人教版八年级数学 几何培优讲义设计 第6讲 夹半角模型 无答案

第6 讲夹半角模型

知识目标

模块一夹半角的模型例1、例2、例3难度：★★★

模块二夹半角的应用例4、例5、例6难度：★★★

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模块一夹半角的模型

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夹半角，顾名思义，是一个大角夹着一个大小只有其一半的角，如下图所示。

这类题目有其固定的做法，当 取不同的值的时候，也会有类似的结论，下面我们就来看一看这一类问题。夹半角的常见分类：

（1）90 度夹45 度

（2）120 度夹60 度

（3）2α夹α

题型一90 度夹45 度

【例1】如图，正方形ABCD 中，E 在BC 上，F 在CD 上，且∠EAF＝45°，求证：（1）BE＋DF＝EF （2）∠AEB＝∠AEF

【练习】在例1 的条件下，若E 在CB 延长线上，F 在DC 延长线上，其余条件不变，证明：

（1）DF－BE＝EF

（2）∠AEB＋∠AEF＝180°

夹边角和勾股定理结合会产生很多有趣的结论，比如：

（1）已知△ABC 为等腰三角形，∠ACB＝90°，M、N 是AB 上的点，∠MCN＝45°，求证：AM2＋BN2＝MN2

（2）如图，正方形ABCD 中，F 为CD 中点，点E 在BC 上，且∠EAF＝45°，求证：点E 为线段BC 靠近B 的三等分点．

题型二120 度夹60 度

【例2】已知如图，△ABC 为等边三角形，∠BDC＝120°，DB＝DC，M、N 分别是AB、AC 上的动点，且∠MDN＝60°，求证：MB＋CN＝MN．

【练习】如图，四边形ABCD 中，∠A＝∠BCD＝90°，∠ADC＝60°，AB＝BC，E、F 分别在AD、DC 延长线上，且∠EBF＝60°，求证：AE＝EF＋CF．

真题演练

在等边△ABC 的两边AB、AC 所在直线上分别有两点M、N．D 为△ABC 外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC ＝120°，BD＝DC．探究：当M、N 分别在直线AB、AC 上移动时，BM、NC、MN 之间的数量关系以及△AMN 的周长Q 与等边△ABC 的周长L 的关系．

（1）当点M、N 在边AB、AC 上，且DM＝DN 时，BM、NC、MN 之间的数量关系是；

Q

此时＝；（不必证明）

L

（2）当点M、N 在边AB、AC 上，且当DM≠DN 时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；

（3）当M、N 分别在边AB、CA 的延长线上时，若AN＝2，则Q＝（用含有L 的式子表示）

题型三 2α夹α

【例 3】如图，在四边形 ABDC 中，M 、N 分别为 AB 、AC 上的点，若∠BAC ＋∠BDC ＝180°，BD ＝DC ， 1 ∠MDN ＝ 2

∠BDC ，求证：BM ＋CN ＝MN ．

【练习】如图，在例 3 的条件下，若 M 、N 分别为 BA 延长线、AC 延长线上的点，∠BAC ＋∠BDC 1 ＝180°，BD ＝DC ，∠MDN ＝ 2

∠BDC ，探究：线段 BM 、CN 、MN 的数量关系．

模块二 夹半角模型的应用

【例 4】 如图，在直角坐标系中，A 点的坐标为（ a ，0），B 点的坐标为（ b ，0），且 a 、 b 满足

= a +12

0，若 D （0，4），EB ⊥OB 于 B ，且满足∠EAD ＝45°，试求线段 EB 的长度．

a -

b + a 2 -144

a + 1 【例 5】点 A （ a ，0）、B （0，

b ）分别在 x 轴、 y 轴上，且 a - b + a 2

- 6a + 9 = 0． （1）求 a ， b 的值

（2）如图 1，若线段 AB 的长为3 2 ，点 C 为 y 轴负半轴上的一点，且射线 CA 平分△AOB 的外角∠BA x ， 求点 C 的坐标．

（3）如图 2，取点 D （0,2）并连接 AD ，将△AOD 沿直线 AD 折叠得到△ADE ，过点 B 作 y 轴的垂线 BF 交射线 DE 的延长线于 F 点，连接 AF ，求 BF 的长．

【例 6】如图，在平面直角坐标系中，点 A （0， b ），点 B （ a ，0），点 D （ d ，0），且 a 、b 、 d 满

足 + b - 3 + (2 - d )2 = 0 ，DE ⊥ x 轴且∠BED ＝∠ABD ，BE 交 y 轴于点 C ，AE 交 x 轴于点 F ．

（1）求点 A 、点 B 、点 D 的坐标；

（2）求点 E 、点 F 的坐标；

（3）如图，过 P （0，－1）作 x 轴的平行线，在该平行线上有一点 Q （点 Q 在点 P 的右侧）使∠QEM ＝ 45°，QE 交 x 轴于点 N ，ME 交 y 轴的正半轴于点 M ，确定 AM - MQ

的值．

PQ

第 6 讲【课后作业】夹半角

1．如图，E是正方形ABCD 中CD 边上的任意一点，以点A 为中心，把△ADE 顺时针旋转90°得△AB E1 ，的平分线交BC 边于点F，求证：△CFE 的周长等于正方形ABCD 的周长的一半．

∠EA E

1

2．如图△ABC 是边长为3 的等边三角形，△BDC 是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB、AC 于M、N，连接MN，则△AMN 的周长为．

3．已知如图，五边形ABCDE 中，AB＝AE，BC＋DE＝CD，∠ABC＋∠AED＝180°．

求证：（1）AD 平分∠CDE；（2）∠BAE＝2∠CAD．