDA =60∘，∴△AOC 是等边三角形，∴ 由（1）可得，四边形 ACDO 是菱形，∴CD =AC =2，∠CDE =30∘，∴CE =1．22.【答案】(1) ① 2② 由①得，点 B (2,−3)，∵ 点 A (−1,0)，B (2,−3) 在抛物线 y =ax 2+bx −3 上，∴ {a −b −3=0,4a +2b −3=−3,解得 {a =1,b =−2,∴ 抛物线的解析式为 y =x 2−2x −3．．(2) 设点 P 的横坐标为 x ，其中 −1≤x ≤2，∴ 点 P (x,−x −1)，点 Q (x,x 2−2x −3)，∴PQ =−x 2+x +2，∴ 当 x =12 时，PQ 最大，此时点 P 的坐标是 (12,−32)．【解析】(1) ①将 B (m,−3) 代入 y =−x −1 中得，−m −1=−3，解得 m =2．23.【答案】(1) ①如图①，设PD与BC的交点为E．根据题意可知∠CPD=90∘，∵BC⊥l，∴∠DBC=90∘，∴∠BDP+∠BED=∠PCB+∠PEC=90∘，∴∠BDP=∠PCE．②如图②，过点P作PF⊥BP交BC于点F，∵AB=AC，∠A=90∘，∴∠ABC=45∘，∴BP=PF，∠PFB=45∘，∴∠PBD=∠PFC=135∘．∵∠BPF=∠CPD=90∘，∴∠BPF−∠DPF=∠CPD−∠DPF，∴∠BPD=∠FPC，在△BPD和△FPC中，{∠BPD=∠FPC, BP=FP,∠PBD=∠PFC.∴△BPD≌△FPC(ASA)．∴BD=FC，∵BF=√2BP，∴BC−BD=√2BP．(2) BD−BC=√2PB．【解析】(2) 过点P作PM⊥AP交直线l于点M，∵AB=AC，∠A=90∘，∴∠ABC=45∘，∴∠PBM=180∘−∠ABC−∠CBD=45∘，∵PM⊥PA，∴∠MPA=90∘，∴∠PMB=∠PBM=45∘，∴PM=PB，∠PMD=∠PBC=135∘，∵∠BPM=∠CPD=90∘，∴∠BPM−∠MPC=∠CPD−∠MPC，∴∠BPC=∠MPD，在△PBC和△PMD中，{∠BPM=∠MPD, PB=PM,∠PBC=∠PMD.∴△PBC≌△PMD(ASA)，∴BC=MD，∵BM=√2PB，∴BD=BM+DM=√2PB+BC，即BD−BC=√2PB．24.【答案】(1) x=−1(2) ∵抛物线顶点在x轴上，∴顶点坐标为(−1,0)．解得a=−1或a=43，∴抛物线解析式为y=−x2−2x−1或y=43x2+83x+43．(3) ∵抛物线的对称轴为直线x=−1，∴N(2,y2)关于直线x=−1的对称点为Nʹ(−4,y2)．（i）当a>0时，若y1>y2，则m<−4或m>2；（ii）当a<0时，若y1>y2，则−4<m<2．【解析】(1) y=ax2+2ax+3a2−4，∴x=−2a2×a=−1，∴该抛物线的对称轴为直线x=−1．25.【答案】(1) ① P3②如图，当点A平移至⊙O上的Aʹ时，AAʹ最长，OAʹ=2，AʹBʹ=1⇒OBʹ=√OAʹ2+OBʹ2=√3，∴Aʹ(√3,−1)．(2) 4√2−2≤d≤4√2+2【解析】(1) ①当AB沿x轴向右平移至点B与P4重合时，A→P3，此时AAʹ最长．(2) 如图所示，以A为圆心，半径为1的圆上的点为B的可取范围，A到O的距离易得为4√2，AAʹ最小值即A1A1ʹ=4√2−2，最大值即A2A2ʹ=4√2+2．。

2018-2019学年北京市朝阳区九年级(上)期末数学试卷-含详细解析

2018-2019学年北京市朝阳区九年级（上）期末数学试卷副标题一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.如图，以点P为圆心作圆，所得的圆与直线l相切的是（）A. 以PA为半径的圆B. 以PB为半径的圆C. 以PC为半径的圆D. 以PD为半径的圆2.视力表用来测量一个人的视力，如图是视力表的一部分，其中开口向下的两个“E”之间的变换是（）A. 平移B. 旋转C. 轴对称D. 位似3.抛物线y=（x+2）2-1的对称轴是（）A. B. C. D.4.如图，AD，BC相交于点O，AB∥CD．若AB=1，CD=2，则△ABO与△DCO的面积之比为（）A. 1：2B. 1：4C. 2：1D. 4：15.有一则笑话：妈妈正在给一对双胞胎洗澡，先洗哥哥，再洗弟弟，刚把两人洗完，就听到两个小家伙在床上笑，“你们笑什么？”妈妈问“妈妈!”老大回答，“您给弟弟洗了两回，可是还没给我洗呢!”此事件发生的概率为（）A. B. C. D. 16.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过6A，那么用电器的可变电阻R应控制在（）A.B.C.D.7.已知一次函数y1=kx+m（k≠0）和二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）部分自变量与对应的函数值如下表21A. B. C. 或 D. 或8. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，MN 是边BC 上一条运动的线段（点M 不与点B 重合，点N 不与点C 重合），且MN =BC ，MD ⊥BC 交AB 于点D ，NE ⊥BC 交AC 于点E ，在MN 从左至右的运动过程中，设BM =x ，△BMD 的面积减去△CNE 的面积为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9. 点M （1，2）关于原点的对称点的坐标为______．10. 若一元二次方程（k -1）x 2+3x +k 2-1=0有一个解为x =0，则k =______． 11. 请写出一个图象与直线y =x 无交点的反比例函数的表达式：______．12. 若圆锥的底面半径是10，侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线长为______． 13. 《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其大意是：如图，Rt △ABC 的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形CDEF 的边长为______．14.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=15°，则∠P的度数为______．15.如图所示的网格是正方形网格，线段AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）后与⊙O相切，则α的值为______．16.显示分辨率（屏幕分辨率）是屏幕图象的精密度，是指显示器所能显示的像素有多少，屏幕左下角坐标为（0，0），若屏幕的显示分辨率为1280×800，则它的右上角坐标为（1280，800），一张照片在此屏幕全屏显示时，点A的坐标为（500，600），则此照片在显示分辨率为2560×1600的屏幕上全屏显示时，点A的坐标为______．三、计算题（本大题共2小题，共11.0分）17.关于x的方程x2+（2k+1）x+k2-1=0有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）若k为负整数，求此时方程的根．18.可以用如下方法估计方程x2+2x-10=0的解：当x=2时，x2+2x-10=-2＜0，当x=-5时，x2+2x-10=5＞0，所以方程有一个根在-5和2之间．（1）仿照上面的方法，找到方程x2+2x-10=0的另一个根在哪两个连续整数之间；（2）若方程x2+2x+c=0有一个根在0和1之间，求c的取值范围．四、解答题（本大题共10小题，共57.0分）19.如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A．（1）求证：△BDC∽△ABC；（2）若BC=4，AC=8，求CD的长．20. 如图，一次函数y =kx +b 的图象与反比例函数y =的图象交于A （-2，1），B （1，n ）两点．（1）求m ，n 的值；（2）当一次函数的值大于反比例函数的值时，请写出自变量x 的取值范围．21. 某商场有一个可以自由转动的圆形转盘（如图）．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．下表是活动进行中的一组统计数据（）转动该转盘一次，获得铅笔的概率约为；（结果保留小数点后一位）（2）铅笔每支0.5元，饮料每瓶3元，经统计该商场每天约有4000名顾客参加抽奖活动，请计算该商场每天大致需要支出的奖品费用；（3）在（2）的条件下，该商场想把每天支出的奖品费用控制在3000元左右，则转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为______度．22.一些不便于直接测量的圆形孔道的直径可以用如下方法测量．如图，把一个直径为10mm的小钢球紧贴在孔道边缘，测得钢球顶端离孔道外端的距离为8mm，求这个孔道的直径AB．23.行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的原因，还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能，对这种汽车的刹车距离进行测试，测得的数据如下表（1）在如图所示的平面直角坐标系中，以刹车时车速为横坐标，以刹车距离为纵坐标，描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连接这些点，得到某函数的大致图象；（2）测量必然存在误差，通过观察图象估计函数的类型，求出一个大致满足这些数据的函数表达式；（3）一辆该型号汽车在高速公路上发生交通事故，现场测得刹车距离约为40米，已知这条高速公路限速100千米/时，请根据你确定的函数表达式，通过计算判断在事故发生时，汽车是否超速行驶．