2021高等数学基础作业答案
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3.解: 《髙等数学基础》作业丄参考贅案第1章 函 数 第2章极限与连续/(2)—2,/(0) = 0,/ ⑴"之.2x —1 ------ >0, x x^O.•.函数y = lg 红丄的定义域为(-8, 0)ol-,+oo I.如图，梯形ABCD 为半圆o 的内接梯形，ABDDC, AB=2R,高DE=x连接OD,则DDEO 为直角三角形，OD=R, QE=^J R 2-X 2, DC = IOC= 2^R 2-x 2,梯形的面积S=gr ＞E （DC+AB ）=［（27?+2保 一/） +兀2）,（其中0＜兀＜人）X sin 3x 2x 3 3“ sin3x “ 2x 34.解：原式=lim -------------------- =—lim -------- lim ------- =—io 3X sin 2x 2 2 3x sin 2x 2解：原式=lim 沁•丄 = 31im 沁Jim 丄" XTO 3x cos 3x “To 3X XTOCOS 3兀二、填空题1.(3,+8);2.—X ； 3.? ； 4.e;5.兀=0 ；6.无穷小量.一、单项选择题1.C2. C3.B4. C5. D6. C7. A三、计算题2.解: 要使ig2口 有意义，必须X 5.X+1解：原式=lim —(x-1) = lim — xT-isin(x + l) xT-isi _¥ + ]———・lim(x-1) = -2sin(x + l)工*+ x 2解：原式=limXT Olimx 2 •smx+ x 2 +1 • sin x(5)解：/ = --—^―——2x sinx-(lnx-x 2)cosx sin x x 丿1-2x 2 x 2 - In x = -------------- H ---------- T ----- COS X• • 2xsmx sin x（6）解：二 4兀3 — cos 兀In 兀一 *m 兀.8.解：原式=limXT8 x+3x-1x+39.解：原式=lim XT 4 (x-4)(x-2) (x —4)(x —1) = i im £z^ = Z XT4 X -1 3 第三章 导数与微、 单项选择题 l.B 2.D 3. A 4.D 5. C 二、填空题 21nx+511. 0；2.；3.—；x24. y —1 = 0；5. 2%2X(in x+1)；6.三、计算题 1.求下列函数的导数；/：(W ： 3 —x^e 2、 y 丿 C 3 込+3 /,・•・ (2)解： y = ----- ——2xlnx + x 2 • —= ----- ——2xlnx+xsin x x sin xxIn 2x(21nx-l).1cosx + 2x)-3x ln3(sinx+x 2)J⑵解：y - 1 •(cosx ) cos x ( 12 (3)解：y = X x - X 1I 7 J(4)解：y =2 sin x-(sinx) =2sinx-cos x =sin 2x.(8)解：= e x tan x + e x------- + — COS X X x ( 1)1—c tan x -\ ------ - — H —.V COS X) X 2.求下列函数的导数;/：(1)解：V 二”・(石)-~—j=e^.(5) 解：/ = cosx 2 -(x 2) = 2xcos x (6) 解：)/二—sine" •(/) = -e x -sin e x ・(7) 解：y = n sin n_1 x-cosx-cos nx +sin n x (-sinnx)-n =n sin n_1 x• (cosxcos nx-sin x sin nx) - nsin M_1 x-cos(n + l)x (8) 解:/ = 5sinx -In5 (sin x) = 5sinx cosxIn5. (9)解:y =严空容打=—sin 兀严二 3.在下列方程中，y = y(x)是由方程确定的函数，求;/：(1) 解:/cosx+ y(-sinx) = e 2y - 2y\ y(cosx-^2y ) = ysin x,⑺解：y'\2smx ----- = -tanx cosxZ 7 -1ysinx 「•y=-cosx-^ 丿(2)解：/ = -sin y- /Inx+ C0S ,xa • i x , cosy(l + smylnx)y = -------- ,x.,_ cos yx(l + sin yin x)(3)解：ysiny = p两边求导，得，.丄,1y smy + ycosy y =—,.,= 12(siny+ycosy)(4)解：y=i+—=i+—.y y(5)解丄+ e y -y' = 2y- /,x1(6)解：2y y =e x sin y + e x・cosy[ly-e x cosy)y = e siny,, e x sin y・•・y = ----------- .2y-e x cosy(7)解:e y -y=e x-3y2 -y,("+3b)y = k/ b-(8)解:y = 5x ln5 + 2y ln2-y,(l-2y ln2)/ = 5r ln5,,5Tn5.•- y = .1-2524.求下列函数的微分芳:(1)解：y' = — esc2 x-cot2 x esc x = - esc x(cotx + esc x), dy = y dx —一esc x (cot x + esc x) dx.— sin x 一 cos xln x.(c 、心 / r sin x - xcos xln x 2 解:v y = 2 ------------- --- ---------- = ------------- -- ---------sin x xsin x , sin x -兀cos xln x . ay = --------------- -- ------- ax. x sin x (3) 解：T y f = 2 sin % cos x = sin 2x, dy = sin 2xdx. (4)解:・.・ y - sec 2 e x • e x = e x sec 2 x, dy = e x sec 2 xdx.5. 求下列函数的二阶导数:(2)解：y = 3Tn3, = 3X In 2 3.⑶解：y=-,X“ 1(4)解:/ = sinx + xcosx,^ = cosx + (cosx-xsinx) = 2cosx-xsin x.四、证明题证：由题设，有/ （一兀）=一 / （兀）,••• [/（—X ）]' = [_八尢）]'' 即/'（-兀）（- 1）= -厂（兀）， 厂（-兀）=厂（兀） /.厂（X ）是偶函数.《髙等数学基础》、作业3参考答案'第四章导数的应用一、单项选择题1. D2. D3. A4.C5. C6. A二、填空题1.极小值；2. 0；3. (-00,0)；4.(0,+8)；5. /(a)；6. (0,2).三、 计算题1•解：令# =（兀-5『+ 2（兀+1）（兀一5） = 3（兀一 5）（兀一1） = 0, 得：x x = l,x 2 =5.(i)解:y=^=2 I 2 丿 432列表如下・・・函数y的单调增区间为（-汽1）,（5,+-）,单调减区间为（1,5）. 当x二1时，函数取得极大值32；当x二5时，函数取得极小值0.2.解：令# = 2兀一2 = 2（兀一1） = 0,得兀=1.当兀丘［0,1）时,y <0；当兀w（1,3］时,y >0.・・・函数y = / _ 2兀+3在区间［0,3］上的极值点为兀=1.又・・・y（O）= 3,y（l） = 2,y（3）= 6,・・・函数y = X2-2X+3在［0,3］上的最大值为6,最小值为0.3解设所求的点P（兀,y）,|PA| = d,则尸=2x,（x> 0）〃=J（x_2）2 +（y _0『=y/x2 -4x + 4 + 2x = A/X2-2X +4令F__ ：x_2 _ 兀_］2A/X2— 2x+4 yj — 2x+4得兀二］易知，兀=1是函数d的极小值点，也是最小值点.此时,y2 = 2x1 = 2, y = ±V2,・・・所求的点为P（1,V2）或4.解：如图所示，圆柱体高/z与底半径厂满足A2 + r2 = £2I圆柱体的体积公式为rV = 7rr2h L L将/ =L2-7Z2代入得V二兀①一代）h求导得令宀°得靑L ,并由此解出r伞.即当底半径吕,高"晅厶时’圆柱体的体积3答mg・•・R= £最大.5.解：设圆柱体半径为R,高为h,则h = " ,S 夷面和=2兀Rh + 27rR 2 - 2匕 + 27T R 2 TT R2表面积 R 令& = 4历7?—学=0 得R =R-\171当Refo 30时，S'<0,当RwI 工是函数S 的极小值点，也是最小值点. 2龙此时h=淫.\ 714Vh = 3——时表面积最大.V 716.角军：设长方体的底边长为兀米，高为h 米.则 由62.5 = x 2/z 得 h —62?x250用料的面积为：S — %2 + 4x/z = x 2 ，（兀＞0）x令 S‘ = 2;r -2^ = 0 得 x 3 = 125, x = 5x易知，兀=5是函数S 的极小值点，也是最小值点. 答：当该长方体的底边长为5米，高为2. 5米时用料最省。
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高等数学基础第一次作业点评1第1章 函数第2章 极限与连续（一）单项选择题⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等．A. 2)()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f =，x x g =)(C. 3ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，11)(2--=x x x g⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（ C ）对称．A. 坐标原点B. x 轴C. y 轴D. x y = ⒊下列函数中为奇函数是（ B ）．A. )1ln(2x y += B. x x y cos =C. 2xx a a y -+= D. )1ln(x y +=⒋下列函数中为基本初等函数是（ C ）． A. 1+=x y B. x y -= C. 2xy = D. ⎩⎨⎧≥<-=0,10,1x x y⒌下列极限存计算不正确的是（ D ）．A. 12lim 22=+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0=+→x x C. 0sin lim =∞→x x x D. 01sin lim =∞→x x x⒍当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量．A. x x sinB. x 1C. xx 1sin D. 2)ln(+x点评：无穷小量乘以有界变量为无穷小量⒎若函数)(x f 在点0x 满足（ A ），则)(x f 在点0x 连续。
A. )()(lim 00x f x f x x =→ B. )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义C. )()(lim 00x f x f x x =+→ D. )(lim )(lim 0x f x f x x x x -+→→=二、填空题⒈函数)1ln(39)(2x x x x f ++--=的定义域是 ．}33{>-≤x x x 或 ⒉已知函数x x x f +=+2)1(，则=)(x f ．x x -2⒊=+∞→xx x)211(lim ．21e⒋若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+=0,0,)1()(1x k x x x x f x ，在0=x 处连续，则=k ．e⒌函数⎩⎨⎧≤>+=0,sin 0,1x x x x y 的间断点是 ．0=x⒍若A x f x x =→)(lim 0，则当0x x →时，A x f -)(称为 ．无穷小量三计算题 ⒈设函数⎩⎨⎧≤>=0,0,e )(x x x x f x 求：)1(,)0(,)2(f f f -．解：2)2(-=-f0)0(=f e e f ==1)1(点评：求分段函数的函数值主要是要判断那一点是在哪一段上。
(完整版)高等数学课后习题答案-20211108152903
高等数学课后习题答案第一部分：导数与微分1. 题目：求函数 $ f(x) = x^3 3x^2 + 2x + 1 $ 在 $ x = 2 $ 处的导数。
解答思路：我们需要求出函数 $ f(x) $ 的导数 $ f'(x) $。
根据导数的定义，我们可以通过对函数进行求导来得到导数表达式。
然后，将 $ x = 2 $ 代入导数表达式中，即可得到 $ f(x) $ 在 $ x = 2 $ 处的导数值。
具体步骤如下：对 $ f(x) $ 进行求导，得到 $ f'(x) $ 的表达式。
将 $ x = 2 $ 代入 $ f'(x) $，得到 $ f'(2) $ 的值。
2. 题目：求函数 $ g(x) = e^x \sin x $ 在 $ x = 0 $ 处的导数。
解答思路：同样地，我们需要求出函数 $ g(x) $ 的导数 $ g'(x) $。
由于 $ g(x) $ 是两个函数的乘积，我们需要使用乘积法则来求导。
然后，将 $ x = 0 $ 代入 $ g'(x) $，即可得到 $ g(x) $ 在 $ x = 0 $ 处的导数值。
具体步骤如下：对 $ g(x) $ 使用乘积法则求导，得到 $ g'(x) $ 的表达式。
将 $ x = 0 $ 代入 $ g'(x) $，得到 $ g'(0) $ 的值。
3. 题目：求函数 $ h(x) = \frac{x^2 1}{x + 1} $ 在 $ x =0 $ 处的导数。
解答思路：对于这个题目，我们需要使用商法则来求导。
我们需要求出函数 $ h(x) $ 的导数 $ h'(x) $。
然后，将 $ x = 0 $ 代入$ h'(x) $，即可得到 $ h(x) $ 在 $ x = 0 $ 处的导数值。
具体步骤如下：对 $ h(x) $ 使用商法则求导，得到 $ h'(x) $ 的表达式。
2021年全国大学高等数学考试及答案解析
2021年全国大学高等数学考试试题一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(2)设211()23=+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c（3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量()1,2,2u =的方向导数为（ ）()12()6()4()2A B C D（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（ ）()s0000()10()1520()25()25A t B t C t D t =<<=>(5) 设矩阵21111214A a a ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，21b d d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若集合{}1,2Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件为 ( )(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω(6)设二次型()123,,f x x x 在正交变换为=x Py 下的标准形为2221232+-y y y ，其中()123,,=P e e e ，若()132,,=-Q e e e ，则()123,,f x x x 在正交变换=x Qy 下的标准形为( )(A) 2221232-+y y y (B) 2221232+-y y y (C) 2221232--y y y (D) 2221232++y y y（7）设,A B 为随机概率，若0()1,0()1P A P B <<<<，则()()P A B P A B >的充分必要条件是（ ）()()()()()()()()()()()()A PB A P B A B P B A P B AC P B A P B AD P B A P B A ><><（8）设12,(2)n X X X n ⋅⋅⋅≥为来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记11ni i X X n ==∑，则下列结论中不正确的是（ ）()()22221122221()()2()()()()ni n i ni i A X B X X C X X D n X μχχχμχ==----∑∑服从分布服从分布服从分布服从分布二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (1) 20ln cos lim_________.x xx →=(2)22sin ()d ________.1cos x x x x ππ-+=+⎰(3)若函数(,)=z z x y 由方程cos 2+++=xe xyz x x 确定，则(0,1)d ________.z=(4) 幂级数111(1)n n n nx ∞--=-∑在区间(1,1)-内的和函数()S x =________（5）设矩阵101112011A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，123,,ααα为线性无关的3维列向量组，则向量组123,,A A A ααα的秩为_________（6）设随机变量X 的分布函数为4()0.5()0.5()2x F x x -=Φ+Φ，其中()x Φ为标准正态分布函数，则EX=_________三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(1)(本题满分10分) 设函数()ln(1)sin =+++f x x a x bx x ，3()=g x kx ，若()f x 与()g x 在0→x 是等价无穷小，求,,a b k 的值.(2)(本题满分10分) 设函数()f x 在定义域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，由线()=y f x 在点()()00,x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且()02f =，求()f x 的表达式.(3)(本题满分10分) 已知函数(),=++fx y x y xy ，曲线C ：223++=x y xy ，求(),f x y 在曲线C 上的最大方向导数.（4）（本题满分10分）设函数()f x 在区间[0,1]上具有2阶导数，且0()(1)0,lim 0x f x f x+→><，证明： ()I 方程()0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根；()∏方程2''()()(())0f x f x f x +=在区间(0,1)内至少存在两个不同实根。
