(最新)2019高考数学二轮复习 每日一题 规范练(第一周)文

每日一题 规范练(第一周)

[题目1] (本小题满分12分)已知{a n }是公差不为零的等差数列，满足a 3＝7，且a 2，

a 4，a 9成等比数列．

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设数列{b n }满足b n ＝a n ·a n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

1b n 的前n 项和S n .

解：(1)设数列{a n }的公差为d ，且d ≠0，

由题意，得⎩

⎪⎨⎪⎧a 2

4＝a 2a 9，

a 3＝7，

即⎩

⎪⎨⎪⎧（7＋d ）2＝（7－d ）（7＋6d ），

a 1＋2d ＝7， 解得⎩⎪⎨

⎪

⎧d ＝3，a 1＝1，

所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2. (2)由(1)得b n ＝a n ·a n ＋1＝(3n －2)(3n ＋1)， 所以1b n ＝13⎝ ⎛⎭

⎪⎫1

3n －2－13n ＋1，

S n ＝1b 1＋1b 2＋…＋1

b n

＝13(1－14＋14－17＋…＋13n －2－13n ＋1) ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＋1

＝

n 3n ＋1

. [题目2] (本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω＞0)的最小正周期为π.

(1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；

(2)讨论函数f (x )在⎣

⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性．

解：(1)因为f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4，

又T ＝π，所以ω＝2， 所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫2x －π4

.

令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋3π

8(k ∈Z)，

即函数y ＝f (x )图象的对称轴方程为x ＝

k π2＋3π

8

(k ∈Z)．

(2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π

2

(k ∈Z)，

得函数f (x )的单调增区间为[k π－π8，k π＋3π

8

](k ∈Z)．

注意到x ∈⎣

⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，

令k ＝0，得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8，其单调减区间为⎝

⎛⎦⎥⎤3π8，π2.

[题目3] (本小题满分12分)《中国诗词大会》是央视推出的一档以“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”为宗旨的大型文化类竞赛节目，邀请全国各个年龄段、各个领域的诗词爱好者共同参与诗词知识比拼．“百人团”由一百多位来自全国各地的选手组成，成员上至古稀老人，下至垂髫小儿，人数按照年龄分组统计如下表：

(1)别抽取的挑战者的人数；

(2)从(1)中抽出的6人中任选2人参加一对一的对抗比赛，求这2人来自同一年龄组的概率．

解：(1)因为样本容量与总体个数的比是6108＝118，

所以从年龄在[7，20)抽取的人数为1

18×18＝1，

从年龄在[20，40)抽取的人数为1

18×54＝3，

从年龄在[40，80]抽取的人数为1

18

×36＝2，

所以从年龄在[7，20)，[20，40)，[40，80]中抽取的挑战者的人数分别为1，3，2. (2)设从[7，20)中抽取的1人为a ，从[20，40)中抽取的3人分别为b ，c ，d ，从[40，80]中抽取的2人为e ，f .

从这6人中任取2人构成的所有基本事件为(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(a ，f )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(b ，f )，(c ，d )，(c ，e )，(c ，f )，(d ，e )，(d ，f )，(e ，f )，共15个，

每人被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的，

记事件A 为“2人来自同一年龄组”，包含(b ，c )，(b ，d )，(c ，d )，(e ，f )，共4个基本事件，则P (A )＝415

，

故2人来自同一年龄组的概率为4

15

.

[题目4] (本小题满分12分)如图，四棱锥P ­ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，AD ∥BC ，AB ＝

BC ＝12

AD ，E ，F 分别为线段AD ，PC 的中点．

(1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：BE ⊥平面PAC .

证明：(1)设AC ∩BE ＝O ，连接OF ，EC .

由于E 为AD 的中点，AB ＝BC ＝1

2AD ，AD ∥BC ，

所以AE ∥BC ，AE ＝AB ＝BC ， 因此四边形ABCE 为菱形， 所以O 为AC 的中点．

又F 为PC 的中点，因此在△PAC 中，可得AP ∥OF . 又OF ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF . 所以AP ∥平面BEF .

(2)由题意知ED ∥BC ，ED ＝BC . 所以四边形BCDE 为平行四边形， 因此BE ∥CD . 又AP ⊥平面PCD ， 所以AP ⊥CD ， 因此AP ⊥BE .

因为四边形ABCE 为菱形， 所以BE ⊥AC .

又AP ∩AC ＝A ，AP ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，

所以BE ⊥平面PAC .

[题目5] (本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2

4

＋y 2

＝1，点

P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)是椭圆C 上两个动点，直线OP ，OQ 的斜率分别为k 1，k 2，若m ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫x 12

，y 1，

n ＝⎝

⎛⎭

⎪⎫x 22，y 2，m ·n ＝0.

(1)求证：k 1·k 2＝－1

4

；

(2)试探求△OPQ 的面积S 是否为定值，并说明理由． (1)证明：因为k 1，k 2存在，所以x 1x 2≠0， 因为m ·n ＝0，所以x 1x 2

4

＋y 1y 2＝0，

所以k 1·k 2＝

y 1y 2x 1x 2＝－1

4

. (2)解：①当直线PQ 的斜率不存在， 即x 1＝x 2，y 1＝－y 2时，

由y 1y 2x 1x 2＝－14，得x 214

－y 2

1＝0，(*) 又由P (x 1，y 1)在椭圆上，得x 21

4＋y 2

1＝1，(**)

由(*)、(**)联立，得|x 1|＝2，|y 1|＝22

. 所以S △POQ ＝1

2

|x 1|·|y 1－y 2|＝1.

②当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋b (b ≠0)．

由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2

4＋y 2

＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kbx ＋4b 2

－4＝0， Δ＝64k 2b 2－4(4k 2＋1)(4b 2－4)＝16(4k 2＋1－b 2)＞0，

x 1＋x 2＝－8kb 4k 2＋1，x 1x 2＝4b 2

－44k 2＋1.

因为x 1x 2

4＋y 1y 2＝0，

所以

x 1x 2

4

＋(kx 1＋b )(kx 2＋b )＝0，得2b 2

－4k 2

＝1，满足Δ＞0.

所以S △POQ ＝12·|b |

1＋k

2

·|PQ |