24.如图，在Rt△ABE中，∠B=90°，以AB为直径的⊙O交AE于点C，CE的垂直平分线FD交BE于点D，连接CD．（1）判断CD与⊙O的位置关系，并证明；（2）若AC•AE=12，求⊙O的半径．25.M是正方形ABCD的边AB上一动点（不与A，B重合），BP⊥MC，垂足为P，将∠CPB绕点P旋转，得到∠C′PB′，当射线PC′经过点D时，射线PB′与BC交于点N．（1）依题意补全图形；（2）求证：△BPN∽△CPD；（3）在点M的运动过程中，图中是否存在与BM始终保持相等的线段？若存在，请写出这条线段并证明；若不存在，请说明理由．26.数学课上学习了圆周角的概念和性质：“顶点在圆上，两边与圆相交”，“同弧所对的圆周角相等”，小明在课后继续对圆外角和圆内角进行了探究．下面是他的探究过程，请补充完整：定义概念：顶点在圆外，两边与圆相交的角叫做圆外角，顶点在圆内，两边与圆相交的角叫做圆内角．如图1，∠M为所对的一个圆外角．（1）请在图2中画出所对的一个圆内角；提出猜想（2）通过多次画图、测量，获得了两个猜想：一条弧所对的圆外角______这条弧所对的圆周角；一条弧所对的圆内角______这条弧所对的圆周角；（填“大于”、“等于”或“小于”）推理证明：（3）利用图1或图2，在以上两个猜想中任选一个进行证明；问题解决经过证明后，上述两个猜想都是正确的，继续探究发现，还可以解决下面的问题．（4）如图3，F，H是∠CDE的边DC上两点，在边DE上找一点P使得∠FPH最大．请简述如何确定点P的位置．（写出思路即可，不要求写出作法和画图）27.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+（1-2a）x-2（a≠0）与y轴交于点C，当a=1时，该抛物线与x轴的两个交点为A，B（点A在点B左侧）．（1）求点A，B，C的坐标；（2）若该抛物线与线段AB总有两个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．28.在平面直角坐标系xOy中，点P和图形W的中间点的定义如下：Q是图形W上一点，若M为线段PQ的中点，则称M为点P和图形W的中间点．C（-2，3），D （1，3），E（1，0），F（-2，0）（1）点A（2，0），①点A和原点的中间点的坐标为______；②求点A和线段CD的中间点的横坐标m的取值范围；（2）点B为直线y=2x上一点，在四边形CDEF的边上存在点B和四边形CDEF 的中间点，直接写出点B的横坐标n的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵PB⊥l于B，∴以点P为圆心，PB为半径的圆与直线l相切．故选：B．根据直线与圆的位置关系的判定方法进行判断．本题考查了直线与圆的位置关系：判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．若直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d=r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．2.【答案】D【解析】解：根据位似变换的特点可知它们之间的变换属于位似变换，故选：D．开口向下的两个“E”形状相似，但大小不同，因此它们之间的变换属于位似变换．如果没有注意它们的大小，可能会误选A．本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，平移、旋转、对称的图形都是全等形．3.【答案】C【解析】解：抛物线y=（x+2）2-1的对称轴是直线x=-2，故选：C．根据题目中抛物线的顶点式，可以直接写出它的对称轴，本题得以解决．本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．4.【答案】B【解析】解：∵AB∥CD，∴△AOB∽△DOC，∵，∴，故选：B．根据相似三角形的判定与性质即可求出答案．本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．5.【答案】A【解析】解：此事件发生的概率，故选：A．根据概率是指某件事发生的可能性为多少解答即可．本题考查了概率的意义，正确理解概率的含义是解决本题的关键．6.【答案】C【解析】解：设反比例函数关系式为：I=，把（2，3）代入得：k=2×3=6，∴反比例函数关系式为：I=，当I≤6时，则≤6，R≥1，故选：C．根据图象中的点的坐标先求反比例函数关系式，再由电流不能超过6A列不等式，求出结论，并结合图象．本题是反比例函数的应用，会利用待定系数法求反比例函数的关系式，并正确认识图象，运用数形结合的思想，与不等式或等式相结合，解决实际问题．7.【答案】D【解析】解：∵当x=0时，y1=y2=0；当x=4时，y1=y2=5；∴直线与抛物线的交点为（-1，0）和（4，5），而-1＜x＜4时，y1＞y2，∴当y2＞y1时，自变量x的取值范围是x＜-1或x＞4．故选：D．利用表中数据得到直线与抛物线的交点为（-1，0）和（4，5），-1＜x＜4时，y1＞y2，从而得到当y2＞y1时，自变量x的取值范围．本题考查了二次函数与不等式：对于二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．8.【答案】A【解析】解：过点A作AH⊥BC，交BC于点H，则BH=HC=BC，设a=BC，∠B=∠C=α，则MN=a，CN=BC-MN-x=2a-a-x=a-x，DM=BMtanB=x•tanα，AH=BHtanB=a•tanα，EN=CN•tanC=（a-x）tanα，S=S△BMD-S△CNE=（BM•DM-CN•EN）=（2x-a）=a•tanα•x-，其中，a•tanα、均为常数，故上述函数为一次函数，故选：A．设：a=BC，∠B=∠C=α，求出MN、CN、DM、AH、EN的长度，利用S=S△BMD-S△CNE，即可求解．本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、等腰三角形的性质、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．9.【答案】（-1，-2）【解析】解：点（1，2）关于原点的对称点的坐标为（-1，-2）．故答案为：（-1，-2）．根据关于原点的对称点，横纵、坐标都互为相反数解答．本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记“关于原点的对称点，横纵、坐标都互为相反数”是解题的关键．10.【答案】-1【解析】解：∵一元二次方程（k-1）x2+3x+k2-1=0的一个解为0，∴（k-1）×02+3×0+k2-1=0且k-1≠0，解得k=-1．故答案为：-1．根据一元二次方程的解的定义，把x=0代入已知方程，列出关于k的新方程，通过解新方程求得k的值；注意二次项系数不为零．本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．同时考查了一元二次方程的定义．11.【答案】y=-（答案不唯一）【解析】解：∵直线y=x经过第一、三象限，∴与直线y=x无交点的反比例函数的图象在第二、四象限，∴与直线y=x无交点的反比例函数表达式为：y=-故答案为：y=-（答案不唯一）．由直线y=x经过第一、三象限，且与反比例函数图象没有交点，则可求反比例函数的解析式；本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数和一次函数的性质是关键．12.【答案】20【解析】解：设母线长为x，根据题意得2πx÷2=2π×5，解得x=10．故答案为20．侧面展开后得到一个半圆，半圆的弧长就是底面圆的周长．依此列出方程即可．本题考查了圆锥的计算，解题的关键是明白侧面展开后得到一个半圆就是底面圆的周长，难度不大．13.【答案】【解析】解：∵四边形CDEF是正方形，∴CD=ED，DE∥CF，设ED=x，则CD=x，AD=5-x，∵DE∥CF，∴∠ADE=∠C，∠AED=∠B，∴△ADE∽△ACB，∴=，∴，x=，故答案为：．根据正方形的性质得：DE∥BC，则△ADE∽△ACB，列比例式可得结论．此题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，设未知数，构建方程是解题的关键．14.【答案】30°【解析】解：∵PA为切线，∴OA⊥PA，∴∠CAP=90°，∴∠PAB=90°-∠BAC=90°-15°=75°，∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA=PB，∴∠PBA=∠PAB=75°，∴∠P=180°-75°-75°=30°．故答案为30°．先利用切线的性质得到∠CAP=90°，则利用互余计算出∠PAB=75°，再根据切线长定理得到PA=PB，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠P 的度数．