高等数学基础作业答案
高等数学基础第一次作业点评1第1章函数第2章极限与连续（一）单项选择题⒈下列各函数对中，（C）中的两个函数相等．A.2f(x)(x)，g(x)xB.2f(x)x，g(x)x2x1C.3f(x)lnx，g(x)3lnxD.f(x)x1，g( x) x1⒉设函数f(x)的定义域为(,)，则函数f(x)f(x)的图形关于（C）对称．A.坐标原点B.x轴C.y轴D.yx⒊下列函数中为奇函数是（B）．2A.yln(1x)B.yxcosxC.xa xayD.yln(1x) 2⒋下列函数中为基本初等函数是（C）．A.yx1B.yxC.2yxD. y 11,,xx⒌下列极限存计算不正确的是（D）．2x A.lim12xx2 B.limln(1x)0x0sinx C.lim0xx1 D.limxsin0xx⒍当x0时，变量（C）是无穷小量．A. s inxxB.1xC.x 1sinln(x2)D.x点评：无穷小量乘以有界变量为无穷小量⒎若函数f(x)在点x0满足（A），则f(x)在点x0连续。
A.limf(x)f(x0)xxB.f(x)在点x0的某个邻域内有定义C.limf(x)f(x0)xx0 D.limf(x)limf(x)xxxx00二、填空题2x9⒈函数f(x)ln(1x)的定义域是．{xx3或x3}x3⒉已知函数f(x1)xx，则f(x)．xx⒊11xlim．2(1)ex2xx(1x),x0⒋若函数f(x)，在x0处连续，则k．exk,x0⒌函数x1,x0y的间断点是．x0 sinx,x0⒍若limf(x)A，则当xx0 x x时，f(x)A称为．无穷小量0三计算题⒈设函数f(x)xex ,, xx求：f(2),f(0),f(1)．解：f(2)2f(0)0f(1)1e e点评：求分段函数的函数值主要是要判断那一点是在哪一段上。
即正确选择某段函数。
⒉求函数y2x1lglg的定义域．x2x1解：欲使函数有意义，必使lg0x，2x1即：1x亦即：2x1x解得函数的定义域是：x1点评：函数的定义域就是使函数有意义的自变量的变化范围。
2021年国开电大《高等数学基础》第一次作业答案
2021年国开电大《高等数学基础》第一次作业答案高等数学基础第一次作业点评1第1章 函数第2章 极限与连续（一）单项选择题 ⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等． A. 2)()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f =，x x g =)(C. 3ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，11)(2--=x x x g⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（ C ）对称． A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y = ⒊下列函数中为奇函数是（ B ）．A. )1ln(2x y +=B. x x y cos =C. 2x x a a y -+= D. )1ln(x y +=⒋下列函数中为基本初等函数是（ C ）． A. 1+=x y B. x y -= C. 2xy = D. ⎩⎨⎧≥<-=0,10,1x x y ⒌下列极限存计算不正确的是（ D ）．A. 12lim 22=+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0=+→x x C. 0sin lim=∞→x x x D. 01sin lim =∞→x x x⒍当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量．A. x x sinB. x 1C. xx 1sin D. 2)ln(+x点评：无穷小量乘以有界变量为无穷小量⒎若函数)(x f 在点0x 满足（ A ），则)(x f 在点0x 连续。
A. )()(lim 00x f x f x x =→ B. )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义C. )()(lim 00x f x f x x =+→ D. )(lim )(lim 0x f x f x x x x -+→→= 二、填空题 ⒈函数)1ln(39)(2x x x x f ++--=的定义域是 ．}33{>-≤x x x 或⒉已知函数x x x f +=+2)1(，则=)(x f ．x x -2⒊=+∞→xx x)211(lim ．21e ⒋若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+=0,0,)1()(1x k x x x x f x ，在0=x 处连续，则=k ．e⒌函数⎩⎨⎧≤>+=0,sin 0,1x x x x y 的间断点是 ．0=x⒍若A x f x x =→)(lim 0，则当0x x →时，A x f -)(称为 ．无穷小量三计算题 ⒈设函数⎩⎨⎧≤>=0,0,e )(x x x x f x求：)1(,)0(,)2(f f f -．解：2)2(-=-f0)0(=fe ef ==1)1(点评：求分段函数的函数值主要是要判断那一点是在哪一段上。
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第一章 函数一、选择题1. 下列函数中，【 C 】不是奇函数A. x x y +=tan B 。
y x =C. )1()1(-⋅+=x x yD. x xy 2sin 2⋅=2. 下列各组中，函数)(x f 与)(x g 一样的是【 】 A. 33)(,)(x x g x x f == B.x x x g x f 22tan sec )(,1)(-==C. 11)(,1)(2+-=-=x x x g x x f D. 2ln )(,ln 2)(x x g x x f == 3. 下列函数中，在定义域内是单调增加、有界的函数是【 】A. +arctan y x x = B 。
cos y x =C. arcsin y x =D 。
sin y x x =⋅4. 下列函数中,定义域是[,+]-∞∞，且是单调递增的是【 】A. arcsin y x =B. arccos y x =C 。
arctan y x = D. arccot y x =5. 函数arctan y x =的定义域是【 】 A. (0,)πB. (,)22ππ- C 。
[,]22ππ- D 。
(,+)-∞∞6. 下列函数中，定义域为[1,1]-，且是单调减少的函数是【 】A. arcsin y x = B 。
高等数学基础教材课后答案
高等数学基础教材课后答案1. 第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质1.2 极限的定义与性质1.3 常用极限和极限运算法则2. 第二章：导数与微分2.1 导数的定义与基本性质2.2 高阶导数与导数的计算2.3 微分的概念与运算3. 第三章：微分中值定理与导数应用3.1 罗尔定理与拉格朗日中值定理3.2 洛必达法则与泰勒公式3.3 极值与最值的判定3.4 应用题：切线与法线、曲率与弧长4. 第四章：不定积分与定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 基本积分表与积分方法4.4 牛顿-莱布尼茨公式与换元积分法5. 第五章：多元函数微分学5.1 多元函数的概念与性质5.2 偏导数与全微分5.3 隐函数与参数方程的求导5.4 高阶导数与泰勒展开5.5 一元函数与多元函数的导数比较6. 第六章：多元函数的极值与条件极值6.1 多元函数的极值判定与求解6.2 条件极值的求解6.3 隐函数的极值7. 第七章：重积分与曲线积分7.1 二重积分的概念与计算7.2 广义积分的概念与性质7.3 三重积分的概念与计算7.4 曲线积分的概念与计算8. 第八章：无界区域上的积分8.1 狄利克雷条件8.2 无界闭区域上的积分8.3 圆周率的计算9. 第九章：常微分方程9.1 一阶常微分方程的解法与应用9.2 高阶常微分方程的解法9.3 变量分离与恰当方程9.4 拉普拉斯变换与常系数线性微分方程10. 第十章：偏微分方程10.1 偏微分方程的基本概念10.2 分离变量方法与特征线法10.3 热传导方程与波动方程10.4 边界值问题与最值问题以上为《高等数学基础教材》课后习题答案的大致内容。
对于每个章节的习题，下面是一些示例题目及其解答作为参考：【第一章：函数与极限】习题1：已知函数f(x)=3x^2+2x-1，求f(-2)的值。
解答：将x=-2代入f(x)，得到f(-2)=3*(-2)^2+2*(-2)-1=13。
习题2：证明函数f(x)=x^3+2x^2-3x+5是奇函数。
2021届高考数学基础得分题集及答案 (14)
2021届高考数学基础得分题集及答案（14）1．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4) D ．(2，＋∞)答案：D解析：函数f (x )＝(x －3)e x 的导数为f ′(x )＝[(x －3)·e x ]′＝e x ＋(x －3)e x ＝(x －2)e x .由函数导数与函数单调性的关系，得当f ′(x )>0时，函数f (x )单调递增，此时由不等式f ′(x )＝(x －2)e x >0，解得x >2.2．若函数f (x )＝2x 3－3mx 2＋6x 在区间(2，＋∞)上为增函数，则实数m 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，2] C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，52 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，52 答案：D解析：∵f ′(x )＝6x 2－6mx ＋6， 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )≥0恒成立， 即x 2－mx ＋1≥0恒成立，∴m ≤x ＋1x 恒成立．令g (x )＝x ＋1x ，g ′(x )＝1－1x 2，∴当x >2时，g ′(x )>0，即g (x )在(2，＋∞)上单调递增，∴m ≤2＋12＝52，故选D.3．[2017·甘肃兰州高三诊断]定义在R 上的函数f (x )的导函数f ′(x )，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e (e 为自然对数的底数)，b ＝f (2)，c ＝f (log 28)，则( ) A ．c <a <b B ．c <b <a C ．a <b <c D ．a <c <b答案：A解析：当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，解得f ′(x )>0，所以函数f (x )在(－∞，1)上单调递增，因为f (x )＝f (2－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以函数f (x )的图象上的点距离直线x ＝1越近，函数值越大，又log 28＝3，所以log 28>2－1e >2>1，得f (2)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e >f (log 28)，故c <a <b .4．定义在R 上的函数f (x )满足：f ′(x )>f (x )恒成立，若x 1<x 2，则e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系为( )A ．e x 1f (x 2) >e x 2f (x 1) B ．e x 1f (x 2) <e x 2f (x 1) C ．e x 1f (x 2)＝e x 2f (x 1)D ．e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系不确定 答案：A解析：设g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝f ′(x )e x －f (x )e x (e x )2＝f ′(x )－f (x )e x ， 由题意g ′(x )>0， 所以g (x )单调递增， 当x 1<x 2时，g (x 1)<g (x 2)，即f (x 1)e x 1<f (x 2)ex 2，所以e x 1f (x 2)>e x 2f (x 1)． 5．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( ) A ．(0,1) B ．(0，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．(0,2)答案：A解析：对于函数y ＝12x 2－ln x ，易得其定义域为{x |x >0}，y ′＝x －1x ＝x 2－1x ，令x 2－1x<0，又x >0，所以x 2－1<0，解得0<x <1，即函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为(0,1)．6．已知函数f (x )＝x ＋1ax 在(－∞，－1)上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，0)∪(0,1]C ．(0,1]D ．(－∞，0)∪[1，＋∞) 答案：D解析：函数f (x )＝x ＋1ax 的导数为f ′(x )＝1－1ax 2，由于f (x )在(－∞，－1)上单调递增，则f ′(x )≥0在(－∞，－1)上恒成立，即1a ≤x 2在(－∞，－1)上恒成立．由于当x <－1时，x 2>1，则有1a ≤1，解得a ≥1或a <0.7．若函数f (x )＝x 3－12x 在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．答案：(－3，－1)∪(1,3)解析：因为y ′＝3x 2－12，由y ′>0，得函数的增区间是(－∞，－2)及(2，＋∞)；由y ′<0，得函数的减区间是(－2,2)．由于函数在(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以k －1<－2<k ＋1或k －1<2<k ＋1，解得－3<k <－1或1<k <3.8．函数f (x )＝x －ln x 的单调递减区间为________． 答案：(0,1)解析：函数的定义域是(0，＋∞)， 且f ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，令f ′(x )<0，解得0<x <1，所以单调递减区间是(0,1)．9．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x ，若f (x )在[－1，1]上是单调减函数，则a 的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞解析：f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x ＝[x 2＋(2－2a )x －2a ]e x ，由题意，当x ∈[－1,1]时，f ′(x )≤0恒成立， 即x 2＋(2－2a )x －2a ≤0在x ∈[－1,1]时恒成立． 令g (x )＝x 2＋(2－2a )x －2a ，则有⎩⎨⎧g (－1)≤0g (1)≤0，即⎩⎨⎧(－1)2＋(2－2a )·(－1)－2a ≤0，12＋2－2a －2a ≤0，解得a ≥34.[冲刺名校能力提升练]1．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,2]B ．[4，＋∞)C ．(－∞，2]D ．(0,3]答案：A解析：∵f (x )＝12x 2－9ln x ， ∴f ′(x )＝x －9x (x >0)， 当x －9x ≤0时，有0<x ≤3，即在(0,3]上函数f (x )是减函数， ∴a －1>0且a ＋1≤3，解得1<a ≤2.2. f (x )，g (x )(g (x )≠0)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )<f (x )g ′(x )，且f (－3)＝0，则f (x )g (x )<0的解集为( )A ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)B ．(－3,0)∪(0,3)C ．(－3,0)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3) 答案：C解析：f (x )g (x )是奇函数，∵当x <0时，f ′(x )g (x )<f (x )g ′(x )， ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )<0，则f (x )g (x )在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上也为减函数．又f (－3)＝0，则有f (－3)g (－3)＝0＝f (3)g (3)，可知f (x )g (x )<0的解集为(－3,0)∪(3，＋∞)．故选C.3．[2017·河北衡水中学月考]已知f (x )是可导的函数，且f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( )A ．f (1)<e f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0)B ．f (1)>e f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0)C ．f (1)>e f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0)D ．f (1)<e f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0) 答案：D解析：令g (x )＝f (x )e x，则g ′(x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )e x ′＝f ′(x )e x －f (x )(e x )′e 2x ＝f ′(x )－f (x )e x<0， 所以函数g (x )＝f (x )e x 在R 上是单调减函数， 所以g (1)<g (0)，g (2 016)<g (0)， 即f (1)e 1<f (0)1，f (2 016)e 2 016<f (0)1， 故f (1)<e f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0)．