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．15.【答案】60°或120°【解析】解：线段AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）后与⊙O相切，切点为C′和C″，连接OC′、OC″，则OC′⊥AB′，OC″⊥AB″，在Rt△OAC′中，∵OC′=1，OA=2，∴∠OAC′=30°，∴∠BAB′=60°，同理可得∠OAC″=30°，∴∠BAB″=120°，综上所述，α的值为60°或120°．故答案为60°或120°．线段AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）后与⊙O相切，切点为C′和C″，连接OC′、OC″，根据切线的性质得OC′⊥AB′，OC″⊥AB″，利用直角三角形30度的判定或三角函数求出∠OAC′=30°，从而得到∠BAB′=60°，同理可得∠OAC″=30°，则∠BAB″=120°．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了旋转的性质和直角三角形的性质．16.【答案】（1000，1200）【解析】解：∵屏幕左下角坐标为（0，0），若屏幕的显示分辨率为1280×800，则它的右上角坐标为（1280，800），∴此照片在显示分辨率为2560×1600的屏幕上全屏显示时，点A的坐标为（500×2，600×2），即（1000，1200）．故答案是：（1000，1200）．根据题中数据屏幕的显示分辨率为1280×800与显示分辨率为2560×1600间的关系可以推知：点A的坐标为（500，600），在显示分辨率为2560×1600的屏幕上全屏显示时，点A的坐标为（1000，1200）．考查了函数的图象和坐标确定位置，解题的关键是读懂题意，找到不同屏幕的显示分辨率所显示的点的坐标的规律是解题的关键．17.【答案】解：（1）由题意知，△＞0，则（2k+1）2-4×1×（k2-1）＞0，解得：k＞-；（2）∵k为负整数，∴k=-1，则方程为x2-x=0，解得：x1=1，x2=0．【解析】（1）由方程有两个不相等的实数根知△＞0，据此列出关于k的不等式，解之可得；（2）由所得k的范围，结合k为负整数得出k的值，代入方程，再利用因式分解法求解可得．本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）根据方程的系数结合根的判别式，找出△=4k+5＞0；（2）将k=-1代入原方程，利用因式分解法解方程．18.【答案】解：（1）∵当x=2时，x2+2x-10=-2＜0，当x=3时，x2+2x-10=5＞0，∴方程的另一个根在2和3之间；（2）∵方程x2+2x+c=0有一个根在0和1之间，∴ 或，解得：-3＜c＜0．【解析】（1）分别计算出x=2和x=3时x2+2x-10的值即可得出答案；（2）根据方程x2+2x+c=0有一个根在0和1之间知或，解之可得．本题主要考查估算一元二次方程的近似解，解题的关键是理解题意，并熟练掌握近似解的估算办法．19.【答案】解：（1）∵∠DBC=∠A，∠BCD=∠ACB，∴△BDC∽△ABC；（2）∵△BDC∽△ABC，∴，∵BC=4，AC=8，∴CD=2．【解析】（1）根据相似三角形的判定即可求出答案．（2）根据相似三角形的性质即可求出CD的长度．本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．20.【答案】解：（1）把A（-2，1）代入反比例函数y=得，m=-2×1=-2，∴反比例函数解析式为y=-；把B（1，n）代入得，1×n=-2，解得n=-2；（2）由图象可知：x＜-2或0＜x＜1．【解析】（1）把A（-2，1）代入反比例函数y=，求出m的值即可；把B（1，n）代入反比例函数的解析式可求出n；（2）观察函数图象得到当x＜-2或0＜x＜1时，一次函数的图象都在反比例函数的图象的上方，即一次函数的值大于反比例函数的值．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标同时满足两个函数解析式；利用待定系数法求函数的解析式．也考查了观察函数图象的能力．21.【答案】0.7 36【解析】解：（1）转动该转盘一次，获得铅笔的概率约为0.7；（2）4000×0.5×0.7+4000×3×0.3=5000，所以该商场每天大致需要支出的奖品费用为5000元；（3）设转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为n度，则4000×3×+4000×0.5（1-）=3000，解得n=36，所以转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为36度．故答案为36．（1）利用频率估计概率求解；（2）利用（1）得到获得铅笔的概率为0.7和获得饮料的概率为0.3，然后计算4000×0.5×0.7+4000×3×0.3即可；（3）设转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为n度，则4000×3×+4000×0.5（1-）=3000，然后解方程即可．本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．也考查了扇形统计图．22.【答案】解：连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB=2AD，∵钢珠的直径是10mm，∴钢珠的半径是5mm，∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，∴OD=3mm，在Rt△AOD中，∵AD===4mm，∴AB=2AD=2×4=8mm．【解析】先求出钢珠的半径及OD的长，连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB=2AD，在Rt△AOD中利用勾股定理即可求出AD的长，进而得出AB的长．本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．23.【答案】解：（1）如图所示：（2）该图象可能为抛物线，猜想该函数为二次函数，∵图象经过原点，∴设二次函数的表达式为：y=ax2+bx（x≥0），选取（20，1）和（10，0.3）代入表达式，得：，解得：，∴二次函数的表达式为：y=x2+x（x≥0），（3）∵当x=100时，y=21＜40，∴汽车已超速行驶．【解析】（1）通过描点、连线就可以得出函数的大致图象；（2）由函数图象，设抛物线的解析式为y=ax2+bx，由待定系数法求出其解即可；（3）将x=100代入（2）的解析式求出其值，再与130作比较即可．本题考查二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式的运用．解答时求出二次函数的解析式是关键．24.【答案】解：（1）连接OC，如图1所示．∵FD是CE的垂直平分线，∴DC=DE，∵OA=OC，∴∠A=∠OCA，∵Rt△ABE中，∠B=90°，∴∠A+∠E=90°，∴∠OCA+∠DCE=90°，∴OC⊥CD，∴CD与⊙O相切．（2）连接BC，如图2所示．∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90°，∴△ACB∽ABE，∴，∵AC•AE=12，∴AB2=12，∴AB=2，∴OA=．【解析】（1）连接OC，由于FD是CE的垂直平分线，所以∠E=∠DCE，又因为∠A=∠OCA，∠A+∠E=90°，所以∠OCA+∠DCE=90°，所以CD与⊙O相切．（2）连接BC，易知∠ACB=90°，所以△ACB∽ABE，所以，由于AC•AE=12，所以OA=AB=，本题考查圆的综合问题，涉及垂直平分线的性质，圆周角定理，相似三角形的性质与判定等知识，需要学生灵活运用所学知识．25.【答案】解：（1）补全图形如图所示：（2）由旋转知∠BPN=∠CPD，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，∴∠PCD+∠BCP=90°，∵BP⊥MC，∴∠CPB=90°，∴∠PBN+∠BCP=90°，∴△PBN∽△PCD；（3）BM=BN，∵BP⊥CM，∠MBC=90°，∴∠MBP=∠MCB，∴△MPB∽△BPC，∴=，由（2）知△PBN∽△PCD，∴=，∴=，∵BC=CD，∴BM=BN．【解析】（1）根据题意补全图形即可；（2）由旋转性质知∠BPN=∠CPD，再由∠PCD+∠BCP=∠PBN+∠BCP=90°知∠PCD=∠PBN，从而得证；（3）先证△MPB∽△BPC得=，再由△PBN∽△PCD知=，从而得=，根据BC=CD可得答案．本题是相似三角形的综合问题，解题的关键是掌握旋转变换的性质、相似三角形的判定与性质及正方形的性质等知识点．26.【答案】小于大于【解析】解：（1）如图2所示．（2）观察图形，可知：一条弧所对的圆外角小于这条弧所对的圆周角；一条弧所对的圆内角大于这条弧所对的圆周角．故答案为：小于；大于．（3）证明：（i）如图1，BM与⊙O相交于点C，连接AC．∵∠ACB=∠M+∠MAC，∴∠ACB＞∠M；（ii）如图4，延长BM交⊙O于点C，连接AC．∵∠AMB=∠ACB+∠CAM，∴∠AMB＞∠ACB．（4）如图3，当过点F，H的圆与DE相切时，切点即为所求的点P．（1）在⊙O内任取一点M，连接AM，BM；（2）观察图形，可知：一条弧所对的圆外角小于这条弧所对的圆周角；一条弧所对的圆内角大于这条弧所对的圆周角，此问得解；（3）（i）BM与⊙O相交于点C，连接AC，利用三角形外角的性质可得出∠ACB=∠M+∠MAC，进而可证出∠ACB＞∠M；（ii）延长BM交⊙O于点C，连接AC，利用三角形外角的性质可得出∠AMB=∠ACB+∠CAM，进而可证出∠AMB＞∠ACB；（4）由（2）的结论，可知：当过点F，H的圆与DE相切时，切点即为所求的点P．本题考查了圆的综合应用以及三角形外角的性质，解题的关键是：（1）依照题意画出图形；（2）观察图形，找出结论；（3）利用三角形外角的性质证出：一条弧所对的圆外角小于这条弧所对的圆周角；一条弧所对的圆内角大于这条弧所对的圆周角；（4）利用（2）的结论找出点P的位置．27.【答案】解：（1）当a=1时，抛物线为y=x2-x-2，∴点C的坐标为（0，-2），令，x2-x-2=0，解得x1=-1，x2=2，∵A在点B左侧，∴A（-1，0），B（2，0）；（2）当x=0时，y=ax2+（1-2a）x-2=-2；当x=2时，y=ax2+（1-2a）x-2=0，所以抛物线y=ax2+（1-2a）x-2（a≠0）必过点C点和B点；①当a＞0，当x=-1时，y≥0时，抛物线与线段AB总有两个公共点，即a-1+2a-2≥0，解得a≥1；②当a＜0时，当顶点为B点时，△=（1-2a）2-4a•（-2）=0，解得a=-，则a＜-时抛物线与线段AB总有两个公共点，综上所述，a的取值范围为a≥1或a＜-．【解析】（1）先由a=1得到抛物线解析式；解方程x2-x-2=0得A（-1，0），B（2，0），然后计算自变量为0时对应的函数值得到C点坐标；（2）先判断抛物线y=ax2+（1-2a）x-2（a≠0）必过点C点和B点，再讨论：当a＞0，利用x=-1时，y≥0时得到a-1+2a-2≥0，解不等式得到a的范围；②当a＜0时，当顶点为B点，利用△=（1-2a）2-4a•（-2）=0，得a=-，从而判断a＜-时抛物线与线段AB总有两个公共点．本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．28.【答案】（1，0）【解析】解：（1）①∵点A的坐标为（2，0），∴点A和原点的中间点的坐标为（，），即（1，0）．故答案为：（1，0）．②如图1，点A和线段CD的中间点所组成的图形是线段C′D′．由题意可知：点C′为线段AC的中点，点D′为线段AD的中点．∵点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（-2，3），点D的坐标为（1，3），∴点C′的坐标为（0，），点D′的坐标为（，），∴点A和线段CD的中间点的横坐标m的取值范围为0≤m≤．（2）∵点B的横坐标为n，∴点B的坐标为（n，2n）．当点B和四边形CDEF的中间点在边EF上时，有，解得：-≤n≤0；当点B和四边形CDEF的中间点在边DE上时，有，解得：1≤n≤3．综上所述：点B的横坐标n的取值范围为-≤n≤0或1≤n≤3．（1）①根据点A，O的坐标，利用中点坐标公式即可求出结论；②依照题意画出图形，观察图形可知点A和线段CD的中间点所组成的图形是线段C′D′，根据点A，C，D的坐标，利用中点坐标公式可求出点C′，D′的坐标，进而可得出m的取值范围；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点B的坐标为（n，2n），依照题意画出图形，观察图形可知：点B和四边形CDEF的中间点只能在边EF和DE 上，当点B和四边形CDEF的中间点在边EF上时，利用四边形CDEF的纵坐标的范围，可得出关于n的一元一次不等式组，解之即可得出n的取值范围；当点B和四边形CDEF的中间点在边DE上时，由四边形CDEF的横、纵坐标的范围，可得出关于n的一元一次不等式组，解之即可得出n的取值范围．综上，此题得解．本题考查了中点坐标公式、一次函数图象上点的坐标特征以及解一元一次不等式组，解题的关键是：（1）①利用中点坐标公式求出结论；②通过画图找出点A和线段CD的中间点所组成的图形是线段C′D′；（2）分点B和四边形CDEF的中间点在边EF上及点B和四边形CDEF的中间点在边DE上两种情况，找出关于n的一元一次不等式组．。

北京市朝阳区初三上学期期末考试数学试卷(附答案)

20XX年北京市朝阳区初三上学期期末考试数学试卷满分:班级：_________ 姓名：_________ 考号：_________一、单选题（共8小题）1．一元二次方程x2 2x=0的解为（）A．x = 2B．x1 = 0，x2 = 2C．x1 = 0，x2 = -2D．x1 = 1，x2 = 22．抛物线的顶点坐标是（）A．（1，2）B．（1，-2）C．（-1， 2）D．（-1，-2）3．下列图形是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠C＝35°，则∠AOB的度数为（）A．35°B．55°C．65°D．70°5．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC 的值为（）B．C．D．1A．6．下列事件是随机事件的是（）A．明天太阳从东方升起B．任意画一个三角形，其内角和是360°C．通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰D．射击运动员射击一次，命中靶心7．一个矩形的长比宽相多3cm，面积是25cm2，求这个矩形的长和宽．设矩形的宽为xcm，则所列方程正确的是（）B．x2-3x-25=0A．x2-3x+25=0C．x2+3x-25=0D．x2+3x-50=08．如图，点C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上的动点（点C不与点A，B重合），AB=4．设弦AC的长为x，△ABC的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）B．A．C．D．二、填空题（共4小题）9.如图，A是反比例函数图象上的一点，AB垂直于x轴，垂足为B，AC垂直于y 轴，垂足为C，若矩形ABOC的面积为5，则k的值为．10.一枚质地均匀的骰子，六个面分别刻有1到6的点数，掷这个骰子一次，则向上一面的点数大3的概率是．11.如图，在平面直角坐标系xOy中，点O是边长为2的正方形ABCD的中心．写出一个函数，使它的图象与正方形ABCD有公共点，这个函数的表达式为．12.如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝3，将扇形OAB绕点A逆时针旋转n°（0＜n＜180）后得到扇形O′AB′，当点O在弧AB'上时，n为，图中阴影部分的面积为．三、解答题（共13小题）13.计算：14.用配方法解方程：x2-4x-1=0．15.如图，△ABC中，点D在AB上，∠ACD=∠ABC，若AD=2，AB=6，求AC的长．16.如图，在平面直角坐标系xOy中，以点A（2，3）为圆心的⊙A交 x轴于点B，C，BC=8，求⊙A的半径17.如图，正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，以点A为中心，把△ABE逆时针旋转90°，设点E的对应点为F．（1）画出旋转后的三角形．（2）在（1）的条件下，①求EF的长；②求点E经过的路径弧EF的长．18.如图，甲船在港口P的南偏东60°方向，距港口30海里的A处，沿AP方向以每小时5海里的速度驶向港口P；乙船从港口P出发，沿南偏西45°方向驶离港口P．现两船同时出发，2小时后甲船到达B处，乙船到达C处，此时乙船恰好在甲船的正西方向，求乙船的航行距离(，，结果保留整数)．19.已知关于x的一元二次方程mx2-(m+1)x+1=0．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若m为整数，当此方程的两个实数根都是整数时，求m的值.20.如图，直线与反比例函数的图象相交于点A（a，3），且与x轴相交于点B．（1）求该反比例函数的表达式；（2）若P为y轴上的点，且△AOP的面积是△AOB的面积的, 请直接写出点P的坐标.21.随着“节能减排、绿色出行”的健康生活意识的普及，新能源汽车越来越多地走进百姓的生活. 某汽车租赁公司拥有40辆电动汽车，据统计，当每辆车的日租金为120元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加5元时，未租出的车将增加1辆；该公司平均每日的各项支出共2100元．(1) 若某日共有x辆车未租出，则当日每辆车的日租金为元；(2) 当每辆车的日租金为多少时，该汽车租赁公司日收益最大？最大日收益是多少？22.如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，BC的延长线与⊙O的切线AF交于点F．（1）求证：∠ABC=2∠CAF；（2）若AC=，CE：EB=1：4，求CE，AF的长．23.已知二次函数y=kx2-(k+3)x+3在x=0和x=4时的函数值相等．（1）求该二次函数的表达式；（2）画出该函数的图象，并结合图象直接写出当y＜0时，自变量x的取值范围；（3）已知关于x的一元二次方程，当-1≤m≤3 时，判断此方程根的情况．24.△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE= α (0°＜α≤90°) ，点F，G，P分别是DE，BC，CD的中点，连接PF，PG．(1)如图①，α=90°，点D在AB上，则∠FPG= °；(2)如图②，α=60°，点D不在AB上，判断∠FPG的度数，并证明你的结论；(3)连接FG，若AB=5，AD=2，固定△ABC，将△ADE绕点A旋转，当PF的长最大时，FG的长为（用含α的式子表示）．25.在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x＋2与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y＝ax2＋bx－经过点A和点C (4,0) ．（1）求该抛物线的表达式．（2）连接CB，并延长CB至点D，使DB=CB，请判断点D是否在该抛物线上，并说明理由．（3）在（2）的条件下，过点C作x轴的垂线EC与直线y＝2x＋2交于点E，以DE为直径画⊙M，①求圆心M的坐标；②若直线AP与⊙M相切，P为切点，直接写出点P的坐标．答案部分1.考点：解一元二次方程试题解析：x2-2x= x（x-2）=0，∴x1 = 0，x2 = 2 ，故选B答案：B2.考点：二次函数试题解析：抛物线为顶点式，所以顶点坐标为（1，2），故选A答案：A3.考点：中心对称与中心对称图形试题解析：中心对称图形定义：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形。