4．[2017·河北“五个一”名校联盟一模]已知函数f (x )的定义域为[－2，＋∞)，且f (4)＝f (－2)＝1，f ′(x )为f (x )的导函数，函数y ＝f ′(x )的图象如图所示．则平面区域⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，b ≥0，f (2a ＋b )≤1的面积是( )A ．2B ．4C ．5D ．8答案：B解析：由导函数的图象可知，函数f (x )在[－2,0)上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，∵a ≥0，b ≥0，∴2a ＋b ≥0. 又f (4)＝1，f (2a ＋b )≤1， ∴f (2a ＋b )≤f (4)， ∴0≤2a ＋b ≤4.由⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，b ≥0，0≤2a ＋b ≤4，画出图象如图所示，图中阴影部分的面积为S ＝12×2×4＝4，故选B.5．若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞解析：对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋14＋2a .当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝29＋2a . 令29＋2a >0，解得a >－19.所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞. 6．函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋3x (a ≠0)． (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )在区间(1,2)上是增函数，求a 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3，f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3＝0的判别式Δ＝36(1－a )．①若a ≥1，则f ′(x )≥0，且f ′(x )＝0，当且仅当a ＝1，x ＝－1，故此时f (x )在R 上是增函数．②由于a ≠0，故当a <1时，f ′(x )＝0有两个根，x 1＝－1＋1－aa ，x 2＝－1－1－a a. 若0<a <1，则当x ∈(－∞，x 2)或x ∈(x 1，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )分别在(－∞，x 2)，(x 1，＋∞)上是增函数；当x ∈(x 2，x 1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(x 2，x 1)上是减函数．若a <0，则当x ∈(－∞，x 1)或(x 2，＋∞)时，f ′(x )<0，故f (x )分别在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上是减函数；当x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )>0，故f (x )在(x 1，x 2)上是增函数．(2)当a >0，x >0时，f ′(x )>0，所以当a >0时，f (x )在区间(1,2)上是增函数．当a <0时，f (x )在区间(1,2)上是增函数，当且仅当f ′(1)≥0且f ′(2)≥0，解得－54≤a <0.综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－54，0∪(0，＋∞)．。
2021届高考数学基础得分题集及答案 (37)
2021届高考数学基础得分题集及答案（37）1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( )A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞) 答案：B解析：根据题意知(－9＋2－a )(12＋12－a )＜0，即(a ＋7)(a －24)＜0，解得－7＜a ＜24.2．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( )A.73B.37C.43D.34 答案：A解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43. 因此只有直线过AB 的中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域． 因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 的中点D ⎝⎛⎭⎪⎫12，52.当y ＝kx ＋43过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52时，52＝k 2＋43，所以k ＝73.3．[2017·山东泰安模拟]不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤－x ＋2，y ≤x －1，y ≥0所表示的平面区域的面积为( )A ．1 B.12 C.13 D.14答案：D解析：作出不等式组对应的区域△BCD ，由题意知x B ＝1，x C ＝2.由⎩⎨⎧y ＝－x ＋2，y ＝x －1，得y D ＝12，所以S △BCD ＝12×(x C －x B )×12＝14.4．[2017·河北唐山一模]若x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y －2≥0，x －y ＋1≥0，x ＋y －5≤0，则yx 的最大值是( )A.32 B ．1 C ．2 D ．3答案：C解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，yx 表示区域内的点与原点连线的斜率，由图知直线AO 的斜率最大，所以yx 的最大值为2－01－0＝2，故选C.5．[2017·湖南株洲模拟]已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )A.12 B.13 C ．1 D ．2答案：A解析：如图所示，目标函数z ＝2x ＋y 在点(1，－2a )处取得最小值，由2×1－2a ＝1，解得a ＝12.6．[2017·甘肃兰州诊断]已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≥－1，y ≥0所表示的平面区域为D ，若直线y ＝kx －3与平面区域D 有公共点，则k 的取值范围为( )A ．[－3,3]B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－13∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ C ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 答案：C解析：依据线性约束条件作出可行域如图中阴影部分所示，注意到y ＝kx －3过定点(0，－3)．∴斜率的两个端点值为－3,3，两斜率之间存在斜率不存在的情况， ∴k 的取值范围为(－∞，－3]∪[3，＋∞)，故选C.7．[2017·河北衡水中学一调]已知O 为坐标原点，A ，B 两点的坐标均满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋1≤0，x ＋y －3≤0，x －1≥0，设OA→与OB →的夹角为θ，则tan θ的最大值为( )A.12 B.47 C.34 D.94 答案：C解析：作为可行域，如图中阴影部分所示．由⎩⎨⎧x ＝1，x ＋y －3＝0，得C (1,2)，由⎩⎨⎧x －3y ＋1＝0，x ＋y －3＝0，得D (2,1)．由图知(tan θ)max ＝2－121＋1＝34.8．设动点P (x ，y )在区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，x ＋y ≤4上，过点P 任作直线l ，设直线l 与区域Ω的公共部分为线段AB ，则以AB 为直径的圆的面积的最大值为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π答案：D解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，则根据图形可知，以AB 为直径的圆的面积为最大值S ＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4π.9．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为________．答案：4解析：根据约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示，∵z ＝3x －y ，∴y ＝3x －z ，当该直线经过点A (2,2)时，z 取得最大值，即z max ＝3×2－2＝4. 10．[2017·河北石家庄模拟]若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，y ≤kx ＋3，0≤x ≤3表示的平面区域为一个锐角三角形及其内部，则实数k 的取值范围是________．答案：(0,1)解析：直线y ＝kx ＋3恒过定点(0,3)．作出可行域知，要使可行域为一个锐角三角形及其内部，需要直线y ＝kx ＋3的斜率在0与1之间，即k ∈(0,1)．11．[2017·湖南衡阳二模]点P (x ，y )在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y ≤3，y ≥x ＋1表示的平面区域内，若点P (x ，y )到直线y ＝kx －1(k >0)的最大距离为22，则实数k ＝________.答案：±1解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y ≤3，y ≥x ＋1表示的区域为△BCD (如图所示)，直线kx －y －1＝0过定点A (0，－1)，由图象可知点D (0,3)到直线kx －y －1＝0的距离d 最大，此时d ＝|－3－1|k 2＋1＝22，解得k ＝±1.12．某校今年计划招聘女教师a 名，男教师b 名，若a ，b 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ≥5，a －b ≤2，a <7，设这所学校今年计划招聘教师最多x 名，则x＝________.答案：13解析：画出线性约束条件所表示的区域，如图中阴影部分所示．作直线l ：b ＋a ＝0，平移直线l ，再由a ，b ∈N ，可知当a ＝6，b ＝7时，招聘的教师最多，此时x ＝a ＋b ＝13.[冲刺名校能力提升练]1．设二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19≥0，x －y ＋8≥0，2x ＋y －14≤0所表示的平面区域为M ，则使函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是( )A ．[1,3]B ．[2，10] C ．[2,9] D ．[10，9]答案：C解析：区域M 如图中的阴影部分所示，其中点A (1,9)，点B (3,8)．由图可知，要使函数y ＝a x (a >0，a ≠0)的图象过区域M ，需a >1. 由函数y ＝a x 的图象特征知，当图象经过区域的边界点A (1,9)时，a 取得最大值，此时a ＝9;当图象经过区域的边界点B (3,8)时，a 取得最小值，此时a 3＝8，即a ＝2.综上，a 的取值范围为[2,9]．2．[2014·山东卷]已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )A ．5B ．4 C. 5 D ．2答案：B解析：解法一：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A (2,1)处取得最小值，故2a ＋b ＝25，两端平方得4a 2＋b 2＋4ab ＝20，又4ab ＝2×a ×2b ≤a 2＋4b 2，所以20≤4a 2＋b 2＋a 2＋4b 2＝5(a 2＋b 2)，所以a 2＋b 2≥4，即a 2＋b 2的最小值为4，当且仅当a ＝2b ，即b ＝25，a ＝45时等号成立．解法二：把2a ＋b ＝25看作平面直角坐标系aOb 中的直线，则a 2＋b 2的几何意义是直线上的点与坐标原点距离的平方，显然a 2＋b 2的最小值是坐标原点到直线2a ＋b ＝25距离的平方，即⎝⎛⎭⎪⎪⎫|－25|52＝4.3．若方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两个实根分别是x 1，x 2，且x 1∈(0,1)，x 2∈(1,2)，则b －2a －1的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 C ．(0,1)∪(1,2) D ．(－∞，0)∪(2，＋∞) 答案：B解析：设f (x )＝x 2＋ax ＋2b ，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)>0，f (1)<0，f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧2b >0，1＋a ＋2b <0，4＋2a ＋2b >0，在直角坐标系aOb 中画出可行域D (画图略)，它是以A (－1,0)，B (－2,0)，C (－3,1)为顶点的三角形内部区域(不含边界)，b －2a －1的几何意义为D 内的点P (a ，b )与定点Q (1,2)连线的斜率，显然k CQ <k BQ <k AQ ，即b －2a －1的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1.4．变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－1，x －y ≥2，3x ＋y ≤14，若使z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a 的取值集合是( )A ．{－3,0}B ．{3，－1}C ．{0,1}D ．{－3,0,1}答案：B解析：作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示．易知直线z ＝ax ＋y 与x －y ＝2或3x ＋y ＝14平行时取得最大值的最优解有无穷多个，即－a ＝1或－a ＝－3，∴a ＝－1或a ＝3.5．设m >1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋5y 的最大值为4，则m 的值为________．答案：3解析：画出约束条件的可行域，如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋5y 得，y ＝－15x ＋z5.故目标函数在点P 处取得最大值，由⎩⎨⎧y ＝mx ，x ＋y ＝1，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1m ＋1，m m ＋1， 代入目标函数得4＝1m ＋1＋5m m ＋1，解得m ＝3.6．[2017·福建福州三月质量检查]已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y ≤2，x ≥12，y ≥x ，且数列4x ，z,2y 成等差数列，则实数z 的最大值是________．答案：3解析：作出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，因为4x ，z,2y 成等差数列，所以z ＝2x ＋y ，联立⎩⎨⎧x ＋y －2＝0，y ＝x ，解得A (1,1)，所以z max ＝3.7．给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0，令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．答案：6解析：画出平面区域D，如图中阴影部分所示．作出z＝x＋y的基本直线l0：x＋y＝0.经平移可知，目标函数z＝x ＋y在点A(0,1)处取得最小值，在线段BC处取得最大值．而集合T表示z＝x＋y取得最大值或最小值时的整点坐标，在取最大值时线段BC上共有5个整点，分别为(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，故T中的点共确定6条不同的直线．8．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润w(元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x－y，所以利润w＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300.(2)约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋4(100－x －y )≤600，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .目标函数为w ＝2x ＋3y ＋300. 作出可行域，如图中阴影部分所示．初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移初始直线经过点A 时，w 有最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50.最优解为A (50,50)，所以w max ＝550元．所以每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，最大利润为550元．。
2021届高考数学基础得分题集及答案 (46)