2021-2022学年北京市朝阳区九年级上学期期末数学试卷(解析版)

2021-2022学年北京市朝阳区九年级（上）期末数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．3．作图可先使用2B 铅笔画出，确定后必须用0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．一、选择题（共8小题，共24.0分）1.随着年北京冬奥会日渐临近，我国冰雪运动发展进入快车道，取得了长足进步．在此之前，北京冬奥组委曾面向全球征集年冬奥会会徽和冬残奥会会徽设计方案，共收到设计方案件，以下是部分参选作品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是A. B.C. D.2.如图，四边形内接于，若，则的度数为A.B.C.D.3.对于二次函数的图象的特征，下列描述正确的是A. 开口向上B. 经过原点C. 对称轴是轴D. 顶点在轴上4.若关于的一元二次方程有一个根是，则的值为A. B. C. D. 或5.如图，，，是正方形网格中的三个格点，则是A. 优弧B. 劣弧C. 半圆D. 无法判断6.参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手次，有多少人参加活动？设有人参加活动，可列方程为A. B. C. D.7.投掷一枚质地均匀的硬币次，正面向上次，下列表达正确的是A. 的值一定是B. 的值一定不是C. 越大，的值越接近D. 随着的增加，的值会在附近摆动，呈现出一定的稳定性8.已知二次函数，当时，总有，有如下几个结论：当时，；当时，的最大值为；当时，可以取到的最大值为．上述结论中，所有正确结论的序号是A. B. C. D.二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______．10.将抛物线向上平移一个单位长度，得到的抛物线的表达式为______．11.若一个正多边形的边长等于它的外接圆的半径，则这个正多边形是正______边形．12.用一个半径为的半圆作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为______．13.某件商品的销售利润元与商品销售单价元之间满足，不考虑其他因素，销售一件该商品的最大利润为______元．第2页，共23页14.如图，一个可以自由转动且质地均匀的转盘，被分成个大小相同的扇形，指针是固定的，当转盘停止时，指针指向任意一个扇形的可能性相同指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形把部分扇形涂上了灰色，则指针指向灰色区域的概率为______．15.抛物线的对称轴及部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的两根为______．16.为了落实“双减”政策，朝阳区一些学校在课后服务时段开设了与冬奥会项目冰壶有关的选修课．如图，在冰壶比赛场地的一端画有一些同心圆作为营垒，其中有两个圆的半径分别约为和，小明掷出一球恰好沿着小圆的切线滑行出界，则该球在大圆内滑行的路径的长度为______．三、解答题（本大题共9小题，共52.0分）17.解方程：．18.已知：如图，为上的一点．求作：过点且与相切的一条直线．作法：连接；以点为圆心，长为半径画弧，与的一个交点为，作射线；以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点不与点重合；作直线．直线即为所求．使用直尺和圆规，依作法补全图形保留作图痕迹；完成下面的证明．证明：连接．由作法可知．点在以为直径的圆上．______填推理的依据．是的半径，直线与相切______填推理的依据．19.已知关于的一元二次方程．求证：方程总有两个实数根；若方程的两个根都是正整数，求的最小值．20.小明在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组与的对应值．求该二次函数的表达式；该二次函数的图象与直线有两个交点，，若，直接写出的取值范围．21.一个不透明的袋中装有个红球、个白球，这些球除颜色外，没有任何其他区别．有如下两个活动：活动：从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后从袋中剩余的球中再随机摸出一个球，摸出的两个球都是红球的概率记为；活动：从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后把这个球放回袋中并摇匀，重新从袋中随机摸出一个球，两次摸出的球都是红球的概率记为．请你猜想，的大小关系，并用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果，验证你的猜想．第4页，共23页22.如图，在中，，为上一点，以点为圆心，为半径的圆恰好与相切，切点为，与的另一个交点为．求证：平分；若，，求的长．23.在等边中，将线段绕点顺时针旋转得到线段．若线段的延长线与线段相交于点不与点，重合，写出满足条件的的取值范围；在的条件下连接，交的延长线于点．依题意补全图形；用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．24.在平面直角坐标系中，点，，在抛物线上．若，，求该抛物线的对称轴并比较，，的大小；已知抛物线的对称轴为，若，求的取值范围．25.对于平面直角坐标系中的图形和点给出如下定义：为图形上任意一点，若，两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的倍，则称点为图形的“二分点”已知点，，，．在点，，中，线段的“二分点”是______；点，若点为线段的“二分点”，求的取值范围；以点为圆心，为半径画圆，若线段上存在的“二分点”，直接写出的取值范围．第6页，共23页答案和解析1.【答案】【解析】解：是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；B.不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项不符合题意；C.既是轴对称图形又是中心对称图形．故本选项符合题意；D.是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意．故选：．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．此题考查中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合．2.【答案】【解析】解：四边形内接于，，而，，．故选：．由于四边形内接于，根据圆内接四边形的对角互补即可求得的度数，而、是同弧所对的圆周角和圆心角，根据圆周角定理即可得到的度数．此题主要考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理的综合应用，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键．3.【答案】【解析】解：，抛物线开口向下，顶点为，对称轴为直线，故选：．由二次函数解析式可得抛物线开口方向，顶点坐标及对称轴，进而求解．本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的顶点式，掌握二次函数图象与系数的关系．4.【答案】【解析】解：根据题意，得，解得，或，，，．故选：．方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，即利用方程的解代替未知数，所得到的式子左右两边相等．本题主要考查了方程解的定义，已知是方程的解实际就是得到了一个关于的方程．5.【答案】【解析】解：作和的垂直平分线，它们相交于点，如图，为小于直径的弦，为劣弧．故选：．利用垂径定理作出圆心，则可判断不是直径，从而可判断为劣弧．