2021届高考数学基础得分题集及答案（46）1．当0＜k ＜12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：B解析：解方程组⎩⎨⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k ，得交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫k k －1，2k －1k －1. 因为0＜k ＜12，所以kk －1＜0，2k －1k －1＞0.故交点在第二象限．2．[2017·山东济南模拟]已知两条直线l 1：(a －1)x ＋2y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋3＝0平行，则a ＝( )A ．－1B ．2C ．0或－2D ．－1或2答案：D解析：若a ＝0，两直线方程分别为－x ＋2y ＋1＝0和x ＝－3，此时两直线相交，不平行，所以a ≠0；当a ≠0时，若两直线平行，则有a －11＝2a ≠13，解得a ＝－1或2.3．从点(2,3)射出的光线沿与向量a ＝(8,4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在的直线方程为( )A ．x ＋2y －4＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋6y －16＝0D ．6x ＋y －8＝0答案：A解析：由直线与向量a ＝(8,4)平行知，过点(2,3)的直线的斜率k ＝12，所以直线的方程为y －3＝12(x －2)，其与y 轴的交点坐标为(0,2)． 又点(2,3)关于y 轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式知A 正确． 4．过两直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点和原点的直线方程为( )A ．19x －9y ＝0B ．9x ＋19y ＝0C ．19x －3y ＝0D ．3x ＋19y ＝0答案：D解析：由⎩⎨⎧x －3y ＋4＝0，2x ＋y ＋5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－197，y ＝37，则所求直线方程为y ＝37－197x ＝－319x ，即3x ＋19y ＝0.5．已知点O (0,0)，A (0，b )，B (a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有 ( )A ．b ＝a 3B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)⎝ ⎛⎭⎪⎫b －a 3－1a ＝0D ．|b －a 3|＋ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪b －a 3－1a ＝0 答案：C解析：若以O 为直角顶点，则B 在x 轴上，则a 必为0，此时O ，B 重合，不符合题意；若∠A ＝π2，则b ＝a 3≠0. 若∠B ＝π2，根据垂直关系可知a 2·a 3－ba ＝－1， 所以a (a 3－b )＝－1，即b －a 3－1a ＝0.以上两种情况皆有可能，故只有C 满足条件．6．已知A ，B 两点分别在两条互相垂直的直线2x －y ＝0和x ＋ay ＝0上，且AB 线段的中点为P ⎝⎛⎭⎪⎫0，10a ，则线段AB 的长为( ) A ．11 B ．10 C ．9 D ．8答案：B解析：依题意，a ＝2，P (0,5)， 设A (x,2x )，B (－2y ，y )，故⎩⎨⎧x －2y ＝0，2x ＋y ＝10，则A (4,8)，B (－4,2)， ∴|AB |＝(4＋4)2＋(8－2)2＝10.7．若动点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)分别在直线l 1：x －y －5＝0，l 2：x －y －15＝0上移动，则P 1P 2的中点P 到原点的距离的最小值是( )A.522 B ．5 2 C.1522 D ．15 2答案：B解析：由题意得P 1P 2的中点P 的轨迹方程是x －y －10＝0，则原点到直线x －y －10＝0的距离为d ＝102＝5 2.8．[2017·湖南衡阳八中一模]在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位，沿y 轴正方向平移5个单位，得到直线l 1，再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位，沿y 轴负方向平移2个单位，又与直线l 重合．若直线l 与直线l 1关于点(2,3)对称，则直线l 的方程是________．答案：6x －8y ＋1＝0解析：易知直线l 的斜率存在且不为0.设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位，沿y 轴正方向平移5个单位，得到直线l 1：y ＝k (x －3)＋5＋b ，即y ＝kx ＋b ＋5－3k ，再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位，沿y 轴负方向平移2个单位，得到 y ＝k (x －3－1)＋b ＋5－2， 即y ＝kx ＋3－4k ＋b . 又该直线与直线l 重合， ∴b ＝3－4k ＋b ，解得k ＝34. ∴直线l 的方程为y ＝34x ＋b ， 直线l 1为y ＝34x ＋114＋b ， 设直线l 上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，b ＋34m ，则点P 关于点(2,3)的对称点为P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m ，6－b －34m ，∴6－b －34m ＝34(4－m )＋b ＋114，解得b ＝18.∴直线l 的方程是y ＝34x ＋18， 即6x －8y ＋1＝0.9．点(2,1)关于直线x －y ＋1＝0的对称点为________． 答案：(0,3)解析：设对称点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－1x 0－2＝－1，x 0＋22－y 0＋12＋1＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝0，y 0＝3，故所求对称点为(0,3)．10．已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0与直线l 2：2x ＋(a －1)y ＋1＝0垂直，则实数a ＝________.答案：35解析：由两直线垂直的条件得，2a ＋3(a －1)＝0， 解得a ＝35.11．[2017·河北秦皇岛检测]已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为________________．答案：2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0解析：显然直线l 的斜率不存在时，不满足题意． 设所求直线方程为y －4＝k (x －3)， 即kx －y ＋4－3k ＝0， 由已知得，|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2， ∴k ＝2或k ＝－23.∴所求直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0.12．已知l 1，l 2是分别经过A (1,1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是________．答案：x ＋2y －3＝0解析：当直线AB 与l 1，l 2垂直时，l 1，l 2间的距离最大． 因为A (1,1)，B (0，－1)，所以k AB ＝－1－10－1＝2，所以两平行直线的斜率为k ＝－12， 所以直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)， 即x ＋2y －3＝0.[冲刺名校能力提升练]1．[2017·福建泉州一模]若点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，则m 2＋n 2的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．2 3答案：C解析：因为点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上， 所以4m ＋3n －10＝0. 欲求m 2＋n 2的最小值可先求(m －0)2＋(n －0)2的最小值， 而(m －0)2＋(n －0)2表示4m ＋3n －10＝0上的点(m ，n )到原点的距离，如图．当过原点的直线与直线4m＋3n－10＝0垂直时，原点到点(m，n)的距离最小为2.所以m2＋n2的最小值为4.2．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为3，且|P A|＝|PB|，若直线P A的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是() A．x＋y－5＝0 B．2x－y－1＝0C．x－2y＋4＝0 D．x＋y－7＝0答案：D解析：由|P A|＝|PB|知点P在AB的垂直平分线上．由点P的横坐标为3，且P A的方程为x－y＋1＝0，得P(3,4)．直线P A，PB关于直线x＝3对称，直线P A上的点(0,1)关于直线x ＝3的对称点(6,1)在直线PB上，∴直线PB的方程为x＋y－7＝0.3．如图，已知直线l1∥l2，点A是l1，l2之间的定点，点A到l1，l2之间的距离分别为3和2，点B是l2上的一动点，作AC⊥AB，且AC与l1交于点C，则△ABC的面积的最小值为________．答案：6解析：以A 为坐标原点，平行于l 1的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，设B (a ，－2)，C (b,3)．∵AC ⊥AB ，∴ab －6＝0，ab ＝6，b ＝6a . Rt △ABC 的面积S ＝12a 2＋4·b 2＋9＝12a 2＋4·36a 2＋9＝12 72＋9a 2＋144a 2≥1272＋72＝6.4．已知△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程．解：依题意知，k AC ＝－2，A (5,1)，∴l AC 为2x ＋y －11＝0，联立l AC ，l CM 得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，∴C (4,3)．设B (x 0，y 0)，AB 的中点M 为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋52，y 0＋12，代入2x －y －5＝0，得 2x 0－y 0－1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0， ∴B (－1，－3)， ∴k BC ＝65，∴直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)， 即6x －5y －9＝0.。
2021届高考数学基础得分题集及答案 (52)
2021届高考数学基础得分题集及答案（52）1．已知椭圆C 的方程为x 216＋y 2m 2＝1(m >0)，如果直线y ＝22x 与椭圆的一个交点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F ，则m 的值为( )A ．2B ．2 2C ．8D ．2 3答案：B解析：根据已知条件得c ＝16－m 2，则点⎝⎛⎭⎪⎫16－m 2，2216－m 2在椭圆x 216＋y 2m 2＝1(m >0)上， ∴16－m 216＋16－m 22m 2＝1，可得m ＝2 2.2．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．4 3D ．8答案：C解析：∵y 2＝4x ，∴F (1,0)，l ：x ＝－1， 过焦点F 且斜率为3的直线l 1：y ＝3(x －1)， 与y 2＝4x 联立，解得A (3,23)， ∴AK ＝4，∴S △AKF ＝12×4×23＝4 3.3．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是抛物线y ＝2x 2上的两点，直线 l 是AB 的垂直平分线．当直线 l 的斜率为12时，直线 l 在 y 轴上的截距的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫34，＋∞ B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－1)答案：A解析：设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程为y ＝12x ＋b ， 过点A ，B 的直线可设为y ＝－2x ＋m ，联立方程⎩⎨⎧y ＝2x 2，y ＝－2x ＋m得2x 2＋2x －m ＝0，从而有x 1＋x 2＝－1，Δ＝4＋8m ＞0，m ＞－12.①又AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，m ＋1在直线l 上，即m ＋1＝－14＋b ，得m ＝b －54， 将m ＝b －54代入①得b ＞34，所以直线 l 在y 轴上的截距的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞.4．经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点．设O 为坐标原点，则OA →·OB →等于( )A ．－3B ．－13C ．－13或－3 D ．±13答案：B解析：依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1,0)时， 其方程为y －0＝tan 45°(x －1)，即y ＝x －1， 代入椭圆方程x 22＋y 2＝1并整理得3x 2－4x ＝0， 解得x ＝0或x ＝43，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，所以OA →·OB →＝－13.同理，直线 l 经过椭圆的左焦点时，也可得OA →·OB →＝－13. 5．[2017·河北唐山统考]平行四边形ABCD 内接于椭圆x 24＋y 22＝1，直线AB 的斜率k 1＝1，则直线AD 的斜率k 2＝( )A.12 B ．－12 C ．－14 D ．－2答案：B解析：设AB 的中点为G ，由椭圆的对称性知， O 为平行四边形ABCD 的对角线的交点， 则GO ∥AD .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 214＋y 212＝1，x 224＋y 222＝1，两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)4＝－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)2， 整理得x 1＋x 22(y 1＋y 2)＝－y 1－y 2x 1－x 2＝－k 1＝－1，即y 1＋y 2x 1＋x 2＝－12， 又G ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，所以k OG ＝y 1＋y 22－0x 1＋x 22－0＝－12，即k 2＝－12，故选B.6．[2017·贵州安顺月考]在抛物线y ＝x 2上关于直线y ＝x ＋3对称的两点M ，N 的坐标分别为________．答案：(－2,4)，(1,1)解析：设直线MN 的方程为y ＝－x ＋b ， 代入y ＝x 2中， 整理得x 2＋x －b ＝0， 令Δ＝1＋4b >0，∴b >－14.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－1，y 1＋y 22＝－x 1＋x 22＋b ＝12＋b ，由⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12＋b 在直线y ＝x ＋3上， 即12＋b ＝－12＋3，解得b ＝2，联立⎩⎨⎧y ＝－x ＋2，y ＝x 2，解得⎩⎨⎧ x 1＝－2，y 1＝4，⎩⎨⎧x 2＝1，y 2＝1.7．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若MA →·MB →＝0，则k ＝________.答案：2解析：如图所示，设F 为焦点，取AB 的中点P ，过A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为G ，H ，连接MF ，MP ，由MA →·MB →＝0，知MA ⊥MB ，则|MP |＝12|AB |＝12(|AG |＋|BH |)， 所以MP 为直角梯形BHGA 的中位线， 所以MP ∥AG ∥BH ，所以∠GAM ＝∠AMP ＝∠MAP ， 又|AG |＝|AF |，AM 为公共边， 所以△AMG ≌△AMF ， 所以∠AFM ＝∠AGM ＝90°， 则MF ⊥AB ，所以k ＝－1k MF＝2.8．[2017·辽宁大连名校联考]已知斜率为2的直线经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1，与椭圆相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为________．答案：553解析：由题意知，椭圆的右焦点F 1的坐标为(1,0)，直线AB 的方程为y ＝2(x －1)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2(x －1)，x 25＋y 24＝1消去y ，整理得3x 2－5x ＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝53，x 1x 2＝0. 则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝(1＋22)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫532－4×0＝553.9．已知双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，P 为x 轴上一动点，经过点P 的直线y ＝2x ＋m (m ≠0)与双曲线C 有且只有一个交点，则双曲线C 的离心率为________．答案：52解析：由双曲线的方程可知， 渐近线方程为y ＝±ab x .