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．第8页，共23页6.【答案】【解析】解：设人参加这次聚会，则每个人需握手：次；依题意，可列方程为：．故选：．如果有人参加了聚会，则每个人需要握手次，人共需握手次；而每两个人都握了一次手，因此要将重复计算的部分除去，即一共握手：次；已知“所有人共握手次”，据此可列出关于的方程．考查了由实际问题抽象出一元二次方程．理清题意，找对等量关系是解答此类题目的关键；需注意的是本题中“每两人都握了一次手”的条件，类似于球类比赛的单循环赛制．7.【答案】【解析】解：投掷一枚质地均匀的硬币次，正面向上次，随着的增加，的值会在附近摆动，呈现出一定的稳定性，故选：．利用频率估计概率求解即可．本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．8.【答案】【解析】解：当时，二次函数的对称轴为轴，时，时取最小值为，或时为最大值，，时，时取最大值为，或时为最小值，，，正确．当时，，抛物线开口向上，当时，取最小值，当时，或时取最大值，或，，．由可得．当时，，当时为最大值，，，，当时，，当时为最大值，，，，综上所述，的最大值为，正确．当时，总有，当抛物线开口向上，顶点为，且经过，时，时取最大值，如图，设，把代入得，解得，，把代入得，正确，故选：．第10页，共23页把代入二次函数解析式，分类讨论与可判断，把代入二次函数解析式，分类讨论对称轴位置与直线及直线的位置关系可判断，当抛物线开口向上，顶点为，且经过，时，时取最大值，从而判断．本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．9.【答案】【解析】解：根据平面直角坐标系内两点关于原点对称横纵坐标互为相反数，点关于原点对称的点的坐标是，故答案为．根据平面直角坐标系内两点关于原点对称横纵坐标互为相反数，即可得出答案．本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点对称的坐标变化，难度不大．10.【答案】【解析】解：将抛物线向上平移一个单位长度，得到的抛物线的表达式为，故答案为：．根据平移的规律：左加右减，上加下减可得函数解析式．此题主要考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握平移的规律．11.【答案】六【解析】解：一个正多边形的边长等于它的外接圆的半径，相邻的两条的半径和一条边长构成一个等边三角形，中心角为，正多边形的边数为，故答案为：六．根据正六边形的性质得到相邻的两条的半径和一条边长构成一个等边三角形，求得中心角为，于是得到结论．本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是根据边长等于半径确定中心角的度数，难度不大．12.【答案】【解析】解：设圆锥底面的半径为，根据题意得，解得：．故答案为：．设圆锥底面的半径为，由于圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，则，然后解方程即可．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．13.【答案】【解析】解：．当时，最大值是．故答案为：．根据二次函数的性质可得最大值．本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是关键．14.【答案】【解析】解：转盘分成个大小相同的扇形，颜色分为灰、白二种颜色，指针指向白色区域的概率是．故答案为：．根据随机事件概率大小的求法，找准两点：符合条件的情况数目；全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．第12页，共23页本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．15.【答案】，【解析】解：根据图象可得：图象与轴的一个交点是，对称轴是：，关于的对称点是：，则抛物线与轴的交点是：和，关于的一元二次方程的两根为：，．故答案为：，．根据抛物线的对称性即可求解．本题考查了二次函数的性质，理解二次函数与轴的交点的横坐标就是对应的方程的解是解题关键．16.【答案】【解析】解：如图，设小圆的切线与小圆相切于点，与大圆交于、，连接、，，，在中，，，，，即该球在大圆内滑行的路径的长度为，故答案为：．设小圆的切线与小圆相切于点，与大圆交于，连接、，根据切线的性质定理和垂径定理求解即可．本题考查切线的性质定理、垂径定理、勾股定理，熟练掌握切线的性质和垂径定理是解答的关键．17.【答案】解：这里，，，，，，．【解析】方程利用公式法求出解即可．本题考查了解一元二次方程，能熟记公式是解此题的关键．18.【答案】直径所对的圆周角是直角过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线【解析】解：如图，直线即为所求；连接．由作法可知．点在以为直径的圆上．直径所对的圆周角是直角，是的半径，直线与相切过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线．故答案为：直径所对的圆周角是直角，过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线．第14页，共23页根据要求作出图形即可；利用圆周角定理解决问题即可．本题考查作图复杂作图，圆周角定理，切线的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．19.【答案】证明：依题意，得．，．方程总有两个实数根．解：解方程，得，，方程的两个实数根都是正整数，．．的最小值为．【解析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出，由偶次方的非负性可得出，即，进而可证出方程总有两个实数根；利用因式分解法解一元二次方程，可得出，，结合方程的两个实数根都是正整数，即可得出的取值范围，取其中的最小整数即可得出结论．本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解法，在解答时得到方程的两个根是解题的关键．20.【答案】解：由表格数据结合二次函数图象对称性可得图象顶点为，设二次函数的表达式为，将代入得，解得，该二次函数的表达式为或；令，整理得，设点、的横坐标为，，，是方程的两个实数根，，，，，，，即，，的取值范围是．【解析】根据待定系数法即可求得；把函数的问题转化为方程的问题，利用根与系数的关系即可得到关于的不等式，解不等式即可求得．本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，把函数问题转化为方程问题是解题的关键．21.【答案】解：猜想，理由如下：活动，画树状图如下：共有种等可能的结果，其中摸出的两个球都是红球的结果有种，；活动，画树状图如下：共有种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的结果有种，第16页，共23页，，．【解析】分别画树状图，由概率公式求出，的大小，即可得出结论．本题考查了树状图法求概率；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比；正确画出树状图是解题的关键．22.【答案】证明：连接，与圆相切，，在和中，，≌，，平分；解：设圆的半径为，则，，，，，，在中，，，．【解析】连接，由圆与相切得，由定理证明≌，由全等三角形的性质得，即可得证；设的半径为，则，得出关系式，求出，可得出的长，在中，由正切值求出，在中，由勾股定理求出即可．本题考查了圆与直线的位置关系，全等三角形的判定与性质、三角函数以及勾股定理，掌握切线的性质是解题的关键．23.【答案】解：如图，从图可得：；如图，如图，第18页，共23页，理由如下：作交于，，，设，是等边三角形，，，，在和中，，≌，，，在中，，，，，．【解析】将和延长，则点内部；在基础上，取一点，画出图形；作交于，证明≌，从而得出，计算得出，进一步得出结果．本题考查了根据条件画图，全等三角形的判定和性质，等边三角形性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．24.【答案】解：，，，抛物线开口向上，对称轴为直线，，．把代入得，抛物线经过原点，时，抛物线开口向上，，，当时，，，，当时，，满足题意．时，抛物线开口向下，，第20页，共23页，时，随增大而减小，，不符合题意．综上所述，．【解析】将，代入函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解．由抛物线解析式可得抛物线经过原点，分别讨论与两种情况．本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不等式的关系．25.【答案】B、【解析】解：如图，点到的最大距离是，到的最小距离是，点不是的二分点，，，，点是的二分点，，，点是的二分点，故答案是：、；如图，当是最小值时，最大值是，，舍去，，当最小值是时，，最大值是时，，，综上所述：或；如图，当点在外时，设点在上，，，假设是的二分点，，，，；第22页，共23页如图，点在内，，，，，综上所述：或．计算每个点到的最大和最小值，可推断出结果；分为当最小值是，和最大值是两种情形；当上的点在圆外和外内两种情形；本题考查了点到线段上的点的距离，及点到圆的点最值问题，解决问题的关键是分为点在圆外和圆内两种情形讨论．。

2021-2022学年北京市朝阳区九年级上学期期末数学试题

故答案为：直径所对的圆周角是直角，切线的判定定理．
【点睛】本题考查基本作图-画圆、圆周角定理、切线的判定定理，熟知复杂作图是在基本作图的基础上进行作图，一般是结合几何图形的性质，因此熟练掌握基本图形的性质和切线的判定是解答的关键．
19.已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个根都是正整数，求a的最小值．
C.对称轴是y轴D.顶点在x轴上
【答案】D
【分析】根据二次函数的性质判断即可．
【详解】在二次函数中，
∵ ，
∴图像开口向下，故A错误；
令，则，
∴图像不经过原点，故B错误；
二次函数的对称轴为直线，故C错误；
二次函数的顶点坐标为，
∴顶点在x轴上，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数相关性质是解题的关键．
【详解】投掷一枚质地均匀的硬币正面向上的概率是，而投掷一枚质地均匀的硬币正面向上是随机事件，是它的频率，随着m的增加，的值会在附近摆动，呈现出一定的稳定性；
故选：D
【点睛】本题考查对随机事件的理解以及频率与概率的联系与区别．解题的关键是理解随机事件是都有可能发生的时间．
8.已知二次函数，当时，总有，有如下几个结论：
故选：C．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.如图，四边形ABCD内接于，若，则的度数为（）
A. 50°B. 100°C. 130°D. 150°
【答案】B
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A的度数，根据圆周角定理计算即可．

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北京市朝阳区2016～2017学年度第一学期期末检测九年级数学试卷（选用） 2017.1(考试时间120分钟满分120分)一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个. 1．二次函数2(1)3y x =--的最小值是( )(A) 2 (B) 1 (D) -2 (D ) -3 2．下列事件中，是必然事件的是( )(A) 明天太阳从东方升起； (B) 射击运动员射击一次，命中靶心；(C) 随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数； (D) 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯.3．一个不透明的盒子中装有6个大小相同的乒乓球，其中4个是黄球，2个是白球．从该盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是( )(A)23 (B) 12 (C) 25 (D) 134．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别交AB ，AC 于点D ，E ，若AD :DB =1:2，则△ADE 与△ABC 的面积之比是( )(A) 1:3 (B) 1:4 (C) 1:9 (D) 1:165. 已知点A （1，a ）与点B （3，b ）都在反比例函数12y x=-的图象上，则a 与b 之间的关系是( )(A) a ＞b (B) a ＜b (C) a ≥b (D) a =b6. 已知圆锥的底面半径为2cm ，母线长为3cm ，则它的侧面展开图的面积为（）B(A) 18πcm 2(B) 12πcm 2(C) 6πcm 2(D) 3πcm 27. 已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时,电流I (单位:A)与电阻R (单位:Ω)是反比例函数关系,它的图象如图所示.则用电阻R 表示电流I 的函数表达式为（） (A) 3I R =(B) I R=-6 (C) 3I R=-(D) I R=6 8．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，若⊙O 的半径为5，AC =8.则cos B 的值是（）(A) 43 (B) 35(C) 34 (D) 459.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名着，书中有这样一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”此问题中，该内切圆的直径是（）(A) 5步 (B) 6步 (C) 8步 (D)10步10. 已知二次函数y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)和一次函数y 2＝kx ＋n (k ≠0)的图象如图所示，下面有四个推断:①二次函数y 1有最大值②二次函数y 1的图象关于直线1x =-对称 ③当2x =-时，二次函数y 1的值大于0④过动点P (m ，0)且垂直于x 轴的直线与y 1，y 2的图象的交点分别为C ，D ，当点C 位于点D 上方时，m 的取值范围是m ＜-3或m ＞-1．其中正确的是（） (A)①③(B)①④(C)②③(D)②④二、填空题（本题共18分，每小题3分）I /A R Ω32O DACOByx–1–2–3123–1–2123O11. 将二次函数y =x 2-2x -5化为y=a (x-h )2+k 的形式为y= ． 12．抛物线22y x x m =-+与x 轴有两个公共点，请写出一个符合条件的表达式为．13. 如图，若点P 在反比例函数3(0)y x x =-<的图象上，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ，则矩形PMON 的面积为 .14．某农科所在相同条件下做某种作物种子发芽率的试验，结果如下表所示：则该作物种子发芽的概率约为．15.如图，△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边上一点，连接DE ．请你添加一个条件，使△ADE ∽△ABC ，则你添加的这一个条件可以是（写出一个即可）.16．阅读下面材料：在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题：的依据B（2）∠APB =∠ACB 的依据是．三、解答题（本题共72分，第17-26题每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算：o o o 2sin 45tan 602cos30++18．如图，△ABC 中，点D 在边AB 上，满足∠ACD =∠ABC ，若AC，AD = 1，求DB 的长.19．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：（1 （2）求出该函数图象与x 轴的交点坐标．20. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的三个顶点分别为A (2，6)，B (4，2), C (6，2).（1）以原点O 为位似中心，将△ABC 缩小为原来的12，得到△DEF . 请在第一象限内，画出△DEF .（2）在（1）的条件下，点A 的对应点D 的坐标为，点B 的对应点E 的坐标为 . 21. 如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O 为圆心的圆的一部分.如果M 是⊙O 中弦CD 的中点，EM 经过圆心O 交⊙O 于点E ，CD =10，EM =25.求⊙O 的半径.22．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，点D 是BC （1）求AD 和AB 的长；（2）求sin ∠BAD 的值.23. 已知一次函数21y x =-+的图象与y 轴交于点A , 点B函数）（0≠=k xky 图象在第二象限内的交点．（1）求点B 的坐标及k 的值；（2）试在x 轴上确定点C ，使AC AB =，直接写出点C 的坐标．24．如图，用一段长为40m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃ABCD ，墙长28m.设AB 长为x m ，矩形的面积为y m 2. （1）写出y 与x 的函数关系式；（2）当AB 长为多少米时，所围成的花圃面积最大？最大值是多少？（3）当花圃的面积为150m 2时，AB 长为多少米？25．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上两点，且»BC=»CD ，过点C 的直线CF ⊥AD 于点F ，交AB 的延长线于点E ，连接AC .（1）求证：EF 是⊙O 的切线；（2）连接FO ，若sin E =12,⊙O的半径为r ，请写出求线段FO26．某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数y = -x 2+2x +1的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：（1）自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应数值如下表：其中m = ；（2）如下图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（3①该函数的一条性质②直线y =kx +b的实数根，则b 的取值范围是 .27．