∵经过点P 的直线y ＝2x ＋m (m ≠0)与双曲线C 有且只有一个交点， ∴此直线与渐近线y ＝ab x 平行， ∴a b ＝2.∴e ＝c a ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝52. [冲刺名校能力提升练]1．过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的直线l 与抛物线交于B ，C 两点，l 与抛物线准线交于点A ，且|AF |＝6，AF →＝2FB →，则|BC |＝( )A.92 B ．6 C.132 D ．8答案：A解析：不妨设直线l 的倾斜角为θ，其中0<θ<π2，点B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则点B 在x 轴的上方，过点B 作该抛物线的准线的垂线，垂足为B 1，于是有|BF |＝|BB 1|＝3， |AF ||AB |＝p |BB 1|， 由此得p ＝2，抛物线方程是y 2＝4x ，焦点F (1,0)， cos θ＝p |AF |＝p 6＝26＝13， sin θ＝1－cos 2θ＝223，tan θ＝sin θcos θ＝22，则直线l ：y ＝22(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x消去y ，得2x 2－5x ＋2＝0，x 1＋x 2＝52， |BC |＝x 1＋x 2＋p ＝52＋2＝92，故选A.2．[2017·陕西西安中学模拟]如图，过抛物线y ＝14x 2的焦点F 的直线l 与抛物线和圆x 2＋(y －1)2＝1交于A ，B ，C ，D 四点，则AB →·DC→＝________.答案：－1解析：不妨设直线AB 的方程为y ＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，y ＝14x 2解得x ＝±2，则A (－2,1)，D (2,1)，因为B (－1,1)，C (1,1)， 所以AB →＝(1,0)，DC →＝(－1,0)，所以AB →·DC →＝－1.3．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．解：(1)根据椭圆的左焦点为F 1(－1,0)，知a 2－b 2＝1. 又根据点P (0,1)在椭圆上，知b ＝1， 所以a ＝2，所以椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1.(2)因为直线l 与椭圆C 1和抛物线C 2都相切， 所以其斜率存在且不为0， 设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)， 代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋m )2＝1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2x 2＋2kmx ＋m 2－1＝0， 由题意可知此方程有唯一解，此时Δ＝4k 2m 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2(m 2－1)＝0，即m 2＝2k 2＋1.①把y ＝kx ＋m (k ≠0)代入抛物线方程得 k 4y 2－y ＋m ＝0，由题意可知此方程有唯一解， 此时Δ＝1－mk ＝0，即mk ＝1.②联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝2k 2＋1，mk ＝1， 解得k 2＝12， 所以⎩⎨⎧ k ＝22，m ＝2或⎩⎨⎧ k ＝－22，m ＝－2，所以直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2.4．[2017·贵州联考]已知中心在原点O ，左焦点为F 1(－1,0)的椭圆C 的左顶点为A ，上顶点为B ，F 1到直线AB 的距离为77|OB |.(1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 1的方程为：x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >n >0)，椭圆C 2的方程为：x 2m 2＋y 2n 2＝λ(λ>0，且λ≠1)，则称椭圆C 2是椭圆C 1的λ倍相似椭圆．如图，已知C 2是椭圆C 的3倍相似椭圆，若椭圆C 的任意一条切线l 交椭圆C 2于两点M ，N ，试求弦长|MN |的取值范围．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∴直线AB 的方程为x －a＋y b ＝1， ∴F 1(－1,0)到直线AB 的距离d ＝|b －ab |a 2＋b2＝77b ， a 2＋b 2＝7(a －1)2，又b 2＝a 2－1，解得a ＝2，b ＝3，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)椭圆C 的3倍相似椭圆C 2的方程为x 212＋y 29＝1.①若切线l 垂直于x 轴，则其方程为x ＝±2，易求得|MN |＝2 6. ②若切线l 不垂直于x 轴，可设其方程为y ＝kx ＋b ，将y ＝kx ＋b 代入椭圆C 的方程，得(3＋4k 2)x 2＋8kbx ＋4b 2－12＝0，∴Δ＝(8kb )2－4(3＋4k 2)(4b 2－12)＝48(4k 2＋3－b 2)＝0，即b 2＝4k 2＋3，(*)设M ，N 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入椭圆C 2的方程，得(3＋4k 2)x 2＋8kbx ＋4b 2－36＝0，此时x 1＋x 2＝－8kb 3＋4k 2，x 1x 2＝4b 2－363＋4k 2. |x 1－x 2|＝43(12k 2＋9－b 2)3＋4k 2， ∴|MN |＝1＋k 2×43(12k 2＋9－b 2)3＋4k 2＝46·1＋k 23＋4k 2＝261＋13＋4k2， ∵3＋4k 2≥3，∴1<1＋13＋4k 2≤43， 即26<26·1＋13＋4k 2≤4 2. 综合①②得，弦长|MN |的取值范围为[26，4 2 ]．5．设抛物线过定点A (－1,0)，且以直线x ＝1为准线．(1)求抛物线顶点的轨迹C 的方程；(2)若直线l 与轨迹C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 恰被直线x ＝－12平分，设弦MN 的垂直平分线的方程为y ＝kx ＋m ，试求m 的取值范围．解：(1)设抛物线顶点为P (x ，y )，则焦点F (2x －1，y )． 再根据抛物线的定义得|AF |＝2，即(2x )2＋y 2＝4，所以轨迹C 的方程为x 2＋y 24＝1.(2)设弦MN 的中点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 0，M (x M ，y M )，N (x N ，y N )， 则由点M ，N 为椭圆C 上的点，可知⎩⎪⎨⎪⎧4x 2M ＋y 2M ＝4，4x 2N ＋y 2N ＝4. 两式相减，得4(x M －x N )(x M ＋x N )＋(y M －y N )(y M ＋y N )＝0， 将x M ＋x N ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，y M ＋y N ＝2y 0， y M －y N x M －x N＝－1k 代入上式得k ＝－y 02. 又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 0在弦MN 的垂直平分线上，所以y 0＝－12k ＋m .所以m ＝y 0＋12k ＝34y 0. 由点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 0在线段BB ′上⎝ ⎛⎭⎪⎫B ′，B 为直线x ＝－12与椭圆的交点，如图所示，所以y B ′<y 0<y B ，也即－3<y 0< 3.所以－334<m <334，且m ≠0.故m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－334，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，334.。
2021届高考数学基础得分题集及答案 (41)
2021届高考数学基础得分题集及答案（41）1．在下列命题中，不是公理的是()A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线答案：A解析：选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的．2．[2017·江西七校联考]已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是()A．相交或平行B．相交或异面C．平行或异面D．相交、平行或异面答案：D解析：依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面，故选D.3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．垂直答案：A解析：如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．4．如图所示，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线交经过()A．点A B．点BC．点C，但不过点M D．点C和点M答案：D解析：∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.根据公理3可知，点M在γ与β的交线上，同理可知，点C也在γ与β的交线上．5．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是() A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面答案：B解析：若l1⊥l2，l2⊥l3，则l1，l3有三种位置关系，可能平行、相交或异面，A不正确；当l1∥l2∥l3或l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3可能共面，也可能不共面，C，D不正确；当l1⊥l2，l2∥l3时，则有l1⊥l3，故选B.6．[2017·广东深圳调研]两条异面直线在同一个平面上的正投影不可能是()A．两条相交直线B．两条平行直线C．两个点D．一条直线和直线外一点答案：C解析：如图，在正方体ABCD－EFGH中，M，N分别为BF，DH 的中点，连接MN，DE，CF，EG.当异面直线为EG，MN所在直线时，它们在底面ABCD内的射影为两条相交直线；当异面直线为DE，GF 所在直线时，它们在底面ABCD内的射影分别为AD，BC，是两条平行直线；当异面直线为DE，BF所在直线时，它们在底面ABCD内的射影分别为AD和点B，是一条直线和一个点，故选C.7．[2016·广东深圳调研]在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，R 分别是AB，AD，B1C1的中点，那么正方体的过P，Q，R的截面图形是()A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形答案：D解析：如图所示，作RG∥PQ交C1D1于G，连接QP并延长与CB 延长线交于M，且QP反向延长线与CD延长线交于N，连接MR交BB1于E，连接PE，则PE，RE为截面与正方体的交线，同理连接NG交DD1于F，连接QF，FG，则QF，FG为截面与正方体的交线，所以截面为六边形PQFGRE.8．[2017·黑龙江哈尔滨一模]如图，在四棱锥P－ABCD中，∠ABC ＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△P AB和△P AD都是等边三角形，则异面直线CD与PB所成角的大小为()A．90°B．75°C．60°D．45°答案：A解析：如图，过点B作直线BE∥CD，交DA的延长线于点E，连接PE.∴∠PBE(或其补角)是异面直线CD与PB所成角．∵△P AB和△P AD都是等边三角形，∴∠P AD＝60°，DA＝P A＝AB＝PB＝AE，∴∠P AE＝120°.设P A＝AB＝PB＝AE＝a，则PE＝3a.又∠ABC＝∠BAD＝90°，∴∠BAE＝90°，∴BE＝2a，∴在△PBE中，PB2＋BE2＝PE2，∴∠PBE＝90°，即异面直线CD与PB所成角为90°.故选A.9．如图所示，平面α，β，γ两两相交，a，b，c为三条交线，且a∥b，则a与b，c的位置关系是________．答案：a∥b∥c解析：∵a∥b，a⊂α，b⊄α，∴b∥α.又∵b⊂β，α∩β＝c，∴b∥c.∴a∥b∥c.10．如图，已知三个平面α，β，γ互相平行，a，b是异面直线，a 与α，β，γ分别交于A，B，C三点，b与α，β，γ分别交于D，E，F 三点，连接AF交平面β于G，连接CD交平面β于H，则四边形BGEH 必为________．答案：平行四边形解析：由题意知，直线a与直线AF确定平面ACF，由面面平行的性质定理，可得BG∥CF，同理有HE∥CF，所以BG∥HE.同理BH∥GE，所以四边形BGEH为平行四边形．11. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________．答案：③④解析：A，M，C1三点共面，且在平面AD1C1B中，但C∉平面AD1C1B，C1∉AM，因此直线AM与CC1是异面直线．同理AM与BN也是异面直线，AM与DD1也是异面直线，①②错误，④正确；M，B，B1三点共面，且在平面MBB1中，但N∉平面MBB1，B∉MB1，因此直线BN与MB1是异面直线，③正确．12．已知异面直线l与m成60°角，异面直线l与n成45°角，则异面直线m与n所成角的范围是________．答案：[15°，90°]解析：在直线l 上任取一点O ，过O 作m ′∥m ，n ′∥n ，当m ′，n ′，l 三线共面时，m ′与n ′所成的最大角为15°，即异面直线m 与n 所成角的最小值是15°.又设n ′与l 固定，把m ′绕l 旋转，则m ′与n ′所成的最大角为90°，即异面直线m 与n 所成角的最大值为90°，所以m ，n 所成角的范围是[15°，90°]．[冲刺名校能力提升练]1．空间四边形两对角线的长分别为6和8，所成的角为45°，连接各边中点所得四边形的面积是( )A ．6 2B ．12C ．12 2D ．24 2答案：A解析： 如图，已知空间四边形ABCD ，对角线AC ＝6，BD ＝8， 易证四边形EFGH 为平行四边形，∠EFG 或∠FGH 为AC 与BD 所成的45°角，故S 四边形EFGH ＝3×4·sin 45°＝62，故选A.2．[2017·吉林长春一模]已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( )A.16 B ．36C.13D ．33答案：B 解析： 画出正四面体ABCD 的直观图，如图所示．设其棱长为2，取AD 的中点F ，连接EF ，设EF 的中点为O ，连接CO ，则EF ∥BD ，则∠FEC 就是异面直线CE 与BD 所成的角，△ABC 为等边三角形，则CE ⊥AB ，易得CE ＝3，同理可得CF ＝3，故CE ＝CF .因为OE ＝OF ，所以CO ⊥EF .又EO ＝12EF ＝14BD ＝12，所以cos ∠FEC ＝EO CE ＝123＝36. 3．[2017·广东桂林上学期测试]正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长均为2，则异面直线A 1B 与B 1C 1所成角的余弦值为________．答案：24解析：因为BC∥B1C1，所以∠A1BC就是异面直线A1B与B1C1所成的角，如图，取BC的中点D，连接A1C，A1D，则A1C＝A1B＝22，BD＝1，在直角三角形A1BD中，cos∠A1BD＝122＝24.4．已知A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．(2)解：取CD的中点G，连接EG，FG，则EG∥BD，所以相交直线EF 与EG 所成的角，即为异面直线EF 与BD 所成的角．在Rt △EGF 中，由EG ＝FG ＝12AC ，求得∠FEG ＝45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°.5．如图所示，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，D 是PC的中点．已知∠BAC ＝π2，AB ＝2，AC ＝23，P A ＝2.求：(1)三棱锥P －ABC 的体积； (2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值．解：(1)S △ABC ＝12×2×23＝23，故三棱锥P －ABC 的体积为V ＝13·S △ABC ·P A ＝13×23×2＝433.(2)如图所示，取PB的中点E，连接DE，AE，则DE∥BC，所以∠ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角．在△ADE中，DE＝2，AE＝2，AD＝2，则cos∠ADE＝DE2＋AD2－AE2 2DE·AD＝22＋22－22×2×2＝34.即异面直线BC与AD所成角的余弦值为3 4.。
2021届高考数学基础得分题集及答案 (54)
2021届高考数学基础得分题集及答案（54）1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点在x 轴上，且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成斜边长为2的等腰直角三角形．(1)求椭圆的方程；(2)过点S ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－13的动直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q ，使得以线段AB 为直径的圆恒过点Q ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵椭圆两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，∴b ＝c .又斜边长为2，即2c ＝2，故c ＝b ＝1，a ＝2，椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)当l 与x 轴平行时，以线段AB 为直径的圆的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y ＋132＝169；当l 与y 轴平行时，以线段AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1. 由⎩⎨⎧x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋132＝169，x 2＋y 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1， 故若存在定点Q ，则Q 的坐标只可能为Q (0,1)． 下面证明Q (0,1)为所求：若直线l 的斜率不存在，上述已经证明． 若直线l 的斜率存在，设直线l ：y ＝kx －13， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝kx －13，x 2＋2y 2－2＝0，得(9＋18k 2)x 2－12kx －16＝0，Δ＝144k 2＋64(9＋18k 2)>0， x 1＋x 2＝12k18k 2＋9，x 1x 2＝－1618k 2＋9，QA →＝(x 1，y 1－1)，QB →＝(x 2，y 2－1)， QA →·QB →＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1) ＝(1＋k 2)x 1x 2－4k 3(x 1＋x 2)＋169＝(1＋k 2)·－169＋18k 2－4k 3·12k 9＋18k 2＋169＝0，∴QA→⊥QB →，即以线段AB 为直径的圆恒过点Q (0,1)． 2．已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且可知其左焦点为F ′(－2,0)．从而有⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12，故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1. (2)假设存在符合题意的直线l ， 设其方程为y ＝32x ＋t . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，x 216＋y 212＝1，得3x 2＋3tx ＋t 2－12＝0.因为直线l 与椭圆C 有公共点， 所以Δ＝(3t )2－4×3×(t 2－12)≥0， 解得－43≤t ≤4 3.另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝4，得 |t |94＋1＝4，解得t ＝±213. 由于±213∉[－43，4 3 ]， 所以符合题意的直线l 不存在．[冲刺名校能力提升练]1．已知直线l ：y ＝x ＋6，圆O ：x 2＋y 2＝5，椭圆E ：y 2a 2＋x2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝33，直线l 被圆O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等．(1)求椭圆E 的方程；(2)过圆O 上任意一点P 作椭圆E 的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜率之积为定值．(1)解：设椭圆半焦距为c ， 圆心O 到l 的距离d ＝61＋1＝3，则l 被圆O 截得的弦长为22，所以b ＝ 2.由题意得⎩⎨⎧c a ＝33，a 2＝b 2＋c 2，又b ＝2，∴a 2＝3，b 2＝2.∴椭圆E 的方程为y 23＋x 22＝1.(2)证明：设点P (x 0，y 0)，过点P 的椭圆E 的切线l 0的方程为y －y 0＝k (x －x 0)，整理得y ＝kx ＋y 0－kx 0，联立直线l 0与椭圆E 的方程⎩⎨⎧y ＝kx ＋y 0－kx 0，y 23＋x 22＝1，消去y ，得2[kx ＋(y 0－kx 0)]2＋3x 2－6＝0，整理得(3＋2k 2)x 2＋4k (y 0－kx 0)x ＋2(kx 0－y 0)2－6＝0，∵l 0与椭圆E 相切，∴Δ＝[4k (y 0－kx 0)]2－4(3＋2k 2)[2(kx 0－y 0)2－6]＝0，整理得(2－x 20)k 2＋2x 0y 0k －(y 20－3)＝0，设满足题意的椭圆E 的两条切线的斜率分别为k 1，k 2， 则k 1k 2＝－y 20－32－x 20.∵点P 在圆O 上，∴x 20＋y 20＝5，∴k 1k 2＝－5－x 20－32－x 20＝－1.∴两条切线斜率之积为常数－1.2．已知曲线Γ上的点到点F (0,1)的距离比它到直线y ＝－3的距离小2.(1)求曲线Γ的方程；(2)曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A ，直线y ＝3分别与直线l 及y 轴交于点M ，N .以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B.试探究：当点P 在曲线Γ上运动(点P 与原点不重合)时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论．解：(1)设S (x ，y )为曲线Γ上任意一点，依题意，点S 到F (0,1)的距离与它到直线y ＝－1的距离相等，所以曲线Γ是以点F (0,1)为焦点、直线y ＝－1为准线的抛物线，所以曲线Γ的方程为x 2＝4y .(2)当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变．证明如下：由(1)知抛物线Γ的方程为y ＝14x 2， 设P (x 0，y 0)(x 0≠0)，则y 0＝14x 20.由y ′＝12x ，得切线l 的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝12x 0， 所以切线l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)， 即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎨⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝0，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0，0.由⎩⎨⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝3，得M ⎝⎛⎭⎪⎫12x 0＋6x 0，3.又N (0,3)，所以圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 0＋3x 0，3， 半径r ＝12|MN |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪14x 0＋3x 0，|AB |＝|AC |2－r 2 ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12x 0－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 0＋3x 02＋32－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 0＋3x 02＝ 6.所以点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变．3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是12，其左、右顶点分别为A 1，A 2，B 为短轴的一个端点，△A 1BA 2的面积为2 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l ：x ＝22与x 轴交于D ，P 是椭圆C 上异于A 1，A 2的动点，直线A 1P ，A 2P 分别交直线l 于E ，F 两点，求证：|DE |·|DF |为定值．(1)解：由已知，可得⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝12，ab ＝23，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝ 3.故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：由题意可得A 1(－2,0)，A 2(2,0)． 设P (x 0，y 0)，由题意可得－2<x 0<2， ∴直线A 1P 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)，令x ＝22得y ＝(22＋2)y 0x 0＋2，即|DE |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(22＋2)y 0x 0＋2， 同理，直线A 2P 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，令x ＝22，得y ＝(22－2)y 0x 0－2，即|DF |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(22－2)y 0x 0－2， 所以|DE |·|DF |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(22＋2)y 0x 0＋2×⎪⎪⎪⎪⎪⎪(22－2)y 0x 0－2 ＝4y 20|x 20－4|＝4y 204－x 20. 将y 20＝3(4－x 20)4代入上式，得|DE |·|DF |＝3， 故|DE |·|DF |为定值3.。
2021届高考数学基础得分题集及答案 (33)
2021届高考数学基础得分题集及答案（33）1．在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，那么这个数列的公比为( )A ．2 B.12 C ．2或12 D ．－2或12答案：C解析：设数列{a n }的公比为q ，由a 1＋a 4a 2＋a 3＝a 1(1＋q 3)a 1(q ＋q 2)＝1＋q 3q ＋q2＝(1＋q )(1－q ＋q 2)q (1＋q )＝1－q ＋q 2q ＝1812，得q ＝2或q ＝12. 2．[2017·湖北宜昌模拟]在等比数列{a n }中，若a 1＝3，a 4＝24，则a 3＋a 4＋a 5＝( )A ．33B ．72C ．84D ．189答案：C解析：由已知，得q 3＝a 4a 1＝8，解得q ＝2，则有a 3＋a 4＋a 5＝a 1(q 2＋q 3＋q 4)＝3×(4＋8＋16)＝84.3．已知x ，y ，z ∈R ，若－1，x ，y ，z ，－3成等比数列，则xyz 的值为( )A ．－3B ．±3C ．－3 3D ．±3 3答案：C解析：由等比中项知y 2＝3，∴y ＝±3，又∵y 与－1，－3符号相同，∴y ＝－3，y 2＝xz ， 所以xyz ＝y 3＝－3 3.4．[2017·河北衡水模拟]已知正数组成的等比数列{a n }，若a 1a 20＝100，则a 7＋a 14的最小值为( )A ．20B ．25C ．50D ．不存在答案：A解析：(a 7＋a 14)2＝a 27＋a 214＋2a 7a 14≥4a 7a 14＝4a 1a 20＝400，∴a 7＋a 14≥20.5．[2017·山东临沂模拟]已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝a ·2n－1＋16，则a 的值为( ) A ．－13 B.13 C ．－12 D.12 答案：A解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a ·2n －1－a ·2n －2＝a ·2n －2，当n＝1时，a 1＝S 1＝a ＋16，∴a ＋16＝a 2，∴a ＝－13.6．[2017·河北高三联考]古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需的天数至少为( )A ．7B ．8C ．9D ．10答案：B解析：设该女子第一天织布x 尺， 则x (1－25)1－2＝5，解得x ＝531，∴前n 天所织布的尺数为531(2n －1)．由531(2n－1)≥30，得2n ≥187，则n 的最小值为8.7．[2017·浙江杭州第二次质检]已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，且满足a 12＋a 22＝2a 1＋2a 2，a 34＋a 44＝4a 3＋4a 4，则a 1a 5＝( )A ．24 2B ．8C ．8 2D ．16答案：C解析：设数列{a n }的公比为q ，由题意知q >0. ∵a 12＋a 22＝a 1＋a 22＝2a 1＋2a 2＝2(a 1＋a 2)a 1a 2，∴a 1a 2＝4，同理，a 3a 4＝16，∴q 4＝a 3a 4a 1a 2＝4，∴q ＝2，又a 3a 4＝a 23q ＝16，∴a 23＝82，∴a 1a 5＝a 23＝82，故选C.8．设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为前n 项和，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40＝( )A ．150B ．－200C ．150或－200D ．400或－50答案：A解析：依题意，数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列，因此有(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20)．即(S 20－10)2＝10(70－S 20)， 故S 20＝－20或S 20＝30，又S 20＞0， 因此S 20＝30，S 20－S 10＝20，S 30－S 20＝40， 故S 40－S 30＝80，S 40＝150.故选A.9．[2017·河北衡水中学高三二调]若等比数列{a n }满足a 2a 4＝12，则a 1a 23a 5＝________.答案：14解析：a 1a 23a 5＝(a 2a 4)2＝14.10．[2017·河北石家庄模拟]在等比数列{a n }中，若a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝158，a 8a 9＝－98，则1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝________.答案：－53解析：因为1a 7＋1a 10＝a 7＋a 10a 7a 10，1a 8＋1a 9＝a 8＋a 9a 8a 9，由等比数列的性质知a 7a 10＝a 8a 9，所以1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝a 7＋a 8＋a 9＋a 10a 8a 9＝158÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－98＝－53. 11．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝3S 2，a 3＝2，则a 7＝________.答案：8解析：设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，显然q ≠1且q ＞0，因为S 4＝3S 2，所以a 1(1－q 4)1－q ＝3a 1(1－q 2)1－q ，解得q 2＝2.因为a 3＝2，所以a 7＝a 3q 4＝2×22＝8.12．[2017·甘肃兰州诊断]数列{a n }的首项为a 1＝1，数列{b n }为等比数列且b n ＝a n ＋1a n，若b 10b 11＝2 015110，则a 21＝________.答案：2 015解析：由b n ＝a n ＋1a n ，且a 1＝1，得b 1＝a 2a 1＝a 2；b 2＝a 3a 2，a 3＝a 2b 2＝b 1b 2；b 3＝a 4a 3，a 4＝a 3b 3＝b 1b 2b 3；……；b n －1＝a na n －1，a n ＝b 1b 2…b n －1，∴a 21＝b 1b 2…b 20.∵数列{b n }为等比数列，∴a 21＝(b 1b 20)(b 2b 19)…(b 10b 11)＝(b 10b 11)10＝(2 015110)10＝2 015.[冲刺名校能力提升练]1．[2017·青海西宁复习检测]已知数列{a n }是首项a 1＝4的等比数列，且4a 1，a 5，－2a 3成等差数列，则其公比q 等于( )A ．－1B ．1C ．1或－1 D. 2答案：C解析：∵4a 1，a 5，－2a 3成等差数列，∴2a 5＝4a 1－2a 3，即2a 1q 4＝4a 1－2a 1q 2.又∵a 1＝4，则有q 4＋q 2－2＝0，解得q 2＝1，∴q ＝±1，故选C.2．[2017·安徽安庆二模]中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为( )A ．24里B ．12里C ．6里D ．3里答案：C解析：记每天走的路程里数为{a n }，易知{a n }是公比q ＝12的等比数列，S 6＝378，S 6＝a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378，∴a 1＝192，∴a 6＝192×125＝6.故选C.3．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－5B ．－15C ．5 D.15答案：A解析：∵log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1，∴a n ＋1＝3a n . ∴数列{a n }是以3为公比的正项等比数列． ∴a 2＋a 4＋a 6＝a 2(1＋q 2＋q 4)＝9.∴a 5＋a 7＋a 9＝a 5(1＋q 2＋q 4)＝a 2q 3(1＋q 2＋q 4)＝35.∴log 1335＝－5.4．[2017·辽宁沈阳质量监测]数列{a n }是等比数列，若a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝________.答案：323(1－4－n )解析：设等比数列{a n }的公比为q ，由等比数列的性质知a 5＝a 2q 3，解得q ＝12，所以a 1＝4.a 2a 3＝⎝⎛⎭⎪⎫12a 1⎝⎛⎭⎪⎫12a 2＝14a 1a 2，a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ＝14a n －1a n (n ≥2)． 设b n ＝a n a n ＋1，可以得出数列{b n }是以8为首项，以14为公比的等比数列，所以a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1为数列{b n }的前n 项和，由等比数列的前n 项和公式得a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n 1－14＝323(1－4－n)．5．[2017·福建龙岩一模]已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d ≠0，S 2＝4，且a 2，a 5，a 14成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)从数列{a n }中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2n 项，…，按原来顺序组成一个新数列{b n }，记该数列的前n 项和为T n ，求T n 的表达式．解：(1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1＋d ＝4，(a 1＋4d )2＝(a 1＋d )(a 1＋13d )， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋2(n －1)＝2n －1， 即a n ＝2n －1.(2)由已知得，b n ＝a 2n ＝2×2n －1＝2n ＋1－1.所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝(22－1)＋(23－1)＋…＋(2n ＋1－1)＝(22＋23＋…＋2n ＋1)－n ＝4(1－2n )1－2－n ＝2n ＋2－4－n .。