在平面直角坐标系xOy 中，直线y =14-x +n 经过点A (-4, 2)，分别与x ，y 轴交于点B ，C ，抛物线y = x 2-2mx +m 2-n 的顶点为D . (1) 求点B ，C 的坐标；(2) ①直接写出抛物线顶点D 的坐标（用含m 的式子表示）；②若抛物线y = x 2-2mx +m 2-n 与线段BC 有公共点，求m 的取值范围.28．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，O 为AB 边上的一点，且tan B =21，点D 为AC 边上的动点（不与点A ，C 重合），将线段OD 绕点O 顺时针旋转90°，交BC 于点E .如图1，若O 为AB 边中点， D 为AC 边中点，则OEOD的值为；（2）若O 为AB 边中点， D 不是AC 边的中点，①请根据题意将图2补全；②小军通过观察、实验，提出猜想：点D 在AC 边上运动的过程中，（1）中OE OD的值不变.小军把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了求OE OD的值的几种想法：想法1：过点O 作OF ⊥AB 交BC 于点F ，要求OE OD的值，需证明△OEF ∽△ODA .想法2：分别取AC ，BC 的中点H ，G ，连接OH ，OG ，要求OE OD的值，需证明△OGE ∽△OHD .想法3：连接OC ，DE ，要求OE OD的值，需证C ，D ，O ，E 四点共圆.......请你参考上面的想法，帮助小军写出求OE OD的值的过程(一种方法即可)；（3）若1BO BAn=（n ≥2且n 为正整数），则OE OD的值为（用含n 的式子表示）.y–1–2–3–41234–1–2123O29．在平面直角坐标系xOy 中，e C 的半径为r （r ＞1），P 是圆内与圆心C 不重合的点，e C 的“完美点”的定义如下：若直线．．CP 与e C 交于点A ，B ，满足2PA PB -=，则称点P 为e C 的“完美点”，下图为e C 及其“完美点”P 的示意图. (1) 当O e 的半径为2时，①在点M (32,0)，N (0,1)，31(,)2T --中， O e 的“完美点”是； ② 若O e 的“完美点”P 在直线3y x =上，求PO 的长及点P 的坐标；(2) C e 的圆心在直线31y x =+上，半径为2，若y 轴上存在e C 的“完美点”，求圆心C 的纵坐标t 的取值范围.北京市朝阳区2016～2017学年度第一学期期末检测九年级数学试卷参考答案及评分标准 2017.1一、选择题（本题共30分，每小题3分）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 DAACBCDBBD二、填空题（本题共18分，每小题3分）111213 14 (x -1)2-6答案不唯一，m ＜1即可．如：22y x x =-．3答案不唯一．如：0.910．图2图1三、解答题（本题共72分，第17-26题每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17. 解：2sin 45tan 602cos30︒+︒+︒=18.解：∵,ACD ABC ∠=∠A A ∠=∠，∴△ACD ∽△ABC ． ∴AC ADAB AC=． ∴AB =． ∴3AB =． ∴2DB =． 19.解：(1) 由题意，得c = -3.将点（2， 5），（-1，-4）代入，得解得1,2.a b =⎧⎨=⎩∴223y x x =+- . 顶点坐标为（-1，-4）. (2) （-3，0），（1，0）.20.解：(1) 如图.(2) D（1，3），E（2，1）．21.解：如图，连接OC，∵M是弦CD的中点，EM过圆心O，∴EM⊥CD．∴CM=MD．∵CD=10，∴CM =5．设OC=x，则OM=25-x，在Rt△COM中，根据勾股定理，得52+(25-x)2=x2．解得x=13．∴⊙O的半径为13．22. 解： (1) ∵D是BC的中点，CD=2，∴BD=DC=2，BC=4.在Rt△ACB中，由 tan B=34 ACCB=，∴3 44 AC=.∴AC=3.∴AD13，AB=5 .(2) 过点D作DE⊥AB于E，∴∠C=∠DEB=90°.又∠B=∠B，∴△DEB∽△ACB.∴DE DB AC AB=.∴235DE =. ∴65DE =.∴sin BAD ∠=23. 解：(1) ∵点B (-1，n )在直线21y x =-+上，∴21 3.n =+= ∴B （-1，3）．∵点B (-1，3)在反比例函数xky =的图象上， ∴3k =-．(2) ()2,C -0或()2，0．24. 解：(1) 2240y x x =-+．(2) 由题意，得0402028x x -≤⎧⎨⎩＞，＜．∴6≤x ＜20 ．由题意，得 ()2210200y x =--+.∴当x =10时，y 有最大值，y 的最大值为200. ∴当AB 长为10m 时，花圃面积最大，最大面积为200m 2. (3) 令y =150，则 2240150x x -+=. ∴ 125,15x x == . ∵6≤x ＜20， ∴x =15.∴当AB长为15m时，面积为150m2.25. (1) 证明：如图，连接OC，∵OC=OA，∴∠1 =∠2.∵»BC=»CD，∴∠1 =∠3.∴∠2 =∠3.∴OC∥AF.∵CF⊥AD，∴∠CFA=90°.∴∠OCF=90°.∴OC⊥EF.∵OC为⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线.(2) 解：求解思路如下:①在Rt△AEF和Rt△OEC中，由sin E=12,可得△AEF，△OEC都为含30°的直角三角形;②由∠1 =∠3，可知△ACF为含30°的直角三角形;③由⊙O的半径为r，可求OE，AE的长，从而可求CF的长；④在Rt△COF中，由勾股定理可求OF的长.26. 解：(1) m= 1.(2)如图.（3）①答案不唯一.如：函数图象关于y轴对称.②1＜b＜2.27. 解： (1) 把A （-4，2）代入y =14-x +n 中，得n =1.∴ B （4，0），C （0，1）. (2) ①D （m ，-1）.②将点（0，1）代入2221y x mx m =-+-中，得211m =-.解得12m m = 将点（4，0）代入2221y x mx m =-+-中，得201681m m =-+-.解得 125,3m m ==.∴5m ≤ .28.解：(1) 12.(2) ①如图.②法1:如图，过点O 作OF ⊥AB 交BC 于点F ， ∵∠DOE =90°，∴∠AOD +∠DOF =∠DOF +∠FOE =90°. ∴∠AOD =∠FOE . ∵∠ACB =90°，∴∠A +∠B =∠OFE +∠B =90°. ∴∠A =∠OFE .∴△OEF ∽△ODA .∴OE OF OD OA=. ∵O 为AB 边中点， ∴OA =OB .在Rt △FOB 中，tan B =21，∴12OF OB =. ∴1.2OF OA = ∴12OE OD =. 法2:如图，分别取AC ，BC 的中点H ，G ，连接OH ，OG ， ∵O 为AB 边中点，∴OH ∥BC ，OH =12BC ，OG ∥AC .∵∠ACB =90°， ∴∠OHD =∠OGE =90°. ∴∠HOG =90°. ∵∠DOE =90°，∴∠HOD +∠DOG =∠DOG +∠GOE =90°. ∴∠HOD =∠GOE . ∴△OGE ∽△OHD . ∴OE OGOD OH=. ∵tan B =21，FED∴1.2OG GB = ∵OH =GB ， ∴1.2OG OH = ∴12OE OD =. 法3:如图，连接OC ，DE ，∵∠ACB =90°，∠DOE =90°，∴DE 的中点到点C ，D ，O ，E 的距离相等. ∴C ，D ，O ，E 四点共圆. ∴∠ODE =∠OCE . ∵O 为AB 边中点， ∴OC =OB . ∴∠B =∠OCE . ∴∠ODE =∠B .∵tan B =21，∴12OE OD =. (3)122n -. 29. 解：(1) ①N ，T .②如图，根据题意，2PA PB -=，∴∣OP +2-(2- OP )∣=2. ∴OP =1.若点P 在第一象限内，作PQ ⊥x 轴于点Q ，yx11Q ABPO∵点P在直线3y x=上，OP=1，∴OQ=12，PQ=32.∴P(12，32).若点P在第三象限内，根据对称性可知其坐标为(-12，3综上所述，PO的长为1，,点P的坐标为(12，3)或(-12，-32).(2)对于e C的任意一个“完美点”P都有2PA PB-=，即2(2)2CP CP+-=-.可得CP=1.对于任意的点P，满足CP=1，都有2(2)2CP CP+-=-，即2PA PB-=，故此时点P为e C的“完美点”.因此，e C的“完美点”的集合是以点C为圆心，1为半径的圆.设直线31y x=+与y轴交于点D，如图，当e C移动到与y轴相切且切点在点D的下方时，t的值最小.设切点为E，连接CE，可得DE3t的最小值为13-当e C移动到与y轴相切且切点在点D的上方时，t的值最大.同理可得t的最大值为1综上所述，t的取值范围为1-t ≤1+说明：以上答案仅供参考，若有不同解法，只要过程和解法都正确，可相应给分.祝老师们假期愉快！。