2021届高考数学基础得分题集及答案 (35)
2021届高考数学基础得分题集及答案（35）1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的n ∈N *有a n ＋S n ＝n .(1)设b n ＝a n －1，求证：数列{b n }是等比数列； (2)设c 1＝a 1且c n ＝a n －a n －1(n ≥2)，求{c n }的通项公式． (1)证明：由a 1＋S 1＝1及a 1＝S 1得a 1＝12. 又由a n ＋S n ＝n 及a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1，得 a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1， ∴2a n ＋1＝a n ＋1.∴2(a n ＋1－1)＝a n －1，即2b n ＋1＝b n .∴数列{b n }是b 1＝a 1－1＝－12为首项，12为公比的等比数列． (2)解：由(1)知2a n ＋1＝a n ＋1，∴2a n ＝a n －1＋1(n ≥2)． ∴2a n ＋1－2a n ＝a n －a n －1(n ≥2)， 即2c n ＋1＝c n (n ≥2)，又c 1＝a 1＝12，2a 2＝a 1＋1，∴a 2＝34. ∴c 2＝34－12＝14，即c 2＝12c 1.∴数列{c n }是首项为12，公比为12的等比数列． ∴c n ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝12n . 2．已知数列{a n }与{b n }，若a 1＝3且对任意正整数n 满足a n ＋1－a n ＝2，数列{b n }的前n 项和S n ＝n 2＋a n .(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n .解：(1)因为对任意正整数n 满足a n ＋1－a n ＝2， 所以{a n }是公差为2的等差数列． 又因为a 1＝3，所以a n ＝2n ＋1. 当n ＝1时，b 1＝S 1＝4；当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝(n 2＋2n ＋1)－[(n －1)2＋2(n －1)＋1]＝2n ＋1，对b 1＝4不成立．所以数列{b n }的通项公式为b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2.(2)由(1)知，当n ＝1时，T 1＝1b 1b 2＝120；当n ≥2时，1b n b n ＋1＝1(2n ＋1)(2n ＋3)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3， 所以T n ＝120＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋⎝ ⎛⎭⎪⎫17－19＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3＝120＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫15－12n ＋3 ＝120＋n －110n ＋15.当n ＝1时仍成立， 所以T n ＝120＋n －110n ＋15.3．[2017·山东青岛模拟]已知数列{a n }是等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，且a 10＝28，S 8＝92；数列{b n }对任意n ∈N *，总有b 1·b 2·b 3·…·b n－1·b n ＝3n ＋1成立．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)记c n ＝a n ·b n2n ，求数列{c n }的前n 项和T n . 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则⎩⎨⎧a 10＝a 1＋9d ＝28，S 8＝8a 1＋8×72×d ＝92，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝3，所以a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2.因为b 1·b 2·b 3·…·b n －1·b n ＝3n ＋1， 所以b 1·b 2·b 3·…·b n －1＝3n －2(n ≥2)， 两式相除得b n ＝3n ＋13n －2(n ≥2)．因为当n ＝1时，b 1＝4适合上式， 所以b n ＝3n ＋13n －2(n ∈N *)．(2)由(1)知c n ＝a n ·b n 2n ＝3n ＋12n ， 则T n ＝42＋722＋1023＋…＋3n ＋12n ， 12T n ＝422＋723＋1024＋…＋3n －22n ＋3n ＋12n ＋1， 所以12T n ＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋323＋…＋32n －3n ＋12n ＋1， 从而12T n ＝2＋3×14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －11－12－3n ＋12n ＋1，即T n ＝7－3n ＋72n .4．[2017·山西太原一模]已知数列{a n}和{b n}满足a1＝2，b1＝1,2a n＋1＝a n，b1＋12b2＋13b3＋…＋1n b n＝b n＋1－1(n∈N*)．(1)求a n与b n；(2)记数列{a n b n}的前n项和为T n，求T n.解：(1)由a1＝2,2a n＋1＝a n，得a n＝2·12n－1＝12n－2.由题意知，当n＝1时，b1＝b2－1，故b2＝2；当n≥2时，1n b n＝b n＋1－b n，即b n＋1n＋1＝b nn，所以b n＝n(n∈N*)，当n＝1时也符合．(2)由(1)知，a n b n＝n2n－2，∴T n＝12－1＋220＋…＋n2n－2，12T n＝120＋221＋…＋n2n－1，∴12T n＝12－1＋120＋…＋12n－2－n2n－1＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－12n1－12－n2n－1，故T n＝8－n＋22n－2.[冲刺名校能力提升练]1．设数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n＋2a n＝3(n∈N*)，设数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝2b n －1b n －1＋2(n ≥2)．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝na n ，求数列{c n }的前n 项和T n .解：(1)∵S n ＋2a n ＝3(n ∈N *)， ∴当n ≥2时，S n －1＋2a n －1＝3， 两式相减得3a n ＝2a n －1，即a n a n －1＝23.又当n ＝1时，a 1＋2a 1＝3，∴a 1＝1，∴数列{a n }是首项为1，公比为23的等比数列，且a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1.∵当n ≥2时，b n ＝2b n －1b n －1＋2，两边取倒数得1b n ＝1b n －1＋12，∴1b n－1b n －1＝12，b 1＝a 1＝1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 是首项为1，公差为12的等差数列，且1b n ＝1＋(n －1)×12＝n ＋12，∴b n ＝2n ＋1.(2)由(1)可知c n ＝na n＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1，T n ＝1＋2×32＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1，①32T n ＝32＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ，②①－②得－12T n ＝1＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1－n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＝－2＋(2－n )×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n，∴T n ＝4＋2(n －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫32n.2．[2017·山东临沂八校联考]已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝2，且a 2，a 4，a 8成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若{b n －(－1)n a n }是等比数列，且b 2＝7，b 5＝71，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)设数列{a n }的公差为d (d ≠0)， 因为a 1＝2，且a 2，a 4，a 8成等比数列， 所以(3d ＋2)2＝(d ＋2)(7d ＋2)，可得d ＝2， 故a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋2(n －1)＝2n . (2)令c n ＝b n －(－1)n a n ， 设数列{c n }的公比为q ， 因为b 2＝7，b 5＝71，a n ＝2n ， 所以c 2＝b 2－a 2＝7－4＝3， c 5＝b 5＋a 5＝71＋10＝81， 所以q 3＝c 5c 2＝813＝27，故q ＝3，所以c n ＝c 2·q n －2＝3×3n －2＝3n －1， 即b n －(－1)n a n ＝3n －1， 所以b n ＝3n －1＋(－1)n ·2n .故T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝(30＋31＋…＋3n －1)＋[－2＋4－6＋…＋(－1)n ·2n ]，当n 为偶数时，T n ＝1－3n 1－3＋2×n 2＝3n ＋2n －12； 当n 为奇数时，T n ＝1－3n 1－3＋2×n －12－2n ＝3n －2n －32. 所以T n＝⎩⎨⎧3n ＋2n －12，n 为偶数，3n－2n －32，n 为奇数.3．函数f (x )对任意x ∈R 都有f (x )＋f (1－x )＝12.(1)数列{a n }满足：a n ＝f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f (1)，数列{a n }是等差数列吗？请给予证明；(2)令b n ＝44a n －1，T n ＝b 21＋b 22＋b 23＋…＋b 2n ，S n ＝32－16n ，试比较T n 与S n 的大小．解：(1)数列{a n }是等差数列，证明如下： 令x ＝1n ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＝12，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝⎛⎭⎪⎫n －1n ＝12. a n ＝f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f (1)． 又a n ＝f (1)＋f ⎝⎛⎭⎪⎫n －1n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f (0)， 两式相加2a n ＝[f (0)＋f (1)]＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋…＋[f (1)＋f (0)]＝n ＋12，所以a n ＝n ＋14，n ∈N *.又a n ＋1－a n ＝n ＋1＋14－n ＋14＝14， 故数列{a n }是等差数列． (2)b n ＝44a n －1＝4n ，T n ＝b 21＋b 22＋…＋b 2n＝16⎝⎛⎭⎪⎫1＋122＋132＋…＋1n 2≤16⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋11×2＋12×3＋…＋1n (n －1) ＝16⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1n ＝32－16n ＝S n ， 所以T n ≤S n .4．[2017·云南第一次检测]已知等比数列{a n }的前n 项和是S n ，S 18∶S 9＝7∶8.(1)求证：S 3，S 9，S 6依次成等差数列；(2)a 7与a 10的等差中项是不是数列{a n }中的项？如果是，是{a n }中的第几项，如果不是，请说明理由．(1)证明：设等比数列{a n }的公比为q ，若q ＝1，则S 18＝18a 1，S 9＝9a 1，S 18∶S 9＝2∶1≠7∶8，∴q ≠1.∴S 18＝a 11－q (1－q 18)，S 9＝a 11－q (1－q 9)，S 18∶S 9＝1＋q 9.∴1＋q 9＝78，解得q ＝－2－13.∴S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝32×a 11－q ，S 6＝a 1(1－q 6)1－q ＝34×a 11－q ，S 9＝a 1(1－q 9)1－q ＝98×a 11－q .∵S 9－S 3＝－38×a 11－q ，S 6－S 9＝－38×a 11－q ，∴S 9－S 3＝S 6－S 9.∴S 3，S 9，S 6依次成等差数列．(2)解：a 7与a 10的等差中项等于a 7＋a 102＝a 1(2－2－2－3)2＝a 116， 设a 7与a 10的等差中项是数列{a n }中的第n 项， 则a 1(－2－13)n －1＝a 116， 所以－n －13＝－4，解得n ＝13.∴a 7与a 10的等差中项是数列{a n }中的第13项．。
2021届高考数学基础得分题集及答案 (45)
2021届高考数学基础得分题集及答案（45）1．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则参数m 满足的条件是( )A ．m ≠－32 B ．m ≠0 C ．m ≠0且m ≠1 D ．m ≠1答案：D解析：由⎩⎨⎧2m 2＋m －3＝0，m 2－m ＝0，解得m ＝1，故m ≠1时方程表示一条直线．2．如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2答案：D解析：直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1<0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2>α3，所以0<k 3<k 2，因此k 1<k 3<k 2，故选D.3．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 答案：B解析：∵直线的斜率k ＝－1a 2＋1，∴－1≤k ＜0，则倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.4．[2017·山西太原质检]若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13 C ．－32 D ．23答案：B解析：依题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎨⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.5．[2017·广东深圳调研]在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )A BC D答案：B解析：当a >0，b >0时，－a <0，－b <0.选项B 符合．6．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1答案：D解析：由题意可知a ≠0. 当x ＝0时，y ＝a ＋2. 当y ＝0时，x ＝a ＋2a .∴a ＋2a ＝a ＋2，解得a ＝－2或a ＝1.7．[2017·河北衡水一模]已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为另一条直线x －2y －4＝0的斜率的倒数，则直线l 的方程为( )A ．y ＝3x ＋2B ．y ＝3x －2C ．y ＝3x ＋12 D ．y ＝－3x ＋2答案：A解析：∵直线x －2y －4＝0的斜率为12， ∴直线l 在y 轴上的截距为2， ∴直线l 的方程为y ＝3x ＋2，故选A.8．[2017·广州六中等六校联考]已知f (x )＝a sin x －b cos x ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( ) A.π4 B ．π3 C.2π3 D ．3π4答案：D解析：令x ＝π4，得f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，即－b ＝a ，则直线ax －by ＋c ＝0的斜率为k ＝ab ＝－1， 其倾斜角为3π4.故选D.9．[2017·上饶市六校联考]过点P (3，－1)引直线，使点A (2，－3)，B (4,5)到它的距离相等，则这条直线的方程为________．答案：4x －y －13＝0或x ＝3解析：这样的直线过点P 且平行于AB 或者过AB 的中点，计算得到直线方程为4x －y －13＝0或x ＝3.10．已知直线l 过点M (1,1)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则当|OA |＋|OB |取得最小值时，直线l 的方程为________．答案：x ＋y －2＝0解析：设A (a,0)，B (0，b )(a >0，b >0)． 设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，则1a ＋1b ＝1，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )· ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2·a b ·ba ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0. 11．一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________．答案：x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0解析：由题设知，直线在两坐标轴上的截距均不为0， 设所求直线的方程为x a ＋yb ＝1. ∵A (－2,2)在此直线上，∴－2a ＋2b ＝1.① 又∵直线与坐标轴围成的三角形面积为1， ∴12|a |·|b |＝1.② 由①②可得(1)⎩⎨⎧a －b ＝1，ab ＝2或(2)⎩⎨⎧ a －b ＝－1，ab ＝－2.由(1)解得 ⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1或 ⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－2，方程组(2)无解．故所求的直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y－2＝1，即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0.[冲刺名校能力提升练]1．直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－1，15B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪(1，＋∞) C ．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞D ．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 答案：D解析：设直线的斜率为k ，如图，过定点A 的直线经过点B 时，直线l 在x 轴上的截距为3，此时k ＝－1；过定点A 的直线经过点C 时，直线l 在x 轴上的截距为－3，此时k ＝12，由图形可得满足条件的直线l 的斜率范围是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 2．[2017·辽宁沈阳质量监测]如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，直线AB 的方程为________．答案：(3＋3)x －2y －3－3＝0解析：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA 与直线l OB 的方程分别为y ＝x ，y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2. 由点C 在y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得， ⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)．又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.3．求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l 的方程．解：设直线在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b . ①当a ≠0，b ≠0时，设l 的方程为x a ＋yb ＝1. ∵点(4，－3)在直线上，∴4a ＋－3b ＝1，若a ＝b ，则a ＝b ＝1，直线方程为x ＋y －1＝0. 若a ＝－b ，则a ＝7，b ＝－7， 此时直线的方程为x －y －7＝0.②当a ＝b ＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)， ∴直线的方程为3x ＋4y ＝0.综上知，所求直线方程为x ＋y －1＝0或x －y －7＝0或3x ＋4y ＝0.4．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y －2－a ＝0(a ∈R )，若a >－1，直线l 与x ，y 轴分别交于M ，N 两点，O 为坐标原点，求△OMN 面积取最小值时，直线l 的方程．解：易求M ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋2a ＋1，0，N (0,2＋a )， ∵a >－1，所以S △OMN ＝12·a ＋2a ＋1·(2＋a )＝12·(a ＋1＋1)2a ＋1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(a ＋1)＋1a ＋1＋2≥2， 当且仅当a ＋1＝1a ＋1，即a ＝0时，等号成立．故所求直线l 的方程为x ＋y －2＝0.。
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2020年高等数学基础第一次作业点评1第1章 函数第2章 极限与连续（一）单项选择题⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等．A. 2)()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f =，x x g =)(C. 3ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，11)(2--=x x x g⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（ C ）对称．A. 坐标原点B. x 轴C. y 轴D. x y = ⒊下列函数中为奇函数是（ B ）．A. )1ln(2x y += B. x x y cos =C. 2xx a a y -+= D. )1ln(x y +=⒋下列函数中为基本初等函数是（ C ）． A. 1+=x y B. x y -= C. 2xy = D. ⎩⎨⎧≥<-=0,10,1x x y⒌下列极限存计算不正确的是（ D ）．A. 12lim 22=+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0=+→x x C. 0sin lim=∞→x x x D. 01sin lim =∞→x x x ⒍当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量．A. x x sinB. x 1C. xx 1sin D. 2)ln(+x⒎若函数)(x f 在点0x 满足（ A ），则)(x f 在点0x 连续。
A. )()(lim 00x f x f x x =→ B. )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义C. )()(lim 00x f x f x x =+→ D. )(lim )(lim 0x f x f x x x x -+→→=（二）填空题⒈函数)1ln(39)(2x x x x f ++--=的定义域是 ．}33{>-≤x x x 或 ⒉已知函数x x x f +=+2)1(，则=)(x f ．x x -2⒊=+∞→xx x)211(lim ．21e⒋若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+=0,0,)1()(1x k x x x x f x ，在0=x 处连续，则=k ．e⒌函数⎩⎨⎧≤>+=0,sin 0,1x x x x y 的间断点是 ．0=x⒍若A x f x x =→)(lim 0，则当0x x →时，A x f -)(称为 ．无穷小量（三）计算题 ⒈设函数⎩⎨⎧≤>=0,0,e )(x x x x f x 求：)1(,)0(,)2(f f f -．解：2)2(-=-f0)0(=f e e f ==1)1(⒉求函数xx y 12lglg -=的定义域． 解：欲使函数有意义，必使012lg >-xx ， 即：112>-xx 亦即：x x >-12解得函数的定义域是：1>x⒊在半径为R 的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数． 解：设梯形的高CM=x ，则22x R DM -=梯形的上底222x R DC -=，下底R AB 2=则梯形的面积2)22(22xR x R s +-=)0()(22R x x R x R <<+-=⒋求xxx 2sin 3sin lim0→．解：原式=23112322sin lim 33sin lim2300=⨯=⨯→→x x x xx x ⒌求)1sin(1lim 21+--→x x x ．解：原式=2121)1sin(lim )1(lim 1)1sin(1lim 111-=-=++-=++--→-→-→x x x x x x x x x⒍求xxx 3tan lim 0→．解：311133cos 1lim 33sin lim 33cos 133sin lim 33cos 3sin lim 0000=⨯⨯=⨯=⨯=→→→→x x x x x x x x xx x x x⒎求xx x sin 11lim 20-+→．解：原式=010sin 1lim11limsin )11()11)(11(lim202220=⨯=⨯++=++++-+→→→xx x x xx x x x x x ⒏求xx x x )31(lim +-∞→． 解：原式=333131-+→∞⎪⎭⎫⎝⎛+-•⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x x lim x x =33343343-+∞→⎪⎭⎫⎝⎛+-+•⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+x x x x lim x x=33341341-∞→+∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+•⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+x lim x lim x x x =3341+∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+x x x lim=443341--+∞→⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+x x x lim =443341--+∞→⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+x x x lim =4-e⒐求4586lim 224+-+-→x x x x x ．解：原式=3212lim )1)(4()2)(4(lim44=--=----→→x x x x x x x x ⒑设函数⎪⎩⎪⎨⎧-<+≤≤->-=1,111,1,)2()(2x x x x x x x f讨论)(x f 的连续性，并写出其连续区间．点评：讨论分段函数在分段点处的连续性，只要研究函数)(x f 在该点处的左右极限情况，然后再由函数连续性的定义判断。
解：先看函数在分段点1-=x 处的情况，∵011)1()(limlim 11=+-=+=---→-→x x f x x 1)(lim lim 11-==++-→-→x x f x x∴)()(lim lim 11x f x f x x +--→-→≠，故)(lim 1x f x -→不存在。
∴1-=x 为函数)(x f 的间断点。
再看函数在分段点1=x 处的情况，∵1)(limlim11==--→→x x f x x1)2()(211lim lim =-=++→→x x f x x ∴)()(lim lim 11x f x f x x +-→→=，故1)(lim 1=→x f x 。
又因为1)1(1===x x f所以)1()(lim 1f x f x =→故1=x 是函数)(x f 的连续点。
函数)(x f 在连续区间是：),1()1,(+∞-⋃--∞。
高等数学基础第二次作业第3章 导数与微分（一）单项选择题⒈设0)0(=f 且极限x x f x )(lim0→存在，则=→xx f x )(lim0（B ）． A. )0(f B. )0(f ' C. )(x f ' D. 0⒉设)(x f 在0x 可导，则=--→hx f h x f h 2)()2(lim 000（D ）．A. )(20x f '-B. )(0x f 'C. )(20x f 'D. )(0x f '-⒊设xx f e )(=，则=∆-∆+→∆xf x f x )1()1(lim0（A ）． A. e B. e 2C. e 21D. e 41⒋设)99()2)(1()(---=x x x x x f ，则=')0(f （D ）．A. 99B. 99-C. !99D. !99- ⒌下列结论中正确的是（ C ）．A. 若)(x f 在点0x 有极限，则在点0x 可导．B. 若)(x f 在点0x 连续，则在点0x 可导．C. 若)(x f 在点0x 可导，则在点0x 有极限．D. 若)(x f 在点0x 有极限，则在点0x 连续． （二）填空题⒈设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(2x x xx x f ，则=')0(f 0 ． ⒉设xx x f e 5e )e (2+=，则=x x f d )(ln d xx 5ln 2+⒊曲线1)(+=x x f 在)2,1(处的切线斜率是21． ⒋曲线x x f sin )(=在)1,2π(处的切线方程是1=y ．⒌设xx y 2=，则='y ()2ln 22+x xx．⒍设x x y ln =，则=''y x1． （三）计算题⒈求下列函数的导数y '：点评：这组求函数的导数计算题主要是采用导数的四则运算法则和基本求导公式来解决。
⑴xx x y e )3(+=解：xx x xxe e x e x e e x y 323)3(232123++='+='=)323(2123++x x e x⑵x x x y ln cot 2+=解：)ln 2sin cos cos sin sin ()ln sin cos (222x x x x x x x x x x x x x y ++--='+=' =x x x x ++-ln 2sin 12 ⑶xx y ln 2=解：x x x x x x x y 22ln )1ln 2(ln ln 2-=-='⑷32cos xx y x+= 解：6233)2(cos )2ln 2sin (xx x x x y x x ⋅+-+-=' =423cos 322ln sin x x x x x xx ⋅--⋅+-⑸x x x y sin ln 2-=解：xx x x x x x y 22sin )(ln cos sin )21(---=' =xx x x x x x 222sin )cos(ln sin )21(---⑹x x x y ln sin 4-=解：)sin ln (cos 43x x x x x y +⨯-=' =xx x x x sin ln cos 43-⨯-⑺xx x y 3sin 2+= 解：xx x x x x x y 223)(sin 3ln 33)2(cos +-+='=xx x x x 3)(sin 3ln 2cos 2+-+ ⑻x x y xln tan e +=解：x xe x e y x x1)cos tan (2++=' =x xx x e x 1cos )1cos (sin 2++ ⒉求下列函数的导数y '：这组求函数的导数计算题主要是采用复合函数的求导法则，可用设中间变量的方法，当中间变量不多时，也可直接求。
设中间变量的目的尽可能使函数成为基本初等函数或基本初等函数的四则运算。
⑴xy e=解：xxexe y xx221=⋅='⑵x y cos ln = 解：x xxy tan cos sin -=-='⑶x x x y =解：因为87814121x x x x y =⋅⋅=所以 8187-='x y⑷x y 2sin =解：因为x x x y 2sin cos sin 2=⋅=所以 )211()(313221x x x y ++='-⑸2sin x y =解：22cos 22cos x x x x y =⋅='⑹xy e cos =解：='y xx e e ⋅-sin=xx e e sin - ⑺nx x y ncos sin =解：)(cos sin cos )(sin '⋅+'='nx x nx x y nn=n nx x nx x x n n n ⋅-⋅+⋅⋅-)sin (sin cos cos sin 1=)sin sin cos (cos sin 1nx x nx x x n n --⑻xy sin 5=解：设xu y usin 5==x u u y y '⋅'='=x x xu cos 55ln cos 5ln 5sin ⋅⋅=⋅ 注：因只有一次复合，也可直接计算。